cap1 ii neteorica

Algebra Linear e Geometria Analtica

Engenharia do AmbienteEscola Superior de Tecnologia e Gestao de Viseu

2011/2012

Sumario

Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss1.2 Matrizes1.3 Factorizacao triangular1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao deGauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais

Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de Gauss

Exemplo 1:Eliminacao de Gauss:

2x1 + x2 + x3 = 14x1 + x2 + 3x3 = 22x1 + 2x2 + x3 = 4

E22E1E3+E1

2x1 + x2 + x3 = 1

x2 + x3 = 03x2 + 2x3 = 5

E3+3E2

2x1 + x2 + x3 = 1

x2 + x3 = 05x3 = 5

Substituicao de variaveis (de baixo para cima):

x1 = 12x2 = 1x3 = 1

(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 3 / 65


MatrizUma matriz do tipo m n e uma expressao constituda por m nelementos (entradas) a11,a12, ...,amn dispostos em m linhas e ncolunas da seguinte forma:

a11 a12 a13 ... a1,n1 a1na21 a22 a23 ... a2,n1 a2na31 a32 a33 ... a3,n1 a3n. . . ... . .. . . ... . .. . . ... . .

am1,1 am1,2 am1,3 ... am1,n1 am1,nam1 am2 am3 ... am,n1 amn

Notacao abreviada: a matriz pode representar-se abreviadamentepor [aij ]

1jn1im ou [aij ] ou (aij).



Exemplo 1 - Notacao matricial2x1 + x2 + x3 = 14x1 + x2 + 3x3 = 22x1 + 2x2 + x3 = 4

x1 x2 x3

Matriz dos coeficientes do sistema: A =

2 1 14 1 32 2 1

33

Matriz coluna dos termos independentes: b =

124

31

Matriz coluna das variaveis: X =

x1x2x3

O sistema em notacao matricial representa-se por AX = b.



Matriz ampliada do sistema: [A|b] = 2 1 1 | 14 1 3 | 22 2 1 | 4

Matriz em escada de linhasUma matriz em escada de linhas e uma matriz tal que por baixo doprimeiro elemento nao nulo de cada linha da matriz, e por baixo doselementos anteriores da mesma linha, todas as entradas sao nulas.

PivoPrimeiro elemento nao nulo de cada linha de uma matriz em escadade linhas.



Operacoes na eliminacao de Gauss de uma matriz AA matriz A transforma-se numa matriz em escada de linhas por meiode operacoes do seguinte tipo:

substituicao de uma linha pela sua soma com o produto de umnumero por outra linha;troca de linhas;multiplicar uma linha por um numero diferente de zero (se amatriz for ampliada).

Variaveis basicas e nao basicas (livres)

As variaveis basicas sao as correspondentes a`s colunas que tempivos na matriz em escada de linhas.As variaveis nao basicas (livres) sao as correspondentes a`scolunas que nao tem pivos na matriz em escada de linhas.



Caracterstica de uma matriz A

A caracterstica de uma matriz A, car(A), e por definicao acaracterstica da matriz em escada de linhas obtida atraves daeliminacao de Gauss de A.Numa matriz em escada de linhas, a caracterstica da matriz eigual ao numero de pivos, ou seja, ao numero de linhas nao nulas.



Exemplo 1: Passos da eliminacao de Gauss, partindo da matrizampliada 2 1 1 | 14 1 3 | 2

2 2 1 | 4

L22L1L3+L1

2 1 1 | 10 1 1 | 00 3 2 | 5

L3+3L2

2 1 1 | 10 1 1 | 00 0 5 | 5

Classificacao do sistema: Possvel determinadoVariaveis basicas: x1, x2 e x3car(A)= 3.



Classificacao de sistemas AX = b

Possvel car(A) = car([A|b])

Determinadocar(A) = car([A|b]) = n

Indeterminado de grau k(k 6= 0)car(A) = car([A|b]) < n,ou seja, car(A) = n k

Impossvel car(A) < car([A|b])n - numero de variaveis, o mesmo e dizer, numero de colunas damatriz A.

