geometria de posição e métrica - teoria

72
Matemática 3 Geometria de Posição e Métrica

Upload: everton-moraes

Post on 20-Feb-2017

50 views

Category:

Education


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

����������

������ ��������������� ���

Page 2: Geometria de Posição e Métrica - Teoria
Page 3: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� �

���� ����������������������

Page 4: Geometria de Posição e Métrica - Teoria
Page 5: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

������������

��������������

���������� ���������������������������� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ��

���� ���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� � ������������������ ����� ������� ������������������������������������������������������������������������ � ���� ������ ���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� �

���������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ���� ����������� ���� ����� ������� ���� ������� ���������������������������������������������� ���� � ������������������������������������� ������ ��������������������������������������� ������������������������������������������������ �������������������������������������������� ����!� ���� ����������� ���� ���� ����� �� �������� ������������������������������������������������� ����"��#����$������������������� ������������������������������������������������������������������������������ �!

!������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������� �!!��� ���� ������ ��� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������� �!!� �� ���� �� �������� ��� �� ��� ���������������������������������������������������������������������������� �"!��� ������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �"!�!� %����������������������� ���� ����� ��������������������������������������������������������� �"

"������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������� �&"��� ����� �� �������� ������������������������������������������������������������������������������������������� �&"� � ����� ������ ��� ������� ������������������������������������������������������������������������������ �&"������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������� �&"�!��������������������'��������� �������������������������������������������������������������������� �&"�"��������������������'�������� �������������������������������������������������������������������� �("�&� ������������������'� �������� ������������������������������������������������������������������� �(

&�� �������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)&��� ���� �� ���� �������� ���� ������������������������������������������������������������������������������ �)&� ��%����������������� ������������� ���� �� ��� ����������������������������������������������� �)&���� ����� �������� ���� ���������������������������������������������������������������������������������������� ��

���������� ������������*�����+ ������,��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �������� -����.� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����/������%���������0��� ����������������������������������������������������������������������������������������� �!�� %������ ��� 0����������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"�� ���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "&������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ &

&���� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &&� �� %������ ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� &&����1������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������� (

(������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ )

Page 6: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������������

���������� ����������������������0������� ������������������������������������������������������������������������������������������������� � ��2���� ������-����� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������� ���� -�3� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �4

����� ���������� �� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �4�� �� 5�� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �4����� 6���� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

!�� �����+����� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��!���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��!� �� �����+����� ����� ���7���� ����������������������������������������������������������������������������� ��

"������ +�������-����� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �"&��6�����������������#�8��� ����������������������������������������������������������������������������������� �"(��5�����6���������������������� ���������������������������������������������������������������������������� �&

(����������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� �&(� ��������8������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �((����������9�.��������� ������������������������������������������������������������������������������������� �)

���������� ������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !�

����� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !��� �� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� !������ 2���� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� !���!��-����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� !

��5���/������5���%�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ! ��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !�

����� %����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !��� �����7������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������� !���������7�����8�8��� ����������������������������������������������������������������������������������������������� !!

!��*;�����0��� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� !!!���� %�������� ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������ !!!� �� 1 ������ ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� !"!���� %�������� ����������� ��������������������������������������������������������������������������������������� !"

���������� ������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�

����� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "��� �� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� "������-����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� "

��5����/������%�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� " ����5��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� " � �� 5��� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�

��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "!

Page 7: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

������������

��������������

������������������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(

���� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ "(�� � 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(���� -����� ��� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� "(

��5���/������%�� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ") ��� <;�������������� �� �� ����������������������������������������������������������������������������������� ") � � 5��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ") ���� 5��� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� "�

��� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &4!��-���������-����08=�$����� ������������������������������������������������������������������������������������������ &

!����-��������8=�$���� ����������������������������������������������������������������������������������������������� & !� �� -���� �8=�$���� �������������������������������������������������������������������������������������������������� &

�������� � ��!������:��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!

����� ��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!����� *�����+ ��� ���,�� ����������������������������������������������������������������������������������������������� &!����� *� ���� �� ����� ������������������������������������������������������������������������������������������������ &!��!�� 0������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� &!

�� 6���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &"���5�����*�����+ ���0��,�� ������������������������������������������������������������������������������������������ &&!����������0���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� &&

!���� <���� ���,�� � ������������������������������������������������������������������������������������������������������ &&!� ��-��9����,�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� &(

��������"�#$�����#����%����������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� &� �� -����8=�� �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ &�

�&����������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �

Page 8: Geometria de Posição e Métrica - Teoria
Page 9: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

����������������������������

���������� ������������������������� �������������

���������� ���������������������������� ������� �� ������ ���� �� ����� ���

�������������������������������������������������������� ���������������� �������������������������������������������

�� ������� ������������ ������������������������ ������������������������������������

!������������"���������������������

#������� ��������� �������������$��������������� ������������������ �����������������������

������������������� ����������� � ������� �

�������������������������������� ��� � �������� "%������� �������� �� �������&���������� ��� ���� ��� � �������������� ����������'���������(%���� ���� ������� ��������������� ����������������������)�������*�������� ��� ���

!����� � �����������(�������������������

+�������������������� ���!�������� ��,����������� ��������

- !.������������ �����������

- &���� ���������������� ��������.���������������������

DE

AB

F

C

����������/�����������0���1�� �����������������

��� ������ ���������������������������- &�������������������� �������� �����

����������������

����������/�����������0���1�� ����������������

���������� ����������������������������,����������������������

- #���� ������������������������� ���2����� ����

A

B

�����������34, #�'������������������������� ��������

���������������������������������54, #�'������������� ���� �������� �����

������ ���� �� � 2����� ���� ��������������������

Page 10: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������������������������

������������������'(�����

������������

- 6 7�����������������������������������2����������

��,�����������������- 8��� ������������������������������

�������������������������������������

��� �

� ��∈∈≠

�����

⇒ = ⊂← →⎯

αα α

�9,������������������- 8������������� �����������������

����������������������������:/���������� ������������� ��������������(��������������

A BO

OA⎯ →⎯

��� OB⎯ →⎯

������ ��������������� �����/�- 8��� ���������������������������

������������������������������� �������� ���������������������������(��������������

r

- 8��������������������������� �������� ���������� ������������� ���� ����(�������������

� ,���������������������+����������������������7������������

�������������(%�����2����� �������������������� �����������

��,���������������������������� #������������������� ���� ��� �����!

"������� �������������� ������������������ �#$���� �����

%$����&�����

����������&��5;����������� ������(������� ������

���������������3;�������� ������������������� ������<3� 1����������� ����� �� ��� ��� ��� ����

���������� �������, #������������� ���������� �����, 6 7�������������������� ��������

������, 6 7��������������� �������� ���, +����������������� ���� �� �������

��������α���������� ���� ����%�����������α�

Page 11: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� ��

������������������'(�����

������������

'��������, =��������������������� ��������������, =��������������������� �������� ����, >�� ���� �� ����������� �� )���� ��� �

������ ��*�� � �.�������������������� ���������>������������ ������������� ? /�� � 7�� ������ ���� ������������� &����

������.����������������������������������7���������.��������

? /�� � 7�� ������ ���� ���������� � ��������� ���� 6������ ������ ����� �.���������������

? /��� 7����������������������� ����&����������.��������2����, =

+������r Pr

∩ =∉

αα� �

<5�������� ������ �������������������� ���� ������ ��� ���� ��� +���� � ���� ����������������������������������0�� ������������������������������������� ����������.������������� ���������� �������� ���������

'�������/����������� ������� ���� ������

������ �������� ����������������� )�!����*�����'����������������#���� �������������� �������������7�

���2�������������������

������@�A�B�������������� �����

����'���������������������#���� ���������� ����������������������

�� ��������� ������������� �����������������

a ba b

∩∃ ⊂ ⊂

⇔α α α��� ��

a��������������������

�����'������������������������

#���� ���������� ������������������������������ �������������������������������

������@����@������������ �������������������(��'������������#���� ����� ���� ��� ���� ������ ���� ���

��������� ���

∃ ⊂ ⊄ ⇔α α α� a � � � � � ��������

Page 12: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���������������������������

������������������'(�����

������������

���� +�,�������������������-�����1����� ��������� ����� ��� ���� �����+�"����������������������������� ����

�������������6 ������� ����� �����C�� �������������'�����������D��������� �� ��������D��������� ����� ���������� ������ ����C�

������������ ������������������� ��� ���������

D�������� ����� ����� ���������������D���������������������� ����

���� +�,���������'������������������#���� ���������� ������� ������������

�������������������� �� ���)�*��������E��������� � �⊥ ���

r s⊥���'��������*�����#���� ���������� ����������������� ��

������������� �� ���)�*���������E�������� � �⊥ ���

r s⊥

� ������<F��1������������������ ��� ��� G>,���

�������G=,������� �������������� ��, #���� ��������������7�������������

��������� ��������, #���� ����������7����������������

������������� �������, +�����������D��������� ������ ��

������H<������������ ������� ������ ��� ����'��������, =������������ � ��� �����, =������������ �� ����������������

������� ���� �� �������������� ��� ��������'� ��������������2�����

�, >

<9��#������ D�������������G>,����G=,��������� ������

�, G���,���� ��

������ ��

����� ��� ����

�, G���,���� ��

����� ��

������ ��

����������� ���

�, G���,���� ��

����� ��

����� ��

������ ��

����������� ���

, G���,���� ��

������ ��

������� �� �������

�, G ,���� ��

����� ��

������ ��

���������� ���������0�'��������, >�, >�, =, >�, >

Page 13: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� ��

������������������'(�����

������������

��������� ���������������� ���������������������.����������/����������1����� ������ 7�����������0���1�����

������� ���!.���������������������������������

����� �����0�������������������7���� ������� ��

&������������������������������������������������������1����������'��������

6 7�� ������ ����������� ����� ��������������

����������/��������� ��������������������0��

1����������� ��G�01,�

���� ����������������������������������!�������1����� ��������� ���� � �����������

��������� �������� �+�"�������0���������������������� ��/�

���������0���1��� ����� �� ���������� ������ ������������������� ���� ����%������������������G�����������E�������,�

��������'��������

8��� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ��������������

����������/� ����� ��� ������ ���� ���� � �� ���

����������������� ���G� ����,�

��������������������������������������������������1����� ��������� ����� ������� ������

������������ I ��������������� ���������.���� ���� ����� ����"��� ���� ������ ����G������ ��,��!�������������2������������������� �����

��������'��������

#���� ����� � ������� ����������� ��������������

����������/��������� ������� � �������������

� ���G ����,�

���� ����������������������������������������1����� ����� ���� ����� ����� ������

���������������� ����������������+�"�������������� ����������������0���

����������������������������/�����������0�������������������� �������

������������ �������������������� ����� �����������������������������������7��������������������� ����������������

!�������������2��������������������������������� �����������

#���� ����� ����� ������ ��� ���������������

Page 14: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���������������������������

������������������'(�����

������������

����������/��������� ������� � �������������

� ���G ���,�

����0������1�������������-����1����� ��������� �����������0��1���#

���������������.������� 7��������� ���!�� �����������������G�01,���� �����

����������������0���1���������#����������� ����� ��������������������

3;, #�������G�01,/�����������0��1���#������� ����������

��� ��%�� �� ���� �(������� +����������������

5;,�#������G�01,/�����������0��1���#������� ���������������

��%�� �������(�������+������������������

������������� ��������� �� ��� ��� ��%�� �� ����

��������� ���������� �������������������������������������� ��%�� �� ��� ����������� ����� ��� ����

