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Geometria Métrica Espacial

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Geometria Métrica Espacial

1.Prismas

2.Pirâmides

3.Cilindros

4.Cones

5.Esfera

3

Considere um polígono qualquer contido numplano α e seja r uma reta qualquer, secante a α emum ponto X. Em r, considere também um ponto Ydistinto de X.

1. Prismas

4

Chama-se prisma a reunião de todos ossegmentos paralelos e congruentes a que têmuma extremidade num ponto qualquer do polígono eque estão situados num mesmo semi-espaçodeterminado por α.

1. Prismas

XY

5

Vértices: São os pontos A, B, C, …, A’, B’, …

Bases: São os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’. Asbases são congruentes e estão contidas em planosparalelos.

Altura: É a distância dos planos que contêm asbases do prisma.

1.1. Elementos do prisma

'

' '

'''

6

Arestas das bases: São os lados das bases. Ouseja, , , … , , …

Arestas laterais: São os segmentos que unem osvértices correspondentes das bases. Isto é, ,

, .


AB BC ' 'AB ' 'BC

'AA'BB 'CC

'

' '

'''

7

Faces laterais: São os paralelogramos ABB’A’,BCC’B’, CDD’C’, … Genericamente, tanto as faceslaterais como as bases são denominadas faces doprisma.

Diagonal: É qualquer segmento que une doisvértices não pertencentes a uma mesma face.


'

' '

'''

8

Conforme as bases de um prisma sejamtriângulos, quadriláteros, pentágonos … o prisma édenominado triangular, quadrangular, pentagonal, …,respectivamente.

1.2. Nomenclatura

prisma

triangular

prisma

pentagonal

9

Dentre os prismas quadrangulares convémdestacar os paralelepípedos. São aqueles cujasbases são paralelogramos.

1.2. Nomenclatura

paralelepípedo

10

Um prisma é denominado reto se suasarestas laterais são perpendiculares aos planos dasbases. Caso contrário, o prisma é denominadooblíquo.

Note que as faces laterais de um prismareto são retângulos.

1.3. Classificação

prisma

reto

prisma

oblíquo

11

Dentre os prismas retos convém destacar oparalelepípedo reto retângulo, no qual todas asfaces, incluindo as bases, são retângulos.

1.3. Classificação

Paralelepípedo reto retângulo

12

Um prisma reto cuja base é um polígonoregular é denominado prisma regular.

1.4. Prisma regular

13

Um prisma reto cuja base é um polígonoregular é denominado prisma regular.

1.4. Prisma regular

14

Dentre os prismas regulares devemosdestacar o cubo ou hexaedro regular. No cubo, as6 faces são quadrados.

1.4. Prisma regular

15

Chama-se área lateral de um prisma a somadas áreas de todas as suas faces laterais. A árealateral será denominada por Sl.

A área total de um prisma é a soma de suaárea lateral com as áreas de suas bases. A área deuma base e a área total de um prisma serãodenotadas por SB e St, respectivamente.

Assim sendo:

1.5. Área lateral e área total

2t l BS S S= + ⋅

16

Exercício 1: Calcular o comprimento de umadiagonal de um paralelepípedo reto retângulo,sabendo que as arestas de base medem 4 cm e 3cm e que sua altura é igual a 2 cm.


17

Exercício 2: Calcular a área total de um prismatriangular regular, cuja aresta da base mede 4 m ecuja altura é igual a 6 m.


18

Exercício 3: De um cubo de aresta a, calcule: a) aárea total e b) a diagonal.


19

Exercício 4: A área total de um cubo é igual a 54cm2. Qual é a medida de sua diagonal?


20

Exercício 5: As dimensões de um paralelepípedoreto retângulo são a, b e c. Calcule a área total e adiagonal, ambos em função de a, b e c.


21

Exercício 6: Num prisma triangular reto asarestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e umaaresta lateral mede 10 cm. Calcule a área totaldesse prisma.


22

Exercício 7: A figura abaixo mostra um prismahexagonal regular. Calcule: a) a área lateral; b) aárea de uma base; c) a área total e d) a diagonal D.


23

O volume de um paralelepípedo retoretângulo é o produto de suas três dimensões.

1.6. Volume do prisma

V a b c= ⋅ ⋅

24

Se a e b são as dimensões da base doparalelepípedo e c é sua altura, observe que oproduto a . b é a área da base desse sólido. Assim,


BV S H= ⋅O volume de um paralelepípedo reto

retângulo é igual ao produto da área da base pelaaltura.

