UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM CIENCIAS

AREA DE CONCENTRACAO - FISICA

ROBSON CONRADO BONETTI

SINCRONIZACAO E MEMORIAS EM OSCILADORESCOLPITTS ACOPLADOS

PONTA GROSSA

2014

ROBSON CONRADO BONETTI

SINCRONIZACAO E MEMORIAS EM OSCILADORESCOLPITTS ACOPLADOS

Tese apresentada ao Programa de Pos-Graduacao

em Ciencias, area de concentracao Fsica, da Uni-

versidade Estadual de Ponta Grossa, como requi-

sito para obtencao do ttulo de Doutor em Cien-

cias.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Marcos Batista.

Co-orientador: Prof. Dr. Silvio Luiz Thomaz de

Souza.

PONTA GROSSA

2014

Dedicatoria

A minha esposa Melissa e ao meu amado

filho Theo.

Agradecimentos

- A Deus pela vida;

- A minha esposa Melissa e meu filho Theo pela compreensao e participacao em todos os

momentos desta longa e dura caminhada, desde a graduacao ate o doutorado;

- Ao orientador e amigo Professor Dr. Antonio Marcos Batista por seus ensinamentos

durante o mestrado e o doutorado, pela sua paciencia e dedicacao;

- Ao co-orientador Professor Dr. Silvio Luiz Thomaz de Souza pelo profissionalismo,

amizade e ensinamentos;

- A Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG) e ao Programa de Pos-Graduacao em

Ciencias-Fsica;

- Aos meus pais (Jaime e Inez) e irmaos (Cleverson, Leanderson e Monica) pelo apoio e

incentivo;

- A Secretaria Estadual de Educacao do Estado do Parana - SEED/PR, pela liberacao

para cursar parte do doutorado;

- A todos os professores e funcionarios do Programa de Pos-graduacao em Ciencias-Fsica

(mestrado e doutorado), Departamento de Fsica da UEPG durante minha graduacao,

agradeco por toda a participacao e colaboracao nos conhecimentos adquiridos;

- Aos professores membros das bancas de qualificacao e defesa da Tese pelas correcoes e

sugestoes;

- A todos os amigos da sala 105: Batista, Kelly, Danilo, Marli, Regiane, Brad, Vardo,

Moises, Paulo, Ricardo, Rafael e Carlos, obrigado pela amizade;

- A todos que direta ou indiretamente contriburam para a conclusao deste trabalho.

Em todo caos ha um universo, e em toda

desordem, ha uma ordem oculta (Grimm)

Resumo

Concentramos o estudo nos osciladores Colpitts. Escolhemos este circuito devido ao fato

de que ele pode ser util em aplicacoes para sistemas de comunicacao, bem como, exibe um

rico comportamento dinamico em certos valores de parametros. No oscilador Colpitts, a

frequencia de operacao pode variar de alguns Hertz ate a faixa de frequencias de microon-

das, caracterstica esta que permite a utilizacao deste circuito para transmitir informacoes

em canais com diferentes larguras de banda de frequencia. Esta tese tem duas partes:

(i) transiente superpersistente em osciladores Colpitts numa configuracao mestre-escravo;

(ii) memorias de curta duracao em Colpitts acoplados. Consideramos osciladores Colpitts

acoplados de acordo com uma configuracao mestre-escravo para estudar a sincronizacao de

caos. Revelamos a existencia de transientes superpersistentes neste sistema acoplado. Alem

disso, mostramos que um rudo aditivo no sistema escravo pode suprimir a sincronizacao

caotica. Quando a sincronizacao nao e suprimida, o rudo induz transientes mais longos.

Alem disso, considerou-se uma rede de circuitos acoplados, osciladores Colpitts, e inves-

tigamos o armazenamento de memoria com uma entrada externa. As memorias foram

definidas em termos das diferencas entre as amplitudes das correntes eletricas. Mostramos

a existencia de multiplas memorias, o que nos permite utilizar estes sistemas para codificar

sinais.

Palavras-chave: Oscilador Colpitts, sincronizacao e memorias.

Abstract

We focus on the study of Colpitts oscillators. We have chosen this circuit due to the

fact that it can be useful in applications to communication systems, as well as, it exhibits

a rich dynamical behaviour for certain parameter values. In the Colpitts oscillator the

operation frequency can vary from few Hertz up to the microwave frequency range, a

characteristic that enables the use of this circuit to transmit information in channels with

different frequency bandwidths. This thesis has two parts: (i) super persistent transient

in a master-slave configuration with Colpitts oscillators, and (ii) short-time memories in

coupled Colpitts. We considered Colpitts oscillators coupled according to a master-slave

configuration to study chaos synchronisation. We revealed the existence of super persistent

transients in this coupled system. Moreover, we showed that an additive noise in the slave

system may suppress chaos synchronisation. When synchronisation is not suppressed, the

noise induces longer transients. Moreover, we considered a network of coupled circuits,

Colpitts oscillators, and we investigated memory storage with an external input. The

memories were defined in terms of the differences among the electrical currents amplitudes.

We showed the existence of multiple memories, which enables us to use these systems to

encode signals.

Keywords: Colpitts oscillators, synchronisation, memories.

Lista de Tabelas

2.1 Tabela referente a classificacao dos sistemas espacialmente estendidos. . . . . p. 28

Lista de Figuras

2.1 Famlia de solucoes para x = ax. (a) a > 0: crescimento exponencial; (b) a < 0

decaimento exponencial; (c) espaco de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

2.2 Solucoes para a Equacao diferencial logstica (2.5). (a) Quando a condicao

inicial for positiva as curvas de solucao tendem para x = 1 a medida que t

aumenta e quando a condicao inicial e negativa as curvas divergem; (b) espaco

de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

2.3 Atratores: (a) ponto fixo, (b) ciclo-limite, (c) superfcie toroidal e (d) atrator

caotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.4 Ilustracao da divergencia de duas condicoes iniciais proximas. . . . . . . . . . p. 18

2.5 Evolucao de um volume esferico no espaco de fase. . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.6 Esboco dos rolos de conveccao, sem levar em consideracao os efeitos de borda. p. 24

2.7 Atrator de Lorenz para = 10, r = 28 e b = 8/3. . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

3.1 Diferenca entre oscilador Colpitts e oscilador Hartley, onde A, B e C podem

ser capacitores C ou indutores L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

3.2 (a) Esquema basico de um oscilador; (b) elementos de um oscilador. . . . . . p. 33

3.3 Analogia mecanica para um oscilador Classe C. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

3.4 Diagrama de blocos para um amplificador realimentado, onde o bloco A(s) e o

amplificador e o bloco f(s) a malha de realimentacao. . . . . . . . . . . . . . p. 37

3.5 Amplificador em malha aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3.6 Localizacao das frequencias naturais no plano complexo seguindo a condicao de

oscilacao ou a condicao de arranque correspondente. . . . . . . . . . . . . . . p. 40

3.7 Dependencia da estabilidade da frequencia do oscilador com a inclinacao da

resposta em fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

3.8 (a) Construcao do transistor NPN; (b) Simbologia. . . . . . . . . . . . . . . p. 44

3.9 (a) Estrutura de um diodo de juncao; (b) Camada de deplecao do diodo. . . . p. 45

3.10 (a) Diagrama esquematico do oscilador Colpitts; (b) modelo do transistor numa

configuracao base comum (CB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

3.11 Caracterstica nao-linear do resistor RE de acordo com o modelo exponencial

(EXP) e com o modelo linear por partes (PWL) no oscilador Colpitts. . . . . p. 51

3.12 Cascata de Feigenbaum para o sistema de Equacoes (3.40) com ciclo quase-

sinusoidal onde (a) orbita de perodo 1 com I0 = 0, 85mA e g = 1, 9674; (b)

orbita de perodo 2 com I0 = 1, 05mA e g = 2, 4305; (c) orbita de perodo

4 com I0 = 1, 16mA e g = 2, 6853; (d) atrator caotico com I0 = 1, 21mA e

g = 2, 8002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

3.13 (a) Diagrama de bifurcacoes para o oscilador Colpitts; (b) janelas de periodicidade. p. 62

3.14 (a) Diagrama de bifurcacoes; (b) expoente de Lyapunov. . . . . . . . . . . . p. 63

4.1 Esquema de um par de osciladores Colpitts acoplados numa configuracao

mestre-escravo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

4.2 Sistema de dois pendulos: (a) pendulos conectados por uma haste, (b) pendulos

suspensos por suportes isolados, (c) pendulos compartilhando o mesmo suporte

de sustentacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

4.3 Sincronizacao dos circuitos mestre-escravo, plotando variavel de estado versus

tempo para os seguintes parametros de acoplamento: (a) = 0,05; (b) = 0,1. p. 72

4.4 Evolucao temporal do erro de sincronizacao considerando: (a) = 0, 05 e (b)

= 0, 089. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

4.5 Domnios sincronizados (regiao verde) no espaco de parametros no plano g.

A linha preta separa as regioes com e sem estabilidade local de sincronizacao,

obtida atraves dos expoentes de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74

4.6 Histograma dos intervalos de tempo transiente para um total de 104 diferentes

condicoes iniciais de x2 e x5 no intervalo de 0 a 0,001, onde consideramos

g = 2, 863, (a) = 0,086 (crculos vermelhos) e (b) = 0,09 (quadrados pretos). p. 76

4.7 Dimensionamento do transiente superpersistente pela variacao da forca de acopla-

mento g = 2,863 e c = 0,086. Cada ponto representa a media de mais de 100

diferentes condicoes iniciais de x2 e x5. A linha solida e o ajuste dos mnimos

quadrados com declividade 470, 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

4.8 Erro da media temporal de sincronizacao versus forca de acoplamento para

g = 2,863, A = 0,1 (crculos verdes), A = 0,5 (crculos vermelhos) e A = 1,0

(crculos pretos). Esses tres casos tem exatamente a mesma condicao inicial. . p. 80

4.9 Domnios sincronizados (regiao verde) considerando os mesmos parametros uti-

lizados na Figura 4.5 e com a adicao de um pequeno rudo A = 3 105. . . . p. 80

4.10 (a) versus A, onde os crculos pretos correspondem a M 104. (b) His-

tograma do tempo transiente considerando g = 2,863, = 1, A = 5 105

(crculos negros) e A = 6 105 (quadrados vermelhos). . . . . . . . . . . . p. 81

5.1 Partculas acopladas com seus vizinhos atraves de molas elasticas. . . . . . . p. 83

5.2 c(i)n x n. O tamanho da rede e N = 10, com K = 0, 01. (a) An = 9 para n

mpar e An = 10 para n par. (b) An = 10 para qualquer n e r = 108. . . . . p. 85

5.3 c(i)n x n. O tamanho da rede e N = 10, com K = 0, 01. A amplitude do

forcamento muda de An = 5 para An = 10 em intervalos regulares de tempo.

