aula 6 sistemas mecânicos discretos e contínuos. oscilador ... · decremento logarítmico ... o...

UNL FCT DEC Engenharia Sísmica 2001/2002 AcetatoResponsável: João P. Bilé Serra

30

Aula 6

Sistemas mecânicos discretos e contínuos.

Oscilador linear de um grau de liberdade (OL1GL)

Princípio de D’Alembert. Equação de equilíbrio.

Regime livre amortecido.


31

Princípio de D’Alembert 0dtrdm

dtd)t(f

rrr=

− ; 0)t(f)t(f

0)t(um)t(fI =+

=− &&

Força actuante ( ) ( ) ( )tftftf)t(f ERD ++=

Força de dissipação ( ) ( )tuctfD &−=Força de restituição ( ) ( )tuktfR &−=

Força exterior ( )tfE

Equação de equilíbrio ( ) ( ) ( ) )t(umtftftf ERD &&=++

Formulação do problema de equilíbrioEquação de equilíbrio do regime

forçado(relevância física)

Condições iniciais

( )

===++

0

0

E

u)t(uu)t(u

tf)t(uk)t(uc)t(um

&&

&&&

Solução da equação diferencial linearde 2ª ordem com coeficientes

constantes

)t(u)t(u)t(u PH +=

Regime livre: 0)t(fE =

(relevância física)

===++

0

0

u)t(uu)t(u0)t(uk)t(uc)t(um

&&

&&&

Regime livre; Solução homogénea da equação diferencial de

equilíbrio; Condições iniciais

0)t(uk)t(uc)t(um =++ &&&

0)t(umk)t(u

mc)t(u =++ &&&


32

Frequência (circular) própria ou naturaldo oscilador (rad/s) [s-1]

mk n =ω

Período próprio do oscilador [s]

km2 2T

nn π=

ωπ

=

Coeficiente de amortecimento crítico[Kg s-1] mk2

mkm2m2c 0c ==ω=

Fracção de amortecimento crítico oucoeficente de amortecimento relativo

(vulgo “coeficiente de amortecimento”) nc m2c

mk2c

cc

ω===β

teU)t(u λ=0Ue)2( t2

nn2 =ω+λβω+λ λ

)1(2

442 2n

2n

2n

2n −β±β−ω=

ω−ωβ±βω−=λ

Regimesobrecrítco

1;cc c >β>

( )t1t1t 2n

2nn BeAee)t(u −βω−−βωβω− +=

Regime crítico 1;cc c =β=( )BtAe)t(u tn += βω−

Regime subcrítico

Frequência amortecida

Período amortecido

1;cc c <β<( )ti

2ti

1t DDn eUeUe)t(u ω−ωβω− +=

2nD 1 β−ω=ω

DD

2Tωπ

=

Resposta em regime livre crítico. S047.pcx


33

Respostas oscilantes em regime livre subcrítico. S047.pcx

Regime subcrítico. A resposta u(t) é real, logo as parcelas ti1

DeU ω et

2DeU ω− são conjugadas:

( ) ( )( )

)tcos()t()tcos(e|U|2)eeRe(e|U|2

)UeRe(2eUeUee)t(u

D

Dttiit

titttit

nDn

DnDDn

θ+ωρ=θ+ω==

=+=βω−ωθβω−

ωβω−ω−ωβω−

)U(Re)UIm(tg;eU)UIm(i)URe(U i =θ=+= θ

( ))tcos()t(

)tcos(e|U|2)eeRe(e|U|2)t(uD

Dttiit nDn

θ+ωρ=θ+ω== βω−ωθβω−

Expressão alternativa ))tsin(B)tcos(A(e)t(u DDtn ω+ω= βω−

com )UIm(2B;)URe(2A −==

Imposição das condições iniciais para determinação das constantes A e Bou ρ e θ.

