Ronildo Oliveira da Silva

Cálculo Diferencial e Integral I - Uma BreveIntrodução ao Estudo de Integrais

Quixadá

2015, Junho

Ronildo Oliveira da Silva

Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introduçãoao Estudo de Integrais

Resumo à respeito do contexto, aplicabili-dade, e definições sobre integrais aprendidosno curso de Cálculo Diferencial e Integral I.

Universidade Federal do Ceará

Campus Quixadá

Bacharel em Ciência da Computação

Quixadá2015, Junho

Agradecimentos

Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC),em especial ao Prof. Antônio Joel Ramiro de Castro que propôs esse trabalho, que nosacompanhou e orientou durante o primeiro semestre de 2015.

ResumoEsse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas eindefinidas.

Palavras-chaves: integral. cálculo.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13

1 PARA QUE INTEGRAIS? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Integral Indefinida em um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Aritméticas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Teorema da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Área Como Limite de um Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II TABELA DE INTEGRAIS 23

2 TABELA DE INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1 Integrais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Integral com Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Integrals with Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Integrais com Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Integrais de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11

Introdução

Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas eindefinidas.

Parte I

Estudo Sobre Integrais

15

1 Para que Integrais?

No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhoralgoritmo para se usar? Qual o mais rápido? Tendo dois algoritmos de complexidadesdiferentes, como saber qual deles é o menos nocivo à máquina? Podemos ver nitidamentequal o mais eficiente?Para analisarmos essas informações, apresentaremos de uma forma objetiva as definições epropriedades de Integrais.Veremos também as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, cálculo de áreas sobcurvas, as ideias iniciais de integral e os primeiros passos dos grandes nomes da matemáticaque contribuíram para o estudo do Cálculo.

1.1 PrimitivasComo o título já diz tudo, veremos como são definidas funções primitivas o que nosfaz lembrar de derivadas, mas como os opostos se atraem, estudaremos com as duasdefinições de mãos dadas. Considere duas funções f(x) e F (x) ∈ R e contínua numintervalo real i. Utilizando dos conceitos aprendidos em derivadas, se derivarmos F (x),essa será equivalente a f(x), ou seja, F ′(x) = f(x).Chamemos F (x) de função primitiva.

Exemplificando a situação, se tivermos uma função G(x) = x2 + 4x + 16 e setambém tivermos uma função g(x) = 2x+ 4.

G(x) é uma primitiva de g(x).

No exemplo acima, percebemos que G(x) = ax2 + bx+ c, onde c é uma constante.Para qualquer valor de c, a derivada de G(x) será a mesma, pois a derivação de umaconstante sempre é 0.

Se seus problemas são constantes, derive-os (??, 5.3).

Agora vamos às integrais. No caso geral, para qualquer função y = F (x) + c, comc ∈ R, são todas primitivas de f(x), isso é o que denominamos de família de primitivasrepresentada pelo símbolo operador

∫, e expressa da seguinte forma:

F (x) = F (x) + c =∫f(x) dx

16 Capítulo 1. Para que Integrais?

1.2 Integrais IndefinidasAssim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos, vamos abordar o conceitode Integrais de uma maneira bem light.

Na definição acima, f(x) é o integrando e∫f(x) dx é a integral indefinida de f(x).

1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio

Seja f(x) = 3x4 + 4x2 + 5, sua primitiva é:

F (x) = 3x4+1

4+1 + 4x2+1

2+1 + 51+1

1+1 =

F (x) = 3x5

5 + 4x3

3 + 52

2

Para termos certeza do conceito, calculamos F ′(x):

F ′(x) = 5·3x4

5 + 3·4x2

3 + 2·51

2 =

F ′(x) = 3x4 + 4x2 + 5

Isso nos leva a acreditar que F (x) nada mais é do que um candidato vindo dafamília de primitivas da função f(x). O que nos leva a considerar que:

∫xndx = 1

n+ 1xn+1 + c, n 6= −1 , c, n ∈ < (1.1)

1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante

Já que estamos falando de constantes, seja a, uma constante real aplicada a uma integralindefinida:

∫a · f(x)dx = a ·

∫f(x)dx (1.2)

Exemplo:Seja f(x) = x3 + 4x2 :

∫6 · (x3 + 4x2)dx = 6 ·

∫x3 + 4x2dx =∫

(6x3 + 24x2)dx = 6 ·∫x3 + 4x2dx =

6x4

4 + 24x3

3 = 6 ·(x4

4 + 4x3

3

)=

6x4

4 + 24x3

3 = 6x4

4 + 24x3

3

1.3. Métodos de Integração 17

1.2.3 Aritméticas de Integrais

Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma de ambas é equivalente asoma das suas respectivas integrais.

∫(f(x)± g(x))dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx (1.3)

1.2.4 Teorema da Linearidade

O que vimos nas subseções nos leva a considerar as seguinte informação:

Sejam F , G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β ∈ <. Entãoα · F + β ·G é uma primitiva de α · f + β · g.

