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Introdução às Funções

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Introdução às Funções

1.Conceito de função

2.Definição

3.Notação das funções

4.Domínio e imagem

3

Exemplos iniciaisVamos considerar, por exemplo, os

conjuntos

A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}

e as seguintes relações binárias de A em B:

1. Conceito de função

( ){ }( ){ }( ){ }( ){ }( ){ }

2 2

2

, / 1

, /

, /

, / ( 1) 1

, / 2

R x y A x B y x

S x y A x B y x

T x y A x B y x

V x y A x B y x

W x y A x B y

= ∈ = +

= ∈ =

= ∈ =

= ∈ = − −

= ∈ =

4

Analisando cada uma das relações, temos:

a) R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}

Para cada elemento x ∈ A, com exceção do3, existe um só elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ R.

Para o elemento 3 ∈ A, não existe y ∈ B talque (3, y) ∈ R.


5


R

A

3

2

1

0

B

-1

0

2

3

1

6

b) S = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)}

Para cada elemento x ∈ A, com exceção do1, existe um só elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ S.

Para o elemento 1 ∈ A, existem doiselementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, 1) ∈ S e(1, -1) ∈ S.


7


S

A

3

2

1

0

B

-1

0

2

3

1

8

c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Para todo elemento x ∈ A, sem exceção,existe um só elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ T.


9


T

A

3

2

1

0

B

-1

0

2

3

1

10

d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)}

Para todo elemento x ∈ A, sem exceção,existe um só elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ V.


11


V

A

3

2

1

0

B

-1

0

2

3

1

12

e) W = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)}

Para todo elemento x ∈ A, sem exceção,existe um só elemento y ∈ B tal que (x, y) ∈ W.


13


W

A

3

2

1

0

B

-1

0

2

3

1

14

As relações T, V, W, que apresentam aparticularidade: “para todo x ∈ A existe um sóy ∈ B tal que (x, y) pertence à relação”, recebem onome de aplicação de A em B ou função definidaem A com imagens em B.


15

Dados dois conjuntos A e B(*), não vazios,uma relação f de A em B recebe o nome deaplicação de A em B ou função definida em A comimagens em B se, e somente se, para todo x ∈ Aexiste um só y ∈ B tal que (x, y) ∈ f.

2. Definição

( )f é aplicação de A em B , | / ( , )x A y B x y f⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈

(*) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntosformados de números reais, isto é, A e B contidos em .ℝ

16

Esquema de flechasVejamos agora, com o auxílio do esquema

das flechas, que condições deve satisfazer umarelação f de A em B para ser aplicação (ou função).

2. Definição

17

1º) É necessário que todo elemento x ∈ Aparticipe de pelo menos um par (x, y) ∈ f, isto é,todo elemento de A deve servir como ponto departida de flecha.

2º) É necessário que cada elemento x ∈ Aparticipe de apenas um único par (x, y) ∈ f, isto é,cada elemento de A deve servir como ponto departida de uma única flecha.

Uma relação f não é aplicação (ou função) senão satisfizer uma das condições acima, isto é:

2. Definição

1º) se existir um elemento de A do qual nãoparta flecha alguma ou

2. Definição

A Bf não é função

19

2º) se existir um elemento de A do qualpartam duas ou mais flechas.

2. Definição

A Bf não é função

20

Gráfico cartesianoPodemos verificar pela representação

cartesiana da relação f de A em B se f é ou nãofunção: basta verificarmos se a reta paralela aoeixo y conduzida pelo ponto (x, 0), em que x ∈ A,encontra sempre o gráfico de f em um só ponto.

2. Definição

21

Exemplos1º) A relação f de A em , com

representada a seguir, é função, pois toda retavertical conduzida pelos pontos de abscissa x ∈ Aencontra sempre o gráfico de f num só ponto.

2. Definição

ℝ

{ }/ 1 3 ,A x x= ∈ − ≤ ≤ℝ

2. Definição

3-1 x

y

23

Exemplos2º) A relação f de A em , representada a seguir,em que

não é função, pois há retas verticais queencontram o gráfico de f em dois pontos.