� �����<J�� 1����������� ��� ��� ������� ����.�� ��

�� ��� ���G>,�����������G=,��, 8��� ����������������� ����� ���

�������������, #���� ������������� ���� ����� ���

�������������, 6 7�� ����� ���������� � ������� ����� �

������� ������������� 7��������, � 7�� ����� ����� ������ �������� � ���

��� �� ������ ��

K��������, =���������������� ����� �L� ����, =� ����� � ������� ������������ �� ����

��� ����������� �����������

�, >��

, =���

������ �������� ������������������ 2�����������������8��� �������%������������������������

������������������������������ �������������������G�����������E�������,

A BA r r r r

≠∈ ∈∈ ∈

�����

⇔ ⊂ ⇔ ∩ =����� ������

αα

α α

Page 15: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� ��

������������������'(�����

������������

���� 2�����������������������8��� ���������������������������������

����������������7�����"�������������������

∃ ∩ ⇔���MN O P Q RNSPTUTVWXVWPPUXYUZ

αα

����������/�����������(�����,�����-��� ������

�����

���� 2������������������8��� ������������������������������

����������7����������������

� � � O O∩ ∅ ⇔α α

����������.[��%�������� ���������������� ���� ���� ��

���������������α ��������������������������������� α ������������������������������������������ ����������������α ����������������$�������

+������ ������� �������������������������� ����������� ��� �������� �������� � �����������

���������������������������������������+������ �����������%������������������

��� ������������ ������������������������ ��������������

������������ � ��

⊄⊂�����

αα ����� � � �α�

������������1����� ������������� β ���� �����

� � �����

6������������������������α ���β �������������� ��� ���� ��� ������� ��� �.���� � ���������������������� �� ���α �������������������� ����� �L� �������1���� ��� ������ �7������������������������� ������������������ ���α ������� ������������������������ ��� ��������α �

� ������<\��1������������������ ��� ��� G>,���

�������G=,������� �����������.���, 8��� �������������������7��������

��������������������� �������, #���� ����� � ������� �� ��� ����� ���

� ���������� �����

Page 16: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������������������������

������������������'(�����

������������

�, +������ ������� ����������������α �������������� ���������������� �������α �

, +������ ����������� ������������������α ������������������� �������� ��� ��������� �������α �

'��������, =�������� ����������� ��������

�, =�

�, = ��

��

, >

������ �������� ������� ���������� ������������������#��������������������������������������

����7������2����� �������������

∃ ∩ ⇔���

�� � � ����

���������α β

α β

���� ���������������������������#�������������������������������������

�7�������������������������

α β α β α β≡ ⇔ ∩ = =

���� ������������������������#�������������������������������������

�������7����������������

α β α β∩ = ∅ ⇔ � �

���� ����������������������3��������+����������������� ����������������������

��� � ����������������� ������������ ��

���������α βα β

α

�����

� ��

/0102 � � �β�

������������>������������ �������$������������� ��

���������� ���β ���������� ��������� ��.�������

3, +������������ ⊄ β ���������� ⊂ β ���� ���� �� �����������α ���β ������������α ���β ������ ����� ����������������

5, �� ���� ������������ ���������β ����������������������������.���� ��������������� � �����������β ����� �������α ���β �������� ����� �����������������"%��������������� �����������α α� �� ⊂ �����β ������������� � ⊄ β ��� ������������ ����

����β ��� � �β �

Page 17: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� �!

������������������'(�����

������������

��������������������������3��������+����������������� ��������������������

��������� ������������������������ ������������� ��

���������α βα β

α

�����

� �� � ���

���������������������

��

������������>������������ �������$������������� ��

���������� ���β ���������� ��������� ��.�������

3, +������������ ⊄ β ���������� ⊂ β ����������� ��� �����������������������α ���β ����������������� ����� ����������������

5, �� ���� �������� ��������β ���������� ]]β ��� � ���∩ α ���α β� � �������� ����� ������������α ������������ � �����(�I������������������ ⊄ β ���� � �β ���I���������

���� ���β ���������� ������

��������������������������3��������+�� ��� ����� ������� ���� ����� ����� �

������ ���� ���� � ������� �� ��� ��� �� ����������������������������������� �������

���������� ���� � �

���� � �� � ��

⊂⊂∩

�����

α βα βs

s

/0102 α β� ��

������������>������������ �������$������������� ��

����������α ���β ���������� ��������� ��.�������

3, +�����������α β/≡ ���������α�≡ �β��� ����� ���� �������������β����� ������������� ��� ��������β�

5, /��������������������������������������������� �������� $����

∃ = ∩� �� � α β

1���� �]]�����]]������������ �]]�������]]������������� � ���������������!�������

������������α�≠�β��α���β�������������� � �������������α�]]�β�

� �����<^��1����������������� �������������� ��

�� ���G>,�����������G=,��,�#���������������������������������,�+��������������������� �����������

������� ��������������� ������������������������������ �������

�,�+���������������������������������.�������� �������������� ��� ��������� �������� ��

,�+����������������� ����������������� ���� � ������ �� ��� ����� �� � ������ ��� ���%������������� ��

Page 18: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������������������������"

������������������'(�����

������������

'��������,�=�?�������� �� ����������������

�,�=���

�,�>,�>

���������� ��� ������� 2������������������������8��� ���� ��������������������������α

����������������� ��������������������� �������� ����������� ������������������������� ������������

� � �� � � �

� ��

∩⊂ ∈

�����

⇒ ⊥αα

α�

����4����������������������������������������+������ ������� ������� ������� ����

����� ����������������� ���������� ��� �������� ���������

���������a ⊂ ⊂⊥ ⊥∩

�����

α α� �� �� � �� � � �

����� �⊥α�

������������1����� �������� ���� �����������6���6C

� ���������� �� ������������ �������� ����������6�@��6C��&��� ��������������������������������0��������� �

+�"��.����� ����������� ���α ���������

� ������_�������������� ������↔

����� �����.�

��� �������������������� �'��������������� � (�I������ ������ ���� � ������� ��� ������������������� ������ ����������������������������������G�,�

!���� ��6�@��6C���06�@�06C&���� �D��������06����06C�������

�� � ���

��������� � ���

��� �������

�����

⇒ ≅∆ ∆

��� �� ���������� �7������ �� ����������� � ������ ������� ���� � �D��������6_� ��6C_�������

�� � ����������

��� � ����

��� �������

����

���⇒ ≅∆ ∆

Page 19: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� ��

������������������'(�����

������������

��� �� ���������� �7������ �� ��������_6�@�_6C����������� ����.�������� �'����������� ����� � � ��� ����� �� 66C�� �� � � _���`�����������6���6C����������� ���� ���� �������� ���.�

1����.������� ����������� ���α ���������� ������.�⊥ � ���������⊥α �

����������.8��� ���� �� � ������� � �� ��� ����

������������ ���D������ ����G� �������� ����� �������,��������� ���������� ��������������

���� ���������������������#���� ������ ������������������� ��� ��

���������������� ����� ������� ������� ��

��

⊂⊥β���

⇔ ⊥α

α β

� �����<a��1����������������� �������������� ��

�� ���G>,�����������G=,��,�+������ ������� ������� ������� ��

���� � ������� �� ��� ������ ������ ���� �� � �������� ���������

�,�+������ ���������� ������� ����������������������������������� �������

�,�+������ ������������������� ������������������� ����� ������� �L� ��������� ��������������

,��� ��������������������.��������2����� ����� ������� ������������

'��������,�=�?��� ����������� ����������������

�,�>

�,�=���

����������� ��������α�,�>

�&��������2����-����

<3�������

A B

CD

EF

GH

/��� ���������� ������ �� ������ �D�������01���0����0=���1�����1=��b�������������� �D��������`��%�� �c

�������������������� �������������������������������������������������������������������

<5� G8������+�,�[������������� � �������������9�� ��������������������������� ���� ������ ��������� �� ���� �� ����� ������� � ��� ������ ��� ���� ��� � ����� ��� ������ ������ ����!.�������������� ������������������ ����� �������������������������������������F�� ����

������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������!������������������������������������������� �������������������������������

Page 20: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������������������������

������������������'(�����

������������

<F� ��� ����� ����� ��� �� � ��⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯

� ���� ��������� ����������������������0���1���� ����������������>� ��� ����������c�d�����������

���������"���������

#�$�� α��������������������������������������⎯ →⎯

����⎯ →⎯

��%��������������������← →⎯

����&������������ α.

��������������⎯ →⎯

�������&����������������������'

��������������⎯ →⎯

�����⎯ →⎯

���������������� ���������������������� ��������������������&����������������(����������(��� �������������� ����������

<9� G=������+�,�,�#������ ������ ��������,�+�"��� ����� ������ ������������������

����� ����������������� ���� ���������� ���������� ����������������G� ,���G��,����� ������� �������

����������)�%��������������������������������������

��������������������������������������������

�)�

�������������������������*�������������������������+�∈���+,�))��������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������'������������������������������������������������������������������������������������������

�����-���..�������..���

<J� G>�����+�,�,� #����� � ������ ���� ���� �� ��� ����

����� ��������,�+�"�������� ���������������������� α�

����� �������������e��� ������������� ��������������� ����������� ��������'�������������� ������L� ������

���������)�/��������������������������������������

����������������������

�)�

#�����β����������������'�������������������������α �����������

�����������������������������+� ∈ β�������∈ β)������������������������������������������������������������������������������������α�������������������������α.

�������������������������

<\� G=������+�,�+��������������������������������������� ���� ����$������������ ������������������������e��� ������.���������2����� ����� ���������������� ���������� �

��������

#����'���0������1��!��������������������������������������,������������������������$��������������������*������������������������,�����������2�������1��!��������������������������,�������������

Page 21: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������������������������� ��

������������������'(�����

������������

<^� G�81�+�,�/���������������� ����������� ���� ���� ������� ������� �������� ������� ������������������ ����� ����

�,������7��������������,������ ������� ����,����� ��� ����,������ ����������,����������� ��������� � ����α ���β �������������������'�����&������������ ��������������������������������������������

��*����������'���2���������-�2

<a� G8!f��K,�#�����������α ����������������� �����������α,�����������

�,���������������� ����� ������� ���α.�,����������������� ������ ������� �����α��,���������������� ����� ��������α�,��������������������� ������� ���α��,������������������������ ���������α������� �

�)�

�)��

�)�

�)���3�4���������������������������&����������������α�

�)���3��� �����������������������5���'�����������������������������

��������-��<H��G=������+�,�+���������������������

���� ������������,� #��� ���� ��� ������� � �� ����� ��

������������������������� �������� ���� �������� ���α�

�,� #������� �� ����� � ������ � ��� ���� � �� ������� ���α�

������ ��)�,�����!�����������������������*�������������

������,�∉����������-

67)�8������������,����������9�..���:7)�8������������,�����������⊥α�;7)�������������������������9�����'�������������

������)�4�������'���������������α �!���������������

����������������5��������������������, ∈���

Page 22: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���������������������������

������������������'(�����

������������

3<� G=������+�,� +��� ���� ������ ��������������� ������0��1��#��!��+������������01#����� ��D��������2�⊥ �(����2�⊥ �%��������������� ���������� ������� ������ ����

�, !�����!0 , !�����1�, !1���1� �, �1���0!�, !0���0�����������

33��G81+���0�,�+�"�������������� ������� ���������&�������������������� ������

�, ���� ����� �������������%������������, ���� ����� ������� ��� ���� ���

����� ����, ���� ����� ���������� ���� ������

�� ���α�, �.������ ������ ��������� ���������� �

������� �����α��, �.������ ����� �������� ���α� ���� ���

����� ��������� ������� ��) ����<��!������������������������������������

����������������������α.�) ����<��������������������������α �����0�����+�����������α)

�) ����<�����!�����������������������������*�����+����������)�������

�) ����<��������������������������������α����������������������α.

