Aluno

Resolução de Problemas

Matemáticos

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada - 02 8° ano | 2° Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Série

Resolução de Problemas Matemáticos

Ensino Fundamental 2° 8°

Habilidades Associadas

1. Interpretar e resolver problemas envolvendo sistemas de equação do 1° grau.

2. Compreender as propriedades dos quadriláteros.

2

A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar

suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma

autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções

para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades

roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é

efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,

também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o

a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior

domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para

o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as

ferramentas da autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se

para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o

aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede

estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim

de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às

suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

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Caro aluno,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 2° Bimestre do Currículo Mínimo de Resolução de

Problemas Matemáticos do 8° ano do Ensino Fundamental. Estas atividades

correspondem aos estudos durante o período de um mês.

A nossa proposta é que você, aluno, desenvolva estas Atividades de forma

autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas

de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no

percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e

independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do

conhecimento do século XXI.

Neste Caderno de Atividades, iremos desenvolver as ideias associadas aos

sistemas de equações do primeiro grau, com duas incógnitas, e aos quadriláteros. Na

primeira parte do plano vamos estudar problemas que nos ajudarão a relembrar as

equações do primeiro grau. Em seguida, vamos resolver situações em que mais de uma

quantidade é desconhecida, fazendo uso dos métodos para a resolução de sistemas de

equações. Por fim, vamos abordar algumas propriedades dos quadriláteros convexos.

Este documento apresenta 03 (três) aulas. As aulas são compostas por uma

explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias

relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e

atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As

Atividades são referentes a um tempo de aula. Para reforçar a aprendizagem, propõe-

se, ainda, uma avaliação e uma pesquisa sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

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Introdução ......................................................................................................3

Aula 1: Problemas e equações do 1º grau ......................................................... 2

Aula 2: Sistemas de Equações ............................................................................ 2

Aula 3: Quadriláteros ......................................................................................... 2

Avaliação ............................................................................................................ 2

Pesquisa .............................................................................................................. 2

Referências ......................................................................................................... 2

Sumário

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Caro aluno, nesta atividade vamos trabalhar com problemas que podem ser

modelados através de equações do 1º grau com uma incógnita. Esperamos que você

possa recordar as noções de equações do 1º grau, que serão muito importantes para o

desenvolvimento dos sistemas de equações. Vamos trabalhar esses conceitos através

de situações problemas.

EXEMPLO 01:

Seu Juca fez um saque no caixa eletrônico de seu banco, no valor de . Ele

percebeu que o caixa lhe deu 3 notas de , e algumas notas de .

Quantas notas Seu Juca recebeu da máquina?

Resolução:

Nesse problema há uma quantidade desconhecida: a quantidade de notas de 20

reais. Vamos dar um nome para essa quantidade desconhecida? Vamos chamá-la de

. Note que, chamando essa quantidade de , a quantia que Seu Juca possuía, em

notas de 20 reais era equivalente a . Observe a tabela a seguir:

Nº de notas de 20 reais

Quantia ( )

Agora, vamos reescrever a situação de Seu Juca, utilizando a linguagem

Matemática. Ele tem o dinheiro distribuído em duas partes: são reais em notas de

Aula 1: Problemas e equações do 1º grau

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vinte, e reais em notas de cinquenta. Somando essas quantias, ele tem 450 reais.

Em linguagem Matemática, representamos essa situação através de uma equação:

Agora, para descobrir o valor de , precisamos resolver essa equação. Fazemos

isso isolando a incógnita:

Assim, Seu Juca recebeu 15 notas de 20 reais. Como ele também recebeu 3

notas de 50 reais, ele ficou com notas no total!

EXEMPLO 02:

Carlinhos chegou a casa todo feliz depois de uma aula de Matemática, pois o

professor lhe ensinou um “desafio”. Ele foi logo testar a tal brincadeira com seu pai.

Assim que o encontrou, foi logo dizendo: “Pai, eu pensei em um número. Depois,

multipliquei-o por 4. Em seguida, subtraí 8 do resultado, e por fim, dividi o número que

encontrei por 2. O resultado de tudo isso foi 26. Em que número pensei?”