(a) r = 0 e (b) r = 108. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 88

5.4 Construcao de grafos aleatorios com 10 vertices e conectando-os com probabili-

dade (a) P = 0, (b) P 0, 1 e (c) P = 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

5.5 Modelo de mundo pequeno para z = 4 e N = 20. A rede passa de uma estrutura

regular para uma estrutura aleatoria com o aumento da probabilidade P . . . . p. 92

5.6 Rede regular e uma rede Newman-Watts produzida a partir dela. . . . . . . . p. 92

5.7 Variavel de curvatura media em funcao do tamanho de rede N para (a) P = 0, 1

e (b) P = 0, 7. (c) e (d) sao os desvios padrao correspondentes a (a) e (b),

respectivamente. Outros parametros sao An = 10, K = 0,01 e r = 3, 5 109. p. 96

5.8 Plano de parametros para a rede: as regioes brancas correspondem somente a

uma memoria permanente e as regioes em cinza correspondem a formacao de

multiplas memorias. (a) P r com K = 0,01. (b) P K com r = 109. Outros

parametros sao An = 10 e N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

5.9 c(i)(t) t, com 500 osciladores Colpitts, Vext = 0, = 0, Q = 1, 77, k = 0, 5,

F = 0, 996 e g = 2, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

5.10 c(i)(t) t, com 10 osciladores Colpitts, Vext = 0, 1 e = 0, 05. . . . . . . . . . p. 100

5.11 c(i)(t) t com = 0, 1 e Vext = 0, 1: (a) N = 10, (b) N = 100, (c) N = 150 e

(d) N = 200. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101

5.12 (a) cL t e (b) L t. = 0, 1, Vext = 0, 1, curva preta N = 10, curva vermelha

N = 100, curva verde N = 150 e curva azul N = 200. . . . . . . . . . . . . . p. 102

Lista de smbolos

C Capacitancia eletrica

q Carga do eletron

G0 Condutancia eletrica

z Conectividade mediaM(i) Conexoes aleatorias Constante de acoplamento dos circuitos eletricos

kb Constante de Boltzmann

F IE Corrente de emissao do diodo

IB Corrente eletrica da base

IC Corrente eletrica do coletor

IE Corrente eletrica do emissor

IL Corrente eletrica do indutor

IS Corrente eletrica de saturacao

I Corrente eletrica da ODC

L Desvio padrao da rede

k Divisor de tensao capacitivo

Expoente da escala algebrica

Expoente de Lyapunov

Erro da media temporal

Erro medio entre variaveis de estado

Q Fator de qualidade de ressonancia da rede

VCC Fonte de alimentacao

I0 Fonte de corrente eletrica

An Forcamento periodico externo

0 Frequencia de oscilacao

nexp Funcao caracterstica exponencial

nPWL Funcao caracterstica linear por partes

int{z} Funcao descontnuag Ganho da malha

F Ganho de corrente eletrica

L Indutancia eletrica

m Massa

Iij Matriz de conexao

xmax Maximo local

zi Numero de conexoes

N1 Numero de conexoes nao-locais

N Numero de partculas, circuitos, osciladores ou elementos conectados

P () Numero de trajetorias que apresentam movimento caotico

NT Numero total de conexoes

pc Parametro crtico do sistema

K Parametro de acoplamento ou constante elastica da mola

p Parametro do sistema

r Parametro que controla a nao-linearidade do sistema

A Perturbacao estocastica

Vext Perturbacao externa

Q0 Polarizacao da corrente eletrica

E Ponto de equilbrio

O Ponto de operacao

i Posicao dos mapas, nos, stios, osciladores, circuitos

j Posicao dos nos, stios, osciladores, circuitos escolhidos aleatoriamente

P Probabilidade

R Reostato de resistencia variavel

R Resistencia eletrica

RE Resistencia eletrica nao-linear

t

Tempo

t Tempo contnuo

n Tempo discreto

Tempo transiente

M Tempo transiente medio

V Tensao eletrica

Vin Tensao eletrica de entrada

Vout Tensao eletrica de sada

VBE Tensao eletrica na juncao BE

VCB Tensao eletrica na juncao CB

VCE Tensao eletrica na juncao CE

VC1 Tensao eletrica no capacitor C1

VC2 Tensao eletrica no capacitor C2

Vth Tensao limite

VT Tensao termica

A(i) Termo de acoplamento

T Transistor

c(i)n Variavel de curvatura

c(i)(t) Variavel de curvatura a tempo contnuo

cL Variavel de curvatura media da rede

x Variavel de estado

r(t) Variavel pseudo-aleatoria

v Velocidade da ODC

Lista de abreviaturas e siglas

AWGN Additive White Gaussian Noise

CB Base comum

BJT Bipolar Junction Transistor

BIBO Bounded Input Bounded Output

CC Coletor comum

CA Corrente eletrica alternada

CC Corrente eletrica contnua

EC Emissor comum

EDO Equacao diferencial ordinaria

EDP Equacao diferencial parcial

FET Field Effect Transistor

EXP Modelo exponencial

PWL Modelo linear por partes

ODC Ondas de densidade de carga

SPLD Semiplano lateral direito

SPLE Semiplano lateral esquerdo

SLIT Sistemas lineares invariantes no tempo

NbSe3 Trisseleneto de niobio

Sumario

1 Introducao p. 1

2 Equacoes diferenciais p. 7

2.1 Equacoes diferenciais lineares e nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

2.2 Sistemas dinamicos nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.2.1 Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.2.2 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.2.3 Atrator caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.3 Sistemas dinamicos espaco-temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

3 Oscilador Colpitts p. 30

3.1 Osciladores eletronicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3.2 Circuito eletrico e equacoes de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

3.2.1 Equacoes de estado normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

3.3 Comportamento Caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

4 Acoplamento mestre-escravo e superpersistente p. 65

4.1 Circuito eletrico acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

4.2 Sincronizacao caotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

4.3 Transiente caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

4.4 O efeito do rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

5 Memorias no oscilador Colpitts p. 82

5.1 Formacao de Memorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82

5.2 Memorias em uma rede com conexoes aleatorias . . . . . . . . . . . . . . p. 89

5.3 Memorias em uma rede de osciladores Colpitts . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

6 Conclusoes p. 103

Referencias p. 107

1

1 Introducao

Na atualidade sistemas dinamicos nao-lineares sao modelos matematicos para inu-

meros problemas na fsica, qumica, biologia, economia, engenharia e areas correlatas [1].

Estes sistemas dinamicos nao-lineares sao normalmente associados as equacoes diferenciais

nao-lineares. Escolhemos osciladores caoticos por nos proporcionar um campo gigantesco de

novos problemas para modelar, principalmente na area de engenharia de telecomunicacoes

e circuitos eletronicos, as quais necessitam do entendimento dos fenomenos nao-lineares

exibidos por certos osciladores eletronicos [2, 3].

Os sistemas dinamicos regidos por equacoes diferenciais que descrevem todo tipo

de processo que se desenvolve continuamente no tempo sao estudados desde o seculo XVIII

com os primeiros trabalhos de Isaac Newton usando uma abordagem baseada em meto-

dos geometricos [4]. Nos seculos seguintes numerosas tecnicas foram desenvolvidas para

encontrar solucoes para estas equacoes. Porem, quase todos esses metodos analticos fun-

cionavam basicamente para equacoes lineares. Os casos nao-lineares mostraram-se bem

mais difceis de serem resolvidos e analisados, uma vez que a dinamica nao-linear estuda

sistemas de equacoes de evolucao, onde o tempo e uma variavel independente [5].

Nesta epoca as solucoes eram limitadas e o comportamento assintotico do sistema

convergia para um ponto fixo, solucao periodica ou para uma solucao quase-periodica. Com

os trabalhos de Henry Poincare no classico problema dos tres corpos [6] da mecanica clas-

sica e utilizando os conceitos de variedade e analise qualitativas, Poincare mostrou que as

solucoes assintoticas destes problemas eram bem mais complexas do que solucoes conheci-

das na epoca, deste modo estava descoberto o que hoje chamamos de caos. Poincare perce-

beu que pequenas diferencas no estado inicial desses sistemas provocam grandes diferencas

no estado final, ou seja, caos ocorre num sistema determinstico quando seu comportamento

2

e aperiodico (irregular) e quando apresenta dependencia sensvel as condicoes iniciais [7].

Os sistemas dinamicos nao-lineares existem em abundancia na natureza e tem

sido amplamente estudados na comunidade cientfica devido a sua interdisciplinaridade e

aplicabilidade nas mais diversas areas cientficas. Na fsica aparecem em sistemas de baixa

dimensao [8], dinamica de populacoes com especies em competicao [9], redes neurais [10],

geracao de diferentes especies de planctons [11], redes de mundo pequeno [12], catalisacao de

reacoes qumicas [13], redes sem escala [14], pulsos de neuronios [15], ciclos de epidemias

[16], modelos climaticos [17] e sistemas eletricos e eletronicos [18, 19]. Esses sao alguns

exemplos, cujo comportamento pode ser modelado em sistemas nao-lineares.

A grande maioria destes sistemas nao pode ser resolvido analiticamente, dificul-

tando assim o seu estudo. Por isso e necessario analisa-los atraves de simulacoes numericas.

Estes sistemas apresentam caractersticas comuns, provenientes da nao linearidade, como

pontos de equilbrio instaveis e estaveis, comportamentos perodicos e caoticos, duplicacao

de perodo, caos transiente, dentre outros [2022]. Para o estudo desses tipos de sistemas

dinamicos, deve-se usar sistemas espacialmente estendidos [23], onde podemos ter: equacoes

diferenciais parciais, automatos celulares, redes de mapas acoplados e cadeia de osciladores

acoplados.

A ocorrencia de um comportamento caotico num sistema dinamico pode ser de-

sejavel ou indesejavel. No primeiro caso, podemos citar como exemplo as reacoes qumicas

onde a catalisacao das reacoes e acelerada no regime caotico ou para o favorecimento da

coexistencia de especies na natureza. Por outro lado, torna-se indesejavel em sistemas onde

a dinamica deve ser completamente previsvel, como o que ocorre em osciladores eletroni-

cos de frequencia. Deste modo, nestes casos e fundamental garantir a estabilibidade do

comportamento desses sistemas, para que cada um deles desempenhe com eficiencia seu

papel. Assim, o estudo da duplicacao de perodo, bifurcacoes, sincronizacao, formacao de

padroes de memorias e caos transiente num sistema dinamico, sao temas de alta relevancia.

