Geometria de PosiçãoGeometria de PosiçãoGeometria de PosiçãoGeometria de Posição

Conceitos primitivosConceitos primitivosProf. DouglasProf. Douglas

Conceitos primitivos

• A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.o ponto, a reta e o plano.

O PontoO Ponto• Olhando-se a noite para um céu

estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

A RetaA Reta• Suponha agora que fosse possível

esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de retareta.. Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.

O PlanoO Plano• Considere o tampo liso de uma mesa,

sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um planoplano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

• Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então:

A

ponto r

retaα

plano

• A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:

• Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.).

• As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.).

• Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.).

Posições primitivas, postulados ou Posições primitivas, postulados ou axiomas.axiomas.

Postulados da existência

P1 – Existem infinitos pontos

P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos

A C E

DB

F

P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos

α

A

BC

E

F

D

r

Postulados da determinação

P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r

A

B

P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano

α

A B

C

Postulado da inclusão

P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano

α

rA

B

A α B α

A r

A r

r α∩

Postulados da separação

P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence.

A BO r

OA e OB são semi-retas opostas de origem O.

P8 – Postulado da separação : toda reta de um plano separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto.

α1 α2

r

OA B

α

α1 e α 2 são semi

- planos opostos de α.

P9 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto.

α

E1

E2

A

B

O

E1 e E2 são semi-espaços opostos de origem α

AB

Exercício

1. Prove que em um plano existem infinitas retas.

2. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes sentenças, justificando cada resposta.

a. Três pontos distintos determinam um único plano.b. Os vértices de um triangulo são coplanares.c. Se três pontos são coplanares, então eles são

colineares.

Posições relativas entre duas Posições relativas entre duas retasretas

Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser:

se todos os pontos de uma são pontos da outra.

• Coincidentes:Coincidentes:

rs

Indicamos:

r = s

• Paralelas:Paralelas:se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum.

α

r

s

Indicamos:

r//s

r//s ↔

r α

s α

r ∩ s = ø

∩∩

• Concorrentes:Concorrentes:

Se tem um único ponto em comum.

r

s

Indicamos:

r x s

r x s ↔ r s = {P}

∩

• Reversas (ou não Reversas (ou não coplanares):coplanares):

Se não existe plano que as contenha simultaneamente.

α

A

B

r

OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes.

Observação:

1.Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares.

Indicamos:

rs

r s

2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais.

α

A

B

r

s

Indicamos:

r s

Determinação de planosDeterminação de planos

Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado:

• Por três pontos não-colineares (postulado 5):Por três pontos não-colineares (postulado 5):

α

A B

C

• Por um ponto P e uma reta r, de modo que P Por um ponto P e uma reta r, de modo que P r: r:

α

P B

C De fato, se considerarmos os pontos distintos B e C de r, teremos três pontos B, C e P não-colineares e, pelo P5 eles determinam um plano.

• Por duas retas concorrentes:Por duas retas concorrentes:

αs

r

De fato, se considerarmos os pontos distintos A e B de modo que A P, A r, B P, B s, temos que, pelo P5, os pontos A, B e P determinam um plano

A

B

• Por duas retas paralelas:Por duas retas paralelas:

α

r

sA

B

C De fato, se considerarmos os pontos distintos A, B e C de modo que A r, B r e C s, temos que, pelo P5, esses três pontos determinam um plano.

Posições relativas entre uma retaPosições relativas entre uma reta e um plano e um plano

Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos:

Todos os pontos de r são pontos de αα . .

• 1º Caso: r contida em 1º Caso: r contida em αα

α

r

r α r ∩ α = r ∩

• 2º Caso: r paralela a 2º Caso: r paralela a αα

r e αα não têm ponto em comumnão têm ponto em comum

α

r // α ↔ r ∩ α =

r

É válido o seguinte teorema:

Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam paralelas.

α

r

s

• 3º Caso: r concorrente 3º Caso: r concorrente com com αα r e αα têm um único ponto em comumtêm um único ponto em comum . .

Indicamos: r xIndicamos: r x αα

α P

r x α ↔ r ∩ α = {P}

Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α

Indicamos:

r s

α

r

P

Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:

Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas.

α

r

P

s