Sistema Homogeneo AX = 0O sistema homogeneo AX = 0 e sempre possvel - admite pelomenos a solucao X = 0.



Exemplo 2:2x y + v = 14x 6y + 2z + 2v = 06x 7y + z + 5v = 2

2 1 0 1 | 14 6 2 2 | 06 7 1 5 | 2

L2+2L1L33L1

2 1 0 1 | 10 8 2 4 | 20 4 1 2 | 1

L3 12L2

2 1 0 1 | 10 8 2 4 | 20 0 0 0 | 2

car(A)= 2 < car([A|b]) = 3 Sistema ImpossvelVariaveis basicas: x e y .



Exemplo 3:y + z + 5v = 44x y + 2z + 2v = 02x + y + v = 1

0 1 1 5 | 44 1 2 2 | 02 1 0 1 | 1

L13

2 1 0 1 | 14 1 2 2 | 00 1 1 5 | 4

L2+2L1

2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 1 1 5 | 4

L3L2

2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 0 1 1 | 2

car(A)= car([A|b]) = 3 < n = 4 Sistema PossvelIndeterminado (grau 1)Variaveis basicas: x , y e z.



Matriz em escada de linhas:

2 1 0 1 | 10 1 2 4 | 20 0 1 1 | 2

O sistema dado e equivalente a

2x + y + v = 1y + 2z + 4v = 2z + v = 2

Substituicao de variaveis:x = 5+5v2

y = 6 6v

z = 2+ v

, v R



Exerccio:O Pedro e aluno do 1o ano do curso de Engenharia e GestaoIndustrial da ESTV e no 2o semestre esta matriculado em AnaliseMatematica II (AMII), Mecanica II (MII), Algebra Linear e GeometriaAnaltica (ALGA), Metalurgia (M) e Tecnologia de Informacao eComunicacao (TIC). O Pedro consegue estudar em media a`:

segunda: 0 horas de AMII, 1 hora de MII, 12 hora de ALGA,12 de M

e 12 de TIC;terca: 2 horas de AMII, 0 horas de ALGA e de MII, 1 hora de M e12 hora de TIC;quarta: 1 hora de AMII, 1 hora de ALGA, 1 hora de MII, 0 horasde M e 12 hora de TIC;

quinta: 12 hora de AMII,12 hora de MII, 0 horas de ALGA e de TIC,

32 hora de M;

sexta: 0 horas de AMII, de MII e de M, 12 hora de ALGA e12 hora

de TIC.(ESTV) Algebra Linear e Geometria Analtica 2011/2012 14 / 65


1 O Pedro pretende determinar o numero de horas que tem estudarno semestre por unidade curricular de forma que a` segundaestude 20 horas, a` terca 40 horas, a` quarta 40 horas, a` quinta 20horas e a` sexta 10 horas. Formule o problema como um sistemade equacoes lineares.

2 Escreva o sistema na forma matricial e resolva-o usando ometodo de eliminacao de Gauss.


Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.2 Matrizes

Matrizes especiais

Matriz linhaUma matriz linha ou vector linha e uma matriz do tipo 1 n.Exemplo: A =

[2 1 0 1 3 ]15

Matriz colunaUma matriz coluna ou vector coluna e uma matriz do tipo m 1.

Exemplo: A =

1302

41



Matrizes especiais

Matriz quadradaUma matriz quadrada de ordem n e uma matriz do tipo n n.

Exemplos : A =[1 23 4

]22

, B =

4 1 2 30 1 3 12 3 0 21 5 6 3

44

Diagonal secundaria Diagonal principal

Matriz rectangularUma matriz rectangular e uma matriz do tipo m n em que m 6= n.

Exemplo : A =[4 1 2 30 1 3 1

]24



Matrizes especiais

Matriz triangularUma matriz triangular e uma matriz quadrada em que sao nulos oselementos situados para um dos lados da diagonal principal.