Responda ao desafio proposto por Carlinhos: em que número ele pensou?

Escrever os problemas através da linguagem matemática nos ajuda a organizar melhor os

dados, especialmente quando há quantidades desconhecidas!

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Resolução:

Nesse problema, a quantidade desconhecida é o número pensado por Carlinhos.

Vamos chama-la de . Desse modo, quando Carlinhos diz que multiplicou o número por

4, passamos a ter Em seguida, ele subtrai 8, ou seja, ficamos com . Por fim,

ele divide o resultado por 2, e então, passamos a ter

. Como o resultado obtido

após todas essas operações foi 26, obtemos a equação:

Resolvendo-a, temos:

Carlinhos pensou no número 15!

EXEMPLO 03:

Marcos instalou uma mangueira na torneira do tanque de sua casa, com o objetivo de

encher uma pequena piscina. A torneira despeja 8,5 litros de água por minuto. Antes

de instalar a mangueira, já havia 269 litros d’água. Quanto tempo levará para que a

piscina, que tem capacidade para 1000 litros, fique completamente cheia?

Resolução:

Nessa situação, a quantidade desconhecida é o tempo em que a torneira ficará

aberta. Vamos chama-la de . Representando o problema através de uma equação,

temos:

Resolvendo-a:

8

Isso significa que levarão 86 minutos (ou 1 hora e 26 minutos) para que a

piscina esteja cheia!

Então, vamos tentar resolver alguns problemas sozinhos?

01. Mário comprou uma certa quantidade de cadeiras para colocar na varanda de sua

casa. Ele pagou com 10 notas de 100 reais, e recebeu 91 reais de troco. Se cada cadeira

custou , quantas cadeiras ele comprou?

02. Pensei em um número. Adicionei 17. Multipliquei o resultado por 13. Somando 30

ao resultado, obtive 108. Em que número pensei?

03. (Unicamp) O índice de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela

fórmula:

, onde é a massa do corpo, dada em quilogramas, e é a altura da

pessoa, em metros. O índice permite classificar uma pessoa adulta, de acordo com a

seguinte tabela:

Atividade 1

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Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0kg e cuja altura 1,60m.

Classifique-a de acordo com a tabela:

04. Em uma corrida normal, um taxista cobra para cada quilômetro rodado.

Além disso, há uma taxa fixa, chamada de “bandeirada”, no valor de que

também deve ser paga. Um passageiro que pagou rodou por quantos

quilômetros nesse táxi?

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Caro aluno, nesta aula vamos conhecer alguns problemas que envolvem mais

de uma quantidade desconhecida, e que poderão ser resolvidos por meio dos Sistemas

de Equações. Preste bastante atenção em como montar as equações do sistema, e em

como encontrar sua solução! Vamos aos exemplos:

EXEMPLO 01:

Na fazenda do Coronel Tadeu, há muitos animais. Dentro de um enorme criadouro, há

galinhas e porcos. Sabe-se que nesse lugar há 108 pés, e 42 animais. Descubra quantos

porcos e quantas galinhas há no criadouro do coronel Tadeu.

Resolução:

O primeiro passo é perceber que temos duas quantidades desconhecidas: o

número de porcos e o número de galinhas. Precisamos dar nomes a essas quantidades.

Que tal , para o número de porcos e para o número de galinhas? Agora,

precisamos analisar as informações do problema. Ele nos informa que há um total de

42 animais, ou seja, se somarmos a quantidade de porcos e de galinhas, obteremos 42.

Daí vem a equação:

Mas, o problema também diz que existem 108 pés. Como cada porco tem 4 pés,

e cada galinha tem 2 pés, temos uma outra equação:

Temos então, duas equações e duas incógnitas, e podemos montar o sistema:

Aula 2: Sistemas de Equações

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Uma das formas de resolver esse

sistema é pelo método da substituição.

Para usar esse método, vamos começar

escolhendo uma das equações e isolando

uma das variáveis:

Agora, substituímos a expressão que encontramos na outra equação:

Assim, obtivemos uma equação com apenas uma incógnita. O próximo passo é

resolvê-la:

Encontramos o valor de . Com ele, podemos voltar e encontrar o valor de

Pronto! O coronel Tadeu tem 12 porcos e 30 galinhas em seu criadouro!