2. Definição

ℝ

{ }/ 2 2 ,A x x= ∈ − ≤ ≤ℝ

24

2. Definição

2-2 x

y

25

Exemplos3º) A relação f de A em , representada a seguir,em que

não é função de A em , pois a reta vertical con-duzida pelo ponto (1, 0) não encontra o gráfico def. Observemos que f é função de B em em que:

2. Definição

ℝ

{ }/ 0 4 ,A x x= ∈ ≤ ≤ℝ

ℝ

ℝ

{ }/ 2 4 ,B x x= ∈ ≤ ≤ℝ

26

2. Definição

1 2 3 4 x

y

27

Toda função é uma relação binária de A emB; portanto, toda função é um conjunto de paresordenados.

Geralmente, existe uma sentença abertay = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dadox ∈ A, determina-se y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, então

Isso significa que, dados os conjuntos A e B,a função f tem a lei de correspondência y = f(x).

3. Notação das funções

( ){ }, / , e ( ) .f x y x A y B y f x= ∈ ∈ =

28

Para indicarmos uma função f, definida em Acom imagens em B segundo a lei decorrespondência y = f(x), usaremos uma dasseguintes notações:


: A B :

( ) ( ) ( )

f

f A B f A B

x f x x f x y f x

→ → →→ → =

29

Exemplos1º) tal que

é uma função que associa a cada x de A um y de Btal que .

2º) tal que

é uma função que leva a cada x de um y de talque .

3º) tal que

é uma função que leva a cada x ∈ um y ∈ talque .


:f A B→ 2y x=

2y x=:f →ℝ ℝ 2y x=

2y x=ℝ ℝ

:f + →ℝ ℝ y x=

+ℝ ℝy x=

30

Imagem de um elementoSe (a, b) ∈ f, como já dissemos anterior-

mente, o elemento b é chamado imagem de a pelaaplicação f ou valor de f no elemento a, eindicamos:

f(a) = bque se lê: “f de a é igual a b”.


31

ExemploSeja a função

a) a imagem de 0 pela aplicação f é 1, isto é:

b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é:


:

2 1, então:

f

x x

→→ +

ℝ ℝ

(0) 2 0 1 1f = ⋅ + =

( 2) 2 ( 2) 1 3f − = ⋅ − + = −

32

c) analogamente


( )

1 12 1 2

2 2

2 2 2 1

(0,7) 2 0,7 1 2,4

f

f

f

= ⋅ + =

= ⋅ +

= ⋅ + =

33


1

−3

2

+2 2 1

2,4

+2 1x

−2

1

2

2

0,7

x

1

ℝ ℝ

Exercício 1: Qual é a notação das seguintesfunções de em ?


ℝ ℝ

a) f associa cada número real ao seu oposto;

b) g associa cada número real ao seu cubo;

c) h associa cada número real ao seu quadradomenos um;

d) k associa cada número real ao número 2.

Exercício 2: Qual é a notação das seguintesfunções?


a) f é função de em que associa cada númeroracional ao seu oposto adicionado com um;

b) g é a função de em que associa cada númerointeiro à potência de base 2 desse número;

c) h é a função de em que associa cada númeroreal ao seu inverso.

ℚ ℚ

ℚℤ

*ℝ ℝ

Exercício 3: Seja a função de em definida porx2 – 3x + 4. Calcular:


a) f(2)

b) f(-1)

c) f(1/2)

d) f(-1/3)

e) f( )

f) f( )

ℝℝ

3

1 2−

Exercício 4: Seja a função de em definida porf(x) = 3x - 2. Calcular:


a) f(2)

b) f(0)

c) f(-3)

d) f(3/2)

ℤℤ

Exercício 5: Seja a função de em assimdefinida


a) f(3)

b) f(-3/7)

c) f( )

d) f( )

e) f( )

f) f(0,75)

ℝℝ

2

3 1−

1 se ( )

1 se

xf x

x x

∈= + ∉

ℚ

ℚ

4

Exercício 6: Seja a função de em definida por

Qual é o elemento do domínio que tem -3/4 comoimagem?


ℝℝ

2 3( ) .

5x

f x−=

Exercício 7: Seja a função f de em defi-nida por

Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2?


ℝ{ }1−ℝ

3 2( ) .