Exemplos :

A =

2 2 30 1 10 0 4

Matriz triangular superior

A =

4 0 01 2 05 0 1

Matriz triangular inferior



Matrizes especiais

Matriz DiagonalUma matriz diagonal e uma matriz quadrada em que sao nulos todosos elementos situados fora da diagonal principal.

Exemplo: A =

4 0 00 2 00 0 1

Matriz identidadeA matriz identidade e uma matriz diagonal constituda por uns nadiagonal principal. Denota-se por Inn.

Exemplo: I3 =

1 0 00 1 00 0 1



Matrizes especiais

Matriz nulaA matriz nula e uma matriz constituda por apenas elementos nulos.Denota-se por Omn.

Exemplos: O3 =

0 0 00 0 00 0 0

O23 = [ 0 0 00 0 0]

O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em R designa-seporMmn(R).O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em C designa-seporMmn(C).



Matrizes especiais

Matriz transpostaSeja A Mmn(K), K = R ou K = C.A matriz transposta de A = [aij ], do tipo m n, e dada por At = [aji ],do tipo n m.Exemplo: 1 3 10 2 1

3 1 4

t = 1 0 33 2 11 1 4

[1 2 42 5 0

]t23

=

1 22 54 0

32



Operacoes com matrizes

Igualdade de matrizesDuas matrizes sao iguais se forem do mesmo tipo e se tiveremelementos homologos iguais.

Exemplo:

A =[2 43 x

], B =

[2 43 5

], C =

[2 4 50 3 2

]Se x = 5 entao A = B.

Nao existe valor para x de forma que A = C, uma vez que A e C temordens diferentes.




Adicao de matrizesDadas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] do tipo m n, a sua adicao e amatriz soma do tipo m n dada por:

A+ B = [aij + bij ]

Exemplo:

A =

2 1 0 31 0 2 44 2 7 0

, B = 4 3 5 12 2 0 1

3 2 4 5

A+ B =

2 4 5 41 2 2 37 0 3 5




Propriedades da adicao de matrizesSejam A, B e C matrizes do tipo m n. Entao:

A+ B = B + A;(A+ B) + C = A+ (B + C);Existe uma matriz nula, Omn, tal que Omn + A = A+Omn = A;Para cada matriz A = [aij ], existe a matriz A = [aij ] tal queA+ (A) = A+ A = O.




Multiplicacao de um escalar por uma matrizO produto de uma escalar (real ou complexo) por uma matrizA = [aij ] do tipo m n e a matriz m n dada por:

A = [aij ]

Exemplo:

12

[2 1 4 61 0 3 8

]=

[1 12 2 312 0 32 4

]




Propriedades da multiplicacao escalarSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo e e dois escalares.Entao:

(A+ B) = A+ B;(+ )A = A+ A;(A) = ()A.




Multiplicacao de matrizesSe A e uma matriz do tipo m r e B e uma matriz do tipo r n entaoo produto AB e uma matriz do tipo m n cujos elementos saodeterminados da seguinte forma:

o elemento da linha i e coluna j de AB obtem-se da linha i de A eda coluna j de B atraves da soma do produto doscorrespondentes elementos.

Notacao abreviada: AB = [r

k=1

aikbkj ]




Exemplo:[1 2 42 6 0

].

4 1 4 30 1 3 12 7 5 2

= [ 26 ]

(2 4) + (6 3) + (0 5) = 26

[1 2 42 6 0

].

4 1 4 30 1 3 12 7 5 2

= [ 13 ]

(1 3) + (2 1) + (4 2) = 13




[1 2 42 6 0

].

4 1 4 30 1 3 12 7 5 2

= [ 12 27 30 138 4 26 12

](1 4) + (2 0) + (4 2) = 12(1 1) (2 1) + (4 7) = 27

(1 4) + (2 3) + (4 5) = 30

(2 4) + (6 0) + (0 2) = 8

(2 1) (6 1) + (0 7) = 4

(2 3) + (6 1) + (0 2) = 12




Observacoes:

So e possvel efectuar o produto AB se o numero de colunas de Afor igual ao numero de linhas de B.

Amr Brn = ABmn

upslopeiguais

O produto de matrizes nao e comutativo.