∫(α · f(x) + β · g(x)) dx = α

∫f(x)dx+ β ·

∫g(x)dx (1.4)

Exemplo:Calcule

∫sin2(x)dx

sin2(x) = 12(1− cos(2x))∫

sin2(x)dx = 12

∫(1− cos(2x))dx =

x

2 −sin(2x)

4 + c

1.3 Métodos de Integração

1.3.1 Método de Substituição

Sejam Fuma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F (g) estejadefinida. Usando a regra da cadeia, temos, (F (g(x)))′ = F ′(g(x)) · g′(x) = f(g(x)) · g′(x).Então F (g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x), então:

∫f(g(x)) · g′(x)dx = F (g(x)) + c

Seja g(x) = u, du = g′(x)dx. Feita a substituição:

∫f(g(x)) · g′(x)dx =

∫f(u)du = F (u) + c (1.5)

Exemplo:Calcule

∫ 2x1+x2dx

Seja u = 1 + x2, entãodu = 2xdx :

18 Capítulo 1. Para que Integrais?

∫ 2x1 + x2dx =

∫ du

u=

ln(u) + c = ln(x2 + 1) + c

1.4 Integrais Definidas

Definiremos uma integral definida como um modelo de integral que estabelece limites deintegração na forma,

b∫a

f(x)dx (1.6)

(lê-se integral de f(x) de a até b) onde {a, b} ∈ <, a ≤ b e denotam os limites deintegração (a representa o limite de integração inferior e b o limite de integração superior).Seja uma função f(X) =

∫F (x)dx, então, pela definição acima, temos:

Note que, se tivermos uma variação de intervalo nula, teremos uma área nula.

b∫a

F (x) = f(b)− f(a) (1.7)

Exemplo:Calcule

1∫−1x

43 + 4x 1

3dx

1∫−1

x43 + 4x 1

3dx =

37x

73 + 4 · 3

4x43 lim inf −1 lim sup 1 =

37 + 3− (−3

7 + 3) =67

1.5. A Integral de Riemann 19

1.5 A Integral de Riemann

Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da matemática:Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826— Selasca, Verbania, 20 de Julho de 1866) foi um matemático alemão, com contribuiçõesfundamentais para a análise e a geometria diferencial.No ramo da análise real, a integral deRiemann foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalodado e se tornou uma das definições mais simples que temos atualmente.

Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann

Fonte: wikipedia.com

A noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da ideiado cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções.

1.6 Gráficos

Se na antiguidade existia um problema matemático era o de calcular a área de figuras comregiões curvas.Arquimedes (matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo gregoque viveu entre 287a.C. à 212a.C), criou por exaustão, um método que calculasse áreasdesse tipo, em especial, um círculo.Essa metodologia consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número delados cada vez maior. A ideia é que devido ao aumento de lados do polígono em questão(com melhor visualização se utilizar-mos polígonos regulares), nos aproximaríamos cadavez mais da área desejada.Observe:

De modo análogo, podemos calcular a área entre o gráfico de uma função em umintervalo [a, b] e o eixo das abscissas. Para se ter uma ideia inicial da área compreendidaentre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos delarguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos

20 Capítulo 1. Para que Integrais?

Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo

Fonte: wikipedia.com

pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. Aárea da região será, aproximadamente a soma da área de todos os retângulos construídos.

Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x

2 4 6 8 10

20

40

60

80

1

Aproximação com 3 retângulos

Percebe-se que, com um número pequeno de retângulos é muito provável que aárea não terá uma aproximação significante, pois alguns retângulos poderão ultrapassar oslimites do gráfico da função ou deixar espaços não pertencentes ao "limite"do gráfico.Assim,dobrando a quantidade de retângulos, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, sepreenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todoseles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas.Alguns exemplos serão dados para demonstrar de maneira gráfica como o aumento daquantidade de retângulos influencia na aproximação da área da curva sob o eixo x.

1.7. Área Como Limite de um Somatório 21

Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x

2 4 6 8 10

20

40

60

80

1

Aproximação com 6 retângulos

Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x

2 4 6 8 10

20

40

60

80

1

Aproximação com 60 retângulos

1.7 Área Como Limite de um Somatórioé dada por, Assim seja, função f(x) contínua no intervalo [a, b] cada área restringida pelacurva de f , pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x de cada retângulo xi, comi = {0, 1, 2, 3, .., n} e n tendendo a ∞ é equivalente à quantidade de retângulos inscritossob à curva, podemos considerar que a área sob à curva seja:

A = limn=∞

∆xn∑

i=1|f(xi)| (1.8)

22 Capítulo 1. Para que Integrais?

onde:

∆x = b− an

e xi = a+ i ·∆x (1.9)

Continua . . .

