ficha de aula - geometria espacial de posiÇÃo

MATEMÁTICA – GEOMETRIA (3os anos)

ASSUNTO: GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃOProf. Edvaldo Benjamim

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

1. Introdução A Matemática é a Ciência que estuda os movimentos quantitativos e das formas do Universo. Para os movimentos quantitativos se desenvolveu a linguagem numérica.

Para as formas do Universo, criou-se a linguagem geométrica. A Geometria surgiu quando o homem tentou lidar com as formas da natureza, buscando representá-las simbolicamente. Já a Geometria Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de pedra) usados em construções. É quando ele descobre aspectos da natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do século

V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Pitágoras (570 a.C. a 480 a.C.), iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem geométrica.

2. Postulados

Existem dois tipos de proposições matemáticas: Os POSTULADOS, que aceitamos como verdadeiros sem demonstração; Os TEOREMAS, que aceitamos como verdadeiros após demonstração. Os postulados iniciais são divididos em quatro grupos: existência, determinação, inclusão e separação.

Postulados da existênciaP1. Existe ponto, existe reta e existe plano.

.A r Ponto A Reta r

Plano

P2. Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.

.A .B .C r

D E F G

P3. Num plano e fora dele existem infinitos pontos.

Matemática – Prof. Edvaldo Benjamim Página 1

.A .B .C .D .E

.F .G .H

Postulados da determinaçãoP4. Se dois pontos são distintos, então existe uma e uma só reta que passa por eles.

A B r

P5. Se três pontos são não-colineares (pontos que não estão numa mesma reta), então existe um e um só plano que passa por eles.

.A .C

.B

Postulado da inclusãoP6. Se uma reta tem dois de seus pontos distintos num plano, então essa reta está contida nesse plano.

r B A

OBSERVAÇÕES

1. ESPAÇO é o conjunto de todos os pontos.2. FIGURA GEOMÉTRICA é todo conjunto não-vazio de pontos.3. Duas ou mais figuras geométricas são COPLANARES, se estão contidas num mesmo plano.

Postulados da separaçãoP7. Postulado da separação de plano

Toda reta r separa um plano que a contém em duas regiões convexas (convexa quer dizer que: se ligarmos dois pontos dessa região por um segmento de reta, o mesmo permanecerá na parte limitada por essa região) 1 e 2, em cada uma das quais ela está contida, de forma que para cada X pertencente a uma dessas regiões e para cada Y


pertencente à outra, X r e Y r, o segmento de reta intercepta r em

um único ponto.

1 X 2

r Y

1 e 2 são denominados SEMIPLANOS e r é a origem desses semiplanos, que são opostos um ao outro.

P8. Postulado da separação do espaço

Todo plano separa o espaço E em duas regiões convexas, E1 e E2, em cada uma das quais está contido, de forma que para cada X pertencente a uma dessas regiões e para cada Y

pertencente à outra, X e Y , o segmento de reta intercepta em um único

ponto.

E1 X

Y E2

E1 e E2 são denominados semi-espaços e é a origem desses semi-espaços, que são opostos um ao outro.

3. Posições relativas entre duas retas POSTULADO DE EUCLIDES

Por um ponto P fora de uma reta r existe uma e uma só reta paralela à reta r.

.P P b // r r r


RETAS REVERSAS

Duas retas r e s são REVERSAS entre si não existe plano que as contenha. r s r

s

DETERMINAÇÃO DE PLANOS a) A EXISTÊNCIA e a UNICIDADE (ser único) de um plano estarão garantidas quando tivermos:

1º) três pontos NÃO-COLINEARES ou

.A

.B .C

2º) uma RETA e um PONTO fora dessa reta ou

r

.A

3º) duas RETAS distintas PARALELAS entre si ou

r s

4º) duas retas CONCORRENTES (duas retas são concorrentes quando se cruzam em um só ponto) entre si. r s

P r s = {P}


b) Se um ponto A não pertence a uma reta r, então existe um único plano que passa por eles.