Exemplo: A =[1 01 0

], B =

[0 01 1

]AB =

[0 00 0

], BA =

[0 02 0

].




Propriedades da multiplicacao de matrizes

A(BC) = (AB)C, para quaiquer matrizes A do tipo m n, B dotipo n p e C do tipo p q;A(B + C) = AB + AC, para quaisquer matrizes A do tipo m n eB e C do tipo n p;(A+ B)C = AC + BC, para quaisquer matrizes A e B do tipom n e C do tipo n p;(A)B = (AB), para quaisquer matrizes A do tipo m n e B dotipo n p;(A)(B) = ()(AB), para quaisquer matrizes A do tipo m n eB do tipo n p;



Exerccios:1 Defina a matriz A do tipo 4 4 cujos elementos aij satisfazem a

condicao:

aij ={

1 se i + j e par0 caso contrario

2 Considere as matrizes: A =

3 01 21 1

, B = [ 4 10 2

]

C =[1 4 03 1 5

], D =

1 5 21 0 13 2 4



Exerccios:Calcule (quando possvel):

1 (BAt 2C)t ;2 (4B)C + 2B;3 Bt(CCt AtA);4 (AC)t + 5Dt .


Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.3 Factorizacao triangular

Matrizes Elementares

Matriz elementar e uma matriz quadrada que se obtem da identidade substituindoo elemento nulo situado na linha i e coluna j por . Denota-se por Eij() ou Eij .

Exemplos:

Matrizes elementares de ordem 3:

E21(4) = 1 0 04 1 0

0 0 1

E32(5) = 1 0 00 1 0

0 5 1

Matrizes elementares de ordem 4:

E41(3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 03 0 0 1

E32(2) =

1 0 0 00 1 0 00 2 1 00 0 0 1



O efeito de multiplicar Eij() (a` esquerda) por uma matriz qualquer A esubstituir a linha i de A pela sua soma com a linha j multiplicada peloescalar .

Seja A =

L1L2...Lm

. Tem-se Eij() A = Eij()

L1...Lj...Li...Lm

=

L1...Lj...

Li + Lj...Lm

Na eliminacao de Gauss, cada operacao elementar da forma A Li+Lj A

pode ser traduzida por Eij() A = A.



Exemplo:Efectuar a operacao elementar 1 1 10 2 1

2 1 2

A

L3+2L1

1 1 10 2 10 3 4

A1

equivale a efectuar o produto 1 0 00 1 02 0 1

E31(2)

1 1 10 2 12 1 2

A

=

1 1 10 2 10 3 4

A1



As matrizes elementares sao invertveis e tem-se(Eij()

)1= Eij()

Exemplos: 1 0 00 1 02 0 1

1 = 1 0 00 1 0

2 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 3 0 1

1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 3 0 1



Propriedade do produto de matrizes elementaresO produto de matrizes elementares por ordem crescente do ndice das colunas

E21(21) E31(31) E41(41) . . .Em1(m1)| {z }

coluna 1

E32(32) E42(42) . . .Em2(m2)| {z }

coluna 2

. . .Em,m1(m,m1)| {z }

coluna m1

e igual a` matriz identidade substituindo cada elemento da posicao ij por ij , ou seja,a` matriz:2

6

6

6

6

6

6

6

4

1 0 0 0 . . . 021 1 0 0 . . . 031 32 1 0 . . . 041 42 43 1 . . . 0...

......

.... . .

...m1 m2 m3 m4 . . . 1

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Exemplo:2

4

1 0 00 1 01 0 1

3

5

| {z }

E31(1)

2

4

1 0 02 1 00 0 1

3

5

| {z }

E21(2)

2

4

1 0 00 1 00 3 1

3

5

| {z }

E32(3)

=

2

4

1 0 02 1 01 3 1

3

5



Matrizes de Permutacao

Matriz de permutacao e uma matriz cujas linhas sao todas as linhas da identidadecolocadas por uma ordem qualquer.

A matriz Pij resulta da matriz identidade por troca da linha i pela linha j .