ωβω+

=

==

D

n00

0uvB

u)0(uA

ωβω+

−=θ

ω

βω++=ρ

D0

000

2

D

00020

uuvarctg

uvu


34

Regimes livre e amortecido subcrítico. S045.pcx

Decaímento do movimento

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )

( )( )

( )( )[ ] ( ) ( )

e

eeTtcos

etcosTtutu

eTtcosTtu

etcostu

DD

D

DD

D

Dn

n

Tt

t

TtDD

tD

D

TtDDD

tD

+⋅ω⋅β−

⋅ω⋅β−

+⋅ω⋅β−

⋅ω⋅β−

+⋅ω⋅β−

⋅ω⋅β−

=⋅θ++⋅ω⋅ρ⋅θ+⋅ω⋅ρ

=+

⋅θ++⋅ω⋅ρ=+

⋅θ+⋅ω⋅ρ=

decremento logarítmico δ( )

( )( )

( )( )

( ) πβ≈

+

=δ⇒≈β−<<β

β−

πβ=

+

=δ⇒=+

⋅ω⋅β

2Ttutuln 11 : 1 para

12

Ttutulne

Ttutu

D

2

2D

T

D

Dn

( )( )

πδ

=β

πβ≈

+

=δ

2n1

n2nTtutulnciclosnPara

m

Dn


35

Aproximação linear (de 1ª ordem)( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

−

+π=β

−

+π=β⇔πβ+≈

+

δ+≈+δ

+δ+===+

δ⋅ω⋅ζ

1nTtutu

n21 :ciclosn Para

1Ttutu

2121

Ttutu

1...!2

1eeTtutu

D

DD

2T

D

Dn

Estimativa experimental do amortecimento relativo

−

π⋅=

π⋅

=β 1uu

231

uuln

231

4

1

4

1


36

Aula 7

OL1GL actuado por movimento imposto na sua base

Movimento absoluto e relativo

Movimento harmónico imposto na base do OL1GL

Frequência adimensional

Factor de amplificação dinâmica

Parcelas transitória (regime livre amortecido) e

estacionária (regime forçado)


37

Decomposição do movimento da massa na soma de movimento

imposto e de movimento relativo à base

)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(u

gt

gt

gt

&&&&&&

&&&

+=+=+=

Oscilador actuado exclusivamente por movimento imposto na

base

0)t(uk)t(uc)t(um t =++ &&&

)t(um)t(uk)t(uc)t(um g&&&&& −=++

O efeito da aceleração imposta na base do oscilador é equivalente

a uma força de inércia aplicada à massa oscilante:

)t(f)t(uk)t(uc)t(um e=++ &&&


38

Outra equaçãoequivalente de equilíbrio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuktuctuktuctum ggttt +=++ &&&&

Caso do movimento imposto com variação harmónica

π

−ω=ω=2

tcosUtsinU)t(u ggg&&&&&&

tig

2iti

g2

ti

gg

eUieeUeU)t(u

ω

π−ω

π

−ω

−===

&&

&&&&&&

Força de inércia equivalente

tie

tige eFeUmi)t(f ωω == &&

Problema de equilíbrio

−=⇔=−=⇔==++ ω

)0(u)0(u0)0(u)0(u)0(u0)0(u

eF)t(uk)t(uc)t(um

gt

gt

tie

&&&

&&&

tie2nn

tie

emF)t(u)t(u2)t(u

eF)t(uk)t(uc)t(umω

ω

=ω+βω+

=++

&&&

&&&

Solução da equação diferencial de equilíbrio

)t(u)t(u)t(u PH +=

Solução homogénea (regime livre)

0)t(u)t(u2)t(u 2nn =ω+βω+ &&&


39

)tcos()t()tcos(e|U|2

))tsin(B)tcos(A(e)t(u

D

Dt

DDt

Hn

n

θ+ωρ=θ+ω=

ω+ω=βω−

βω−

Solução particular (regime forçado)

tie2nn e

mF)t(u)t(u2)t(u ω=ω+βω+ &&&

Movimento harmónico de frequênciaigual à do movimento na base

(amplitude U complexa)