EXEMPLO 02:

Um retângulo tem perímetro 40 cm. Sabe-se que nesse retângulo, o comprimento

tem 4 unidades a mais que a largura. Quanto mede o comprimento e a largura desse

retângulo?

Os métodos mais

comuns para

resolver os sistemas

são o da

substituição e o da

adição!

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Resolução:

Vamos começar desenhando a figura. Como não conhecemos as medidas do

comprimento e da largura, vamos chama-las de e :

Como sabemos, o perímetro de um retângulo é dado pela soma de todos os

seus lados. Isso nos dá a equação

Mas, também sabemos que o comprimento tem 4 unidades a mais que a

largura , ou seja,

Obtemos então o sistema

Observe que nesse sistema a segunda equação já traz a incógnita isolada.

Basta então, substituir essa expressão na primeira equação, e resolvê-la:

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Voltando na segunda equação, temos:

Logo, esse retângulo tem comprimento e largura .

01. A soma de dois números é 32. O triplo do menor deles mais o segundo é igual a 40.

Que números são esses?

02. Três quilogramas de arroz e dois quilogramas de feijão custam juntos . Já

cinco quilogramas de arroz e três quilogramas de feijão custam . Quanto custa

cada quilograma de arros e cada quilograma de feijão?

03. Seu Juca sacou em um caixa eletrônico, e recebeu notas de e

, num total de 13 notas. Quantas notas de cada ele recebeu?

04. Em uma loja de roupas, quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Nessa

mesma loja, cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço de cada

peça?

05. A diferença entre dois números é 3. O maior é

do menor. Quais são os números?

Atividade 2

Vamos exercitar

um pouco!

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Caro aluno, nesta aula vamos estudar algumas propriedades dos quadriláteros.

Eles são figuras cheias de peculiaridades, e recomendamos que você procure outras

fontes de consulta, para conhecer outras propriedades desses objetos geométricos.

Uma primeira propriedade, comum a todos os quadriláteros convexos é que a

soma de seus ângulos internos é sempre igual a .

EXEMPLO 01:

Uma empresa de engenharia precisa descobrir as medidas dos ângulos internos de um

terreno quadrangular como o mostrado na figura a seguir:

Apenas o ângulo correspondente ao vértice pôde ser medido. Porém, descobriu-se

que o ângulo vale o dobro do ângulo , e que o ângulo vale o quádruplo do ângulo

, conforme indicado na figura. Qual o valor de cada um dos ângulos desse terreno?

Aula 3: Quadriláteros

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Resolução:

Como a soma dos quatro ângulos internos deve ser , podemos escrever:

Resolvendo essa equação, obtemos:

Logo, os ângulos valem: e !

O perímetro dos quadriláteros, assim como o perímetro de todas os outros

polígonos é dado pela soma dos comprimentos de seus lados.

EXEMPLO 02:

Dois irmãos compraram juntos um terreno bastante grande, e precisavam cercar esse

terreno. Eles já possuíam 50m de cerca, e querem saber quantos metros a mais

deverão comprar. O terreno está representado na figura abaixo:

Eles combinaram de cercar todo o entorno do terreno, mas não colocarão cerca no

meio, sobre o segmento de reta que divide o terreno em duas partes. Nessas

condições, quantos metros de cerca eles precisam comprar?

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Resolução:

Uma maneira de solucionar essa questão, é calcular o perímetro dos dois

quadriláteros que representam as partes do terreno. Esses perímetros são:

Somando esses valores, encontramos Como eles não irão

colocar cerca no meio do terreno, precisamos subtrair os que somamos em cada

um dos perímetros. Temos também, que subtrair os de cerca que eles já possuem.

Ficaremos então com:

Logo, eles precisarão comprar de cerca!

01. Paulo precisa comprar arame para cercar o terreno de sua casa, que tem o formato

de um quadrilátero com os lados medindo e . Ele quer dar três

voltas no terreno com o arame. De quantos metros de arame ele vai precisar?

