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2ª Série do Ensino Médio

Aluno (a): ___________________________________________________________ Turma: ___ no:___

Disciplina: Matemática Prof.: Cataldo e Nicola

Data: ___/____/2013

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

A geometria é desenvolvida a partir de

1º - três noções primitivas, noções que não têm definição, as noções de ponto, reta e plano;

2º - definições de termos e entes geométricos;

3º - postulados ou axiomas que são proposições aceitas sem demonstrações;

4º - teoremas que são proposições que precisam ser demonstradas. Demonstraremos apenas os

teoremas mais importantes.

Alguns axiomas importantes:

1) Em um plano há infinitos pontos, fora dele também.

Pontos distintos pertencentes ao mesmo plano são denominados coplanares.

A, C, D e E são coplanares, porque

pertencem ao mesmo plano .

A,M,N e E não são coplanares, porque não

pertencem ao mesmo plano.

P, M e N são coplanares, porque pertencem

ao mesmo plano .

2) Em uma reta há infinitos pontos, e fora dela também.

Pontos distintos pertencentes à mesma reta são denominados pontos colineares ( alinhados )

A r

B r

C r

D r

Os pontos A, B e C são colineares, pois pertencem à mesma

reta r.

Os pontos B, C e D não são colineares, porque não pertencem à

mesma reta.

3) Por um ponto passam infinitas retas.

Figura 3

4) Por uma reta passam infinitos planos.

Figura 4

Figura2

Figura 1

2

5) Dois pontos distintos determinam uma

única reta.

r AB Figura 5

6) Três pontos não colineares (não

alinhados) determinam um único plano.

Figura 6

7) Uma reta que possui dois pontos distintos sobre o plano está contida nesse plano.

Figura 7

A e B

rA r e B r

CONSEQÜÊNCIAS!

(a) Se uma reta r tem apenas um ponto P comum com o plano , dizemos que r é

secante ao plano .

Figura 8

A e A r e r A

(b) Se uma reta r não tem ponto comum com o plano , dizemos que r é paralela ao

plano .

Figura 9

r

8) Postulado das paralelas.

Por um ponto P r passa uma única paralela à reta r.

Figura 10

r e P r

r//s

r

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DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

9) Postulado – Existe um único plano que passa por 3 pontos não colineares.

Figura 11

CONSEQÜÊNCIAS DO POSTULADO

1ª) Duas retas concorrentes determinam um único plano.

Figura 12

2ª) Duas retas paralelas determinaram um único plano.

Figura 13

3ª) Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.

Figura 14

POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO

1ª) A reta está contida no plano.·.

Figura 15

A e Br

AB r

4

2ª) A reta é paralela ao plano. 3ª) A reta é secante ao plano.

Figura 16 Figura 17

s

r r//

s//r

r A

POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS

Dois planos distintos podem ocupar as seguintes posições relativas.

1) Planos paralelos planos distinto: Dois

planos e que não têm pontos comuns

são chamados planos paralelos.

Figura 18

3) Planos secantes: têm apenas uma reta

comum.

Figura 19

2) Planos coincidentes: dois planos e

que têm todos os pontos comuns são

chamados coincidentes.

Teoremas

a) Se dois planos são paralelos, então qualquer reta de um deles é paralela ao outro plano.

Figura 19

s

r r// e s//

//

Observação: Se r é paralela a , então

existe pelo menos uma reta s , tal que

r//s.

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b) Se um plano contém duas retas r e s concorrentes, paralelas a um plano então é paralelo

à .

Figura 20

c) Existem retas paralelas contidas em dois planos não paralelos.

Figura 21

Reta e plano perpendiculares

Definição:

Dados uma reta e um plano , concorrentes no ponto P, dizemos que r é perpendicular a

quando r é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P.

Figura 22

Teorema (*) Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano , então r é perpendicular a

.

Figura 23

Os Planos e são secantes e as

retas s e r são paralelas.

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Teorema Se uma reta r é perpendicular a um plano , então qualquer reta t paralela a r é também

perpendicular a .

Figura 24

GEOMETRIA ESPACIAL: Projeção ortogonal e distâncias.

Projeção ortogonal de um ponto:

Chama-se projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano , ao ponto de interseção do plano com a reta

perpendicular a ele.

Na figura ao lado, P’ é a projeção do ponto P sobre o plano .

Projeção de uma figura:

Chama-se projeção ortogonal de uma figura F sobre um

plano ao conjunto das projeçãos ortogonais de todos os

pontos dessa figura sobnre o plano .

