D - Torcao Pura

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D - Toro Pura4.0 TORO PURA 4.1 MOMENTO DE TORO TORQUE Quando uma barra reta submetida, exclusivamente, a um momento em torno do eixo da barra, diz-se que estar submetida a um momento toror (ou torque). o caso comum dos eixos que transmitem potncia de motores para mquinas utilizadoras. A Fig. 4.1.1 representa um eixo de transmisso acionando um utilizador (bomba) atravs de um torque motor. Ao ser acionado, o movimento de rotao acelerado at que o torque resistente (crescente com o aumento da velocidade de rotao) iguala o torque motor, permanecendo, ento, o eixo em rotao constante e torcido por um torque uniforme entre suas extremidades. Torque ResistenteUtilizadorTorque MotorMotor Fig. 4.1.1 Eixo submetido a Torque constante ao longo de sua extenso, entre os flanges do motor e do utilizador, aps ser alcanada a velocidade em regime permanente de rotao.A potncia P transmitida est relacionada com o torque T e a rotao atravs da relao: P = W/t = 2F. r / t = T . ; portanto, T = P/............(4.1.1)Fr Exemplo 4.1.1 Um motor de 60 CV (1 CV = 736 w) aciona um utilizador atravs de um eixo com 4.000 rpm. Calcule o torque aplicado ao eixo. Soluo: P = 60 x 736 = 44,16 kW;F = 4000 x 2 / 60 =418,9 rad/s.T =105,4 m.N (Resp.)9D - Toro Pura4.2 EIXOS DE SEO CIRCULAR E MATERIAL ELSTICO. O caso mais simples a ser analisado, e de grande importncia, por sua vasta aplicao nos equipamentos mecnicos, se refere aos eixos de transmisso de potncia de mquinas, fabricados em material elstico, torneados de forma a que sua seo transversal seja de forma circular (no caso dos eixos macios) ou em forma de coroa de crculo (eixos vazados). Pela simetria circunferencial envolvida, tanto sob o aspecto geomtrico como quanto ao carregamento, podemos afirmar que as tenses tangenciais despertadas nos diversos pontos da seo transversal sero funo apenas da distncia r do ponto em relao ao centro do eixo, onde a tenso dever ser nula. Admitindo que a deformao por toro do eixo provoque a rotao de uma seo em relao contgua (e que um certo dimetro, aps girar, permanea reto, mantendo-se como um dimetro), podemos afirmar que as deformaes por distoro () variaro linearmente em funo da distncia ao centro (r), e, admitindo ainda, tratar-se de um material elstico, para o qual as tenses so proporcionais s distores , podemos presumir que as tenses tangenciais iro variar linearmente com r, e escrever:MaxTLr drr(a) (b)Fig. 4.2.1 Toro pura de eixos de seo circular; (a) tenses tangenciais ao longo da seo transversal; (b) deformaes por distoro das fibras longitudinais e por rotao da seo transversal. = k r...........................................(4.2.1)Como o torque T a resultante dos momentos das foras tangenciais atuantes na seo, em relao a seu centro, podemos escrever:D/2T = 0 2 r dr x r. Considerando a relao linear (4.2.1) teremos:D/2T = 0 k 2 r3 dr = k [2 r4/4]0D/2 = k D4/32, de onde tiramos: k = T / ( D4/32).10Convm observar que o termo D4/32 vem a ser o momento de inrcia polar (Jp) da rea da seo em relao a seu centro. Levando em (4.2.1) teremos: = (T/Jp) r = [T / ( D4/32)] r. ............................................(4.2.2) A mxima tenso ocorrer ao longo da borda externa do eixo, onde r = D/2, e. Max = 16 T / D3..........................................................