introdução Às funções

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Escola de Ciencia e Tecnologia

Aula 4 - Introducao a`s Funcoes

Jose Crisanto

Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 1 / 1

Referencias Bibliograficas:

1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matematica Elementar. Vol.

1. 7a ed, Sao Paulo: Atual, 1993. (Captulo 5).



Introducao a`s funcoes

Relembrando...

Sejam A e B dois conjuntos nao vazios.

(a) O produto cartesiano A B = {(a, b)|a A e b B} e oconjunto dos pares ordenados (a, b), onde a A e b B.

(b) Os eixos de valores reais x e y , perpendiculares em 0, da origem ao

sistema de eixos cartesianos representado por xOy .

(c) No par ordenado (a, b), o valor real a e denominado abscissa e e

representado no eixo x e o valor real b e denominado ordenada e e

representado no eixo y .

(d) Denomina-se relacao a um subconjunto de A B.Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 3 / 1



Exemplo 1

Se A = {(1, 2, 3)} e B = {1, 2}, temosA B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.




Exemplo 2

Sejam A = {(1, 2, 3)}, B = {1, 2} eA B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Abaixo temosalguns exemplos de relacoes entre A e B:

(a) R1 = A B(b) R2 = {(1, 1)}(c) R3 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3)}




Definicao 1

Sejam A e B conjuntos nao vazios. Uma funcao f de A em B e uma relacao que

para todo x A associa um so y B, tal que (x , y) f . Simbolicamente,f : A B e uma funcao cuja lei de correspondencia e f (x) = y.

Na definicao acima, temos:

O domnio de f , denotado por D(f ), e o conjunto das abscissas x , tais que

f (x) = y . Isto, e D(f ) = A.

O contra-domnio de f , denotado por CD(f ), e o conjunto B.

A imagem de f , denotada por Im(f ), e o conjunto das ordenadas y B,tais que f (x) = y .




Uma relacao f nao e funcao se nao satisfaz pelo menos uma das condicoes

da definicao. Isto e:

(a) se existir um elemento de A sem correspondente em B;

(b) se existir pelo menos um elemento de A com mais de um

correspondente em B.




Podemos verificar pela representacao cartesiana da relacao f de A em B se

f e ou nao funcao: basta verificarmos se as retas parelelas ao eixo y

passando por (x , 0), onde x A, interceptam o grafico de f em um unicoponto. Veja os exemplos abaixo:

(a) A relacao f de A em R representada abaixo, onde

A = {x R| 1 x 3}, e funcao.




(b) A relacao f de A em R representada abaixo, onde

A = {x R| 2 x 2}, nao e funcao.(c) A relacao f de A em R representada abaixo, onde

A = {x R|0 x 4}, nao e funcao.




Exemplo 3

Veja abaixo o domnio e a imagem das funcoes representadas graficamente:




As funcoes que apresentam maior interesse na Matematica sao as

aquelas em que o domnio A e o contradomnio B sao subconjuntos

de R.

E comum nos referirmos a` uma funcao f apenas pela sentenca aberta

y = f (x). Nesse caso, o domnio e o subconjunto dos numeros reais

para os quais a funcao esta definida.




Apresentamos abaixo algumas funcoes e seus respectivos domnios.

(a) f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx

n esta definida para todo

x R. Logo, D(f ) = R.

(b) f (x) =g(x)

h(x)nao esta definida em x , tal que h(x) = 0.

Logo, D(f ) = {x R|h(x) 6= 0}.

(c) f (x) =

g(x) nao esta definida em x , tal que g(x) < 0.

Logo, D(f ) = {x R|g(x) 0}.




(d) f (x) = 2n

g(x) nao esta definida em x , tal que g(x) < 0.

Logo, D(f ) = {x R|g(x) 0}.

(e) f (x) = 3

g(x) esta definida para todo x R. Logo,D(f ) = R.

(f) f (x) = 2n+1

g(x) esta definida para todo x R. Logo,D(f ) = R.




(g) f (x) =g(x)

2n

h(x)nao esta definida para x , tal que h(x) = 0 e

h(x) < 0. Logo, D(f ) = {x R|h(x) > 0}.

