análise de circuitos acoplados magnéticamente

Análise de Circuitos Acoplados Magneticamente


Prof. André Nunes de SouzaUnesp/FEB-DEE



Bobinas vizinhas; Fluxo magnético mútuo; Circuitos mutuamente acoplados; Tensão Induzida Indutância

Mútua; Transformadores Lineares; Análise no domínio do tempo e da

freqüência.



Indutância Mútua Enlace de Fluxo

Da lei de Faraday a tensão é dada:

LiN

dt

diL

dt

dv



Indutância Mútua Duas bobinas

próximas; A primeira com N1

espiras (primário); A segunda com N2

espiras (secundário);

Transformador Simples.



Indutância Mútua Secundário em vazio;

A tensão v2 é:

M21 é a indutância mútua, em henrys (H)

21111 L

dt

dN

dt

dv 21

222

121212 iMN

dt

diMv

12 21



Indutância Mútua A tensão v1 é:

O primário em aberto (corrento no secundário).

Nesta situação v1 é:

dt

dv

11

1111 1 NiL

dt

diLv

11 1

12222 L

dt

dN

dt

dv 12

111

212121 iMN

dt

diMv 2121



Indutância Mútua A tensão v2 é:

Para o caso geral onde i1 e i2 é diferente de zero:

Tensões v1 e v2

dt

dv 22

22222 NiL

dt

diLv 222

2221211222

1211122111

L

L

dt

diL

dt

diMv

dt

diM

dt

diLv

22

1

211

2

1



Indutância Mútua Convenção de ponto; Polaridade da tensão mútua;



Indutância Mútua Exemplo

Dado que i1(0-)=0 Aplicando a LKT no primário

2010 11 idt

di




A equação anterior é uma equação diferencial de primeiro grau, com solução geral.

Visto que i1(0+)=i1(0-)= 0, A= -2 e

No secundário

teAi 101 2

Aei t101 12

dt

div 12 25,0

Vev t102 5



No caso de uma excitação com freqüência complexa s.

)()()(

)()()(

2

1

ssLssMs

ssMssLs

212

211

IIV

IIV



Circuitos com Transformadores Lineares

Transformador de dois enrolamentos Quadripolo.

Potencial de referência do 1ário pode ser diferente 2ário.

Mesmo diferentes não alteram os valores v1, v2, i1 ou i2.

Exemplo



21

211

II

IIV

22

10

2

12

2

3)(

ss

sss

Circuitos com Transformadores Lineares Exemplo

Resposta Completa i2, para t>0. Dados: M=1/2 H e i1(0-)=i2 (0-)=0. Por inspeção i1 é uma corrente cc e

i2f=0. Função de Rede Resposta Natural. Pela LKT;




Da qual encontramos

Os pólos H(s) são as freqüências naturais, -1;-4, da resposta natural. Para t>0,

Na ausência de uma excitação infinita, w(0-)=0 e portanto w(0+)=0.

Como M< (L1L2) i1(0+)=i2(0+)=0


412

1)(

ss

ss

1

2

V

IH

ttnf eAeAiii 4

21222 0



Para obter a segunda condição inicial para calcular A1 e A2.

Resolvendo temos que di2(0+)/dt=6 2 A/s. Avaliando A1 e A2 , usando i2(0+) e di2(0+)/dt a

solução torna-se.


dt

di

dt

di

dt

di

dt

di

)0()0(

2

10

)0(

2

1)0(

2

312

21

21

Aeei tt 42 22


Impedância Refletida Circuito fasorial com uma fonte real e uma

impedância Z2 conectada ao secundário.

Aplicando a LKT no primário.


221

211

IZI

IIV

2

1

0 LjMj

MjLj


Impedância Refletida Eliminando I2 das equações anteriores temos:

A impedância de entrada

A segunda parte da equação acima é chamada de impedância refletida (Acoplamento Mútuo).


1

21 I

ZV

2

1 Lj

MjMjLj

2

22

11 Lj

MLj

21

1

ZI

VZ

2

22

Lj

MR

2Z

Z


Impedância Refletida Impedância de entrada vista pela fonte:

As relações de corrente I1/I2 e tensão V1/V2, pode ser calculada:

Os resultados são:


1ZZZ gin

1

1

1

22

1

22

2

1

V

I

I

IZ

V

IZ

V

V

2221

2

MLjLj

Mj

Lj

Mj

2

2

1

2

21

2

Z

Z

V

V

ZI

I


Transformador Ideal Sem perda e acoplamento unitário Indutância Própria do 1ário e 2ário

infinitas. Indutância Mútua finita. Transformadores de Núcleo de

Ferro. Relação do número de espiras n.


