cap1 - esp. normados

CAPÍTULO 1

Espaços Normados

Em princípio, os espaços que consideraremos neste texto são espaços de funções.Isso significa que quase todos os nossos exemplos serão espaços vetoriais de dimensãoinfinita. Nesses espaços, muitas vezes a estrutura algébrica é insuficiente para aobtenção de resultados fortes, sendo necessária a inserção de uma estrutura topológica.Mas, ao contrário do caso de espaços vetoriais de dimensão finita, não existe qualquerisomorfismo natural que permita a introdução da topologia e, em muitos casosimportantes, não é possível obter estrutura topológica conveniente gerada por produtointerno.

Estudaremos espaços normados, isto é, espaços vetoriais nos quais existe a noçãode norma de um vetor. Nosso objetivo neste capítulo não é apresentar estudoaprofundado das propriedades de tais espaços, mas sim contrastá-los com espaçosnos quais a topologia é gerada por um produto interno, espaços esses que serãointroduzidos no Capítulo 2. Assim, grande parte de nossa exposição reduz-se àtopologia básica dos espaços normados e à introdução de exemplos importantes.

Denotaremos por N o conjunto {1, 2, . . .}, por R+ o intervalo real [0, ∞) e por K ocorpo dos reais ou o corpo dos complexos. Resultado básicos da Álgebra Linear sãoreferenciados ao texto [5], que será citado como [AL].

1.1 Espaços Vetoriais

Começamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial.

Definição 1.1 Sejam X um espaço vetorial sobre o corpo K e B um subconjunto de X. Umelemento x ∈ X é combinação linear dos elementos de B se existir uma quantidade finita devetores x1, . . . , xr ∈ B e escalares λ1, . . . , λr ∈ K, tais que

x = λ1x1 + . . . + λrxr. (1.1)

O conjunto de todas as combinações lineares de elementos de B é o espaço gerado por B,denotado por < B >.

Dizemos que B gera o espaço X, se todo elemento x ∈ X for combinação linear de elementosde B.

Se, ao tomarmos x = 0 na equação (1.1), só existir a solução λ1 = . . . = λr = 0 paraquaisquer vetores x1, . . . , xr ∈ B e r ∈ N, dizemos que B é linearmente independente.

1

2 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS

Um conjunto B é uma base de X (ou base de Hamel), se ele for linearmente independentee gerar X.

O espaço vetorial X tem dimensão finita, se existir uma base B com um número finito deelementos ou se X = {0}. Caso contrário, ele tem dimensão infinita.

Um espaço vetorial X sobre o corpo R será chamado de espaço real; sobre o corpo C, deespaço complexo.

É fácil verificar que, qualquer que seja o conjunto B 6= ∅, < B > sempre é umespaço vetorial. Quando B gera o espaço X, o número r ∈ N de elementos xi ∈ Butilizados numa combinação linear de elementos de B pode variar. Se B for umabase, cada elemento x ∈ X escreve-se de maneira única como combinação linear deelementos de B. (Veja o Exercício 1.) Salientamos que uma base B não precisa ser umconjunto enumerável.

Pode-se verificar que, no caso de um espaço vetorial de dimensão finita X 6= {0},todas as bases têm o mesmo número de elementos; esse número comum é chamadoentão de dimensão do espaço X. Se X = {0}, dizemos que X tem dimensão igual a zero.(Veja [AL], Teorema 1.12).

Na prática, raramente verificamos que um espaço vetorial tem dimensão infinitaexibindo uma de suas bases. Na verdade, muito raramente podemos exibir uma basede um espaço X de dimensão infinita, se bem que todo espaço vetorial possui umabase (de Hamel): veja o Teorema ??. A maioria dos exemplos de base em espaços dedimensão infinita ocorre em espaços de sequências.1

Muitas vezes, para mostrarmos que um espaço tem dimensão infinita, exibimos umsubespaço que sabemos ter dimensão infinita. Para isso, frequentemente utilizamos ossubespaços que introduziremos nos Exemplos 1.5 e 1.6.

Exemplo 1.2 No espaço Kn = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ K} a base canônica é formada pelosvetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , ), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). O espaço Kn é umespaço vetorial de dimensão n sobre o corpoK. Usualmente denotaremos os elementosde Kn por meio de matrizes coluna:

x =

x1x2...

xn

= (x1 x2 . . . xn)

t.

(Estamos denotando por xt a transposta da matriz coluna que representa x.) ¢

Exemplo 1.3 Seja X um conjunto não vazio arbitrário. O conjunto de todas as funçõesf : X → K é um espaço vetorial com as definições habituais da soma de funções e doproduto de função por escalar. Esse espaço tem dimensão infinita, se X for um conjuntocom infinitos elementos (veja o Exercício 3). Em geral, não é possível exibir uma basedo espaço { f : X → R}, se X tiver infinitos elementos. ¢

Exemplo 1.4 Seja ` o conjunto de todas as seqüências (xn) de elementos do corpo K.Esse espaço vetorial de dimensão infinita é um caso particular do exemplo anterior,uma vez que uma seqüência nada mais é do que uma aplicação com domínio igual aoconjunto dos naturais. Algumas vezes denota-se esse espaço porK∞, ao invés de `. ¢

1Uma seqüência é uma aplicação x : N→ X, com x(i) denotado por xi.

1.2. ESPAÇOS NORMADOS 3

Exemplo 1.5 Seja K[t] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em K, naincógnita t. Esse é um espaço vetorial de dimensão infinita com a soma de polinômiose a multiplicação de um polinômio por um escalar definidas como habitualmente. Umabase para K[t] é dada por B = {1, t, t2, . . . , tn, . . .}. ¢

Exemplo 1.6 Seja `0 o subespaço de ` (veja o Exemplo 1.4) formado por todas asseqüências (xi) tais que xi = 0, exceto talvez para um número finito de índices i.Podemos exibir facilmente uma base do espaço `0: ela é dada por {e1, . . . , en, . . .}, emque ei denota a seqüência cujos termos são todos iguais a 0, exceto o i-ésimo, que éigual a 1. Verifique que `0 é isomorfo ao espaço K[t], isto é, existe uma bijeção linearT : K[t] → `0. ¢

1.2 Espaços Normados

Definição 1.7 Seja X um espaço vetorial sobre o corpo K. Uma norma em X é uma função‖ · ‖ : X → R+ que satisfaz

(i) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;

(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para todo x ∈ X e todo λ ∈ K;

(iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para quaisquer x, y ∈ X (desigualdade triangular).

Um espaço normado é um espaço vetorial X considerado com uma norma ‖ · ‖. Pararessaltarmos a norma ‖ · ‖ utilizada no espaço X, algumas vezes empregaremos a notação(

X, ‖ · ‖).

Uma pergunta natural é se todo espaço vetorial X possui uma norma. Emborapossamos provar sua existência, raramente essa norma tem utilidade prática. Nopróximo Capítulo discutiremos mais essa situação: veja o Exemplo ??.

Exemplo 1.8 No espaço Kn, se x = (x1, . . . , xn), podemos considerar as normas

‖x‖ =√

x1 x1 + . . . + xn xn,‖x‖s = |x1|+ . . . + |xn|,‖x‖∞ = max

1≤i≤n|xi|.

O conjugado do número complexo x está sendo denotado por x. (Se x for real, entãox = x.) Nas normas ‖ · ‖s e ‖ · ‖∞, denotamos o valor absoluto por | · |. Lembramosque, se K = C e z = x + iy, então |z| = √

zz =√

x2 + y2. Essas são as normas habituaisdo Kn. Se n = 1, é usual considerar a norma dada pelo valor absoluto: veja o Exercício4.

A norma ‖ · ‖ é chamada norma euclidiana no espaçoKn. A verificação de que ‖ · ‖ éuma norma usualmente é feita utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz, querecordaremos posteriormente no Capítulo ?? (ou então veja [AL], Proposição 8.6). Essefato também segue-se do Teorema 1.74, que mostraremos ainda neste Capítulo.

Mais geralmente, sejam ‖ · ‖∗ uma norma arbitrária em Kn e B = {x1, . . . , xn}uma base de um espaço de dimensão finita X. Para x = α1x1 + . . . + αnxn, definimosIx = (α1 . . . αn)t ∈ Kn. É fácil ver que I é uma bijeção linear e que ‖x‖X = ‖Ix‖∗


define uma norma em X, chamada norma induzida pela norma de Kn. É usual denotar(α1 . . . αn)t ∈ Kn por [x]B e chamar esse vetor de representação de x na base B.

Dessa forma, podemos imitar as normas habituais do espaço Kn e considerar asnormas habituais ‖ · ‖, ‖ · ‖s e ‖ · ‖∞ do espaço de dimensão finita X (com respeito à baseB). ¢

Observe que o Exemplo 1.8 mostra que todo espaço vetorial de dimensão finitatorna-se um espaço normado, uma vez fixada uma de suas bases.

Definição 1.9 Seja X um espaço normado. Um subconjunto A é limitado, se existir M > 0tal que ‖a‖ ≤ M para todo a ∈ A.

Exemplo 1.10 Seja X 6= ∅ um conjunto arbitrário. Defina

B(X,K) = { f : X → K : f (X) é limitado}.

Esse conjunto é um subespaço do espaço das funções f : X → K, apresentado noExemplo 1.3. As funções em B(X,K) são as funções limitadas. Em B(X,K) definimos

‖ f ‖∞ = supx∈X

| f (x)|.

É fácil verificar que ‖ · ‖∞ é uma norma nesse espaço (veja o Exercício 7). Emparticular, se X = N (veja o Exemplo 1.4), é usual denotar o espaço B(N,K) por `∞, oespaço de todas as seqüências limitadas:

‖(xn)‖∞ = supn∈N

|xn|. ¢

Exemplo 1.11 Sejam a, b ∈ R, com a < b. Consideremos o espaço vetorial de dimensãoinfinita

C1([a, b],K)= { f : [a, b] → K : f ∈ C1}.

Uma vez que toda função contínua definida em [a, b] atinge máximo nesse conjunto(veja, em caso de dúvidas, o Corolário 1.26), podemos considerar a norma

‖ f ‖C1 = maxt∈[a,b]

| f (t)|+ maxt∈[a,b]

| f ′(t)| = ‖ f ‖∞ + ‖ f ′‖∞.

Você seria capaz de definir outras normas nesse espaço?Podemos facilmente generalizar esse exemplo e considerar o espaço normado

Ck([a, b],K), com k = 0, 1, . . . (Qual é a adaptação da norma ‖ · ‖C1 para esses espaços?)

É usual denotar o espaço C0([a, b],K)

simplesmente por C([a, b],K

). Note que o espaço

C([a, b],K

)é um subespaço do espaço B

([a, b],K

), introduzido no Exemplo 1.10. ¢

1.3 Conjuntos Abertos e Fechados

Sejam X um espaço normado, x ∈ X e r > 0. Definimos a bola aberta Br(x), a bolafechada Br(x) e a esfera Sr(x), respectivamente, por

Br(x) = {y ∈ X : ‖y − x‖ < r}Br(x) = {y ∈ X : ‖y − x‖ ≤ r}Sr(x) = {y ∈ X : ‖y − x‖ = r}

1.3. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS 5

Em cada caso, x é o centro e r > 0 é o raio.Um subconjunto A ⊂ X é aberto se, para todo a ∈ A, existir r > 0 tal que Br(a) ⊂ A.

Um subconjunto F ⊂ X é fechado, se X \ F = Fc = {F for um conjunto aberto.O próximo resultado, cuja demonstração é simples (veja o Exercício 10), exibe

propriedades básicas de conjuntos abertos e fechados:

Proposição 1.12 Seja X um espaço normado. São válidas as afirmativas:

(i) uma união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto;

(ii) uma interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto;

(iii) uma união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado;

(iv) uma interseção arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Note que X e ∅ são conjuntos que são, simultaneamente, abertos e fechados noespaço normado X.

Definição 1.13 Sejam X um espaço normado e (xn) uma sequência em X. Dizemos que asequência (xn) converge a x ∈ X, ou que x é o limite da sequência (xn), denotado por xn → xou lim

n→∞xn = x, se, para todo ε > 0 dado, existir n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica ‖xn − x‖ < ε.

Equivalentemente,xn → x ⇔ ‖xn − x‖ → 0.

Assim, a convergência em um espaço normado é o mesmo que a convergência da sequêncianumérica

(‖xn − x‖).

