aula 9 - função inversa - 1 slide por folha - campus...

Função Inversa

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Função Inversa

1.Função sobrejetora

2.Função injetora

3.Função bijetora

4.Função inversa

3

Uma função f de A em B é sobrejetora se, esomente se, para todo y pertencente a B existe umelemento x pertencente a A tal que

f(x) = yEm símbolos

1. Função sobrejetora

:

é sobrejetora , , , / ( )

f A B

f y y B x x A f x y

→⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =

4

Notemos que f: A → B é sobrejetora se, esomente se, Im(f) = B.

Em lugar de dizermos “f é uma funçãosobrejetora de A em B” poderemos dizer “f é umasobrejeção de A em B”.


:

é sobrejetora Im( )

f A B

f f B

→⇔ =

5

Exemplos:

1o) A função f de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {0, 1, 4}definida pela lei f(x) = x2 é sobrejetora, pois, paratodo elemento y ∈ B, existe o elemento x ∈ A talque y = x2.


6

Observemos que para todo elemento de Bconverge pelo menos uma flecha.


0

-1

1

2

0

1

4

A B

f

7

2o) A função f de A = em B = de-finida por f(x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, paratodo y ∈ B, existe x ∈ A, tal que y = x2 + 1,bastando para isso tomar


ℝ { }/ 1y y∈ ≥ℝ

1 ou 1x y x y= − = − −

8

Uma função f de A em B é injetora se, esomente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, sex1 ≠ x2 então f(x1) ≠ f(x2).

Em símbolos

2. Função injetora

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2

:

é injetora , , , ( ) ( )

f A B

f x x A x x A x x f x f x

→⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

9

Notemos que a definição proposta éequivalente a uma função f de A em B é injetorase, e somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A,se f(x1) = f(x2) então x1 = x2.

Em lugar de dizermos “f é uma funçãoinjetora de A em B” poderemos dizer “f é umainjeção de A em B”.


( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2

:

é injetora , , , ( ) ( )

f A B

f x x A x x A x x f x f x

→⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ = ⇒ =

10

Exemplos:

1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7,9} definida pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora, pois,dois elementos distintos de A têm como imagensdois elementos distintos de B.


11

Observemos que não existem duas ou maisflechas convergindo para um mesmo elemento de B.


0

1

2

3

1

3

9

A B

5

7

f

12

2o) A função de em definida por f(x) =2x é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2de , se x1 ≠ x2 então 2x1 ≠ 2x2.

3o) A função de em definida por f(x) =x -1 é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2de , se x1 ≠ x2 então x1

-1 ≠ x2-1.


A = ℕ B = ℕ

ℕ

*A = ℝ B = ℝ

*ℝ

13

Uma função f de A em B é bijetora se, esomente se, f é sobrejetora e injetora.

Em símbolos

3. Função bijetora

:

é bijetora f é sobrejetora e injetora

f A B

f

→⇔

14

A definição anterior é equivalente a: umafunção f de A em B é bijetora se, e somente se,para qualquer elemento y pertencente a B existeum único elemento x pertencente a A tal quef(x) = y.

Em lugar de dizermos “f é uma funçãobijetora de A em B” poderemos dizer “f é umabijeção de A em B”.


:

é bijetora , , | , / ( )

f A B

f y y B x x A f x y

→⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =

15

Exemplos:

1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 2, 3, 4}definida por f(x) = x + 1 é bijetora


1

3

2

43

0

1

2

A B

f

16

pois f é sobrejetora e injetora, isto é, para todoelemento y ∈ B, existe um único elemento x ∈ A,tal que y = x + 1. Observemos que para cadaelemento de B converge uma só flecha.

2o) A função f de A = em B = definida por f(x)= 3x + 2 é bijetora, pois:

I) qualquer que seja y ∈ , existe x ∈ tal que y =3x + 2, basta tomarmos . Logo, f é sobre-jetora;


ℝ ℝ

ℝ ℝ

23

yx

−=

17

II) quaisquer que sejam x1 e x2 de , se x1 ≠ x2,então 3x1 + 2 ≠ 3x2 + 2, isto é, f é injetora.