Na figura ao lado, F’ é a projeção da figura F sobre o plano

.

Projeção de uma reta: I) Se a reta r é perpendicular ao plano , sua projeção soobre

o plano é o um ponto.

Na figura ao lado a projeção ortogonal da reta r é o ponto P’.

II) Se a reta r não é perpendicular ao plano , a sua projeção

ortogonal sobre o plano é o conjunto das projeções ortogonais de todo os pontos de r sobre .

Na figura ao lado, a projeção ortogonal da reta r é a reta r’.

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Projeção de um segmento de reta sobre o plano:

A projeção ortogonal sobre um plano , de um segmento AB

contido em uma reta r não perpendicular a é o segmento

A'B' , onde A’ é a projeção ortogonal do ponto A sobre e B’

é a projeção ortgogonal do ponto B sobre o plano .

Observações:

a)Se r é secante a , A'B' é menor do que AB .

b)Se r é paralela a , A'B' é igual a AB .

Exercícios:

1) Observe as figuras e suas projeções ortogonais sobre o plano .

Do item a, podemos afirmar: a projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano pode

ser um ponto.

O que você pode afirmar sobre os itens b, c e d?

2) Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

a) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano pode ser um segmento.

b) A projeção ortogonal de uma circunferência sobre um plano pode ser um ponto.

c) Se a projeção ortogonal de AB sobre é A'B' , então a medida de A'B' é menor que a de AB .

d) Se a projeção ortogonal do ABC sobre um plano é o A'B'C' e ABC A'B'C', então o

ABC está contido em ou está contido em um plano distinto e paralelo a .

e) A projeção ortogonal de uma esfera sobre um plano é sempre um círculo.

f) As projeções de três pontos não-colineares sobre um plano podem ser três pontos colineares.

a) b)

c) d)

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3) Um segmento de reta AB , de medida 20 cm, está contido em uma reta que forma ângulo de 60º com um plano . Determine a projeção ortogonal deste segmento sobre o plano .

DISTÂNCIAS

1) Distância entre dois pontos: A distância entre dois pontos A e B distintos, é a medida do

segmento de reta AB .

Indicamos: ,ˆd .A B distancia entre A e B

Observação: se A e B coincidem, dizemos que a distância entre A e B é zero ( ,d 0A B ).

2) Distância entre um ponto e uma reta:

A distância entre um ponto P e uma reta r é a medida do segmento PP' , onde P’ é a projeção

ortogonal do ponto P sobre a reta r.

Observação: É muito importante diferenciar o conceito de distância entre o ponto P e a reta r da

distância entre o ponto P e um ponto da reta r.

,p Ad é a distância entre o ponto P r e o ponto A r , que

é diferente da distância do ponto P à reta r.

, , ,p A p r p Bd d d

Distância entre P e B é a distância entre o ponto P r e a

reta r , ,p r p Bd d .

A.

.B

Traça-se uma perpendicular

à r passando por P, para obter P’.

, , 'Distância entre P e r d dp r p p

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4) Considere o cubo de aresta 6 cm ao lado, de determine as seguintes distâncias:

a) ,B Hd ;

b) ,M Nd (N é médio de AD );

c) do centro da face EFGH ao ponto M;

d) , rHd ;

e) , rBd ;

f) da reta FBao ponto H.

g) do ponto M ao ponto H.

2) Distância entre duas retas:

A distância entre duas retas paralelas e distintas r e s é a distância entre qualquer ponto de uma

delas e a outra reta.

Observação: Quando as retas são coincidentes, é nula.

3) Distância entre ponto e plano:

A distância entre um ponto P e um plano , é a distância entre o ponto P e a sua projeção

ortogonal sobre o plano .

distância entre r e s r,s p,s p,p'd d d

distância entre P e P, P,P'd d Se P , então P, 0d

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3) Distância entre reta e plano:

Dados a reta r e o plano , sendo r // , a distância entre a reta r e o plano é a distância entre

qualquer ponto de r e o plano .

Nota: Se uma reta está contida em um plano ou é secante ao plano, a distância entre eles é nula.

3) Distância entre planos paralelos:

A distância entre dois planos paralelos e , é a distância entre um ponto qualquer de um deles e

o outro plano.

3) Distância entre duas retas reversas:

3-1) Definição: Duas retas r e s são reversas quando não existe plano que contém r e s.

P é um ponto qualquer de r. , , , 'd d dr P P P

, , , 'd d dP P P

, 0d

Todo plano que contém s não contém r. As retas s e t; s e r; são reversas. As retas r e t; q e s; q e r não são reversas.

