Rigidez Torcao Analogia Grelha

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ESTUDO DA RIGIDEZ TORO PARA A APLICAO DO PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA EM LAJES MACIASStramandinoli, J. S. B.(1); Loriggio, D. D. (2)(1) Doutoranda, Engenharia Civil-Estruturas, Universidade Federal de Santa Catarina email:julianastramandinoli@hotmail.com (2) Professor Doutor, Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina email: loriggio@ecv.ufsc.br Departamento de Eng. Civil/ A/C Prof. Daniel D. Loriggio Universidade Federal de Santa Catarina Campus Universitrio, Trindade, Caixa Postal 476 CEP : 88040-900ResumoA analogia de grelha um mtodo bastante usado para anlise de lajes de concreto armado, principalmente devido a sua facilidade de compreenso e utilizao, e tem apresentado resultados satisfatrios para uma grande variedade de lajes. O procedimento consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas., onde as rigidezes toro ( J ) e flexo ( I ) da laje so concentradas nessas barras. A rigidez toro um parmetro muito importante nessa analogia, e vai ter uma grande nfase neste trabalho. A rigidez toro da placa diminui significativamente para malhas pouco espaadas, afetando os resultados obtidos. Uma alternativa para contornar esse problema pode ser adotar uma inrcia toro proporcional inrcia flexo, que inclusive j havia sido proposta por MONTOYA (1973) e HAMBLY(1983). Neste trabalho sero estudadas vrias relaes J / I para lajes quadradas e retangulares para diversas condies de apoio (engastado/apoiado), com 6 modelos de grelha (espaamentos entre as barra). Finalmente os resultados obtidos com esta analogia sero comparados com o modelo de placa pela teoria da elasticidade, a fim de estabelecer relaes J / I que mais aproxime os resultados obtidos com o modelo de placa. O presente trabalho bastante abrangente e fornece indicaes para o modelamento da laje tanto para a obteno de deslocamentos, como para a obteno de esforos solicitantes necessrios para o dimensionamento.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto11 Introduo 1.1 Modelo de Analogia de GrelhaA analogia de grelha um mtodo bastante usado para anlise de lajes, principalmente devido a sua facilidade de compreenso e utilizao, e tem apresentado resultados satisfatrios para uma grande variedade de lajes. Esta tcnica foi inicialmente idealizada por Marcus em 1932 (TIMOSHENKO,1959), que no dispunha, nesta poca, de computadores e portanto era preciso se valer de processos aproximados para resolver as lajes. Em 1959, com a constatao de que a anlise de grelhas e prticos planos pelo mtodo dos deslocamentos era bastante parecida, LIGHTFOOT e SAWKO adaptaram um programa de clculo de prtico plano para o clculo de grelhas. Mais tarde, HAMBLY(1976) sistematizou este estudo para o clculo de tabuleiros de pontes. O procedimento de analogia de grelha consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas (grelha equivalente), conforme mostra a figura 1.Figura 1 - (a) Laje macia; (b) grelha equivalente, HAMBLY (1976)As rigidezes toro e flexo em cada regio da laje so tomadas, para efeito de anlise, como concentradas na barra de grelha mais prxima. As rigidezes longitudinais da laje so concentradas nas barras longitudinais, enquanto as rigidezes transversais so concentradas nas barras transversais. Esses valores devem ser tais que quando a laje em questo e a grelha equivalente forem sujeitas ao mesmo carregamento, as duas estruturas devem apresentar a mesma deformao e os momentos fletores, torsores e esforos cortantes devem ser iguais em sees correspondentes nas duas estruturas. Entretanto, segundo HAMBLY, isto se d somente de forma aproximada, devido s diferentes caractersticas desses dois tipos de estrutura. Primeiramente, o equilbrio de qualquer elemento de uma laje exige que os momentos torsores sejam idnticos nas duas direes ortogonais (Mxy = Myx), assim como as distores angulares 2 w / xy . No caso da grelha equivalente no existe nenhum princpio fsico ou matemtico que garanta que os momentos torsores e as distores angulares em um determinado ponto sejam iguais nas direes ortogonais. Entretanto se a malha da grelha for suficientemente refinada, a grelha vai se deformar como uma superfcie lisa com os momentos torsores e distores aproximadamente iguais nas direes ortogonais.