25

Chama-se secção transversal de um prisma aintersecção, não-vazia, desse prisma com qualquer plano,paralelo às suas bases.

1.7. Secção transversal

26

Note que, num prisma qualquer, todas as secçõestransversais são congruentes às bases.


27

O conceito de secção transversal se estende aoutros tipos de sólidos.


28

Considere dois sólidos e um plano α. Suponha quetodo plano paralelo a α, que intercepte um dos sólidos,intercepte também o outro e determine secçõestransversais de áreas iguais. Nessas condições os doissólidos têm volumes iguais.

1.8. Princípio de Cavalieri

29

Vamos considerar um prisma qualquer e umparalelepípedo reto retângulo, ambos com altura H,cujas bases têm a mesma área SB.

Como já vimos, o volume do paralelepípedo édado por:


BV S H= ⋅

30

O volume de um prisma qualquer é igual aoproduto da área da base pela sua altura.


BV S H= ⋅

31

Por outro lado, as secções transversaisdesses dois sólidos também têm áreas iguais, poisessas secções são congruentes às respectivasbases dos sólidos. Então, pelo princípio deCavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais. Logo,o volume do prisma é dado por:


BV S H= ⋅

32

Exercício 8: Uma certa peça tem a forma de umparalelepípedo reto retângulo e é transpassada porum furo triangular, conforme mostra a figuraabaixo. Qual é o volume dessa peça?


33

Exercício 9: Qual é o volume de um cubo dearesta a?


34

Exercício 10: Calcule a área total e a diagonal deum cubo cujo volume é igual a 125 cm3.


35

Exercício 11: Um aquário tem a forma de umparalelepípedo reto retângulo e contém água atéuma certa altura. As medidas internas da base doaquário são 40 cm por 25 cm. Uma pedra écolocada dentro do aquário, ficando totalmentesubmersa e fazendo com que o nível da água suba0,8 cm. Calcule o volume dessa pedra.


36

Exercício 12: Calcule o volume de um prismahexagonal regular sabendo que o perímetro de suabase é igual a 24 cm e que sua altura é igual a 8 cm.


37

Exercício 13: A base de um prisma reto é umlosango cujo lado mede 13 cm e cuja diagonal mede24 cm. Se a área lateral desse prisma é igual a 104cm2, determine o seu volume.


38

Considere um polígono qualquer contido numplano α e um ponto P, também qualquer, fora desseplano. Chama-se pirâmide a reunião de todos ossegmentos que têm uma extremidade em P e aoutra num ponto qualquer do polígono.

2. Pirâmides

39

Vértice da pirâmide: É o ponto P.

Base: É o polígono ABCDEF.

Altura: É a distância de P ao plano da base.

Arestas da base: São os lados do polígono debase.

2.1. Elementos da pirâmide

40

Arestas laterais: São os segmentos que unem P acada vértice da base. Ou seja, , , , …

Faces laterais: São os triângulos PAB, PBC, PCD, …

2.1. Elementos da pirâmide

PA PB PC

41

Uma pirâmide é denominada triangular,quadrangular, pentagonal, etc …, conforme suabase seja, respectivamente, um triângulo, umquadrilátero, um pentágono, etc …

As pirâmides triangulares são tambémdenominadas tetraedros (4 faces).

2.2. Nomenclatura

42

Área lateral de uma pirâmide é a soma dasáreas de todas as suas faces laterais. Área total éa soma da área lateral com a área da base.


t l BS S S= +

43

Uma pirâmide é regular se, e somente se,sua base é um polígono regular e a projeçãoortogonal do vértice sobre o plano da base é ocentro da base.

2.4. Pirâmide regular

44

É de imediata verificação que as arestaslaterais de uma pirâmide regular são congruentesentre si. Consequentemente, todas as suas faceslaterais são triângulos isósceles congruentes.

2.4. Pirâmide regular

45

Chama-se apótema de uma pirâmide regularo segmento que une o vértice da pirâmide ao pontomédio de qualquer um dos lados do polígono dabase.

2.5. Apótema

46

Note que, por ser a mediana relativa à basede um triângulo isósceles, o apótema é também aaltura relativa à base desse triângulo.

2.5. Apótema

47

Além do apótema da pirâmide há também oapótema da base. Esse último é o segmento que uneo centro de um polígono regular ao ponto médio dequalquer um de seus lados.

