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8/10/2019 BEII EL Ultimo Torcao

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BETO ESTRUTURAL ver1.0ESTADO LIMITE LTIMO: ESFORO DE TORO 8.1

Paulo Mendes

1- COMPORTAMENTO DE UMA PEA DE BETO ARMADO SUJEITA TORO

Nas situaes correntes das estruturas de beto armado, nomeadamente noselementos do tipo viga, consideram-se dois modos de toro: Toro de equilbrio: efeito que decorre de aces actuando perpendicularmente

ao eixo, mas fora do plano de flexo da viga. O diagrama dos momentostorsores ao longo do eixo da viga facilmente determinvel aps o clculodas reaces atravs das equaes de equilbrio.

A perda de resistncia ao esforo torsor implica a perda de equilbrio dealgumas peas, colocando em causa a estabilidade da estrutura.De acordo com 6.3.1(1), nestes casos necessria uma verificao datoro, quer em relao ao estado limite ltimo, quer em relao ao estadolimite de utilizao.

a

1F

TEd,2 = MEd,1 =F.a

2

Toro de compatibilidade: Este tipo de toro no pe em causa o equilbrio das

peas, nem a estabilidade da estrutura.O efeito que decorre da deformao da viga ou laje e consequentemente darotao dos respectivos apoios, que dever ser igual rotao das secesdas vigas ( condio de compatibilidade das ligaes viga-viga ou laje-viga).Veja-se o seguinte exemplo: no caso da figura seguinte, a rotao da viga 1provoca toro na viga 2. O que se passa na realidade que a viga 2 s rodaat certo ponto que corresponde ao mximo momento torsor. Ultrapassadoeste valor do momento torsor, a viga 2 fissura, e perde a rigidez de toro

baixando, ento, o momento negativo na viga 1.De acordo com 6.3.1(2), nestes casos no necessria uma verificao datoro em relao ao estado limite ltimo. Dever, no entanto adoptar-se uma


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ver1.0 BETO ESTRUTURAL 8.2 ESTADO LIMITE LTIMO: ESFORO DE TORO

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armadura mnima (7.3 e 9.2), sob a forma de estribos e de vareslongitudinais, de forma a evitar a fendilhao excessiva.

1

F

2

Ainda, no caso particular de estruturas hiperestticas (caso de grelhas), omomento torsor ser funo da rigidez elstica flexo e toro das peas.

1.1- FASE NO FENDILHADA

Com uma ligeira correco, a teoria da elasticidade pode ser aplicada nesta fase. Ouseja, as tenses variam linearmente com a espessura da pea:

TEd

TEd

A rotao por unidade de comprimento (rotao unitria) vem dada por:

I KGJ T

dzd =

em que:GJ a rigidez de toro dada pela teoria da elasticidade, desprezando a

influncia da armadura transversal;K factor minorativo (K 0.7) que tem em conta que, mesmo antes de se

atingir a fissurao, a queda de rigidez j de cerca de 30 a 35% em


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relao a GJ. Tal deve-se, provavelmente, ao facto do ncleo daseco no contribuir para a absoro de T, sendo as tenses

concentradas no exterior o que origina micro fissuras.

1.2- FASE FENDILHADA

A teoria da plasticidade pode ser aplicada nesta fase. Ou seja as tenses tangenciaispermanecem constantes num contorno de espessura constante:

TEd

TEd

t

A disposio das tenses principais numa pea de beto armado sujeita ao esforo detoro, levaria a concluir que a armadura ideal seria em hlice, a qual acompanharia asisostticas de traco. No entanto, esta armadura no muito vivel em obra e almdisso, s resiste a momentos torsores com um sentido.

Sendo assim, a rigidez toro de uma seco de beto armado fissurado pode serestabelecida num modelo simplificado de trelia tridimensional, semelhante doesforo transverso, em que as bielas comprimidas (inclinadas de ) representam acontribuio do beto e as barras traccionadas as armaduras transversais elongitudinais.

A primeira simplificao consiste em supr que, na resistncia toro, no colaboratoda a seco, mas sim, uma parede exterior ao longo do contorno, ficando a parte doncleo inactiva. Esta simplificao foi comprovada experimentalmente, sendo, portanto,aceitvel.

