GEOMETRIA ESPACIAL 2017

Tópicos a serem estudados

1) Geometria Espacial de Posição

2) Prismas

3) Pirâmides e troncos de Pirâmide

4) Cilindros

5) Cones e troncos de Cone

6) Esferas e seção da Esfera

7) Poliedros

8) Sólidos de Revolução *

9) Inscrição e Circunscrição de Sólidos *

* apenas EsPCEx

1) Geometria Espacial de Posição

POSTULADOS OU AXIOMAS

1º EXISTÊNCIA:

a) Existem infinitos pontos numa reta, bem como

fora dela;

b) Existem infinitos pontos num plano e também

fora dele;

1) Geometria Espacial de Posição

2º DETERMINAÇÃO:

a) Dois pontos distintos determinam uma única

reta que passa por eles;

b) Três pontos não-colineares determinam um

único plano que passa por eles;

1) Geometria Espacial de Posição

3º INCLUSÃO:

a) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem

a um plano, então essa reta está contida nesse

plano;

b) Se dois planos distintos possuem um ponto em

comum, então a intersecção desses planos é uma

reta que passa por esse ponto;

1) Geometria Espacial de Posição

4º PARALELAS

Por um ponto, fora de uma reta dada, passa uma

única paralela à reta dada (postulado de Euclides);

1) Geometria Espacial de Posição

Determinação de um plano

1 - por três pontos não colineares

2 - por uma reta e um ponto fora dela

1) Geometria Espacial de Posição

Determinação de um plano

3 - por duas retas concorrentes

4 - por duas retas paralelas distintas

1) Geometria Espacial de Posição

Exemplo 1

Analise as afirmações, marque V ou F e justifique

suas respostas

a) Três pontos distintos determinam um único

plano.

b) Os vértices de um triângulo são coplanares.

c) Se três pontos são coplanares, então eles são

colineares.

1) Geometria Espacial de Posição

POSIÇÕES RELATIVAS

• Entre duas retas

• De uma reta e um plano

• De dois planos

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE DUAS RETAS

• Coincidentes – quando equivalem a uma única

reta.

• Concorrentes – quando têm um único ponto em

comum.

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE DUAS RETAS

• Paralelas – duas retas distintas são paralelas

quando são coplanares e não tem ponto em

comum.

• Reversas - duas retas distintas são reversas

quando não existe plano que as contenha.

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE RETA E PLANO

• Reta contida no Plano – quando todos os

pontos da reta pertencem ao plano

• Reta e Plano concorrentes (ou secantes) –

quando tem um único ponto em comum

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE RETA E PLANO

• Reta e Plano paralelos – quando não tem

pontos em comum

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE DOIS PLANOS

• Coincidentes – quando equivalem a um mesmo

plano.

• Secantes ou concorrentes – quando são

distintos e têm intersecção não-vazia

1) Geometria Espacial de Posição

ENTRE DOIS PLANOS

• Paralelos – quando não tem ponto em comum

1) Geometria Espacial de Posição Exercícios:

1)

2)

3)

4)

1) Geometria Espacial de Posição Exercícios:

5)

1) Geometria Espacial de Posição Retas ortogonais – duas retas são ditas ortogonais quando são reversas e a paralela a uma delas, conduzida por um outro ponto da outra, é perpendicular a esta.

Se duas retas a e b formam ângulo reto:

Se duas retas a e b formam ângulo reto:

• Sendo reversas, são ortogonais

• Sendo coplanares, são perpendiculares

1) Geometria Espacial de Posição Reta e Plano Perpendiculares – uma reta

concorrente com um plano, num ponto O, é

perpendicular ao plano quando é perpendicular a

todas as retas do plano que passam por O.

1) Geometria Espacial de Posição Planos Perpendiculares – quando um deles

contém uma reta perpendicular ao outro.