1

2

N

Nn


Transformador Ideal Fluxos dos enrolamentos Portanto,

No caso de acoplamento unitário


2222

1111

iN

iN

2

2

2

1

1

2 nN

N

L

L

n

L

L

LLLjLj

LLj

1

2

212

21

21

2

2

1

2

Z

Z

V

V


Transformador Ideal E,

Então as relações de tensão e corrente, são:


n

Lj

LLjLL

1

lim2

21

, 21

21

2

ZI

I

n

n

1

1

2

1

2

I

I

V

V

21

1

2

II

V

V

.21

2

1

NN

N

N


Transformador Ideal

A impedância do primário Z1 do circuito acima é dada por:


2

//

nn

n 22

2

2

1

11

IV

I

V

I

VZ

2n2

1

ZZ


Transformador Ideal A impedância de Entrada vista dos

terminais da fonte de tensão é:

O circuito equivalente no que diz respeito a Vg,


2n2

g1gin

ZZZZZ


Transformador Ideal No circuito anterior temos:

De forma que, para Voc, I2=0, e desta forma, I1=0. Portanto,

Para Isc, temos V2=0 e, desta forma, V1=0. Portanto,


1221 VVII nn ,

g12oc VVVV nn

g

g12sc Z

VIII

nn


Transformador Ideal Finalmente, temos que:

O circuito equivalente resultante é:


gsc

octh Z

I

VZ 2n


Transformadores em Sistemas Trifásicos Normalmente, a produção de energia elétrica em

grande escala é realizada em corrente alternada, por intermédio de geradores síncronos trifásicos.

Pode-se utilizar: transformadores trifásicos ou bancos de três transformadores monofásicos.

O custo de um transformador trifásico é menor, oferece maior rendimento e ocupa menos espaço do que um banco de três monofásicos. A adoção de bancos de três monofásicos requer reserva menos dispendiosa para fazer frente a eventuais avarias.



Ligações em Estrela (Y)


Tipo de Ligação: A1,A2,B1,B2 e C1,C2 são os

terminais das fases.

Circuito representativo


Ligações em Estrela (Y)


Diagrama fasorial

BABNANNBANAB VVVVVVV 303 j

AAB eVV

Ligação em Y dotada de um 4° fio conectado ao seu neutro


Ligações em Estrela (Y) Recomendáveis para circuitos de tensões

mais elevadas.

Máxima tensão nas fases de transformadores com neutros aterrados será igual a da tensão entre os terminais das estrelas.

Sempre se encontra duas fases ligadas em série entre cada par de fios da linha trifásica.



Ligações em Estrela ()


Tipo de ligação Circuito representativo


Ligações em Estrela ()


Diagrama fasorial

303

)(j

AAC

CAAC

eII

III

Ligação em dotada de um 4° fio ligado ao ponto intermediário a um dos pares de seus terminais


Ligações em Estrela () Cada uma de suas fases encontra-se, sempre,

em paralelo com as duas restantes. A excitação de cada uma de suas fases

independe das excitações das demais. Podem ser encontradas em linhas que não

requeiram um neutro simétrico. Sendo recomendadas para tensões mais baixas e moderadas.

A corrente em suas fases reduzem-se a das correntes de linha.


3/1


Combinação (YY)


Tipo de Ligação

Representação em conjunto com uma fonte trifásica


Combinação (YY)


Diagrama fasorial

As tensões primárias e secundárias em cada fase não apresentam quaisquer defasagens, o mesmo acontecendo com as correntes.


Combinação (YY) Há possibilidade de um 4° fio ativo ( ou

os dois neutros aterrados).

As ligações YY são mais recomendáveis para transformadores de potências pequenas, destinados a operar em linhas de tensões mais elevadas em razão de suas tensões por fase serem inferiores às das linhas onde eles operam.



Combinação ()


Representação de uma ligação

Diagrama fasorial


Combinação () As propriedades inerentes às ligações em ,

estendem-se às combinações . Possibilidade de, em caso de avaria em um

dos transformadores de um banco, recorrer-se à ligação “em V” ou “ aberto”.

É uma opção econômica para grandes transformadores de tensões mais baixas.

Quando utilizados em redes de distribuição, usualmente os transformadores ligados em têm em uma de suas fases secundárias, um terminal intermediário para o forneci-mento de energia sob duas tensões.



Combinação (Y) e (Y)


Ligações de uma combi-nação Y às respectivas linhas

Composições fasoriais das tensões e correntes


Combinação (Y) e (Y) As tensões secundárias apresentam-se

adiantadas de 30° em relação às suas correspondentes no primário.

A presença da ligação em garante a manutenção de fluxos senoidais no transformador.

Com a ligação Y com neutros aterrados, garante a circulação de correntes de sequência zero nas linhas.

Estas combinações prestam-se bem para transformadores que operam em sistemas de alta tensão.



Operações sob condições não balanceadas Banco de transformadores monofásicos

idênticos, ligados em YY sem o 4° fio de retorno à fonte.

Operação em vazio, as tensões entre terminais e neutro serão iguais em módulo.

Os três transformadores não serem iguais, sendo o da fase A caracterizado por uma reatância de magnetização menor do que os outros dois.



Operações sob condições não balanceadas Bancos de transformadores monofásicos ligados

em YY, com neutros isoladas e alimentando cargas desbalanceadas.

Limitação da intensidade da corrente Ia a ser fornecida à carga.

Reduções da impedância que o transformador da fase A oferece à linha de alimentação.

Desequilibram-se as tensões da fase dos transformadores



Meu Muito Obrigado

André Nunes de Souza

E-mail: [email protected]

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