�)�"���������<�������������*������

35��G8=+1� �+�,�1����� ���������������������,�������� ����������+��� �,�� ���� ������ ����� ������� ������������ ����������� ���������������������(����� �"������� ���������������,���� �����&���������������� ��+������������ �"������ ���������+���� ��������������������"�������� ��"������� ����������������������

1��� �������������������������� ���.������������'� ����

�, �� �"������ ����������������������� ������� ������ ����������� ����

�, �� �"������ �������������� �������� �� ������������ ����

�, �� �"������ ��������������� %������� ������ ���������������� ����

, �� �"������ �������������� �D�������� ������ �������� ��%�� ��

�, �� �"������������� ����� 7������� ������ ���������������� ����

���������2�����$�������������������������������������&

���������������������������������*������������������������������=���

Page 23: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� ��

������������������'(�����

������������

���������� ������������������ � ���� !�� �1����� ������� � ��∉� � ���$����������

��.���G ����������������,��������� 3�,�������������� ����������������� ���5�,��������������������������.�������

�������������������������F�,�������������$��������%�����%.������

������$����������������������$�������� ������������

����������������34�������!����������� ���/����$�������������3������������������������������������� �$�������� ���������.��

b������������ �$�������� ���������� ��������� ��������� �������2�����*����� ���*����(�����������(������������������������������������������ ����3��5���

b������������ �$�������� ���������(���������� �����������I������ �����'�������� ���� �� ������������ ����� �� ���-���� ��#*�����������������)�*����� ���������)���� ���*�

��������� ��� ���� ��������������� ���������

������������ ��������

��������� ��� ���� ��������� ��� ����������

G������� ��

����� �����"����#�1����� ���������2�� ����������� � �≥� �

����$�����������.���G ����������������,���������

3�, ������������ ����������������� ���5�, �� ����� �������� ��� ����� ��.�� ��

��������������������������F�, ������������$������������������

������������������$������&������������������������� ��������

���������������������������������� �������������������$������������������ ����������� �� ���� ������� ������ ������������ ��(������������������� ��

/�� ��$������ �����.��� ���� �� 3����� ����� ����������������$���������������������������� ��������� �����������$������������!������������ ��

�� ������� ��� ������ �� �� ��� �$���� ����� ��

���$������%��������&���1����� ������������ �$�������� ���

�����.����� �����������2������������ ���G������������������ �,������>���� ����������� ���������=��������������

>��?����g���=���@�3

�������������� ��������������������������2�� ���

������=��

Page 24: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� �����������

������������������'(�����

������������

#�������� �� � =�� @� 3�� &����� ����� �� ��� �$���

���� ������� ��'������2�������$��������������������� ������������

� �� �� �

� � � � � � ��

� � �

===

�����

⇒ − + = − + =

f�������� ����������%��� �������� �����>�6�

%��������������������� ���������"���%����� �

������� �$���������9�������G����������"9��� ����������9�� �����,��������� ��� ����������������� ��������� �$�������9g�3�������G�����������=C�g�3�@�=���������>���� ������������ �����,�

������� �(�I������� ������� �$������=C��������C�� ��������>C��� ����������

>C�?���C��g��=C�@�3

�� ���������� �� ����� ��� �$���� G���� ���� ��,�������������� ������G����,���������� ����������������� ������G����,���������������� ������"%��.����������������������������� �$���������������������� ��������"��� ���������������

=��@�=C�g�3���@��C�g��?���G��� ������������� ��,>��@�>C�g��?�G��g�3,�G���� ����������������

��g�3��� ��������������,�+����������� ������ ���� ��� ��� �. �����

>��?����g�=��������

>��?����g�=��@�h>C�g��?�G��g�3,i�?�h�C�g��?��i�gg�h=C�g�3i�@�@>C�g��?���?�3�?��C�?��g���g�=C�g�3

����� >��?����g�=��@�>C�?��C�g�=C

1����� �(�I�����>C?��C�g�=C�@�3�����������

>��?����g�=��@�3

���%���������&����� ���������� �������.������� �����

��� �$������������ ������

>�?���g�=�@�5

�������>������2�� ������ ��������������2��� ����� ��������=������2�� ���������������� ��

������������6������� �� ��� �$���� �� �������

���� �� �����.�� ��� ������� � ��� �$������� ���������.�����(���G����>��� ��������� ��������=������,������� ��� ��������������=�������� ������� ���� ���� ��� �$���� ��� ��G����>���� ����������� ��������=�������,�� ��������������� ������

>��?����g�=��@�3

1��� >��@�>�����@�����=��@�=�?�3�������

>�?���g�G=�?�3,�@�3

!���� >�?���g�=�@�5

������������ ���������!��� ������� �������������� ��

�����.����� ����.���������� �������������������.������������������������� ������

� ������3�,

����� �����������.�

� ��� ��� �

� � � � ����� ���==

=

�����

− + =

Page 25: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� ��

������������������'(�����

������������

5�,

����� �����������.�

� ��� ��� ��

� � � ���� � �� ������==

=

�����

− + =

�������� ��������������D������������������������

������� �������.���

+�@�G>�?�5,�j�9�

�������>������2�� ������ �������� �����D������ ����

������������1����� ������������ �������.�����

>��� ���������� ��������=�������+�"�����������������������2�� ������������

������3��5�������=�� ��������������+���������������������D������������

����������������� �+�@�G��?�5,�j�5� ��� ���������������������

� � � � �� � � � �� � � � �� � �� � ��� � �� � � � �� � � � � � � �� � �

� � � � � � � �� � � � � � � �

� � �

� � �

� � �

� �����

= ⋅ + ⋅ + += ⋅ + ⋅ + + ⋅

= + + + ⋅ + + +

� � � �

� � � �� ��� ���

����� � � � � � ��� ���� �� �� � � �� � � � ������� � � � � � � � � � �

� � �+ + + =

= ⋅ ⋅= ⋅

+ = ⇒ =� �

����� +�@�G>�?�5,�j�9�

�&��������2����-����<3��G�81�+�,�b������������ ����������35

�� ��������F<�� �����c�, k�.�� � ,�E����� ��, /���� � �,�6 ����� ��, #����� �

����������"�>�6:����>�;?"�@���>���@�:�⇒���>�:?�⇒����������<5�� G=������+�,� b������� ������ ���� ��

���� �� �����.�� ���� ����� �� ������ �� ����� �����c�#����(��������� ������������������������������

������ �"�@���>���@�:�⇒ A�@���>�B�@�:�⇒���>�C

<F��8������ �������.���������� �������� ������� ������������������� ������ ����1�����������2�� ����� �������������� ����������� ��

������ �D�E ����������������+�)-E���������������������������������F�G�;������

�����������������������������������A�G��F��������� ����������������'���������������������������

���������������������������*�H����2����-:��>�F�G�;�@�A�G�F:��>�;A���⇒�����>�6ID�E ��������*'�������+")- �����>�6?�����>�6I���������������2���������-"�3���@���>�:���⇒���"�>�3�6I�@�6?�>�:���������"�>�6?�����������>�6I���"�>�6?

Page 26: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ����������

������������������'(�����

������������

<9��8������ ����������� ���������������D������� ��� �� �����������D������������� ������b�������� ������������������������������� �c

������ �D�E ����������������+�)��� ��������������������C������������'�������'

C�G�F������ ��������������������:������������'������'�:�G�C�� ��������������������������������*�H��������-

:��>�C�G�F�@�:�G�C

:��>�;?���⇒�����>�6C

D�E ��������������+�)-� ���"�>�J�����>�6C����"�3���@���>�:�������-

J�3�6C�@���>�:���⇒�����>�6?

������������>�6C����������>�6?

<J��8������ �������.��������\���������H� �������b�����������������������D�����������������������c

������ �

� �� �� � � �

� � � � � �==− + =

�����

⇒ − + = ⇒ =

����#�>�+"�3�:)�K�F�������������#�>�+C�3�:)�K�F���>�6:

�����-�����#�>�6�?I?L

����� �����������������)�!������8�� ���� �� ���� ����� �� �(����

���� ���������������� 3�, ����� ��� ������ �7�� �� ������ �2�� �� �

� ������5�, ��������D����������� ������7��������

����2�� ����� ������

� ������/� (�.�� �� �� ���� �� �� ��� ���� �� �

�����������

������ ���� =�@�\��>�@�a����@�35>�?����g�=�@�5����������������7��9�� ���������������D����������� ������7��F�� ��������� D���������� ��������������� �

�������������

���� ����"������ ���� =�@�J��>�@�J����@�a>�?���g�=�@�56���������������9�� ������G����,��������

����F�� ���������������������� �����������9� ���������� ����������F�� ������

����4��������������!.���������������������������������������

���� ������������������������8����� ��� ��������� ���� ����� ��

�� ��������� �������� ����������������� 3�, >�?���g�=�@�5�GE,

Page 27: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� �!

������������������'(�����

������������

5�, �����������=�������������� �������� ��≥ ���� ����� ���� � ����� ���%� ��� ���� ������������

� � �� � ���

����⋅ = ⇒ =

F�,�����������D����������� ����������� ����� � �≥� � �� ���������� ������������������ ��������������

� � �� � ���

���⋅ = ⇒ = � �+�����������GEE,���GEEE,����GE,�������

���

� � ���

�+ =

#�������� �5� ��

� ��

��

��

��+ =

+������������ �≥ ��� �≥ ���� �������������� ������������������������� �������F����� ����

� � � � ��

��

� � � � ��

��

��

��

��

> ⇒ ≥ ⇒ ≤

> ⇒ ≥ ⇒ ≤

����

���⇒ + ≤

�����"� ��

� ��

��

��� ��

��

� ��

��

�+ ≤ ⇒ + ≤

���������� � �� %�����������GE>,�������������2�� ����������

1�����$������������������������� ��������������@�F������@�F�G��������������������������� ������������ �������� ����� �������� �� ������ �D�����,�

������3�, �� ����@�F�G��������������� �� �,�

!��GE>,������

��� ��

��

��

��� ��

��

+ = ⇒ =

������ ��

��

� �> ⇒ <

!��������@�F������@�9�������@�J�

5�, �� ����@�F�G��������������� �D�����,����GE>,������

��

� ��

��

��

��

� ��

��

���� ��

��

� �

+ = ⇒ =

> ⇒ <

!��������@�F������@�9������@�J�K����������� ��������������� ������

3;� �� ��� 5;�� ������$���� ���� ��� ���� ��� ��������������� ������������� ��� G����,�������������.���������� ������������������������������������������������� ������������

����5������������������+������ �� �� �� � �� ���� ��� ��� �����

���� ���������������������� ���%���������� ��� �������� EE�� EEE� �� E>� ������� ���������� ���� �� �

�������� ����@�F�����@�F�������

���E> ��� ��

��

��

� �+ = ⇒ =

���EE � � ��

� �= ⋅ ⇒ =

���EEE � � ��

� �= ⋅ ⇒ =

� �������������������������

Page 28: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ����������"