Exemplos:

Matrizes de permutacao de ordem 3:

P12 =

0 1 01 0 00 0 1

P23 = 1 0 00 0 1

0 1 0

P = 0 0 11 0 0

0 1 0

Matrizes de permutacao de ordem 4:

P14 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

Q =

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1



O efeito de multiplicar (a` esquerda) uma matriz de permutacao Pij poruma matriz qualquer A e trocar a linha i com a linha j de A.

Seja A =

L1L2...Lm

. Tem-se Pij A = Pij

L1...Li...Lj...Lm

=

L1...Lj...Li...Lm

Na eliminacao de Gauss, cada operacao do tipo troca de linhasA

LijA pode ser traduzida por

Pij A = A.



Exemplo:Efectuar a operacao 0 1 13 2 1

1 1 2

A

L13

1 1 23 2 10 1 1

A1

equivale a efectuar o produto 0 0 10 1 01 0 0

P13

0 1 13 2 11 1 2

A

=

1 1 23 2 10 1 1

A1



As matrizes de permutacao sao invertveis e tem-se

P1 = PT

Exemplos: 0 0 11 0 00 1 0

1 = 0 1 00 0 1

1 0 0

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

1

=

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1



Factorizacao LU

Exemplo:

A =

2

4

1 1 12 4 11 3 2

3

5

L22L1L31L1

2

4

1 1 10 2 30 4 1

3

5

| {z }

A1

L3+2L2

2

4

1 1 10 2 30 0 5

3

5

| {z }

U

Das propriedades das matrizes elementares, tem-se

A1 = E21(2) E31(1) A

U = E32(2) A1Portanto,

U = E32(2) E21(2) E31(1)| {z }

B

A

U = BA B1U = B1B| {z }

I

A A = B1|{z}

L

U



Exemplo:[cont.]

L = B1 = [E32(2) E21(2) E31(1)]1

= [E31(1)]1 [E21(2)]1 [E32(2)]1

= E31(1)E21(2)E32(2)

=

2

4

1 0 02 1 01 2 1

3

5

Os elementos que estao abaixo da diagonal principal sao os simetricos dosmultiplicadores -2, -1 e 2, utilizados na eliminacao de Gauss.Entao,

A = LU A =2

4

1 0 02 1 01 2 1

3

5

| {z }

L

2

4

1 1 10 2 30 0 5

3

5

| {z }

U



Em geral, se A e uma matriz m n e U e a matriz em escada de linhas queresulta da eliminacao de Gauss de A, ao longo da qual nao houve troca delinhas, entao

A = LU

onde L e a matriz m m que se obtem da matriz identidade substituindo,para cada operacao elementar Li + Lj feita ao longo da eliminacao deGauss, a entrada nula da linha i e da coluna j pelo simetrico domultiplicador, isto e, por .A quadradaNo caso particular de A ser uma matriz quadrada, a matriz U resultante dasua eliminacao de Gauss e triangular superior. Como L e triangular inferior, adecomposicao LU de A e o produto de duas matrizes triangulares, por issose designa de factorizacao triangular de A.



Factorizacao LDU

Obtem-se da factorizacao LU, decompondo a matriz U no produto de uma matriz D,com uma matriz que tambem se designa por U, onde:

D e uma matriz m m diagonal cujos elementos da diagonal principal sao ospivos da eliminacao de Gauss ou zero no caso de nao haver pivo;

U e uma matriz m n obtida apos eliminacao de Gauss, dividindo cada linhapelo respectivo pivo.

