1. Tensão Uma das repostas do MC ao carregamento

Conjunto( sistema 1 + sistema 2) está em equilíbrioConjunto( sistema 1 + sistema 3) está em equilíbrioConjunto( sistema 2 - sistema 3) está em equilíbriosistema 2 e sistema 3 são equivalentessistema 3 exprime o efeito da parte B

(com o sistema 2)sistema 1 e –sistema 3 são equivalentes“-sistema 3” exprime o efeito da parte A

(com o sistema 1)

sistema 1

sistema 1

sistema 2

corte

sistema 3

- sistema 3

sistema 2

A

B

forças internas

Fr

Fr

−

1. Vector das tensões

Princípio das tensões de Euler e Cauchy Augustin Cauchy (1789-1857)

Leonhard Euler (1707-1783)

tx, ty, tz: componentes cartesianasdo vector das tensões

( )

dAFdlimt

0dA

nP

rr

→=Vector das tensões no ponto P

Unidade N/m2=Pa106Pa=MPa

Define-se à volta do P uma vizinhança, ou seja um elemento infinitesimal de área

A faceta é sempre ligada ao resto do MC

A faceta ligada a parte Acom a normal exterior(unitária)

A faceta ligada a parte Bcom a normal exterior

(unitária)

Vamos escolher um ponto P, que pertence à superfície de corte

que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetasPdA

O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal,o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua

é indiferente do modo que dA tende para zeroé indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual

2 componentes em 2D, 3 em 3D

P( )nPtr

( )nP,yt

r

( )nP,xt

r

( )nPtr

P( )n

P,xtr

( )nPtr ( )n

P,ytr

P

Bnr P

BFdr

Anr

AFdr

Para poder determinar o vector das tensões no ponto P relacionado a qualquerfaceta que nela passa, temos que saber vector das tensões relacionado

a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P (2 em 2D)

tn, tt: componentes intrínsecasdo vector das tensões

2 componentes em 2D e em 3D

tn: com sentido da normal tracção, positiva

tn: contra sentido da normal compressão, negativa

tn: componente normaltt: componente tangencial ou de corte

Vamos manter o ponto P mas escolhemos um elemento com uma normal diferente

as componentes do vector das tensões vão ser diferentesÉ preciso determinar os valores necessários para poder unicamente exprimir qualquer vector das tensões

nr P

( )nPtr

( )nP,nt

r

( )nP,tt

r

nr

P

( )nPtr

( )nP,nt

r

( )nP,tt

r

Neste caso diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto Pe introduzem-se as componentes de tensão

x

y

xσxσ

yσ

yσ

xyτ

xyτ

yxτ

yxτ

Componentes cartesianas do vector das tensões chamamos componentes de tensão quando as facetas têm a normal paralela com os eixos coordenados

Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo de coordenadas

Convenções

Faceta positiva, o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo de coordenadas

Componente normal

Componente tangencial ou componente de corte

o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção

Representação geométrica das componentes de tensão no rectângulo elementar

Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas coincidem,contudo o sentido satisfaz regras especiais

0yxxy yxxy =ΔΔτ−ΔΔτ

yxxy τ=τ⇒

força força

momento momento

x

y

xσxσ

yσ

yσ

xyτ

xyτ

yxτ

yxτ

yΔxΔ

Tensão é simétrica ⇒ 3 componentes em 2D [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=σyxy

xyx

Representação das componentes na forma matricial

Equilíbrio dos binários

Nota: as condições de equilíbrio poderão ser escritas para forças e momentos, mas não para componentes de tensão

2. Tensor das tensões

Vizinhança elementarrectangular em tornodo ponto interior, P,mergulhada no MC

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=σyyx

xyx

Representação das componentesna forma matricial

0yxfxyy

xyxx

y xxy

xyxyx

xx =ΔΔ+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

∂

τ∂+τ+Δτ−Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

∂σ∂

+σ+Δσ−

0fyx xxyx =+

∂

τ∂+

∂σ∂ 0f

yx yyxy =+

∂

σ∂+

∂

τ∂

Nota: o equilíbrio dosmomentos dava arelação de simetria,agora com a prova mais rigorosado que no slide anterior

xx

xx Δ

∂σ∂

+σ

xσ

yσ

xxxy

xy Δ∂τ∂

+τ

xyτ

yyxy

xy Δ∂τ∂

+τy

yy

y Δ∂σ∂

+σ

xyτ

xΔyΔ xfyf

3. Equações de equilíbrio

Vizinhança elementarrectangular em tornodo ponto interior, P,mergulhada no MC

interior Augustin Cauchy (1789-1857)