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 2Outro inconveniente da grelha que o momento em uma barra depende apenas de sua curvatura, enquanto que em uma laje, o momento em qualquer direo depende da curvatura naquela direo e na direo ortogonal. Alm disso, CARVALHO (1994) tambm observou que o coeficiente de Poisson se faz sentir de forma diferente entre a teoria das placas e o processo de analogia de grelha. Isto acontece porque a rigidez de uma viga de seo retangular dada por b h3 Dv = E , enquanto que na placa, considerando uma faixa de largura b e com a 12 b h3 , o que mostra que a placa mesma altura da viga, dada por D = E 12 1 2 normalmente mais rgida que a viga. Entretanto, depois de comparar os resultados das lajes macias, obtidos atravs do processo de analogia de grelha, com os resultados fornecidos atravs do clculo como placa pela teoria da elasticidade, pode-se dizer que os resultados obtidos com essa analogia so satisfatrios.()2 Indicaes para utilizao do modelo de analogia de grelha 2.1 ModelagemComo j foi visto o mtodo consiste em desenvolver uma malha no interior da placa (uma grelha) composta por barras ortogonais paralelas aos lados (como se fossem vigas) abrangendo toda a rea da placa (figura 1). Para as lajes macias a posio das barras aleatria e vai depender do espaamento da malha da grelha. Nos exemplos numricos ser mostrado, que ao contrrio que se pensava, medida que o espaamento das barras diminui no h uma convergncia dos resultados obtidos.2.2 Sistema de coordenadas e graus de liberdadeConsidera-se a grelha contida no plano XY, e as cargas externas atuantes perpendicularmente a este plano, na direo Z, com sentido positivo obedecendo regra da mo direita. No caso da grelha existem trs graus de liberdade por n, ou seja, duas rotaes (x e y) e uma translao no eixo z (figura 2).Figura 2 Graus de liberdade de uma barra de grelha ,LORIGGIO(2000) V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 32.3 Propriedades fsicas e geomtricasAs propriedades das barras influenciam diretamente nos resultados e portanto deve -se analisar vrios aspectos das mesmas. a) Rigidez flexo das barras: Cada barra da grelha ir representar uma certa faixa da placa, com altura igual a espessura da laje e a largura dependente do espaamento das barras da grelha. Desta forma o momento de inrcia flexo das barras longitudinais e transversais da barra ser calculado da seguinte forma:b h3 I= 12onde: b = largura da barra da grelha h = altura da barra da grelha(Equao 1)b) Rigidez toro das barras da grelha: O parmetro de rigidez a toro G. J composto pelo mdulo de elasticidade transversal (G) do material, que pode ser medido ou calculado, em funo do mdulo de elasticidade longitudinal (Ec) e pelo momento de inrcia toro da seo transversal da barra ( J ). Segundo a lei de Hooke, para materiais isotrpicos homogneos, a equao a seguinte:G=E 2(1 + )(Equao 2)Para aplicaes em concreto armado, a NBR-6118, no item 8.2.6, fixa o valor do coeficiente de Poison em 0,2. Nos exemplos utilizados neste trabalho, foi adotada a seguinte relao aproximada: G = 0,4 Ec (Equao 3)O outro parmetro a ser analisado o momento de inrcia toro, J , da seo transversal da barra. De acordo com HAMBLY (1976) o momento de inrcia toro no simplesmente uma propriedade geomtrica da seo transversal da pea como o momento de inrcia flexo I . No caso de um cilindro, o momento de inrcia toro igual ao momento polar de inrcia I p , entretanto este um caso especial, sendo que para outros tipos de seo transversal o momento de inrcia toro totalmente diferente de I p. Portanto, no existe uma regra geral para o clculo do momento de inrcia toro. Para um retngulo de lados b e h , por exemplo, o J pode ser calculado da seguinte forma (GERE e WEAVER, 1980):J = b h3(Equao 4)V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto4onde: b = maior dimenso da seo transversal; h = menor dimenso da seo transversal1 h h4 1 = 0,21 4 3 b 12b (Equao 5)MONTOYA (1973) e HAMBLY (1976) propem