Primeiramente verificamos o comportamento caotico em osciladores eletricos pro-

posto por Michael P. Kennedy, Oscar De Feo e Gian M. Maggio [19, 24], essas referencias

utilizaram o oscilador Colpitts [25], que e um dos osciladores usados em eletronica para apli-

cacoes em frequencias de radio. Com este oscilador buscamos estudar o comportamento

3

caotico atraves de um sistema contendo tres equacoes diferenciais autonomas de tempo

contnuo, contendo um indutor linear, dois capacitores lineares, duas resistencias lineares,

duas fontes de tensao independentes, uma fonte de corrente linear controlada e uma re-

sistencia nao-linear de tensao controlada. O resistor nao-linear tem caractersticas de um

modelo linear por partes (PWL - Piece Wise Linear), que permite modelar elementos de

caractersticas nao-lineares, aproximando a caracterstica real da tensao versus corrente do

elemento nao-linear para uma curva linearizada. Conforme for a escolha dos parametros,

este modelo exibe cascata de duplicacao de perodo ou comportamento caotico [26].

Estudando o oscilador Colpitts, procuramos desenvolver a mesma rotina computa-

cional proposta por Kennedy, Feo e Maggio [19,24] com objetivo de verificar a simplicidade

do modelo e se o mesmo apresenta ou nao comportamento caotico. Confirmamos o que era

esperado, ou seja, o modelo do oscilador Colpitts funciona muito bem e como descrito nas

referencias, exibe a duplicacao de perodo e comportamento caotico.

Para evidenciar a funcionalidade e o comportamento caotico no oscilador Colpitts,

realizamos o acoplamento entre dois osciladores Colpitts sendo um mestre e o outro escravo,

buscando o controle e sincronismo entre os circuitos [26]. A dinamica caotica traz ca-

ractersticas interessantes sobre o oscilador Colpitts, especialmente na comunicacao segura

dos dados [27, 28]. Na atualidade, a maioria dos trabalhos em sistemas de comunicacao

caotica e baseada em sincronizacao caotica numa estrutura mestre-escravo, de modo que

o sistema escravo e impulsionado atraves de um sinal derivado do sistema mestre [29, 30].

Diversas areas de telecomunicacoes e processamento de sinais nao sao excecao para esta

aplicacao, especialmente apos os trabalhos de Louis Pecora e Thomas Carroll [29]. A

aplicacao caotica para estes casos vai desde a modulacao analogica e digital, criptografia,

geracao de sequencias pseudo-aleatorias, marcas dagua digitais, entre muitos outros [31,32].

Os sistemas propostos funcionam muito bem em ambientes ideais, embora a pre-

senca de rudos e distorcoes no canal de comunicacao entre os circuitos trazem resultados

insatisfatorios quando a sincronizacao caotica e utilizada [33], na maioria dos casos ocasio-

nada devido a sensvel dependencia as condicoes iniciais que caracterizam o comportamento

caotico [3436]. Alguns trabalhos mostram que, quando existe um rudo aditivo no circuito,

ocorre um erro de sincronizacao, que muitas vezes interrompe a comunicacao entre os cir-

cuitos [37].

4

Deste modo, investigamos numericamente um modelo de acoplamento entre os-

ciladores Colpitts [38] de modo que ocorra o sincronismo entre os circuitos e a informacao

passada entre os circuitos seja mais robusta e eficaz ao rudo entre o sistema mestre e o

escravo utilizando para isso um sistema de equacoes diferenciais [33]. O tempo para atingir

a sincronizacao entre os circuitos, depende fortemente das condicoes iniciais, algumas delas

responsaveis por transientes muito longos [38].

Um comportamento transiente e descrito como o tempo necessario ate o sistema

chegar a uma solucao que nao varia com o tempo, ou seja, um atrator. E o estado que

o sistema adquire nos instantes iniciais de desenvolvimento, e nao reflete o verdadeiro

comportamento do sistema que sera distinto passado um certo intervalo de tempo. Caos

transiente e utilizado para descrever respostas com caractersticas caoticas, mas que se

tornam periodicas apos um perodo de tempo [39]. Assim, transcorrido um perodo de

tempo, as orbitas deixam a regiao caotica, estabelecendo um comportamento periodico ou

quase-periodico.

No caos espaco-temporal e comum ocorrer transientes longos e quando o tempo

para alcancar o atrator e muito grande, fica caracterizado o supertransiente [23, 40, 41].

Na classe de sistemas que desenvolvem caos espaco-temporal, a duracao do transiente

ate a aproximacao com um atrator aumenta exponencialmente com o tamanho do sistema.

Certas combinacoes de condicoes iniciais podem recair sobre uma variedade caotica estavel,

necessitando assim de um grande numero de iteracoes para se afastar dessa variedade e se

aproximar de um atrator do sistema [40].

Em sistemas dinamicos de alta dimensao o comportamento transiente passa a ser

chamado de supertransiente, como o que ocorre num fluido dinamico turbulento. Por outro

lado, quando o sistema e de baixa dimensao usa-se o termo transiente superpersistente [42].

Esse e o caso, por exemplo, do sistema estudado nessa tese [38], que e composto por dois

osciladores Colpitts acoplados, que tem seis dimensoes. Este tipo de transiente caotico

foi descoberto em 1983 por Grebogi, Ott e Yorke [43], sao acionados por uma bifurcacao

de dois pontos fixos instaveis, onde uma orbita periodica instavel no limite de um atrator

caotico colide com outra orbita periodica instavel que pre-existe fora do conjunto. Devido

a coalescencia do par de pontos fixos instaveis, estes transientes caoticos tem uma duracao

extraordinariamente longa.

5

Certos sistemas dinamicos nao-lineares com muitos graus de liberdade, quando

submetidos a uma perturbacao externa que pode ser um potencial eletrico, uma colisao,

entre outros, armazenam a informacao por um tempo transiente e podem devolve-la nova-

mente ao sistema dinamico, caracterstica esta denominada de memoria. Caso o sistema

sincronize, dizemos que a memoria e zero e quando o sistema nao sincroniza aparecem

multiplas memorias. Para explicar a formacao de padroes de memorias, Coppersmith e co-

laboradores [44] usaram uma rede de mapas acoplados para simular o efeito das memorias de

curta duracao em experiencias de ondas de densidade de carga (ODC) nas quais sequencias

de pulsos eletricos periodicos sao aplicados em ceramicas semicondutoras de trisseleneto

de niobio NbSe3. Neste trabalho a rede de mapas acoplados descreve a dinamica de uma

cadeia de partculas acopladas por molas em um potencial externo periodico [45].

Para a analise da formacao de memorias de curta duracao consideramos inicial-

mente uma rede de mapas acoplados e na sequencia osciladores Colpitts acoplados [26].

Propomos uma rede de osciladores Colpitts acoplados com conexoes entre os osciladores

vizinhos e algumas conexoes aleatorias nao-locais [45] obtidas a partir do processo de

Newman-Watts [46]. Definimos apropriadamente uma quantidade (variavel de curvatura)

para caracterizar os padroes memorizados e descrever a dinamica dos osciladores Colpitts

acoplados.

O trabalho foi segmentado da seguinte forma:

No Captulo 2 discorremos sobre equacoes diferenciais lineares e nao-lineares,

introduzindo alguns conceitos basicos relacionados a fluxos, onde a variavel de estado e

o tempo sao contnuos e o espaco e discreto. Este captulo aborda temas como sistemas

dinamicos nao-lineares, classificacao dos atratores, expoente de Lyapunov e atrator caotico.

No Captulo 3 investigamos os osciladores eletronicos, mostrando a condicao de

oscilacao em termos da teoria linear, condicao de estabilidade do sistema, modelo de reali-

mentacao e calculo da frequencia. Definimos os elementos constituintes do circuito eletrico

no oscilador Colpitts bem como suas equacoes de estado e verificamos o comportamento

caotico atraves da duplicacao de perodo de Feigenbaum, do diagrama de bifurcacoes e do

expoente de Lyapunov.

No Captulo 4 analisamos o acoplamento entre osciladores Colpitts numa configu-

6

racao mestre-escravo, buscando verificar se ocorre ou nao a sincronizacao caotica em funcao

dos parametros dos circuitos acoplados. Verificamos a sincronizacao caotica em termos do

tempo transiente para diferentes condicoes iniciais, mostrando a existencia de transientes

superpersistentes e adicionamos um rudo no canal de conexao entre os circuitos mestre-

escravo.

No Captulo 5 investigamos a formacao de memorias em uma rede de mapas

acoplados, com um acoplamento do tipo local, que modela N partculas conectadas por

molas elasticas sujeitas a perturbacoes periodicas externas. Estudamos os padroes de

memorias formadas, bem como os parametros do sistema que influenciam o tempo tran-

siente necessario para formacao desses padroes. Analisamos a formacao de memorias em

rede do tipo mundo pequeno com conexoes aleatorias nao-locais obtidas a partir do pro-

cesso de Newman-Watts, analisando a probabilidade das conexoes de termos ou nao multi-

plas memorias em funcao dos parametros da rede, como por exemplo, controle da nao-

linearidade, constante de acoplamento e tamanho da rede. Na secao seguinte, analisamos a

formacao de memorias numa rede de osciladores Colpitts acoplados em funcao do acopla-

mento entre os osciladores, de uma perturbacao externa e da quantidade de osciladores

Colpitts acoplados.

No Captulo 6 apresentamos as conclusoes deste trabalho bem como as sugestoes

para os trabalhos futuros.

7

2 Equacoes diferenciais

O nascimento da ciencia moderna como conhecemos deu-se com Isaac Newton

(1642-1727) e Galileu Galilei (1564-1642) [7], buscando compreender a realidade a nossa

volta, levando-se em conta a observacao precisa dos fenomenos, a elaboracao de teorias

quantitativas e o teste rigoroso dessas teorias. Para que tudo isso ocorresse foi necessario

a elaboracao de uma nova matematica, o Calculo Diferencial, levando em conta o conceito

de derivada, que desempenha na ciencia moderna um papel analogo ao que a Geometria

Euclidiana teve na Astronomia Ptolomaica, a mais moderna das ciencias antigas. Deste

modo as descricoes quantitativas dos fenomenos que evoluem no tempo sao adequados

para este novo ferramental matematico, e com ele as leis que regem a Fsica passam a ser

formuladas atraves de equacoes diferenciais [47].