������������������'(�����

������������

'���� ��������(����#����������� ���� ��� ����� ��� ���

���� ���������������"���������������$����� ����� ������� �����������"���D������������ ������������� �������G���������� ���� �������,�

k%������������������ ��� ����� ���������� 6 ����������*����&��������������� �D������

��`��%�� ���6 5� ������*����&����������������� ���6 ���������*����&��������������� �D������

��`��%�� ���6 ������� ��*����&� ��� ������ ���

���%������ ����� ���6 ����������*����&��������������� �D������

��`��%�� ���

�&��������2����-����<3� /� (�.�� �� �� ���� �� ����.�� �� ��

���� ����������c

������ �E�������������������������������+����;��������)

��������������������+����F��������)�

<5� /� (�.�� �� �� ���� �� ����.�� �� ������ �� ����� c�d����������

������ �E������������������$���������������,��������������

����������0������������������������������������

Page 29: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� ��

������������������'(�����

������������

���������� ������������� � ������&����������������������� �������.�������������

������������$���������� ����������������������� � ������� �� ��� ������ ������ ���� ������ �����

&������ ������������� 3�,� ��� � �D��������01� ���C0C1C� G��$�����

���� ������� �������� ��� ������ � �������,���������������� �����

5�,����� ������ ������00C�C��100C1C����11C�CG�����������,��������3��������������� ������

F�,��������������$������������������������ �������0��01���1���C0C��0C1C���C1C������������������������� �����

9�,���� �������� ������ ���� �������� �7������.� ������������������������������������������� �����

J�,������D�������� �������������������������������� �����

����������1�������� ���������� ������"���� ��������

������������������������������������������������������ ���� ������&���������������������� �������� ��D���������������������������������� ������� ����������������������

���)�����������"�� � *����/�� ������ ������������������ �����

�����$���������������������

- ��� �������� ������� ������������������������ �D�������

- ��� ���������� ������ ������������������������ ��%�� ���

- ��� ��������������������������������������������������

- ��� �������(�.�����������������������������(�.��������b��������� ���������� ��������� ����

�� ���� ������� ������������������������ ��������(���������������������� % �������4+���

/�� ������ �������"����������������4*������*������������(�����������������*�������

� ������

Page 30: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������

������������������'(�����

������������

���"�+�����)�!����������������1��������� �������������������������

���� ��� ����� /� ����� �� ��� ������� ������ � ����� � ��"�� ���� �� �� ������ L�������� ������������

/������������ ������� ��������������������

- ��� ��������� �� ����� ������ ����� � ����������������������� ������������������������������

�������������@� �

- ������������������������� � �����

��@���g�G � ,��@�F��

����������@� �

����6�������� �$���������������� ��������������

��� ������������������������1(��������������������� �$������% ����������

��% ����������� ������������������������% ���������� �$����������������� ���������

����@���\�

Page 31: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� ��

������������������'(�����

������������

����7������� �����%���������������������I����

��������� ����� ������ �� ������ ���������� ���������% ��������������������� �����3���� ��G3��,������������3���� ���2������G3���,������������� �����3�����$���� �G3���,� �����������3�����$���� ���2����� G3���,������������� �����3���$��� ��G3��,�����������3���$��� ���2�����G3���,�

1����� �������� ������������� �����F����/��� ���������������)�����*�5^��������� �����3��������������������������5^�����

#�� ���� �� ��� ���� ����� ��� ������ �������������� ������������������>�����

>�@��

�������� ���������)�!������1(������� �� � �����$��� �� ����

��"�������������� ������ ������������� �������� ��� ������ �� ��� � �����$��� ���� ������ �����

� ������

���������������������������,���1(���������� �����$��� ���� ��D��

����� �� � �����$��� ���� ��"�������� ������)�*������ ����� �� ���� ����� ��� ����� �������������� ��D��������!�������������(�������������������������������������4�������)�*����

#�'�������������� �����$��������� ������������������������������������ ����������� ��� ������ ��� 35� � ������ ���� ������� �������������������� ���������������������� 7��������

#�$��%��������������������������&�%���

&��� �����$��������� ����������������������������"����������������������������01#������ �����$���� ��������������

Page 32: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���������

������������������'(�����

������������

&��� �D�������01������� �1��@��0��g�01����������

� � ��

� � �= +

&��� �D�������1�������� ����@��1��g�1�����������

� � ��

� �= +

1����� � ��

� � �= + �������

��@����g����g������

��@����g����g���

##�'��������()�*���������������������&�%���

+������������������������������� ������$��� ��D����������% ����������� ������������������ �������������

������

��@�5���g�5���g�5������@�5�j�G���g����g���,

###�+�����(+*���������������������&�%���1����� ���������������������� �����$�

��� ��D�����������������9�����F������5����

&������������������ �����$��������5���������������(������ ���������% ����������������������������9�j�F������(���

1������������������������(����3����������������� �����$����

>�@�5�j��9�j�F�@�59����

+���������������������������� �����$���� ��D������������

>��@���j���j��

��,'����������������+������������������������������� ����

��$��� ��D������������ G��g���g��,��@����g����g����g�5���g�5���g�5��1�������g����g����@��

�5���g�5���g�5���@��������$�������

G��g���g��,��@���g��

�&��������2����-����<3� b�������������������������% ��

J9�����c������ �#�����������������������������-

�� �� � �� �= ⇒ =���������>�;���

� � � ��= = ⇒ =� �� �� �

Page 33: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� ��

������������������'(�����

������������

<5���������������������������������

����� � � �����b������% ���������c������ �#�����������������������������-

� � � � � � ��

� � � � �

� �� ��

� �

= ⇒ =

= = ⋅

∴ =

�?;���������������6������������������������&�������������������������J������4��'���&��������������M

������ �#�����������������������������-

� � � �

� �� � � � � �

� �� � � � ��

� �

� �

� � �

+ = +

+ + = + ⇒ =

= = ⋅ ⇒ =

� �

<9��&�����������������a���������������D����� �� ���� �� G����� �� ������ �� ����������,��������������������� ����c

������ �#����������������������������-

N O N O� �� �= ⇒ =

����>��,��@�,��

����>�+�)��@�+�)�

����>�:��

∴ =�� � �

<J� &���� �����$��� ��D������������������F�����9������J������������

�, ������������������, ��% ����������<�, ���������>������� �

�) ���>����@����@���

���>�;��@�F��@�C��>�C?

���������>�� ���

�� � ��� ��� ���� � � � � � � �

��� � ����

= + += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

�� � � � �� � � �

��� � ����

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

=

<\� ��% ��������������� ��� ����̂ 5<������������������������������5<������������������������������F9�����1������ ��������������

������ �#�������>�:?���������������������������������������

�����-

Page 34: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���������

������������������'(�����

������������

���@����>�:?� +P):���@�:���@�:���>�J:? +PP) ���- ��@���@���>�;F

+��@���@��)��>�;F�

� � � ��� ��� ��� ����� �

��

����

+ + + + + =��� � ��� ���

F??�@����@�J:?�>�66CA���>�;A�����������>�A���2�����

� � QRR� � ST

� �+ =+ =

�����U���*���������������������������-��>�6A��������>�6:�������>�6:��������>�6A���2��������������5������������������-6A�����6:������A���<^� 1������ ���������������� �����$�

��� ��D����������������������������������� �� ����������H��35���5<���������������������3<<���

������ ����>����@����@���

6??��>�+:?V)��@�+6:V)��@�+BV)�

6??��>�A:CV�

�������:CV�>�6??�⇒ �V�>�F2����� ��>�:?�K�F�>�I?��

��>�6:�K�F�>�FI����>�B�K�F�>�;A��

"�>���K���K���>�I?�K�FI�K�;A

"�>�6;I�:F?���

<a��G>�����+�, ��%��������� ��� ���I �������� ��������� �����$��� ��D����������� �������F<������� �� ��5<����������������� �� �� 3<� ��� 1��� �� ������ �� �(����� �� ����� ��3�a<<���� ����2��������%������ ��� ����I ������� � ������%���� ����������� ���� ���I ����������������� ���

�, 5�� ,��a���, F�� �,��H���, ^����������� P��������������*�������&�����������*��1���

�������6?�K�:?�K�;?�>�A�???�������1�����*������������������A�???�3�6�I??�>�F�:??�����#�����(��������������������&���������������������*��1����������(�K�:?�K�;?�>�F�:??�⇔ �(�>�J���

<H��G=������+�, #�����������������$��������� ���������������� ������������3<�����\����������������"������L������������������������$�����$��������������������� �����$��� ������� ������a�����a�����!�����/����� ���!��

�, 3\ ,��3H�, 3^ �,��5<�, 3a���������%,���������������*��������������0�����'����

=����������*��������������������I�K�I�K�!�>�A��@�6?�

AF�!�>�:6A�@�6�???AF !�>�6�:6A�⇒�!�>�6B

Page 35: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� ��

������������������'(�����

������������

����� �� � �����"� �� 1����� ����� ��� ����� ���������� �

��������������%����� �������� ��������������������������'��������� ������������������������������������������ ��

����������� �� ����������������' ���������������� �������������������I����� ����������������� ������ �������

1����� �������� ������ ��I�����7���8��"����������7����������% ���������������������� ������ ������ 1����� ����� ��������������� ������� ������������ ������������I������������������������% ���

+���������� ��������I�����7���8�� ��������� �����������������������D�������� ������� �����������"���$�����������������I������ �������7��� %������������������� ����������� �������8�

1���������������7���������L������������������������������I�����7C��������������8��������L�����������������������������I������8C������I�����7���8��7�����������������

��� �� ������� ��������������������������� ��������4����9��������� G= �������0�������� ��1������ ��3JHa�?�3\9^,

+�"��� ���� �I����� �� �� 0�� ��"��� �����������������������������������+������������ ������������� ���� ����0���� �����������������������% �������������I���������0��7�����������������

���,������������� ��-�.���1����� �������� ��������������� ��(

��% ����������0��@�+�������� ���$��� ���D��������������� ��(���% ����������0��@�+�

Page 36: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������

������������������'(�����

������������

1������������������������I������� ��������� ������� ���������� �����������������% ���+���������� ���� ����� ���$����1������ �������� ���������������������������� �����$���

� �� �� �

=

1����� � �� ��

= ⋅ ������"���� � ���

= ⋅ �����

����VP� �@�+�j�(���������$�����

>�@�+�j�(

9��������

/������������� ��������� ������% ������������������������� ��

����������[����$���� ��� ���������������������

��� � ���������� ��������������������% ������������ ���������������� �������� ����� �����

���>�@�+�j��

� �����1������ ����������������� ���������

������������ �������� �������� ������ �������������������������� ��

/��� �� ���������� ���������������������� ��'��� ��D�������������� ������\���

��% ����������G��,��

���� ��

� ����

�=+

× =� �

����������������G>,��� ������

>�@����j�(�@�3J�l�\�@�H<���

'��/�����,���������� �����(����+������� ���� ��� ����� �� �(����� �

����� ��������� ��������������� ����� �>����� ������� � �� % ��� �� �� ������� ��

�������� ������ ����� ��

��������������,������,����1����� ����� ��� ����� � ������� � ��

���� ������ �������������������� ��5�

#������ ��� ����� �

�� � �

��

� ��

=⋅

=⋅

##� ����� �� ����� ������@�F�j�����������������@�F�j�G�(,@�F��(

Page 37: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� �!