Observação:

Observemos que existem funções que não sãosobrejetoras nem injetoras. Assim, porexemplo, a função de em definida por |x|:

I) dado y ∈ , não existe x∈ tal que y = |x|,portanto f não é sobrejetora;

II) existem x1 e x2 em , x1 e x2 opostos (e por-tanto x1 ≠ x2) tais que |x1| = |x2|, isto é, f não éinjetora.


ℝ

ℝ ℝ

*−ℝ ℝ

ℝ

18

Pela representação cartesiana de umafunção f podemos verificar se f é injetora ousobrejetora ou bijetora. Para isso, bastaanalisarmos o número de pontos de intersecção dasretas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cadaponto (0, y) em que y ∈ B (contradomínio de f).

3.1 Reconhecimento através dográfico

19

1o) Se cada uma dessas retas cortar ográfico em um só ponto ou não cortar o gráfico,então a função é injetora.

Exemplos


20


-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

→=ℝ ℝ:

( )

f

f x x

21


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

+ →

=

ℝ ℝ

2

:

( )

f

f x x

22

2o) Se cada uma das retas cortar o gráficoem um ou mais pontos, então a função ésobrejetora.

Exemplos


23


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0 2 4 6

→= −ℝ ℝ:

( ) 1

f

f x x

24


0

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

+→

=

ℝ ℝ

2

:

( )

f

f x x

25

3o) Se cada uma das retas cortar o gráficoem um só ponto, então a função é bijetora.

Exemplos


26


-12

-8

-4

0

4

8

12

-6 -4 -2 0 2 4 6

→=ℝ ℝ:

( ) 2

f

f x x

27


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

→= ⋅ℝ ℝ:

( )

f

f x x x

28

Resumo

Dada a função f de A em B, consideram-seas retas horizontais por (0, y) com y ∈ B:

1o) se nenhuma reta corta o gráfico mais de umavez, então f é injetora;

2o) se toda reta corta o gráfico, então f ésobrejetora;

3o) se toda reta corta o gráfico em um só ponto,então f é bijetora.


29

Exemplo preliminar

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} eB = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A em Bdefinida por f(x) = 2x – 1.

4 Função inversa

1

5

3

74

1

2

3

A B

f

30

Notemos que a função f é bijetora formadapelos pares ordenados

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

em que D(f) = A e Im(f) = B.

4 Função inversa

31

A relação f -1 = {(y, x)/(x, y) ∈ f}, inversa de f, é também uma função, pois f é uma bijeção de Aem B, isto é, para todo y ∈ B existe um único x ∈ Atal que (y, x) ∈ f -1.

4 Função inversa

1

3

2

47

1

3

5

A B

f-1

32

Observemos que a função f é definida pelasentença ,

e f -1 é definida pela sentença , isto é:

1o) f leva cada elemento x ∈ A até o y ∈ B tal que

2o) f -1 leva cada elemento y ∈ B até o x ∈ A tal que

4 Função inversa

= −2 1y x

+= 12

yx

= −2 1y x

+= 12

yx

33

A função f -1 é formada pelos pares ordena-dos

f -1= {(1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}

em que D(f -1) = B e Im(f -1) = A.

4 Função inversa

34

Se f é uma função bijetora de A em B, arelação inversa de f é uma função de B em A quedenominamos função inversa de A e indicamos porf -1.

4.1 Definição

35

2a) Pela observação anterior, temos:

(x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f -1

Agora, se considerarmos a função inversa def -1, teremos:

(y, x) ∈ f -1 ⇔ (x, y) ∈ (f -1)-1

isto é, a inversa de f -1 é a própria função f:

(f -1)-1 = fPodemos assim afirmar que f e f -1 são inver-

sas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra.

4.1 Definição

36

3a) O domínio da função f -1 é B, que é a imagem dafunção f. A imagem da função f -1 é A, que é odomínio da função f.