tiUe)t(u ω=

ti2titi Ue)t(ueUi)t(uUe)t(u ωωω ω−=⇔ω=⇔= &

tieti2nn

2 emFUe)i2( ωω =ω+βωω+ω−

( ) βϖ+ϖ−=

ω

ωβ+

ω

ω−

=

ω

ωβ+

ω

ω−

ω=

ω+βωω+ω−=

i21i

kF

i21

ikF

i21

im

F)i2(

imFU

2e

n

2

n

e

n

2

n

2n

e2nn

2e

Frequência adimensional nωω

=ϖ

2ge

estáticon

UkFu

ω−==&&

( ) ( )θ−=

βϖ+ϖ−

βϖ−ϖ−=

i

222

2

estático

eUi21

)i21(uiU


40

Amplitude( ) ( )

)(RU

)(Ru

21

1uU

d2n

gdestático

222estático

ϖω

=ϖ=

βϖ+ϖ−=

&&

Ângulo de fase21

2arctgϖ−βϖ

=θ

Factor de amplificação dinâmica (de deslocamento)

( ) ( )222estático

d21

1u

U)(R

βϖ+ϖ−==ϖ

Factor de amplificação dinâmica


41

Somente a parte real da resposta é representativa do fenómenofísico:

( )PP

)t(iP

tsinU))tsin(i)t(cos((UiRe(

)eUiRe()t(u

θ−ω−=θ−ω+θ−ω=

= θ−ω

Imposição das condições iniciais e obtenção da solução u(t)( )PPDD

tPH tsinU))tsin(B)tcos(A(e)t(u)t(u)t(u n θ−ω−ω+ω=+= βω−

0PPDn0

0PP0

vcosUBAv)0(uu)sin(UAu)0(u

=θω+ω+βω−⇔==θ+⇔=

&

Movimento relativo total nas condições: estáticon u)0(u,0)0(u%,5,2.0 ω===β=ϖ &


42

Aulas 8 e 9

OL1GL actuado por movimento imposto na sua base

Factores de amplificação dinâmica de aceleração,

velocidade e deslocamento relativos

Funções de transferência entre aceleração imposta eacelerações, velocidades e deslocamentos relativos eabsolutos

Resposta a movimentos periódicos: equações nodomínio do tempo e da frequência

Resolução no domínio da frequência

Transformadas de Fourier do movimento relativo

Transformadas de Fourier do movimento absoluto


43

Condição de ressonância n1 ω=ω⇔=ϖβ

==ϖ21)1(R d

Valor máximo do factor de amplificação dinâmico dedeslocamento

D

n2máx;d

2

2d

2d

21

2121R21

0d

Rd0ddR

ωω

β=

β−β=⇔β−=ϖ

<ϖ

∧=ϖ

)0(u,0)0(u%,5,1 &==β=ϖ

Tempo para atingir a resposta estacionária ressonante depende exclusivamente de β


44

Tempo para atingir a resposta estacionária ressonante e amplificação ressonante dependem exclusivamente de β

Função de amplificação dinâmica

De deslocamento relativo

( ) ( )222d

21

1)(R

βϖ+ϖ−=ϖ

( )( )

( )Pd2ng

P

Pde

P

PPP

tsin)(R/U

)t(u

tsin)(Rk/f)t(u

tsinU)t(u

θ−ωϖ=ω

θ−ωϖ=

θ−ω−=

&&

De velocidade relativa

( ) ( )222

dv

21

)(R)(R

βϖ+ϖ−

ϖ=

ϖϖ=ϖ

( )( )

( )Pvng

P

Pdne

P

PPP

tcos)(R/U

)t(u

tcos)(Rkm/f)t(u

tcosU)t(u

θ−ωϖ−=ω

θ−ωϖωω

−=

θ−ωω−=

&&&

&&

de aceleração relativa

( ) ( )222

2d

2a

21

)(R)(R

βϖ+ϖ−

ϖ=

ϖϖ=ϖ

( )

( )

( )Pag

P

Pd

2

ne

P

PP2

P

tsin)(RU

)t(u

tsin)(Rm/f)t(u

tsinU)t(u

θ−ωϖ=

θ−ωϖ

ωω

=

θ−ωω=

&&&&

&&

&&


45

Funções de amplificação dinâmica de: (a) deslocamento relativo, (b) velocidade relativa, (c) aceleração relativa