2.5. Apótema

48

2.5. Apótema

2 2 2p ba a h= +

Apótema da base

Apótema da pirâmideAltura

ba r=raio do círculo inscritor =

49

2.5. Apótema

2 2 2la h R= +

AlturaAresta lateral

Raio do círculo

circunscrito

50

2.5. Apótema

22 2

2l p

la a = +

Apótema da pirâmide

Aresta lateral

l/2

51

Dentre as pirâmide regulares convémdestacar o tetraedo regular. Nele, as 6 arestassão congruentes e, consequentemente, todas asfaces, incluindo a base, são triângulos equiláteroscongruentes.

2.5. Apótema

52

2.5. Apótema

Exercício 14: Calcule a área total de umtetraedro regular de aresta a.

53

2.5. Apótema

Exercício 15: Numa pirâmide quadrangular regulartodas as arestas (da base e laterais) sãocongruentes entre si e medem 2 m cada uma.Calcule: (a) a altura; (b) o apótema da base; (c) oapótema; (d) a área lateral e (e) a área total.

54

2.5. Apótema

Exercício 16: A figura seguinte mostra umtetraedro triretângulo em O. Isto é,são perpendiculares dois a dois. Calcule a áreatotal dessa pirâmide sabendo que OA = OB = OC =a.

, e OA OB OC

55

2.5. Apótema

Exercício 17: A figura seguinte mostra umapirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta2a. O vértice da pirâmide é o centro da faceABCD. Calcule: (a) a aresta lateral e (b) a árealateral.

56

Secção transversal de uma pirâmide é aintersecção dessa pirâmide com qualquer planoparalelo à sua base.


57

Toda secção transversal de uma pirâmide triangularé um triângulo semelhante ao triângulo da base. Além disso,se a altura da pirâmide é H e a distância de seu vértice aoplano da secção transversal é igual a h, então a razão desemelhança desses triângulos é:


hk

H=

58


Assim, com relação à figura, tem-se:

' ' 'ABC ABC∆ ∆∼' ' ' ' ' 'AB BC AC h

AB BC AC H= = =

59


Como o plano que gera a secção transversalé paralelo ao plano da base, é de imediataverificação que os lados do triângulo A’B’C’ sãoparalelos aos correspondentes lados do triânguloABC. Logo,

60


' ' ' '

' ' ' '

//

(1)

AB AB PAB PAB

AB PA PBAB PA PB

⇒ ∆ ∆

∴ = =

∼

' ' ' '

' ' '

//

(2)

BC BC PBC PBC

BC PBBC PB

⇒ ∆ ∆

∴ =

∼

' ' ' '

' ' '

//

(3)

AC AC PAC PAC

AC PAAC PA

⇒ ∆ ∆

∴ =

∼

61


De (1), (2) e (3), conclui-se que:

' ' ' ' ' 'AB BC ACAB BC AC

= =

62


Logo, pelo critério L.L.L. de semelhança detriângulos, temos:

' ' 'ABC ABC∆ ∆∼

63


Para demonstrar que a razão de semelhançaé igual a h/H, por P traçamos a reta perpendicularaos planos dos triângulos A’B’C’ e ABC, a qualintercepta essses planos nos pontos D’ e D.

64


Então é imediato que ∆PA’D’ R ∆PAD. Logo,

' ' ' ' 'PA A B AB hPA AB AB H

= ⇒ =

65


Porém, de (1) sabemos que

' ' 'PA PD PA hPA PD PA H

= ⇒ =

66


Esse teorema pode ser facilmente estendidopara pirâmides de bases quaisquer. Daqui emdiante vamos admitir que ele é válido para qualquertipo de pirâmide. Assim, supondo que A’B’C’D’E’ sejauma secção transversal da pirâmide acima, temos:

67


' ' ' ' ' 'PA PB AB BC hPA PB AB BC H

= = = = = =… …

68


Além disso, como a razão entre as áreas depolígonos semelhantes é igual ao quadrado da razãode semelhança, se Sb e SB representam a área dasecção transversal e a área da base, temos:

2

2b

B

S hS H

=

69

2.5. Apótema

Exercício 18: A área da base de uma pirâmide éigual a 100 cm2 e sua altura é H. Calcule H, sabendoque uma secção transversal dessa pirâmide, feita a9 cm do vértice, tem área igual a 36 cm2.