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3-2) Distância entre duas retas reversas:

Chama-se distância entre duas retas reversas r e s, à distância entre uma ponto qualquer de uma

delas e o plano que contém a outra e é paralelo à primeira.

Exercícios:

5) O cubo ao lado tem a face ABCD contida no plano

e as retas s, t, r, q contêm as arestas EA , FG ,

BA e CG respectivamente.

a) Que retas não contidas no plano são

paralelas ao plano ?

b) Que retas são reversas?

c) Que retas são concorrentes? d) Quais retas são secantes ao plano ?

6) Observe os cubos de arestas medindo 8 cm

desenhados a seguir e as retas r e s.

a) Qual é a posição relativa das retas r e s?

b) Qual é a distância entre as retas r e s?

Traçando r’//r e r’ e s

Contidas em

Determinando a

distância de r a

, , , , 'd d d dr s r P P P

Resposta:

a) ____________________________

b) ____________________________

Resposta:

a) ____________________________

b) ____________________________

I ) II)

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7) Quantas são as retas determinadas pelos oito vértices de um cubo?

8) Considere o tetraedro regular MPQR representado na figura abaixo. Sabendo que cada aresta mede 6

cm e que N é ponto médio de QR , determine a distância do ponto N à reta que contem a aresta MP .

9) Os pontos A e B são as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos e , conforme sugere a

figura abaixo. Se o ângulo ˆAPB mede 150º, determine o ângulo entre os planos e .

Resposta:

a) ____________________________

b) ____________________________

Resposta:

a) ____________________________

b) ____________________________

III ) IV )

Tetraedro regular é o sólido de quatro faces em que

todas elas são triângulos equiláteros.

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10) Uma caixa tem seis faces retangulares e suas dimensões são:

comprimento AD x , largura AB x e altura BE 2x , conforme sugere a

figura abaixo.

Considere que M é o centro do retângulo ADGH e que a distância entre os

pontos M e B é igual a 6dm. Determine a medida do menor caminho sobre a

superfície dessa caixa que um ponto pode percorrer para se deslocar de M até o

vértice E.

11) Os planos e se interceptam na reta r formando um ângulo conforme sugere a figura ao lado. O

ponto A dista 2 cm da reta r, 2 cm do plano e 1 cm do plano . Calcule a medida do ângulo

formado pelos dois planos.

12) Um sólido de seis arestas tem três arestas congruentes medindo cada uma x centímetros. As

outras três arestas também são congruentes com y centímetros, cada uma. A figura abaixo

representa esse sólido com as arestas x contidas em um plano .

Se a distância do ponto P ao plano é 2 cm e a soma das medidas de todas as arestas é 30 cm,

calcule o ângulo da aresta y com o plano.

13) Considere um cubo de aresta igual a 4 cm e sua diagonal AC . Se B é ponto médio da aresta MN

conforme representado abaixo, calcule a área do triângulo ABC.

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14) A figura abaixo representa um cubo cuja diagonal MN mede 6 3 cm. Ligando-se os pontos médios

das arestas forma-se um hexágono regular ABCDEF. Calcule a área desse hexágono.

15) Observe a figura abaixo que representa um triângulo equilátero ABC contido em um plano . O ponto

H desse plano é equidistante dos pontos A, B e C e o segmento de reta AF é perpendicular à . Se

AF AB 6 cm, calcule o menor ângulo que a reta FH forma com o plano .

Respostas: 1) b) A projeção ortogonal de um polígono sobre um plano pode ser um segmento de reta;

c) A projeção ortogonal de um prisma de base retangular sobre um plano pode ser um retângulo;

d) A projeção ortogonal de um cilindro sobre um plano pode ser um círculo. 2) Verdadeiras: a, d, e, f ; falsas: b, c.

3) 10 cm

4) a) 6 3 cm ; b) 3 5 cm ; c) 3 2 cm; d) 3 2 cm ; e) 3 6 cm ; f) 6 3 cm ; g) 6 3 cm .

5) a) t; b) t e s, r e t, r e q; c) t e q, s e r; d) q e s.

6) I)a) reversas; b) 8 cm; II) a) reversas b) 8 cm; III) a) reversas b) 4 2 cm; V) a) reversas

b) 4 2 cm; 7) ) 28 retas 8) 3 2 cm; 9) 30º; 10) 4 dmx e a menor distância a percorrer pela

superfície é 2 13 dm ; 11) 75º; 12) 30º; 13) 4 6 cm² ; 14) 27 3 cm² ; 15) 60º.

Resolução questão 6 item IV.