������������������'(�����

������������

###�'��������()�*��@����g�50

��@�F�(�g����

� �

��@�F�(�g���

� �

#+�+�����(+*>�@�0�j�(

�� ��

�� � ⋅

� �����!����� ����� � ������� � ����� �� ��% ��

���������H � ��������% ������� �������� �����% �����������1������ ��������������� �����

� � � ��

� ���

�= ⇒ =

!���� ���@�\�����@�F�0

��� � � ��

= ⋅

� � ��

�=

>�@�0�j�(

� � ��

��

= ⋅

� � �� �

= ⋅ ⋅ � �

∴ =� �����

���������8������,������,����1����� ����� ��� ����� ��� ������

����� ������ �������������������� ����

#������ ��� ����� �0�@���

##� ����� �� ����� ������@�9�j�����������������@�9�G�(,�@�9��(

###������ � ��� ����@����g�50��@�9�(�g�5��

#+�������� ��>�@�0�j�(>�@����j�(

� �����1������ � �� % ��� ������ �� ��� ����

��� ������ � ����� ����������J9��������������������� ��������� ���������I����������� ������������ ������������

>�@�0�j�(>�@����j�5��@�J95���@�J9���⇒����@�F���

Page 38: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������"

������������������'(�����

������������

����� (�@�5��@�\���!���� ��@�5���g�9�(

���@�5�j�F��g�9�j�F�j�\���@�H<����

���������%�&�,������,����1����� ����� ��� ����� (�.������� ��

���� ������ �������������������� ��5�

#�'�����,���(-*

��� ��⋅

⋅���

���

�� �� �� �

##�'����������()�*���@�\�j�����������������@�\�G�(,�@�\��(

###�'��������()�*��@����g�50

� ���� � ���

� �

⋅⋅�

�����

� ���� � ���

� ⋅ �

#+�+�����(+*>�@�0�j�(

�� �� ��

��

� �����&��� �����(�.������� ����� ����% ������

�� �����^Jm���% ���������1��������� �'������ ����� ����� ���� ������

� ������������

���

���@�\��(

A ah aT = +� � ��

���@�̂ Jm����

� ��

� � ��ah ah a= +� ����

� ��

��

� ���

= ⇒ =

�&��������2����-����<3� Ge��n��'���+�,�8�� ����� ����� �� ��

������ � ���� �������� � ������ ���� ������� �9a������% ������� ����+��������������

�, 3\��� , � � ��

�, F5��� �, �� � ��

�, \9���

Page 39: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ������� ��

������������������'(�����

������������

������ �

���>�;�K����⇒�;���>�FI�⇒����>�6A�⇒���>�F��"�>����K�W

���������2

<5� 1������������� ������� ���������������� �����(�.������� ����� �������������������������9����������� �$�������� �����35����

������ �

� �� ��

��

� � �

�= ⋅ = ⇒ =

= ⋅ = ⇒ =

�����

� �� �

� �

��

� �

U���*��������������-

��>� � ��

� ��

� � � �=

��������

���������������>�� ��

�����>�� ��

<F� Ge��n��'���+��5<<<,�+������������D������������� ������������������������� ��������\�9a<o�����������2�� ����������������� ������

�, a ,�35�, H �,�3J�, 3<������ �

#��������� �����������������������������������������������������������������������������������������������0�����������������,�������������������������������������������������������'

��K�;A?L�@�:�K�+��3�:)�K�6I?L

�����X�������������K�;A?L�@�:�K�+��3�:)�K�6I?L�>

>�A�FI?L�⇔ ���>�6?

���������

<9��8�� ����� ����� ��������������������������� ��������#��� ����������� ���� ���������������������� ������������������

������ ����*������>�∆�������*���

"��@�"

(W�@���

� ��

� ��

�⋅ =

W�@� �� ��

��������

��@� �� ��

Page 40: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������

������������������'(�����

������������

<J� G>�����+�,�8�� �������� �� � ���������.����������� ��������� �

�������(�� ��%��2�����Y���W� � ����������� �����$��� ��D��������2�����Y��W��P���Z��� ��������"�������2��W���P������� �D������ ���D������G����D������ ��������� �����W���D��

�����α������ �����E�������������α�@���

��������� �

�$�������� �������������� %����������������� ���� ��� �������'����� �$������ 1����� ����� ���������������������5���� ��

����� �������'��������"�� ������Kp�5�<<������ ���+��������������(�>�F�����2�@�\�����%�@�9������� ����

�, �����������2P���WP<�, �� % ��� �� ��� �$���� �� �� � ������ �

��������� %����������� ����������� ��) E������������������!kE���������������

���*'������W��2W�>��(�>�;��������

�>�����α ⇔

⇔ = ⇔ = = − =� ��

� � � �� �

���� ����� ��

�) ��&������������0������������������'�����=���������&�������������������( %���(W2�% Y����%�2��2�ZP��������&��������������������������2WP���YZ��[�����'�������F�K�;�@�A�K�;

@�A�K�;�@�F�K�A�@�F�K�C�@�� ��

� ��

⋅ + ⋅�>�6?F�����#����

������������������6?F�K�:�K�:�>�F6A�������

Page 41: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&����� ��

������������������'(�����

������������

���������� ���������

���0���� ��������)�!������1����� ��������� �������������������

��.�������������������������������������������>��� �����1(������������)�������� ���� �����������������������������������.� ���������>�������� ������������� ���������������G��$����,�

�������������&��� D���������� ��������������������

���������

- (!���������)��� ����� �������� D��������������>�

- 8��� � �� ����� �� � D���� �� �� ��$�����01#!=�

- 7����� ������� ����� D�����������D�������� �����>����������������

- 7����������� ����� ����������������������������$������������

- 7�������������� ����� ���������� ��������������������������������� �����>������� �����������$������������

- :������������ �������������� ������������ ��D������� ��� ������� ���� �� ����� >� ������������� �������������

- ;����34���������� ������ �$�������� �������� � D���� �� �� ��� �$���� ���� ����� ����� ������������������� ����

- ;����� ����������� � �� ������� � ����� ������������ D������������ ������������� � D���� ���� ������� � ����� � �������L����������

����9�����������/� ����� �� ���� � D���� �� ��� �

��� �� ���� �� ���� ������ ������� ������ ���������.����� - �� D����� ������� �������������� �D������- �� D������� ������ �����������������

��%�� ��- �� D���� ��������� � �� ����� �� ��

���%�����

Page 42: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&�������

������������������'(�����

������������

����������!������8���� D��������� �����������������

����� ��� ���4+��< ����� ��� �� �"����� ������������ �������� ������������������"�������� ��G�� ������� �,����������������

�� D�����������������$���

�� D�������������� ���

���������&���� ���������� ����������� D���� ���

������������� �������1(������������)�����*����������� D�

����� �������"���������������$������ ����� ���

1(�����������=��������)����������D��������� �������� D����L��� �������������

�� /���$������/���%����% ������� ���������� D��������% ����

������� �$�������� ����������������������% ���������������� ����

��% ���������������� D��������������% ������� ���������% ����������

1����� ���������� D���� ����� ����� $��� ���������5���I�������������� ��I�������� D������

� � � ��

= ⋅ ⋅ =�

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅� ��

� � ���

��

��@����g�0�@��j���g

+ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅� � � � � ���

����� ����@��G��g��,

Page 43: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&����� ��

������������������'(�����

������������

�� ,��������4������

#����� D��������� �7������ ��� ����������������% ������������7�����������������

������������&1����� ���������� D������������

���� ��k���������������������% ���+��������� ��� �� ���� ��� +�"��� +�� �� +�� ��� % ���� ���������� � ����� ����� ���� �������� ���������� ������������I������ ���������L���D�����(������ ������� D�����

��� �� ��������(���������I�������������$���� ���� +�� @� +��� ���� ���$��� �1������ ��� �7�� �������� �������� ���� ���� D�����

�����������������,����/� ������� �� ���� � D���� � ������� � �������������� ����� �������% ������������������������� ��

� � �= ⋅�

������������&1����� ����� ��� ����� ���� �� ����

��� ����� �� ���� �� �� ���� � D���� � �������� �

>���������� ������ ��������� 7���� D�����G3��5���F,������� ��������� ��������� ��� ��� ������������ 7��� D������7������������������

Page 44: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&�������

������������������'(�����

������������

���� D�����3��5��7���������������������������������01���#!=��7��% ���������������������� D������������������������ ��G�� I� ������� ���� ����,�

����� �>��@�>��GE,/��� ��������� ������ D�����5���F�1����� ����� ����� ������ ��� � �D������

=!1� �� 01!�� ��� % ���� ������ � �D������� �����������������������������)�����*�������01=!��� �����

��������������� D�����5���F��7��������������� ��G���D��������� �����#���������������01=!��� ����,�

����� �>��@�>��GEE,!���� �>��@�>��@�>��� ������������������������������ D�

�����������������

������������ �����

�� ������ ��������������� D����G3,������ ������ ������ �� ������ ���� �� �� �����������$�������

� � ���

��

= ⋅ ⋅

������������8���8���/����������������� �� D������������������ ����� �������% ��������������������� ��

������������&1����� ���������� D����������� ��

����� D����� ������� ���������(���������������� ��������������������% ���+��

&������������� ���������>��@�>���1��������������� D����� ������� ��

� � ��

� �=

6��������

� � ��

� �=

�� �1 ����&���� �����4����������,����1����� ����� ��� ��� �� �� �����

>�01���� ���������������&

Page 45: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&����� ��

������������������'(�����

������������

������� ������������� �� ������� �D����������`��%�� �����������������

� � ��

= ⋅ = ⋅� � ��

∴�� ��

= � �&��∆>���������

���@���

��

��

⋅ ⇒ = =� �� � �� ��

��>��@����� ��k>���@�>���g����

���@�Gk,��g�� ��

������� ⇒

⇒ = − =� � � �� �

� ���

��

∴ =� � ��

/������������� �� ��������

� � �� �

�=⋅

=⋅

��

��

∴ =� �� ���

����5���������,����1����� ����� ��� ����� �� �����

�01#!=���� ����������������&

�������� ������������� ������ � �D��������`��%�� �����������������

� � �� = ⋅ = ⋅� � �

∴ =� �� � ��

+����/������� ��������� ���/��������������� ������� ����0=#�������

/��@�/0�@��������� �

��

�=

����������������������� �������� >�@�5�j�>���� �!�

�� � � ��� ��

� ��

��

��

∴ =⋅� �� ��

����4�����������/�����,����1����� ����� ��� ��� �� �� � �� �������

�� � >�01� ���� ��� � ������ �� � �� �� � �� ���D����������������������

Page 46: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&������

������������������'(�����

������������

�� ��������� �������������������I����������������%�������������>01������������� ���� %�>���#���������� �

� � �����=⋅�

/�� ��� �

��� = ⋅�

���>��@��

f��� ��

� � �=

⋅ ⋅��

∴ =�����

�&��������2����-����<3��8���� D����� ������� � ����� ����

�I��������������J���������������� ����� � ����1������ ���% ������� �������% �������������� D����

������ ��

� � � � ��

�� � ���

�= ⋅ ⋅ =

� � � �� �� � �

�� �

= + = +⋅� �

� �� � ���

�=

<5��1������ ����������������� D���� ������� � ����� ������ ��������������� ���������� ���������� � ������3<����� ���������������

������ ��

���� ��

� ��

� � ��

� �\� � � ��

W��@�U��>�6?�

∴�W��@�A��>�6?��⇒ W��>�AF∴�W�>�I���

� � ��

�=⋅

����-��� ��

� � ���

��

� ��� �

� �� � ���

�=

� ��

���� �

� �����

� �

<F��8���� D������� ������ � ����� ���� � ����� �� ����� a� ��� �� ��� ������ ���� ����� ����\<o�������������1������ ���% �������� �������% ��������������� D����

� ����S

� �]= =

����A?L�>���

Page 47: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&����� �!