Uma caracterização alternativa de um conjunto fechado é oferecida pelo seguinteresultado:

Teorema 1.14 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F é fechado se, e somente se,qualquer sequência convergente (xn) de elementos de F possuir seu limite em F.

Demonstração: Suponhamos que (xn) convirja para x 6∈ F. Como X \ F é aberto, exister > 0 tal que Br(x) ⊂ X \ F. Como (xn) converge para x, temos que xn ∈ Br(x) para nsuficientemente grande. Mas isso é uma contradição, pois xn ∈ F para todo n ∈ N.

Por outro lado, se F não for fechado, então o conjunto X \ F não é aberto. Assim,existe x ∈ X \ F tal que Br(x) contém elementos de F para todo r > 0. Escolhendor = 1/n para todo natural n ≥ 1, construímos uma seqüência (xn) tal que xn → x exn ∈ F. Mas, por hipótese, isso implica x ∈ F, contradizendo x ∈ X \ F. 2

Sejam X um espaço normado e W um subconjunto qualquer. Definimos o fecho deW como sendo o conjunto W caracterizado por

x ∈ W ⇔ ∃ (xn) ⊂ W : xn → x.

O relacionamento entre o fecho e conjuntos fechados é dado pelo seguinteresultado, que decorre imediatamente do Teorema 1.14:

Corolário 1.15 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F é fechado se, e somente se,F = F.


Em algumas situações precisamos de um conceito mais geral de conjuntos abertose fechados:

Definição 1.16 Sejam X um espaço normado e U um subconjunto qualquer de X. Umsubconjunto A ⊂ U é aberto em U se, para todo a ∈ A, existir r > 0 tal que Br(a) ∩ U ⊂ A.Um subconjunto F ⊂ U é fechado em U, se U \ F for um conjunto aberto em U.

É fácil verificar que um conjunto A ⊂ U é aberto se, e somente se, existir um abertoV ⊂ X tal que A = V ∩ U. Da mesma forma, F ⊂ U é fechado, se e somente se, existirum fechado H ⊂ X tal que F = H ∩ U. (Veja o Exercício 11). Por exemplo, (1/2, 1] éaberto em [0, 1] ⊂ R (pois (1/2, 1] = (1/2, 2) ∩ [0, 1]), enquanto (0, 1/2] é fechado em(0, 1) ⊂ R (pois (0, 1/2] = [−1, 1/2] ∩ (0, 1)).

Definição 1.17 Um subconjunto S de um espaço normado X é denso em X, se S = X. S éseparável, se possuir um subconjunto enumerável denso em S.

O conjunto dos racionais é denso em R. No decorrer deste curso teremos aoportunidade de trabalhar com vários conjuntos que são densos em espaços normados.

1.4 Aplicações Contínuas

Definição 1.18 Sejam X, Y espaços normados e A 6= ∅ um subconjunto de X. Uma aplicaçãof : A ⊂ X → Y é contínua no ponto a ∈ A se, para todo ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que

x ∈ A e ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖ f (x)− f (a)‖ < ε.

Quer dizer, dado ε > 0, existe uma bola aberta Bδ(a) tal que f (Bδ(a) ∩ A) ⊂ Bε( f (a)).Se f for contínua em todos os pontos a ∈ A, dizemos que f é contínua em A ou,

simplesmente, que f é contínua.

Uma caracterização da continuidade de uma aplicação é dada por:

Teorema 1.19 Sejam X, Y espaços normados. Uma aplicação f : A ⊂ X → Y é contínua noponto a ∈ A se, e somente se, toda seqüência (xk) ⊂ A com xk → a satisfizer f (xk) → f (a).

Demonstração: Dado ε > 0, a continuidade de f em a garante a existência de δ > 0tal que f (Bδ(a) ∩ A) ⊂ Bε( f (a)). Como xk → a, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0implica xn ∈ Bδ(a). Decorre daí que f (xk) ∈ Bε( f (a)) para todo n ≥ n0, provandoque f (xk) → f (a). Reciprocamente, se f for descontínua no ponto a, existem ε > 0 exn ∈ B1/n(a)∩ A tais que ‖ f (xn)− f (a)‖ > ε, para todo n ∈ N suficientemente grande.A seqüência assim construída converge para a, mas f (xn) não converge para f (a). 2

Caracterizações alternativas da continuidade de uma aplicação são dadas peloseguinte resultado:

Teorema 1.20 Sejam X, Y espaços normados e f : A ⊂ X → Y uma aplicação. Sãoequivalentes:

(i) f é contínua;

(ii) a imagem inversa f−1(U) de todo conjunto aberto U ⊂ Y for um conjunto aberto em A;

1.5. CONJUNTOS COMPACTOS 7

(iii) a imagem inversa f−1(F) de todo conjunto fechado F ⊂ Y for um conjunto fechado emA.

Demonstração: Suponhamos que f seja contínua e tomemos arbitrariamente x ∈f−1(U). Isso quer dizer que f (x) ∈ U. Como U é aberto, existe ε > 0 tal queBε( f (x)) ⊂ U. Como f é contínua, existe δ > 0 tal que f (Bδ(x) ∩ A) ⊂ Bε( f (x)) ⊂ U.Isso quer dizer que Bδ(x) ∩ A ⊂ f−1(U), mostrando que f−1(U) é aberto e provandoque (i) implica (ii).

Supondo (ii), dados x ∈ A e ε > 0, considere o aberto U = Bε( f (x)) ⊂ Y. Comof−1(U) é aberto, esse conjunto tem a forma V ∩ A, em que V ⊂ X é um aberto, comx ∈ V ∩ A. Como V é aberto, existe δ > 0 tal que Bδ(x) ∩ A ⊂ V ∩ A. Assim,f (Bδ(x) ∩ A) ⊂ Bε( f (x)), mostrando a continuidade de f no ponto x ∈ A. Como esseponto é arbitrário, completamos a prova de (i). Assim, as duas primeiras afirmaçõessão equivalentes.

Tomando o complementar de A \ F, verificamos a equivalência entre (ii) e (iii). 2

Note que, se A = X, as imagens inversas dos itens (ii) e (iii) do Teorema 1.20 são,respectivamente, conjuntos abertos e fechados no espaço normado X.

No caso especial B ⊂ Y for um conjunto com um único elemento x, denotamosf−1(B) = f−1({x}) simplesmente por f−1(x).

A demonstração do próximo resultado é imediata (veja o Exercício 14).

Proposição 1.21 Sejam X, Y e Z espaços normados. Se as aplicações f : A ⊂ X → Y eg : B ⊂ Y → Z forem contínuas nos pontos a ∈ A e f (a) ∈ B, então g ◦ f : A → Z é contínuano ponto a. Em particular, se f (A) ⊂ B e se f e g forem contínuas, então g ◦ f é contínua.

1.5 Conjuntos Compactos

Definição 1.22 Seja X um espaço normado. Um conjunto K ⊂ X é compacto,2 se todaseqüência (xn) de elementos de K possuir uma subseqüência que converge para um elemento deK. Um conjunto R é relativamente compacto se R for compacto.

O próximo resultado tem demonstração imediata (veja o Exercício 10):

Proposição 1.23 Um subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto.

Mostraremos agora um resultado fundamental:

Teorema 1.24 Sejam X um espaço normado e K ⊂ X um conjunto compacto. Então K élimitado e fechado.

Demonstração: De acordo com o Teorema 1.14, para provarmos que K é fechado, bastamostrar que toda seqüência convergente (xn) ⊂ K possui seu limite x em K. Mas, porhipótese, existe uma subseqüência (xnj) tal que xnj → y ∈ K. A unicidade do limite de(xn) garante que xn → y. Mas isso implica que x = y e, portanto, x ∈ K. Suponhamos,agora, que K não seja limitado. Isso quer dizer que existe uma seqüência (xn) ⊂ K tal

2Mais precisamente, estamos definindo o que é um conjunto sequencialmente compacto. Veja a Definição1.80 para a noção de compacto definida por meio de coberturas e o Exercício 49 para a equivalência entreas duas definições.


que ‖xn‖ ≥ n para todo n ∈ N. Essa seqüência não possui subseqüência convergentee, portanto, K não pode ser compacto. 2

O próximo resultado tem consequências muito importantes:

Teorema 1.25 Sejam X, Y espaços normados. A imagem de um conjunto compacto K ⊂ A poruma aplicação contínua f : A ⊂ X → Y é um conjunto compacto.

Demonstração: Dada uma seqüência (yk) ∈ f (K), para todo k ∈ N existe xk ∈ K tal quef (xk) = yk. Como K é compacto, a seqüência (xk) possui subseqüência convergente:xk j → x0 ∈ K. Em virtude do Teorema 1.19, temos que (yk j) = ( f (xk j)) converge paraf (x0). 2

Corolário 1.26 Sejam X um espaço normado e f : A ⊂ X → R uma função contínua. SeK ⊂ A for compacto, então f assume máximo e mínimo em K. Ou seja, existem xm, xM ∈ Ktais que

f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM), ∀ x ∈ K.

Demonstração: Como f (K) é limitado e fechado, os números supx∈K

f (x) ∈ R e infx∈K

f (x) ∈R são atingidos em pontos xM ∈ K e xm ∈ K, respectivamente. 2

Em muitas situações, consideramos a restrição de uma aplicação contínua aum subconjunto compacto. Aplicações contínuas definidas em compactos tem umcomportamento muito especial, como veremos.

Definição 1.27 Sejam X, Y espaços normados. Uma aplicação f : A ⊂ X → Y éuniformemente contínua no conjunto A se, para todo ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que

‖x − y‖ < δ ⇒ ‖ f (x)− f (y)‖ < ε, para quaisquer x, y ∈ A.

Se existir uma constante λ > 0 tal que ‖ f (x)− f (y)‖ ≤ λ‖x − y‖, então dizemos que fé lipschitziana com constante de Lipschitz λ.

Compare com a definição de continuidade da aplicação f : A → Y, que se dá numavizinhança de cada ponto x ∈ A: para cada ε > 0 e x ∈ A, existe δ = δ(x) tal que‖y − x‖ < δ e y ∈ A implicam ‖ f (y)− f (x)‖ < ε. A noção de continuidade uniformeé um conceito global, pois nos informa sobre o comportamento de f em todos os pontosde A: para cada ε > 0, o valor de δ independe do ponto x ∈ A. Note que toda aplicaçãolipschitziana é uniformemente contínua.

Exemplo 1.28 No espaço normado X, uma norma ‖ · ‖ : X → R é lipschitziana. Defato, ∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ ≤ ‖x − y‖. ¢

Teorema 1.29 Sejam X, Y espaços normados e K ⊂ X um conjunto compacto. Toda aplicaçãocontínua f : K ⊂ X → Y é uniformemente contínua.

1.6. CONVERGÊNCIAS PONTUAL E UNIFORME 9

Demonstração: Suponhamos que f não seja uniformemente contínua. Então existiriamε > 0 e pontos xn, yn ∈ A tais que ‖xn − yn‖ < 1

n e ‖ f (xn) − f (yn)‖ ≥ ε. Passando auma subsequência, se necessário, podemos supor que xn → x ∈ K, pois xn pertence aocompacto K. Daí, concluímos (para essa subsequência) que yn → x. A continuidade def no ponto x garante, então, que (veja o Exemplo 1.28)

limn→∞

‖ f (xn)− f (yn)‖ =∥∥∥ lim

n→∞

(f (xn)− f (yn)

)∥∥∥ = ‖ f (x)− f (x)‖ = 0,

o que é uma contradição com ‖ f (xn) − f (yn)‖ ≥ ε para todo n ∈ N. Assim, f éuniformemente contínua. 2

Nas condições do Teorema 1.29 e com A ⊂ K arbitrário, podemos concluir que arestrição f : A → Y é uniformemente contínua. O Teorema 1.29 também é utilizado emcombinação com a Desigualdade do Valor Médio (veja [21] ou [24]).

1.6 Convergências Pontual e Uniforme

Como os espaços considerados neste texto são, em geral, espaços de funções, éimportante considerarmos e compararmos diferentes noções de convergência neles.

Definição 1.30 Sejam A um conjunto qualquer e Y um espaço normado. Uma seqüência ( fn)de aplicações fn : A → Y converge pontualmente para a aplicação f : A → Y se, para todox ∈ A, tem-se fn(x) → f (x).

A seqüência ( fn) converge uniformemente para f se, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

n ≥ n0 ⇒ ‖ fn(x)− f (x)‖ < ε, ∀ x ∈ A.

A convergência uniforme de uma seqüência de funções será denotada por

fn → f uniformemente ou fn ⇒ f .

