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III Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica

INFLUÊNCIA DAS VARIÁVEIS ELÉTRICAS DE UM SISTEMA

ELETROMECÂNICO AVALIADAS EM MODELO COM RIGIDEZ LINEAR E EM

MODELO COM RIGIDEZ NÃO-LINEAR TIPO DUFFING

Adriano César Mazotti

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Jr. E Marcos Silveira

Orientadores– Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO Os componentes elétricos de um disposto eletromecânico fazem esse tipo de sistema

ser controlado de forma mais simples, a facilidade de alteração dos valores desses parâmetros

possibilita a escolha de diferentes comportamentos dinâmicos, principalmente em sistemas com

não-linearidades. Fato esse que resulta em uma gama de comportamentos dinâmicos bem maior

do que a encontrada em sistema lineares. As aplicações variam bastante nos diversos

seguimentos existentes, e o leque de utilizações desses dispositivos é maior do que o é possível

fazer com os dispositivos puramente mecânicos. Entre as aplicações mais comuns dos sistemas

eletromecânicos estão o uso em absorvedores de vibração, sensores, atuadores diversos,

geradores de energia em sistemas embarcados, captadores de energia ambiente (energy

harvester) variando entre sistemas com macro e micro escala. O estudo apresentado nesse

trabalho mostra um sistema eletromecânico com transdutor de bobina móvel, devido ao fato da

força de excitação, nesse caso harmônica, ser aplicada no domínio mecânico o dispositivo se

comporta como absorvedor de vibrações. Os resultados mostram uma correlação entre o

parâmetro de resistência elétrica do circuito com o coeficiente de amortecimento mecânico feito

para o modelo com rigidez linear e mostra também a alteração de comportamento observada

com a mudança do parâmetro de capacitância no modelo com rigidez não-linear tipo Duffing.

As variedades de comportamentos dinâmicos resultantes do modelo não-linear variam entre

dinâmicas caóticas, dinâmicas periódicas e dinâmicas multi-periódicas, dependo do objetivo e

da aplicação o parâmetro de capacitância é ajustada para que a dinâmica seja adequada.

PALAVRAS-CHAVE: Absorvedor Eletromecânico, Comportamento Dinâmico,

Comportamento Caótico, Rigidez Duffing.

1 INTRODUÇÃO

Sistemas que operam com o uso de dois ou mais subsistemas de domínios físicos

diferentes (mecânico, elétrico, etc.) vem se tornando de interesse nas pesquisas em engenharia

devido principalmente ao fato de terem a capacidade de comutarem ou transformarem a energia

de uma natureza em energia de outra natureza. Nas aplicações industriais ou em produtos de

uso pessoal esses dispositivos, também chamados de multi-domínio, tornam-se uma alternativa

em relação a dispositivos mais simples, que são constituídos somente por um ou outro domínio

físico com funções mais limitadas. Os sistemas multi-domínio do tipo eletromecânicos, alvo do

estudo nesse artigo têm utilizações variadas, por exemplo: absorvedores de vibrações

(ABDELKEFI, A. et. al., 2012), atuadores e dispositivos piezelétricos (ERTURK, A., INMAN,

D.J., 2008), captadores de energia ambiente ou do inglês energy harvester (PRIYA, S.,


INAMN, D.J., 2009). O leque de aplicações mais comuns são: aeroespacial, naval, médico,

industrial, automobilístico, civil, sistemas embarcados, sistemas de difícil acesso para

manutenção e outros. A aplicação que mais chama a atenção dos pesquisadores é a possibilidade

e transformar movimentos oriundos de vibrações mecânicas em eletricidade, ou seja, energia

cinética em energia elétrica (PREUMONT, A., 1999). Tusset, A. M. and Balthazar, J. M. (2012)

usa uma configuração de absorvedor de vibrações magnetoreológico que foi aplicada a um

sistema vibratório com rigidez Duffing, nesse estudo o objetivo foi suprimir o comportamento

caótico da dinâmica. Outro estudo feito por Felix, J. L. P., Chong, W. and Balthazar, J. M.,

