GEOMETRIA ESPACIAL2017

3) Pirâmides• Uma pirâmide é um sólido geométrico pela reunião dos

segmentos de reta com uma extremidade em um ponto

fixo e outra num polígono dado sobre um plano fixo que

não contém esse ponto.

As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares.

3) Pirâmide - TiposPirâmide reta: a projeção ortogonal do vértice sobre o

plano da base é o centro da base (o centro geométrico do

polígono).

Pirâmide oblíqua: a projeção do vértice não coincide com

o centro da base.

Pirâmide regular: é uma pirâmide reta e sua base é um

polígono regular.

3) Pirâmide - ClassificaçãoOcorre de acordo com o número de faces do polígono da

base. Exemplos:• Pirâmide triangular: base é um triângulo.

• Pirâmide quadrangular: base é um quadrado.

• Pirâmide pentagonal: base é um pentágono.

• Pirâmide hexagonal: base é um hexágono.

Entre outras ...

3) Pirâmide – elementos I

Altura: distância entre o vértice e o plano da base.

3) Pirâmide – elementos IINuma pirâmide regular podemos ainda destacar:

• O polígono da base será inscritível numa circunferência de raio “d” que se

chamará RAIO DA BASE;

• As arestas laterais são congruentes;

• As faces laterais serão triângulos isósceles congruentes;

• Teremos o apótema da base e o apótema da pirâmide.

3) Pirâmide – relações importantesConsidere a pirâmide regular abaixo:

• No triângulo VOM temos:

• No triângulo VMB ou VMA temos:

• No triângulo VOA temos: 𝑎2 = 𝑟2 + ℎ2

3) Pirâmide – área totalConsidere a pirâmide quadrangular regular abaixo e sua respectiva

planificação:

𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏

𝐴𝑡 = á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐴𝑙 = á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝐴𝑏 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

3) Pirâmide – volumeConsidere a prisma reto de base triangular abaixo:

𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏

O volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma. Logo:

𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1

3𝐴𝑏 ∙ ℎ

3) Pirâmide – Tetraedro RegularTetraedro regular á a pirâmide que possui quatro faces, sendo todas elas

triângulos equiláteros.

3) Pirâmide – Exercícios I(01). Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 12 cm e

a aresta lateral, 10 cm. Calcular:

a) O apótema da pirâmide

b) O apótema da base

c) A altura h da pirâmide

d) A área total da pirâmide

(02). Num tetraedro regular, a altura mede 𝟐 𝟔 cm. Calcule área total

desse tetraedro. 𝐴𝑡 = 36 3 𝑐𝑚2

(03). A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 3 cm. Sabendo-

se que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcular o volume dessa

pirâmide. V = 30 𝑐𝑚3

CUIDADO!!!

ℎ𝑓 ≠ ℎ𝑏

3) Pirâmide – Exercícios II

Questão ESA

Em uma pirâmide reta de base quadrada de 4m de altura, uma aresta da base

mede 6m. A área total dessa pirâmide, em 𝒎𝟐 é:

(A) 144 (B) 84 (C) 48 (D) 72 (E) 96

Questão ESPCEX