Na convergência pontual, dado ε > 0 e fixado x ∈ A, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0implica ‖ fn(x)− f (x)‖ < ε. Mas esse valor de n0 pode depender do ponto x ∈ A. Essadependência não existe no caso da convergência uniforme. (Note que a convergênciauniforme implica a convergência pontual.)

-

6 f .t/C�

f .t/

f .t/��

fn.t/

Ra b

R

Figura 1.1: Uma seqüência fn : [a, b] → R converge uniformemente para f : [a, b] → Rse, dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica ‖ fn(t) − f (t)‖ < ε para todot ∈ [a, b].


Observe que as definições de convergência pontual e uniforme utilizam apenas anorma do espaço Y. Uma vez que F = { f : A → Y} é um espaço vetorial, é naturalperguntar se podemos definir uma norma em F de forma que a convergência nessanorma seja equivalente às convergências pontual e uniforme.

Exemplo 1.31 Consideremos o espaço normado C([a, b],R

), mencionado no Exemplo

1.11, com sua norma ‖ f ‖∞ = supt∈[a,b]

| f (t)|.Vale

fn ⇒ f ⇔ ‖ fn − f ‖∞ → 0,

pois ‖ fn − f ‖∞ ≤ ε se, e somente se, | fn(t)− f (t)| ≤ ε para todo t ∈ [a, b]. Por essemotivo, ‖ · ‖∞ é chamada norma da convergência uniforme. Uma outra notação usualpara ‖ · ‖∞ é ‖ · ‖sup. ¢

Exemplo 1.32 No mesmo espaço C([a, b],R

)tratado no Exemplo anterior, considere-

mos a questão: existe alguma norma ‖ · ‖ nesse espaço que produza a convergênciapontual, isto é, existe ‖ · ‖ tal que

‖ fn − f ‖ → 0 ⇔ fn(t) → f (t), ∀ t ∈ [a, b] ?

Para responder a essa pergunta, consideremos [a, b] = [0, 1] e a seqüência defunções gn : [0, 1] → R definida por

gn(t) =

2nt, se 0 ≤ t ≤ 2−n,2 − 2nt, se 2−n ≤ t ≤ 21−n,

0, nos demais casos.

-

6

��DDDDDDDDDDD

t12n

gn.t/

1

Figura 1.2: A seqüência gn : [0, 1] → R converge pontualmente para g ≡ 0.

Para todo t ∈ [0, 1] temos que gn(t) → 0. De fato, se t > 0, temos que gn(t) = 0sempre que 21−n < t. Assim, gn(t) → 0 para todo t > 0. Por outro lado, gn(0) = 0 paratodo n, o que completa a prova de nossa afirmação.

Consideremos então essa norma arbitrária em C([0, 1],R

). Como gn 6= 0 para todo

n ∈ N, temos ‖gn‖ = cn > 0. Definimos então fn = gn/‖gn‖. A função fn tem gráficosemelhante ao da função gn, de modo que fn(x) → 0 para todo x ∈ [0, 1]. Claramente‖ fn‖ = 1, de modo que fn não converge na norma ‖ · ‖ para a função 0. Isso mostraque não existe uma norma ‖ · ‖ em C

([0, 1],R

)para a qual a convergência seja o mesmo

que convergência pontual. ¢

1.7. ESPAÇOS DE BANACH 11

Teorema 1.33 Sejam X, Y espaços normados e fn : A ⊂ X → Y. Se fn convergiruniformemente para f , e se as aplicações fn forem todas contínuas no ponto a ∈ A, entãof é contínua no ponto a.

Em particular, se as aplicações fn forem contínuas, a aplicação f é contínua.

Demonstração: Dado ε > 0, tome n0 ∈ N tal que ‖ fn(x) − f (x)‖ < ε/3 para todon ≥ n0 e x ∈ A. Como fn é contínua no ponto a ∈ A, existe δ > 0 tal que

x ∈ A e ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖ fn(x)− fn(a)‖ <ε

3.

Logo, se x ∈ A e ‖x − a‖ < δ, vale

‖ f (x)− f (a)‖ ≤ ‖ f (x)− fn(x)‖+ ‖ fn(x)− fn(a)‖+ ‖ fn(a)− f (a)‖<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε,

desde que tomemos n ≥ n0. 2

Exemplo 1.34 Considere a seqüência fn(t) = tn, com t ∈ [0, 1]. Claramente fn(t) → 0para todo t ∈ [0, 1) e fn(1) = 1. Assim, fn converge pontualmente para a função

f (t) ={

0, se t ∈ [0, 1);1, se t = 1.

Logo, fn não converge uniformemente para f , pois cada fn é contínua, enquanto fé descontínua em t = 1. ¢

1.7 Espaços de Banach

Definição 1.35 Uma seqüência (xn) num espaço normado X é de Cauchy se, para todo ε > 0dado, existir n0 ∈ N tal que

m, n ≥ n0 ⇒ ‖xm − xn‖ < ε.

Não é difícil mostrar que toda seqüência convergente é de Cauchy. Além disso,toda seqüência de Cauchy é limitada e, se uma seqüência de Cauchy admitir umasubseqüência convergente, então a própria seqüência é convergente, convergindo parao mesmo limite da subsequência. (Veja o Exercício 18.)

Proposição 1.36 Sejam X, Y espaços normados e f : A ⊂ X → Y uma aplicaçãouniformemente contínua. Então, se (xn) ⊂ A for uma seqüência de Cauchy, ( f (xn)) ⊂ Yé de Cauchy.

Demonstração: Seja (xn) uma seqüência de Cauchy em A. Dado ε > 0, o fato def ser uniformemente contínua garante a existência de δ > 0 tal que, se x, y ∈ A e‖x − y‖ < δ, então ‖ f (x)− f (y)‖ < ε. Como (xn) é de Cauchy, existe n0 ∈ N tal quem, n ≥ n0 implica ‖xm − xn‖ < δ. Portanto,

n, m ≥ n0 ⇒ ‖ f (xm)− f (xn)‖ < ε. 2


Definição 1.37 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F ⊂ X é completo, se todaseqüência de Cauchy de elementos de F convergir para um elemento de F. Um espaço normadocompleto é chamado espaço de Banach.

Exemplo 1.38 A reta real(R, | · |) é um espaço normado completo, como sabemos de

um curso de Análise na Reta. Passando às coordenadas de uma seqüência de Cauchyno Rn com qualquer de suas normas habituais (introduzidas no Exemplo 1.8), verificamosque esse espaço é completo, pois essas coordenadas também são seqüências de Cauchy.A identificação de (x, y) ∈ R2 com x + iy ∈ C nos permite concluir que

(C, | · |) é

completo e, como no caso do Rn, vemos que Cn é completo com qualquer das normasdo Exemplo 1.8. Assim, para todo n ∈ N, concluímos queKn é completo com qualquer desuas normas habituais. ¢

Observação 1.39 Considerando uma seqüência (xn) emKn com uma norma arbitrária,(ainda) não podemos concluir que cada uma das coordenadas de (xn) também é umaseqüência de Cauchy. Por esse motivo, o Exemplo 1.38 exige que a norma consideradaem Kn seja uma das normas habituais. ¢

Exemplo 1.40 Todo subespaço fechado F de um espaço de Banach X é, por si, umespaço de Banach. De fato, se (xn) ⊂ F for uma seqüência de Cauchy, (xn) convergepara x0 ∈ X. Como F é fechado, x0 ∈ F. ¢

1.8 Aplicações Lineares Contínuas

Se X e Y forem espaços normados, nem toda aplicação linear T : X → Y é contínua.Para mostrarmos esse fato, começamos caracterizando a continuidade de aplicaçõeslineares:3

Teorema 1.41 Sejam X e Y espaços normados e T : X → Y uma aplicação linear. Sãoequivalentes as propriedades:

(i) existe M > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ M‖x‖ para todo x ∈ X;

(ii) T é lipschitziana: ‖Tx − Ty‖ ≤ M‖x − y‖;

(iii) T é contínua na origem;

(iv) T é limitada: sup‖x‖≤1

‖Tx‖ = M < ∞.

Demonstração: Como ‖Tx − Ty‖ = ‖T(x − y)‖ ≤ M‖x − y‖, vemos que (i) implica(ii). É claro que (ii) implica (iii). Se T for contínua na origem, existe δ > 0 tal que‖Ty‖ ≤ 1, para ‖y‖ ≤ δ. Se ‖x‖ ≤ 1, então ‖δx‖ ≤ δ e, portanto, ‖T(δx)‖ ≤ 1. Issogarante que ‖Tx‖ ≤ (1/δ), provando (iv). Finalmente, se x 6= 0, então x/‖x‖ temnorma 1 e, portanto,

∥∥T (x/‖x‖) ∥∥ ≤ M. Daí segue-se que ‖Tx‖ ≤ M‖x‖ para todo x,mostrando que (iv) implica (i). 2

3Em geral, representaremos uma aplicação linear por uma letra latina maiúscula: R, S, T etc. Contudo,funcionais lineares, isto é, aplicações lineares de X em K, geralmente serão representadas por letrasminúsculas: f , g, α etc. No caso de aplicações lineares, usualmente denotaremos T(x) por Tx, reservandoo uso de parênteses para situações que puderem suscitar dúvidas. Contudo, manteremos o uso deparênteses no caso de funcionais lineares: f (x), γ(y) etc.

1.9. NORMAS EQUIVALENTES 13

Observação 1.42 Note que a definição de uma aplicação linear limitada é diferentedaquela de uma aplicação (não linear) limitada, de acordo com o Exemplo 1.10. ¢

Exemplo 1.43 Consideremos o espaçoR[t], abordado no Exemplo 1.5. Definimos, parap ∈ R[t],

‖p‖ = supt∈[0,1/2]

|p(t)|.

O Teorema Fundamental da Álgebra garante que ‖ · ‖ é uma norma em R[t].Definimos agora α : (R[t], ‖ · ‖) → (R, | · |) por α(p) = p(1). Claramente α é linear.Mas α é descontínua no polinômio p = 0. De fato, tomando ε = 1, consideremos opolinômio pn(t) = tn. (Compare com o Exemplo 1.34.) Claramente ‖pn − 0‖ = 1/2n,enquanto |α(pn)− 0| = 1 para todo n ∈ N. ¢

Corolário 1.44 Seja T : X → Y uma aplicação linear sobrejetora. Então, T é umhomeomorfismo4 linear (isto é, uma bijeção linear contínua com inversa contínua) se, esomente se, existirem constantes κ > 0 e λ > 0 tais que

κ‖x‖ ≤ ‖Tx‖ ≤ λ‖x‖.

Demonstração: Se T for um homeomorfismo linear, existem λ > 0 e µ > 0 taisque ‖Tx‖ ≤ λ‖x‖ e ‖T−1y‖ ≤ µ‖y‖. Mas Tx = y se, e somente se, x = T−1y.Assim, a última desigualdade é o mesmo que κ‖x‖ ≤ ‖Tx‖, com κ = µ−1. Reci-procamente, a desigualdade ‖Tx‖ ≤ λ‖x‖ garante que a aplicação linear T é contínua.Mas κ‖x‖ ≤ ‖Tx‖ garante que T é injetora. Como T é sobrejetora, existe T−1 : Y → X.Assim, κ‖x‖ ≤ ‖Tx‖ se, e somente se, ‖T−1y‖ ≤ κ−1‖y‖, mostrando que T−1 écontínua. 2

Compare o Corolário 1.44 com o Exercício ?? do Capítulo ??.

Exemplo 1.45 Seja X um espaço de dimensão finita, B = {x1, . . . , xn} uma base deX e ‖ · ‖ uma norma em Kn. Consideremos, como no Exemplo 1.8, a aplicaçãoI :

(X, ‖ · ‖X

) → (Kn, ‖ · ‖) definida por Ix = [x]B ∈ Kn, em que ‖ · ‖X denota a

norma induzida por ‖ · ‖. A aplicação I é um homeomorfismo linear entre os espaços(X, ‖ · ‖X

)e(Kn, ‖ · ‖), pois ‖Ix‖ = ‖x‖X. ¢

1.9 Normas Equivalentes

Algumas vezes, um espaço vetorial X é espaço normado com diferentes escolhas denormas (veja o Exemplo 1.8). Cada uma dessas normas define, em princípio, diferentestopologias, isto é, diferentes conceitos do que seja um conjunto aberto.5 Pode serimportante saber se um conjunto aberto em uma topologia também é aberto na outratopologia. É o que agora tratamos.