������������������'(�����

������������

��

Q�

� � ��= ⇒ =

� ����

� � ��

��� ���

�� � � ���

� � � ��� � ��� ��� �

� �= + = + =

<9��1������ ����������������� D������ ������ � ����� �� ���� � ����� �� ����� � ����������� ���������� ������ �����9Jo������������������

������ �

� �������� �� ���

� ��=⋅

=

���FCL�>���

� ��

� � ��∴ = ⇒ =

� � �� ⋅��

����-�#��>� � � �� ���

�� � =

� �� ��

�� �\�= ⋅ =

<J��=������+�8���� D���� ����� �������������� �����

��������� � ��1������ �,������� �������� D�����,���������������� D����

������ �

�)������������8����������,��&���������∆"��������-�W�>�6���

�)������ � �

�� � �

���^= → = ⋅ ⋅ =

���������)�W�>�6���

�)�������=

<\��G�81�+�,���% ������������������� � ����� ���� � �����+�����������

�, � � �� � , \����

�, � �� � �, �� ���

�, � � �� �

Page 48: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&������"

������������������'(�����

������������

������ ��

⇒ ⋅ = ⇒ = =� � ��

� � � � �����

����

� � ��

� ��

� ��

= = ⋅ ⇒ =

>�@������ �

��

� � �

�����⋅

⋅⇒ =

⋅ ⋅⇒

⇒ =� � ���

���������(<^��G8��������+�,�/������������� �� �

����.���

�,��

,��

�,�

���, �� ���

�,��

������ �

������ ���=

��

��

���

�� �

��=

⋅⋅

⇒ =

���������(<a��G>�����+�,�!�������������� �������

�������������� ��� ��� ����������� D����e&����������e��&��������������������������� ������������������� ���������� ������+��>���������������������������������� ����� ���������� � ����a�� D��������������

�,��� ,

���

�,��� �,

���

�,���

������ �

� � � � � �

� � ��

� ���

�������� � ����

����

����

= − = − ⋅

⋅⋅

= − ⇒ =

� � �� �� ��

U�������-�%

Page 49: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&����� ��

������������������'(�����

������������

<H��&������ ������.����01#��������� �� � ����� ����������+�"���!���=�������������������������� ���������������!������������ ���!=��

�,��

, � ��

�, � ��

�, � ��

�, � ��

������ � ��� ∆�( ���∆�(%�����������������&��������

��������2�'����������'�����������������������������

�������������*���������� �����������2 �>�2%�>�� ��

[����∆ 2%�'���1���������������� ��8����������

��� ��>��%>������������������� �'���������∆ 2%

����������2���@�� ��>� 2��⇔

⇔ + ���� =������ ⇔ =�� �

�� ��

�� � ��

��

U�������-�(

3<��G>�����+�,�8���� D��������� ������������������������ ������7�������������������+������������������������� ������������� D�������������5������������������� ������������ �������� ����� ��� �� �'��� ��� �� ��� ���� ��� �� D�������� ������������� �������������

�, F��� ,��

�,��

�,��

�,��

������ �#�$��-�"���*������������������"����*������

������-

"�>��� �� �

��

⋅ ⋅"��>���K���K�W�

����"�>�"��⇒��� ��

� � ��

��

� �

= ⇒ =

U�������-�

33�� &���� � D���� (�.�������� �� ���� �����9���������I����������������F����1������������� D���

�,���% ������� ����,���% ����������,���������������� �

Page 50: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ���&������

������������������'(�����

������������

6)���>�C���

:)�N

N��

� � � ��� � �

�)�� � � �� � ��

�� � ����

� � � � ��

����>��� � ���

;)�� � � � ���

��

� � ��

�� �� �

����

� �

�)�� � � �� � �� �� �� � � � �

���>��� � ���

�)������ �

��T � � �� � _�= ⇒ ⋅ ⋅ =

"�>��� � ���

35��1����������������������� D����(��.������� ����� ����"��� ��������� �������3<������� �������� ����� 7������� ����� ����L���������\����

������ ��

W��@�A��>�6?���∴���W�>�I������<���>�A���

#��>��� ��

� �� � ���

�⋅ ⋅ ∴ =

��� ��

�� � ��

�=⋅

= ⋅

∴���"�>���� � ���

Page 51: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� ��

������������������'(�����

������������

���������� ����������� 0���� ��������)�!������1����� ��������������α ����$ ������

���� ��/��� ���� ��+�"���� ����������������� ����������������������α���1(������������������������L� ���������������������������� ���� ������� ��� ������� �� �� �� ��������.� ����������$ ����������������������������������������� �������� �α.�

�������������- 8����

��� ������ �� ��� ����� �� �� ���� � ���� �������$ ��������� �������������.� ����������������������������� ����������� ����� ���������� ����������� ��- �� �

!�.������������ ���� ���� ����� ������� ���������������� ������������������� ��- >������?

�� �� �'�G�,����������� ���� ���� ����������� � ��� ��� ���������� ���� �.� ���������� �.� ������� ��� ������ �� � � ����� ����.�����������

- 7��������� ������������ ���������D�����(����

� ��������������������

- ;����34����������+�� �$�������� ������� ����������������

�� �� �'������% ����������� �$�������(���������������������������� �7�- ;����34���@����

+�� �$�������������� ������������ �$������� ���������������$ ������������������% ������� ��� �$���� �� �(����� ���� ������ ��������� �7�

- ;�����A�������+�������� ���������������� ����������

��%�� ��������������������� �������������� �����������������������������.��

- ;�����B��*��������� ������� ������������ �� ��� ����� �� �

������ ���� ���� ������� ���� ��� ����� ��������������.��������� �������� ������������

Page 52: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� �����������

������������������'(�����

������������

b����� �� ����� �� �� �� ���� � ����� �� ����������������������� ��D���������� %��%.�������������������� ��� ������

- ;�����@�������������������� ����� �������������� ���� �

���� � �������������������� ������������������� ������� ������.��������� ������������ ����� ����������$ ��������� �����L������

����������!������- 9������9����������4+��

1���� ���� ���� ����$������������������ �������� ��� �� �� �'��� ���$����� ���� ������ ��������- 9������9�������'���

1���� ���� ���� � ������������������ �������� ��� �� �� �'��� � ������� ��� �������������������/������ ���� ���� � �������������(������������������������������� ������� ������������ ��D������������ ����������.���������������������������

�� /����$������%������6��������������� �$�������� ������������� ���� ���

�� � ����������������������� ��D��������"����������� ������ ��� ��������� �� ������ 7�������������������� ��������� ��

Page 53: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� ��

������������������'(�����

������������

���������% ��� ���� ������������� ���� ����� � �������� ����������� ������� ��(��

����@��5π�j�� ��j�(

����6����������% �������� �$�������������������� �

�� ���� � ����������������% ��������� �$������� ����������% �����������������

���������% ������������������� ���� ����� � �������� ����������� ������� ��(��

��@�����g��5�0

��@�5π j� �j�(�g�5π j� �

��@�5π ��j�G(�g� ,

� ������<3,�&�������� ���� ���� � ���������� ��\

����� �����������5������������ �, ��% ����������������� ����� �����, ��% ������������������ �������, ��% ����������������������� �������

���� �����������.����������3�������������� �

�)

#�>�π��K����>�π�K�:��>�Fπ����

�)

#�>�F�K�A�>�:F����

�,

_���g��3��@�5�

∴�.��@�� � ���

+�@�5.��j��(��@��5� � ��j��\��@��35� � ����

5;, 1���������% ������� �������% ������������I������ ��"��� ������ ������ �������� ������� �������.��

�, 1���� ����K��������

�, +�������� ��K���

������ ��) ���>�:�K�����K�����>�:�K��6��K��;��>�A��

���>�:π��K�����K�����@��:π��K���� ⇒���>�:π��K��6��K��;��@��:π��K�6���>��Iπ����

Page 54: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� �����������

������������������'(�����

������������

�) #����0������������������������

���>�A��K��I��@π��K��;��K��I��>��FI��@��:Fπ���>�:F��K��+:�@�π�)����

���>�����@��:��K��π ⋅ ��

���>�FI��@��:Fπ�@��π��K��;�

����>��+FI��@�;;π�)����

<F����% ������� ������������� ���� ������������3<������ ������������L�% ����������1������������� ��������� ��

������ �

���>�(:π��K�����K�����>��π��K����

:���>���:���>��6?∴ ����>��C���

�� ,����1����� ����� ��� ����� �� �� ��� ���

��� �� ������ ������������� G% ���� ������,�������������������������� �������G����� ��� ������,�

+����0���% ��������������(������� �����I����������� ����������

8�������� ������L������������������������ ���� �I������ ��� ����� ������ �������� ���� ����� ���� ������� L�� ���������� ������������� ���$�����1������ ���������$�������������� ������ ����������������������

�����

>��@��0��j��(��@� π��j�� ���j��(

� ������<3� 1����������������������� �����$���

����.����������������� �� �'���

������ �

���>�����K������A?L��>�3

2�K��

"��>�π �K������K���

Vg2

32

g3 g

8

2 3

= ������ ⋅ ⋅���

��� =

⋅ ⋅π

π

Page 55: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ��������� ��

������������������'(�����

������������

<5� 1������ �������������������� ������� ���������� �������� ������ � ����� ��� ������������9���������� ��3<����

������ �

��>�:����������>�6?���"�>�π �K������K���"�>�π ��K��:���K�6?��>��F?π ����

<F� 1������ ������������� �������'������������� ������� ��� ���� ��� ������� ���� �����������$��������� ����5<��]����

#���K�����.�� ���@�55���K�������� ���@�53�J������� ��@�F���

������ ���*��������������'����������������������*��

���������������������������������������������::�����:6�C�����������;����������-

"�> π �K�::���K�;�3�π ��K�+:6�C)���K�;�≅ ��:?F�B�����

"�≅ ?�:?FB����

#������������������0�����:?��.���������������������������!������:?���������������������������'-

��≅ �?�:?FB��K��:?��≅ �F��

<9� ������ ������ ����� ������������������� �� <�5� ���� 1������� �� ��� ������� �.������������� ���������������������� ��������� ���������7�� �����5������J���� ��������������

������ �#�����"����*��������������������������-"�>�π��K�C���K�����3� π �K��:���K�����>��:6π��K��#�����"�����*���������������������������-

