96373997 relatorio lab controle tanques acoplados

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITCNICA

CURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

Relatrio Laboratrio Integrado VI

Controle

Ederaldo

Geraldo

Rodrigo

Nailson Santos

Maio de 2012

2

SUMRIO

INTRODUO ...................................................................................... 3

DESENVOLVIMENTO ........................................................................... 4

Estudo da instrumentao ......................................................................................................................... 4

Estudo do processo e obteno do modelo............................................................................................... 5

Diagrama de blocos do modelo no linear ................................................................................................ 5

Linearizao ............................................................................................................................................... 6

Teste de malha aberta ............................................................................................................................... 6

Matriz de transferncia .............................................................................................................................. 7

Projeto dos Controladores ......................................................................................................................... 8

o Malha de controle do tanque 01 ........................................................................................................... 8

o Malha de controle do tanque 02 ......................................................................................................... 11

Desacoplamento ...................................................................................................................................... 13

Simulao dos controladores no Simulink ............................................................................................... 14

CONCLUSO ...................................................................................... 16

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................ 16

ANEXOS ............................................................................................. 17

Cdigo do programa em Matlab ....................................................................................................................... 17

Grfico das simulaes ...................................................................................................................................... 19

INTRODUO

Este documento tem a finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das

atividades da disciplina Laboratrio Integrado VI.

O trabalho consistiu basicamente na modelagem do sistema, proposta dos controladores e

simulao.

O sistema composto de dois tanques acop

entradas de gua, uma para cada tanque e, semelhantemente, duas sadas. Conforme a

figura abaixo:

finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das

atividades da disciplina Laboratrio Integrado VI.


O sistema composto de dois tanques acoplados com seces transversais variveis, duas


3

finalidade de descrever as etapas seguidas durante a execuo das


lados com seces transversais variveis, duas


4

DESENVOLVIMENTO

Estudo da instrumentao

O sistema real estudado possui duas bombas que succionam a gua de um reservatrio e

descarregam nos tanques. Essas bombas so descritas pela equao a seguir, que relaciona a

tenso de entrada (Vi) com a vazo de sada (Qi):

= 7.53. + 64.2. 70.8

Alm das bombas o sistema possui dois sensores que indicam o nvel (h) dos tanques. Os

sensores indicam o nvel atravs de um sinal de tenso (Vs) seguindo a equao:

= 0.1311.5

Os perifricos citados acima so de extrema importncia para o funcionamento real do

sistema, contudo foram desconsiderados durante a modelagem do sistema. Isso porque,

como as equaes que os descrevem j so conhecidas possvel adicionar esses blocos ao

sistema posteriormente.

O controlador ser projetado para que tenha um sinal de controle em vazo e a sada do

sistema concede a informao de altura do nvel dos tanques. Combinando as funes da

bomba e dos sensores, inclusive as suas funes inversas possvel montar um sistema em

blocos que relaciona corretamente todas as variveis de entrada e sada, conforme o

diagrama:

5

Estudo do processo e obteno do modelo

Os tanques possuem seco transversal varivel, isto , a rea da seco varia com a altura,

da a no linearidade do sistema. Assim, foram obtidas as seguintes expresses que

relacionam a rea da seco com a altura do tanque:

= 9.5. 8.7 + 0.586. ; = 9.5 2 9.5 4.5

Sendo h1 e h2 o nvel dos tanques 1 e 2.

Em seguida foram levantadas as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do

sistema:

= =!""# 1

1$3

1 2$5 + %1

1

1 2$5

2$4+ %2 &

''(

Sendo:

Ri- representa a resistncia oferecida pelas vlvulas passagem dgua.

$3 = 11.39 ; $4 =1

1.39 ; $5 = 2.5

Diagrama de blocos do modelo no linear

6

Linearizao

Com as equaes diferenciais no lineares pode-se aplicar a tcnica de no linearizao para

o ponto de equilbrio:

1_*% = 7 2_*% = 11

Define-se as vazes de entrada que levam o sistema para o ponto de equilbrio especificado:

%1 = 8.13; %2 = 16.89Tem-se tambm as matrizes A, B, C, D que representam o sistema em um modelo no espao

de estados:

+ = ,0.0147 0.00330.0030 0.0136- ; . = ,0.0082 0

0 0.0076-

= ,1 01 1- ; / = 001

Teste de malha aberta

O diagrama em blocos acima foi montado com o intuito de testar o funcionamento dos

sistemas em malha aberta e validar o modelo em torno do ponto de equilbrio. Ou seja,

foram adicionados de maneira incremental a partir do ponto de equilbrio degraus unitrios

a cada 200s para o tanque 1 no modelo linearizado e no modelo no linear a fim de observar

o comportamento de ambas as curvas.