4O significado da palavra isomorfismo depende do contexto considerado. Assim, na Álgebra Linear,designa simplesmente uma bijeção linear T : X → Y. No contexto de espaços vetoriais normados,adicionalmente exige que T e T−1 sejam contínuas. Para não causar dúvidas, evitaremos a utilizaçãoda palavra isomorfismo.

5Note que conceitos como conjunto limitado, fechado, aplicação contínua etc, são todos dependentesda topologia considerada.


Definição 1.46 Duas normas ‖ · ‖0 e ‖ · ‖1 num espaço X são equivalentes, se a aplicaçãoidentidade I : (X, ‖ · ‖0) 7→ (X, ‖ · ‖1) for um homeomorfismo. Em outras palavras, quandoexistirem constantes κ > 0 e λ > 0 de modo que

κ‖x‖0 < ‖x‖1 ≤ λ‖x‖0.

Resulta dessa definição que um conjunto aberto na topologia gerada pela norma‖ · ‖0 é um conjunto aberto na topologia gerada pela norma ‖ · ‖1, e vice-versa. Assim,as duas topologias definem os mesmos conjuntos abertos. (Veja o Exercício 19.)

Exemplo 1.47 Sejam X, Y espaços normados. É fácil verificar que o produto cartesianoX × Y é um espaço vetorial. Podemos imitar as normas definidas no espaçoKn (veja oExemplo 1.8) e introduzir diferentes normas em X × Y. De fato,

‖(x, y)‖ =√‖x‖2 + ‖y‖2,

‖(x, y)‖s = ‖x‖+ ‖y‖,‖(x, y)‖∞ = max

{‖x‖, ‖y‖},

são normas em X × Y, como verificamos facilmente. (A desigualdade triangular, nocaso da norma ‖ · ‖, pode ser provada utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz– veja o Capítulo ?? – ou ser obtida como conseqüência do Teorema 1.74.)

Conforme o Exercício 20, temos

‖(x, y)‖∞ ≤ ‖(x, y)‖ ≤ ‖(x, y)‖s ≤ 2‖(x, y)‖∞,

mostrando que essas normas são equivalentes. Com qualquer dessas normas, dizemosque X × Y está munido da topologia produto.

Esse exemplo generaliza-se para o produto cartesiano X1 × · · · × Xn de n espaçosnormados. Como consequência, as normas habituais do espaço Kn, definidas noExemplo 1.8, são todas equivalentes. (Veja o Exercício 21.) ¢

1.10 Espaços Normados de Dimensão Finita

Nesta seção estudaremos propriedades que caracterizam os espaços normados dedimensão finita. Se X tiver dimensão finita, vamos mostrar que todas as normas em X sãoequivalentes e que toda aplicação linear T : X → Y entre espaços normados é contínua.

Começamos recordando um resultado básico, cuja demonstração omitimos:seqüências limitadas de números reais possuem subseqüências convergentes.

Esse resultado continua válido em(C, | · |): dada uma seqüência limitada (zk) ⊂ C,

identificamos zk = (xk, yk). A seqüência real (xk) é limitada6 e possui, portanto,uma subseqüência convergente (xk j). Por sua vez, a subseqüência real (yk j) tambémé limitada e possui, assim, uma subseqüência convergente (yk j`

). Logo, (zk j`) =

((xk j`, yk j`

)) é uma subseqüência convergente. Escolhida uma base do espaço dedimensão finita X, podemos generalizar esse resultado para X com qualquer de suas normashabituais (introduzidas no Exemplo 1.8): passamos sucessivamente, como no caso deK = C, a subseqüências convergentes de cada uma das coordenadas da representação

6De acordo com o Exercício 4.

1.10. ESPAÇOS NORMADOS DE DIMENSÃO FINITA 15

na base B de uma seqüência limitada em X. (Veja o Exercício 22.) Além disso, conjuntoslimitados e fechados K ⊂ X são compactos: dada uma seqüência (xn) em K, ela possuiuma subseqüência convergente (xnj). Como K é fechado, xnj → x ∈ K. Temos, assim:

Teorema 1.48 (Bolzano-Weierstraß - Versão Preliminar)Seja X um espaço de dimensão finita com qualquer de suas normas habituais. Então

toda seqüência limitada possui uma subseqüência convergente. Em particular, se K ⊂ X forlimitado e fechado, então K é compacto.

Observação 1.49 Note que (ainda) não sabemos que, com relação a uma normaarbitrária no espaço de dimensão finita X, as coordenadas de uma seqüência limitadaem X também formam seqüências limitadas! ¢

Teorema 1.50 Todas as normas em um espaço X de dimensão finita são equivalentes.

Demonstração: Seja ‖ · ‖ uma norma arbitrária no espaço X. Escolha uma baseB = {x1, . . . , xn} em X e considere x = α1x1 + . . . + αnxn ∈ X. Como já vimos noExemplo 1.8, ‖x‖s = ∑n

i=1 |αi| define uma norma em X.Vamos mostrar que as normas ‖ · ‖ e ‖ · ‖s são equivalentes. Temos que

‖x‖ =

∥∥∥∥∥n

∑i=1

αixi

∥∥∥∥∥ ≤n

∑i=1

|αi| ‖xi‖ ≤ max1≤i≤n

‖xi‖n

∑i=1

|αi| = λ‖x‖s, (1.2)

em que λ = max1≤i≤n

‖xi‖. Essa desigualdade mostra que a aplicação identidade

I :(X, ‖ · ‖s

) → (X, ‖ · ‖) é contínua.

Resta mostrar que κ‖x‖s ≤ ‖x‖ para algum κ > 0. Suponhamos que essadesigualdade não se verifique. Então, para cada n ∈ N, poderíamos encontrarxn ∈ X tal que ‖xn‖s > n‖xn‖ e, definindo un = xn/‖xn‖s, teríamos que (un) é umaseqüência tal que ‖un‖s = 1. De acordo com o Teorema de Bolzano-Weierstraß (versãopreliminar), existiria uma subseqüência (unj) que convergiria para u em

(X, ‖ · ‖s

).

Como ‖unj‖s = 1, teríamos que ‖u‖s = 1. Por outro lado, com relação à norma ‖ · ‖,valeria ‖un‖ = ‖xn‖/‖xn‖s < 1/n e, portanto,

‖u‖ ≤ ‖u − unj‖+ ‖unj‖ ≤ λ‖u − unj‖s +1nj

.

O lado direito da desigualdade tende a zero quando j → ∞, o que implica que ‖u‖ = 0e, portanto, u = 0. Isso é uma contradição, pois ‖u‖s = 1. 2

Corolário 1.51 Todo espaço normado de dimensão finita é completo.

Demonstração: De fato, normas equivalentes geram as mesmas sequências de Cauchy.Assim, se xn → x0 em uma norma, então xn → x0 na outra norma. Como já vimos queKn é completo com qualquer norma das normas definidas no Exemplo 1.8, ele tambémé completo com uma norma arbitrária ‖ · ‖.

Tendo em vista o Exemplo 1.45, isso significa que (X, ‖ · ‖X) é completo. Mas,como todas as normas em X são equivalentes, o espaço X é completo com uma normaarbitrária ‖ · ‖. 2


Corolário 1.52 (Bolzano-Weierstraß) Conjuntos limitados e fechados de um espaçonormado de dimensão finita X são compactos.

Demonstração: Considerado com qualquer de suas normas habituais, o Teorema deBolzano-Weierstraß 1.48 garante que qualquer conjunto K ⊂ X limitado e fechado écompacto. Como todas as normas em X são equivalentes, o resultado decorre. 2

Exemplo 1.53 Conjuntos limitados e fechados de um espaço normado de dimensãoinfinita não são, necessariamente, compactos. Consideremos, por exemplo, o espaçoC([0, 1],R

)com a norma ‖ · ‖∞, tal qual no Exemplo 1.31. A bola B1(0) ⊂ C

([0, 1],R

)é um conjunto limitado e fechado, mas não é compacto. Com efeito, considere aseqüência ( fn) ⊂ B1(0), em que fn(t) = tn. Como a convergência em C

([0, 1],R

)é uniforme, o Teorema 1.33 garante que ( fn) não possui subseqüência convergente.Compare o que fizemos aqui com o Exemplo 1.32. ¢

Corolário 1.54 Sejam X, Y espaços normados sobre o corpo K. Se X tiver dimensão finita,então toda aplicação linear T : X → Y é contínua.

Demonstração: Considere x = α1x1 + . . . + αnxn, em que {x1, . . . , xn} é uma base de X.Então

‖Tx‖ =n

∑i=1

|αi‖ ‖xi‖ ≤ max1≤i≤n

‖Txi‖n

∑i=1

|αi| = λ‖x‖s,

em que λ = max1≤i≤n ‖Txi‖ e ‖x‖s = ∑ni=1 |αi| é uma norma em X. Como todas as

normas em X são equivalentes, o resultado está provado. 2

Definição 1.55 Seja X um espaço normado e A ⊂ X um subconjunto não vazio arbitrário.Definimos a distância do ponto x0 ∈ X ao conjunto A, denotada dist (x0, A), por

dist (x0, A) = infa∈A

{‖x0 − a‖ : a ∈ A}

.

Teorema 1.56 (F. Riesz)Seja Y ⊂ X um subespaço fechado de um espaço normado X, com Y 6= X. Então, dado

0 < ε < 1, existe xε ∈ X, com ‖xε‖ = 1, tal que dist (xε, Y) > 1 − ε.

Demonstração: Escolha arbitrariamente x ∈ X tal que x 6∈ Y. Seja δ = dist (x, Y).De acordo com o Exercício 24, temos δ > 0. Dado ε > 0, escolha y0 ∈ Y tal queδ ≤ ‖x − y0‖ ≤ δ(1 + ε). Definimos então

xε =x − y0

‖x − y0‖ .

Vale ‖xε‖ = 1 e, para todo y ∈ Y,

‖y − xε‖ =

∥∥∥∥y +y0 − x

‖x − y0‖∥∥∥∥ =

1‖x − y0‖

∥∥∥∥y‖x − y0‖+ y0 − x∥∥∥∥

≥ δ

‖x − y0‖ ≥ δ

δ(1 + ε)> 1 − ε.

1.11. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 17

(A primeira desigualdade é conseqüência de y‖x − y0‖ + y0 ∈ Y e dist (x, Y) ≥ δ; aúltima, de propriedade da série geométrica.) 2

O Exercício 26 pede que se mostre que, se X tiver dimensão finita, então podemostomar ε = 0. Diferindo bastante de nossa concepção usual do espaço Kn, o mesmopode não acontecer em um espaço normado de dimensão infinita: dado um subespaçofechado Y de um espaço de Banach X, pode não existir um ponto x ∈ B1(0) ⊂ X talque d(x, Y) = 1 (veja o Exercício 27).

Corolário 1.57 Seja X um espaço normado. Conjuntos limitados e fechados de X sãocompactos se, e somente se, X tiver dimensão finita.

Demonstração: Suponhamos que X não tenha dimensão finita. Tome 0 < ε < 1. Aaplicação do Teorema 1.56 garante então a existência de uma seqüência xn ∈ X, com‖xn‖ = 1 e ‖xn − xm‖ > 1 − ε para m 6= n. De fato, escolha x1 com norma unitáriae, supondo escolhidos indutivamente x2, . . . , xn, defina Y como o espaço vetorial dedimensão finita gerado por x1, . . . , xn. Como Y é fechado, podemos tomar um vetorunitário xn+1 ∈ X com dist (xn+1, Y) > 1 − ε. Então ‖xn+1 − xm‖ ≥ dist (xn+1, Y) >1 − ε para m = 1, . . . , n. A seqüência assim escolhida é limitada, mas não possuisubseqüência convergente.

Por outro lado, se dim X = n, então o Corolário 1.52 garante que conjuntoslimitados e fechados são compactos. 2

Observação 1.58 Seja X um espaço normado. Enunciados equivalentes para oCorolário 1.57 são os seguintes:

(i) toda seqüência limitada em X possui subseqüência convergente se, e somente se, dim X <∞;

(ii) se r > 0, a bola Br(0) em X é compacta se, e somente se, dim X < ∞. ¢

Uma conseqüência importante do Corolário 1.57 é que, em um espaço de dimensãoinfinita, conjuntos compactos sempre têm interior vazio. (Veja os Exercícios 30 e 31.)