(2012) acerca de absorvedores de vibração mostra os resultados obtidos com simulações

numéricas sobre a redução do efeito Sommerfeld em estruturas excitadas por motor de corrente

contínua alimentado cm fonte de potência limitada, a estrutura possuí rigidez não-linear e

amortecimento causado por materiais viscoelásticos. Bayiroğlu, H., Alişverişçi, G. F. and Ünal,

G., (2012) mostrarão a resposta de transportadores oscilantes não-lineares excitados por fonte

não-ideal, com potência limitada e as respostas dessa pesquisa usou método analíticos e

métodos numéricos para o problema. Outro exemplo importante é o de aplicações energéticas,

nos quais os dispositivos de colheita de energia ambiente (energy harvester) dispostos na forma

de cilindros oscilantes acoplados a dispositivos piezelétricos vibram em meio fluido, as

vibrações induzidas por vórtices fazem com que os dispositivos piezelétricos atuem como

transdutores, captando a energia mecânica da vibração e convertendo em energia elétrica, esse

estudo mostra a influência da carga resistiva e da carga capacitiva presente nos matérias

piezelétricos (ABDELKEFI, A., HAJJ, M. R., AND NAYFEH, A. H., 2012). A utilização de

sistema eletromecânicos do tipo piezelétricos também pode ser explorada para a substituição

de pequenas baterias em sistemas embarcados ou de aplicação remota onde é difícil a

manutenção ou substituição de baterias (SODANO, H. A., INAMN, D. J. AND PARK, G.,

2005). Essas diferentes aplicações dos sistemas eletromecânicos resultam em diversos

resultados em pesquisas das mais abrangentes áreas. A grande variação nos métodos de

modelagem e diversidade na faixa dos parâmetros possibilita a adequação do modelo à

utilização desejada. As configurações dos parâmetros ainda são alvo de exploração, devido a

quantidade de possibilidades existentes nas diversas aplicações. No presente artigo é mostrada

a modelagem e a análise do comportamento dinâmico de um sistema eletromecânico, ou seja,

um sistema multi-domínio, com dois graus de liberdade, sendo um mecânico e um elétrico. O

subsistema mecânico é constituído de inércia (massa), rigidez e o amortecimento viscoso linear.

O subsistema elétrico é um circuito RLC em série, ou seja, tem resistência, indutância e

capacitância. Os dois subsistemas são acoplados através de um transdutor de bobina móvel. O

objetivo a respeito do modelo com rigidez linear é obter a correlação do parâmetro de resistência

elétrica com o coeficiente de amortecimento mecânico, existe sempre a dúvida a respeito desse

coeficiente e ele sempre varia dependendo da configuração aplicada ao modelo, essa correlação

ajuda a conhecer a eficiência do amortecimento eletromecânico. O objetivo a respeito do

modelo com rigidez não-linear é conhecer as características da interferência do parâmetro de

capacitância no comportamento dinâmico e avaliar as faixas de aparecimento de regime caótico.

2 OBTENÇÃO DO MODELO

O sistema modelado é composto de dois subsistemas físicos, um de domínio mecânico

e outro de domínio elétrico, cada qual correspondente a um grau de liberdade presente no

sistema eletromecânico. O subsistema mecânico é modelado levando em consideração as

grandezas mecânicas de inércia, rigidez e amortecimento, são representadas por: massa 𝑚,

rigidez elástica linear 𝑘, rigidez elástica não-linear 𝑘1 e amortecimento viscoso linear 𝑑. Nesse


caso a linearidade ou não-linearidade da rigidez do modelo é definida pela escolha do parâmetro

𝑘1, quando esse for nulo a rigidez é linear, quando diferente de nulo a rigidez é não-linear.

Existe ainda no domínio mecânico a presença da força de excitação harmônica aplicada sobre

o corpo de massa 𝑚. O subsistema elétrico é modelado pelos representantes elétricos da

Indutância 𝐿, capacitância 𝐶 e resistência 𝑅, ou seja, um circuito RLC, nesse caso em série.

O dispositivo de transdução, responsável pela conversão de energia cinética em

energia elétrica e vice-versa, nesse caso, é de magnetismo permanente e com bobina móvel.