.A .A

r r B C

c) Se duas retas distintas são paralelas entre si, então existe um único plano que passa por elas.

r r s

s

r // s

d) Se duas retas são concorrentes entre si, então existe um único plano que passa por elas.

r r

P s s

A P

B

r s = {P}

4. Posições relativas entre reta e plano RETA CONTIDA EM PLANO

Uma reta r está contida em um plano se r tem todos os pontos em .

r

r


RETA E PLANO PARALELOS

Uma reta r e uma plano são paralelos entre si r e não têm ponto comum.

r

r =

RETA E PLANO CONCORRENTES

Uma reta r e um plano são concorrentes (ou secantes) entre si r e têm um único ponto comum. O ponto comum chama-se TRAÇO da reta no plano. r

P

r = {P} e P é o TRAÇO de r em .

5. Posições relativas entre dois planos

PLANOS PARALELOS

Os planos e são paralelos entre si e coincidem ou e não têm ponto comum.

= = =


PLANOS CONCORRENTES

Dois planos distintos são concorrentes (ou secantes) entre si a INTERSECÇÃO deles é não-vazia.

Postulado

Se dois planos distintos têm intersecção não-vazia, então a intersecção é uma RETA.

= r

r

6. Retas Perpendiculares e retas Ortogonais

Retas Perpendiculares

Duas retas r e s são perpendiculares entre si r e s são concorrentes entre si e formam ângulos adjacentes (Ângulos Adjacentes dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns) congruentes (Ângulos Congruentes dois ou mais ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida) entre si.

Ângulos Adjacentes Ângulos Congruentes s s

D

= 45o = 45o

A O B r O r

e são ângulos CONSECUTIVOS e são ângulos CONGRUENTES. e ADJACENTES.

Veja a seguir a figura de duas retas perpendiculares entre si.


r s

r s

Retas Ortogonais

Duas retas r e s são ortogonais entre si r e s são reversas entre si e a reta paralela a uma delas, conduzida por um ponto da outra, é perpendicular a esta.

t // s

s P r t r s é ORTOGONAL a r

7. Perpendicularismo entre reta e plano

Reta e plano perpendiculares

Uma reta r e um plano são perpendiculares entre si se r é concorrente com e é

perpendicular a todas as retas de que passam pelo TRAÇO de r em .

r

r


Consequência

Se a reta r e o plano são perpendiculares entre si, então r forma ângulo reto com qualquer reta contida em .

Condição suficiente

Se uma reta r é perpendicular a duas retas distintas de um plano que passam por r ,

então r é perpendicular a .

8. Perpendicularismo entre planos

Planos Perpendiculares

Os planos e são perpendiculares entre si é concorrente com e um deles (dos planos) contém uma reta perpendicular ao outro.

s

r

r

r

9. Teoremas fundamentais

Intersecção de planos

Teorema

Se três planos distintos são dois a dois SECANTES segundo três retas distintas, então essas retas são concorrentes num só ponto ou são paralelas duas a duas.


Teorema

As intersecções não-vazias de dois planos paralelos entre si com um terceiro plano são paralelos entre si.

r

//

= r

= s

S r // s

Paralelismo

Teorema

Se uma reta r é paralela a um plano , então ela é paralela a uma reta (reta s) desse plano.

r

s r // r //s

Teorema

Se uma reta r não está contida num plano e é paralela a uma reta s do plano , então

essa reta r é paralela a esse plano .


r

s r // s r //

SINTETIZANDO

Uma condição necessária e suficiente para que uma reta r e um plano sejam paralelos entre si é que r não esteja contida em e seja paralela a uma reta contida em .