1.11 O Teorema de Arzelà-Ascoli

Como vimos, em espaços de dimensão infinita a caracterização de subconjuntoscompactos exige mais do conjunto do que ele ser limitado e fechado. Mas conjuntoscompactos são fundamentais: neles, sequências possuem subsequências convergentes,o que é uma propriedade importante em muitas aplicações. Em certos espaços defunções temos um critério alternativo para mostrar a compacidade de subconjuntos.O principal desses resultados é o Teorema de Arzelà-Ascoli, que apresentaremos nestaseção.

Sejam X um espaço normado, S ⊂ X um compacto e Y um espaço de Banach. Noenunciado do Teorema de Arzelà-Ascoli lidamos com o espaço de Banach7

C(S, Y) = { f : S → Y : f é contínua }.

7Veja os Exercícios 35 e 36.


Observação 1.59 Com a norma de C(S, Y), a aplicação vx : C(S, Y) → Y, definida porvx( f ) = f (x) satisfaz

‖ f − g‖sup < δ ⇒ ‖vx( f )− vx(g)‖ = ‖ f (x)− g(x)‖ < δ.¢

Definição 1.60 Um subconjunto A ⊂ C(S, Y) é equicontínuo em um ponto x0 ∈ S se, dadoε > 0 existir δ > 0 tal que

x ∈ S, ‖x − x0‖ < δ ⇒ ‖ f (x)− f (x0)‖ ≤ ε, ∀ f ∈ A.

O subconjunto A é equicontínuo, se for equicontínuo em cada um de seus pontos.O conjunto A é uniformemente equicontínuo se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x, y ∈ S, ‖x − y‖ < δ ⇒ ‖ f (x)− f (y)‖ < ε, ∀ f ∈ A.

Lema 1.61 Seja A ⊂ C(S, Y) um subconjunto equicontínuo. Então A é uniformementeequicontínuo.

Demonstração: Caso contrário, existiriam ε > 0, sequências (xj), (yj) ∈ S, com‖xj − yj‖ ≤ 1/n e uma sequência ( f j) em A, tais que

‖ f j(xj)− f j(yj)‖ ≥ ε.

Como S é compacto, passando a uma subsequência, podemos supor que xj → x0 e,portanto, yj → x0. Mas então

ε ≤ ‖ f j(xj)− f j(x0)‖+ ‖ f j(x0)− f j(yj)‖,

o que contradiz a equicontinuidade de A no ponto x0. (Note que não estamos supondoque ( f j) convirja!) 2

Definição 1.62 Um subconjunto A de um normado X é totalmente limitado se, para todoε > 0 dado, existirem pontos x1, . . . , xm ∈ A tais que

A ⊂m⋃

i=1

Bε(xi).

Lema 1.63 Seja K um conjunto compacto de um espaço normado X. Então K é completo etotalmente limitado.

Demonstração: Uma vez que toda sequência de Cauchy em K converge para umponto de K (pois possui uma subseqüência convergente), vemos que K é completo.Se K não fosse totalmente limitado, existiriam ε > 0 e uma seqüência (xn) em K com‖xi − xj‖ ≥ ε para i 6= j. Essa seqüência não admite subseqüência convergente, o quecontradiz a hipótese. 2

Observação 1.64 Em um espaço normado X, um subconjunto A ⊂ X é compacto se, esomente se, A for completo e totalmente limitado. Veja o Exercício 49. ¢

Lema 1.65 Todo conjunto totalmente limitado T é separável.

1.11. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 19

Demonstração: Para cada n ∈ N e x ∈ T, existe um conjunto finito Fn ⊂ T tal quesupy∈Fn

‖x − y‖ < 1/n. Seja F = ∪n∈NFn. Então F é enumerável e denso em T. 2

Teorema 1.66 (Arzelà-Ascoli)Um subconjunto E ⊂ C(S, Y) é relativamente compacto se, e somente se, E for equicontínuo

e, para cada x ∈ X,E(x) = { f (x) : f ∈ E}

for relativamente compacto em Y.

Demonstração: Suponhamos que E seja relativamente compacto. Como a aplicaçãovx : C(S, Y) → Y definida por vx( f ) = f (x) é contínua, temos que vx(E) é compacto.Uma vez que vx(E) ⊂ vx(E), concluímos que E(x) é relativamente compacto.

Como E é totalmente limitado (Lema 1.63), dado ε > 0, existem funções fi tais que

E ⊂nε⋃

i=1

Bε/3( fi).

Assim, para todo f ∈ E, existe i tal que

‖ f − fi‖sup <ε

3

e, para todos x, x0 ∈ S, temos

| f (x)− f (x0)| ≤ | f (x)− fi(x)|+ | fi(x)− fi(x0)|+ | fi(x0)− f (x0)|≤ 2

ε

3+ max

1≤i≤nε

| fi(x)− fi(x0)|.

Como cada função fi é uniformemente contínua, existe δ > 0 tal que ‖x − x0‖ < δimplica ‖ fi(x) − fi(x0)‖ < ε/3 para todo 1 ≤ i ≤ nε, o que garante que E éequicontínuo.

Reciprocamente, seja R1 = { f11, f12, . . . , f1n, . . .} uma sequência arbitrária em E.De acordo com o Lema 1.65, existe um conjunto D = {x1, . . . , xn, . . .} ⊂ S densoem S. Por hipótese, o conjunto R1(x1) = { f11(x1), . . . , f1n(x1), . . .} é relativamentecompacto em Y. Assim, existe uma subseqüência R2 = { f21, f22, . . . , f2n, . . .} deR1 tal que ( f2n(x1)) converge em Y. Consideremos então a seqüência R2(x2) ={ f21(x2), f22(x2), . . . , f2n(x2), . . .}. Como antes, nossa hipótese garante a existênciade uma subseqüência R3 = { f31, . . . , f3n, . . .} de R2 tal que ( f3n(x2)) converge.Continuando dessa maneira, obtemos, para todo k ∈ N, uma subsequência Rk de Rk−1tal que ( fkn(xk−1)) converge em Y. Definimos então a seqüência R = ( fk) por fk = fkk.(Esse é o método diagonal de Cantor.) Então, para todo x ∈ D, fk(x) converge.

Para concluir a demonstração, mostraremos que ( fk) é uma seqüência de Cauchyno espaço C(S, Y). Quer dizer, dado ε > 0, queremos mostrar a existência de n0 ∈ Ntal que ‖ fm − fn‖sup ≤ ε para quaisquer m, n ≥ n0. Seja y ∈ S arbitrário.

De acordo com o Lema 1.61, ( fk) é uniformemente equicontínua em S. Assim, existeδ > 0 tal que

x, y ∈ S, ‖y − x‖ < δ ⇒ ‖ f (y)− f (x)‖ < ε/3, ∀ f ∈ E.


Tome x ∈ D tal que ‖x − y‖ < δ. Como ( fk(x)) é de Cauchy, existe n0 tal que

m, n ≥ n0 ⇒ ‖ fm(x)− fn(x)‖ < ε/3.

Logo,

‖ fm(y)− fn(y)‖ ≤ ‖ fm(y)− fm(x)‖+ ‖ fm(x)− fn(x)‖+ ‖ fn(x)− fn(y)‖<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

Consequentemente,

‖ fm − fn‖sup = supy∈S

‖ fm(y)− fn(y)‖ ≤ ε,

como queríamos demonstrar. 2

Corolário 1.67 Se dim Y < ∞, então E ⊂ C(S, Y) é relativamente compacto se, e somente se,E for equicontínuo e limitado.

Demonstração: A afirmação direta decorre do Teorema 1.24. Por outro lado, se E forlimitado, então E(x) é limitado para todo x ∈ X. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstraß(Corolário 1.52), podemos aplicar o Teorema de Arzelà-Ascoli. 2

1.12 O Completamento

Definição 1.68 Seja(X, ‖ · ‖) um espaço normado. Definimos o completamento

(X, T

)de

X como um par consistindo de um espaço de Banach(X, ‖ · ‖0

)e uma aplicação linear

T : X → X

que preserva a norma, isto é,‖Tx‖0 = ‖x‖, ∀ x ∈ X,

e tal que T(X) é denso em X.

Teorema 1.69 Todo espaço normado (X, ‖ · ‖) possui um completamento.

Heuristicamente, nada é mais natural do que pensar que o completamento deX será o próprio espaço X unido ao conjunto dos pontos que são limites dasseqüências de Cauchy. O problema é que estes pontos limites ainda não estãodefinidos! Para defini-los, temos que considerar uma seqüência de Cauchy como algointrinsecamente ligado ao ponto para o qual ela vai convergir. Mas isto coloca um outroproblema, de fácil resolução: podemos ter duas seqüências convergindo para o mesmoponto! Igualamos estas seqüências ao definirmos uma relação de equivalência: duasseqüências pertencem à mesma classe se seus elementos aproximam-se arbitrariamente- isto é, se convergem para o mesmo ponto. Tal procedimento permite pensar em cadaponto como uma seqüência de Cauchy, e vice-versa. É o que faremos na demonstraçãoseguinte.

1.12. O COMPLETAMENTO 21

Demonstração: Definimos

X∗ ={

ξ = (xj) : (xj) é uma seqüência de Cauchy em X}

.

Em X∗, consideramos a relação de equivalência:

(xj) ∼ (yj) ⇔ limj→∞

‖xj − yj‖ = 0.

(No contexto da Análise Matemática, é usual denotar a relação ∼ por =).Tomamos então o espaço quociente X = X∗/∼. Em outras palavras, consideramos

a partição de X∗ gerada por essa relação de equivalência. Denotamos por [ξ] a classede equivalência de ξ = (xk). Assim, se (yk) e (zk) são dois representantes da classe[ξ], então limk→∞ ‖yk − zk‖ = 0. O conjunto X é o conjunto das classes de equivalência(disjuntas) de X∗.

Em X, se (xj) e (yj) são representantes de [ξ] e [η], respectivamente, definimos

[ξ] + [η] = [xj + yj] e c[ξ] = [cxj].

É fácil verificar que essas operações estão bem definidas e que, com elas, X é um espaçovetorial.

O espaço X torna-se um espaço normado ao definirmos∥∥ [ξ] ∥∥0 = lim

j→∞‖xj‖. (1.3)

Como a aplicação ‖ · ‖ : X → R é uniformemente contínua (veja o Exemplo 1.28), aProposição 1.36 garante que (‖xj‖) é uma seqüência de Cauchy em R. Portanto, olimite em (1.3) existe. É fácil verificar que

∥∥[ξ]∥∥0 independe do representante escolhidode [ξ]; assim, ‖ · ‖0 está bem definida. É claro que ‖ · ‖0 define uma norma em X.

Seja T : X → X definida por Tx = [(x)], em que (x) designa a seqüência cujostermos são todos iguais a x. A aplicação T é linear e preserva normas. Afirmamos queT(X) é denso em X. De fato, seja [ξ] ∈ X e (xn) um representante de [ξ]. Como (xn) éde Cauchy, dado ε > 0, existe n0 tal que ‖xn − xn0‖ < ε, para todo n ≥ n0. Assim,

∥∥[ξ]− Txn0

∥∥0 =

∥∥[xn − xn0 ]∥∥

0 = limn→∞

‖xn − xn0‖ ≤ ε,

provando o afirmado.Resta provar que X é completo. Para isto, dado ε > 0, consideremos uma seqüência

de Cauchy ([ξ]n) de elementos de X. Fixado n, cada elemento [ξ]n é representado poruma seqüência de Cauchy (xn

i ) de elementos de X e, para este valor de n, existe yn ∈ Xtal que

∥∥ [ξ]n − Tyn∥∥

0 < ε/3,pois T(X) é denso em X. Afirmamos que a seqüência (yn)assim formada é uma seqüência de Cauchy em X. De fato, temos

‖yn − ym‖ = ‖Tyn − Tym‖0 ≤ ∥∥Tyn − [ξ]n∥∥

0 +∥∥ [ξ]n − [ξ]m

∥∥0 +

∥∥ [ξ]m − Tym∥∥

0.

Como ([ξ]n) é de Cauchy, existe n0 tal que m, n ≥ n0 implica∥∥ [ξ]n − [ξ]m

∥∥0 < ε/3. Daí

segue-se o afirmado.Seja ξ = (yn). Afirmamos que ([ξ]n) converge a [ξ] em (X, ‖ · ‖0). De fato, dado

ε > 0, temos ∥∥ [ξ]n − [ξ]∥∥

0 =∥∥ [ξ]n − Tyn

∥∥0,


que tende a zero quando n tende a infinito. 2

Espaços de Banach são muitas vezes construídos por meio do Teorema 1.69 euma das construções usuais do conjunto dos números reais também é feita por esseprocesso. Os espaços Lp da teoria da integração (veja a próxima seção) podem serobtidos assim. A grande dificuldade na utilização do Teorema 1.69 na construção dosespaços Lp consiste em identificar os elementos do completamento (que são, em últimainstância, seqüências de Cauchy) com verdadeiras funções. Para ilustrar esse tipo deconstrução dos espaços Lp, veja, por exemplo, [2] e [21].

