Professor: Jarbas

A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano.

a

r

P

P’

A projeção ortogonal de uma reta s sobre um plano pode ser uma reta s’ ou um ponto.

a

Q s

s'

P

P’ Q’ P a

Q s

s' P’

Q’

a

s

P’

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano.

A B

C D

A’

D’ C’

B’

a

Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero.

Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero.

A B A = B

P

P’

r

Dados um ponto P e um plano a, a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre a. Caso P pertença ao plano a, dizemos que a distância entre eles é zero.

Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.

a P’

s

t

P

a P’

s

t

P

r

d

d

Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro.

a

b

P

P’

Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra.

P

P’

r

s

d

A medida do ângulo entre uma reta R e um plano P é igual à medida

do ângulo α formado pela reta R e a sua projeção ortogonal sobre o

plano.

Como é medido o ângulo entre uma reta e um plano ?

EXEMPLOS:

1) A distância de um ponto P a um plano α é 10 cm e sua projeção ortogonal P’ sobre α é o centro de um círculo contido nesse plano. Calcule o raio da circunferência , sabendo que a distância de P a qualquer Ponto da circunferência vale 8 cm.

2) Calcule a distância de um ponto P a um plano α, sabendo que uma reta r passa por P formando 30° com esse plano e que a distância de P ao ponto de intersecção A de r com α vale 16 cm.