Atividade 3

Uma outra propriedade bastante interessante dos quadriláteros, comum a todos os paralelogramos (e isso inclui o quadrado, o losango e o retângulo) é que suas

diagonais se cruzam em seu ponto médio. Existem muitas outras propriedades nos quadriláteros.

Na pesquisa, você será convidado a procurar por outras!

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02. Quanto vale na figura abaixo?

03. Um quadrilátero de perímetro igual a tem dois lados iguais a , e um dos

lados que restam é maior que o outro. Quais as medidas dos lados desse

quadrilátero?

04. Os ângulos internos de um quadrilátero são e

. Qual é o valor de nesse quadrilátero?

05. Um quadrilátero tem o lado maior igual ao dobro do lado menor, e dois lados

medindo . Se o perímetro desse quadrilátero é , quais as medidas dos seus

lados?

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Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas

anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários.

Vamos lá, vamos tentar?

01. Alberto tem certa quantidade de figurinhas. Bernardo tem o triplo das figurinhas

que Alberto, e os dois juntos têm 48 figurinhas. Quantas figurinhas tem cada um

deles?

02. Marcelo gosta muito de assistir filmes nos fins de semana. Na video locadora onde ele

costuma alugar os filmes, o aluguel de cada DVD custa , e o aluguel de cada blu-

ray custa . Na última sexta-feira, Marcelo alugou alguns DVD’s e alguns blu-rays,

totalizando 9 filmes, e . Quantos DVD’s ele alugou?

03. Um carro sai do quilômetro 216 de uma rodovia, e, viajando em velocidade constante

de 75km/h, chega ao quilômetro 591 da mesma rodovia. Quanto tempo ele demorou

para realizar esse percurso?

04. Em um quadrilátero temos um ângulo de medida , outro de medida , outro de

medida , e o último de medida Qual o valor de cada um desses ângulos?

05. Um circuito de kart tem a forma de um quadrilátero com lados medindo ,

, e . Qual é, em metros, o comprimento total desse circuito?

06. Em quanto tempo um Kart, com velocidade constante de 78km/h percorreria todo

esse circuito?

Avaliação

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Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 2°

bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então,

vamos lá?

Neste caderno, estudamos equações do 1º grau, sistemas de equações e

algumas propriedades dos quadriláteros, e percebemos que a partir delas podemos

resolver diversas situações.

Leia atentamente as questões a seguir e faça uma pesquisa para responder a

cada uma delas de forma clara e objetiva.

ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos

livros e sites que foram utilizados.

I ─ Os sistemas lineares são úteis para resolver problemas que vão desde os mais

simples, com duas equações e duas incógnitas, como vimos, até grandes e elaborados

sistemas. Pesquise e descreva algumas aplicações dos sistemas lineares. Faça uma

busca por áreas como a Física, a Engenharia, e procure problemas que podem ser

solucionados através dos sistemas lineares.

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II ─ Elabore uma lista com propriedades dos quadriláteros, separando as propriedades

do quadrado, do losango, do retângulo, dos paralelogramos e dos trapézios.

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Pesquisa

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[1] ANDRINI, Álvaro ; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática. 3 ed.

Renovada. São Paulo: Editora do Brasil, 2012.

[2] BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini. 7 ed. São Paulo: Moderna, 2011.

[3] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 1 ed. São Paulo: Ática, 2012.

[4] JAKUBOVIC, José et al. Matemática na medida certa, 7º ano. São Paulo: Scipione,

2002.

[5] MORI, Iracema ; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Ideias e desafios, 7º ano. 17

ed. São Paulo: Saraiva, 2012.

[6] SOUZA, Joamir Roberto de ; PATARO, Patricia Rosana Moreno. Vontade de saber

matemática, 7º ano. 2 ed. São Paulo: FTD, 2012.

Referências

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COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Ivete Silva de Oliveira Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE

Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo

Reginaldo Vandré Menezes da Mota

Tarliz Liao

Vinícius do Nascimento Silva Mano

Weverton Magno Ferreira de Castro

Equipe de Elaboração