Exemplo:

A = LU A =2

4

1 0 02 1 01 2 1

3

5

| {z }

L

2

4

1 1 10 2 30 0 5

3

5

| {z }

U

A = LDU A =2

4

1 0 02 1 01 2 1

3

5

| {z }

L

2

4

1 0 00 2 00 0 5

3

5

| {z }

D

2

4

1 1 10 1 320 0 1

3

5

| {z }

U



Factorizacao PA = LU ou PA = LDU

A eliminacao de Gauss de uma matriz A pode ser feita:

sem troca de linhas 99K factorizacao LU ou LDU de Acom troca de linhas 99K factorizacao LU ou LDU de PA

Se A e uma matriz m n e U e a matriz em escada de linhas que resulta da eliminacao deGauss de A, ao longo da qual houve troca de linhas, entao

PA = LU

onde P e a matriz m m de permutacao correspondente a`s trocas de linhas.A factorizacao PA = LU ou PA = LDU pode ser resumida pelos seguintes passos:

1 Fazer a eliminacao de Gauss a` matriz A2 Determinar a matriz P que e igual ao produto a` esquerda das matrizes Pij , a` medida que

forem aparecendo3 Calcular a matriz PA4 Fazer a eliminacao de Gauss a` matriz PA (sem trocar linhas) de modo a obter a

factorizacao PA = LU ou PA = LDU.



Exemplo:

A =

2

4

1 2 32 4 21 1 1

3

5

L22L1L3L1

2

4

1 2 30 0 40 1 2

3

5 L23

2

4

1 1 10 1 20 0 4

3

5 = U

P = P23 =

2

4

1 0 00 0 10 1 0

3

5 PA =

2

4

1 0 00 0 10 1 0

3

5

2

4

1 2 32 4 21 1 1

3

5 =

2

4

1 2 31 1 12 4 2

3

5

PA =

2

4

1 2 31 1 12 4 2

3

5

L21L1L32L1

2

4

1 2 30 1 20 0 4

3

5 = U

PA = LU PA =2

4

1 0 01 1 02 0 1

3

5

| {z }

L

2

4

1 2 30 1 20 0 4

3

5

| {z }

U

PA = LDU A =2

4

1 0 01 1 02 0 1

3

5

| {z }

L

2

4

1 0 00 1 00 0 4

3

5

| {z }

D

2

4

1 2 30 1 20 0 1

3

5

| {z }

U


Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares1.4 Resolucao de Sistemas pelo Metodo de Eliminacao de

Gauss-Jordan. Calculo de inversas de matrizes

A resolucao de um sistema pelo metodo de Gauss-Jordancompreende as fases:

1 Eliminacao de Gauss da matriz ampliada do sistema.(So interessa passar a` fase seguinte se o sistema for possvel);

2 A partir da matriz em escada de linhas obtida em 1, chegar a umamatriz em que:

por baixo e por cima dos pivos, todas as entradas sejam nulas;os pivos sejam iguais a 1 (multiplicacao de cada linha nao nula damatriz pelo inverso do numero que e pivo dessa linha.




Exemplo: 2x1 + 3x2 + x3 = 3x1 + x2 + x3 = 22x1 + x2 = 2

Fase 1: 2 3 1 | 31 1 1 | 22 1 0 | 2

L12

1 1 1 | 22 3 1 | 32 1 0 | 2

L22L1L3+2L1

1 1 1 | 20 1 1 | 10 3 2 | 2

L33L2

1 1 1 | 20 1 1 | 10 0 5 | 5




Exemplo:Fase 2: 1 1 1 | 20 1 1 | 1

0 0 5 | 5

15L3

1 1 1 | 20 1 1 | 10 0 1 | 1

L2+L3L1L3

1 1 0 | 10 1 0 | 00 0 1 | 1

L1L2

1 0 0 | 10 1 0 | 00 0 1 | 1

Solucao:

x1 = 1x2 = 0x3 = 1




Matriz invertvelA matriz quadrada A de ordem n diz-se invertvel se existir uma matrizquadrada B de ordem n tal que AB = I e BA = I.Nesse caso, B diz-se a inversa de A e representa-se por A1.

Matriz singular e matriz nao singularSeja A uma matriz quadrada de ordem n.

A diz-se singular se car(A) < n.A diz-se nao singular se car(A) = n.




Propriedades:

1 Uma matriz quadrada A de ordem n e invertvel se e so se e naosingular;

2 Seja A uma matriz invertvel, entao:A inversa e unica;(A1)1 = A;

3 Se A e B sao matrizes quadradas de ordem n tais que AB = Ientao BA = I;

4 Se A1, A2,...,An sao matrizes quadradas da mesma ordem, todasinvertveis, entao o produto A1A2...An e invertvel, tendo-se

(A1A2...An)1 = A1n ...A12 A

11

.