Parte II

Tabela de Integrais

25

2 Tabela de Integrais

2.1 Integrais Básicas∫xndx = 1

n+ 1xn+1, n 6= −1 (2.1)

∫ 1xdx = ln |x| (2.2)

∫udv = uv −

∫vdu (2.3)

∫ 1ax+ b

dx = 1a

ln |ax+ b| (2.4)

2.2 Integrais de Funções Racionais∫ 1

(x+ a)2dx = − 1x+ a

(2.5)

∫(x+ a)ndx = (x+ a)n+1

n+ 1 , n 6= −1 (2.6)

∫x(x+ a)ndx = (x+ a)n+1((n+ 1)x− a)

(n+ 1)(n+ 2) (2.7)

∫ 11 + x2dx = tan−1 x (2.8)

∫ 1a2 + x2dx = 1

atan−1 x

a(2.9)

∫ x

a2 + x2dx = 12 ln |a2 + x2| (2.10)

∫ x2

a2 + x2dx = x− a tan−1 x

a(2.11)

∫ x3

a2 + x2dx = 12x

2 − 12a

2 ln |a2 + x2| (2.12)

∫ 1ax2 + bx+ c

dx = 2√4ac− b2

tan−1 2ax+ b√4ac− b2

(2.13)

26 Capítulo 2. Tabela de Integrais

∫ 1(x+ a)(x+ b)dx = 1

b− aln a+ x

b+ x, a 6= b (2.14)

∫ x

(x+ a)2dx = a

a+ x+ ln |a+ x| (2.15)

∫ x

ax2 + bx+ cdx = 1

2a ln |ax2 + bx+ c| − b

a√

4ac− b2tan−1 2ax+ b√

4ac− b2(2.16)

2.3 Integral com Raízes

∫ √x− a dx = 2

3(x− a)3/2 (2.17)

∫ 1√x± a

dx = 2√x± a (2.18)

∫ 1√a− x

dx = −2√a− x (2.19)

∫ √ax+ b dx =

(2b3a + 2x

3

)√ax+ b (2.20)

∫(ax+ b)3/2 dx = 2

5a(ax+ b)5/2 (2.21)

∫x√ax+ b dx = 2

15a2 (−2b2 + abx+ 3a2x2)√ax+ b (2.22)

∫x√x2 ± a2 dx = 1

3(x2 ± a2

)3/2(2.23)

∫ 1√a2 − x2

dx = sin−1 x

a(2.24)

∫ x√x2 ± a2

dx =√x2 ± a2 (2.25)

∫ x√a2 − x2

dx = −√a2 − x2 (2.26)

∫ dx

(a2 + x2)3/2 = x

a2√a2 + x2

(2.27)

2.4. Integrals with Logarithms 27

2.4 Integrals with Logarithms∫

ln ax dx = x ln ax− x (2.28)

∫x ln x dx = 1

2x2 ln x− x2

4 (2.29)

∫x2 ln x dx = 1

3x3 ln x− x3

9 (2.30)

∫ ln axx

dx = 12 (ln ax)2 (2.31)

∫ ln xx2 dx = −1

x− ln x

x(2.32)

∫(ln x)2 dx = 2x− 2x ln x+ x(ln x)2 (2.33)

∫(ln x)3 dx = −6x+ x(ln x)3 − 3x(ln x)2 + 6x ln x (2.34)

∫x2(ln x)2 dx = 2x3

27 + 13x

3(ln x)2 − 29x

3 ln x (2.35)

2.5 Integrais com Funções Exponenciais∫eax dx = 1

aeax (2.36)

∫xex dx = (x− 1)ex (2.37)

∫x2ex dx =

(x2 − 2x+ 2

)ex (2.38)

∫x3ex dx =

(x3 − 3x2 + 6x− 6

)ex (2.39)

∫xneax dx = xneax

a− n

a

∫xn−1eaxdx (2.40)

∫xe−ax2

dx = − 12ae

−ax2 (2.41)

28 Capítulo 2. Tabela de Integrais

2.6 Integrais de Funções Trigonométricas∫

sin ax dx = −1a

cos ax (2.42)

∫cos ax dx = 1

asin ax (2.43)

∫cos2 ax dx = x

2 + sin 2ax4a (2.44)

∫sin2 x cosx dx = 1

3 sin3 x (2.45)

∫cos2 ax sin ax dx = − 1

3a cos3 ax (2.46)

∫tan2 ax dx = −x+ 1

atan ax (2.47)

∫secx tan x dx = secx (2.48)

∫sec2 x tan x dx = 1

2 sec2 x (2.49)

∫csc2 ax dx = −1

acot ax (2.50)

29

3 Conclusão

Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importânciasdentro do estudo de Integrais foram claramente abordados.

Espero que esse documento seja de grande utilidade para os interessados emaprender um pouco dessa ciência tão abrangente.

31

4 Referências bibliográficas

Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann> Acesso em 20 de junho de 2015.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC,2001.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1. Harbra, 1994.

PEREIRA, Ricardo Reis. Cálculo Essencial.