GEOMETRIA DA GEOMETRIA DA POSIÇÃOPOSIÇÃO

PONTOPONTO

RETARETA

PLANOPLANO

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos.

AXIOMA 1AXIOMA 1

DADOS DOIS PONTOS DISTINTOS NO DADOS DOIS PONTOS DISTINTOS NO ESPAÇO, EXISTE UMA E SOMENTE ESPAÇO, EXISTE UMA E SOMENTE UMA, RETA QUE OS CONTÊM.UMA, RETA QUE OS CONTÊM.

AXIOMA 2AXIOMA 2

DADOS TRÊS PONTOS DISTINTOS DADOS TRÊS PONTOS DISTINTOS E NÃO COLINEARES NO ESPAÇO, E NÃO COLINEARES NO ESPAÇO, EXISTE UM E APENAS UM, PLANO EXISTE UM E APENAS UM, PLANO QUE OS CONTÊM.QUE OS CONTÊM.

AXIOMA 3AXIOMA 3

SE UMA RETA POSSUI DOIS DE SE UMA RETA POSSUI DOIS DE SEUS PONTOS NUM PLANO, ELA SEUS PONTOS NUM PLANO, ELA ESTÁ CONTIDA NESSE PLANO.ESTÁ CONTIDA NESSE PLANO.

DETERMINAÇÃO DE UM DETERMINAÇÃO DE UM PLANOPLANO

I.I. AXIOMA 2AXIOMA 2

II.II. UMA RETA “ UMA RETA “ SS ” E UM PONTO ” E UM PONTO P P NÃO PERTENCENTE A RETA NÃO PERTENCENTE A RETA S.S.

A

B

Ps α

DETERMINAÇÃO DE UM DETERMINAÇÃO DE UM PLANOPLANO

III.III. DUAS RETAS CONCORRENTES. DUAS RETAS CONCORRENTES.

A

P

s

B

r

α

DETERMINAÇÃO DE UM DETERMINAÇÃO DE UM PLANOPLANO

IV.IV. DUAS RETAS PARALELASDUAS RETAS PARALELAS

r

sA

C

B

α

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X RETARETA X RETA

CASO 1CASO 1 : CONCORRENTES : CONCORRENTES

P

s

r

P

s

r

Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X RETARETA X RETA

CASO 2CASO 2 : PARALELAS r // s : PARALELAS r // s

rs

Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X RETARETA X RETA

CASO 3CASO 3 : REVERSAS : REVERSAS

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Isto significa que elas estão em planos diferentes.

A

B

C

D

Exemplo:Exemplo:

rs

As retas r e s são reversas

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X PLANORETA X PLANO

I.I. RETA CONTIDA NO PLANO RETA CONTIDA NO PLANO

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X PLANORETA X PLANO

II.II. RETA SECANTE AO PLANORETA SECANTE AO PLANO

r

P

TRAÇO DA RETA

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS RETA X PLANORETA X PLANO

III.III. RETA PARALELA AO PLANORETA PARALELA AO PLANO

rAβ

Uma reta s é paralela a um plano α no espaço R3, se existe uma reta r inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

s

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS PLANO X PLANOPLANO X PLANO

r

A

B

β

Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.

POSIÇÕES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS PLANO X PLANOPLANO X PLANO

βrs

Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

INTERSEÇÃO DE INTERSEÇÃO DE PLANOS PLANOS