7

No grfico a seguir a curva de cor roxa representa o modelo no linear e a curva amarela o

modelo linearizado. Pode-se verificar que para os primeiros degraus as curvas se mantm

muito semelhantes, contudo a partir do ltimo degrau observa-se uma mudana brusca na

tendncia das curvas, principalmente a curva do modelo no linear.

Portanto, o modelo linearizado vlido nas proximidades do ponto de equilbrio.

Constatado isso possvel projetar os controladores para o caso linearizado, devido a

simplicidade do projeto, e utiliz-lo no caso no linear para a regio em torno do ponto de

equilbrio sem prejuzos.

Matriz de transferncia

O sistema em anlise multivarivel com duas entradas, por isso ao invs de apresentar

uma funo de transferncia verifica-se uma matriz de transferncia de ordem 2 com os

elementos a seguir:

2 = 4 +5 . + /

2 = 2 22 2 `

2 = 0.0082224s + 0.0136s + 0.01737s + 0.01095

8

2 = 2.4985e 005s + 0.01737s + 0.01095

2 = 2.4985e 005s + 0.01737s + 0.01095

2 = 0.0075967s + 0.01472s + 0.01737s + 0.01095

Os elementos com ndice diferentes (G12 e G21) so as funes de transferncia que

representam o acoplamento do sistema, ou seja, o acoplamento entre os tanques.

Projeto dos Controladores

Para projetar os controladores sero consideradas duas situaes: o caso servo e o caso

regulador. Visando a obteno de um controlador que possibilite erro em regime

permanente nulo e utilizando o princpio da parcimnia, sero propostos controladores do

tipo PI (proporcional integrador) com a seguinte forma:

= 89 + :

Assim, a proposta do controlador compreende a alocao do zero (Z) adequadamente e o

ajuste do ganho Kp a fim de alocar os polos de malha fechada no local apropriado.

Para o controlador 1 ser utilizada a funo G11 e para o controlador 2 a funo G22.

o Malha de controle do tanque 01

Caso Servo

Para o caso servo ser utilizada a metodologia de alocar o zero (Z) a 5% esquerda do polo

mais afastado do zero da planta. Tem-se:

: = 1.05 0.01737 = 0.0182385

9

O ganho do controlador ser determinado para que haja um polo a 5% esquerda do zero j

alocado. Pode-se calcular:

; = 1.05 0.0182385 = 0.01915

De posse do valor deste polo com o auxlio do Matlab pode-se determinar o valor do ganho

que ser igual a: 89 = 7.0. Portanto, o controlador assume a seguinte forma:

= 2 0.01737 = 0.03474

O zero que possibilita um ponto de bifurcao nesta posio dado por:

2 = 0

10

Com o auxlio do Matlab pode se determinar facilmente qual o ganho do controlador que

permite que os polos de malha fechada estejam em cima deste ponto de bifurcao:

89 = 6.7. O controlador assume a seguinte forma:

G = 6.7 + 0.0224

Tem-se ento o seguinte LR:

Pr-Filtro:

Para o caso regulador comum utilizar-se um pr-filtro a montante do controlador de com

a finalidade de eliminar o sobre-sinal no momento em que o controlador proposto para o

caso regulador estiver sendo utilizado para seguir uma referncia, ou seja, como caso servo.

O pr-filtro consiste em uma funo de transferncia com ganho unitrio e um plo na

mesma posio do zero do controlador. Assim, tem-se o seguinte pr-filtro para a malha do

tanque 1:

;HJK=HL1 = 0.0224 + 0.0224

Vale dizer que quando o pr-filtro est sendo utilizado soma-se a vazo de equilbrio ao

sistema de forma que o sinal de referncia injetado no sistema a partir de agora dever ser

incremental.

11

o Malha de controle do tanque 02

Caso Servo

Para o caso servo ser utilizada a metodologia de alocar o zero (Z) a 5% esquerda do polo

mais afastado do zero da planta. Tem-se:

: = 1.05 0.01095 = 0.0114975

O ganho do controlador ser determinado para que haja um polo a 5% esquerda do zero

j alocado. Pode-se calcular:

; = 1.05 0.0182385 = 0.01207237

De posse do valor deste polo com o auxlio do Matlab pode-se determinar o valor do ganho

que ser igual a: 89 = 6.25.

