Introdução às Funções 

Uma  função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por X, para obter a variável dependente, normalmente representada por y. Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número X do conjunto de partida, dela saindo o número f(X).

    

     Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:

f : A B

     EXistem várias formas de eXpressar uma função:

y = aX + b

f (X) = aX + b

entre outras.

     Se f for uma função e f(X) = y, diremos que y é a imagem de X pela função e que X é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.

     Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do conjunto A recebem o nome de variável da função.

     EXemplificando, tomemos a função:

f : N Z

f(X) = 5X + 2

f (2) = 5 x 2+2 = 12, 2 N

diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objeto ou anti-imagem de 12.

 

     Funções Reais de Variável Real

     Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objetos como os do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por:

f : R R

     As funções f(X) = X + 3, f(X) = X2 + 2X + 1, f(X) = 3X + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a X um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(X).

    Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão:

f : A R

sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

 

     Representação Gráfica de uma Função

     Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre uma reta, o método de coordenadas cartesianas serve para representar funções.

     Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a variável independente X é representada sobre o eixo das abcissas e a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.

    

Operações com funções

Inverso da função e função inversa

Função par e função ímpar

Função linear e função afim

 

Operações com Funções

     1. Produto de uma função por um número real

(kf )(X) = k x f(X)

     O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de X corresponde k vezes o valor de f.

     Exemplo:

f : R R

f(X) = 3X + 2

5f : R R

(5f)(X) = 5 x f(X) =

= 5 x (3X + 2) = 15X + 10

     2. Soma de funções

     Temos  f(X) = 2X + 2 e g(X) = - X - 1. Se somarmos membro a membro obtemos:

f(X) + g(X) = (2X + 2) + (-X - 1) = 2X - X +2 -1 = X + 1

(f + g) (X) = X + 1

    Vamos verificar o que obtivemos:

f(1) = 2 x 1 + 2 = 4

g(1) = - (1) - 1 = -1 - 1 = -2

f(1) + g(1) = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2

(f + g) (1) = (1) + 1 = 2

     Vemos que, para cada objecto X, somando as respectivas imagens de f(X) e de g(X) obtemos exatamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f + g) (X).

 

     Então, em geral, podemos escrever:

(f + g) (X) = f(X) + g(X)

 

     3. Produto de funções

     Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(X) = X e g(X) = -X + 2, o produto das funções será:

(f x g) (X) = f(X) x g(X) = X x (-X + 2) = -X2 + 2X

(f x g) (X) = -X2 + 2X

    Verificamos que:

f(1) = 1

g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1

f(1) x g(1) = 1 x 1 = 1

(f x g) (1) = -(1)2 + 2 x 1 = -1 + 2 = 1

     Vemos que, de forma análoga ao que ocorre com a soma de duas funções, para cada objecto X, multiplicando as respectivas imagens de f(X) e de g(X) obtemos exatamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f x g) (X).

      Em geral, escrevemos:

(f x g) (X) = f(X) x g(X)

 

 

     4. Composição de funções

     A composição de uma função f com outra função g é uma nova função, representada por g º f, definida por:

(g ° f) (X) = g [f(X)]

     Primeiro determinamos f(X) e o resultado obtido é o objecto para a função g. EXemplificando, seja f(X) = X + 1 e g(X) = X2 , temos (g ° f) (X) = g [f(X)] =g [X + 1] = (X + 1)².

    Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (X) = f [g(X)] = f [X²] = X² + 1.

     

Inverso da função e função inversa

     Quando temos uma função f, tal que para qualquer X do domínio verificamos que f(X) 0, podemos dizer que eXiste o inverso da função de f, e representamo-la por 1/f. Podemos ver um eXemplo representado na figura seguinte:

     Se f for uma função injectiva, a função inversa de f é uma nova

função, que se representa por , em que os objectos são as imagens dadas por f.

     Seja f a função definida por y = 3X - 5, a eXpressão que define

determina-se resolvendo a equação y = 3X - 5 em ordem a X:

y = 3X - 5 <=> 3X = y + 5 <=> X = (y + 5)/3

logo vem:

O domínio da função inversa é o contradomínio ou conjunto das imagens da função f. O gráfico da função inversa é simétrico do gráfico de f em relação à bissectriz y = X.