Teorema

Se um plano é determinado por duas retas concorrentes entre si, ambas paralelas a um plano , então e são paralelos entre si.

s r

P

r s = {P}

r // , s //

= plano (r, s)

//

Perpendicularismo

Teorema

Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes s e t de um plano , então ela é perpendicular a esse plano r s r t

Teorema


Se uma reta r forma ângulo reto com duas retas s e t concorrentes entre si de um plano , então ela é perpendicular a esse plano.

r

s r

t


Uma condição necessária e suficiente para que uma reta r seja perpendicular a um

plano é que ela forme ângulo reto (ângulo de medida 90o) com duas retas s e t concorrentes entre si contidas nesse plano.

Teorema das três perpendiculares

Se uma reta r é perpendicular a um plano em P (P é ponto do plano ), s é uma reta

qualquer de que passa por P, t é uma reta de perpendicular a s em Y, Y P, e X um

ponto qualquer de r, então é perpendicular a s.

r

X

t

s P Y

r , P , P r, s , P s, t , t s, Y s e Y t, X r s.


Teorema

Se dois planos e são perpendiculares entre si e uma reta r de um deles é

perpendicular à intersecção desses planos, então essa reta r é perpendicular ao outro plano

que não contém essa reta r.

S

r

r . r s P


Uma condição necessária e suficiente para que dois planos concorrentes sejam perpendiculares entre si é que toda reta de um deles, perpendicular à intersecção, seja perpendicular ao outro.

REFORÇANDO...

Postulados de divisão

P1. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes.

C

B Esse ponto divide em duas partes.

A

: semi-reta e : semi-reta


P2. Uma reta qualquer de um plano divide-o em duas partes.

1 r r1 : semiplano

2 r2 : semiplano

P3. Um plano qualquer divide o espaço em duas partes.

1 : semi-espaço

2 : semi-espaço1 2

OBSERVAÇÕES:

Retas coplanares São aquelas que estão contidas num mesmo plano.

r r r e s são

s s COPLANARES.

Retas Oblíquas são aquelas que não são perpendiculares.

O r 00 e 900.

s Duas retas reversas não têm ponto comum.


Se uma reta r é paralela a um plano , então ela será PARALELA ou REVERSA a qualquer

reta do plano, pois, para uma reta s , temos r s = .

Se uma reta r é perpendicular a um plano, ela será PERPENDICULAR ou ORTOGONAL a qualquer reta desse plano.

r

t r s s

P r t

QUADRILÁTERO REVERSO

Um quadrilátero é chamado QUADRILÁTERO REVERSO não existe plano contendo seus quatro vértices.

A B Os vértices A, B, C e D não estão

contidos num mesmo plano. C D

Uma FIGURA é PLANA quando seus pontos pertencem a um mesmo plano; caso contrário, a figura é chamada FIGURA REVERSA.

PLANOS SECANTES

Dois planos distintos que se interceptam (ou se cortam) são chamados PLANOS SECANTES (ou concorrentes). A reta comum é a intersecção desses planos ou o traço de um deles no outro.


P1. Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Existem infinitas retas no espaço. ( )b) Por uma reta passa um único plano. ( )c) Um plano tem infinitos pontos. ( )d) Três pontos são sempre coplanares. ( )e) Dados três pontos, existe um único plano que os contém. ( )f) Dois pontos determinam um único plano. ( )g) Três pontos alinhados pertencem a uma única reta. ( )h) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no plano. ( )i) Todo ponto de uma reta divide essa reta em duas partes iguais. ( )j) No espaço existem infinitos pontos. ( )k) Três pontos não-colineares determinam um único plano. ( )l) Dois semiplanos são sempre coplanares. ( )

P2. (Unicamp – SP) É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, porque isso não acontece com uma mesa de três pernas.

P3. Qual o número máximo de retas determinadas por seis pontos distintos (diferentes) e não-colineares ?

P4. Vamos considerar o cubo ABCDEFGH. Com base na figura, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmativas:

E F a) As retas e são coplanares.

( )

b) As retas e são concorrentes

no ponto D. ( )

c) As retas e são reversas. ( )

A B d) As retas e são ortogonais.