)(R d ϖ )(R v ϖ )(R a ϖ

maxϖ221 β− 1

2211β−

)(R max ϖ212

1β−β β2

1212

1β−β


46

Função de transferência de aceleração imposta para

deslocamento relativo

βϖ+ϖ−ω=

βωω+ω−ω==ω

i21i1

i2i

UU)(H

22n

n22

nguu g &&&&

guu U)(HUg

&&&& ω= ti

guuti eU)(HUe)t(u

g

ωω ω== &&&&

( ) ( ) 2

n

d2222

nguu

)(R

21

11UU

)(Hg ω

ϖ=

βϖ+ϖ−ω==ω

&&&&

Função de transferência de aceleração imposta para velocidade

relativati

p Ue)t(u ω=

titip eUUei)t(u ωω =ω= &&

βϖ+ϖ−ϖ

ω−

=

βωω+ω−ωω−

=

=ωω==ω

i211

i2

)(HiUU)(H

2n

n22

n

uug

uu gg &&&&& &&

&

guu U)(HUg

&&&&&& ω= ti

guuti

p eU)(HUe)t(ug

ωω ω== &&&&&

( ) ( ) n

v

222ng

uu)(R

21

1UU

)(Hg ω

ϖ=

βϖ+ϖ−

ϖω

==ω&&

&

&&&


47

Aulas 8 e 9

Funções de transferência entre aceleração imposta eacelerações, velocidades e deslocamentos relativos eabsolutos (continuação)

Resposta a movimentos periódicos: equações nodomínio do tempo e da frequência

Resolução no domínio da frequência

Transformadas de Fourier do movimento relativo

Transformadas de Fourier do movimento absoluto


48

Função de transferência de aceleração imposta para aceleração

relativatiti2

p eUUe)t(u ωω =ω−= &&&&

guu U)(HUg

&&&&&& ω= ti

guu eU)(H)t(ug

ωω= &&&& &&

βϖ+ϖ−ϖ

−=

βωω+ω−ωω−

=

=ωω−==ω

i21i

i2i

)(HUU)(H

2

2n

22n

2

uu2

guu gg &&&&&& &&

&&

( ) ( )

)(R21U

U)(H a222

2

guu g

ϖ=βϖ+ϖ−

ϖ==ω

&&

&&&&&&

Recordando a decomposição do movimento total nas parcelasrelativa e imposta:

gt

gt UiUU)t(u)t(u)t(u &&&&&&&&&&&& −=⇔+=

Função de transferência de aceleração para aceleração absoluta

+

βωω+ω−ωω

−=

−ω=

1i2

Ui

UiU)(HU

n22

n

2

g

gguut

g

&&

&&&&&&&&&&

n22

n

n2n

g

t

uu

i2i2i

UU)(H t

g

βωω+ω−ωβωω+ω

−=

=ω&&

&&&&&&


49

( ) ( )

)(R)(R)2(1

21

)2(1UU

)(H

t

tg

a

d2

222

2

g

t

uu

ϖ=ϖβϖ+=

βϖ+ϖ−

βϖ+==ω

&&

&&

&&&&

Função de transferência de aceleração para velocidade absoluta

n22

n

n2n

uug

t

guu

i2i21

)(Hi1

UiU

UU

)(H tg

tg


ω−=

ωω

=

ω

==ω &&&&&&&& &&

&&

&&

&

( ) ( )

)(R)(R

)(R)2(1

21

)2(11UU

)(H

t

t

tg

va

d2

222

2

g

t

uu

ϖ=ωϖ

=

ωϖ

βϖ+=

βϖ+ϖ−

βϖ+ω

==ω&

&&&&&&&

Função de transferência de aceleração para deslocamentoabsoluto

n22

n

n2n

2

uu2g

2

t

guu

i2i21

)(H1U

U

UU

)(H tg

tg


ω=

ωω

−=

ω

−==ω &&&&&&& &&

&&

&&


50

( ) ( )