Essa característica de transdutores é encontrada com frequência no dia-dia, microfones e

autofalantes são exemplos de transdutores de bobina móvel. No entanto existem mais tipos de

transdutores conhecidos capazes de realizar a conversão de energias cinéticas em elétrica, um

exemplo é o transdutor piezelétrico (YAMAPI, R. 2003) e outro exemplo é o transdutor

eletrostático (SINCLAIR, I. R., 2001) e (YAMAPI, R. 2003), Nesse artigo o transdutor

utilizado no modelo tem suas equações conhecidas em trabalhos anteriores que mostram a

conversão da excitação mecânica em corrente elétrica (PREUMONT, A., 1999). A Figura 1

mostra a representação esquemática do dispositivo eletromecânico desse estudo.

Figura 1 – Representação esquemática do sistema eletromecânico

A excitação harmônica externa 𝐹(𝑡) aplicada ao domínio mecânico faz o sistema se

comportar como uma absorvedor eletromecânico, na modelagem matemática realizada pelo

método de Lagrange a equação que representa 𝐹(𝑡) é inserida junto com as forças externa e não

conservativas. O método Lagrangeano para obtenção de modelos requer a dedução da energias

cinéticas e potenciais presentes no subsistema mecânico e as energias magnéticas e elétricas

presentes no subsistema elétrico (PREUMONT, A., 1999). A generalização de coordenadas é

realizado, o deslocamento 𝑦 do corpo de massa m , como mostrado na Figura 1, será

denominado 𝑥1 e a sua derivada 𝑥2, a velocidade. A carga elétrica 𝑞 será denominada 𝑥3 e sua

derivada 𝑥4, a corrente elétrica. A Equação (1) mostra o Lagrangeano mecânico 𝐿𝑚𝑒𝑐 e a

Equação (2) mostra o Lagrangeano elétrico 𝐿𝑒𝑙𝑒 obtidos pelo método.

𝐿𝑚𝑒𝑐 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚𝑥2

2 −1

2𝑘𝑥1

2 −1

4𝑘1𝑥1

4 (1)


𝐿𝑒𝑙𝑒 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑒 =1

2𝐿𝑥4

2 −1

2𝐶−1𝑥3

2 (2)

O transdutor eletromecânico tem suas equações relacionado grandezas dos dois

domínios físicos diferentes do sistema. As equações do transdutor eletromecânico de bobina

móvel relacionam a força mecânica aplicada a bobina móvel com a corrente elétrica 𝑥4 e a

tensão elétrica gerada nos terminais da bobina com a velocidade 𝑥2 (PREUMONT, A., 1999).

Respeitando a geometria vetorial presente no transdutor, mostrada na Figura 2, as equações

podem ser expressas de acordo como é mostrado na Equação (3) da tensão contra eletromotriz

e na Equação (4) da força de Laplace (PREUMONT, A., 1999).

Figura 2 – Representação esquemática e vetorial do transdutor de bobina móvel e

magnetismo permanente

𝑒 = −𝐵 𝑙 𝑥2 (3)

𝑓 = 𝐵 𝑙 𝑥4 (4)

Considerando a generalização de coordenadas, os Lagrangeanos e as equações do

transdutor, o sistema de equações governantes é escrito como mostra a Equação (5).

1 = 𝑥2

2 = [−𝑘 𝑥1 − 𝑘1 𝑥13 − 𝑑 𝑥2 + 𝐵 𝑙 𝑥4 + 𝐴𝑒𝑥 cos(𝜔𝑒𝑥 𝑡)]/𝑚

3 = 𝑥4

4 = (−𝐶−1 𝑥3 − 𝑅 𝑥4 − 𝐵 𝑙 𝑥2)/𝐿

(5)

3 RESPOSTAS COMPUTACIONAIS DO MODELO

Os parâmetros mecânicos base (fundamentais) para as simulações numéricas do

sistema eletromecânico são baseados na faixa de grandeza de uma suspensão típica de um

veículo de passeio. É considerada a quarta parte da massa de um automóvel em

aproximadamente 250 kg, os outros parâmetros são escolhidos de modo que a rigidez mecânica

e a força máxima do amortecedor eletromecânico resultem em valores aproximados usados em

um amortecedor mecânico viscoso. A Tabela 1 mostra os parâmetros base utilizados nas

simulações do sistema eletromecânico linear e não-linear.