Metodo de Gauss-Jordan no calculo de inversas de matrizes[A | I ] ............................. [ I | A1 ]

metodo de Gauss-Jordan

Exemplo:

Calcular a inversa de

A =[3 45 7

].

[3 4 |1 05 7 |0 1

]




Exemplo: [3 4 |1 05 7 |0 1

]

L2 53L1

[3 4 | 1 00 13 | 53 1

]

3L2

[3 4 | 1 00 1 | 5 3

]

L14L2

[3 0 | 21 120 1 | 5 3

]

13L1

[1 0 | 7 40 1 | 5 3

]99K A1 =

[7 45 3

]




Exerccios:1 Determine a matriz A tal que:

A1 =

40 16 913 5 35 2 1

.2 Determine todos os valores reais de a, b e c para os quais

A =

1 0 00 2 1a b c

e invertvel.


Cap. I - Matrizes e Sistemas Lineares 1.5 Matrizes Simetricas, Hermticas e Ortogonais

Matriz simetrica e matriz anti-simetricaSeja A Mnn(K), K = R ou K = C.

A diz-se simetrica se At = A.A diz-se anti-simetrica se At = A.

Exemplos:

A =

1 4 54 3 25 2 7

Matriz simetricaA =

0 4 54 0 25 2 0

Matriz anti-simetrica



Propriedades da transposicao de matrizesSejam A Mmn(K), K = R ou K = C, e um escalar.

(At)t = A;(A+ B)t = At + Bt ;(AB)t = BtAt ;(A)t = At ;Se A e invertvel, entao At e invertvel, tendo-se (A1)t = (At)1;(Ak )t = (At)k .



Matriz conjugadaSeja A Mmn(C).A matriz conjugada de A = [aij ], do tipo m n, e dada por A = [aij ],onde aij denota o conjugado de aij .

Exemplo:

A =

4 1 i 23+ i 2+ i 00 1+ 2i 5i

A = 4 1+ i 23 i 2 i 0

0 1 2i 5i



Propriedades da conjugacao de matrizesSejam A Mmn(C) e C.

A = A;A+ B = A+ B;AB = A B;A = A;

Se A e invertvel, entao A e invertvel, tendo-se A1 = A1;

Ak = Ak.



Matriz transconjugadaSeja A Mmn(C).A matriz transconjugada de A = [aij ], do tipo m n, e dada porA = [aji ], do tipo n m.Notacao: A = AH = (A)t = At

Exemplo:

A =

4 1 i 23+ i 2+ i 00 1+ 2i 5i

A = 4 3 i 01+ i 2 i 1 2i2 0 5i



Propriedades da transconjugacao de matrizesSejam A Mmn(C) e C.

(A) = A;(A+ B) = A + B;(AB) = BA;(A) = A;Se A e invertvel, entao A e invertvel, tendo-se (A1) = (A)1;(Ak ) = (A)k .



Matriz hermtica e matriz anti-hermticaSeja A Mnn(C).

A diz-se hermtica se A = A.A diz-se anti-hermtica se A = A.

Exemplos:

A =

1 4 i 1+ i4+ i 6 21 i 2 0

Matriz hermticaA =

0 4+ i 14+ i 0 2+ i1 2+ i 0

Matriz anti-hermtica



Matriz ortogonalUma matriz A quadrada de ordem n diz-se ortogonal se

AAt = I e AtA = I

ou

A for invertvel e At = A1

Exemplo:

A =

0 0 10 1 01 0 0



Exerccios:Determine os valores de a, b e c para os quais:

1 A =

2 a 2b + 2c 2a+ b + c3 5 a+ c0 2 7

e simetrica.

2 A =

0 a+ bi bi3+ i 0 3+ 2ii 3+ 2i c

e anti-hermtica.


cap1 ii neteorica

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