1x

f xx

+=−

Exercício 8: Quais são os valores do domínio dafunção real definida por f(x) = x2 – 5x + 9 queproduzem imagem igual a 3?


42

Considerando que toda função f de A em B éuma relação binária, então f tem um domínio e umaimagem.

4. Domínio e imagem

43

DomínioChamamos de domínio o conjunto D dos

elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B tal que(x, y) ∈ f. Como, pela definição de função, todoelemento de A tem essa propriedade, temos nasfunções:

domínio = conjunto de partida

isto é,

D = A.


44

ImagemChamamos de imagem o conjunto Im dos

elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A tal que(x, y) ∈ f; portanto:

imagem é subconjunto do contradomínio

isto é,

Im ⊂ B.


45


contradomíniodomínio

BA

Im

46

Notemos, que, feita a representação carte-siana da função f, temos:

Domínio(D) é o conjunto das abscissas dos pontos

tais que as retas verticais conduzidas por essespontos interceptam o gráfico de f, isto é, oconjunto formado por todas as abscissas dospontos do gráfico de f.


47

Imagem(Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos

tais que as retas horizontais conduzidas por essespontos interceptam o gráfico de f, isto é, oconjunto formado por todas as ordenadas dospontos do gráfico de f.


48


Exemplos

{ }{ }

= ∈ − ≤ ≤

= ∈ ≤ ≤

ℝ

ℝ

/ 2 1

Im / 0 4

D x x

y y

{ }{ }

= ∈ − ≤ ≤

= ∈ − ≤ ≤

ℝ

ℝ

/ 2 3

Im / 1 4

D x x

y y

4

y

-1-2

3

xx10-2

4

y

49


Exemplos

{ }= ∈ ≠

= ∈ − < << <

ℝ

ℝ

/ 0

Im { / 2 0

ou 1 2}

D x x

y y

y

{ }{ }

/ 2 2

Im 1; 2

D x x= ∈ − < <

=

ℝ

2

1

y

x

-2

-2 -1 1 2 x

y

2

1

50

Domínio das funções numéricasAs funções que apresentam maior interesse

na Matemática são as funções numéricas, isto é,aquelas em que o domínio A e o contradomínio Bsão subconjuntos de . As funções numéricas sãotambém chamadas funções reais de variável real.

Observemos que uma função f ficacompletamente definida quando são dados o seudomínio D, o seu contradomínio e a lei decorrespondência y = f(x).


ℝ

51

Quando nos referimos à função f e damosapenas a sentença aberta y = f(x) que a define,subentendemos que D é o conjunto dos númerosreais x cujas imagens pela aplicação f são númerosreais, isto é, D é formado por todos os númerosreais x para os quais é possível calcular f(x).


( )x D f x∈ ⇔ ∈ℝ

52

ExemplosTomemos algumas funções e determinemos o

seu domínio.

1º)

notando que para todo , temos:

2º)



2y x=

2x ∈ℝ x ∈ℝD = ℝ

2y x=2x ∈ℝ x ∈ℝ

D = ℝ

3º)

notemos que se, e somente se, x é real e

diferente de zero; temos, então

4º)

notando que se, e somente se, x é real enão negativo; então:


1y

x=

1x

∈ℝ

*D = ℝ

y x=

x ∈ℝ

D += ℝ

5º)



3y x=3 x

D = ℝx ∈ℝ

Exercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem dasfunções abaixo:


0

1

2

-1

0

1

2

f



-1

0

2

0

1

2

1

g



-1

0

2

-2

-1

0

1

h

1



-2

0

2

-2

-1

0

2

k

11

Exercício 10: Nos gráficos cartesianos dasfunções a seguir representadas, determinar oconjunto imagem.



y

x

Exercício 11: Considerando que os gráficos aseguir representados são gráficos de funções,estabelecer o domínio e a imagem.



y

x

Exercício 12: Dar o domínio das seguintes funçõesreais:


3

2 3

3

2a) ( ) 3 2 f) ( )

21

b) ( ) g) ( ) 2 121 1

c) ( ) h) ( )4 2 3

2d) ( ) 1 i) ( )

31

e) ( )1

xf x x r x

x

g x s x xxx

h x t xx x

xp x x u x

x

q xx

+= + =−

= = −+−= =− +

+= − =−

=+

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