Tabela 1 – Valores de base dos parâmetros

𝑚 [Kg] Massa 250,00

𝑑 [N.s/m] Amortecimento Viscoso 0,00

𝐿 [H] Indutância 0,762749

𝑅 [Ω] Resistência 0,824354 – 200,00

𝐶 [F] Capacitância (1250 – 2500)E-6

𝐴𝑒𝑥 [N] Amplitude da Força Externa 5000,00

𝑓𝑒𝑥 [Hz] Frequência da Força Externa 3,00

𝐵𝑙 [T.m] Acoplamento Eletromecânico 502,6548

Algumas simulações foram realizadas usando rigidez linear e outras usando rigidez

não-linear (tipo Duffing), os valores dos parâmetros usados para que fossem obtidas tais

características de rigidez são mostrados na Tabela 2

Tabela 2 – Valores de rigidez usados no sistema linear e

valores de rigidez Duffing usados no sistema não linear

Tipo de rigidez Rigidez linear 𝑘 [N/m] Rigidez não-linear 𝑘1 [N/m³]

Linear 4E4 0

Duffing -4E4 4E7

Para determinar a relação entre os parâmetros do subsistema elétrico 𝑅 e 𝐶 e um

amortecimento mecânico equivalente, é consideração o sistema eletromecânico com a rigidez

linear cujos parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Tabela 2. São determinadas as curvas

do coeficiente de amortecimento adimensional (equivalente) 𝜁 (zeta), usando o Método do

Decremento Logarítmico para valores de 𝑅 entre 0,824354 Ω até 200 Ω e para três valores de

𝐶, 1400E-6 F, 1700E-6 F e 2000E-6 F. Considerou-se nessa simulação a vibração livre, com

condição inicial de deslocamento em 0,1 m, ou seja, a resposta sem influência de força externa.

A curva obtida é mostrada na Figura 3.

Figura 3 – Curvas do coeficiente de amortecimento em função de 𝑹 para diferentes

valores de 𝑪 (1400E-6 F, 1700E-6 F e 2000E-6 F), obtidas pelo decremento logarítmico

das respostas do sistema eletromecânico com rigidez linear 𝒌=4E4 N/m e 𝒌𝟏=0 N/m³


Com base em mais simulações realizadas para o modelo com rigidez não-linear

Duffing, é observado que o comportamento dinâmico pode ser alterado com relação ao valor

do parâmetro 𝐶, no entanto o amortecimento mostrado na Figura 3 continua mantendo relação

semelhante com os valores do parâmetro 𝑅.

Para evidenciar as alterações causada no comportamento dinâmico pela variação do

parâmetro 𝐶, é realizada a simulação para o diagrama de bifurcação desse parâmetro. Na

Figura 4 é mostrado esse diagrama gerado para a faixa de 𝐶 de 1250E-6 F até 2500E-6 F, para

o parâmetro R fixo em seu valor mínimo de 0,824354 Ω e frequência harmônica externa 𝑓𝑒𝑥 de

3 Hz. Na Tabela 1 e na Tabela 2 são mostrados os demais parâmetros necessários para a

simulação do modelo.

Figura 4 – Diagrama de bifurcação da capacitância no intervalo de 1250E-6 F até

2500E-6 F obtido através da simulação do modelo com rigidez não-linear

(𝒌=-4E4 N/m e 𝒌𝟏=4E7 N/m³) forçado harmonicamente com 𝒇𝒆𝒙=3 Hz

Considerando as diferentes regiões observadas no diagrama e explorações sobre a

resposta do sistema realizadas para uma série de valores de 𝐶 foi observado que a faixa

compreendida entre os valores de aproximadamente 1275E-6 F até 1800E-6 F apresenta regime

caótico. É observado também que na faixa onde 𝐶 é de aproximadamente 1800E-6 F até o final

do intervalo da simulação do parâmetro o sistema mostra comportamento periódico, no entanto,

o número de períodos no decorrer desse intervalo de 𝐶 se altera.