Atualmente as equacoes diferenciais vem desempenhando um papel muito impor-

tante nas areas de engenharia e ciencias exatas, onde se estudam sistemas de equacoes de

evolucao, ou seja, equacoes onde o tempo e uma variavel independente. Inumeros problemas

conduzem a uma ou varias equacoes diferenciais que deverao ser resolvidas. Basicamente

as equacoes diferenciais dividem-se em lineares e nao-lineares. Para resolver as equacoes

diferenciais lineares existem tecnicas analticas cujas solucoes gerais permitem determinar

o comportamento futuro do sistema descrito de forma exata, em funcao do estado atual do

sistema. Ja as equacoes diferenciais nao lineares sao mais difceis de analisar, pois essas

solucoes exatas, de modo geral, nao existem numa forma fechada. O estudo de proble-

mas nao-lineares possui duas abordagens distintas. Uma abordagem e qualitativa e tem

como principal objetivo entender o comportamento global de um dado sistema dinamico,

e a outra abordagem e quantitativa e procura analisar a evolucao do sistema ao longo do

tempo.

8

A grande variedade de problemas que podem ser analisados com maior facilidade

sao os sistemas que conduzem a equacoes lineares. Entretanto com o desenvolvimento dos

computadores, a partir da segunda parte do seculo XX, tem sido possvel resolver proble-

mas nao-lineares usando metodos numericos. Estes sistemas permitem estudar muitos feno-

menos interessantes e complicados que nao aparecem em sistemas lineares, como por exem-

plo, quando estudamos a evolucao temporal de sistemas dinamicos descritos por equacoes

nao-lineares: orbitas periodicas e quase-periodicas, ciclos-limite, transiente e caos [5].

Um sistema e dinamico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos

constituintes variam no tempo. Os sistemas dinamicos descrevem o comportamento futuro

(ou passado) de um sistema tpico, determinando as equacoes de suas trajetorias tpicas.

Busca-se compreender quando o comportamento dinamico do sistema e estavel, ou seja,

quando o sistema permanece qualitativamente o mesmo ou se o sistema sofre pequenas

perturbacoes. Um dos maiores desafios e compreender o fenomeno da sensibilidade com

respeito as condicoes iniciais, ou comportamento caotico de um sistema, o que torna a

evolucao do sistema imprevisvel em termos das trajetorias individuais. Outro ponto im-

portante e o estudo de mudancas qualitativas drasticas de uma famlia de sistemas quando

estes, por exemplo, passam por uma bifurcacao [48].

Os sistemas dinamicos dividem-se em duas grandes categorias, de acordo com o

tipo de variavel que designa o tempo. Na primeira categoria temos os mapas ou equacoes

a diferencas, onde o tempo e uma variavel discreta, ou seja, so assume valores inteiros

t = 0, 1, 2, .... Um mapa descreve a evolucao no tempo de um sistema dinamico expressando

o seu estado a partir do instante anterior, evoluindo portanto, de forma discreta. Uma das

principais utilizacoes dos mapas e auxiliar na analise de sistemas dinamicos, no estudo de

formacao de padroes e no estudo do caos [20]. De modo geral um mapa N-dimensional e

expresso por:

x1(t) = f1[x1(t1), ..., xN(t1)],...

xN(t) = fN [x1(t1), ..., xN(t1)],

(2.1)

onde (x1, ..., xN) sao as variaveis dependentes do tempo, e f1, ..., fN sao as funcoes arbi-

trarias destas variaveis. Como exemplo, podemos citar o mapa logstico (mapa unidimen-

sional) e o mapa de Henon (mapa bidimensional) [49].

9

A segunda categoria de sistemas dinamicos sao os chamados fluxos ou equacoes

diferenciais, onde o tempo e uma variavel contnua [20]. Costuma-se escrever os fluxos

como sistemas de equacoes diferenciais de primeira ordem em relacao ao tempo:

x1 = f1(x1, ..., xN),...

xN = fN(x1, ..., xN),

(2.2)

onde xi dxi/dt, (x1, ..., xN) sao as variaveis dependentes do tempo e f1, ..., fN sao asfuncoes arbitrarias destas variaveis e sao chamadas de fluxo N-dimensional. Como exemplo,

podemos citar as equacoes de movimento para uma partcula deslocando-se ao longo do

eixo x (fluxo bidimensional), o sistema de Lorenz (fluxo tridimensional) e o problema geral

de N corpos (fluxo 6N-dimensional) [5].

As equacoes diferenciais sao objetos de intensa atividade de pesquisa, pois apre-

sentam muitos aspectos puramente matematicos e um grande leque de aplicacoes, alem de

apresentarem diversas ramificacoes. Neste contexto cabe evidenciar as equacoes diferenciais

ordinarias (EDO), equacoes estas que apresentam apenas derivadas ordinarias em relacao

a uma variavel independente, geralmente denotada por t, que muitas vezes representam

o tempo. Caso contrario, equacoes que envolvem derivadas em mais de uma variavel sao

chamadas de equacoes diferenciais parciais (EDP). Uma solucao de uma EDO e uma funcao

da forma x(t), que em geral representa alguma quantidade fsica que muda com o tempo.

Deste modo, a variavel x pode ser considerada uma variavel dependente [21]. As equacoes

diferenciais ordinarias apresentam-se em dois tipos:

Autonomas, onde a variavel temporal t nao aparece explicitamente nas funcoes deentrada da equacao diferencial;

Nao-autonomas, a variavel temporal t aparece explicitamente em algum coeficienteou em alguma funcao de entrada na equacao diferencial.

Em sistemas dinamicos determinsticos, as equacoes diferenciais autonomas sao

equacoes que basicamente definem a evolucao da variavel de estado x, a partir de um estado

inicial x0, denotada por equacao de evolucao. Ja as equacoes nao-autonomas podem ser

escritas como um sistema autonomo, definindo uma nova variavel y dependente e igual a t.

10

Ainda cabe ressaltar a ordem de uma equacao diferencial, que e a derivada mais alta que

ocorre na equacao [21]. Vamos comecar discutindo equacoes diferenciais de primeira ordem

em sistemas lineares e nao-lineares, em que ocorrem apenas derivadas da primeira variavel

dependente. Na sequencia abordaremos as equacoes diferenciais em mais de uma dimen-

sao atraves de sistemas de equacoes diferenciais nao-lineares, as quais serao de extrema

importancia para este trabalho, visto que, se existem duas ou mais funcoes que devem ser

determinadas, precisamos de um sistema de equacoes.

2.1 Equacoes diferenciais lineares e nao-lineares

Ao estudarmos equacoes diferenciais deparamos com a dimensao de uma equacao

diferencial que se refere ao numero de variaveis dependentes que temos na equacao. Quando

uma variavel x e funcao da variavel independente t temos uma equacao diferencial linear

expressa por x, sendo a taxa de variacao instantanea de x em relacao ao t, em termos do

estado atual x do sistema. Como exemplo, temos a equacao

x dxdt

= ax, (2.3)

onde x e uma funcao escalar de t, a e uma constante real e x indica a taxa de variacao

instantanea em relacao ao tempo. Quando a > 0 temos um simples modelo de crescimento

populacional quando a populacao e pequena. A taxa dx/dt em que a populacao cresce e

proporcional ao tamanho x da populacao.

A Equacao diferencial (2.3) tem uma famlia de solucoes, dadas por x(t) = ceat,

onde c e um numero constante real. Substituindo t = 0, temos x(0) = c. O numero

x0 = x(0) e o valor inicial da funcao x. Entao a solucao do problema de valor inicial

x0 = x(0) juntamente com a EDO em (2.3) e dada por

x(t) = x0eat. (2.4)

Na Figura 2.1 temos as famlias de todas as solucoes da Equacao diferencial (2.3),

para varias condicoes iniciais x0. Cada escolha de valor inicial x0, nos fornece uma solucao.

Este e um retrato de solucoes da equacao diferencial chamado de fluxo F . O fluxo F

11

representa o conjunto de solucoes e deste modo, F (t, x0) e o valor no tempo t da solucao

de valor inicial x0. Certas solucoes da Equacao (2.3) se destacam mais que outras, por

exemplo, quando x0 = 0 a sua solucao e uma funcao constante x(t) = 0, denotada por

x 0 e e chamada de equilbrio da equacao. Ainda na Figura 2.1 representamos o retratode fase, quando o eixo-t e suprimido, mostrando que os valores de x divergem para a > 0

e convergem quando a < 0.

Figura 2.1: Famlia de solucoes para x = ax. (a) a > 0: crescimento exponencial; (b) a < 0decaimento exponencial; (c) espaco de fase.

FONTE: Adaptada de [21], paginas 276 e 278.

Por outro lado, a Equacao (2.3) deixa de ser um modelo adequado para grandes

populacoes x porque ignora os efeitos da superlotacao, que sao modelados por termos

nao-lineares. Estudos de Thomas Malthus em seu livro Ensaio sobre o Princpio da Po-

pulacao [50], publicado em 1798, relacionava a populacao de uma geracao com a populacao

de uma nova geracao [16], com base na suposicao de que a populacao aumentava progressi-

vamente na dependencia de um fator de crescimento que seguia uma progressao geometrica,

enquanto que os meios de subsistencia aumentavam em uma progressao aritmetica de forma

bem mais lenta, concluindo que em breve nao haveria alimento para todos.

Preconizando o controle da procriacao, Pierre-Francois Verhulst em 1838 inseriu o

conceito de fatores inibidores, sugerindo que a taxa de crescimento de uma populacao, nao

seria constante mas aumentaria de uma maneira exponencial com o passar do tempo. Deste

modo, a taxa de crescimento da populacao, pode ser modelada por uma funcao nao-linear,

12

aqui chamada de funcao logstica da populacao. A equacao diferencial

x = ax(1 x), (2.5)

onde a e uma constante positiva, e chamada de equacao diferencial logstica. Quando x se

aproxima de 1, a populacao esta no limite e a taxa de aumento da populacao vai para zero.

Fazendo x igual a 0 na Equacao (2.5) teremos duas solucoes de equilbrio, x 0e x 1. Na Figura 2.2 e mostrado o fluxo de solucoes da Equacao (2.5). Para cadacondicao inicial x0 ha uma unica curva de solucao que denotamos por F (t, x0) que satisfaz

simultaneamente a equacao diferencial e a condicao inicial x0. A curva de solucao F (t, x0)

pode ou nao ser definida para tempos futuro [21]. Quando x 1 as solucoes de equilbriosao assintoticas, para todo intervalo de tempo t, por outro lado, quando x0 < 0 as solucoes

explodem num tempo finito, isto e, elas tem uma solucao assintotica para alguns valores

de tempo finitos, visto que nao tem sentido falar em populacoes negativas.

Figura 2.2: Solucoes para a Equacao diferencial logstica (2.5). (a) Quando a condicao inicial forpositiva as curvas de solucao tendem para x = 1 a medida que t aumenta e quando a condicaoinicial e negativa as curvas divergem; (b) espaco de fase.

FONTE: Adaptada de [21], pagina 279.