que se use, para uma barra de grelha que representa uma largura b de uma laje macia, J = 2 I . No item 3 mostrado de onde partiu essa idia.2.4 CarregamentoAs cargas atuantes na laje provenientes do peso-prprio, revestimentos, paredes divisrias, carga acidental e outras que possam estar atuando na estrutura, atuam perpendicularmente ao plano XY e podem ser representadas de duas maneiras: como cargas distribudas ao longo das barras e como cargas concentradas nos ns. Para ambos os casos a carga deve ser calculada atravs da rea de influncia do elemento (barra ou n) como mostra a figura 3. Em todos os exemplos mostrados adiante foram consideradas cargas distribudas ao longo da barra.Figura 3 Carregamento nos ns carga nodal P e carregamento nas barras carga uniformemente distribuda q3 Rigidez toroConforme observaram COELHO & LORIGGIO (2000), a rigidez toro da placa diminui significativamente para malhas de grelhas pouco espaadas. Isto ocorre porque a rigidez toro proporcional ao cubo da menor dimenso das faixas( h ). Entretanto para malhas pouco espaadas, a largura da faixa passa a ser a menor dimenso, sendo portanto, esta dimenso, elevada ao cubo. Desta forma a rigidez toro passa a ser muito influenciada pela malha utilizada, no sendo possvel, portanto, a utilizao da equao 4 para o clculo da rigidez toro. Uma alternativa utilizada por COELHO & LORIGGIO (2000) foi adotar uma inrcia toro proporcional inrcia flexo. Essa idia j havia sido proposta por MONTOYA (1973) e tambm por HAMBLY (1976) que sugeriram que se utilize a inrcia toro da barra da grelha equivalente ao dobro de sua inrcia flexo ( J = 2 I ).V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 5HAMBLY (1976) demonstrou porque se deve utilizar a rigidez toro como o dobro da rigidez flexo. Como a distribuio da tenso de cisalhamento em um elemento de placa uniforme e varia linearmente a partir da linha mdia da placa, conforme mostrado na figura 4, pode-se escrever:Figura 4 - Distribuio de tenses devido toro, HAMBLY (1976)xyz=M xy i=E 2w (1 + ) xy (Equao 6)onde i =h3 momento de inrcia da laje por unidade de largura. 12 E h3 2 w Gh3 2 w = 6 xy (1 + )12 x y Portanto:M xy = (Equao 7)visto que:G=E 2 (1 + )(Equao 8)Pode-se considerar portanto que :J=h3 por unidade de largura 6(Equao 9)Sabe-se que para vigas de seo retangular (com b >5h) a inrcia toro pode ser escrita de forma simplificada como:J=b h3 3(Equao 10)Portanto, pode-se perceber que a equao 9 de inrcia toro de uma laje por unidade de largura igual metade do valor da equao 10 de uma viga. Esta diferena uma conseqncia de diferentes definies de toro. Se a laje mostrada na figura 5 for analisada como uma viga, o momento torsor definido como a soma da toro causada pelo fluxo de cisalhamento horizontal distribudo na face superior e inferior, mais a toro causada pelo fluxo de cisalhamento vertical aplicado nas faces laterais.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto6Figura 5 - Toro em uma laje como se fosse viga, HAMBLY (1976)Entretanto se essa laje delgada analisada como laje, o momento torsor M xy definido como provocado somente pelo fluxo de cisalhamento horizontal distribudo nas faces superior e inferior, conforme a figura 4. O fluxo de cisalhamento vertical distribudo nas faces laterais representa valores elevados do esforo cortante Qx e so responsveis por metade da toro total. Apesar dessas duas definies de toro serem diferentes, elas so equivalentes: enquanto a laje tem metade da rigidez toro da viga , a qual se d devido toro em torno do eixo longitudinal, a outra metade da rigidez toro atribuda toro transversal da laje, a qual no considerada na anlise de vigas. Como a inrcia flexo dada por :I=b h3 12(Equao 11)Quando compara-se a equao 9 e a equao 11, pode-se perceber, conseqentemente, que:J =2I(Equao 12)A equao 12 mostra que ao se discretizar uma laje macia como uma grelha de vigas equivalente, deve-se utilizar portanto, segundo HAMBLY (1976), a inrcia toro dessas vigas como o dobro de sua inrcia flexo. COELHO (2000) estudou outras relaes J / I alm da mostrada na equao 4.8. Essas outras relaes foram : J / I =1 ; J / I =2,5 ; J / I =3 e J / I =4 , concluindo