)(R)(R

)(R)2(1

21

)2(11UU

)(H

t

t

tg

d2a

2d2

222

2

2g

t

uu

ϖ=ωϖ

=

ωϖ

βϖ+=

βϖ+ϖ−

βϖ+ω

==ω&&&

Resposta a movimentos periódicos

)t(um)t(uk)t(uc)t(um g&&&&& −=++

Decomposição de Fourier domovimento excitador )t(ug&& T

2kkeU)t(u kk

tik;gg

kπ

=ω∆=ω= ∑+∞

−∞=

ω&&&&

Decomposição de Fourier dasrespostas

∑∑

∑∑

∑

∞+

−∞=

ω∞+

−∞=

ω

∞+

−∞=

ω∞+

−∞=

ω

+∞

−∞=

ω

=ω−=

=ω=

=

k

tik

k

tik

2k

k

tik

k

tikk

k

tik

kk

kk

k

eUeU)t(u

eUeUi)t(u

eU)t(u

&&&&

&&

∑∑+∞

−∞=

ω+∞

−∞=

ω =ω+ωωβ+ω−k

tik;g

k

tik

2nnk

2k

kk eUeU)i2( &&

k;gk;uuk

2nnk

2k

k;gk

k;gk2nnk

2k

UHUi2

UU

UU)i2(

g

&&

&&

&&

&&=ω+ωωβ+ω−

=

=ω+ωωβ+ω−

k;gk;uu2

k;gk;uuk

k;gk;uuk;gk;uuk

k;gk;uuk

UHUHUUHiUHU

UHU

gg

gg

g

&&&&&&

&&&&&

&&

&&&&&&

&&&&&

&&

ω−==ω==

=


51

Aula 10

Resposta a movimentos quaisquer definidos por sériescronológicas discretas.

Resolução no domínio do tempo. Integral de Duhamel.

Soluções de deslocamento e velocidades relativas.

Solução de aceleração absoluta.

Oscilador de infinitos graus de liberdade.


52

Determinação da solução particular (regime forçado) do

movimento do OL1GL sujeito a uma força exterior fE(t).

Problema e

condições

iniciais

===++

0

0

E

v)0(uu)0(u

)t(f)t(uk)t(uc)t(um

&

&&&

Resposta forçada a uma força impulsiva aplicada a partir de

condições iniciais de repouso no intervalo de tempo [0,tI]Princípio deD’Alembert )t(f)um(

dtd

=&

Concretização para oOL1GL )t(ku)t(uc)t(f))t(um(

dtd

E −−= &&

∫∫∫ −−=−III t

0

t

0

t

0 EI dt)t(ukdt)t(ucdt)t(f))0(u)t(u(m &&& (*)

Impulso da força )t(fE ∫=It

0 EI dt)t(f)t(I

Dada a pequenaduração do impulso:

Itt0;0)t(u ≤≤=

Simplificando (*) 0))0(u)t(u(c)(I))0(u)t(u(m II −−−τ=− &&

Obtém-se no final daaplicação do impulsoem Itt =

0)t(u I = m

)(I)t(u Iτ≈&

Após a cessação do impulso vigora o regime livre amortecido doOL1GL:

IIDID)tt(

I tt;)))tt(sin(B))tt(cos(A(e)tt(u In ≥−ω+−ω=− −βω−


53

com condiçõesiniciais para Itt = :

ω=

ωβω+

=

==

DD

nIII

mI)t(u)t(uB

0)t(uA&

Regime forçadodevido à forçaimpulsiva IID

)tt(

DII tt));tt(sin(e

m1)t(I)tt(u In ≥−ωω

=− −βω−

Função de respostaimpulsiva 0t)t(sine

m1)t(h D

t

D

n ≥ωω

= βω−

Função de resposta impulsiva h(t) com β=5%, T = 1s

Regime forçado devido ao impulso)t(I I , ou seja, à força impulsiva

actuando no tempo [ ]It,0IIII tt)tt(h)t(I)tt(u ≥−=−

Considerando, agora, a actuação de uma força fE(t) ao longo de

um tempo de análise, pode considerar-se esta actuação como a

sobreposição de impulsos infinitesimais )(dI τ no instante genérico

τ correspondentes à duração τd : ττ==τ ∫τ+τ

τd)(fdt)t(f)(I E

dE .


