Geometria EspacialGeometria Espacialde posiçãode posição

Professor: João GilbertoProfessor: João Gilberto

IntroduçãoIntrodução A já conhecida A já conhecida Geometria PlanaGeometria Plana trata de trata de

figuras cujos pontos estão todos num mesmo figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões;dimensões;

A A Geometria EspacialGeometria Espacial trata de figuras cujos trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo pontos podem não estar todos num mesmo plano.plano.

Reta: figura plana de uma dimensão

Triângulo: figura plana de duas dimensões

Cubo: figura espacial de três

dimensões

A Geometria Espacial Métrica estuda volumes e superfícies de sólidos e a Geometria Espacial de Posição estuda as posições relativas de figuras geométricas no espaço.

A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos:– Postulado: proposição que se aceita verdadeira

sem demonstração;

– Teorema: proposição que se aceita como verdade por meio de demonstração.

São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de definição) na Geometria Espacial os conceitos de pontoponto, , retareta e e planoplano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:. Habitualmente, usamos a seguinte notação: pontos: pontos: letras maiúsculas do nosso alfabetoletras maiúsculas do nosso alfabeto

retas: retas: letras minúsculas do nosso alfabeto letras minúsculas do nosso alfabeto

planos: letras minúsculas do alfabeto gregoplanos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Conceitos primitivosConceitos primitivos

rr

AA

Axiomas, ou postulados (Axiomas, ou postulados (PP), são proposições aceitas ), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.para o desenvolvimento de uma teoria.

Postulado da Existência: Postulado da Existência:

Existem ponto, reta e plano.Existem ponto, reta e plano.

Numa reta, bem como fora dela, Numa reta, bem como fora dela,

existem infinitos pontos.existem infinitos pontos.

Num plano, bem como fora dele, Num plano, bem como fora dele,

existem infinitos pontos.existem infinitos pontos.

PostuladosPostulados

Existe ponto

Ponto APonto A

AExiste reta, e nela, bem como fora dela, existem

infinitos pontos.

Reta s

Existe plano, e nele, bem como fora dele,

existem infinitos pontos.

Postulado da Determinação:Postulado da Determinação:

Dois pontos distintos determinam uma única reta.Dois pontos distintos determinam uma única reta.

Três pontos não colineares determinam um único plano.Três pontos não colineares determinam um único plano.

rrAABB

AACC

BB

Postulado da Inclusão:Postulado da Inclusão:

Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano.nesse plano.

Postulado da divisão:Postulado da divisão:

Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi-Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi-retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas.retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi-Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi-planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos.planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos.opostos.

rrAA

BB

Se A r, A , B r e B r

A

BO

BO

AO

r

OB

OA

r

rr

Postulado da Intersecção:Postulado da Intersecção:

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto.têm uma única reta em comum passando por esse ponto.

Postulado das Paralelas:Postulado das Paralelas:

Dado um ponto Dado um ponto PP e uma reta e uma reta rr, existe e é única, a reta que , existe e é única, a reta que passa por passa por PP e é paralela à e é paralela à rr..

PPss

rr

Retas concorrentes: Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum.quando têm um único ponto em comum.

Retas paralelas distintas: Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum.ponto em comum.

Posições relativas de duas retasPosições relativas de duas retas

PP r

s

rr

ss

Retas paralelas coincidentes: Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em quando tiverem todos os pontos em comum.comum.

r = sr = s

r

sP

Retas reversas: quando não forem coplanares.

Ângulo entre retas reversasÂngulo entre retas reversas

Define-se ângulo entre duas retas reversas (Define-se ângulo entre duas retas reversas (rr e e ss) como ) como sendo o ângulo de uma reta sendo o ângulo de uma reta r’ r’ paralela a paralela a r r e concorrente e concorrente com com ss..

s

r r´

Retas perpendiculares:Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem quando forem concorrentes e formarem ângulo reto.ângulo reto.

Retas ortogonais: Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas).

rr

ssPP

PP

rr ss

PP

r'r'

São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares.perpendiculares.

Retas ortogonaisRetas ortogonais

a

b

c

d

e

f a e b são perpendiculares

c e g são paralelas

f e h são ortogonais

e e d são ortogonais

gh

Três pontos não colineares determinam um plano.Três pontos não colineares determinam um plano.

Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.

Determinação de PlanoDeterminação de Plano

rr

PP

AACC

BB

Duas retas paralelas distintas determinam um plano.Duas retas paralelas distintas determinam um plano.

Duas retas concorrentes determinam um plano.Duas retas concorrentes determinam um plano.

rr

ss

PPr

s

Quadrilátero reversoQuadrilátero reverso

É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha.seja, não há plano que os contenha.