 

Função par e função ímpar

     Damos o nome de função par à que é simétrica em relação ao eixo das ordenadas, ou seja, que verifica:

f(-X) = f(X)

     O gráfico de uma função par fica determinado se conhecermos a forma que assume para os números positivos. Para visualizar este facto vejamos as seguintes figuras:

     Damos o nome de função ímpar à função que é simétrica em relação à origem das coordenadas, ou seja, quando se verifica que:

f(-X) = - f(X)

     O gráfico de uma função ímpar fica determinado se conhecermos a forma que assume para valores positivos. Vejamos as figuras:

 Função linear e função afim

     As funções da forma f(X) = kX são chamadas funções lineares ou função de proporcionalidade, onde k é uma constante numérica e nos dá o declive da recta. O gráfico deste tipo de funções é uma recta que passa pelo centro de coordenadas (0,0).

     As funções da forma f(X) = kX + p recebem o nome de funções afins. O seu gráfico é uma recta que não passa pelo centro de coordenadas (0,0) e é paralela à correspondente função linear g(X) = kX. p é a ordenada na origem ou ponto de intersecção da recta com o eixo das ordenadas.

     As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais do primeiro grau.

 

Tipos de Funções    Vamos agora fazer um breve resumo das características principais dalguns dos tipos mais estudados a nível do ensino secundário. Vamos focar a função exponencia l , a função logarítmica e funções polinomiais do segundo grau .

Função Exponencial

     A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência a base é constante e o expoente é uma variável.

     Chamamos exponencial de base b > 0 à função

R R

de maneira que temos:

 

ou então:

ou ainda:

     Vejamos as principais características da função exponencial:

     1.   f é contínua, o seu domínio é R e o seu contradomínio é ;

     2.    f é crescente se b > 1 e é decrescente se b < 1;

     3.   f (0) = 1 e f (1) = b;

     4.  Os gráficos de

   e de

    

  são simétricos em relação ao eixo OY;

     Como exemplo, observemos os gráficos seguintes:

     5.  Os limites de qualquer função exponencial são:

     Estes limites também serão diferentes conforme os valores de b. Observemos os seguintes gráficos, onde encontramos funções cujo valor de b é maior do que 1 ou está compreendido entre 0 e 1, e vejamos como se comporta cada tipo de função quando os valores de x aumentam ou diminuem:

 

 

    No primeiro gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função tomará valores cada vez maiores. Se o valor de x diminuir cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0, sempre

    No segundo gráfico, se o valor de aumentar cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0 pelo lado positivo do eixo OY. Se o valor de x diminuir a função assume

pelo lado positivo do eixo OY.valores cada vez maiores.

Função Logarítmica

     A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. No logaritmo a base é constante e o valor de x é o termo variável.

     Chamamos logaritmo de base b > 0 à função:

 

de maneira que:

ou então:

     Podemos definir a função logaritmo como a função inversa da função exponencial, sempre que b > 1. Os gráficos destas funções são simétricos em relação à bissectriz   y = x, como podemos ver na figura:

  

Observando o gráfico da função logarítmica, verificamos que as principais características deste tipo de funções serão:

      1.  Sobre o eixo X existem três regiões ou espaços diferentes:

            

      onde a função logarítmica não está definida,

      onde o logaritmo é negativo,

      onde o logaritmo tem um valor positivo;

    2.  A função é contínua e crescente;

    3.  O seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e o seu conjunto de imagens é o conjunto de todos os números reais;

    4.  O logaritmo de 1 na base b é igual a 0;

    5. Se o valor de x se aproximar de zero pelo lado positivo do eixo OY, a função assume valores cada vez mais pequenos, ou seja:

        Se o valor de x aumentar cada vez mais a função assumirá valores cada vez maiores, isto é:

 

     Os logaritmos podem também definir-se de forma mais "aritmética", de forma a facilitar o seu cálculo. Temos que o logaritmo de um número numa base b > 1 é o expoente a que se tem de elevar a base para obter o número, isto é,

 

     Por último, vamos enunciar algumas das propriedades algébricas particulares dos logaritmos:

    1.  Logaritmo de um produto:

    2.  Logaritmo de um quociente:

    3.  Logaritmo de uma potência:

    4.  Logaritmo de uma raíz:

    5.  Mudança de base de logaritmos:

 

Funções Polinomiais do Segundo Grau

     Uma função polinomial de segundo grau é uma função expressa por um polinómio de segundo grau, ou seja, com uma expressão da forma:

f(x) = ax² + bx + c,

onde a é não nulo. Estas são sempre funções contínuas.

     Da mesma maneira que os polinómios podem ser completos ou incompletos, temos funções do segundo grau incompletas. Vamos estudar em pormenor cada um desses casos.