1.13 Exemplos de Espaços de Banach

1.13.1 Espaços de Aplicações Lineares Contínuas

Sejam X, Y espaços normados. Denotamos por L(X, Y) o espaço das aplicaçõeslineares contínuas de X para Y. Nesse conjunto, dado T ∈ L(X, Y), definimos

‖T‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖.

Assim, como conseqüência da prova do Teorema 1.41, temos que ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ paratodo x ∈ X.

Verifica-se facilmente que L(X, Y) é um espaço normado. Denotamos por X′ =L(X,K) o espaço dual 8 de X e L(X, X) por L(X).

Afirmamos que, se Y for um espaço completo, então L(X, Y) é um espaço deBanach.

Com efeito, consideremos uma seqüência de Cauchy (Tn) em L(X, Y). Logo, dadoε > 0, existe n0 tal que m, n ≥ n0 implica ‖Tn − Tm‖ ≤ ε. Daí segue-se que, para todox ∈ X,

‖Tnx − Tmx‖ = ‖(Tn − Tm) x‖ ≤ ‖Tn − Tm‖ ‖x‖,

mostrando que (Tnx) é uma seqüência de Cauchy no espaço completo Y. Assim, estábem definido limn→∞ Tnx.

Definimos, para todo x ∈ X, T : X → Y por Tx = limn→∞ Tnx. Vamos mostrarque T ∈ L(X, Y). A linearidade de T decorre de propriedades do limite. Portanto,para garantir que T ∈ L(X, Y), basta provar que T é limitada. Como (Tn) é de Cauchy,existe M tal que ‖Tn‖ ≤ M para todo n. Daí segue-se que ‖Tnx‖ ≤ M‖x‖. Tomando olimite quando n → ∞ nessa desigualdade, concluímos que ‖Tx‖ ≤ M‖x‖.

Agora vamos mostrar que Tn → T em L(X, Y), isto é, que ‖Tn − T‖ → 0 quandon → ∞. Dado ε > 0 e escolhido n0 como acima, temos ‖Tnx − Tmx‖ ≤ ε‖x‖para m, n ≥ n0. Tomando o limite quando n → ∞ nessa última desigualdade, vem‖Tx − Tmx‖ ≤ ε‖x‖. Assim, para todo m > n0 temos ‖T − Tm‖ ≤ ε, completando ademonstração de nossa afirmação.

8Alguns autores denotam o dual de X por X∗. Notamos que estamos tratando do espaço dualtopológico, isto é, aquele dos funcionais lineares contínuos, enquanto o dual algébrico é constituído portodos os funcionais lineares, independentemente de continuidade.

1.13. EXEMPLOS DE ESPAÇOS DE BANACH 23

Sejam X, Y, Z espaços normados. Muitas vezes consideramos aplicações linearesT : Y → Z, sendo Y um subespaço de X. Um problema natural é saber se T possuiextensão a X, isto é, se existe T : X → Z tal que T|Y = T, em que T|Y denota a restriçãode T ao espaço Y. Essa questão é tratada no Exercício 32.

1.13.2 Espaço de Funções Integráveis

Seja C([a, b],K

)o espaço vetorial das funções contínuas f : [a, b] → K.

Nesse conjunto, definimos a norma9

‖ f ‖L1 =∫ b

a| f (x)|dx.

Denotamos por CL1

([a, b],K

)o espaço vetorial C

([a, b],K

)com a norma ‖ · ‖L1 .

Uma vez que esse espaço não é completo (veja o Exercício 39), consideramos o seucompletamento com a norma ‖ · ‖L1 . Esse espaço completo será denotado por L1([a, b]

)

ou, simplesmente, L1.Pode-se mostrar que o conjunto L1 é constituído por (classes de equivalência) de

funções f : [a, b] → K, com a identificação f = g, se f e g diferem apenas num conjuntode medida nula,10 denotado por f = g qtp. (Veja [28, 29, 38].)

Da mesma forma que acontece na passagem dos racionais para os reais, as funçõesem L1 que podemos integrar explicitamente são basicamente aquelas que integrávamosnos cursos de Cálculo.11 A importância do espaço L1 deve-se à riqueza de suas opera-ções com limites, apresentadas em um curso de integração.

Uma vez construído o espaço L1, podemos construir outros espaços por meio deuma modificação da norma ‖ · ‖L1 .

Seja 1 < p < ∞. Para f ∈ C([a, b],K

), definimos

‖ f ‖Lp =

(∫ b

a| f (x)|pdx

)1/p

.

Definimos também‖ f ‖L∞ = ‖ f ‖∞ = sup

x∈[a,b]| f (x)|.

A desigualdade triangular no caso de ‖ · ‖Lp é conhecida como desigualdade deMinkowsky e será provada no Teorema 1.74. Como consequência, ‖ · ‖Lp é uma norma,se 1 ≤ p < ∞.

Com a norma ‖ · ‖Lp e 1 ≤ p < ∞, denotamos o espaço vetorial C([a, b],K

)por

CLp([a, b],K

). Como no caso p = 1, esse espaço não é completo. O seu completamento

será denotado por Lp([a, b],K)= Lp.

9A integral denota a integral de Riemann dos cursos de Cálculo.10Um conjunto U ⊂ [a, b] tem medida nula se, dado ε > 0, existe uma coleção enumerável de

intervalos abertos de raio δi (isto é, do tipo (c − δi, c + δi)) que cobre o conjunto U e tem comprimentototal menor ou igual a ε. O exemplo básico é o conjunto Q dos racionais em [0, 1]: tome uma enumeração{q1, . . . , qn, . . .} desses racionais, considere os intervalos (qi − ε/2i, qi + ε/2i), que cobremQ. A soma totaldos comprimentos desses intervalos é justamente ε, mostrando que Q tem medida nula.

11Note que só operamos explicitamente com números racionais; a soma√

2 + π representa um númeroreal com uma série de propriedades:

√2 + π = π +

√2, tem inverso, possui raiz n-ésima, pode ser

aproximado por racionais etc Mas a soma√

2 + π não pode ser, na prática, efetuada...


Note que f ∈ Lp se, e somente se, | f |p ∈ L1. Assim, duas funções em Lp são iguaisse diferem apenas em um conjunto de medida nula.

A definição do espaço L∞([a, b],K

)não será abordada neste curso. Também esse

é um espaço de Banach completo, mas ele não provém do espaço C([a, b],K

)com a

norma ‖ · ‖L∞ . (Justifique!)1.13.3 Espaços de Sequências

Consideremos o espaço ` de todas as seqüências em K, introduzido no Exemplo1.4. Em ` definimos

‖(xn)‖p =

(∞

∑n=1

|xn|p)1/p

,

em que 1 ≤ p < ∞.Denotamos por `p o conjunto de todas as seqüências (xn) tais que ‖(xn)‖p < ∞.

Considerando também o espaço `∞, definido no exemplo 1.10, obtemos os conjuntos`p, 1 ≤ p ≤ ∞. Veremos que os conjuntos `p são espaços de Banach. (A demonstraçãode que ‖ · ‖p é uma norma decorre do Teorema 1.74.)1.13.4 As Desigualdades de Hölder e Minkowsky

Definição 1.70 Dado 1 ≤ p ≤ ∞, denotaremos por p′ o elemento de [1, ∞] tal que

1p+

1p′

= 1.

Dizemos então que p e p′ são expoentes conjugados.

Lema 1.71 (Desigualdade de Young)Suponha que 1 < p < ∞. Então, para quaisquer a, b ≥ 0, vale:

ab ≤ 1p

ap +1p′

bp′ .

Demonstração: Basta considerar o caso a > 0 e b > 0. Usando a concavidade da funçãologaritmo,12 obtemos

ln(ab) = ln a + ln b =1p

ln ap +1p′

ln bp′ ≤ ln(

1p

ap +1p′

bp′)

.

O resultado é obtido ao se tomar a exponencial em ambos os lados da desigualdade.2

Teorema 1.72 (Desigualdade de Hölder)Considere expoentes conjugados p, p′ ∈ [1, ∞]. Então vale:

12Um subconjunto A ⊂ R é convexo se, dados x, y ∈ A, então tx + (1 − t)y ∈ A para todo 0 ≤ t ≤ 1.Uma função f : A → R é convexa, se

f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y), ∀ t ∈ [0, 1].

Se a desigualdade contrária se verifica, dizemos que a função é côncava. Verifique que a função logaritmoln : (0, ∞) → R é côncava!

1.13. EXEMPLOS DE ESPAÇOS DE BANACH 25

(i) se x = (xn) ∈ `p e y = (yn) ∈ `p′ e 1 < p < ∞, então

∞

∑n=1

|xnyn| ≤(

∞

∑n=1

|xn|p)1/p ( ∞

∑n=1

|yn|p′)1/p′

e, se p = 1,∞

∑n=1

|xnyn| ≤(

∞

∑n=1

|xn|)

supn∈N

|yn|.

(ii) Dados f , g ∈ C([a, b],K

), então ‖ f g‖L1 ≤ ‖ f ‖Lp‖g‖Lp′ , isto é,

– se 1 < p < ∞,

∫ b

a| f (x)g(x)|dx ≤

(∫ b

a| f (x)|pdx

)1/p (∫ b

a|g(x)|p′dx

)1/p′

– se p = 1, ∫ b

a| f (x)g(x)|dx ≤

(∫ b

a| f (x)|dx

)sup

x∈[a,b]|g(x)|.

Demonstração: (i) O caso p = 1 é evidente. Da mesma forma, podemos supor x 6= 0 ey 6= 0. Aplicando a desigualdade de Young aos pares

an =|xn|‖x‖p

e bn =|yn|‖y‖p′

(n = 1, . . . , n)

obtemos|xnyn|

‖x‖p‖y‖p′≤ 1

p|xn|p‖x‖p

p+

1p′|yn|p′

‖x‖p′p′

.

Somando membro a membro todas as desigualdades obtidas, vem

∞

∑n=1

|xnyn|‖x‖p‖y‖p′

≤ 1p‖x‖p

p

∞

∑n=1

|xn|p + 1

p‖x‖p′p′

∞

∑n=1

|xn|p′ = 1p+

1p′

= 1,

seguindo-se daí o afirmado.(ii) O resultado é evidente para p = 1 ou p = ∞. Para 1 < p < ∞, o resultado é

claramente válido se f ≡ 0 ou g ≡ 0. Defina então

a(x) =| f (x)|‖ f ‖Lp

e b(x) =|g(x)|‖ f ‖Lp′

.

Aplicando a desigualdade de Young, segue-se daí que

| f (x)g(x)|‖ f ‖Lp‖g‖Lp′

≤ 1p| f (x)|p‖ f ‖p

Lp

+1p′|g(x)|p′

‖g‖p′

Lp′.

Integrando essa desigualdade em [a, b] obtemos, como antes, o resultado. 2


Observação 1.73 No caso 1 < p < ∞, a demonstração apresentada continua válida noespaço Lp([a, b],K

). ¢

Teorema 1.74 (Desigualdade de Minkowsky)Sejam p ∈ [1, ∞] e p′ seu expoente conjugado. Então

(i) Para quaisquer x, y ∈ `p, temos ‖x + y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p;

(ii) Para quaisquer f , g ∈ C([a, b],K

), temos ‖ f + g‖Lp ≤ ‖ f ‖Lp + ‖g‖Lp .

Em particular, ‖ · ‖p e ‖ · ‖Lp são normas em seus respectivos espaços.

Demonstração: (i) Para p = 1 ou p = ∞, a demonstração é evidente. Se 1 < p < ∞ ex, y ∈ `p, afirmamos inicialmente que x + y ∈ `p. De fato, se x = (xn) e y = (yn), valepara todo n que13 |xn + yn| ≤ 2 max{|xn|, |yn|} e, portanto,

|xn + yn|p ≤ 2p max{|xn|p, |yn|p} ≤ 2p(|xn|p + |yn|p).