70

2.5. Apótema

Exercício 19: A uma distância x do vértice de umapirâmide, um plano paralelo à base determina umasecção transversal cuja área é igual a 1/9 da áreada base. Calcule x em função da altura H dessapirâmide.

71

2.5. Apótema

Exercício 20: Na figura, a área da secçãotransversal é igual a 75 cm2. Qual é a área da baseda pirâmide?

72

2.7. Volume da pirâmide

Suponha que as duas pirâmides da figuraacima tenham a mesma altura H e que suas basestenham a mesma área SB. Sejam Sb e S’

b as áreasdas secções transversais determinadas por umplano situado a uma distância h dos vértices daspirâmides.

'

73


Então, da pirâmide 1, temos:2

2 (1)b

B

S hS H

=

e da pirâmide 2, temos:' 2

2 (2)b

B

S hS H

=

'

74


De (1) e (2) conclui-se que

''b b

b bB B

S SS S

S S= ⇒ =

'

75


A última igualdade mostra que as secçõestransversais, determinadas por um mesmo plano paraleloàs bases, têm áreas iguais. Logo, pelo princípio deCavalieri, as duas pirâmides têm volumes iguais.

A partir dessa propriedade é possível estabelecera fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide.

'

76


O volume de uma pirâmide triangularqualquer é igual a um terço do produto da área desua base pela sua altura.

13 BV S H= ⋅

77


Inicialmente vamos considerar um prismatriangular que tenha a mesma base e a mesmaaltura da pirâmide.

Agora, vamos decompor esse prisma em trêspirâmides (1, 2 e 3), conforme a figura seguinte, eprovar que essas três pirâmides têm volumesiguais.

78


79


As pirâmides 1 e 2 têm volumes iguais, poisas suas bases ABC e DEF têm áreas iguais (elas sãocongruentes) e ambas as pirâmides possuem amesma altura (a própria altura do prisma). Logo,

1 2 (1)V V=

80


Agora, observe as pirâmides 2 e 3.Considere como bases os triângulos FEC e BCE. Aárea de cada um desses triângulos é a metade daárea da face BCFE do prisma. Logo, essas basestêm áreas iguais.

81


Além disso, as pirâmides 2 e 3 têm a mesmaaltura (distância do vértice D ao plano da faceBCFE do prisma). Então,

2 3 (2)V V=

82


De (1) e (2), vem:

1 2 3V V V= =

83


Logo, o volume de cada uma dessaspirâmides é um terço do volume do prisma.Particularmente, como a pirâmide 1 tem a mesmabase e a mesma altura do prisma, conclui-se que

13 BV S H= ⋅ ⋅

84


Essa fórmula pode ser facilmentegeneralizada para pirâmides com quaisquer tiposde bases. Para tanto, suponha que, na figura acima,a pirâmide qualquer e a pirâmide triangular tenhama mesma altura H e que suas bases tenham amesma área SB.

85


Nessas condições, conforme jádemonstramos, as duas pirâmides têm volumesiguais.

1 2V V=

86


Porém, já sabemos que o volume da pirâmidetriangular é

1

13 BV S H= ⋅

87


Logo,

1 2 2

13 BV V V S H= ⇒ = ⋅

88

Exercício 21: Calcule o volume de um tetraedroregular de aresta a.

Ver slide 67.

Aula: Geometria Plana I


89

Exercício 22: Numa pirâmide quadrangularregular, a área lateral é igual a 260 cm2 e a arestada base mede 10 cm. Qual é o volume dessapirâmide?


90

Exercício 23: As arestas da base de uma pirâmidetriangular medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule aaltura dessa pirâmide sabendo que ela éequivalente (isto é, tem o mesmo volume) a umcubo de aresta a = 6 cm.


91

Exercício 24: A figura mostra uma pirâmide que,seccionada por um plano paralelo à base, ficadecomposta em duas partes; uma pirâmide menor eum sólido denominado tronco de pirâmide. Se aárea da base da pirâmide primitiva é igual a 54cm2, calcule o volume: (a) da nova pirâmide e (b) dotronco de pirâmide.


92

3. Cilindros

Considere dois círculos de mesmo raio rcontidos em planos paralelos e seja e a reta quepassa pelo seus centros.

93

3. Cilindros

Chama-se cilindro circular, ou simplesmentecilindro, a reunião de todos os segmentos paralelosà reta e, cujas extremidades pertencem cada umaa um dos círculos considerados.