    1.  Função incompleta y = ax² :

Podemos observar que:

   -  A curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas;

   -  Tem um mínimo absoluto no ponto (0,0), que é o vértice da função;

   -  O sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:

      · a > 0: a parábola abre-se para valores de y positivos

       · a < 0: a parábola abre-se para valores de y negativos

    -  O valor absoluto de a determina a abertura da função, ou seja, quanto maior for |a| mais fechada é a parábola.

        2.   Função incompleta y = ax²+c :

     O gráfico da função y = ax²+c transladando c unidades, na direcção do eixo OY, o gráfico y = ax², ou seja, aplicando a translação segundo o vector (0,c).

Observando as imagens, vemos que estas funções têm as seguintes características:

   -  O seu eixo de simetria é o eixo OY;

   -  São funções simétricas em relação ao eixo OY;

   -  Para a > 0 o gráfico abre-se para as coordenadas positivas. Para a < 0 o gráfico abre-se para as coordenadas negativas;

   -  O vértice da parábola é o ponto V(0,c);

   -  O gráfico desloca-se verticalmente em função de c.

  

 

 

    3.  Função completa y = ax² + bx + c:

    Estas, geralmente, podem expressar-se da forma             f(x) = a (x - h)², que é uma translação horizontal sobre o eixo OX da função y = ax². Em geral, os gráficos das funções     f(x) = (x - h)² são idênticos a f(x) = x², mas com vértice em (h,0). Estas funções obedecem aos mesmos critérios que f(x) = ax², com a diferença de que o eixo de simetria passa pelo vértice (h,0) e é paralelo ao eixo das ordenadas. Como exemplo, observemos a figura seguinte:

     Nos casos em que a função f(x) = ax² + bx + c não puder expressar-se nesta forma, temos que tentar escrevê-la na forma f(x) = a (x - h)² + k. Estas continuam a obedecer aos mesmos critérios gerais, com as excepções:

    -  O vértice encontra-se no ponto (h,k);

    -  O eixo de simetria da parábola é a recta que passa pelo vértice (h,k) e é paralela ao eixo das ordenadas.

    

Funções Trigonométricas     Vamos estudar as funções trigonométricas seguintes:

y = sen x

y = cos x

y = tg x

e também os inversos destas funções, ou seja:

y = 1/sen x = cosec x

y =1/ cos x = sec x

y = 1/tg x = cotg x

     O ângulo x é a variável independente e o valor da função é a variável dependente. É importante recordar que a medida dos ângulos pode expressar-se em graus ou em radianos. Assim, vemos que:

0° 0 rad

360° 2 rad

     Observemos agora as principais características das funções já mencionadas:

     1.  Função y = sen x:

       a)  A função seno é periódica, já que:

sen (x + 2 ) = sen x

em que o período da função é t = 2 ;

        b)  O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio da função é [-1,1];

        c)  O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da função é -1 em x = 3 /2;

        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

        e)  É uma função crescente no intervalo [0, /2] e [3 /2,2 ], e decrescente no intervalo [ /2,3 /2];

        f)  A função é ímpar, já que:

sen (-x) = - sen x

e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

   2.  Função y = cos x:

       a)  A função co-seno é periódica, pois:

cos (x + 2 ) = cos x

e o período da função é T = 2 ;

       b)  O domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o contradomínio da função é [-1,1];

       c)  O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou  x = 2   e o valor mínimo da função é -1 em x = ;

      d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

      e)  É uma função crescente no intervalo [ ,2 ] e decrescente no intervalo [0, ];

       f)  A função é par, já que:

cos x = cos (-x)

e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

  

     3.  Função y = tg x:

       a)  A função tangente é periódica, já que:

tg (x + ) = tg x

em que o período da função é t = ;

        b)  O domínio da função é R/ { /2 - k , k Z }, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;

        c)  Esta função não tem extremos locais;

        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

        e)  É uma função crescente em todos os pontos do domínio;

        f)  A função é ímpar, pois:

tg (-x) = - tg x

e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

    4.  Função y = cosec x:

       a)  A função co-secante é periódica, já que:

cosec (x + 2 ) = cosec x

em que o período da função é t = 2 ;

        b)  O domínio da função é R/ {0 + k , k Z }, e o contradomínio da função é o conjunto R/ [-1,1];

        c)  Esta função tem um máximo local em 3 /2 e um mínimo local em /2;