As setas na Figura 2.2(b) indicam as direcoes das solucoes para perto ou para

longe do ponto de equilbrio, evidenciando o comportamento assintotico destas solucoes. O

retrato de fase da Equacao diferencial logstica (2.5) e mostrado na Figura 2.2(b). As setas

13

no retrato de fase mostram o sinal da derivada (positiva ou negativa) para os pontos que

sao maiores ou menores que os valores de equilbrio. Em equacoes diferenciais autonomas

unidimensionais, o retrato de fase fornece toda a informacao importante sobre as solucoes.

Quando as condicoes iniciais propostas sao positivas as curvas das solucao convergem para

x = 1 a medida que o tempo aumenta (t ) e quando as condicoes iniciais sao ne-gativas as curvas divergem (t ). Uma solucao para estes equilbrios e chamado deatrator ou dissipador se as trajetorias de condicoes iniciais proximas convergem para ele.

E sera chamado de repulsor ou fonte se as solucoes atraves das condicoes iniciais proximas

divergem a partir dele. Deste modo, na Equacao (2.3), x 0 e um atrator para a < 0 eum repulsor para a > 0. Enquanto que na Equacao (2.5), x 0 e um repulsor e quandox 1 e um atrator.

Ao estudarmos equacoes diferenciais que governam uma serie de problemas fsicos,

e para que a solucao destas equacoes tenham solucao unica, suas funcoes e suas derivadas

devem ser contnuas no domnio de definicao destas funcoes [7]. Se estas condicoes sao

satisfeitas, existe um teorema que garante a existencia e a unicidade das solucoes a partir

de qualquer condicao inicial pertencente a esse domnio e que seja dependente dos dados

presentes no problema. Logo, nos deparamos com as seguintes propriedades:

Existencia: cada ponto no plano (t, x) tem uma solucao que passa atraves dele, estasolucao tem inclinacao dada pela equacao diferencial naquele ponto;

Unicidade: o problema tem, no maximo, uma solucao;

Dependencia Contnua: a solucao depende continuamente dos dados que estao pre-sentes no problema, logo o fluxo F (t, x0) e uma funcao contnua de x0 e t.

Nesta secao, estuda-se as equacoes diferenciais nas quais a quantidade aumenta

ou diminui em uma maneira monotonica, alcancando um ponto fixo quando o tempo e

aumentado. No mundo real estas quantidades podem oscilar para acima ou abaixo de

maneira regular ou irregular. As equacoes diferenciais unidimensionais (uma unica variavel

de primeira ordem e a primeira derivada) nao podem produzir este tipo de oscilacao, logo

torna-se necessario o entendimento de equacoes diferenciais em mais de uma dimensao.

14

2.2 Sistemas dinamicos nao-lineares

Os sistemas dinamicos podem ser lineares ou nao-lineares. As diferencas entre

os sistemas dinamicos lineares e nao-lineares sao bem ntidas. Os sistemas lineares sao

aqueles em que, de forma geral, o movimento se apresenta previsvel, regular e tendo

como caracterstica matematica a possibilidade da aplicacao do princpio de superposicao,

isto e, duas de suas solucoes podem ser somadas para formar uma terceira, que estara

correta. Ja para os sistemas ditos nao-lineares essas caractersticas nao se aplicam. Seu

comportamento ao longo do tempo nao pode ser previsto e o princpio de superposicao nao

pode ser usado para inferir outras solucoes, apresentando-se assim como nao-periodico,

irregular ou aleatorio.

Como vimos, o fluxo em espacos de fase unidimensionais e extremamente limitado,

ou seja, todas as trajetorias sao forcadas a mudar monotonicamente ou permanecerem

constantes. Entretanto, em espacos de fase de dimensoes superiores, as trajetorias tem

muito mais espaco para evoluirem, e assim uma maior diversidade de comportamentos

dinamicos aparecem [20].

Varios fenomenos podem ser modelados por sistemas dinamicos lineares, com

precisao adequada as aplicacoes e por meio de um processo de linearizacao, de modo que

se pode realizar um estudo local de sistemas dinamicos nao-lineares atraves da analise

do sistema linear associado [7]. Como os fenomenos na natureza sao essencialmente nao-

lineares, sua descricao ou analise sera melhor descrita atraves de modelos e tecnicas nao-

lineares. Deste modo, neste trabalho destacaremos o estudo de sistemas dinamicos nao-

lineares.

Em sistemas dinamicos nao-lineares, a dinamica do sistema concentra-se nos com-

portamentos a longos perodos do sistema que esta sendo estudado. O comportamento

futuro a pequenos tempos, normalmente, pode ser facilmente obtido por solucao numerica

(computacional) das equacoes de evolucao. Os problemas nao-lineares possuem duas abor-

dagens distintas. Uma abordagem e qualitativa e tem como principal objetivo entender o

comportamento global de um dado sistema dinamico, ou seja, estamos interessados em estu-

dar propriedades gerais, como equilbrio, estabilidade, tipos de convergencia ou divergencia,

etc. A outra abordagem e quantitativa e procura analisar a evolucao do sistema dinamico

15

no tempo.

O campo de aplicacoes de sistemas dinamicos nao-lineares e muito extenso pois

abrange qualquer sistema fsico, biologico, qumico, etc. que possa ser descrito por equacoes

de evolucao. Na Fsica, por exemplo, a dinamica de partculas e corpos rgidos apresenta

uma serie de exemplos interessantes de sistemas dinamicos nao-lineares. As equacoes que

descrevem circuitos eletricos com componentes nao-lineares, como diodos e transistores,

tambem aparecem em estudos de sistemas dinamicos nao-lineares [5].

Para obtermos uma solucao analtica do sistema e, portanto, determinar a sua

solucao, devemos desprezar os termos que introduzem a nao-linearidade do sistema e ex-

pandir em serie de potencias o sistema de equacoes diferenciais. Ao fazermos isso, estamos

linearizando o sistema fazendo a analise linear ou local para a regiao limitada ao redor do

ponto onde a expansao esta sendo feita. Logo, a topologia do sistema pode ser, localmente,

determinada pela analise linear.

Ao mencionarmos a topologia de um sistema dinamico, estamos interessados em

saber como se comporta o fluxo desse sistema. Os sistemas dinamicos podem ser con-

servativos (Hamiltonianos) ou dissipativos em relacao a topologia do sistema. No caso

de sistemas Hamiltonianos, a topologia e caracterizada pelo surgimento de ilhas e regioes

caoticas no espaco de estado, e, em sistemas dissipativos, pela formacao de estruturas

atrativas que podem ser regulares ou caoticas [7].

A forma e a localizacao com que o fluxo se desenvolve esta diretamente ligado

a um conjunto de invariantes do sistema que sao responsaveis pela formacao de atratores

e, tambem, por comportamentos divergentes. Para definir o comportamento caotico em

sistemas dinamicos, um dos criterios utilizados sao os expoentes de Lyapunov que avaliam

a sensibilidade as condicoes iniciais, verificando a divergencia exponencial no tempo de

trajetorias vizinhas.

2.2.1 Atratores

O comportamento assintotico e tpico dos sistemas dissipativos e e caracterizado

pela existencia de regioes limitadas no espaco de fase, chamadas de atratores, para as

16

quais as trajetorias convergem [7]. Um atrator e um conjunto de valores no espaco de fase

para o qual o sistema migra com o tempo (se a funcao for contnua) ou por iteracoes (se

a funcao for discreta), ou seja, o estado no qual um sistema dinamico eventualmente se

estabiliza. Um atrator pode ser um unico ponto fixo, uma colecao de pontos regularmente

visitados, uma orbita complexa, ou um numero infinito de pontos. Ele nao precisa ser uni ou

bidimensional, e pode ter tantas dimensoes quanto o numero de variaveis que influenciam

o seu sistema [21].

De modo simplificado, o atrator e uma figura geometrica que representa o compor-

tamento assintotico do sistema, num espaco de fase formado pelas variaveis que caracteri-

zam a evolucao do sistema. Sua bacia de atracao e definida como sendo o maior conjunto

de pontos nesse espaco tais que, partindo de um desses pontos, tende-se assintoticamente

para o atrator, deste modo, um atrator captura todas as orbitas que iniciam-se na sua

bacia de atracao e um repulsor e um ponto no espaco fase de onde um sistema se afasta,

pois a cada nova iteracao a orbita se afasta ou e repelida do ponto fixo.

Ao trabalharmos com atratores podemos classifica-los como estruturais ou pon-

tuais. Os atratores estruturais sao formados por orbitas periodicas estaveis e atratores

caoticos, ja os atratores pontuais sao os pontos fixos estaveis. Para que a solucao exista e

seja periodica, e necessario pelo menos um ponto fixo instavel, como e o caso do sistema

de Van der Pol [22,51]. Para a formacao de um atrator caotico, sao necessarios pelo menos

dois pontos fixos instaveis, como e o caso do atrator de Rossler [3,22]. Se o sistema possuir

tres pontos de equilbrio, onde dois deles funcionam como atratores, de modo que algumas

orbitas do espaco de fase sao capturadas por um ou outro ponto, temos o que ocorre no

oscilador de Duffing [20,21].

Os atratores mais comuns sao conhecidos como:

Ponto fixo (pontual) ou ponto de equilbrio: a trajetoria do sistema converge paraum ponto e la permanece indefinidamente. A solucao nesse comportamento dinamico

e independente do tempo e tem dimensao zero;

Ciclo-limite: a trajetoria converge para uma curva fechada, descrevendo um com-portamento periodico no tempo, com amplitude e perodo determinados pela forma

das equacoes e pelos valores de seus parametros e tem dimensao 1 (uma frequencia

17

fundamental);

Atrator estranho: o atrator apresenta detalhes em escalas infinitesimalmente peque-nas. Possui dimensao fracionaria e uma figura com essa caracterstica e chamada de

fractal;

Superfcie toroidal: representa um regime periodico ou quase-periodico, com duasfrequencias fundamentais independentes;

Caotico: apresenta uma divergencia media do tipo exponencial entre duas trajetoriasmuito proximas quando houver dependencia sensvel das condicoes iniciais.

Na Figura 2.3(a) temos o atrator pontual e na Figura 2.3(b) o atrator ciclo-limite

cujas formas geometricas sao simples com dimensao nula ou inteira. Suas trajetorias in-

dicam que o fluxo converge para o atrator pontual (a) e periodico em (b) onde as trajetorias

sao fechadas no espaco de fase para a qual as orbitas vizinhas se aproximam em espiral. Por

outro lado, quando existem duas ou mais frequencias, as trajetorias correspondentes re-

pousam sobre uma superfcie toroidal e jamais se fecham, descrevendo um movimento que e

chamado quase-periodico, Figura 2.3(c). Por sua vez, atratores com propriedades geometri-

cas complexas sao conhecidos como atratores caoticos, Figura 2.3(d) e para caracteriza-los

quantitativamente, medimos a sua dimensao e caso sua dimensao seja nao inteira estes sao

chamados de fractais [52]. Num atrator caotico as orbitas nunca fecham mas se mantem

confinadas numa dada regiao do espaco. Este tipo de atrator sera melhor abordado na

secao 2.2.3.