Assim,∞

∑n=1

|xn + yn|p ≤ 2p

(∞

∑n=1

|xn|p +∞

∑n=1

|yn|p)

< ∞. (1.4)

Temos então∞

∑n=1

|xn + yn|p =∞

∑n=1

|xn + yn|p−1|xn + yn|

≤∞

∑n=1

|xn + yn|p−1|xn|+∞

∑n=1

|xn + yn|p−1|yn|

≤(

∞

∑n=1

|xn + yn|(p−1)p′) 1

p′(

∞

∑n=1

|xn|p) 1

p

+

(∞

∑n=1

|xn + yn|(p−1)p′) 1

p′(

∞

∑n=1

|yn|p) 1

p

=

(∞

∑n=1

|xn + yn|p)1− 1

p

(‖x‖p + ‖y‖p). (1.5)

Note que a última igualdade, na qual é usada a relação (p − 1)p′ = p, justifica aaplicação da desigualdade de Hölder.

Logo, cancelando ∑∞n=1 |xn + yn|p em ambos os lados da desigualdade (1.5),

provamos a desigualdade de Minkowsky; a verificação de que ‖ · ‖p define uma normaé, então, imediata.

(ii) A prova é análoga. 2

Observação 1.75 A demonstração apresentada da desigualdade de Minkowsky noespaço CLp

([a, b],K

)continua válida em Lp([a, b],K

), se 1 < p < ∞. ¢

13Veja o Exercício 42.

1.14. EXERCÍCIOS 27

Teorema 1.76 Os espaços `p, 1 ≤ p ≤ ∞ são espaços de Banach.

Demonstração: Seja (xm) uma seqüência de Cauchy em `p, com xm =(xm1, xm2, . . . , xmi, . . .). Para todo i ∈ N temos

|xmi − xni|p ≤ ‖xm − xn‖pp,

o que garante que (xmi)m∈N é uma seqüência de Cauchy emK. Assim, para cada i ∈ N,existe ai = lim

n→∞xni. Dado ε > 0, tome n0 ∈ N tal que ‖xm − xn‖p < ε para quaisquer

m, n ≥ n0. Suponhamos p ∈ [1, ∞). Temos então, para qualquer k ∈ N fixo e m, n ≥ n0temos

k

∑i=1

|xmi − xni|p < εp.

Se k e n ≥ n0 são mantidos fixos, tomando o limite com m → ∞ na desigualdade acima,obtemos que

k

∑i=1

|ai − xni|p ≤ εp.

Fazendo agora k → ∞, obtemos

∞

∑i=1

|ai − xni|p ≤ εp (1.6)

para todo n ≥ n0. Isso garante que a− xn ∈ `p se n ≥ n0. Mas então a = (a− xn)+ xn ∈`p. Uma vez que (1.6) significa que a = lim

n→∞xn em `p, mostramos que esse espaço é

completo.A demonstração, no caso de p = ∞, é o Exercício 43. 2

Note que, por definição, os espaços Lp([a, b],K)

são completos, para 1 ≤ p < ∞.

1.14 Exercícios

1. Seja B um subconjunto não vazio do espaço vetorial X. Mostre que < B > é umsubespaço de X. Se B for uma base, mostre que cada x ∈ X escreve-se de maneiraúnica como combinação linear de elementos de B.

2. Seja X um espaço vetorial. Se W ⊂ X for um subespaço de dimensão infinita,mostre que X tem dimensão infinita.

3. Seja X um conjunto não vazio qualquer. Mostre que { f : X → K} é um espaçovetorial de dimensão infinita se, e somente se, X for um conjunto com infinitoselementos.

4. Seja ‖ · ‖ uma norma em K. Mostre que existe k > 0 tal que ‖ · ‖ = k| · |, isto é,toda norma em K é um múltiplo positivo do valor absoluto.

Definição 1.77 Seja X um conjunto qualquer. Uma distância em X é uma aplicaçãodist (·, ·) : X × X → [0, ∞) que satisfaz, para todos x, y, z ∈ X,

(i) dist (x, x) = 0 ⇔ x = 0;


(ii) dist (x, y) = dist (y, x);

(iii) dist (x, z) ≤ dist (x, y) + dist (y, z).

Um espaço métrico é um conjunto X munido de uma distância.14

5. Seja X um espaço normado. Mostre que d(x, y) = ‖x − y‖ define uma distânciaem X, chamada distância gerada pela norma de X. Mostre que, se dist (·, ·) : X ×X → R+ for gerada por uma norma, então ela satisfaz

(a) dist (x + z, y + z) = dist (x, y) para todos x, y, z ∈ X (invariância portranslação);

(b) dist (λx, λy) = |λ|dist (x, y) (homotetia).

Reciprocamente, se dist for uma distância que satisfaz essas propriedades,mostre que dist é gerada por uma norma.

6. Sejam X e Y espaços vetoriais e T : X → Y uma aplicação linear. Mostre que

ker T = {x ∈ X : Tx = 0} e imT = {y ∈ Y : y = Tx}

são subespaços de X e Y, respectivamente. O subespaço ker T é o núcleo, enquantoimT é a imagem da aplicação T.

7. Mostre que ‖ · ‖∞ é uma norma no espaço B(X,K), introduzido no Exemplo 1.10.

8. Seja X um espaço normado. Mostre que a bola aberta Br(x) é um conjunto aberto.Mostre que a bola fechada Br(x) e a esfera Sr(x) são conjuntos fechados.

9. Considere o produto cartesiano X × Y de espaços normados. Mostre que U ⊂X × Y é aberto se, e somente se, for a união de conjuntos da forma V × W,com V ⊂ X e W ⊂ Y abertos. Conclua que as projeções π1 : X × Y → X eπ2 : X × Y → Y dadas por π1(x, y) = x e π2(x, y) = y são aplicações abertas, istoé, as imagens π1(U) e π2(U) de todo conjunto aberto U ⊂ X × Y é um conjuntoaberto. Generalize para o produto cartesiano de n espaços normados.

10. Demonstre a Proposição 1.12, o Corolário 1.15 e a Proposição 1.23.

11. Sejam X um espaço normado e U ⊂ X um subconjunto arbitrário. Mostreque A ⊂ U é aberto em U se, e somente se, existir um aberto V ⊂ X tal queA = V ∩ U. Da mesma forma, mostre F ⊂ U é fechado em U, se e somente se,existir um fechado H ⊂ X tal que F = H ∩ U.

12. Seja A 6= ∅ um subconjunto do espaço normado X e f : A → Y uma aplicaçãoqualquer. Suponha que exista a ∈ A para o qual exista r > 0 tal que Br(a) ∩ A ={a}. (Dizemos que a é um ponto isolado do conjunto A.) Verifique que f é contínuaem a.

13. Explicite a argumentação apresentada na demonstração do Corolário 1.26.

14. Demonstre a Proposição 1.21.

14Note que um espaço métrico não precisa ser um espaço vetorial.


15. Sejam X um espaço normado e (xn), (yn) seqüências em X. Suponha quelimn→∞

xn = x e limn→∞

yn = y. Suponha também que (αn), (βn) sejam seqüênciasde escalares tais que lim

n→∞αn = α e lim

n→∞βn = β. Mostre que

(a)∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ ≤ ‖x − y‖;

(b) limn→∞

(αnxn + βnyn) = αx + βy;

(c) limn→∞

‖xn‖ = ‖x‖.

Conclua que são contínuas as aplicações x 7→ ‖x‖, (x, y) 7→ x + y ∈ X eK× X 3 (λ, x) 7→ λx ∈ X. (Os produtos cartesianos estão munidos da topologiaproduto, como no Exemplo 1.47.)

16. Sejam X, Y, Z espaços normados e K ⊂ Z um conjunto compacto. Dada umaaplicação contínua f : X × K → Y e fixado x0 ∈ X, mostre que para todo ε > 0existe δ > 0 tal que

x ∈ X, ‖x − x0‖ < δ ⇒ ‖ f (x, t)− f (x0, t)‖ < ε, ∀ t ∈ K.

17. Sejam X, Y espaços normados e f : A ⊂ X → Y uma aplicação. Mostre que f éuniformemente contínua se, e somente se,

(xn), (yn) em A, limn→∞

(xn − yn) = 0 ⇒ limn→∞

‖ f (xn)− f (yn)‖ = 0.

18. Seja X um espaço normado. Mostre:

(a) toda seqüência convergente em X é de Cauchy;

(b) toda seqüência de Cauchy em X é limitada;

(c) se uma seqüência de Cauchy admitir uma subseqüência convergente, entãoa própria seqüência é convergente, convergindo para o mesmo limite dasubsequência.

19. Sejam ‖ · ‖0 e ‖ · ‖1 duas normas equivalentes no espaço X. Mostre que umconjunto é aberto na norma ‖ · ‖0 se, e somente se, for aberto na norma ‖ · ‖1.

20. Considere as normas ‖ · ‖, ‖ · ‖s e ‖ · ‖∞ definidas no Exemplo 1.47. Mostre quevale

‖(x, y)‖∞ ≤ ‖(x, y)‖ ≤ ‖(x, y)‖s ≤ 2‖(x, y)‖∞,

de modo que essas normas são equivalentes. Generalize para o produtocartesiano de n espaços normados. Quaisquer normas em X1 × · · · × Xn sãoequivalentes?

21. Mostre que as normas ‖ · ‖, ‖ · ‖s e ‖ · ‖∞, definidas no espaçoKn (veja o Exemplo1.8), são todas equivalentes.

22. Demonstre o Teorema de Bolzano-Weierstraß 1.48.


23. Sejam X um espaço normado e A ⊂ X um subconjunto não vazio. Mostre que

|dist (x0, A)− dist (y0, A)| ≤ ‖x0 − y0‖para quaisquer x0, y0 ∈ X. Assim, a função dist (·, A) : X → R+ é uniformementecontínua.

24. Sejam K, F ⊂ X, em que X é um espaço normado, K um compacto e F um fechado.Defina dist (K, F) = inf

{‖k − f ‖ : k ∈ K, f ∈ F}

. Mostre que, se K ∩ F = ∅,então dist (K, F) > 0. (Note que, em particular, podemos tomar K = {x0}, parax0 ∈ X.)

25. Sejam K, F ⊂ X, em que X é um espaço normado de dimensão finita, K umcompacto e F um fechado. Mostre que existem k0 ∈ K e f0 ∈ F tais quedist (K, F) = ‖k0 − f0‖.

26. Seja X um espaço normado de dimensão finita. Mostre que, para todo subespaçoY 6= X, existe x ∈ B1(0) tal que dist (x, Y) = 1.

27. Dê exemplo de um espaço de Banach X que possui um subespaço fechado Y demodo que não exista x ∈ B1(0) ⊂ X tal que dist (x, Y) = 1.

28. Considere o espaço de Banach X = C([0, 1],R

)com a norma ‖ · ‖∞. Seja A ⊂ X

um conjunto convexo completo e δ = infa∈A

‖a‖. Dê exemplos de subconjuntos A,

tais que

(a) existem infinitos pontos a ∈ A tais que ‖a‖∞ = δ;

(b) existe uma seqüência (an) em A tal que ‖an‖∞ → δ, mas nenhuma de suassubsequências é de Cauchy;

(c) não existe a ∈ A tal que ‖a‖∞ = δ.

29. Seja X um espaço normado. Mostre que, se B1(0) não for compacta, então Br(x)não é compacta para todo r > 0.

30. Mostre as equivalências afirmadas na Observação 1.58.

31. Mostre que, em um espaço normado de dimensão infinita, conjuntos compactostêm interior vazio.

32. Sejam X espaço normado e A ⊂ X um conjunto arbitrário. Suponha que S ⊂ Aseja denso em A e f : S → Y uma aplicação uniformemente contínua, sendo Yum espaço de Banach. Mostre que existe uma única extensão contínua F : A → Yde f , a qual é uniformemente contínua. Se f : S → Y for linear (isso implica queS é um subespaço de A), mostre que F : A → Y é linear. Esse resultado, no casoem que f é linear, é conhecido como Teorema da Extensão Limitada.

33. Seja X um espaço normado de dimensão finita. Mostre que C ⊂ X é limitado se,e somente se, toda seqüência em C possuir subseqüência convergente.

34. Mostre a existência de um único completamento de um espaço normado X, noseguinte sentido: se

(X, T

)e(X, S

)são ambos completamentos de X, então existe

um isomorfismo linear contínuo entre X e X. Para isso, faça uso do Exercício 32.