que uma relao J / I entre 2 e 2,5 apresenta resultados para os esforos e deslocamentos que diferem muito pouco dos obtidos pela teoria da elasticidade. Alguns dos exemplos contidos aqui so os mesmos encontrados em COELHO (2000), com algumas modificaes nos parmetros envolvidos, entretanto neste trabalho foram estudados mais casos de lajes macias. Em todos os exemplos mostrados a seguir onde as lajes foram consideradas apoiadas, o apoio foi considerado livre para rotao segundo o eixo perpendicular s barras da grelha que chegam nesse apoio, porm com a rotao ao redor do eixo dessas barras impedida.4 Exemplos NumricosForam estudados 9 exemplos de lajes macias, considerando diferentes condies de apoio e relaes entre os lados. As lajes foram calculadas primeiramente atravs da Teoria da Elasticidade (TE), utilizando as tabelas de Czerny, e posteriormente atravs do processo de Analogia de Grelha com diferentes relaes J / I , com o intuito de se chegar numa relao que mais se aproximasse dos resultados obtidos atravs da TE.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 74.1 Estudo Comparativo para Lajes Quadradas com Relao entre Lados Ly/Lx = 1EXEMPLO 1 Laje macia de vo 4 x 4m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rgidos Carga uniformemente distribuda q = 10 kN/m2 Mdulo de Elasticidade Longitudinal E = 21000 MPa Mdulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 MPa Em todos os exemplos as lajes sero discretizadas em 6 diferentes modelos de grelha, com barras espaadas de : 80x80 cm , 45x45 cm, 36x36 cm, 19x19 cm, 10x10 cm e 5x5 cm, conforme mostram as figuras 4.3 a 4.8 para o exemplo 1.Figura 6 Laje discretizada com grelha de 80x80 cmFigura 7 Laje discretizada com grelha de 45x45 cmV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto8Figura 8 Laje discretizada com grelha de 36x36 cmFigura 9 Laje discretizada com grelha de 19x19 cmFigura 10 Laje discretizada com grelha de 10x10 cmV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto9Figura 11 Laje discretizada com grelha de 5x5 cmResultados obtidos atravs da analogia de grelha e TE:13 12,5 12 11,5 Momentos Fletores (kNm/m) 11 10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm) J eq. 3.4 J=2,8 I J=2,5 I J=2,0 I J=1,8 I J=1,75 I J=0 TEFigura 12 Momentos fletores mx=my em funo da grelhaV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto101,3 1,2 1,1 1 Flechas (cm) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras(cm) J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2I J=1,8I J=1,75I J=0 TEFigura 13 Flechas em funo da grelhaEXEMPLO 2 Mesmas caractersticas da laje anterior, porm considerando 2 lados adjacentes engastados e os outros dois apoiados. Resultados obtidos atravs da analogia de grelha e TE:7,5 7 Momentos Fletores (Mx=My)(kNm/m) 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm) J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2,2I J=2I J=1,9I J=1,8I J=0 TEFigura 14 Momentos fletores (mx=my) em funo da grelhaV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto11-8Momentos Fletores(Mex=Mey)(knm/m)-9 J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2,2I J=2I J=1,9I J=1,8I J=0 TE-10-11-12-13-14 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 15 Momentos fletores (mex=mey) em funo da grelha0,550,50,45 J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2,2I J=2I J=1,9I J=1,8I J=0 TE Flechas (cm)0,40,350,30,250,2 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 16 Flechas em funo da grelhaEXEMPLO 3 Mesmas caractersticas da laje do exemplo 1, porm considerando os quatro lados da laje engastados. Resultados obtidos atravs da analogia de grelha e TE:V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto124,2 4 Momentos Fletores(Mx=My)(kNm/m) 3,8 3,6 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm) J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2I J=1,2I J=1,1I J=0 TEFigura 17 Momentos fletores (mx=my) em funo da grelha-10Momentos Fletores (Mex=Mey)(kNm/m)-9,5-9-8,5-8J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5I J=2I J=1,2I J=1,1I J=0 TE-7,5-7 80x80 45x45 36x36 19x19 espaamento das barras (cm) 10x10 5x5Figura 18 Momentos fletores (mex=mey) em funo da grelhaV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto130,250,23 J eq. 3.4 J=2,8I J=2,5 J=2I J=1,2I J=1,1I J=0 TEFlechas (cm)0,210,190,170,15 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 19 Flechas em funo da grelha4.2 Estudo Comparativo para Lajes Retangulares com Relao entre Lados Ly/Lx = 1,5EXEMPLO 4 Laje macia de vo 4 x 6m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rgidos Carga uniformemente distribuda q = 10 kN/m2 Mdulo de Elasticidade Longitudinal E = 21000 MPa Mdulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 Mpa Resultados obtidos atravs da analogia de grelha e TE: V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto142220 Momentos Fletores (Mx)(kNm/m)18 J eq. 3.4 J=2,8I J=2,2I J=2I J=0,8I J=0 TE161412108 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 20 Momentos fletores (mx) em funo da grelha8,5 8 Momentos Fletores (My)(kNm/m) 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm) J eq. 3.4 J=2,8I J=2,2I J=2I J=0,8I J=0 TEFigura 21 Momentos fletores (my) em funo da grelhaV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto152,221,8 J eq. 3.4 J=2,8I J=2,2I J=2I J=0,8I J=0 TE Flechas (cm)1,61,41,210,8 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 22 Flechas em funo da grelha4.3 Estudo Comparativo para Lajes Retangulares com Relao entre Lados Ly/Lx = 2EXEMPLO 7 Laje macia de 4 x 8m Espessura h = 10 cm Considerada apoiada nos quatro lados em apoios rgidos Carga uniformemente distribuda q = 10 kN/m2 Mdulo de Elasticidade Longitudinal E = 21000 MPa Mdulo de Elasticidade Transversal G = 0,4 E G = 8400 Mpa Resultados obtidos atravs da analogia de grelha e TE: V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto162422 Momentos Fletores(Mx)(kNm/m)20 J eq. 3.4 J=3I J=2,8I J=2,2I J=2I J=0 TE1816141210 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 23 Momentos fletores (mx) em funo da malha98 Momentos Fletores(My)(kNm/m)765J eq.3.4 J=3I J=2,8I J=2,2I J=2I J=0 TE43 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 24 Momentos fletores (my) em funo da malhaV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto172,42,22 J eq. 3.4 J=3I J=2,8I J=2,2I J=2I J=0 TE Flechas (cm)1,81,61,41,21 80x80 45x45 36x36 19x19 10x10 5x5 espaamento das barras (cm)Figura 25 Flechas em funo da malhaPara os exemplos 5, 6, 8 e 9 os grficos obtidos para os momentos e flechas so semelhantes aos obtidos para os exemplos anteriores e a tabela 1 mostra os valores das relaes J / I , para todos os exemplos estudados, que mais se aproximaram dos resultados obtidos pela TE.Tabela 1 Valores da relao J / I encontrada para os esforos e deslocamentos que mais se aproximam dos resultados obtidos pela TERelao entre os lados Lx =1 LyCondies de apoiomxmymexmey flechaLx =1,5 Ly Lx =2 Ly4 lados apoiados (exemplo1) 2 lados engastados (exemplo 2) 4 lados engastados (exemplo 3) 4 lados apoiados (exemplo 4) 2 lados engastados (exemplo 5) 4 lados engastados (exemplo 6) 4 lados apoiados (exemplo 7) 2 lados engastados (exemplo 8) 4 lados engastados (exemplo 9)1,8 1,9 1,2 2,2 2,8 2,0 2,2 3,5 1,81,8 1,9 1,2 0,8 1,2 X (*) 0 0,3 X(*)----2,2 2,2 ----2,5 2,5 ----2,5 2,0----2,2 2,2 ----2,0 0 ----2,0 3,82,8 3,0 2,8 2,8 3,2 3,0 3,0 3,5 3,8(*) No foi encontrada nenhuma relao J / I que represente bem os valores de my.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto184 Anlise dos Resultados e ConclusesPrimeiramente importante ressaltar que no diagrama de momentos fletores, para a grelha, existem descontinuidades devido aos momentos torsores, conforme pode ser observado na figura 26. Ou seja, se em um determinado n existe uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores porque existe um momento torsor aplicado naquele n. Devido a isso, os momentos fletores mximos em muitos casos no ocorrem no centro do vo, a no ser quando se utiliza uma rigidez toro reduzida, pois neste caso as descontinuidades no diagrama de momentos fletores so bastante reduzidas, fazendo com que o momento mximo seja encontrado no n central. Para os exemplos estudados, na maioria dos casos, o momento fletor mximo no ocorreu no centro da laje.Figura 26 - Momentos