Tambem podemos quantificar um atrator atraves do expoente caracterstico de

Lyapunov ou numero de Lyapunov [51,53,54]. Esta medida esta baseada na sensibilidade

as condicoes iniciais dos sistemas dinamicos, evidenciando consequencias praticas, uma vez

que pequenos desvios nas condicoes iniciais estao sempre presentes, devido em grande parte

a existencia de rudo experimental ou por imprecisoes inerentes. Os expoentes de Lyapunov

medem a taxa de divergencia exponencial em trajetorias vizinhas muito proximas, como

por exemplo, x1(t) e x2(t) que evoluem ao longo do tempo de modo a produzirem orbitas

x1(t+t) e x2(t+t), conforme a Figura 2.4, onde a dinamica caotica do sistema faz

com que as duas curvas inicialmente proximas afastem-se e que serao melhor discutidos na

18

secao 2.2.2.

Figura 2.3: Atratores: (a) ponto fixo, (b) ciclo-limite, (c) superfcie toroidal e (d) atrator caotico.

FONTE: O autor.

Figura 2.4: Ilustracao da divergencia de duas condicoes iniciais proximas.

x

x1

2x

1

x2(t)

(t)

(t + t)

(t+ t)

FONTE: O autor.

O comportamento caotico e caracterizado pela existencia de, pelo menos, um dos

expoentes de Lyapunov positivo. Para situacoes em que temos mais de um expoente de

Lyapunov positivo fica caracterizado o hipercaos [55]. Atratores caoticos podem possuir

dimensao fractal mas existem alguns atratores com dimensoes fractais que nao apresentam

nenhum expoente de Lyapunov positivo e, deste modo, nao sao caoticos [56]. Portanto, o

termo caos reflete a sensibilidade as condicoes iniciais de um sistema, e o termo estranho,

a geometria do atrator.

19

2.2.2 Expoente de Lyapunov

No final do seculo XIX, Lyapunov elaborou um metodo para quantificar a de-

pendencia sensitiva as condicoes iniciais [21], ou seja, o caos, atraves dos expoentes de

Lyapunov [53, 54]. Atualmente este metodo e a forma mais utilizada para verificar se

o comportamento dinamico do sistema e caotico ou nao. Em equacoes diferenciais, a

existencia de conjuntos caoticos pode ser demonstrada analiticamente pelo teorema de

Shilnikov [20], o qual diz que deve existir uma orbita homoclnica no sistema, tal que sua

orbita e formada pela fusao da variedade instavel e estavel de um ponto fixo, de modo

que, as trajetorias comecem e terminem no mesmo ponto fixo. Entretanto, sao raros os sis-

temas que permitem a determinacao analtica dos expoentes de Lyapunov, sendo necessario

determina-los numericamente.

Henry Poincare em seu trabalho classico para o problema dos tres corpos [6], uti-

lizando conceitos de variedade e analises qualitativas, mostrou que as solucoes assintoticas

do problema eram mais complexas do que as tres possibilidades conhecidas na epoca. O

metodo inovador de analise, baseia-se em ummapa de duas dimensoes que relaciona o cruza-

mento da trajetoria num plano adequadamente definido com o cruzamento subsequente no

mesmo sentido relativo [57]. Poincare, verificou a existencia de possveis movimentos e es-

tabilidades associadas. Alem disso, introduziu o conceito de variedades instavel e estavel,

ou seja, curvas especiais cujo entendimento permite caracterizar movimentos associados

a diferentes trajetorias. Poincare determinou que variedades de diferentes tipos podem

cruzar entre si, gerando os pontos homoclnicos que implicam a existencia de movimentos

estaveis altamente complexos, movimentos estes conhecidos como caoticos.

A imprevisibilidade da trajetoria ao longo do tempo esta relacionada ao termo

trajetoria caotica, uma vez que o sistema apresenta sensibilidade as condicoes iniciais. Va-

mos supor dois pontos num espaco de fase de tres dimensoes, inicialmente bem proximos,

como o que pode ser visto na Figura 2.4. Em trajetorias caoticas de um atrator, essas tra-

jetorias vao se separar exponencialmente com o tempo, ate que num determinado instante

estarao percorrendo trajetorias completamente distintas que jamais vao se cruzar, do ponto

de vista local, mas que, globalmente, estarao presas ao atrator. Para medir a taxa media

da divergencia exponencial das trajetorias, de modo a quantificar a dependencia sensitiva

20

as condicoes iniciais utilizam-se os expoentes caractersticos de Lyapunov ou numero de

Lyapunov.

Definindo geometricamente os expoentes de Lyapunov de acordo com [58, 59],

consideraremos um sistema contnuo descrito por N equacoes diferenciais ordinarias que

e envolto por um volume esferico infinitesimal de estados vizinhos bidimensional y0 e raio

0(t0), em torno do ponto inicial arbitrario x0 de uma linha de fluxo, ou seja,

|y0 x0| 0(t0). (2.6)

A evolucao temporal deste fluxo nos da um comportamento assintotico, ou seja, o

fluxo transforma a esfera em um elipsoide com eixos principais i(t), onde i = 1, 2, 3, ..., N ,

conforme a Figura 2.5. Deste modo tera ocorrido, em media, a expansao de um dos seus

eixos, contracao do outro e, condicoes iniciais que estao no eixo que corresponde a direcao

da trajetoria de x0, nao alterarao suas distancias relativas, logo, nesse eixo, em media, nao

ocorre expansao nem contracao.

Figura 2.5: Evolucao de um volume esferico no espaco de fase.

x1

2(t )1

x0

(t )11

(t )0 0

FONTE: Adaptada de [22], pagina 132.

Na Figura 2.5 representa-se em duas dimensoes a deformacao da esfera. A cir-

cunferencia, que e fronteira das condicoes iniciais, de raio 0(t0) e e centrado em x0, sofre

expansao em uma direcao, representado pelo eixo 1(t1), e contracao na outra 2(t1). A

media da variacao exponencial desses eixos e medida pelos expoentes de Lyapunov e sao

21

definidos por:

i = limt

lim0(t0)0

1

tln

i(t)

0(t0), (2.7)

onde i = 1, 2, ..., N . De modo geral, os i dependem do estado inicial x0, mas em muitos

casos eles sao constantes ao longo de uma significativa regiao do espaco de fases. Os

expoentes de Lyapunov estao relacionados com a natureza da contracao ou expansao de

diferentes direcoes no espaco de fases [59]. Desta forma, a orientacao do elipsoide muda

continuamente conforme o sistema evolui. Da Equacao (2.7) e imediato que

i(t) 0(t0)ei(t), (2.8)

assim, se existir pelo menos um expoente de Lyapunov positivo, havera uma expansao

orbital nas direcoes associadas. Deste modo, para que a solucao seja caotica, a dependencia

as condicoes iniciais implica na existencia de pelo menos um expoente de Lyapunov positivo

(i > 0). Para o caso de solucoes periodicas e quase-periodicas (i < 0), ha uma contracao

nas direcoes perpendiculares ao movimento, enquanto que ao longo da trajetoria, i = 0

[54]. Para um instante t qualquer, um elemento do hiper-volume no espaco de fase e dado

por

V (t) =Ni=1

i(t). (2.9)

Substituindo a Equacao (2.8) na Equacao (2.9) obtemos

V (t) = V (0)exp

(Ni=1

it

). (2.10)

Portanto, existem duas situacoes em que o hiper-volume no espaco de fases nao diverge:

quandoN

i=1 i = 0, situacao em que V (t) = V (0), o sistema e conservativo;

quandoN

i=1 i < 0, que resulta V (t) < V (0), o sistema e dissipativo.

Podemos identificar o tipo de atrator atraves dos sinais dos expoentes de Lya-

punov. Em sistemas dissipativos o somatorio dos expoentes de Lyapunov e negativo, pois

nesses sistemas seu volume se contrai, ou seja, ha uma diminuicao do hiper-volume no

espaco de fases, fato este, que condiciona a ocorrencia de atratores estranhos. Uma outra

22

condicao para que o sistema apresente atratores estranhos em um espaco de fase e que

a dimensao do espaco de fase tem que ser N 3, pois em um espaco bidimensional, apresenca de um expoente de Lyapunov positivo tornaria o somatorio dos expoentes de i

positivos, o que nao caracteriza uma contracao no espaco de fase. Vamos verificar como

isso pode ser feito para o sistema dissipativo de tres dimensoes:

Ponto fixo (pontual) ou ponto de equilbrio: as trajetorias convergem para um unicoponto no espaco, cessando qualquer deslocamento, assim os expoentes devem ser

(,,);

Ciclo-limite: apenas a direcao da trajetoria nao deve, em media, se contrair, portanto(0,,);

Toro T 2: existem duas direcoes ao longo das quais os deslocamentos se processam,logo (0, 0,);

Caotico: devido a sensibilidade as condicoes iniciais, pelo menos um expoente deveser positivo, ao longo da trajetoria associa-se um expoente nulo e o terceiro expoente

deve ser negativo para que o sistema seja dissipativo e exista um atrator, assim

(+, 0,).

Deste modo para que no sistema ocorra um atrator pontual, basta um sistema

de uma dimensao com expoente de Lyapunov negativo, assim, quando o sistema comeca

a evoluir no tempo, a distancia entre duas condicoes iniciais comeca a diminuir infinita-

mente, tornando-se nula ao atingirem o ponto fixo. Para que ocorra um ciclo-limite (orbita

periodica estavel), e necessario no mnimo alem da direcao de contracao (como no caso do

atrator pontual), uma outra dimensao com expoente de Lyapunov nulo, refletindo assim o

fato de que duas condicoes iniciais sobre o ciclo-limite, quando evoludas, em media, nao

sofrerao contracao nem expansao, ou seja, passado um certo intervalo de tempo igual ao

perodo do ciclo-limite, o sistema passa a apresentar solucoes nas mesmas posicoes das suas

condicoes iniciais, mantendo a mesma distancia entre elas.

Para que ocorra caos em sistemas contnuos no tempo, deve existir pelo menos um

expoente de Lyapunov maior que zero e a dimensao no espaco de fases N 3. Assim, duas

23

direcoes devem comportar-se como no ciclo-limite, e a terceira condicao deve apresentar

expoente de Lyapunov positivo, caracterizando a divergencia exponencial entre duas tra-

jetorias com condicoes iniciais muito proximas, responsavel pela sensibilidade as condicoes

iniciais de um sistema caotico. Para o caso de mapas e suficiente que N = 1 se o mapa

for nao inversvel, ou seja, onde a sua funcao inversa nao e unica [5]. As condicoes para

identificar a ocorrencia de um atrator caotico, num sistema tridimensional, resumidamente

sao:

N

i=1 i < 0, que garante a contracao do volume num sistema dissipativo;

(i > 0), a existencia de um expoente de Lyapunov positivo.