"��>�!��K�����K��?�?:��+`)+`)����������������?�?:��� ����"�>��"�����������-

21 h 0,02 h x210,02

π π⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =�

!�≅ �;�:BJ�����≅ �;;�������

�&��������2����-����<3� /��������������������� �$�������� ��

���������� �� ������������ �����5��������% ����/������������������ �����������

�,π�

, 5π

�,�

�π�,

��π

�,π�

Page 56: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

���������� ����������

������������������'(�����

������������

������ �

#��>�����>��:���⇒ �>� �

� >��>� �

:π U��>�� � ��⇒��U�>���

�π"�>�� �K�W�> πU��� ⇒

"�>�π �

�� �

π π������ ⋅ =

����������<5��G>�����+�,�8�� ������������������

������ 7�����������������������$� ���������������������� ��������� �������������������������� ������+�������������������������� �������������L����������������������������� �������������� ������� �����������>����@����

������ �"��>�"��@�"�π ����> π ����@�π �����+����������) ��>����@���

<F� G>�����+�,�1����� ��������������$� ������� ������������ ������������������(����������� �������$������!�����$����������� ���� ����$�������������������������������$� �������"������ ���������� ��������� �������������"� ������������ ������ ������������#��� ����

�, ���������������������������������������� ���(��

�, ���2�� ���������������% ������������ ������������������ ���������������(�������������$�����

������ ��) ��*�������������0�������������������������

'�π ��������*��������������0���������������23���

�����14���'������� = ⋅��

�� ⋅ = ∴π π2

3r

14

hr h9

2 2

"������>��π���������������"�����>���πr h

9

2

�) �"�����>���πr h

9

2

⇒ "����>��

����

� �����

"�������>��B��K��"�����������#�����������&�����B������<9�� G=1>�+�,� #���"����� ����� �� � ��� ��

�� ���I ������$� ��������������� ��� ���'��� ��� ����$������/���������� ��� ���I� ��������� ���J<�������� ������������������� �������� ���5����/����� ������������������ �����������Kp�3<<�<<�� ���� ����� ���b������������������ ���������'��c

������ �#�$�������������������*��1�����8����

π �K��:���K���>�C?��⇔ ����>� 252π

���

�����������������������������������������&�����������������'

:�K��π��K�:��@�:π K�:�K�252p

>�Iπ @�C?���

[��������������������������H���������������������������������'�6??�+Iπ��@��C?)�≅ �J�C6;�:J�������

<J� G�81�+�,���� �"������� ������������������ ����� ������������� ������� ������� �������������������$ ������������� ����+������������ �����3<����������������������� �c

�, 3�<<<��j��π , 5J<��j��π�, ^J<��j��π �, 3<<��j��π�, J<<��j��π������ �

2R 10 R 5

H 10

� � �

����"��>��π U�W�� ⇒ �"��>��:C?π���������%

Page 57: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ����� �!

������������������'(�����

������������

������������������0���� �������� )�!������1����� ���������$ ���������������

����� α ��������������� ������������1(��������������������������������������� ������ �� ������� �� ����� ��� ������������������������.� ����������������� ������������������ ����$ �����

P

���� ���������-�8���

�������������������$ ����������� ��������������-�(!�����

/��� �����������������������-��� �

!�.���������������� ������������������ ����������������� ���������-�>������?

�� �� �'� �� ��� ����� �� ������� � ���������� ���� ���(�� ���� �.� ������ ���� ������������������� ������� ����� 7�����������-�7�����

���� ���������D��������� ��������������������������

���� ������!������-�1������ ���� ����$���

V

OV'

1������ ���� ����$������������������ ������������.�����$������� ����������������������

&��� ����� �� ���� � ���$���� �� �"����� ������������ ����������������������������������� ��-�1������ ���� � ���

OV' 0

V

Page 58: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ������"

������������������'(�����

������������

1������ ���� � ������������������ ����������.��� ������� �����������������&������� �� ���� � ����� �� �"����� � �������� ��� ���������������������������� ���������

�����������3;,� &��� ����� ����� ����� ��� �� �� �'��� ���

���� ������� ��� �� ���� ������ �� �������� ������������ �D��������I�������

gg

2R

5;,�6�������� ��������� ���������������I������ ������� ������������ � �D������� ��D��������� �� ������������������������������������ ��������������(������

���������������C

F;,�8������������������� �D�������� %�������� ���������G(,������� ���� %��� ����GK,����(����������� %������� �� �'�G�,��!����

gh

R

���@�(��g�K�

���/����$������%������ :$���������������������1����� ������������ ��� ���� ��� ����K

��D���������� ���θ � �������

R

O

R

l�

/���� ������������ ������������ ��� ����� �������

��@�θ �j�K Gθ ���� ������,��% ���+������� ��� ���� �������

Sl R= ⋅�

���� 6����������

Page 59: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ����� ��

������������������'(�����

������������

1����� ��������������� ���� � ����G������ ��������,����� �� �'����� �����������K��������������� ��� �$���� ���� �������� �������������������� ��� ���� ��� ����������"��� ���� ���������������� ���������������5π KG��� ����������� ����� 7�����������,�

�� ��θ ���� �������������

θ π θ π⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅� � ��

� �

��% ����������������������

�� �

� � �� �

=⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅�

�π

π

����6������������� �$���������������������� ������������� ����������� �$�������� ���G���� ��� ���� ,

�������$ ��������������������������������� �� �'����� �����������K�������

g

R

g g

R

2 R�

��@����g�+��⇒ ���@��π �j�K�j���g�π �j�K�

��@�π �j�K�j�G��g�K,

� �����&���������� ������������� �� �'�3F���

�� �����������J������������ �, �� ���� ���, ��% ������� ����, ��% ���������, ��D������θ ����� ������������� �$���

���� ��� ����������'��������

g = 13

R = 5

H

�, ���@�k��g�K�

3F��@�k��g�J����∴��k�@�35���

�, ���@�π �j�K�j���@�π �j�J�j�3F���@�\Jπ ����

�, ��@����g�+��@�\Jπ �g�π �j�J�

��@�H<π ����

, θ �j���@�5π �j�K

θ �j�3F�@�5π �j�J�⇒ =θ π����

P��

Page 60: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � �����

������������������'(�����

������������

���,����8����'������ ���$�����1������ ����� ��

��������������������������� D�������"������ ������� ��������������������������������������7�����������������

Vcone pirâmideV=

H

SB SB

���������������������������������������� ����� �������% ������������������������ ���� ��

� � ��

= ⋅ ⋅��

� � �= ⋅ ⋅ ⋅��

�� �π

� � �= ⋅ ⋅π �

�� ���������� �$�������� ��������������� ������

�������������������� ���� ���������$ ������ ����\�����1������ ��������������������

'��������

g

R

H6 cm

2

3

�rad

� �� � ���= =� ��

θ π

θ π⋅ = ⋅� ����

� � �π π⋅ = ⋅ ⇒ =� � ��

� � �� � �= +

� � ��� � � �= + ⇒ =� �∴ � ��= � �

� � �= ⋅ ⋅π �

� =⋅ ⋅π � � �

∴ � ��= �� ��

�π

�&��������2����-����<3������� �������������� ���� � ��������� ���

��������� ������������+������� ���������� ����� 7�����������������aπ ���������������������������������$��� ����2��������

V

�, \9 π , 3\π�, 9a π �, aπ�, F5 π������ �

V

R

h = 3R

� � � � � � � �� ���

= = ⇒ = ⇒ = =π π

� ��� � � �� �

�= ⋅ ⇒ =π π

����������

Page 61: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ����� �

������������������'(�����

������������

<5�� G8=�����,�b���� �� �� ������� �� ��������� ���� � �������D��� ����������������\���������� �� �'�J���c

�, 35π ���� , 9aπ ����

�, 59π ���� �, H\π ����

�, F\π ����

������ �

H5

3

W��>�:C�3�BW��>�6AW�>�F���

⇒ =⋅

⇒ = ⋅ ⇒ =� � ��

� � ��

� �� _� �π π

'�������&�

<F�� G=�����+�,� 1���� I����� ��� ����� ����� ����������������� ���� ���� � ������ ����K������� ��(������������������������������������������������� ������ ������������� ����������������/�������������� ����������������������

�,�π� �� ,���

�πR h

�,� π� ��

��,�π π�

���

�+

�,���

�π� �

������ �� � � ��� ��� ����=

� � � � ��� ���

� �= π π

� ��� ���

�= π

����������

<9��G8=+1�+1,�&��� �D�������01���G�1,

@�� � ���� ����� � = π

���1�������������������

������� ���������� �D�������01������ ��������.���0�

A

B C

�,���

π , ���

π

�,��

π �,��

π

�,���

π

������ �

A

B C

h

r

3 3

3

Page 62: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ����� �

������������������'(�����

������������

&�������*���������������������∆�( -

����� �� �

��

� �

° = = ⇒ =

����� �� �

� � �

° = = ⇒ =

���1���������������&������������ � ��

= ��

�������<������� � �

=⋅ ⋅

⇒π

⇒ =⋅������ ⋅

� ��

��

π

� ���

= π

����������

<J��G=������+�,�&������� �������01#����� ��D��������01�@�0!�@�!��@� ����(�������������� ��������������I������ ������� ������ ������� �!#1��������� ��D������%����������������������� ������0�

A

D

r

C

B

2r

D A

E

BC

������ �"�>�"���3�:"���

"�>�π ���K�:��3�:�K�π � ��

� �= ��

�π

����������� ��� �= π

���" �������"���&.2 3������������������8;��1����1���� ���� �̀�%�� ������������ ���� ��������

��"����������� �������������� ���G(�@�5K,�

D�������������@�5π�K�j�(�@�5πK�j�5K

���@�9πK�

D����������@�5�j����g����@�5πK��g�9πK�

��@�\�πK�

(�����>�@����j�(�@�πK��j�5K

>�@�5πK�

���������8;��1����1������ �̀�%�� �������������� �����������"�

��������� ������������ �D�������� �̀�%�� ��G��@�5K,

� � � �= ⇒ =� ��

D�������������@�πK��@�πK�j�5K

���@�5πK�

D����������@����g����@�5πK��g�πK�

��@�FπK�

Page 63: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

�������� � ����� �

������������������'(�����

������������

(�����

� � � � ��

= ⋅ = ⋅��

��

��π

VR= π � ��

f��� ����������D���������� ������������ �$�������� �������������������

θ π= � Rg

1����� �����������`��%�� ����@�5K

θ π θ π= ⇒ =����

��������<������34���������������3������������+E�������!�������4������

�&��������2����-����<3��G8=K&�K&,�+���������� ���� �̀�%�� �����

35��������� �������������������������������� �, 399�π ,�9a<�π�, 5<<�π �,�\<<�π�, 9F5�π������ � ���������X�&�����⇔������������������'������

�������W�>�:U

W�>�6:�>�:UU�>�A⇒�"�>�πU��K�W�⇒�"�>�π�K�A��K�6:�⇒�"�>�F;:π���

����������

<5��G8=�����,�8���������`��%�� �������% ����������9����b��������% ������� ��c

�, 5π���� , 3\π� ���

�, 9π���� �, F5π� ���

�, a��

������ � ������X�&����πU��>�Fπ�⇒�U�>�:��>�:U�>�F���>�πU��⇒����>�Iπ���

���������� <F��G=������+�,�8����������� ����������

�������� �������������$ ������� ����5<����1���������� ����������������������� I�����(�����q����������������������������������� ������������b�����������D��������������(����L�����c