A Figura 5 mostra a resposta do modelo para o valor 𝐶=1400E-6 F, os demais

parâmetros uteis para as curvas dessa figura estão nas Tabelas 1 e 2. Essas curvas de resposta

exemplificam o comportamento observado para quase toda a faixa de 𝐶 entre 1475E-6 F até

1800E-6 F onde o comportamento dinâmico mostrou ser caótico. Os indicadores de

comportamento caótico estão presentes em cada uma das quatro curvas, diagramas ou mapas

da Figura 5, no entanto, o mapa de Poincaré (Figura 5d) é o indicador mais clássico de caos.

A Tabela 3 mostra as frequências e razões de frequência presentes na simulação da

Figura 5

Tabela 3 – Valores de Frequências e Razões de Frequências

Frequências e Razões de Frequências

𝑓𝑒𝑥 [Hz] Freq. excitação externa 3,0000

𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐 [Hz] Freq. natural mecânica 2,0132

𝑓𝑛𝑒𝑙𝑒 [Hz] Freq. natural elétrica 4,8704

𝑓𝑒𝑥/𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐 --- Razão de frequência 1,4902

𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐/𝑓𝑛𝑒𝑙𝑒 --- Razão de frequência 0,4133

Figura 5 – Resposta do sistema eletromecânico para o valor de 𝑪=1400E-6 F e 𝒇𝒆𝒙=3 Hz:

Histórico no tempo (a), Plano de fase (b), FFT (c)

e Mapa de Poincaré (gerado com 20.000 pontos) (d)

(a) (b)

(c) (d)


A Figura 6 mostra a resposta do modelo para o valor 𝐶=1850E-6 F, os demais

parâmetros uteis para as curvas dessa figura estão nas Tabelas 1 e 2. Essas curvas de resposta

exemplificam o comportamento observado de forma geral para a faixa de 𝐶 entre 1800E-6 F

até o final no intervalo de capacitância (2500E-6 F) onde o comportamento dinâmico é

periódico, alterando-se somente o número de períodos. Para o caso mostrado na Figura 6, o

número de quatro períodos fica evidente no mapa de Poincaré (Figura 6d) e um outro indício

de comportamento periódico é mostrado na FFT (Figura 6c), onde são vistos os picos de

magnitude mais definidos mostrando a frequência natural mecânica no primeiro pico e a

frequência de excitação harmônica externa no segundo pico.

A Tabela 4 mostra as frequências e razões de frequência presentes na simulação da

Figura 6

Tabela 4 – Valores de Frequências e Razões de Frequências

Frequências e Razões de Frequências

𝑓𝑒𝑥 [Hz] Freq. excitação externa 3,0000

𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐 [Hz] Freq. natural mecânica 2,0132

𝑓𝑛𝑒𝑙𝑒 [Hz] Freq. natural elétrica 4,2369

𝑓𝑒𝑥/𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐 --- Razão de frequência 1,4902

𝑓𝑛𝑚𝑒𝑐/𝑓𝑛𝑒𝑙𝑒 --- Razão de frequência 0,4752

Figura 6 – Resposta do sistema eletromecânico para o valor de 𝑪=1850E-6 F e 𝒇𝒆𝒙=3 Hz:

Histórico no tempo (a), Plano de fase (b), FFT (c)

e Mapa de Poincaré (gerado com 20.000 pontos) (d)

(a) (b)

(c) (d)


4 CONCLUSOES

A dinâmica de um sistema eletromecânico sofre influência em relação aos parâmetros

de resistência e capacitância do subsistema elétrico. A resistência apresenta mais influência no

amortecimento mecânico aparente observado pela correlação realizada entre esse parâmetro

com o coeficiente de amortecimento adimensional mecânico 𝜁, considerando cada curva de

capacitância. O amortecimento se acentua em valores de resistência próximos a 100 Ω.

Entretanto o pico de 𝜁 varia conforme a capacitância muda. Os resultados no diagrama de

bifurcação, no qual mostraram a variação do parâmetro de capacitância obtidos para o modelo

com rigidez Duffing, mostram que o parâmetro bifurcado pode ser utilizado como parâmetro

de controle evitando regiões caóticas, quando esse for o objetivo. No entanto, em algumas

aplicações, principalmente industriais que envolvem a vibração mecânica, o caos deve ser

obtido para o correto funcionamento do equipamento, dessa forma o parâmetro de controle da

capacitância pode ser utilizado para colocar o sistema em regime caótico.

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