( ).e) A intersecção entre os planos BFCG

e ABFE é a reta . ( )

H G f) As retas e são paralelas. ( )

g) As retas e são perpendicula-

res. ( )

h) As retas e são oblíquas. ( )


D C i) Os planos que

contêm as retas e

têm intersecção vazia. ( )

P5. Classifique como certo (C) ou errado (E) cada afirmação:

a) Duas retas reversas nunca são coplanares. ( )b) A condição r s = é suficiente para que as retas r e s sejam reversas. ( )

c) Se r s = r, então r e s são retas coincidentes. ( )

d) Se r e s são coplanares e r s = , então r e s são retas paralelas. ( )e) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas. ( )f) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares. ( )g) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. ( )h) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum. ( )

P6. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:

a) Sempre que três retas têm um ponto comum, elas são coplanares. ( )b) Uma reta e um ponto determinam um único plano. ( )c) Quatro pontos não-coplanares determinam quatro planos. ( )d) Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. ( )e) Duas retas distintas determinam um único plano. ( )f) Se duas retas são reversas e uma terceira reta é concorrente com as duas, então elas determinam dois planos distintos. ( )g) Três pontos distintos determinam um único plano. ( )h) Três pontos distintos não-colineares determinam um único plano. ( )

P7. Calcule o número máximo de planos determinados por cinco pontos distintos e não-colineares.

P8. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes proposições:

a) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. ( )b) Se uma reta é paralela a um plano, ela não é paralela a todas as retas do plano. ( )c) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. ( )d) Por um ponto não pertencente a um plano, pode-se traçar apenas uma reta paralela a esse plano. ( )e) Se uma reta r está contida em um plano, então toda reta paralela a r também está contida nesse plano. ( )f) Se uma reta r é secante a um plano α, então existem infinitas retas de α concorrentes com

r. ( )

g) Se a reta r “fura” o plano no ponto P, então r é concorrente ao plano. ( )

h) Se r = , então r “fura” em um único ponto. ( )


P9. Classifique como verdadeira (V) ou (F) cada afirmação:

a) Se dois planos têm uma reta em comum, eles são secantes. ( )b) Se uma reta é paralela a intersecção de dois planos, então ela não é concorrente a qualquer dos dois. ( )c) A intersecção entre dois planos secantes é sempre uma reta. ( )d) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à intersecção dos planos. ( ).e) Se dois planos têm um ponto em comum, então eles são secantes. ( )f) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro. ( )g) Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a qualquer reta do outro. ( )h) Se dois planos são paralelos, toda reta de um plano é paralela a uma reta do outro. ( )

P10. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:

a) Por uma reta perpendicular a um plano passa um único plano perpendicular ao plano dado. ( )b) Se uma reta é perpendicular a um plano, ela é perpendicular ou ortogonal a qualquer reta do plano. ( )c) Sempre que dois planos são paralelos a uma mesma reta, eles são paralelos entre si. ( )d) Qualquer reta que seja paralela a um plano é paralela a infinitas retas desse plano. ( )e) Se duas retas são paralelas a um mesmo plano, então é necessário que elas sejam paralelas entre si. ( )f) A intersecção de dois planos perpendiculares a um terceiro plano é uma reta perpendicular a esse terceiro plano. ( )g) Três pontos distintos não são colineares. ( )h) Três pontos não-colineares são distintos. ( )i) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. ( )j) Para obter uma reta é suficiente obter dois pontos distintos da reta. ( )k) Dois pontos determinam uma única reta. ( )l) Duas retas distintas determinam um único plano. ( )

10. Figura Côncava e Figura Convexa

Uma figura geométrica F é CÔNCAVA se existe um segmento de reta , com A F,

B F e A B, NÃO CONTIDO em F.

Exemplos:

F: Quadrilátero F: Circunferência


A

A

B

B

Uma figura geométrica F é CONVEXA se, quaisquer que sejam os

pontos distintos A e B pertencentes a F, o segmento de reta ESTÁ CONTIDO em F.

