paralelepípedo e pirâmide

Geometria Espacial (Paralelepípedo e Pirâmide)

Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área daBase (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) eVolume (V). Pirâmide: Definição, Elementos,Classificação, Planificação, Área da Base (AB),Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V).

Prof. Ary de Oliveira

Paralelepípedos – Definição

Paralelepípedo é um prisma composto por 6faces as quais são paralelogramos.


Tipos de Paralelepípedos

Os paralelepípedos podem ser:

� Paralelepípedo Oblíquo:

�Paralelepípedo Reto:�Paralelepípedo Reto:

� Paralelepípedo Reto-retângulo:(ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou BlocoRetangular)



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) (B)

(C) (D)



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) Oblíquo (B) Reto

(C) Reto (D) Oblíquo


Área da Base (AB)

Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros,então a área da base será a área do quadrilátero (quedepende do caso).

Retângulo Quadrado


Retângulo Quadrado

A b h= ×2

A l=

Área Lateral (AL)

Para o exemplo a seguir a área lateral de umparalelepípedo é dada por:

AL = 2(ac + bc)


Área Total (AT)

Para o exemplo a seguir a área total de umparalelepípedo é dada por:

AT = 2(ab + ac + bc)


Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tantouma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida daaresta do cubo em centímetros?


Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tantouma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida daaresta do cubo em centímetros?SOLUÇÃOSOLUÇÃOAT = 2(a2 + a2 + a2) = 24 dm2

2(3a2) = 246a2 = 24a2 = 4a = 2 dm x 10 � a = 20 cm


Volume

Assim como os prismas o volume doPARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área dabase (AB) pela altura do paralelepípedo (h).

V = AB x h

No exemplo acima o volume é: V = abc


Volume

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem aforma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metrosde altura?de altura?


Volume

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem aforma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metrosde altura?de altura?SOLUÇÃOa = 1 m x 10 = 10 dm V = 10 x 20 x 15b = 2 m x 10 = 20 dm V = 3000 dm3

c = 1,5 m x 10 = 25 dm OUV = abc = ? V = 3000 L


Pirâmide – Definição

Pirâmide é a reunião dos segmentos de reta comextremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos dopolígono contido no plano.


Elementos do Pirâmide (Parte I)


Elementos do Pirâmide (Parte II)

� Altura: É a distância entre o vértice e a base.� Aresta da Base: Os segmentos que unem os vérticesdo polígono da base.� Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices dopolígono da base ao vértice da pirâmide.polígono da base ao vértice da pirâmide.� Base: É a região poligonal na qual a pirâmide se apoia.� Face: É a região triangular delimitada pelas aresta dabase, aresta lateral e o vértice da pirâmide.� Vértice: É o ponto mais distante da base da pirâmide.


Elementos do Pirâmide (Parte II)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04Identifique os elementos da pirâmide a seguir:


Classificação da Pirâmide (Parte I)

A pirâmide pode ser classificada quanto:� Polígono da base:

� A projeção ortogonal do vértice:


Classificação da Pirâmide (Parte II)

OBS.:Na Pirâmide Reta a projeção ortogonal (ou vertical) dovértice sobre o plano da base coincide com o centro dabase, enquanto na Pirâmide Oblíqua a projeçãoortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da baseortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da baseNÃO coincide com o centro da base.



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono dabase e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)(A) (C)

(B) (D)



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono dabase e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)(A) (C)Quadrangular Reta Pentagonal Oblíqua

(B) (D)Quadrangular Oblíqua Hexagonal Reta


Planificações de Pirâmides

Até o presente momento mostramos as pirâmides,apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentaralgumas representações planas de pirâmides.Abaixo temos as planificações de Pirâmides de base:

Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06Classifique as planificações das pirâmides abaixo quantoao seu polígono da base.

(A) (C)(A) (C)

(B) (D)



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06Classifique as planificações das pirâmides abaixo quantoao seu polígono da base.

(A) Triangular (C) Quadrangular(A) Triangular (C) Quadrangular

(B) Hexagonal (D) Pentagonal


Área da Base (AB)

Nesse caso a área da base da pirâmide é a área dopolígono que compõe sua base.Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono


A b h= ×2

A l=

2

b hA

×=

23 3

2

lA =

Área da Base (AB)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07Calcule a área da base de uma pirâmide de basequadrada cuja aresta da base mede 8 cm.


Área da Base (AB)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07Calcule a área da base de uma pirâmide de basequadrada cuja aresta da base mede 8 cm.SOLUÇÃOl = 8 cml = 8 cmAB = l² = 8² = 64 cm²

l = 8 cm


Área Lateral – AL (Parte I)

Para começo de história devemos saber encontrar aapótema da pirâmide regular. Para só entãoencontrarmos a área lateral.Antes vejamos um exemplo:


Área Lateral – AL (Parte II)

Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusado triângulo VMN e também será a altura do triânguloque compõe a face BCV.Note que na pirâmide regular as face são congruente.Portanto a área lateral (A ) da pirâmide é a soma dasPortanto a área lateral (AL) da pirâmide é a soma dasáreas da face da pirâmide que é dada por:


14 4

2L LA A A la

∆= × ⇒ = ⋅

�perímetro

1 24

2 2L L

pA l a A a= × ⇒ = ×

LA p a= ×

Área Lateral – AL (Parte III)

Onde:AL : área lateral;A∆

: área de um face;l : lado do polígono da base;a : apótema da pirâmide;a : apótema da pirâmide;

2p : perímetro;p : semiperímetro.


Área Lateral – AL (Parte IV)

Generalizando a área lateral para uma pirâmide regularde “n” lados temos:

AL = pa



Uma pirâmide regular de basequadrada tem área da base 36cm² e altura 4 cm. Qual a árealateral da pirâmide dada?

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08

4 cm



Uma pirâmide regular de basequadrada tem área da base 36cm² e altura 4 cm. Qual a árealateral da pirâmide dada?

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08

4 cm

SOLUÇÃO


SOLUÇÃOEncontrando o lado do quadrado (l):A = l² = 36 cm² � l = 6 cmEncontrando o apótema (a)a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9a² = 25 � a = 5 cmEncontrando a área lateral (AL):AL = pa = 8x5 � AL = 40 cm²

h =

4 c

m

l/2 = 3 cm

Área Total (AT)

A área total de uma pirâmide regular é dada pela mesmaequação da área total do prisma, ou seja, a soma daárea da base (AB) com a área lateral (AL).Desse modo obtemos o seguinte:

AT = AB + AL


Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09De posse das informações do exercício anterior. Calculea área total.


Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09De posse das informações do exercício anterior. Calculea área total.SOLUÇÃOA = 36 cm² A = A + AAB = 36 cm² AT = AB + AL

AL = 40 cm² AT = 36 + 40AT = ? AT = 76 cm²


Volume (V)

O volume da pirâmide é um terço do volume do prismaque tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementarver isso, mas esta observação ajuda consideravelmenteno cálculo do volume da pirâmide.


1

3B

V A h= ×

Volume (V)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união deduas pirâmides regulares de bases quadradas conformea figura a seguir:


Volume (V)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união deduas pirâmides regulares de bases quadradas conformea figura a seguir:SOLUÇÃOSOLUÇÃOAB = l² = 4² = 16 cm²h = 6/2 = 3 cm


1 2 16 32

3B

V A h V× ×

= × × ⇒ =3

332 cmV =

paralelepípedo e pirâmide

Education