11 - Torcao Em Barras de Secao Transversal Circular Cheia Ou Vazada

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Disciplina: Disciplina: Mecnica dos Slidos 2 Mecnica dos Slidos 2 Cdigo: Cdigo: ECIV030 ECIV030Professor: Professor: Eduardo Nobre Lages Eduardo Nobre LagesUniversidade Federal de Alagoas Universidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia Centro de TecnologiaCurso de Engenharia Civil Curso de Engenharia CivilMacei/AL Macei/ALToro em Barras de Seo Toro em Barras de Seo Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia ou Vazada ou VazadaEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnsaio de Toro Ensaio de ToroConsidere a barra prismtica de seo circular constituda de um mesmo material isotrpico e elstico linear, submetida a um torsor T em uma das extremidades e engastada na outra.Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seo transversal no sofrem deslocamento na direo longitudinal.Atravs de ensaios ensaios observa-se que os pontos da mesma seo transversal sofrem o mesmo giro em relao ao eixo da pea.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL( ) 0 Z , Y , X u [ ] Deslocamentos, Deslocamentos, Deformaes e Tenses Deformaes e TensesyzLxT( ) ( ) X Z Z , Y , X v ( ) ( ) X Y Z , Y , X w 111]10 0 Y0 0 ZY Z 0dXd21[ ] 111]10 0 Y0 0 ZY Z 0dXdGyz xxyxzSoluo de Coulomb (1784)Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALyzLxT[ ]111]1 0 0 Y0 0 ZY Z 0dXdGEquaes Diferenciais de Equaes Diferenciais de Equilbrio em Tenses Equilbrio em TensesSimetria ij=ji0 bZ Y Xxzxyxxx + + + OK! OK!0 bZ Y Xyzy yy xy + + + 0dXdGZ 22 0 bZ Y Xzzzyzxz + + + 0dXdGY 22(X) deveser linear(X) deveser linearOK! OK!Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversal na Seo TransversalABCDyzRAC:' R Z R0 YdXdGZxy 0xz dXdGR dXdGR DB:' 0 ZR Y RdXdGYxz 0xy dXdGR dXdGR Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversal na Seo TransversalyzRA distribuio das tenses de cisalhamento ao longo dos eixos y e z numa seo transversal qualquer s apresenta o componente ortogonal no nulo (em y xy = 0 e xz 0 e em z xy 0 e xz = 0).Pela simetria do problema, como no existe restrio ao posicionamento dos eixos y e z na seo transversal, a distribuio anterior vale para qualquer direo diagonal da seo transversal.dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR rdXdGr R r 0 Caso a seo transversal seja vazada, a distribuio da tenso de cisalhamento continua valendo s que Ri r Re.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALGJTr JTr eEquivalncia Esttica entre o Momento Equivalncia Esttica entre o Momento Torsor Torsor e as Tenses de Cisalhamento e as Tenses de CisalhamentoyzRdXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGr R r 0 rdF T AdA r A2dAdXdGr TA2dA rdXdGdXdGJ T GJTdXd ourEduardo Nobre Lages CTEC/UFALA2dA r JMomento Polar de Inrcia Momento Polar de InrciayzR2RJ4yz ( )4i4eR R2J ReRiEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr GdXdr ( ) X tdXdGJdXd ,_ ( ) X tdXdT Relao cinemtica: Relao cinemtica:Relao constitutiva: Relao constitutiva:Equivalncia esttica: Equivalncia esttica:Equaes Governantes Equaes GovernantesEquao de equilbrio: Equao de equilbrio:dXdGJ T . . . . . .. . .t(X)XEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr dXdGJ TG dXdr ( ) X tdXdT Problemas Isostticos Problemas Isostticos( ) X tdXdGJdXd ,_ Problemas Hiperestticos Problemas HiperestticosEstratgias de Soluo Estratgias de SoluoEduardo Nobre Lages CTEC/UFAL Condio de contorno( ) T L T Constante de integraoBarra Prismtica Barra Prismtica sob Toro sob ToroPor se tratar de um problema isosttico isosttico, o momento torsor pode ser facilmente determinado por alguma estratgia apresentada em Teoria das Estruturas 1 Teoria das Estruturas 1 ou pela integrao da EDO. Assim,De posse do momento torsor constri-se a tenso de cisalhamento como( ) ( )R r 0 e L X 0 JTrJr X Tr , X ( ) 0 X tdXdT ( ) C X T ( ) L X 0 T X T T C Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCondio de contornoConstante de integrao( ) C XGJTX + Barra Prismtica Barra Prismtica sob Toro sob ToroDa relao cinemtica tem-seGJTr dXd( ) XGJTX 0 C ( )GJTLL Rotao da seo final da barra: Rotao da seo final da barra:Fazendo uso da relao constitutiva tem-se( ) ( )R r 0 e L X 0 GJTrGr , Xr , X ( ) 0 0 ( )2324vc3 4vcv max c max11AA e 11rR = == = Otimizao da Seo Otimizao da Seo Transversal Transversalyzrv c/ r / R =v cA / A2rJ r A4c2c= =yz( ) ( )44v2 2v12RJ 1 R A = =RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALA / A / r / R =22vc4 4c maxmaxv c11AA e 11rR v += == = Otimizao da Seo Otimizao da Seo Transversal Transversalyzrv cA / Acmaxvmax/ r / R =2rJ r A4c2c= =yz( ) ( )44v2 2v12RJ 1 R A = =RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploConsidere agora a barra formada por dois trechos prismticos de mesmo materialPara descrever os campos das variveis de estado do problema devemos identificar intervalos de anlise a partir dos trechos onde h mudana na descrio do momento torsor e/ou da rigidez toro GJ.TL LG, J1G, J2O problema em pauta exige a considerao de dois intervalos de anlise, por exemploL X 0 e L X 02 1 < < X1X2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploPor se tratar de um problema isosttico:( )2 2 222C X T 0dXdT ( )1 1 111C X T 0dXdT ( )1 11 11JTr Jr X T ( )2 22 22JTr Jr X T 111GJTr G ( )1 111 11 11D XGJTXGJTdXd+ ( )2 222 22 22D XGJTXGJTdXd+ 222GJTr G ( )1222 2GJTLXGJTX + ( ) T X T1 1 ( ) T X T2 2 ( ) ( ) ( ) T L T e 0 T L T2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 L e 0 02 