Exemplos:

F: Círculo F: Triângulo P11. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Existem infinitas retas. ( )b) Num plano existem infinitas retas. ( )c) Fora de um plano existem infinitas retas. ( )d) Por dois pontos passam infinitos planos. ( )e) Três pontos determinam um único plano. ( )f) Por três pontos distintos podem passar infinitos planos. ( )g) Um segmento de reta, não-nulo, é convexo. ( )h) Um plano é convexo. ( )

P12. Quais são os planos determinados pelos pontos A, B, C e D não-coplanares ?

P13. Na figura temos um bloco retangular. Das retas que passam pelas suas ARESTAS, citar as que são: E H

a) paralelas a ;

D C

b) concorrentes com ;

F G

c) reversas com . A B

P14. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Duas retas que não se interceptam são paralelas entre si. ( )b) Duas retas que não se interceptam são reversas entre si. ( )c) Duas retas que têm ponto comum são concorrentes entre si. ( )d) Três retas distintas, concorrentes duas a duas, são coplanares. ( )e) Se três retas distintas são coplanares, então elas são paralelas duas a duas ou são concorrentes duas a duas em três pontos distintos, ou concorrem num mesmo ponto. ( )


A

A

B

B

P15. Classificar cada asserção em verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Três pontos determinam um único plano. ( )b) Um ponto e uma reta determinam um único plano. ( )c) Duas retas paralelas entre si determinam um único plano. ( )d) Duas retas que têm ponto comum determinam um único plano. ( )

P16. Na figura temos um bloco retangular. Das retas que passam pelas suas ARESTAS, citar as que: H Ga) são paralelas ao plano (A, B, C, D); E Fb) são concorrentes com o plano (B, C, H, G); C Bc) estão contidas no plano (C, D, E, H). D AP17. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) r s = r e s são reversas. ( )b) r e s são reversas r s = . ( )c) r s = r e s são paralelas. ( )d) r // s, r s r s = . ( )e) A condição r s = é necessária para que r e s sejam reversas. ( )f) A condição r s = é suficiente para que r e s sejam reversas. ( )g) A condição r s = é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas. ( )h) A condição r s = é suficiente para que duas retas r e s sejam paralelas. ( )

P18. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes. ( )b) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum. ( )c) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum. ( )d) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum. ( )e) Se uma reta está contida num plano, eles tem um ponto comum. ( )f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. ( )g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa a reta dada. ( )h) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada. ( ).i) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. ( ) j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas desse plano. ( )k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. ( )l) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele. ( )m) Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano. ( ) n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta. ( )


a) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes. ( )b) Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares. ( )


c) Se duas retas são perpendiculares, então elas forma ângulo reto. ( )d) Se duas retas são ortogonais, então elas formam ângulo reto. ( )e) Duas retas que forma ângulo reto podem ser reversas. ( )f) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si. ( )g) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. ( )h) Se duas retas formam ângulo reto, toda paralela a uma delas forma ângulo reto com a outra. ( )


a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes. ( )b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano. ( )

c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano. ( )d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. ( )e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está contida no plano. ( )f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. ( )g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano. ( )h) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano. ( )i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano. ( )j) Duas retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano. ( )k) Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Se uma reta forma ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano. ( )l) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. ( )m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele. ( )n) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos. ( )


a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares. ( )b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes. ( )c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro. ( )d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado. ( )e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. ( )f) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos. ( )g) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro. ( )


h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. ( )i) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao plano dado, então ele é perpendicular à reta. ( )j) Por uma reta passa um plano perpendicular a um plano dado. ( )k) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles forma ângulo reto com qualquer reta do outro. ( )

P22. Determine a posição de uma reta r e um plano nos casos a seguir:

a) r = {P} (P é um ponto do plano )

b) r =

c) r = r

T1. Indique a alternativa falsa:

a) Reta é um conceito primitivo.b) A reta é ilimitada nos dois sentidos.c) A reta tem infinitos pontos.d) Dois pontos distintos determinam uma única reta.e) A reta tem origem e não tem extremidade.