(4.2.3) que pode ser reescrita como: Max = T / Wt sendo Wt o denominado mdulo de resistncia toro do eixo, valendo Wt = D3/16 0,2D3Exemplo 4.2.1 Para o eixo focalizado no exemplo 4.1.1, determine o valor admissvel para seu dimetro, adotando um valor mximo para a tenso tangencial que no ultrapasse 60 MPa. Soluo: utilizando a equao 4.2.3, teremos: (Dmin)3 =(16 x 105,4) / x 60 x 106 = 8,947 x 10-6 m3 e D = 20,8 mm (Resp.)D - Toro PuraInteressante realar que a parte central de um eixo macio (onde as tenses so baixas) pouca contribuio ter com respeito ao momento de inrcia polar, fazendo com que a tenso mxima seja diminuda no caso dos eixos vazados (largamente utilizados na indstria aeronutica, onde a questo de pesos crucial).maxPara os eixos vazados teremos: Jp = (/32)(D4 d4), que levada em (4.4) d:max = 16 T / D3 (1 - 4) ............(4.2.4)D dsendo = d/D.Fig. 4.2.2 Tenses nos eixos de material elstico e seo circular torcidos L r R TQuanto s deformaes entre duas sees contguas, separadas de L, podemos estabelecer a seguinte relao entre a distoro sofrida por uma fibra longitudinal distante r do centro e a deformao angular entre as sees:11Fig. 4.2.3 Deformaes nos eixos de material elstico e seo circular torcidosD - Toro Purar = ............................................ (4.2.5) L Levando em conta a hiptese de ser elstico o material ( = G ), teremos: r d = (/G) dL ...................................(4.2.6)Considerando (4.2.2) (/r = T/Jp) obtemos:d = dL / G Jp ......(4.2.7)No caso de um eixo de dimetro e material uniformes ao longo de sua extenso L0, a integrao de (4.2.7), de L=0 a L=L0 nos fornece: = T L0 / G Jp ........(4.2.8)(observe a semelhana entre as equaes 4.2.8, 1.6.8 e 3.1.1), sendo: Jp = (D4 d4)32 0,1 (D4 d4) A T1 = 30kN.m B T1 = 15kN.m T1Exemplo 4.2.2 Para o eixo esquematizado pede-se determinar: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de toro entre as sees A e D. Obs.: o trecho macio BC se encaixa no trecho vazado AB, sendo fixado por um pino transversal em B. Dados: Gao = 80 GPa; GLatao = 39 GPa.Lato Vazado D=150;d=100C 400 600T1 = 5kN.mDAo Macio D=100 mmSoluo: o diagrama de torques ao longo do eixo permite obter os valores assinalados na figura ao lado: trecho DC: T = 5kN.m; trecho CB: T = 10kNm; trecho BA: T = 15 kNm. Portanto, as tenses mximas calculadas por (4.2.3) atingiro os valores: CD- max = 16x5x103/(0,080)3 = 49,7MPa BC- max = 16x10x103/(0,100)3 = 50,9 MPaBA- onde = 100/150 = 0,6667, teremos: max = 16x20x103/(1 4)(0,150)3 = 37,6 MPa20kN.mAo Macio D=80 mm500 mmT 5kN.m 10kN.mPortanto: Resp. (a)max = 50,9 MPa (trecho BC).Quanto s deformaes teremos:12D - Toro PuraDA = DC + CB + BA (soma algbrica), sendo = T L / G Jp DC = [5x103 x 0,500] / [(80x109)()(0,080)4/32] = 0,007771 rad ( ) CB = [10x103 x 0,600] / [(80x109)()(0,100)4/32] = 0,007639 rad () BA = [20x103 x 0,400] / [(39x109)()(0,1504 0,1004)/32] = 0,005143 rad ( ). Portanto: DA = 0,007771 0,007639 + 0,005143 = 0,005275 = 0,30 (Resp. b)32 dentes Eixo intermedirioR = 180mm 4192 dentes Exemplo 4.2.3 - A caixa redutora (dupla reduo) esquematizada na figura transmite uma potncia de 200 CV, a 3600 rpm, reduzindo a rotao na sada para 100 rpm. Pede-se dimensionar o eixo intermedirio (ao - G = 80GPa e adm = 60 MPa). Considerar ainda como deformao limite o valor /L = 2,5 /m.32 1 R= 30mm200 CV3600 rpmSoluo O eixo que aciona o pinho (1) de entrada da caixa estar submetido a um torque T1 = 200 x 736 / (3600x2/60) = 390,5 N.m; a componente tangencial da fora de contato entre os dentes do pinho e da engrenagem (coroa 2) valer F12 = 390,5/0,030 = 13,02kN. Portanto o torque aplicado ao eixo intermedirio pela coroa 2 valer T2 = 13,02 x 0,180 = 2.343 N.m (os torques variam na razo inversa das velocidades e proporcionalmente aos raios, dimetros e n de dentes das engrenagens). Admitindo