1 1 ( )111 1XGJTX Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALPrincpio da Superposio Princpio da Superposio dos Efeitos dos EfeitosA rotao total da seo livre da barra do exemplo anterior, dada por( )2 12GJTLGJTLL + tambm pode ser determinada fazendo-se uso do Princpio da Princpio da Superposio dos Efeitos Superposio dos Efeitos, desde que se conhea a rotao de um trecho prismtico de mesmo material e momento torsor constante, dada porGJTL onde essa rotao diretamente proporcional ao inverso do momento polar de inrcia. Com isso0J10J12 1 + TL LrgidoG, J2TL LG, J1rgidoEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploConsidere agora a barra prismtica de mesmo material solicitada por um torsor uniformemente distribudoO problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploL X 0 XtLG, JEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploPor se tratar de um problema isosttico:( ) ( ) X L t X T 0 ) L ( T e tdXdT ( )( ) X LJtr Jr X T ( )( ) X LGJtr Gr , X ( ) ( ) ( ) ( )2X LX 2GJ 2tX 0 0 e X LGJtdXd Rotao da seo final da barra: Rotao da seo final da barra: ( )GJ 2tLL2 Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploO giro total da seo livre da barra, anteriormente encontrado,( )GJ 2tLL2 tambm pode ser deduzido a partir de um arranjo onde se tem o torsor resultante do torsor distribudo posicionado no centride da figura de representao desse carregamento, ou seja,LG, JEssa concluso pode ser estendida a qualquer lei de variao do torsor distribudo, desde que esse esteja atuando num trecho prismtico de mesmo material.tLL/2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALConsidere agora a configurao prismtica hiperesttica de mesmo material e com a considerao do torsor distribudo.O problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploL X 0 XExemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoLG, JtEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPor se tratar de um problema hiperesttico, tem-seExemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoGJtdXd22 1C XGJtdXd+ ( )2 12C X C XGJ 2tX + + ( ) 0 0 ( ) 0 L ( ) XGJ 2tLXGJ 2tX2+ 0 C2 GJ 2tLC1 Conhecido o campo de rotaes chega-se a qualquer outra varivel de estado de interesse manipulando adequadamente a relao cinemtica e a relao constitutiva.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALEste mesmo problema tambm poderia ser resolvido com o auxlio do mtodo das foras mtodo das foras, que visa determinar os hiperestticos hiperestticos impondo-se uma equao de compatibilidade equao de compatibilidade.Exemplo Hiperesttico Exemplo Hiperesttico+ B(TB) = 0=LG, JtLG, JtTBEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPara quantificar a rotao na extremidade direita da barra faz-se uso do Princpio da Superposio dos Efeitos Princpio da Superposio dos Efeitos, usufruindo-se do fato de que j que se conhece o efeito de cada ao isolada, ou seja,Exemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoDe posse do hiperesttico o momento torsor passa a ser conhecido, podendo-se seguir o procedimento j discutido para problemas isostticos.BTBtB B + GJ 2tL2tB GJL TBTBB 2tLT B 0 Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTTConsidere o estado de tenso em um ponto material qualquer da barra sob toroTenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisJTr Para garantir a simetria do tensor de tenso, a tensode cisalhamento na direo circunferencial na face daseo transversal equilibrada pelo componente decisalhamento na direo longitudinal da face radial.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCada ponto material encontra-se em estado de cisalhamento puro estado de cisalhamento puroTenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisAs tenses principais, de mesma intensidade em mdulo,esto inclinadas de 45 em relao ao eixo longitudinalT TEduardo Nobre Lages CTEC/UFALMateriais frgeis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular s tenses principais de trao.Tenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisMateriais dcteis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular ao eixo da barra.T TEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnergia Especfica de Energia Especfica de Deformao DeformaoTTPara um ponto qualquer de uma seo transversal os nicos componentes no nulos dos estados de tenso e de deformao, em coordenadas cilndricas, so dados poreJTr GJTr GJTrJTr2122 2GJr T21 2U0Com isso a energia especfica de deformao dada simplesmente porque varia quadraticamente com a distncia do ponto ao centro da seo circular cheia ou vazada.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnergia de Deformao Energia de DeformaoPara gerar a energia de deformao acumulada numa barra sob toro, deve-se integrar a energia especfica de deformao ao longo do volume da mesma, ou seja,V0dV U UDesmembrando a integrao no volume da barra atravs da seo transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se L A0dx dA U U L A22 2dx dAGJr T21 L A222dx dA rGJT21dx JGJT21L22 dxGJT21 L2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALAs sees transversais de barras no circulares sofrem empenamento empenamento, no mais permanecendo planas. Porm, para pequenas deformaes, a projeo da seo empenada num plano perpendicular ao eixo da barra gira como uma seo rgida.Barras No Circulares Barras No CircularesSolues analticas para sees no circulares so construdas com base na Teoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade.

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