Portanto o controlador assume a seguinte forma:

12

Caso Regulador

Para o caso regulador ser utilizada a estratgia de alocar os polos de malha fechada em um

ponto de bifurcao localizado a aproximadamente duas vezes o polo mais distante do zero

da planta. Portanto o ponto de bifurcao ser:

;=.> = 2 0.01095 = 0.0219

O zero que possibilita um ponto de bifurcao nesta posio dado por:

2 = 0

13

Desacoplamento

o Modelo Linearizado

Para realizar o desacoplamento do sistema de forma que mudanas no set-point de um

tanques no influencie no outro tanque pode ser feito atravs da utilizao de um artifcio

matemtico. O sinal de controle (Ui(s)) ser modificado para o sinal virtual (Vi(s)), segundo as

equaes a seguir:

\ = $ ]

\ = $ ]

= \ 2

2

= \ 2

2

] = 2. + 2.

] = 2. + 2.

Manipulando algebricamente as expresses pode-se observar que possvel efetuar o

cancelamento da influncia entre os tanques. Isso permite que durante as simulaes

quando a referncia alterada ou uma perturbao ocorre em apenas um dos tanques o

outro no sofre alterao.

o Modelo No Linear

O desacoplamento do modelo no linear foi realizado adicionando ao sinal de controle o

termo que anula a influncia do tanque 1 no tanque 2 e vice-versa. Isso se caracteriza por

uma realimentao de estado. Com isso, faz-se necessrio o clculo de novas vazes de

equilbrio, ou seja, vazes de entrada que mantm o sistema nos pontos de equilbrio

escolhidos. Assim, tem-se o novo sinal de controle (q1 e q2) e as novas vazes de equilbrio:

%1 = ^1 2$5 ; %2 = ^2 1$5

%1*% = 12.53; %2*% = 16.69

14

Simulao dos controladores no Simulink

Utilizando o Simulink foram montados os diagramas em bloco que permitiram a simulao

dos seguintes circuitos: Modelo No Linear; Modelo No Linear Desacoplado; Modelo

Linearizado; Modelo Linearizado Desacoplado.

Para facilitar a comparao e anlise dos resultados todos os circuitos foram testados

seguindo o mesmo mtodo:

No tempo 100s a referncia do tanque 1 teve o acrscimo do degrau unitrio.

No tempo 400s a referncia do tanque 2 teve o acrscimo do degrau unitrio.

No tempo 600s o tanque 1 sofre uma perturbao negativa.

No tempo 800s o tanque 2 sofre uma perturbao positiva.

O esquemtico acima representa o diagrama de blocos montado no Simulink para simular o

funcionamento dos controladores em cada modelo j citado. Para os demais casos, apenas o

bloco Modelo No Linear foi substitudo pelo seu respectivo bloco.

15

Os grficos

1. Modelo No Linear e No Linear Desacoplado:

Observou-se que em ambos os tanques o controlador para o caso servo teve um menor

tempo de subida, contudo no tanque um apresentou um pequeno sobre-sinal. J para a

rejeio de perturbao o controlador para o caso regulador foi mais rpido. Porm, a

diferena foi muito pequena.

Para o caso acoplado percebe-se claramente a influncia de um tanque no outro, ou seja

quando alterou-se o set-point do tanque um o tanque dois apresentou uma pequena

variao.

Aps efetuar o desacoplamento, percebe-se que no h mais influncia de um tanque no

outro e os controladores continuam apresentando o mesmo desempenho.

2. Modelo Linearizado e Linearizado desacoplado.

O desempenho dos controladores no modelo linearizado foi semelhante ao do modelo no

linear. Esse resultado j era esperado, pois o controlador foi projetado baseado no modelo

linearizado, validado para trabalhar nas proximidades do ponto de operao e j testado no

modelo no linear com bom aproveitamento. Assim, observa-se controlador caso servo foi

mais rpido na mudana de set-point com pequeno sobre-sinal e o caso servo melhor no

rejeio de perturbaes. Todavia, o desempenho para a rejeio de perturbao em ambos

os casos foi muito semelhante.

O desacoplamento do sistema com a utilizao das entradas virtuais j apresentadas

tambm mostrou-se muito eficiente. Visto que, durante a simulao do modelo linear ficou

ntida a influncia dos tanques e aps o desacoplamento no se observa mais alteraes no

nvel dos tanques quando se altera o nvel de um dos tanques.

16

CONCLUSO

A atividade proposta consistiu em modelar um sistema com dois tanques acoplados, propor

controladores para este sistema e simular o funcionamento dos mesmos no sistema.

Conforme descrito neste relatrio, foi possvel a realizao de todas essas etapas

satisfatoriamente.

A modelagem do sistema se mostrou vlida e os controladores propostos cumpriram

adequadamente a funo de seguir um sinal de referncia e/ou rejeitar as perturbaes no

sistema.

A eficincia dos controladores, bem como a comparao entre os controladores propostos

para o caso servo e regulador, pode ser observada atravs das simulaes com o Simulink.