A

B

C

D

Posições relativas de reta e planoPosições relativas de reta e plano Uma reta Uma reta está contidaestá contida em um plano quando ela tem dois pontos em um plano quando ela tem dois pontos

distintos pertencentes ao plano.distintos pertencentes ao plano.

Uma reta e um plano são Uma reta e um plano são concorrentesconcorrentes ou ou secantessecantes quando têm um quando têm um único ponto em comum.único ponto em comum.

rrAA BB

PP

rr

Uma reta é Uma reta é paralelaparalela a um plano quando eles não têm a um plano quando eles não têm

ponto em comum.ponto em comum.

rr

Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano.qualquer reta do plano.

Conceitos sobre paralelismo entre Conceitos sobre paralelismo entre reta e planoreta e plano

rr

ss

tt

Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.

Conceitos sobre paralelismo entre Conceitos sobre paralelismo entre reta e planoreta e plano

rr

ss

Dois planos são Dois planos são concorrentesconcorrentes ou ou secantessecantes se têm uma única reta se têm uma única reta em comum.em comum.

Dois planos são Dois planos são paralelos coincidentesparalelos coincidentes se têm todos os pontos em se têm todos os pontos em comum.comum.

Posições relativas de dois planosPosições relativas de dois planos

ii

=

Dois planos são Dois planos são paralelos distintosparalelos distintos quando não têm ponto em comum.quando não têm ponto em comum.

Conceitos sobre paralelismo entre planosConceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é

paralela ao outro.paralela ao outro.

ss

Conceitos sobre paralelismo entre planosConceitos sobre paralelismo entre planos Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um

deles é concorrente com o outro.deles é concorrente com o outro.

PP

QQ

Conceitos sobre paralelismo entre planosConceitos sobre paralelismo entre planos

Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos.plano, então esses planos também são paralelos.

PP

rr

ss

Reta e planoReta e plano

Uma reta é Uma reta é perpendicularperpendicular a um plano a um plano quando ela é concorrente quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de com o plano e é perpendicular a todos as retas de , que passam pelo , que passam pelo seu traço no plano.seu traço no plano.

PerpendicularismoPerpendicularismo

aa

bb

cc

ddeePP

PerpendicularismoPerpendicularismo

PP

ss

tt

rr

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

Planos perpendicularesPlanos perpendiculares

Dois planos sãoDois planos são perpendiculares perpendiculares se um deles contém uma reta se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.perpendicular ao outro.

rr ii

tt

Teorema das três perpendicularesTeorema das três perpendiculares

ssrr

tt

OO SS

aa

Sejam r, s e t três retas e um plano tais que r , r t, s t es t. Assim, qualquer reta a concorrente com r e s, passando por S, será perpendicular a s.

A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano.perpendicular ao plano.

Projeção ortogonalProjeção ortogonal

rr

PP

P’P’

A projeção ortogonal de uma A projeção ortogonal de uma reta r reta r sobre um plano pode ser uma reta sobre um plano pode ser uma reta r’ r’ ou um ou um pontoponto..

QQss

s's'

PP

P’P’ Q’Q’ PP

QQss

s's'P’P’

Q’Q’

ss

P’P’

A projeção ortogonal de um segmento de reta A projeção ortogonal de um segmento de reta PQPQ sobre sobre um plano pode ser um segmento um plano pode ser um segmento P’Q’ P’Q’ ou um ponto.ou um ponto.

A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’. pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’.

QQ

PPP’P’

Q’Q’

PP

QQ

P’ = Q’P’ = Q’

QQPP

P’P’ QQ’’

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano.sobre esse plano.

Projeção de uma figuraProjeção de uma figura

AA BB

CCDD

A’A’

D’D’ C’C’

B’B’

Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero.entre eles é zero.

Dados um ponto Dados um ponto PP e uma reta e uma reta rr, a distância entre eles é a distância entre , a distância entre eles é a distância entre PP e a e a sua projeção ortogonal sua projeção ortogonal P’ P’ sobre sobre r.r. Caso Caso PP pertença à reta pertença à reta rr, dizemos que a , dizemos que a distância é zero.distância é zero.

DistânciasDistâncias

AABB A = BA = B

PP

P’P’

rr

Dados um ponto P e um plano Dados um ponto P e um plano , a distância entre eles é a distância , a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre . Caso P pertença ao plano . Caso P pertença ao plano , dizemos que a distância entre eles é zero., dizemos que a distância entre eles é zero.

Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.plano.

P’P’ss

tt

PP

P’P’ss

tt

PP

rr

dd

dd

Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro.

PP

P’P’

Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra.

PP

P’P’

rr

ssdd

A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas).às duas retas).

rr

ss

P’P’

PP

dd