desprezveis as perdas por atrito (hiptese conservativa para o clculo dos esforos nas diversas partes do mecanismo) conclumos que o eixo intermedirio estar submetido a um torque T2 = T3 = 2,343 kN.m. Tratando-se de um eixo macio e, levando em conta (4.2.3), podemos escrever, atendendo ao critrio de resistncia estabelecido:Max = 16 T / D3 ; 60 x 106 = 16 x 2,243 x 103 / (D)3e D = 57,5 mm / L0 = T / G Jp; (2,5 / 57,3 *) = 2,243 x 103 / (80 x 109)( D4/32) e D = 50,6 mm.Considerando o critrio de rigidez admitido teremos, levando em conta (4.2.8):Portanto teremos: D = 58 mm (resposta) (valor que atende aos dois critrios) * o ngulo deve ser expresso em radianos (1 rad = 57,3)D = 20mm RD = 18mmrExerccio proposto: O motor M, de 3,5 CV,C Maciona o compressor C atravs do sistema de correias planas mostrado.Desprezando as perdas e considerando to-somente as tenses devido toro nos eixos das polias (de raios R = 120mm e r = 30mm), pede-se determinar a velocidade de rotao limite para o motor ( especificando se mxima ou mnima) de maneira a que a tenso tangencial nos eixos no ultrapasse o valor: = 70,0 MPa.13D - Toro Pura4.3 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS. O conhecimento das deformaes por distoro angular dos eixos torcidos permite a soluo de problemas hiperestticos, bastando utilizar, em complemento s equaes de equilbrio dos torques, as equaes de compatibilidade de deformaes.T G2 ; D2No exemplo da figura ao lado, o eixo escalonado bi-engastado, estando submetido ao toque T.A BL1 G1 ; D1 L2CA anlise do diagrama de torques permite escrever, pelas condies de equilbrio:T1TT2T1+T2 = T .....................(1)A compatibilidade de deformaes (o ngulo de toro da seo B em relao ao engaste A igual em relao ao engaste C) permite escrever:T1 L1 / G1 JP1 = T2 L2 / G2 JP2...(2)(sistema de 2 equaes que nos permite obter o valor das duas incgnitas T1 e T2)T1 T2Fig. 4.3.1 Eixo bi-engastado e torcido.Cordes de SoldaF CD = 20 TC 600 RB = 40 D = 20Exemplo 4.3.1 Os eixos esquematizados so fabricados em ao (G = 80 GPa). Pede-se calcular: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de giro da extremidade livre A em relao ao chassis CF.ESoluo: No trecho AB (isosttico) a tenso mxima valer; RE = 120 max = 16 x 100 / x (0,025)3=32,6MPa O ngulo de giro entre as sees T= A e B valer: 100 N.m = 32 x 100 x 0,7 / 80 x 109 x x AB (0,025)4 = 0,02282 rad = 1,31B700 mm D = 25A FEBT= 100 N.mO torque aplicado ao trecho BC estaticamente indeterminado, valendo: TBC = 100 FEB x 0,040, onde FEB a componente tangencial da fora entre os dentes das engrenagens B e E.14D - Toro PuraA compatibilidade de deslocamentos angulares das engrenagens, devido s deformaes dos respectivos eixos, permite escrever: RB = RE , ou seja: RB (TB LB / G JPB ) = RE (TE LE / G JPE), e0,040 x (100 FBEx 0,040) x 0,600 / G (/32) (0,020)4 = = 0,120 x (FBE x 0,120) x 0,600 / G (/32) (0,020)4. Obtem-se FBE = 250 N. Portanto: TC = 100 250 x 0,040 = 90 N.m e TE = 250 x 0,120 = 30 N.m O ngulo de giro da engrenagem E (devido torao do eixo FE) valer: = 30,0 x 0,600 / 80 x 109 (/32)(0,020)4 = 0,01432 rad = 0,82.O giro da engrenagem B a ela acoplada valer: 0,82 x (120/40) = 2,46 que somado ao ngu, lo de toro do eixo BA fornece: AC = 3,77 (Resp.b) A tenso mxima no eixo EF valer: = 16 x 30 / (0,020)3= 19,1 MPa. Portanto: a mxima tenso tangencial nos eixos ocorrer em AB, com o valor j calculadomax =32,6 MPa (Resp. a)Exerccio Proposto: O eixo encamisado representado na figura atacado por um torque T atravs de uma cavilha diametral que atravessa a parte macia e a camisa. As