Atravs da atividade descrita neste relatrio contribuiu significativamente para a formao

acadmica dos autores, pois por meio dela foi possvel consolidar os conhecimentos obtidos

durante a graduao, principalmente, nas disciplinas Modelagem e Anlise de Sistemas

Dinmicos e Sistemas de Controle I.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall. 4a edio, 2003.

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ANEXOS

Cdigo do programa em Matlab

%Universidade Federal da Bahia %DEE- Departamento de Eng. Eltrica %Laboratrio Integrado VI - Controle %Prof Tito Luis Maia Santos %Alunos: Ederaldo, Geraldo, Nailson e Rodrigo. %Declarao de variveis simblicas syms h1 h2 q1 q2; %Equao da rea dos tanques em funo da altura c1=9.5*(8.7+0.586*h1); c2=9.5*2*sqrt(9.5^2-(h2-4.5)^2); %Definio das constantes R3=1/1.39; R4=1/1.39; R5=2.5; %Definio da altura de equilbrio h1_eq=7; h2_eq=11; %PARA O MODELO NO LINEAR ACOPLADO - Definio da Vazo de equilbrio: dh=[(1/c1)*(-h1/R3 -(h1-h2)/R5 + q1) ; (1/c2)*((h1-h2)/R5 -h2/R4 + q2)]; dh1=subs(dh(1,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); dh2=subs(dh(2,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); q1_eq=solve(dh1); q2_eq=solve(dh2); q1eq=eval(q1_eq); q2eq=eval(q2_eq); %PARA O MODELO NO LINEAR DESACOPLADO - Definio da Vazo de equilbrio: dh_des=[(1/c1)*(-h1/R3 -(h1-h2)/R5 -h2/R5 + q1) ; (1/c2)*((h1-h2)/R5 -h2/R4 -h1/R5 + q2)]; dh_des1=subs(dh_des(1,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); dh_des2=subs(dh_des(2,1),[h1 h2],[h1_eq h2_eq]); q1_eq_des=solve(dh_des1); q2_eq_des=solve(dh_des2); q1eqdes=eval(q1_eq_des); q2eqdes=eval(q2_eq_des); %Clculo das Matrizes do Mmodelo no espao de estados %Jacobiano: Jacob_A=jacobian(dh,[h1 h2]); Jacob_B=jacobian(dh,[q1 q2]); A=eval(subs(Jacob_A,[q1 q2 h1 h2],[q1_eq q2_eq h1_eq h2_eq])); B=eval(subs(Jacob_B,[q1 q2 h1 h2],[q1_eq q2_eq h1_eq h2_eq])); C=[1 0 ; 0 1]; D=[0 0 ; 0 0]; %GErao da Matriz de transferncia: I=[1 0 ; 0 1]; s=tf([1 0],1); G=C*inv(s*I-A)*B+D;

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zpk(G) %Colhendo os coeficientes das Funes de transferncia G: [num1,den1]=tfdata(G(1,1),'v'); [num2,den2]=tfdata(G(1,2),'v'); [num3,den3]=tfdata(G(2,1),'v'); [num4,den4]=tfdata(G(2,2),'v'); %Gerao das funo de transferncia T %para o desacoplamento do caso linearizado: T1=G(2,2)*G(1,1)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T2=G(2,2)*G(1,2)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T3=G(1,1)*G(2,2)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); T4=G(1,1)*G(2,1)/(G(1,1)*G(2,2)-G(1,2)*G(2,1)); %Colhendo os coeficientes das Funes de transferncia T: [numT1,denT1]=tfdata(T1,'v'); [numT2,denT2]=tfdata(T2,'v'); [numT3,denT3]=tfdata(T3,'v'); [numT4,denT4]=tfdata(T4,'v');

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Grfico das simulaes

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011

11.2

11.4

11.6

11.8

12

12.2

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

Time offset: 0

Simulao - Modelo LinearTanque 1

Tanque 2

Caso regulador

Caso servo

NailsonLine

NailsonLine

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011

11.2

11.4

11.6

11.8

12

12.2

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

Time offset: 0

Simulao - Modelo Linear DesacopladoTanque 1

Tanque 2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011

11.2

11.4

11.6

11.8

12

12.2

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

Time offset: 0

Tanque 1

Tanque 2

Simulao - Modelo No Linear

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100011

11.2

11.4

11.6

11.8

12

12.2

7

7.2

7.4

7.6

7.8

8

8.2

Time offset: 0

Tanque 1

Tanque 2

Simulao - Modelo No Linear Desacoplado

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005

10

15

20

25

30

Time offset: 0

Teste de Malha AbertaTanque 1

96373997 relatorio lab controle tanques acoplados

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