T2. Sejam quatro pontos A, B, C e D, não-coplanares. O número de planos determinados por dois desses pontos e pelo ponto médio do segmento que liga os outros dois é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) n.d.a.

T3. Indique a preposição correta:

a) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas.b) Duas retas que não têm ponto em comum são reversas.c) Duas retas reversas são coplanares.d) Duas retas paralelas podem ser reversas.e) n.d.a.

T4. Observe o cubo representado na figura:

A B Considerando as retas que contêm as arestas desse cubo, podemos formar quantos pares de retas rever- H E sas ? Aresta D C a) 12 b) 48 c) 24 d) 36 e) n.d.a

G F


T5. Indique a proposição verdadeira:

a) r // s r s = d) r // s r s = {P}b) r s = r // s e) n.d.a.c) r s = r e s são reversas

T6. (PUC – SP) São dadas três retas de um plano, sendo duas paralelas e a terceira transversal. Qual é o número de pontos desse plano que equidistam das três retas ?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

T7. Se duas retas (r e s) no espaço são perpendiculares a uma terceira (t), então:

a) r e s são paralelas d) r e s são ortogonais

b) r e s são perpendiculares e) r e s podem ser reversas

c) r e s são coplanares

T8. (FEI – SP) Na determinação de um plano são suficientes os seguintes elementos:

a) duas retas distintas d) duas retas concorrentesb) uma reta e um ponto e) n.d.a.c) duas retas reversas

T9. Indique a alternativa falsa:

a) Dados dois pontos distintos A e B, existe um plano que os contém.b) Por um ponto fora de uma reta existe uma única reta paralela à reta dada.c) Existe um, e somente um, plano que contém um triângulo dado.d) Duas retas não-coplanares são reversas.e) Três pontos distintos e não-colineares determinam um, e um só, plano.

T10. Duas retas paralelas a um plano:

a) são paralelas. d) são concorrentesb) são ortogonais. e) nada podemos afirmarc) são reversas.

T11. Se r é uma reta paralela a um plano , então:

a) todas as retas de são paralelas a r.b) a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de .c) existe em retas paralelas a r e retas perpendiculares a r.d) existe em retas paralelas a r e também existem em retas reversas em relação a r.e) n.d.a.


T12. (Mackenzie – SP) Sendo r e r’ reversas, o número de planos paralelos

a r, e que podem passar por r’, é:

a) 2 b) 1 c) infinito d) 0 e) n.d.a.

T13. Dois planos são paralelos e um deles é interceptado por um terceiro plano. As intersecções são:

a) retas paralelas d) retas concorrentesb) retas perpendiculares e) n.d.a.c) retas reversas

T14. (U. Taubaté – SP) Indique a alternativa constituída por uma informação incorreta:

a) Os vértices de um triângulo são coplanares.b) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.c) Duas retas não-coplanares são reversas.d) Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente quatro planos.e) Em dois planos paralelos, todas as retas contidas em um deles são paralelas ao outro.

T15. (Osec – SP) O ponto P pertence aos planos e . Nessas condições, é correto afirmar que os planos e :

a) são coincidentes. d) têm como intersecção o ponto P.b) são paralelos. e) são perpendicularesc) têm uma reta comum, que passa por P.

T16. (FEI – SP) Indique a alternativa falsa:

a) Se dois planos são paralelos distintos, então toda reta de um deles é paralela ou reversa a qualquer reta do outro.b) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro.c) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.d) Se duas retas concorrentes de um plano são paralelas a um outro plano, então os dois planos são paralelos.e) Se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro.

T17. (ESPM – SP)

I. Uma reta e um plano que têm um ponto em comum são concorrentes. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se duas retas de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas concorrentes de outro plano, então estes planos são paralelos.

a) Apenas I é verdadeira. d) II e III são verdadeirasb) Apenas II é verdadeira. e) I e III são falsasc) Apenas III é verdadeira.