2.2.3 Atrator caotico

No final do seculo XIX, J. H. Poincare se propos a estudar a dinamica de um

sistema de tres corpos, M1, M2 e m que se atraem de acordo com a lei da gravitacao de

Newton, cujo objetivo era determinar o movimento dos corpos, a partir das suas condicoes

iniciais. Este problema e bem mais complexo do que o problema da dinamica de dois

corpos, usualmente considerada na epoca. Apos analisar o problema dos tres corpos na

sua versao simplificada, Poincare concluiu que esse e um problema insoluvel, no sentido

que e impossvel encontrar uma formula analtica exata que descreva o movimento de m,

a partir de uma posicao inicial qualquer [7].

Embora Poincare tenha sido capaz de vislumbrar a possibilidade de comporta-

mentos caoticos, que desafiam a ideia de haver uma solucao fechada e valida para quaisquer

instantes de tempo, ele nao pode avancar nessa descricao, devido a impossibilidade pratica

de resolver as equacoes do movimento por um tempo suficientemente longo, a ponto de

evidenciar as consequencias de um possvel comportamento caotico [5]. Apesar da clara

visao de Poincare, somente um seculo depois, quando Edward N. Lorenz (1963) estudava

problemas meteorologicos a partir do modelo de conveccao natural de Rayleigh-Benard que

se retomou a ideia do caos na analise de sistemas dinamicos, visto que na area de previsao

numerica do tempo, as equacoes que descrevem o sistema (neste caso, a atmosfera) sao nao-

lineares. Tendo o auxlio de um computador, Lorenz observou que uma pequena variacao

24

nas condicoes iniciais poderia acarretar grandes diferencas na evolucao do sistema.

O seu trabalho nessa area envolvia a solucao numerica de um sistema com 12

equacoes diferenciais acopladas que descrevem a forma como o ar se move na atmosfera.

A solucao destas equacoes continha elementos como velocidades do vento, temperatura,

pressao, entre outros e poderia ser usada na previsao do tempo, ainda que na epoca houvesse

um grande ceticismo em relacao a eficacia desses metodos. Este fenomeno ficou conhecido

como efeito borboleta, como uma alusao de que se uma borboleta batesse suas asas em

algum lugar do planeta, poderia alterar a resposta de um sistema dinamico do outro lado

da Terra. Portanto, tratava-se de um sistema totalmente determinstico cujos resultados

poderiam ser aleatorios.

O estudo de Lorenz considera duas placas paralelas separadas por um fluido. A

placa superior esta a uma temperatura mais baixa que a inferior. Provocam-se movimentos

convectivos aquecendo um fluido por baixo. Assim, por acao da temperatura, o fluido

da parte inferior tende a subir enquanto o fluido da porcao superior tende a descer por

acao da gravidade. Quando a diferenca de temperatura T excede um certo valor crtico

TC , o lquido comeca a girar, formando rolos, conforme Figura 2.6. Dessa maneira, o

calor no fluido passa a ser transportado tambem por conveccao. A distancia h entre as

placas pode nos fornecer por comparacao a dimensao desses rolos e, para que ocorra uma

configuracao de equilbrio na densidade do fluido e na temperatura o movimento molecular

e organizado [7].

Figura 2.6: Esboco dos rolos de conveccao, sem levar em consideracao os efeitos de borda.

T

T2

1

h

FONTE: Adaptada de [7], pagina 24.

Lorenz utilizando uma versao simplificada do modelo de Rayleigh-Benard para

conveccao natural procurou estudar esse intrigante fenomeno usando a teoria qualitativa

dos sistemas dinamicos introduzida por Poincare. Uma das suas primeiras preocupacoes foi

25

tentar achar sistemas mais simples de equacoes que exibissem o mesmo tipo de propriedade

que ele havia observado nas equacoes para a atmosfera. Como o gradiente de temperatura

induz o fluido a se movimentar de forma ascendente enquanto que o efeito da gravidade

induz o fluido a se movimentar de forma descendente, a interacao entre estes dois fatores

cria fenomenos bem interessantes.

Para descrever este fenomeno e necessario considerar as equacoes de Navier-Stokes,

da conducao de calor e da conservacao da massa. A equacao de Navier-Stokes que descreve

a dinamica dos processos atmosfericos e dada por

(~v

t+ ~v.~~v

)= ~F + ~FC ~p+ 2~v, (2.11)

a equacao de conducao de calor e expressa como

T

t+ ~v.~T = 2T, (2.12)

e a equacao de conservacao da massa e dada pela equacao da continuidade

t+ ~(~v) = 0, (2.13)

onde T e a temperatura, (T ) a densidade (uma funcao de temperatura), ~F a forca gravi-

tacional, p a pressao, ~v a velocidade, ~FC a forca de Coriolis, a viscosidade dinamica,

a condutividade termica, ~ e o operador nabla em coordenadas cartesianas e 2 e ooperador Laplaciano. Essas grandezas sao funcoes do tempo t e das coordenadas x, y e z.

Destas tres equacoes anteriores, Lorenz obteve um sistema composto por 12

equacoes diferenciais de primeira ordem, cujas solucoes eram estacionarias e periodicas,

inuteis para o seu proposito, pois o metodo linear e capaz de predizer tais comportamentos.

Logo, Lorenz necessitava encontrar uma solucao aperiodica para este sistema de equacoes

que fosse bem mais simples do que um sistema composto de 12 equacoes. Em 1962, B.

Saltzman desenvolveu um modelo para estudar movimentos atmosfericos de origem con-

vectiva com um sistema de 7 equacoes. Lorenz notou que os valores de 4 das 7 variaveis

se tornavam muito pequenos, e ficou curioso para saber se o sistema formado apenas pelas

outras 3 variaveis tambem exibia comportamento aperiodico. A simplificacao proposta por

Lorenz [17], para os mesmos valores dos parametros escolhidos por Saltzman e formado

26

por 3 equacoes diferenciais ordinarias descrevendo a conveccao de Rayleigh-Benard:x = x+ y,y = xz + rx y,z = xy bz,

(2.14)

onde x e o fluxo convectivo, se x = 0 nao ha movimento convectivo e o calor e transportado

apenas por conducao, se x > 0 implica na circulacao horaria e se x < 0 a circulacao e

anti-horaria. A variavel y e proporcional a diferenca de temperaturas entre as correntes

descendente e ascendente do fluido. A variavel z e proporcional a distorcao do perfil

vertical da temperatura em relacao ao perfil linear. O parametro e a relacao entre a

viscosidade e a condutividade termica, sendo conhecido como numero de Prandtl / em homenagem a L. Prandtl por seus trabalhos em aerodinamica. O parametro r e

proporcional a diferenca de temperaturas entre os lados inferior e superior, sendo conhecido

como numero de Rayleigh reduzido r R/RC onde a conveccao ocorre para r > 1 e b e arelacao entre a altura e a largura do retangulo, expresso como b 4/(1 + a2).

Em 1963, Lorenz publicou seus resultados no artigo Deterministic nonperiodic

flow [17], descrevendo geometricamente as caractersticas principais da solucao caotica que

havia encontrado. A partir de um espaco abstrato, cujos eixos sao as variaveis x(t), y(t)

e z(t) para cada instante de tempo, formam-se um conjunto de pontos com uma estrutura

matematica complicada, chamado atrator borboleta, devido as curvas terem a forma de

asas de borboleta, conforme a Figura 2.7. A Figura 2.7 exibe a solucao do sistema de

Equacoes de Lorenz (2.14), para = 10, r = 28 e b = 8/3. Essas equacoes sao nao-

lineares devido ao produtos cruzados das variaveis x, y e z. A solucao desse sistema, esta

representada no espaco de fases, formado pelo eixo-X e pelo eixo-Z.

A figura, cuja forma lembra as asas de uma borboleta e o atrator desse sistema

dinamico. Este comportamento esta associado a dependencia sensvel as condicoes iniciais,

propriedade caracterstica do comportamento caotico de um sistema dinamico. Trata-se do

efeito borboleta mencionado por Lorenz [17] e das causas muito diminutas enunciadas por

Poincare para caracterizar a imprevisibilidade dos sistemas com comportamento caotico.

No ano de 1972, Lorenz proferiu a palestra Does the flap of a butterflys wings in Brazil

set off a tornado in Texas? (o bater das asas de uma borboleta no Brasil pode ocasionar

27

um tornado no Texas?) na 139a reuniao da American Association for the Advancement

of Science. Em outras palavras, Lorenz quis dizer que uma influencia tao pequena como

o bater das asas de uma borboleta poderia alterar as condicoes iniciais de um sistema

caotico (como a formacao de ventos na atmosfera) a ponto de levar a um comportamento

futuro imprevisvel, como um tornado [5]. Isto tudo gerou a expressao efeito borboleta,

que e muito utilizado para representar o efeito que pequenas alteracoes podem ter sobre o

comportamento futuro dos sistemas.

Figura 2.7: Atrator de Lorenz para = 10, r = 28 e b = 8/3.

20 10 0 10 20x

0

10

20

30

40

50

z

FONTE: O autor.

2.3 Sistemas dinamicos espaco-temporais

Atualmente sistemas dinamicos espaco-temporais com muitos graus de liberdade

tem sido amplamente estudados na comunidade cientfica devido a sua interdisciplinaridade

e aplicabilidade em varias areas cientficas. Este interesse e motivado em virtude do grande

numero de problemas praticos onde a dinamica espacial desempenha um papel significa-

tivo: sistemas oticos, fenomenos de turbulencia observados em fluidos e plasmas [60], fsica

do estado solido [61], qumica [62], redes neurais [10], formacao de padroes em sistemas

naturais, sistemas eletricos e eletronicos [18, 19], redes de mundo pequeno [12], redes sem

escala [14], sistemas dinamicos acoplados em biologia e tecnologia, dentre outros [5]. Para

o estudo destes sistemas dinamicos deve-se utilizar um modelo espaco-temporal [63], onde

28

existe a possibilidade da ocorrencia de caos.

A Tabela 2.1 apresenta uma classificacao dos sistemas em relacao ao espaco,

tempo e variaveis de estado. Em sistemas de equacoes diferenciais parciais o espaco, o

tempo e a variavel de estado sao contnuos. Em sistemas de equacoes diferenciais iteradas

temos o diferencial no tempo como sendo discreto. Nos sistemas que envolvem cadeias

de osciladores que sao equacoes diferenciais ordinarias acopladas, a variavel de estado e

o tempo sao contnuos e o espaco e discreto. Para sistemas de automatos celulares o

espaco, o tempo e a variavel de estado sao discretos. Neste trabalho utilizaremos sistemas

de equacoes diferenciais acopladas, visto que cada equacao diferencial e dita como uma

posicao do sistema.