94

3.1. Elementos do cilindro

Bases: São os dois círculos considerados nadefinição.

Eixo: É a reta e, que passa pelos centros dasbases.

95

3.1. Elementos do cilindro

Geratriz: É qualquer segmento paralelo ao eixo,cujas extremidades pertencem às circunferênciasdas bases. Em todo cilindro, as geratrizes sãocongruentes entre si.

Altura: É a distância dos planos que contêm asbases.

96

3.2. Secções do cilindro

A intersecção, não-vazia, de um cilindro comqualquer plano que seja paralelo às bases é umasecção transversal do cilindro. A intersecção deum cilindro com qualquer plano que contém seu eixoé chamada secção meridiana do cilindro.

97

3.2. Secções do cilindro

Verifica-se que qualquer secção transversalde um cilindro é um círculo congruente às bases,enquanto toda secção meridiana é umparalelogramo.

98

3.3. Classificação dos cilindros

Um cilindro é denominado reto se o seu eixoé perpendicular aos planos das bases. Um cilindronão-reto é denominado oblíquo.

99


Dentre os cilindros retos devemos destacaro cilindro equilátero, no qual as geratrizes sãocongruentes aos diâmetros das bases.

100


Todo cilindro reto pode ser definido comosendo o sólido gerado pela rotação completa de umretângulo em torno de um de seus lados. Por isso, ocilindro reto também é chamado cilindro derevolução.

101


Imagine que a superfície lateral de umcilindro circular reto seja feita de papel.Cortando-se essa superfície segundo uma geratriz,podemos planificá-la, obtendo um retângulo, cujabase tem o comprimento da circunferência da basedo cilindro e cuja altura é a própria altura docilindro.

102


A área desse retângulo é a própria área dasuperfície lateral do cilindro reto. Logo,

2lS r Hπ= ⋅

103


Para obter a área total do cilindro reto,basta somar as áreas das duas bases com a árealateral.

( )2

2

2 2

2

t l B

t

t

S S S

S r H r

S r H r

π ππ

= + ⋅

= ⋅ + ⋅

= +

104

3.5. Volume do cilindro

Tal como o volume do prisma, o volume docilindro é dado pelo produto da área de sua basepela sua altura.

Cilindro PrismaV V=

105


Com o auxílio do princípio de Cavalieri,podemos facilmente constatar que um cilindro e umprisma, cujas alturas são iguais e cujas bases têm amesma área, têm volumes iguais.

106


2

BV S H

V r Hπ= ⋅

= ⋅

107

Exercício 25: Calcule o volume do sólido geradopela rotação completa do retângulo abaixo emtorno do eixo e.


108

Exercício 26: Um cano de drenagem é um tubocilíndrico com 2,0 m de comprimento. Os diâmetrosexterno e interno são respectivamente iguais a 52cm e 46 cm. Calcule o volume de argila, em litros,necessário para fabricar um tubo. Utilize π = 3,14.


109

Exercício 27: A embalagem de um certo produtoera uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cmde diâmetro de base. O fabricante substituiu essaembalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmomaterial e com o mesmo volume da antiga. Se odiâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm,calcule: (a) a sua altura e (b) o percentual deeconomia de material na fabricação da novaembalagem.


110

4. Cones

Considere um círculo contido num plano e umponto P fora desse plano. Chama-se cone circular,ou simplesmente cone, a reunião de todos ossegmentos que têm uma extremidade em P e aoutra num ponto qualquer do círculo.

111

4.1. Elementos do cone

Vértice: É o ponto P da figura.

Base: É o círculo considerado na definição.

Eixo: É a reta que passa pelo vértice e pelo centroda base.

112

4.1. Elementos do cone

Geratriz: É qualquer segmento com umaextremidade no vértice e outra num ponto qualquerda circunferência da base.

Altura: É a distância do vértice ao plano quecontém a base.

113

4.2. Secção transversal, sec-ção meridiana e classificação

Os conceitos de secção transversal e secçãomeridiana e a classificação dos cones sãoestabelecidos de modo análogo aos sólidos jáestudados.

114


Geratriz

Altura

Raio

2 2 2g h r= +

115


Verifica-se que qualquer secção transversalde um cone circular é um círculo. Para essa secção,vale a propriedade análoga à que demonstramospara as pirâmides.

2

2b

B

S hS H

=

116

4.3. Observações

• No cone reto todas as geratrizes sãocongruentes entre si.