T18. Se uma reta r é perpendicular a um plano , então:

a) r é concorrente com toda reta de .

b) r é paralela a toda reta de .

c) r é perpendicular a todo plano paralelo a .

d) r é perpendicular a todo plano perpendicular a .

e) toda reta perpendicular a r é perpendicular a .

T19. Indique a proposição verdadeira.

a) Se dois planos são perpendiculares, toda reta contida em um deles é perpendicular ao outro.b) Se dois planos são perpendiculares, toda reta contida em um deles é paralela ao outro plano.c) Se a reta r é perpendicular ao plano , existe um único plano contendo r e que é perpendicular ao plano .d) Se dois planos são perpendiculares, então existe uma reta contida em um deles e que é perpendicular ao outro.e) n.d.a.

T20. (Fuvest – SP) Dados um plano e uma reta r, podemos afirmar que:

a) existe um plano que contém r e é perpendicular a .

b) existe um único plano que contém r e é perpendicular a .

c) existe um plano que contém r e é paralelo a .

d) existe um único plano que contém r e é paralelo a .

e) qualquer plano que contém r intercepta o plano .

T21. (U. Católica de Salvador – BA) Sejam o plano e a reta r, paralela a . Nessas condições, é verdade que:

a) toda reta paralela a r está contida em .

b) toda reta perpendicular a r é perpendicular a .

c) toda reta ortogonal a r é perpendicular a .

d) existem retas paralelas a r que são perpendiculares a .

e) existem retas contidas em , que não são paralelas a r.

T22. (UFSE) Sejam a reta r e o ponto P, não pertencente a ela, contidos em um mesmo plano . Nessas condições, é verdade que:

a) toda reta que passa por P intercepta r.

b) toda reta que passa por P está contida em .

c) existe uma única reta que passa por P e é concorrente com r.

d) existe um único plano perpendicular a que contém r.

e) existe um único plano perpendicular a que contém P.


T23. (U. MACK – 79) Considere as afirmações:

I – Se uma reta é paralela a dois planos, então estes planos são paralelos. II – Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro. III – Se duas retas são reversas, então existe uma única reta perpendicular comum a elas.

Então:

a) todas são verdadeiras.b) somente a II é verdadeira.c) somente a III é verdadeira.d) somente a I é verdadeirae) somente II e III são verdadeiras.T24. (PUC – SP – 80) Se r e s são retas reversas, então pode-se garantir que:

a) todo plano que contém r também contém s.

b) existe um plano que contém r e é perpendicular a s.

c) existe um único plano que contém r e s.

d) existe um plano que contém r e é paralelo a s.

e) toda reta que encontra r encontra s.

T25. (U. MACK – 80) Considerando-se as afirmações abaixo, assinale a alternativa correta:

I – Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. II – Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas. III – Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é perpendicular à inter- secção desses planos.

a) Somente a afirmação I é verdadeira.b) Somente a afirmação II é verdadeira.c) São verdadeiras as afirmações II e III, apenas.d) Todas as afirmações são verdadeiras.e) Nenhuma afirmação é verdadeira

T26. (PUC – SP – 80) Assinale a afirmação verdadeira:

a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si.c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.

T27. (PUC – SP – 81) Dois planos e se cortam na reta r e são perpendiculares a um plano . Então:

a) e são perpendiculares. d) todo plano perpendicular a encontra r.

b) r é perpendicular a e) existe uma reta paralela a e a r.

c) r é paralela a


T28. (U. F. BA – 81) Sendo e dois planos e r1 e r2 duas retas, tais que // , r1 e

r2 // , então r1 e r2 podem ser:

a) paralelas a . c) coincidentes e) ortogonaisb) perpendiculares a . d) oblíquas

T29. (FUVEST – 82) Sejam r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:

a) existe uma reta perpendicular a r e a s.

b) r e s determinam um único plano.

c) existe um plano que contém s e não intercepta r.

d) existe uma reta que é paralela a r e a s.

e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.