Desta forma, ao longo das paredes ocas desenvolvem-se tenses tangenciais, queformam uma fora de corte, constante ao longo de todo o lado de valor .t.Ento, a fora de corte que solicita cada parede do tubo .t.h0 para as paredes

verticais e .t.b0 para as paredes horizontais conforme a figura:


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b

h ho

t

bo

.t.bo

.t.ho

O momento torsor a resultante dos binrios das foras de corte V i:

oht V ..1 = obt V ..2 =

E vem: 000201 ...2.. hbt hV bV T =+= dondeo A

T t

2. =

com ooo hb A .=

Considerando o caso mais simples de uma viga quadrada de lado z, armada comestribos espaados de zcot , temos a seguinte configurao da trelia tridimensional:

aT

V

-2V.cot-V.cot

3V.cot2V.cot z

Vcot

Vzcot

A decomposio das foras para uma face da estrutura provoca que: as barras verticais esto submetidas a uma traco de valor V= .t.z; as barras inferiores esto submetidas a traces crescentes: Vcot , 2Vcot,

3Vcot; as barras superiores esto submetidas a compresses crescentes: Vcot ,

2Vcot, 3Vcot;

No entanto, se generalizarmos para as outras faces da trelia tridimensional, astraces das barras inferiores das faces contguas sobrepem-se com as compresses


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das barras superiores e resulta que as barras se encontram submetidas a uma tracouniforme de valor Vcot.

Daqui a necessidade de se dispr, no s, armaduras transversais, mas tambmarmaduras longitudinais de traco.Estas armaduras devem absorver os esforos resultantes.

Para o caso da armadura transversal , esta deve absorver o esforo vertical total, V= .t.z, o que equivale a dizer que o esforo a absorver por unidade de comprimento ,considerando s o afastamento das armaduras:

yd st

f s A

zV

= cot como:

z AT

zt V o2

.. ==

substituindo na expresso, resulta:

cot2 0 yd st f

s A

AT =

Tratando-se da armadura longitudinal, esta deve absorver o esforo horizontal total,4Vcot, supondo que existem 4 barras nos cantos, o que equivale a dizer que o esforoa absorver por unidade de comprimento , considerando um permetro de 4z:

cot2

cot.4

cot..44cot4

0 AT

t z

zt z

V ===

vem, sendo u 0 o permetro da seco:

cot2 00 AT f

u A

yd sl =

ou:

cot2

00

yd sl f

u A

AT =


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2- MODELO DE CLCULO DO EUROCDIGO 2

Do exposto atrs, e de acordo com 6.3.2 (1), a seco oca eficaz , fechada, definidada seguinte forma:

tef /2

tef

TEd

ziLinha Mdia

a

em que:

tef,i espessura eficaz da parede u A

t ief =,

deve respeitar o seguinte: t ef,i 2a(a a distncia do eixo das armaduras longitudinais face do elemento)

no caso de seces ocas, a espessura real um limite superior

A rea total da seco transversal, definida pelo contorno exterior, incluindo reasinteriores ocas

Ak rea limitada pela linha mdia da parede, incluindo reas interiores ocasu permetro do contorno exterior da secouk permetro da rea A k, ou da linha mdia (linha tracejada na figura acima) zi comprimento da parede i, ou distncia entre pontos de interseco da linha mdia

A tenso tangencial numa parede i da seco dada por:

k

Ed ief it A

T t

2,,=

O esforo tangencial numa parede i da seco dado por:

iief it i Ed zt V ,,, =


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3- VERIFICAO DE SEGURANA

A verificao de segurana em relao ao esforo de toro feita garantindo aseguinte condio:TEd TRd

O valor de clculo do momento torsor resistente, T Rd, dado pelo menor dos valoresdas expresses seguintes:

=

max,

,

,

min

Rd

t Rd

l Rd

Rd

T

T

T

T

em que: a primeira equao traduz a resistncia das armaduras longitudinais; asegunda traduz a resistncia das armaduras transversais; e a terceira traduz alimitao das compresses nas escoras inclinadas do beto.