• Cone equilátero é todo cone reto em que asgeratrizes são congruentes ao diâmetro da base.

2g r=

117

4.3. Observações

• Todo cone reto pode ser definido como sendo osólido gerado pela rotação de um triânguloretângulo em torno de um dos catetos. Assim, ocone reto é também chamado cone de revolução.

118


Se l é o comprimento do arco AB da figura,então a medida θ, em radianos, do ângulo centralAOB é:

lRcomprimento do arco

raio

θ

θ

=

=

119


A área do setor circular AOB, para θ emradianos, é dada por:

22

2 2set set

RS R S

θ π θπ

= ⋅ ⇒ = ⋅

120


Agora, considere um cone circular reto degeratriz g e cujo raio da base é r. Planificando-se asuperfície lateral desse cone, obtém-se um setorcircular de raio g e cujo arco correspondente temcomprimento igual a 2πr (comprimento dacircunferência da base do cone). A área dessesetor é a área lateral do cone.

121


Para θ em radianos, temos:

2

2

22

2

2

set

set

rg r g

Sgg

S

πθπ

θ

= ⇒ = ⋅

= ⋅

122


Efetuando as simplificações, obtemos:

lS rgπ=

Assim, a área da superfície lateral do conereto é dada por:

setS rgπ=

123


2

( )

t l B

t

t

S S S

S rg r

S r g r

π ππ

= +

= += +

Para calcular a área total do cone reto,basta somar a sua área lateral com a área da base.

124

4.5. Volume do cone

Empregando-se o princípio de Cavalieri,verifica-se que um cone e uma pirâmide, cujasalturas são iguais e cujas bases têm áreas iguais,têm volumes iguais.

cone pirâmideV V=

125

4.5. Volume do cone

Desse modo, podemos concluir que o volumede um cone qualquer é igual a um terço do produtoda área de sua base pela sua altura.

126

4.5. Volume do cone

( )21 13 3BV S H V r Hπ= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

213

V r Hπ=

127

Exercício 28: Com um cartão em forma de setorcircular, cujo ângulo central mede 216o e cujo raiomede 15 cm, constrói-se um cone circular. Qual é ovolume desse cone?

4.5. Volume do cone

128

Exercício 29: Calcular o volume do sólido geradopela rotação completa do tiângulo isósceles ABC,em torno do lado AB.

4.5. Volume do cone

129

Exercício 30: Num cone reto, de altura H = 8 cm,a área de uma secção meridiana é igual a 48 cm2.Calcule: (a) a área lateral; (b) a área total e (c) ovolume.

4.5. Volume do cone

130

Exercício 31: No exercício abaixo, calcule ovolume do sólido gerado pela rotação da figura emtorno do eixo indicado.

4.5. Volume do cone

131

5. Esfera

Dados um ponto O e uma distância R, chama-se esfera o conjunto de todos os pontos do espaçocujas distâncias ao ponto O são menores ou iguaisa R.

O ponto O é o centro da esfera e R é o seuraio.

132

5. Esfera

Além da esfera, definimos também asuperfície esférica como sendo o conjunto detodos os pontos do espaço situados a uma mesmadistância R de um ponto fixo O.

133

5. Esfera

Os conceitos de esfera e de superfícieesférica podem também ser formulados por meiode rotações de figuras.

A esfera é gerada pela rotação de umsemicírculo em torno de seu diâmetro.

134

5. Esfera

A superfície esférica é gerada pela rotaçãode um semicircunferência em torno de seudiâmetro.

135

5.1. Área de uma secçãoesférica

Um plano e uma esfera que têm um únicoponto comum são denominados tangentes. Nessecaso, o raio que tem uma extremidade no ponto detangência é perpendicular ao plano.

136


Observe que, sendo S a área da secção,temos: 2S rπ=

Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras,obtemos:

2 2 2 2 2 2r d R r R d+ = ⇒ = −

137


Logo,

2 2 2( )S r S R dπ π= ⇒ = −

138


Esse resultado, que expressa a área dasecção em função do raio R da esfera e dadistância d, será de grande valia para determinar ovolume da esfera. Desde já, é importante vocêobservar que

2 2( )S R dπ= −

139


é também a área de uma coroa circular de raios R ed.

2 2( )coroaS R dπ= −

140

5.2. Volume da esfera

O volume da esfera será obtido com oauxílio do princípio de Cavalieri. Para tanto, vamosutilizar o seguinte sólido conhecido comoanticlepsidra.

141


Trata-se de um cilindro equilátero, do qualforam “eliminados” dois cones retos cujas basessão as próprias bases do cilindro e cujas alturassão iguais à metade da altura do cilindro. O centrodo cilindro é o vértice dos dois cones.

142


Nesse sólido, vamos considerar uma secçãotransversal determinada por um plano situado auma distância d do vértice dos cones.

143


Essa secção é uma coroa circular. Nela, éimediato que o raio da circunferência menor é igualà distância d. O raio da circunferência maior é opróprio raio R da base do cilindro. Assim, a área dasecção é: ( )2 2S R dπ= −

144


Então, o princípio deCavalieri nos permiteconcluir que o volume daanticlepsidra é igual aovolume de uma esfera deraio R.

145


Por outro lado, o volume da anticlepsidra éfácil de ser determinado. Para isso, basta subtrairos volumes dos dois cones do volume do cilindroequilátero.

146


2 2

3 3

3

12 2

32

23

43

V R R R R

V R R

V R

π π

π π

π

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅

= ⋅

147

Exercício 32: Calcular o volume da esferacircunscrita a um cubo de aresta a = 2 cm.


148

Exercício 33: Uma pequena bola de borracha, de3,5 cm de raio, é colocada dentro de um vasocônico. A abertura do vaso tem 7 cm de raio e suaprofundidade é de 24 cm. Calcular a distância dabola ao fundo do vaso.


149

Exercício 34: Calcule o volume de uma esferainscrita num cubo de 6 cm de aresta.


150

Exercício 35: Uma esfera, cujo volume é igual a256π/3 cm3, está inscrita num cilindro equilátero,conforme mostra a figura. Calcule, do cilindro: (a)a área lateral e (b) o volume.


151

Exercício 36: Calcule o volume da esfera inscritanum cone equilátero, cujo raio da base é .


3

152

Exercício 37: Calcule o volume do sólido geradopela rotação da figura em torno do eixo e.


153

5.3. Área da superfície esfé-rica

Considere um prisma cuja altura x sejabastante pequena.

Se S é a área da base desse prisma, entãoseu volume é: V S x= ⋅e, portanto, V

Sx

=

154


Essa igualdade é válida para qualquer x > 0.Agora, imagine que x diminua assumindo valorespositivos infinitamente pequenos. Conforme xtende a zero, o prisma tende a tornar-se umasuperfície, cuja área continua sendo dada por

Vx

155


Desde que x seja suficientemente pequeno,esse raciocínio pode também ser aplicado parafiguras não-planas. Assim, ele será utilizado paradeterminar a área da superfície esférica.

VS

x=

156


Para tanto, considere duas esferasconcêntricas: uma de raio R e outra de raio R + x.

A região do espaço compreendida entre asduas superfícies esféricas é chamada conchaesférica.

157


Se V é o volume da concha e S a área dasuperfície esférica de raio R, então V/x éaproximadamente igual a S.

VS

x≅

158


Quanto menor for o valor de x, mais aexpressão V/x se aproxima de S, isto é, se xtender a zero, V/x tende a S.

Vamos calcular o volume V da concha eanalisar o que ocorre com a expressão V/x quandox → 0.

159


O volume da concha é a diferença dosvolumes das esferas. Isto é,

( )

( )

3 3

3 3

4 43 343

V R x R

V R x R

π π

π

= + −

= + −

160


343

V Rπ= 2 2 3 33 3R x Rx x R+ + + −( )( )

( )

2 2 3

2 2

43 3

34

3 33

V R x Rx x

V x R Rx x

π

π

= + +

= ⋅ + +

161


Logo, ( )2 243 3

3V

R Rx xx

π= + +

Quando x tende a zero, os termos 3Rx e x2

também se aproximam de zero. Desse modo,

162


( )2

2

43

3

4

VR

xV

Rx

π

π

→

→

163


E já que V/x tende a S, conclui-se que

24S Rπ=

164

Exercício 38: Calcule a área da superfície de umaesfera cujo volume é 36π cm3.


165

Exercício 39: A figura mostra um cone reto, cujabase tem área igual a 144π cm2, inscrito numaesfera cuja superfície tem área igual a 900π cm2.Calcule o volume do cone.


166

Exercício 40: No exercício abaixo, calcule a áreatotal do sólido gerado pela rotação da figura emtorno do eixo e.


geometria métrica espacial - campus...

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