Tabela 2.1: Tabela referente a classificacao dos sistemas espacialmente estendidos.

Sistema Espaco Tempo Variavel de Estadoequacoes diferenciais acopladas discreto contnuo contnuaequacoes diferenciais parciais contnuo contnuo contnuaequacoes diferenciais iteradas contnuo discreto contnuaredes de mapas acoplados discreto discreto contnua

automatos celulares discreto discreto discreta

O uso ou escolha de um ou outro sistema leva a uma questao na facilidade de

implementacao de tal sistema. Por exemplo, podemos utilizar equacoes diferenciais parciais

que sao sistemas hierarquicamente superiores (todas as grandezas sao contnuas) devido

a sua generalidade, mas o tempo computacional necessario pode tornar-se um problema

e para efetuarmos a integracao numerica, necessitamos discretizar o espaco e o tempo.

Podemos utilizar os automatos celulares, mas devido ao fato do tempo, espaco e a variavel

de estado serem discretos podemos perder em generalidade [5].

Conforme a Tabela 2.1, os sistemas dinamicos podem ser classificados de varias

formas, em relacao a variacao temporal podem ser de tempo discreto, sendo representados

por mapas, e de tempo contnuo, sendo para este caso, representados por equacoes dife-

renciais. Podem tambem ser lineares ou nao-lineares, com parametros fixos ou variaveis

no tempo. Esta tese aborda sistemas dinamicos de tempo contnuo nao-lineares atraves de

equacoes diferenciais acopladas de forma a modelar sistemas reais, como por exemplo, o

oscilador Colpitts. De maneira geral, este trabalho aborda o estudo de sistemas dinamicos

29

nao-lineares por meio de recursos computacionais. Muitos eventos existentes na natureza

tem comportamentos dinamicos interessantes, e podem de forma satisfatoria serem mode-

lados por equacoes matematicas e assim, acabam sendo melhor e mais profundamente

conhecidos.

Ao se tentar fazer previsoes da natureza utilizando modelos matematicos, podemos

nos deparar com problemas que envolvam centenas de variaveis e parametros diferentes.

Tentar resolver de maneira analtica e inviavel na pratica, por isso, e interessante utilizar

programas computacionais que resolvem de maneira algebrica ou tentam utilizar algumas

tecnicas para resolver com aproximacoes. Nesta tese utilizamos programacao em C++ em

nossas simulacoes com a evolucao temporal do sistema computada atraves do algoritmo

Runge-Kutta de quarta ordem com passo fixo. O metodo Runge-Kutta de quarta ordem

e considerado um integrador numerico adequado devido a sua simplicidade, consideravel

exatidao, baixo erro de truncamento e baixo esforco computacional.

Os sistemas dinamicos parecem representar de modo mais adequado a forma como

sistemas naturais podem ser tratados de modo a se fazer previsoes favoraveis ao avanco da

tecnologia. Entretanto, esta longe de ter sido completamente compreendida a forma como

estes sistemas operam. O estudo e a construcao de novos modelos e, assim, importante na

compreensao desses sistemas.

30

3 Oscilador Colpitts

As analises de bifurcacoes tem sido usadas no estudo de osciladores senoidais.

Em muitos osciladores senoidais a condicao de oscilacao usada em projetos eletronicos

corresponde a bifurcacoes de Hopf que surgem de ciclos limites estaveis [64]. Por outro

lado, bifurcacoes por duplicacao de perodo sao responsaveis pelo aparecimento do com-

portamento subharmonico [65]. Os comportamentos complexos observados em osciladores

eletronicos podem ser relacionados a cascata de Feigenbaum e/ou a existencia de bifur-

cacoes homoclnicas Shilnikov [24,66]. Mais ainda, a coexistencia de atratores pode surgir

por efeitos de histerese no oscilador.

O esforco no sentido de desenvolver osciladores caoticos para a aplicacao em

sistemas de comunicacao tem destacado a necessidade do entendimento dos fenomenos

nao-lineares exibidos por osciladores eletronicos. Neste contexto, a teoria da bifurcacao e

as analises qualitativas de sistemas nao-lineares desempenham um papel importante. Os

osciladores sao usados para uma infinidade de aplicacoes, sendo as mais comuns o oscilosco-

pio, o gerador de frequencia variavel, o injetor de sinais, a televisao, o radiotransmissor, o

receptor, o radar, o sonar, entre outros [67,68].

O primeiro circuito oscilador foi desenvolvido no incio de 1910, por varios en-

genheiros, entre eles Reginald Fessenden e H. J. Proud [69]. Este circuito utilizava uma

valvula termionica, o triodo. Desta forma aplicando-se uma realimentacao positiva, com

o triodo atuando como um amplificador de energia, obtinha-se um sinal na frequencia de

ressonancia do seu circuito sintonizado, permitindo a emissao de ondas contnuas e, conse-

quentemente a comunicacao em um unico canal. Este tipo de circuito foi aperfeicoado por

outros pesquisadores como Edwin H. Armstrong, Edwin H. Colpitts e Ralph V. Hartley.

31

No incio de 1899, Edwin Henry Colpitts (1872-1949) comecou a trabalhar como

assistente de George A. Campbell na American Bell Telephone Company em Boston, em-

presa tradicional na area de comunicacoes, projetando um gerador de frequencia variavel

para utilizacao em transmissoes eletronicas buscando deste modo, minimizar a distorcao e

atenuacao do sinal emitido. Investigou tambem a funcionalidade de dieletricos em capa-

citores [70]. Em 1907, Colpitts se transferiu para empresa Western Electric Company em

Nova Iorque, onde juntamente com seu colega Ralph Hartley inventaram um oscilador de

acoplamento indutivo que Colpitts melhorou em 1915 e no ano de 1920 foi patenteado como

Gerador de Oscilacao. Colpitts juntamente com Edward Beech Craft [25] escreveram a

famosa frase para o ramo de comunicacoes, a possibilidade de comunicacao por voz en-

tre quaisquer duas pessoas no mundo civilizado, e um dos fins mais desejaveis para que a

engenharia pode se esforcar.

3.1 Osciladores eletronicos

Osciladores eletronicos sao circuitos que se destinam a geracao primaria de sinais

periodicos, ou seja, produzem sinal alternado a partir de um sinal contnuo. Dito de outra

forma, um oscilador e um sistema que converte potencia de corrente eletrica contnua (CC)

em um sinal periodico de potencia com corrente eletrica alternada (AC). Isto e conseguido

pela interacao de um circuito passivo (elementos no circuito eletrico que recebem energia

do circuito, com por exemplo, resistores, capacitores e indutores) e um ou mais elementos

ativos (elementos no circuito eletrico que fornecem energia ao circuito, como exemplo, os

geradores eletricos). E essencial a existencia de um comportamento nao-linear pois so

assim o oscilador podera estabilizar a amplitude das oscilacoes em regime permanente.

Normalmente este comportamento esta associado aos elementos ativos do circuito eletrico.

Na atualidade existem basicamente dois tipos de osciladores eletronicos: os os-

ciladores harmonicos (senoidais) e os osciladores de relaxacao. Os primeiros tem por base a

variacao da frequencia de uma onda sinusoidal devido as perturbacoes num circuito resso-

nante provocadas por variacoes de impedancia gerando assim oscilacoes mais estaveis e

precisas. Sao exemplos de osciladores senoidais [67, 68, 71] o oscilador Colpitts, oscilador

Hartley, oscilador de Wien, oscilador de Armstrong, entre outros. Por outro lado o os-

32

cilador de relaxacao tem por base um multivibrador astavel, que e um circuito eletronico

que tem dois estados, mas nenhum dos dois e estavel. Este circuito muda constantemente

de estado, numa velocidade que depende dos valores dos componentes usados e que, por-

tanto gera um sinal retangular. O circuito e um gerador de sinais retangulares, onde o

circuito tem sua frequencia determinada por um capacitor e um resistor.

Nos osciladores senoidais o processo de sintonia da frequencia de oscilacao e feita

por elementos reativos, conforme Figura 3.1. O oscilador Hartley e um tipo de oscilador LC

que utiliza dois indutores e um capacitor para realizar o processo de sintonia da frequencia

de oscilacao que pode variar de 10 Hz ate 50 MHz. O oscilador Colpitts tem o princpio de

funcionamento bastante similar ao oscilador Hartley, com a unica diferenca que o processo

de sintonia da frequencia de oscilacao e feito atraves de um circuito de realimentacao

capacitivo, formado por dois capacitores e um indutor, aqui sua frequencia pode variar

de 1 Hz ate 100 MHz e em alguns casos sua variacao vai ate a regiao de microondas

(giga-Hertz), dependendo da tecnologia.

Figura 3.1: Diferenca entre oscilador Colpitts e oscilador Hartley, onde A, B e C podem sercapacitores C ou indutores L.

amplificador

Tipo de oscilador

Hartley

Colpitts C LC

LL C

B

C

A

A B C

FONTE: O autor.

Algumas caractersticas do oscilador senoidal incluem a producao de ondas si-

nusoidais com baixa distorcao e em muitas aplicacoes, a funcionalidade de ser facilmente

ajustada para que o utilizador possa variar a sua frequencia numa gama consideravel [72].

Uma oscilacao e uma forma de instabilidade causada pela realimentacao positiva que re-

forca um sinal que acabaria por desaparecer devido a perdas de energia. Para que a

33

realimentacao seja regenerativa, ou seja, repor a perda de energia do sinal, esta deve sa-

tisfazer certas relacoes de amplitude e fase. Um oscilador e projetado com uma malha de

realimentacao de caractersticas conhecidas, para que ocorra a oscilacao a uma frequencia

pre-determinada.

Em sistemas de radio, os osciladores senoidais geram a frequencia portadora de

transmissores e alimentam estagios misturadores que convertem sinais de uma frequencia

para outra. Numa extensao pequena mas crescente, essas aplicacoes podem tambem ser

desempenhadas por osciladores de onda quadrada e sintetizadores, mas na maioria dos

casos, osciladores senoidais sao fontes de sinais bastante economicas. Basicamente, os

osciladores senoidais sao circuitos que, atraves de amplificacao e realimentacao, dao uma

onda senoidal de sada.

Um oscilador eletronico basico, Figura 3.2(a), pode ser encarado como um am-

plificador que fornece um sinal de entrada para ele mesmo, transformando potencia com

corrente eletrica contnua (CC) em um sinal periodico de potencia com corrente eletrica

alternada (AC) a uma frequencia pre-determinada. E necessario que parte do sinal de

sada retorne a