fletores para a barra central da laje com malha de 80 x 80 cmAnalisando os grficos mostrados anteriormente pode-se perceber que no existe uma variao regular dos momentos fletores e flechas com a diminuio do espaamento das barras da grelha. O que quer dizer que nas diversas relaes J / I analisadas, muitas vezes, ao contrrio do que se poderia pensar, no foi o modelo com barras menos espaadas que apresentou os resultados mais prximos da teoria da elasticidade. Para o exemplo 1, por exemplo, a relao J / I que mais aproximou os valores dos momentos fletores com os obtidos pela teoria da elasticidade foi entre 1,8 e 1,75, enquanto para as flechas foi em torno de 2,8. Observando a tabela 1 nota-se que esses valores podem ser , no caso mais geral, diferentes para cada um dos esforos e para o deslocamento e os mesmos so influenciados pela relao entre os lados e condies de apoio. Entretanto, a relao J / I =2 proposta por MONTOYA e HAMBLY razovel para os momentos fletores mx, mex e mey com uma diferena mxima em torno de 5% para os momentos mex e mey; j para os momentos mx essa diferena pode chegar a 11% (nos exemplos 3, 5 e 8), sendo contra a segurana (maiores do que os obtidos pela TE) apenas no exemplo 3. No que diz respeito aos momentos my (nos casos em que Ly/Lx 1) , foi observado que os mesmos sofrem uma variao significativa em funo do espaamento das barras, para algumas relaes J / I . Tambm pode-se concluir, analisando a tabela 1, que a relao J / I =2 no adequada para os momentos my, devendo ser feito um estudo mais cuidadoso para cada caso. De qualquer forma, o momento my, por ser o momento na maior direo, no o momento mais importante da laje. J para as flechas a relao J / I =3 parece ser a mais adequada, visto que a diferena mxima obtida em relao TE, para todos os casos estudados, foi de 6%. Entretanto se fosse utilizada a relao J / I =2 tambm para as flechas, esses valores estariam a favor da segurana, ou seja, maiores do que os obtidos pela TE. Verificou-se, portanto, que a analogia de grelha apresenta resultados satisfatrios e pode ser usada com vantagens no modelamento das lajes de concreto armado. Entretanto, pelo fato dela ser uma analogia, e no conseguir representar fielmente a teoria das Placas em Regime Elstico, os resultados devem sempre ser analisados com cuidado. Existe, tambm, a necessidade de se estudar mais profundamente uma srie deV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 19tpicos, tais como lajes irregulares, malhas irregulares, painis de laje em pisos de edifcios, aberturas nas lajes, entre outros assuntos de modo que a analogia de grelha possa adquirir maior credibilidade na prtica corrente de projeto.5 RefernciasCARVALHO, R. C. (1994). Anlise no linear de pavimentos de edifcios de concreto atravs da analogia de grelha. Tese (doutorado) Universidade de So Paulo, Escola de Engenharia de So Carlos, SP, So Carlos. COELHO, J.A. (2000). Modelagem de lajes de concreto armado por analogia de grelha. Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianpolis. COELHO, J. D., LORIGGIO, D. D. Analogia de grelha para o projeto de lajes de concreto armado. XXIX JORNADAS SULAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTUTAL, novembro de 2000, Punta Del Leste. GERE, J.M.; WEAVER JR., W. Anlise de Estruturas Reticuladas. Editora Guanabara Dois S. A. Rio de Janeiro RJ, 1981. HAMBLY, E.C. Bridge deck behavior. London, Chapman and Hall, 1976. LIGHTFOOT, E. & SAWKO, F. Structural frame analysis by eletronic computer: grid frameworks resolved by generalized slope deflection. Engineering, 187(18-20), 1959. LORIGGIO, D.D. Anlise Matricial e Modelagem de Estruturas EE02; Apostila do Curso de Especializao em Projeto de Estruturas, 2000-2001, UFSC. MONTOYA, J.; MESENGUER, A.G.; CABRE, F. M. Hormigon Armado, Editorial Gustavo Gili, S.A. Barcelona, 1973. STRAMANDINOLI, J.S.B.(2003). Contribuies anlise de lajes nervuradas por analogia de grelha. Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianpolis TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of plates and shells, McGraw Hill Kogakusha, Ltda, 1959.V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto20