GEOMETRIA ESPACIAL - MÉTRICA

Estudo do Prisma

PRISMA

• ATENÇÃO!• As duas bases de um prisma são paralelas e

congruentes.• As arestas laterais são paralelas e congruentes.• A distância entre os dois planos das bases é a

altura• do prisma.• No prisma reto:• – A altura é igual à aresta lateral.• – As faces laterais são retangulares.• – A base do prisma é uma seção reta.• Conforme o número de lados da base, o prisma

recebe• as denominações: prisma triangular, prisma

quadrangular,• prisma pentagonal, etc.

CLASSIFICAÇÃO

• Prisma Reto• Um prisma é reto se as suas arestas laterais

forem perpendiculares aos planos das bases.

Prisma Regular

• Um prisma é regular quando é reto e tem como base polígonos regulares.

ÁREAS E VOLUMES DE UM PRISMA RETO

• Área lateral (S): É a soma de todas as faces laterais.• S = 2p . h , onde• h: altura• 2p: perímetro• Área total (St): É a soma de todas as áreas das faces

do prisma.• St = S + 2Sb

• Volume (V): É o produto entre as medidas da área da• base e da altura.• V = Sb . h

• EXERCICÍOS

• 01)

• 02) (FBDC) Uma empresa vende suco de laranja em• uma embalagem longa-vida que tem a forma de um prisma• quadrangular regular com capacidade de dois litros.• Se x representa o comprimento da aresta da base do• prisma, em centímetros, então a área total do prisma, em• cm2, em função de x é dada por

PARALELEPÍPEDO• É todo prisma cujas faces são paralelogramos.

• PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO OU ORTOEDRO• O paralelepípedo retângulo é o prisma reto que tem por• base um retângulo. Suas faces são todas retangulares,

congruentes• duas a duas.

• Na figura d é a diagonal da base e D é a diagonal do paralelepípedo

CUBO

• O cubo é o paralelepípedo retângulo em que as três dimensões são iguais.

Os elementos do cubo são calculados por intermédio das fórmulas do paralelepípedo, levando-se em conta que a = b = c.

EXERCÍCIOS• 01) (UEFS/2007) Um reservatório na forma de um

paralelepípedo reto retangular, que tem 10 m de comprimento, 15 m de largura e 3 m de altura, está completamente cheio de água.

• Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água• restante no reservatório atingirá a altura de

• a) 1,20 m• b) 1,60 m• c) 1,80 m• d) 2,10 m• e) 2,40 m

• 02) (UNEB) Um paralelepípedo retângulo tem 132

• m 2 de área total, e as medidas de suas arestas são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3 .Com base nessas informações, pode-se afirmar que o volume desse paralelepípedo mede, em m3,

• 01) 100• 02) 90• 03) 85• 04) 80• 05) 60

• 03) Aumentando-se em 3 cm a aresta de um cubo, a área de uma face aumenta em 45 cm2. A área total do cubo, em cm2, é

• a) 384 d) 92• b) 216 e) 36• c) 144

• 04)(UNEB/2007) Quatro quadrados iguais são recortados dos• cantos de um papelão retangular de 30 cm de comprimento• por 20 cm de largura. Dobrando-se as abas para• cima, tem-se uma caixa, sem tampa, cujo volume é uma• função de largura dos quadrados recortados.• O domínio dessa função é• 01) {x R; x > 15}∈• 02) {x R; x > 10}∈• 03) {x R; 10 < x < 15}∈• 04) {x R; 0 < x < 15}∈• 05) {x R; 0 < x < 10}∈

• 05) (FUVEST/1ª fase) O volume de um paralelepípedo é 240 cm3. As áreas de duas de suas faces são 30 cm2 e 48 cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é

• a) 96 d) 240• b) 118 e) 472• c) 236

• 06)(UEFS/2007) Um reservatório na forma de um paralelepípedo

• reto retangular, que tem 10 m de comprimento, 15 m de• largura e 3 m de altura, está completamente cheio de água.• Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água• restante no reservatório atingirá a altura de• a) 1,20 m• b) 1,60 m• c) 1,80 m• d) 2,10 m• e) 2,40 m

ESTUDO DO CILINDRO DE REVOLUÇÃO• Cilindro

• É um sólido gerado pela rotação completa de um retângulo

• em torno de um de seus lados. O cilindro de revolução é também chamado de cilindro circular reto.

• Elementos e observações• O retângulo A’A BB’ é a seção

meridiana (interseção do• cilindro com um plano que

contém o seu eixo).• Cilindro eqüilátero é aquele em

que o diâmetro é igual• a altura. A seção meridiana é um

quadrado.• Geratrizes (g): São os segmentos

com extremos nas circunferências

• das bases e paralelos a 00’.• Seção transversal é a interseção

do cilindro com um• plano paralelo às bases.

Áreas e volume

• Se o número de lados da base de um prisma regular aumenta,• o prisma tende a arredondar, assumindo a aparência• de um cilindro. Lembrando que o perímetro do círculo é o• comprimento da circunferência 2πR, podemos adaptar as• fórmulas do prisma para o cilindro.

• ÁREA LATERAL

• é equivalente a um retângulo de dimensões 2 πR e h.

ÁREA TOTAL

• É a soma da área lateral com as áreas das bases.

VOLUME

• É o produto da área da base pela altura.

EXERCÍCIOS

• 01) Dois estagiários de uma fábrica de embalagens• apresentaram propostas diferentes para a execução• de caixas, sem tampa, em forma de cilindros circulares• retos de mesmo volume. Em uma das propostas, a caixa• tem 20cm de altura e 10 cm de diâmetro da base. A outra• caixa tem 20cm de diâmetro da base. A soma das áreas• totais dessas caixas, em cm2, é igual a• 01) 200π 04) 425π• 02) 225π 05) 450π• 03) 300π

• 02) (RUY BARBOSA) O líquido contido em uma lata cilíndrica• deve ser distribuído em potes também cilíndricos, cuja altura é 1/4 da

altura da lata e cujo diâmetro da base é 1/3 do diâmetro da base da lata. Desse modo, pode-se afirmar:

• (01) O número de potes necessários é de 24.• (02) A quantidade de potes não pode ser medida.• (04) O número de potes é maior do que 4.• (08) O número de potes é exatamente 36.• (16) O número de potes é igual a 1, pois, apesar do tamanho, o volume de

um pote é equivalente ao volume da lata.

• 03) (RUY BARBOSA) Quatro cubos de gelo, cada um com volume igual a 18 cm 3, são colocados em um copo cilíndrico vazio, cujas dimensões internas são raio igual a 3 cm e altura h. Sabendo-se, que após derreter completamente o gelo, a altura do nível da água será igual a 1/3h, pode-se concluir que :

• 01) 5 < h < 6• 02) 6 < h < 7• 03) 7 < h < 8• 04) 8 < h < 9• 05) 9 < h < 10

• 04) (FRB/2007)

• Um atleta utiliza, em seu treinamento, um halteres em ferro• constituído por duas peças cilíndricas de raio 4 cm e altura• 5 cm, acopladas às extremidades de um bastão cilíndrico• de raio 2 cm e altura 60 cm, representado na figura.• Se a densidade do ferro é aproximadamente 8g/cm3, pode se• afirmar que o peso que o atleta está levantando é, em• kg, aproximadamente igual a• 01) 6,9 04) 12,4• 02) 8,6 05) 14,5• 03) 10,0

ESTUDO DA PIRÂMIDE

• Pirâmide• É um poliedro convexo tal que uma face é um polígono• convexo e as demais faces são triângulos, tendo um vértice• em comum.• Observação:• A nomenclatura de uma pirâmide é feita segundo o número• de lados dos polígonos das bases. Sendo assim:• Pirâmide triangular – a base é um triângulo.• Sendo assim: Sendo assim: Pirâmide triangular – a base é um triângulo.• Pirâmide quadrangular – a base é um quadrilátero.

Pirâmide regular

• A pirâmide regular é aquela que tem por base um polígono• regular e a projeção ortogonal do seu vértice é o centro da

base.

• Numa pirâmide regular, destacam-se as relações métricas• abaixo.

ÁREA LATERAL

ÁREA TOTAL

ST = Sl + Sb

• VOLUMEVOLUME• Mostraremos em sala que o volume da pirâmide é a

terça parte do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

TETRAEDRO• É uma pirâmide triangular.

TETRAEDRO REGULAR• É o tetraedro que possui as

seis arestas congruentes• entre si. Em um tetraedro

regular as quatro faces são triângulos eqüiláteros congruentes entre si.

EXERCICIOS

• 01. Um hexágono regular está inscrito numa circunferência• cujo raio mede 4 cm. Se esse hexágono é base de uma• pirâmide reta, cuja altura mede 2 cm, então a área lateral• dessa pirâmide, em cm2 é:

• a) 20 d) 48• b) 36 e) 60• c) 40

• 02. (UNEB) Na figura, tem-se um cubo de volume 27 u.v. O sólido S, obtido ao se retirar desse cubo o tetraedro

• ABCD, tem volume igual a• 01) 13,5 u.v.• 02) 21,7 u.v.• 03) 22,0 u.v.• 04) 22,5 u.v.• 05) 24,0 u.v.

• 03.UFBA(1ª fase)

• 04. (UFBA/98 1ª fase) No cubo representado a baixo, AB = 3u.c., AI =1/3AE, e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x.

TRONCO DE PIRÂMIDE

• Se uma pirâmide é cortada por um plano paralelo à base, surgirão dois novos sólidos.

PROPRIEDADES• Como a pirâmide grande e a

pirâmide pequena são semelhantes, são válidas as propriedades:

• As dimensões de comprimento são proporcionais.

As dimensões de área estão entre si na mesma razãoque os quadrados das dimensões de comprimento.

As dimensões de volume estão entre si na mesma razão que os cubos das dimensões de comprimento.

EXERCÍCIOS

• 01.Uma indústria de sucos usa embalagem em forma de pirâmide regular de base quadrada , com capacidade para 1,5 l ;sua altura mede 20 cm . Se esta embalagem fosse interceptada por um plano paralelo à base , a parte superior formaria outra embalagem , semelhante à primeira . Calcular a que distância de vértice o plano deveria ser passado para que a parte superior da pirâmide tivesse uma capacidade de 0,75 l

• 02.A base de uma piramide regular é um triangulo de 8 cm de lado . A altura da pirâmide é de 10 cm . Calcular o volume do tronco obtido quando seccionamos a pirâmide por um plano paralelo à base e distando 5cm de seu vértice .

ESTUDO DO CONE DE REVOLUÇÃO

• Cone• O cone de revolução é gerado pela rotação de um triângulo• retângulo em torno de um dos catetos. O cone de revolução é• o cone circular reto.

Onde: VO é o eixo do cone Δ AVB é a seção meridiana.Observações:Cone equilátero é aquele que apresenta diâmetro iguala geratriz.Geratrizes (g): São os segmentos de extremidades em“V” e na circunferência de centro “O” e raio “R”.No Triângulo AVO, tem-se:

Áreas e volume

• Para efeito de cálculo, o cone será considerado “pirâmide• de base circular.”• A aresta lateral e o apótema da pirâmide correspondem à• geratriz do cone.

Exercícios

• 01. (FBDC) “Um cone circular está inscrito em uma• pirâmide se, e somente se, seu vértice coincide com o• vértice da pirâmide e a circunferência de sua base é• tangente às arestas da base da pirâmide”• Um cone circular reto está inscrito em uma pirâmide regular• triangular de aresta da base 6 m. Uma razão entre• os volumes dos dois sólidos é

• 02. (FJA/2007) Dentro de um recipiente cilíndrico de altura 8• cm e com raio da base medindo 4 cm, foi colocado um• cone reto, maciço, de mesma altura que o cilindro e com• o raio da base medindo 3 cm. Após isso, deseja-se• preencher o volume restante do cilindro com água. Qual• o volume de água necessário?

Tronco de cone

• Se o cone é cortado por um plano paralelo à base, temos• uma situação semelhante ao corte feito em uma pirâmide.

PROPRIEDADES• O cone grande e o cone pequeno são dois sólidos

semelhantes.

EXERCÍCIO

ESTUDO DA ESFERA

EsferaÉ um sólido gerado pela rotação completa de um semicírculo em

torno do seu diâmetro.

A circunferência que se situa em um plano perpendicular ao eixo é chamado paralelo (AA’).O paralelo máximo é chamado Equador (EE’).As circunferências que passam nos pólos são chamadosmeridianos (P1 P2).

A circunferência que se situa em um plano perpendicular ao eixo é chamado paralelo (AA’).O paralelo máximo é chamado Equador (EE’).As circunferências que passam nos pólos são chamadosmeridianos (P1 P2).

Plano secante

• p é a distância polar (menor)• Tendo em vista os triângulos retângulos determinados.

ÁREAS

• A área de uma esfera é igual à área lateral do cilindro circunscrito.

ÁREA LATERAL

ATENÇÃO

• Quando o plano secante α passa pelo (centro) 0 da esfera,• a interseção é um círculo de raio R, chamado de círculo• máximo de esfera.

FUSO ESFÉRICO

VOLUME

• O volume da esfera é igual a dois terços do volume do cilindro circunscrito.

Partes da superfície e do volume daesfera

Fuso esférico• É a parte da superfície esférica compreendida entre dois

semi-círculos máximos com o mesmo diâmetro. Área do fuso esférico:

Cunha esférica

• É o sólido limitado por dois semi-círculos e pela superfície do fuso.

EXERCÍCIOS

• (FTC / 2005.1) Considere uma esfera de raio r e um cone• reto de raio da base r /2• Sabendo-se que a esfera e o cone têm volumes iguais,• pode-se afirmar que a razão entre a altura do cone e o• raio da esfera é igual a:• 01) 2 04) 12• 02) 6 05) 16• 03) 8

• 02. (HÉLIO ROCHA) A área total de um cubo inscrito numa esfera de raio igual a 5

• cm é igual a:• 01) 40cm2

• 02) 200 cm2

• 03) 300 cm2

• 04) 230 cm2

• 05) 125 cm2

• 03. (ÁREA1/2007) Gustavo é um curioso estudante de• Engenharia que costuma se divertir criando embalagens• para diversos produtos. Se ele deseja criar uma embalagem• na forma de um cilindro eqüilátero para armazenar um• perfume, cujo recipiente tenha forma esférica, de raio 3• cm, então o volume mínimo da embalagem, em cm3, de• modo a envolver completamente a esfera, é• a) π d) 27π• b) 3π e) 54π• c) 9π