54

O incremento infinitesimal de )t(u devido ao impulso )(dI τ noinstante τ é dado por ττ−τ= d)t(h)(f)t(du EO regime forçado é a soma

(integração) das parcelas )t(du ττ−τ== ∫∫ d)t(h)(f)t(du)t(ut

0 Et

0

Sobreposição dos efeitos das forças impulsivas infinitesimais (válido somente para sistemaslineares)

Resposta emdeslocamentorelativo

ττ−τ+ω+ωω

=

=+=

∫ d)t(h)(ftcos)0(utsin)0(u)t(u)t(u)t(u

t

0 EDDD

PH&


55

Considerando a condição

inicial de repouso:ττ−τ= ∫ d)t(h)(f)t(u

t

0 E

Particularizando fE(t) como aceleração imposta )t(ug&& : )t(um)t(f gE &&−=

Deslocamentorelativo

(força de restituição)ττ−τ−= ∫ d)t(h)(um)t(u

t

0 g&&

Integral de Duhamel ττ−ωτω

−= τ−βω−∫ d))t(sin(e)(u1)t(u D)t(t

0 gD

n&&

Velocidaderelativa(força

dissipativa)

ττ−ωτ−βω−= τ−βω−∫ d))t(cos(e)(u)t(u)t(u D)t(t

0 gnn&&&

(**)

Aceleraçãoabsoluta )t(ut&&(força de inércia)

)t(u)t(u)t(u gt &&&&&& +=

)t(u)t(u2)t(u 2nn

t ω−βω−= &&&

ττ−ωτβω+ω−β= τ−βω−∫ d))t(cos(e)(u2)t(u)12()t(u D)t(t

0 gn2n

2 n&&&& (***)

Cálculo numérico do integral de Duhamel (Clough&Penzien)

ττ−ωτω

−= τ−βω−∫ d))t(sin(e)(u1)t(u D)t(t

0 gD

n&&

)sin()tcos()cos()tsin())t(sin( DDDDD τωω−τωω=τ−ω


56

))tcos()t(B)tsin()t(A(1)t(u DDD

ω−ωω

−=

ττωτ=

ττωτ=

τβωβω−

τ−βω−

∫∫

d)cos(e)(ue

d)cos(e)(u)t(A

Dt

0 gt

D)t(t

0 g

nn

n

&&

&&

ττωτ=

ττωτ=

τβωβω−

τ−βω−

∫∫

d)sin(e)(ue

d)sin(e)(u)t(B

Dt

0 gt

D)t(t

0 g

nn

n

&&

&&

Integração numérica (discretizada nos N instantes tj=∆t j=1, …, N) poraplicação da regra dos trapézios (aproximação linear por troços)

Fórmula recursiva para obtenção dos termos A(t) e B(t) em instantesdiscretos intervalados de τ∆

N...2,1j)yey(

2eBB

)xex(2

eAA

0B;0A

j1jD

1jj

j1jD

1jj

00

nn

nn

=

+ωτ∆

+=

+ωτ∆

+=

==

τ∆βω−−

τ∆βω−−

τ∆βω−−

τ∆βω−−

em que)tcos()t(ux jDjgj ω−= && e )tsin()t(uy jDjgj ω−= &&

Determinada a resposta em deslocamento relativo pode obter-se a respostaem velocidade relativa e aceleração absoluta através das equações (**) e(***).

Nota: Para o cálculo numérico de ττ−ωτ τ−βω−∫ d))t(cos(e)(u D)t(t

0 gn&&

procede-se de forma semelhante por aplicação da igualdade)sin()tsin()cos()tcos())t(cos( DDDDD τωω+τωω=τ−ω

aula 6 sistemas mecânicos discretos e contínuos. oscilador ... · decremento logarítmico ... o...

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