outras extremidades (do eixo e da camisa) esto solidamente engastadas. Pede-se determinar o percentual do torque T que ser absorvido pela camisa.TDados: CAMISA Bronze - G = 39 GPa Dexterno = 400 mm Dinterno = 340 mm EIXO (macio) Ao G = 80 GPa D = 338 mm.4.4 MATERIAL ELASTO-PLSTICO Comumente utilizados na construo mecnica, os materiais dteis (como os aos de baixo teor de carbono), quando ensaiados, comportam-se inicialmente de maneira elstica (alm de manter relao linear entre tenso e deformao) para em seguida sofrer a plastificao e escoar, mantendo praticamente constante a tenso enquanto a deformao prossegue crescente at a runa. escoamentoUm modelo matemtico que se ajusta a tal comportamento seria o dado pelas equaes: = G ............. para escoamento = escoamento ..... para escoamentoescoamento15Fig. 4.4.1 Material elasto-plstico.D - Toro PuraA anlise da distribuio de tenses e deformaes na toro de eixos fabricados com tal tipo de material nos leva a concluir que, submetido a um torque crescente (T1 T2 T3 T4 ), a plastificao ocorrer inicialmente na periferia (T2). esc esc esc Prosseguindo a crescer o torque (T3), a tenso mxima se manter estacionria no valor esc. , causando a plastificao das camadas interiores, que ficam divididas numa regio central (ncleo elstico) onde a tenso T1 T4 T2 T3 varia linearmente de zero no centro a esc. , e um anel plastiFig. 4.4.2 Ncleo elstico Coroa plastificada ficado, onde a tenso ser constante (esc.), at ocorrer a plastificao total (T4), aps o que, um aumento do torque provocaria deformaes crescentes at a runa (j que as tenses teriam atingido seu limite mximo). A determinao do raio do ncleo elstico (re) feita utilizando a equao que d o valor do torque na seo como o somatrio dos momentos das foras elementares atuantes em seus diversos pontos, a saber: T dr r re Dre D/2T=0 dA . r =(D/2)Fig.4.4.3 Raio do ncleo elstico.= 0 (k r) dA . r + re e dA . r ; Fazendo dA = 2 r dr (onde constante a tenso ), obtem-se: T = [k 2 r4/4]ore + [2 r3 / 3]reD/2 . Considerando que, no limite do ncleo elstico (r = re), onde ainda se pode escrever que = k r, com = e , tem-se: k = e / re, e T = [e re3/2] + (2 / 3)(D3/8 re3) .Explicitando o raio do ncleo elstico obtemos: re3 = (D3 / 2) 6T/ e . (4.4.1)O ato de torcer um eixo circular implica em fazer girar de um ngulo uma dada seo em relao a outra contgua, distante de dL, independentemente da distribuio das tenses, o que nos permite continuar escrevendo, como em (4.2.5): r d = dL , para qualquer r, inclusive na interface entre o ncleo elstico e a coroa plastificada, onde e = G e, o que leva a d = e dL / G re, que, integrada de 0 a L nos d: = e L / G re ............................................. (4.4.2) que ocupa o lugar da equao (4.2.8), no caso de eixos plastificados.16 dL r dFig. 4.4.4 - DeformaesD - Toro PuraExemplo 4.4.1 Dois eixos macios (AB e CD) fabricados com material elastoplstico para o qual G = 80 GPa e escoamento = 95 MPa, so interligados atravs das engrenagens mostradas e torcidos pela alavanca DE atravs da ao da fora P. Determinar: a) o valor admissvel (mximo) para a fora P, sem que haja a plastificao dos eixos; b) o ngulo de giro da alavanca DE para o caso de P = 300 N. c) as tenses residuais aps a fora de 300 N ser diminuda at se anular.Obs.: admitir a fora P sempre perpendicular ao brao de alavanca DE.A900P25D 600DB20d R=60 r =20400ECSoluo: (a) o torque no eixo CD vale 0,400 P, ocorrendo uma fora entre os dentes das engrenagens cuja componente tangencial vale 0,400 P / 0,020 = 20 P, que, por sua vez, provoca um torque no eixo BA