T30. (F. SANTANA – 83) Sejam e dois planos paralelos e seja r uma reta de . Assinale a sentença verdadeira:

a) Toda reta de é paralela a r.

b) Toda reta perpendicular a é perpendicular a r.

c) Não existe em uma reta paralela a r.

d) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta concorrente com s e paralela a

r.

e) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta paralela a s, que é paralela a r.

P1. a) Verdadeira, postulado fundamental. b) falsa. c) verdadeira. d) verdadeira. e) Falsa, se os pontos forem colineares, passam infinitos planos. f) Falsa, dois pontos determinam uma reta e por ela passam infinitos planos. g) verdadeira. h) verdadeira. i) Falsa, a reta é infinita; portanto, não tem ponto médio. j) Verdadeira, postulado fundamental. k) verdadeira. l) falsa.


P2. “Três pontos distintos, não-colineares, determinam um plano”. Na mesa com quatro pernas, há a possibilidade de uma delas não estar apoiada no mesmo plano em que as outras três estão apoiadas, podendo fazer com que a mesa balance.

P3. 15 retas.

P4. a) falsa. b) verdadeira. c) verdadeira. d) verdadeira. e) falsa. f) verdadeira. g) verdadeira. h) falsa. i) verdadeira.

P5. a) V b) F, pois r e s podem ser paralelas. c) V d) V e) F, pois duas retas reversas também não têm ponto comum. f) F, pois podem também ser ortogonais. g) F, pois elas podem ser coincidentes. h) V

P6. a) Falsa. b) Falsa, pois o ponto pode pertencer à reta. c) Verdadeira. d) Verdadeira. e) Falsa, as retas reversas também são distintas e estão em planos diferentes. f) Verdadeira. g) Falsa, se eles forem colineares teremos infinitos planos passando por eles. h) Verdadeira.

P7. C5,3 = 10.

P8. a) falsa. b) verdadeira. c) verdadeira. d) Falsa, pois dado um plano e um ponto fora dele, pode-se traçar infinitas retas paralelas a esse plano passando por esse ponto. e) falsa. f) verdadeira. g) verdadeira. h) Falsa, pois r pode estar contida no plano .

P9. a) Falsa, pois os planos podem ser coincidentes. b) verdadeira. c) verdadeira. d) verdadeira. e) Falsa, eles podem ser coincidentes e ter infinitos pontos em comum. f) verdadeira.

P10. a) Falsa. b) verdadeira. c) Falsa, os planos podem não ser paralelos. d) verdadeira. e) Falsa, elas podem ser concorrentes ou reversas. f) verdadeira (perpendicularismo de planos).


g) Falsa, podemos ter três pontos distintos e colineares. h) verdadeira. i) verdadeira. j) verdadeira. k) Falsa, os pontos podem ser coincidentes. l) Falsa, pois elas podem ser reversas.

P11. a) V b) V c) V d) V e) F f) V g) V h) V

P12. Plano (A, B, C), Plano (A, B, D), Plano (A, C, D), Plano (B, C, D).

P13. a) b) c)

P14. a) F b) F c) F d) F e) F

P15. a) F b) F c) F d) F

P16. a) b) c)

P17. a) F b) V c) F d) V e) V f) F g) V h) F

P18. a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) F h) F i) F j) V k) F l) V m) V n) F

P19. a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) F h) V

P20. a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) V h) F i) V j) V k) V l) F m) V n) V

P21. a) F b) V c) F d) F e) F f) F g) V h) V i) F j) V k) F

P22. a) concorrente. b) paralela. c) contida.

T1. E T16. C

T2. B T17. C

T3. E T18. C

T4. C T19. D

T5. A T20. A

T6. C T21. E

T7. E T22. D

T8. D T23. E


T9. A T24. D

T10. E T25. C

T11. D T26. C

T12. B T27. B

T13. A T28. E

T14. B T29. A

T15. C T30. D


ficha de aula - geometria espacial de posiÇÃo

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