4.1 Definição

A B

f

B A

f-1

D(f-1) = B = Im(f) e Im(f-1) = A = D(f)

37

Vimos no exemplo preliminar que, se afunção f é definida pela sentença aberta

,

então a função inversa f -1 é definida pela sentença

4.2 Determinação da funçãoinversa

= −2 1y x

+= 12

yx

38

Observemos, por exemplo, que x = 2 e y = 3satisfazem a condição e .

Isso não quer dizer que o par ordenado

(2, 3) pertença a f e f -1. De fato:

(2, 3) ∈ f e (3, 2) ∈ f -1.


= −2 1y x+= 12

yx

39

As sentenças abertas

e

não especificam qual (x? ou y?) é o primeiro termo

do par ordenado.


= −2 1y x+= 12

yx

40

Ao construirmos o gráfico cartesiano dafunção f, colocamos x em abscissas e y emordenadas, isto é:

e ao representarmos no mesmo plano cartesiano ográfico de f -1, como o conjunto

devemos ter y em abscissa e x em ordenada.


{ }= ∈ = −( , ) / 2 1f x y A x B y x

− + = ∈ =

1 1( , ) /

2y

f y x B x A x

41

A fim de que possamos convencionar que:

1o) dada uma sentença aberta que define umafunção, x representa sempre o primeiro termo dospares ordenados e

2o) dois gráficos de funções distintas possam serconstruídos no mesmo plano cartesiano com x emabscissas e y em ordenadas.

justifica-se a seguinte regra prática.


42

Dada a função bijetora f de A em B,definida pela sentença y = f(x), para obtermos asentença aberta que define f -1, procedemos doseguinte modo:

1o) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança devariável, isto é, trocamos x por y e y por x,obtendo x = f(y);

2o) transformamos algebricamente a expressãox = f(y), expressando y em função de x paraobtermos y = f -1(x).

4.3 Regra prática

43

Exemplos

1o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetoraem definida por f(x) = 3x + 2?

4.3 Regra prática

ℝ

44

A função dada é .

Aplicando a regra prática:

I) permutando as variáveis:

II) expressando y em função de x:

Resposta: É a função f -1 em definida por

4.3 Regra prática

= = +( ) 3 2f x y x

= +3 2x y

−= + ⇒ = − ⇒ = 23 2 3 2

3x

x y y x y

ℝ

− −=1 2( )

3x

f x

45

Exemplos

2o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetoraem definida por f(x) = x3?

4.3 Regra prática

ℝ

46

A função dada é: .

Aplicando a regra prática:

I) permutando as variáveis:

II) expressando y em função de x:

Resposta: É a função f -1 em definida por

4.3 Regra prática

= = 3( )f x y x

= 3x y

= ⇒ =3 3x y y x

ℝ

− =1 3( )f x x

47

Os gráficos cartesianos de f e f -1 sãosimétricos em relação à bissetriz dos quadrantes1 e 3 do plano cartesiano.

Exemplos:

Vamos construir no mesmo diagrama osgráficos de duas funções inversas entre si:

4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1

−

−

−

+= − =

= =

= =

1

2 1

3 1 3

41 ) ( ) 2 4 ( )

2

2 ) ( ) ( )

3 ) ( ) ( )

o

o

o

xf x x e f x

f x x e f x x

f x x e f x x

48


+= − = 41 ) 2 4

2o x

y x y

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

x -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

49


-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

f

f-1

50


= =22 ) o y x y x

x 0 1 2 3 4 5 6

y 0 1 4 9 16 25 36

x 0 1 4 9 16 25 36

y 0 1 2 3 4 5 6

51


0

6

12

18

24

30

36

0 6 12 18 24 30 36

f

f-1

52


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

f

f-1

53


= =3 33 ) o y x y x

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -27 -8 -1 0 1 8 27

x -27 -8 -1 0 1 8 27

y -3 -2 -1 0 1 2 3

54


-28

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

24

28

-28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28

f

f-1

55


-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

f-1

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