de valor 20 P x 0,060 = 1,2 P. Sob a ao desses torques e admitindo que ocorresse o incio da plastificao nos eixos (mximo = escoamento = 95 MPa), levando em conta a eq. 4.2.3, teremos: 95 x 106 = 16 x 1,200 P / (0,025)3 e P = 242,9 N (eixo AB) Portanto, o mximo valor de P ser 242,9N, que provocaria o incio de plastificao no eixo AB, permanecendo o eixo CD no regime elstico. (Resp. a: Pmx = 243 N) (b) no caso em que P = 300N, verifica-se, do clculo anterior, que o eixo CD permanecer na fase elstica enquanto o eixo AB sofrer plastificao. O torque no eixo CD valer 0,400 x 300 = 120 Nm enquanto no eixo AB ser (60/20)x120 = 360 Nm. O raio do ncleo elstico em AB ser (da eq. 4.4.1): 3 re = (D3 / 2) 6T/ e = (0,025)3/2 6 x 360 / x 95 x 10 6 ; re = 0,00832m = 8,32mm. O ngulo de toro do eixo AB (que corresponde ao ngulo de giro da engrenagem B) ser (de 4.4.2): = e L / G re = 95 x 106 x 0,900 / 80 x 109 x 0,00832 = 0,1285 rad. Para tal giro da engrenagem B (coroa) corresponder um giro da engrenagem C (pinho) de valor C = (60/20) B = 3 x 0,052595 = 0,3856 rad. A toro do eixo CD se dar na fase elstica, sendo (de 4.2.8):Max = 16 T / D3 .. 95 x 106 = 16 x 0,400 P / (0,020)3 e P = 373,1 N (eixo CD)CD = L / G JP = 120 x 0,600 / 80 x 109 x (/32)(0,020)4 = 0,05730 rad.O ngulo de giro da alavanca DE ser:DE = C + CD = 0,3856 + 0,05730 = 0,4429 rad = 25,4 (Resp. b)Caso a fora P fosse aliviada at zerar, a fora entre os dentes das engrenagens cairia a zero, porm o eixo AB (que sofrera a plastificao parcial) ficar com tenses residuais decorrentes das deformaes permanentes que ficaro presentes na coroa plastificada. O clculo dessas tenses ser feito levando escoamento em conta que, ao ser descarregado um material que sofreu plastificao, as tenses e deformaes diminuem elasticamente (mantendo a mesma relao proporcional com idntico valor para o mdulo de elasticidade transversal, inclusive quando invertidos os sentidos das tenses e distores).17D - Toro PuraUtilizaremos o princpio da superposio, admitindo que a ao de aliviar os esforos seria equivalente a aplicar um torque em sentido contrrio e de mesmo valor que o torque ativo que provocou a plastificao, sendo que as tenses provocadas por tal torque fictcio satisfazem a lei de Hooke (regime elstico).esc.T-TT=0*re+(re)*=(mx)**=**Fig. 4.4.4 Tenses residuais em eixos circulares de material elasto-plsticoCalculada a tenso mxima que ocorreria, supondo aplicado o torque em sentido oposto e admitindo que o material trabalhasse na fase elstica, obteramos (de 4.2.3):(Max)** = 16 T / D3, como tambm a tenso no limite do ncleo elstico: (re)* = (2re /D) 16 T / D3 .Assim, os valores extremos das tenses residuais seriam calculados como: = (Max)** - (esc) = (esc) - (re)*Para o caso apreciado no exemplo 4.4.1, a tenso extrema que tal torque equilibrante produziria na borda do eixo se trabalhasse elasticamente seria:(Max)** = 16 x 360 / (0,025)3 = 117,3 MPa,enquanto na interface do ncleo elstico com a coroa plastificada teria o valor:(re)* = (2x8,316/60,00) x 117,3 = 78,04 Mpa.Portanto, as tenses residuais presentes no eixo descarregado, aps a sua plastificao seriam: = (Max)** - (esc) = 117,3 95 = 22,3 MPa = (esc) - (re)* = 95 78,04 = 17,0 MPa (Resp. C)O ngulo de toro residual do eixo poder ser calculado computando: * = TL/GJp = 360x0,900/80x109x(/32)(0,025)4 = 0,1056 rad(residual) = 0,1285 - 0,1056 = 0,0229 rad = 1,3Caso a fora P fosse novamente aplicada, as tenses despertadas seriam acrescidas s tenses residuais calculadas, provocadas pela plastificao. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>