(h) f (x) =g(x)

2n+1

h(x)nao esta definida para x , tal que h(x) = 0.

Logo, D(f ) = {x R|h(x) 6= 0}.

(i) f (x) =2n

g(x)

h(x)nao esta definida para x , tal que g(x) < 0 e

h(x) = 0. Logo, D(f ) = {x R|(g(x) 0) (h(x) 6= 0)}.




Exemplo 4

Determine o domnio das funcoes abaixo:

(b) f (x) = x2

Solucao: Como x2 R para todo x R, temos D(f ) = R

(c) y = 1x

Solucao: D = R

(d) g(x) =

x

Solucao: D(g) = {x R|x 0} = R+




(e) y = 3

x

Solucao: D = R)

(f) f (x) = 1x+2

Solucao: D(f ) = {x R|x 6= 2}

(g) f (x) =

x+2x2

Solucao: A funcao f esta definida para os valores de x que satisfazem

simultaneamente x + 2 0 e x 2 6= 0. Isto e,

D(f ) = {x R|x 2 e x 6= 2}




Funcoes iguais

Definicao 2

Duas funcoes f : A B e g : C D sao iguais se, e somente se,apresentarem:

(a) domnios iguais (A = C )

(b) contradomnios iguais (B = D)

(c) f (x) = g(x) para todo x do domnio.




Exemplo 5

Sejam f : R R e g : R R funcoes definidas por

f (x) = x 1 e g(x) = x2 1

x + 1

Note que ambas as funcoes estao definidas para os mesmos valores, isto e,

para todo x R. Alem disso, podemos reescrever a funcao g da seguinteforma:

g(x) =x2 1x + 1

=(x + 1)(x 1)

x + 1= x 1 = f (x)

Neste caso e correto pensarmos em reescrever a funcao g(x) =x2 1x + 1

de uma maneira mais

simples, isto e, f (x) = x 1.Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 19 / 1



Exemplo 6

Sejam f : R R e g : R {1} R funcoes definidas por

f (x) = x + 1 e g(x) =x2 1x 1

Note que as funcoes f e g nao possuem o mesmo domnio. Isto e, D(f ) = R e

D(g) = R {1}. Apesar de ser valida a equivalencia abaixo:x2 1x 1 =

(x + 1)(x 1)x 1 = x + 1

nao podemos dizer que as funcoes f e g sao iguais. O grafico de g difere do de f

por ser aberto em x = 1.



Exemplos Gerais




Exemplo 7

Para f (x) = x3, temos:

(a) D(f ) = R

(b) f (1) = (1)3 = 1; f (0) = 03 = 0; f (1) = 13 = 1(c) O grafico de f e:




Exemplo 8

Para f (x) =

x, temos:

(a) D(f ) = {x R|x 0}(b) f (0) =

0 = 0; f (4) =

4 = 2; f (t2) =

t2 = |t|

(c) O grafico de f e:




Exemplo 9

Para f (x) = 1x

, temos:

(a) D(f ) = {x R|x 6= 0}(b) Grafico de f :

Para x > 0, a` medida que x vai aumentando, y = 1x

vai se aproximando de

zero (x = 10 y = 110

, x = 100 y = 1100

, etc). Por outro lado, a` medida

que x vai se aproximando de zero, y = 1x

vai se tornando cada vez maior

(x = 110 y = 10, x = 1

100 y = 100, etc). Para x < 0, o raciocnio e

analogo.




Exemplo 10

Dada a funcao f (x) = x2 + 2x, simplifique as expressoes:(a)

f (x) f (1)x 1 (b)

f (x + h) f (x)h

Solucao:

(a)f (x) f (1)

x 1 =(x2 + 2x) 1

x 1 =(x 1)2

x 1 = (x 1), x 6= 1.

(b)f (x + h) f (x)

h=

[(x + h)2 + 2(x + h)] [x2 + 2x]h

=

x2 2xh h2 + 2x + 2h + x2 2xh

=2xh h2 + 2h

h= 2xh+2, h 6= 0


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