4. Cálculo das componentes do vector das tensões

{ } [ ] { }nt ⋅σ=

Condições de fronteira

Carga distribuída na superfície

xpxσ

yp

yσ

xyτ

xyτ

α α( )Tsin,cosn αα=

r

xΔyΔ sΔ

α⋅Δ=Δ sinsx α⋅Δ=Δ cossy

0spxy xxyx =Δ+Δτ−Δσ−ατ+ασ= sincosp xyxx

yxyxxx nnp τ+σ=

yyxxyy nnp σ+τ=Vizinhança elementar triangular

do ponto de superfície P

Componentes cartesianas de analogia:

P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária

jiji nt σ=

( )Tsin,cosn αα=r ( )Tcos,cos,cosn γβα=

r2D 3D

Componentes intrínsecas

( ) ( ){ } { } ( ) θ⋅⋅=⋅= cosntntt nTnnn

rr

( ) ( ) ( )( )2nn

2nnt ttt −=

r O sentido da componente tangencialnão está definido pela esta expressão

Componente normal e tangencial calculam-se como escalares

A componente normal é positiva quando o sentido delacoincide com o sentido da normal: tracção

não dependem do referencial

Alternativamente, em 2D apenas!!!

( ) ( )ijiji

ni

nn nnntt σ==

{ } ( )Tsin,cosn αα=

( )ntr

( )nnt

( )ntt

P nrθ

( )nnt

( )ntt

P

sr

( )ntr

α{ } ( )Tcos,sins αα−=

( ) ( ){ } { } ( ) ( )θ−π⋅⋅=⋅= 2/cosststt nTnnt

rr

( ) ( )ijiji

ni

nt snstt σ==

x

y

z

xσ

xyτxzτ yσyzτ

yxτ

zxτ

zσ

zyτ

Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas)

Tensão é tensor simétrico ⇒ 6 componentes em 3D

Representação das componentesna forma matricial

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στσττσ

=σ

z

yzy

xzxyx

sim

Equações de equilíbrio

0fzyx yyzyxy =+

∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

[ ] { } { } { }0f =+∇⋅σ

{ } ( )Tz/,y/,x/ ∂∂∂∂∂∂=∇

0fzyx xxzxyx =+

∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

0fzyx z

zyzxz =+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

5. Notas sobre 3D Equações de Cauchy

3 equações deequilíbrio não sãosuficientes para

resolver 6 incógnitas

+ condições de fronteira

6. Tensões principais (revisão)

Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz( )

yx

xyp

22tg

σ−στ

=θ

a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais

2yx

m

σ+σ=σ 2

xy

2

yx

2R τ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−σ=

Rm1 +σ=σ Rm2 −σ=σ

,

onde

≥σ1

1σ2σ

2σ

1σpθ

( )2( )10xy >τ

Rmmax +σ=σ Rmmin −σ=σ

2σ≥qualquer componente Tensão de corte máxima:

acompanhadade2

R 21max

σ−σ==τ

mσ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σ

σ

2

1

00

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡στ±τ±σ

mmax

maxm

( )1

( )2

7. Estados de tensão

Tracção pura

1σ1σ

Compressão pura

2σ 2σ

xyτ

xyτ

xyτ

xyτ

Pressão hidrostática

p

p

pp

Estado tangencial puro

xy1 τ=σ

xy1 τ=σxy2 τ−=σ

xy2 τ−=σ

Homogéneo ou uniforme:as componentes do tensor das tensões não variam com a posição

Estacionário: as componentes do tensor das tensões não variam com o tempo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=στ±τ±=σ

00

mmax

maxm

0C ≡

8. Outras designaçõesTensor esférico e tensor desviador de tensão,importante para a energia de deformação

[ ] [ ] [ ]'Im σ+σ=σ onde σm é a tensão média3I

331zyx321

m =σ+σ+σ

=σ+σ+σ

=σ

m1oc 3/I σ==σ2

21oc I3I

32

−=τ

{ } ( )T3/1,3/1,3/1n =Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão no plano cuja normal é importante para teoria

Tensão de von Mises

2vM I3 ′−=σ

22m

2221

21vM R3+σ=σ+σσ−σ=σ

( ) ( ) ( )( )232

231

221vM 2

1σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ

2D

3D

consequentemente 0I1 =′

de plasticidade

Importante para teoria de plasticidade

Richard von Mises (1883-1953)