3.1 ARMADURAS LONGITUDINAIS

As resistncia das armaduras longitudinais dada, em analogia com a expresso

anteriormente desenvolvida, por: cot

2, yd

k

slk l Rd

f

u A

AT =

ou

cot2 yd k

k Ed sl f A

uT A =

em que: Asl rea total das seces dos vares que constituem a armadura

longitudinal de toro

Para seces cheias, aproximadamente rectangulares , s necessria uma armaduramnima se for satisfeita a seguinte expresso:

0,1,,

+c Rd

Ed

c Rd

Ed

V V

T T

em que:TEd valor de clculo do momento torsorVEd valor de clculo do esforo transversoTRd,c valor de clculo do momento torsor de fendilhao dado por:


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ctd ief k c Rd f t AT ,, 2= VRd,c valor de clculo do esforo transverso resistente do elemento sem

armadura de esforo transverso (em N) dado por:

( ) d bk f k C V wcpck lc Rd c Rd 13/1,, 100 +=

No entanto o valor de VRd,c obtido pela expresso anterior no pode ser inferior a:

d bk vV wcpc Rd 1min, +

com:2

1

2

3

035,0min ck f k v = em que:

CRd,c dado por: 12,018,0

, ==c

c Rd C

f ck tenso de compresso caracterstica em MPa

k dado por (com d em mm): 0,2200

1 +=d

k

l percentagem de armadura longitudinal, dada por: 02,0=d b

A

w

sll

Essa armadura mnima dada por 9.2.2.1:

d bd b f f

A t t yk

ctms 0013,026,0min, =

Em que:bt largura mdia da zona traccionada (no caso de viga em T com banzos

comprimidos dever considerar-se igual largura da alma) f ctm valor mdio da resistncia traco do betof yk valor caracterstico da tenso de cedncia do aod altura til da seco

Classes do beto C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

f ctd (MPa) 0.7 0.8 1.0 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 1.9f ctm (MPa) 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1


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3.2 ARMADURAS TRANSVERSAIS

As resistncia das armaduras transversais dada, em analogia com a expressoanteriormente desenvolvida, por:

cot2, yd st

k t Rd f s A

AT =

ou

cot2 yd k Ed st

f AT

s A =

em que: Ast rea da seco da cinta que constitui a armadura transversal de toro

(de notar que, contrariamente armadura de esforo transverso, A st apenas diz

respeito a um s varo do estribo)

s espaamento desta armadura;

3.3 LIMITAO DAS COMPRESSES NAS ESCORAS INCLINADAS DE BETO

Quando o elemento est sujeito aos esforos de toro e transverso a resistnciamxima limitada pela capacidade resistente das escoras inclinadas de beto.Para isso, deve ser satisfeita a seguinte expresso:

0,1max,max,

+ Rd

Ed

Rd

Ed

V V

T T

Se o elemento est sujeito toro pura, a expresso transforma-se:

max, Rd Ed T T em que:

TEd valor de clculo do momento torsorVEd valor de clculo do esforo transversoTRd,max valor de clculo do momento torsor resistente mximo dado por:

cossin2 ,1max, ief k cd cw Rd t A f T =

ou:

tancot2 1,max, +

= cd cwief k Rd f

t AT


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com os valores de limitados a:1 cot 2 ,5 45 21,8 (as escoras devem ter a mesma inclinao do

esforo transverso)e

=250

16,01ck f com f ck em MPa

e

cw = 1,0 estruturas sem pr-esforo


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. espaamento:

+=menor lado

d

u

s )cot1(75,08

min

Armaduras longitudinais. devem ser dispostas uniformemente ao longo do contorno interior das cintas;. em cada vrtice do contorno deve existir um varo;. espaamento: s 35 cm. no caso de armadura de toro + armadura de flexo:

flexo torso

+

As proporcional aos lados


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ANEXO

Finalmente, recordando, apresentam-se os possveis diagramas de toro de acordocom o tipo de carregamento e de apoio:

Tsd

Tsd,max =Tsd/m

2.l

Tsd

Tsd,max = Tsd/m .l

Tsd

Tsd,b =

Tsd

b

a b

Tsd l

Tsd/m Tsd/m

Tsd

Tsd

a b

Tsd

Alm disso, notar que a considerao de encastramentos ou apoios simples paraflexo pode no ser aplicvel para toro, como se v na figura seguinte:

Tsd Flexo

Torso

Tsd Flexo

Torso

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