35. Seja X 6= ∅ um conjunto qualquer e Y um espaço de Banach. Defina, em analogiaao espaço B(X,K) apresentado no Exemplo 1.10, o espaço B(X, Y) de todasas aplicações limitadas f : X → Y. Mostre que esse é um espaço de Banach, aoconsiderarmos a norma

‖ f ‖sup = supx∈X

‖ f (x)‖.

36. Seja X um espaço normado, S ⊂ X um compacto e Y um espaço de Banach.Considere o espaço vetorial

C(S, Y) = { f : S → Y : f é contínua}.

Mostre que C(S, Y) é um subespaço fechado do espaço de Banach B(S, Y) e,portanto, um espaço de Banach.

37. Sejam X, Y espaços normados. Mostre:

(a) Tn → T em L(X, Y) implica Tnx → Tx para todo x ∈ X;

(b) se X tiver dimensão finita, então Tnx → Tx para todo x ∈ X implica Tn → Tem L(X, Y);

(c) dê um exemplo mostrando que, em espaços de dimensão infinita, (b) podeser falso.

(d) Sejam X, Y, Z espaços normados. Se S ∈ L(Y, Z) e T ∈ L(X, Y), mostre queS ◦ T = ST ∈ L(X, Z) e ‖ST‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖.

(e) Sejam X, Y, Z espaços normados, com Y, Z completos. Suponha que Sn → Sem L(X, Y) e Tn → T em L(Y, Z). Mostre que TnSn → TS ∈ L(X, Z).

38. Sejam X, Y espaços normados e T ∈ L(X, Y). Suponha que X 6= {0}. Mostre que

‖T‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖ = supx 6=0

‖Tx‖‖x‖ .

39. Mostre que o espaço CL1

([a, b],R

)das funções contínuas f : [a, b] → R com a

norma ‖ · ‖L1 não é completo. Mostre também que CL2

([a, b],R

)com a norma

‖ · ‖L2 não é completo.

40. Mostre que a norma ‖ · ‖p (do espaço `p) define uma norma no espaço Kn. (Vocêconsegue deduzir isso imediatamente do que já foi feito?) Obtenha relações entreas normas ‖ · ‖p (para diferentes valores de p) e as normas usuais do Kn.

41. Mostre que `p é um subespaço próprio de `q, se 1 ≤ p < q ≤ ∞.

42. Para x, y ∈ K, mostre a desigualdade |x + y|p ≤ 2p−1(|x|p + |y|p).43. Mostre que `∞ é completo.

44. Considere a sequência fn : [0, 1] → R definida por fn(x) = e−nx. Determineuma função f : [0, 1] → R tal que fn(x) → f (x) para todo x ∈ [0, 1]. Essaconvergência é uniforme? Mostre que fn → f na norma ‖ · ‖L2 . A função fpertence a L2([0, 1],R

)?


45. Seja X um espaço de Banach e f : X × [a, b] → Rn uma aplicação contínua. Defina,para todo x ∈ X,

ψ(x) =∫ b

af (x, t)dt.

Mostre que ψ é contínua.

Definição 1.78 Sejam X, Y, Z espaços normados. Uma aplicação B : X × Y → Z é bilinearse ela for separadamente linear em cada uma de suas variáveis. Mais precisamente, para todosx, x′ ∈ X, y, y′ ∈ Y e α ∈ R, vale:

(i) B(x + αx′, y) = B(x, y) + αB(x′, y);

(ii) B(x, y + αy′) = B(x, y) + αB(x, y′);

De maneira análoga define-se uma aplicação n-linear.

46. Sejam X1, . . . , Xn e Y espaços normados e T : X1 × · · · × Xn → Y uma aplicaçãon-linear. Se (x1, . . . , xn) ∈ X1 × · · · × Xn, mostre que são equivalentes aspropriedades:

(a) T é contínua;

(b) T é contínua na origem;

(c) sup‖x1‖=...=‖xn‖=1,

‖T(x1, . . . , xn)‖ = M < ∞ (T é limitada);

(d) existe C > 0 tal que ‖T(x1, . . . , xn)‖ ≤ M[‖x1‖ · · · ‖xn‖] para todo(x1, . . . , xn) ∈ X1 × · · · × Xn;

Conclua que tanto a função determinante como a multiplicação de um vetor porum escalar são aplicações contínuas.

47. Sejam X, Y, Z espaços normados, com X e Y de dimensão finita. Mostre quetoda aplicação bilinear B : X × Y → Z é contínua. Generalize para aplicaçõesn-lineares.

Definição 1.79 Sejam X, Y, Z espaços normados. Denotamos por L(X, Y; Z) o espaço de todasas aplicações bilineares e contínuas B : X × Y → Z. Em L(X, Y; Z) definimos

‖B‖ = sup‖x‖=‖y‖=1

‖B(x, y)‖,

de modo que‖B(x, y)‖ ≤ ‖B‖ ‖x‖ ‖y‖, ∀ (x, y) ∈ X × Y.

Se X = Y, é usual denotar L(X, X; Z) por L2(X; Z).

48. Mostre que se Z for um espaço de Banach, então L(X, Y; Z) é um espaçode Banach. Generalize a definição anterior e esse exercício para o espaçoL(X1, . . . , Xn; Y) de todas as aplicações n-lineares T : X1 × · · · × Xn → Ycontínuas.


Definição 1.80 Sejam X um espaço normado e F ⊂ X. Uma cobertura aberta de F é umacoleção de conjuntos abertos {Aλ : λ ∈ Λ} tal que

F ⊂ ⋃

λ∈Λ

Aλ.

Uma subcobertura de F é uma coleção {Aλ : λ ∈ Λ′ ⊂ Λ, Λ′ 6= Λ} tal que

F ⊂ ⋃

λ∈Λ′Aλ.

Se o conjunto Λ′ tiver um número finito de elementos, dizemos que essa subcobertura é finita.O subconjunto F é compacto (por coberturas), se toda cobertura aberta possuir

subcobertura finita. Ou seja,

F ⊂ ⋃

λ∈Λ

Aλ ⇒ F ⊂m⋃

i=1

Aλi , λi ∈ Λ.

49. Seja X um espaço normado. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmaçõessobre um subconjunto F ⊂ X:

(a) F é compacto (por coberturas);

(b) F é (sequencialmente) compacto;

(c) F é completo e totalmente limitado.

50. Seja X um espaço normado. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmaçõessobre um subconjunto F ⊂ X:

(a) F é compacto (por coberturas);

(b) Toda seqüência de pontos em F possui uma subseqüência convergente;

(c) F é totalmente limitado.

51. Sejam X um espaço normado e A ⊂ X. Suponha que, dado ε > 0, exista umsubconjunto totalmente limitado K ⊂ X tal que dist (a, K) ≤ ε para todo a ∈ A.Mostre que A é totalmente limitado.

52. Seja 1 ≤ p < ∞. Mostre que um subconjunto K ⊂ `p é totalmente limitado se, esomente se, K for limitado e, dado ε > 0, existir um subconjunto finito F ⊂ N talque, para todo x ∈ K, valha ∑i 6∈F |xi|p ≤ εp.

Definição 1.81 Sejam X um espaço normado e (xn) uma seqüência em X. A série∞

∑i=1

xi é

convergente, se a seqüência de somas parciais sn =n

∑i=1

xi convergir para x ∈ X.

Se a série numérica∞

∑i=1

‖xi‖ for convergente, dizemos que (xn) é absolutamente

convergente.

53. Mostre que um espaço normado X é um espaço de Banach se, e somente se, todasérie absolutamente convergente for convergente.


54. Sejam σ : N → N uma bijeção e ∑∞i=1 xi uma série absolutamente convergente.

Defina yi = xσ(i). Mostre que ∑∞i=1 yn é absolutamente convergente e ∑∞

i=1 yi =

∑∞i=1 xi, isto é, a série ∑∞

i=1 é comutativamente convergente.

55. (Lema da Contração) Sejam X um espaço de Banach, F ⊂ X um fechado ef : F → F uma contração, isto é, uma aplicação satisfazendo

‖ f (x)− f (y)‖ ≤ κ‖x − y‖ ∀ x, y ∈ F,

em que 0 < κ < 1 é uma constante.

Mostre que f tem um único ponto fixo x∗ ∈ F (quer dizer, f (x∗) = x∗), que éobtido como limite da seqüência definida indutivamente por xn+1 = f (xn) =f n(x0), em que x0 ∈ F é um ponto arbitrário e f 2(x0) = f ( f (x0)), f 3(x0) =f ( f 2(x0)) e f n(x0) = f ( f n−1(x0)) para n ∈ {2, 3, . . .}.

56. Seja I = [0, a] ⊂ R, em que a > 0. Considere uma aplicação f : I × Rn → Rn

satisfazendo

‖ f (t, x)− f (t, y)‖ ≤ λ‖x − y‖ ∀ (t, x), (t, y) ∈ I ×Rn,

em que λ > 0 é uma constante. Mostre que o problema de valor inicial

x′ = f (t, x), x(0) = x0 ∈ Rn

possui uma única solução em I. Para isso:

(a) Mostre que a existência de uma solução do problema de valor inicial éequivalente à existência de uma solução x ∈ C

(I,Rn) da equação integral

x(t) = x0 +∫ t

0f (s, x(s))ds, t ∈ I.

(b) Definindo g como o lado direito da equação integral anterior, obtenha aestimativa

‖g(x)− g(y)‖ ≤ λa‖x − y‖,

de modo que o Teorema do Ponto Fixo de Banach só pode ser aplicado deka < 1;

(c) Defina ‖x‖ρ = maxI(‖x(t)‖e−ρt), em que ρ > 0 é uma constante. Verifique

que ‖ · ‖ρ define uma norma equivalente à norma ‖ · ‖.

(d) Verifique a estimativa

‖g(x)(t)− g(y)(t)‖ ≤ λ

ρ‖x − y‖ρ eρt.

(e) Conclua que ‖g(x)− g(y)‖ρ ≤ λρ ‖x− y‖ρ e obtenha uma solução da equação

integral aplicando o Teorema do Ponto Fixo de Banach.

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ÍNDICE REMISSIVO

seqüência , 2

aplicaçãoaberta, 28bilinear, 32contínua, 6contínua em um ponto, 6uniformemente contínua, 8

aplicação linearimagem de uma, 28núcleo de uma, 28

base de um espaço vetorialcanônica do Kn, 2de Hamel, 2

bola abertaem um espaço normado, 5

bola fechadaem um espaço normado, 5

Cantormétodo diagonal de, 19

centrode bolas e esferas, 5

cobertura aberta, 33subcobertura, 33

finita, 33conjunto

aberto, 5aberto em um subconjunto, 6compacto, 7completo, 12convexo, 24de medida nula, 23equicontínuo, 18equicontínuo em um ponto, 18fechado, 5fechado em um subconjunto, 6limitado, 4linearmente independente, 2

relativamente compacto, 7separável, 6totalmente limitado, 18uniformemente equicontínuo, 18

contração, 34convergência pontual, 9convergência uniforme, 9

norma da, 10

desigualdadede Hölder, 24de Minkowsky, 26de Young, 24triangular, 3

distânciade um ponto a um conjunto, 16

esferaem um espaço normado, 5

espaçoL1([a, b]), 23`p, 24das aplicações lineares contínuas, 22dual, 22métrico, 28normado, 3

completamento, 20espaço complexo, 2espaço de Banach, 12espaço normado

bola aberta em um, 5bola fechada em um, 5completo, 12conjunto aberto em um, 5conjunto fechado em um, 5conjunto limitado em um, 5esfera em um, 5

espaço real, 2espaço vetorial

base de um, 2

37

38 ÍNDICE REMISSIVO

complexo, 2de dimensão finita, 2de dimensão infinita, 2real, 2

espaços vetoriaisisomorfos, 3normados

homeomorfismo de, 13expoentes conjugados, 24

funçãocôncava, 24convexa, 24

homeomorfismo, 13

imagem, 28isomorfismo

entre espaços vetoriais, 3

lemada contração, 34

limitede uma sequência, 5

método diagonal de Cantor, 19

núcleo, 28norma, 3

da convergência uniforme, 10euclidiana, 3induzida pela norma do Kn, 4

normasequivalentes, 14habituais do Kn, 3habituais do espaço de dimensão

finita X, 4

ponto isolado, 28

raio de bolas e esferas, 5representação de um vetor em uma base, 4

sérieabsolutamente convergente, 33convergente, 33

sequênciaconvergente, 5de Cauchy, 11limite de uma, 5

teoremada extensão limitada, 30de Bolzano-Weierstraß, 15de F. Riesz, 16

topologia produto, 14

cap1 - esp. normados

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