�, �� ���� , 5<���

�, � ����� �, 3<���

�, �� ���������� �#����0����⇒��������X�&����[���������������������������0����'����������H

�����������������������������������

��>���>��∆�

� � �� ��

� �� ����=����������%

Page 64: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������!� ��.��� �

������������������'(�����

������������

�������� � ��!������0���� ��������)�!������#������������/����������D�����K���(��

��������3����������"��������������������������������"������D��������� ��������������/��������� ���������������K��/������/�������� �������� ����K����� ����

O

R

������ ��������������I������ ���������� ������� �����������������4������ ���� ����������.����������������D��� ��

O

Eixo

R

O

R

����#����!������!(����1(��������������34�����3!�����������

� ��/����� ����K�������"���������������������������������������������D�����/������������K�

����� �$�������� ������������������ �$����� �� ��� ���� ������� �� ���� �����������3������������� ����������D��� ��

O

Eixo

R

O

R

Eixo

R

����#���������!���6�������������������� ��� ����������

����$ ������b�������������������������� �������� �� ���� �������������$ ���������������� ���������� ��������(�������4������� ����

+����������D���������������������� ������� ���� ����K�G�r�K,������������� %����$ ������� ���� ����� ���������� ����K��� ������������ ���������%�� ���

�������������1����� ������������ �$�������� �����

���� ��/�� ����K�����.����- �=���

�I����������������������� �����������.���������� �$���������� ��

F �+����!���� ������� ����� 7��������������������������� ��������� �$����� ���������� �������� ������.����������������� ��/�

- ���������� �������������� ����� 7��������������������������� ��������� �$����� ��������� ������� ������.��

F A�������e� �������������� ����� 7����������������������������� ��������� �$����� �����������������������.����

Page 65: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������!� ��.��� �

������������������'(�����

������������

�� ,����1����� ����������I�����+����+�������

������������������������������������������ ? ;=���;� ����� �������� ��/���� ����K�? ;=���;� � ��������� �� �� ��� ����� �

��`��%�� �� �� ���� �� /�� �� ���� K�� ���������� �������I���������������������� ��� �������������� ������ ���������������������������� ������ �������������� �� �� ����� ��� /� �I���� �� ���� �������������������������������������� ��

R

O1O2

R

2R

>������������� �#����#��� ���������� �����������������D����������������������� �������% ��������������������������

� � � � � �

� � � �

� � � � � �

� � �

+ = ⇒ = −

= ⋅ = ⋅ −π π � �� �

� � � � �

=

= ⋅ − = ⋅ −�

� � � �π π � �

Page 66: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������!� ��.���

������������������'(�����

������������

&��������������% ������������������� �������� ������� � ���� ��"�� �� ���D����� � r� K������������ ���$������1������ ���������$���������������������������������

!��������������������� ����������L����� �������� �������������������� ����������������

� � � � � � ��

��

��

�= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅π π π

�����

� ��

��= π

�� /����������� � ��&��!� �1����� ���������I������ ����� ���

)����(������*������ �$��������� ������������ ��������� ��

dA

��@�% �������� �$����@����� �/�����������I���������� ��������� >�@���j�

!��������� ��

=

1����� �������� ��������� �$���������� ����������� ��/��� �����K��� ������K�?� �@�s�<����������������� ����������������I����

r r + d

� ��

P � ��

P� �= ⋅ + − ⋅π π� �

� ��

�P �P� �� � �= ⋅ + +π �

#������������������ �������� ��

��

�� ��� �� �= ⋅ + +π

1����� ����� I.������'� ������I�������� ������� ������������������� ����� ���)����(������*������ �$��������� �������

���������������������'� �����

�����% ��

����� �$���������� �

� ��� ��

��

�� �� � �

� �= = ⋅ + ⋅ +→

π

∴���� � �= ⋅π �

�� ��������&��������:�����!(����=�������� ��������� �������� �$�������� ��

������������ �������������������7�����D��� ��

/�D���������������������������� �������������� ���� �'���������

R

Arco equatorial

��% ������������ �� �������L�������D������α,�������- ���� ���

F\<o���9π�j�K�

�����"#�

��"#���@� α��°

�j�9π�j�K�

Page 67: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������!� ��.��� !

������������������'(�����

������������

- ��� ������ 5π���9π�$�K�

�����"#�

��"#���@�5�j�K��j�α

� �������% ��������������� ����9�������� ��\<o��

F\<o���9π�j�9�

\<o�����"#�

� � ��

���

�������

��= ⋅ =π π

�������%���!(����1��(������ ��������� ��������� ���������

��� �������������������7������D��� ��/�D���������������������������� ����

���������� ���� �'���������

R

Arco equatorial

/�����������������(���� �� �������L�����������- ���� ���

F\<o�����

��π ⋅

���>�"�%�

����

��

������

�=°

⋅ ⋅α π

- ��� ������

5��

��

��π ⋅

���>�"�%�

� � �������

= ⋅ ⋅α

������������% �������� �$�������������(������

������������% ��������������������������$ �������� ����K�G ���������� �,�

� �����#����������(������ �������� ��9Jo��

����9������������ �, ������������(���, % �������� �$���������(��

'��������

�&��������2����-����<3��G8������+�,�/��������>�����������

�� ���� �����������I �����>�@�9]Fπ ���, 1����������������������������� ���

� @� F]9� ���� �� �� �������� � ��� �%������� ���7������������� �π �����2�� ��55]^�

�, +������������� ���� �@�F]9��������������� ��� ���� ����� ��"�� ������������� ����G�����������������������������,�����J�\��]������������ %������������c

������ �

�) � � ��� �

= ���� = ⋅ ⋅ ⇒ =

��

��

��

���

����

����

�π

�) � ��

�= ⇒ =� � ����

� ��⇒����≅�B�B��

���������) BB.CA����

�) B�B��

Page 68: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������!� ��.��� "

������������������'(�����

������������

<5�� G=������+�,�8�� ������������$� ������"�� �������������\������������%������������� ������� ���8������� ������������������������ �� � �� ���������� ������� ��������������� ���� +�� �� ���� �� �� %���� ������ 3� ����������� ���������� ���

�, 3����, 5����, F���, 9����, J��������� �

"��>�"����������������

��

� �� �π π� = ⋅ ⋅ ��⇒ �U�>�;���

����������

<F� G81e�,�&�������� ����5\�������D���� �����'��������� ���� �������������������J���������� ���/� ����������������������������

�, a�, H�, 3<, 33�, 35������ �K��>� ��@���⇒+6;)��>� ��@�C��⇒

6AB�>� ��@�:C�⇒6AB�3�:C�>����⇒���>�6FF�⇒��>�6:���������2

<9�� G=�>�+�,� #���"����� ����� �� � ������������� ��������(������ ����� ������.�������� +��� � �� �� ������������ ������ ������ �����'������ ^a�J� ��� �� ������ ���������� ������ �������������������'� ����������� �� �����������������c

G1����� � �π�@�F�39,�, F3�9�, a<�, 3J^, 5<a�5�, 5\3�\\������ �

���������

Page 69: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������"� /0�����/����1����� �

������������������'(�����

������������

��������"�#$�����#����%����������� � ���1����� ���������� D����Gt,����� �����>������� ��k�>������������� ������� D����� ���������� ������L�������������������D�����(��

�� �����>�

/������������������I���� - ���I������������������� �����>������������� D���������� ��(�- ���I������������������������� D���������� ��������� �������� D���������� ��k�?�(�

Gt,�����������%���������� �������������������

���������:���������

�������� D��������� D���� �����������������(���������� �'����������(����������

=

��� �������� ��F;, �� �'������ �����% ���� ������� �� ������ � ��

��� ����� �'����������(����� ��

��

9;, �� �'������ �����������������������������

�� �'����������(����� ��

��

3;, �� �'������ �����% �����������������������

��� ����� �'����������(����� ��

��

5;, �� �'������ �����% �������� ���������������

��� ����� �'����������(����� ��

��

Page 70: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������"� /0�����/����1�����!

������������������'(�����

������������

� �������7��������<3� 1����� ������� D����������� ��

���� ��(����������0��6 ����������������� ������L������0����"�����D���������� ������

� D�������� �(������������������������

�������% ���9������1���������% ���0������� �

� �

���

�� � �

�� �

��⇒ ⇒ =

��� �

���

�= ∴ =

������=

<5� 1�������������������I������ ������ ���������F\<o���� ��'��������� ������� ��������.��

������ �

� ��

�=+

= ⇒ =�

��

"�������>�"����������3�"���������

�� ���

� ��

� �

=⋅ ⋅

−⋅ ⋅π π

� =��π

<F� /��I�����Gt,������� �������� D����� ����� �����3<�������������������� �������������� ���������������a�����5<���1����������������

Gt,��I�������� �������� D���� ������ ��������� ������������������������� ���

������ �

���@�A��>�6?��∴���>�I���

� �� �

���

� ����_=

+= ⇒ =

"������>�"�����������3�"����������

��� � ��

��

� ����

� �

=⋅ +��

��

−⋅

�������

�����

���� ��= − =

Page 71: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������"� /0�����/����1����� !�

������������������'(�����

������������

<9� #��� �������% ������� �������% �������������� ��������������������������� ����������������������33������J��������������� ����� ���������a����

������ �

�� �

���

� ����_=

+= ⇒ =

���

� � � �����

� ����� + = ∴ =

�� �

���+

=

���

���

���

� ��+

= ⇒ =

� �� ���

�� � ����

= ⋅ ⋅ +���� − ⋅ ⋅π π

�����

����

��� ��

�= − =π π

π

� ��� � �� ��� ���

� � �= + ⋅ + ⋅ =π π π π

�&��������2����-����<3� G8=e��e�,� 1� ������ ���� � D���

����� ����������� ������ ������� ��9���� ���������� ���������������������������� �������������������������I���������������"����������������� ����� ��������� D��������������������$��� ��

�,�3 ,�� �−

�,�9�?�� �� �,�� ��−�,�5������ �+P)�#�������������������=�������������������

��������������� ������*��������������������������������������

������"���*��������������������������"9���*��������*����������������-

+PP)�"�>�:>9��⇒���� �

�>�:� ⇒��V��>�:��⇒��V�>� ��

+PPP)� ��

�� = ��⇒����

��= ��⇒����>�� ��

+P")� ������@�W��>�W��⇒��� �� �@�W��>�F��⇒��W�

>�F�3�� ��

����������(

Page 72: Geometria de Posição e Métrica - Teoria

��������"� /0�����/����1�����!�

������������������'(�����

������������

<5� G8�0�#=,� 8�� ����� �� ���� � ���� �

����������� ���������� ������L��������������

�������� ������+���(��� ����>����������������������������������� ������������ ��������������

�,���

� �,�����

�,��� ,��

����

������ �

� ��

��

���

���

���

���

����

����

� �

= ������ ⇒ =

����

����

= ���� = ⇒

� �� ���

� � � �= ⇒ =� �

#���������������'����

������������������������*�������������������������&-

"������>�"����������3�"���������

� � ���� ��

���

������= − =

���������%<F� G=������+�,�8�������������� ����

���������������� ��a������ �����������F����b�� ��������(7���������������������������������%������� �������������"�����$���������� ��!������������� ���� ���$��������������������

�, ��

��� ,��� � ���

�, \��� �,��� �� ����, 9��������� �+P)�������������������������������������-

+PP)�"�>�:"9��⇒���� �

�>�:�>�V���⇒��V�>� ��

+PPP)����>�V��⇒�� �

���= ��⇒��!�>�� �� ���

����������2