        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

        e)  É uma função crescente onde a função sen x é decrescente e é decrescente onde a função sen x é crescente;

        f)  A função é ímpar, pois:

cosec (-x) = - cosec x

e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

     5.  Função y = sec x:

       a)  A função secante é periódica, já que:

sec (x + 2 ) = sec x

em que o período da função é t = 2 ;

        b)  O domínio da função é o conjunto R/{ /2 - k , k Z } , e o contradomínio da função é R/ [-1,1];

        c)  A função tem um máximo local em x = e um mínimo local em x = 0;

        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

        e)  É uma função crescente onde a função cos x é decrescente e é decrescente onde a função cos x é crescente;

        f)  A função é par, pois:

sec x = sec (-x)  

e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

   6.  Função y = cotg x:

       a)  A função co-tangente é periódica, já que:

cotg (x + ) = cotg x

em que o período da função é t = ;

        b)  O domínio da função é R/ {k , k Z}, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;

        c)  Esta função não tem quaisquer extremos;

        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;

        e)  É uma função decrescente em todos os pontos do domínio;

        f)  A função é ímpar, pois:

cotg (-x) = - cotg x

e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

Estudo de Funções - Alguns Critérios

    A observação do gráfico e da forma analítica dá-nos toda uma série de propriedades que configuram os elementos que temos de

ter em conta quando estudamos qualquer função. Nos critérios que deverão ser observados no estudo de uma função incluem-se a continuidade, critérios de crescimento e decrescimento , os extremos locais, concavidade, convexidade e pontos de inflexão.

Continuidade

     A ideia intuitiva de continuidade implica uma ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desiquilibrem o gráfico.

     A definição formal de continuidade diz-nos que uma função f(x) é contínua no ponto x = a quando se verifica:

     A continuidade de f(x), em x = a, obriga a que se verifiquem as seguintes condições:

     1.  Existe o limite da função em x = a;

     2. Existe f(a);

     3.  O limite e f(a) coincidem.

     Por tudo isto dizemos que a continuidade ou descontinuidade de uma função num ponto exige que a função esteja definida nesse ponto.

Observando estas três condições, vemos que uma função é descontínua se:

     1.  Não existir

     2.  Não existir f(a);

     3. Se existirem o limite e f(a), mas estes não coicidirem.

Crescimento e Decrescimento

     Quando temos uma função pode acontecer que, ao aumentar os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Neste caso, diremos que a função cresce. Podemos vê-lo claramente na figura seguinte:

 

     Critérios de Crescimento de uma Função:

     1.  Uma função é estritamente crescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) < f(b)

    Podemos verificar este primeiro critério observando o gráfico da figura seguinte:

     2.  Uma função é crescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) f(b)

     Como não basta comparar dois pontos extremos, já que a amplitude entre esses dois pontos pode ter um comportamento

diferente (ver figura anterior), temos de estabelecer um critério válido para o crescimento num ponto.

     3.  Uma função f(x) é crescente num ponto a se existir um intervalo que contenha a de maneira que os x deste intervalo verifiquem:

se x < a   f(x) < f(a)

se x > a   f(x) > f(a)

     Podemos verificar este terceiro critério de crescimento de uma função observando o gráfico da figura seguinte :

          Ao contrário do que acontece com as funções crescentes, numa função decrescente, quando aumentam os valores de x, diminuem os valores de y. Esta particularidade fica perfeitamente definida observando o gráfico da figura seguinte:

     Critérios de Decréscimo de uma Função:

     1.  Uma função é estritamente decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) > f(b)

     2.  Uma função é decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) f(b)

     À semelhança do que fizemos para o crescimento, temos de definir decréscimo num ponto.

     3.  Uma função f(x) é decrescente num ponto se existir um intervalo que contenha a de modo que os x deste intervalo verifiquem:

se x < a   f(x) > f(a)

se x > a   f(x) < f(a)

     Verificamos este terceiro critério de decréscimo de uma função observando o gráfico da figura seguinte:

Extremos Locais

     Encontramos os extremos locais de uma função num ponto, por exemplo, entre dois pontos a e b, onde a função é contínua e em que se regista o crescimento e decréscimo da função.

     Neste gráfico podemos ver que a função cresce nuns intervalos e decresce noutros. A fronteira ou limite desta inflexão é assinalada pelo ponto c. No primeiro gráfico a função tem um máximo em c. No segundo gráfico a função tem um mínimo em c.

     O cálculo da derivada para os pontos de um intervalo de uma função informa-nos sobre o crescimento e decréscimo da função. Para determinarmos os extremos da função basta derivar a função e igualar a derivada obtida a zero, ou seja, calcular:

f '(x) = 0

     Temos que:

se f '(x) > 0 num intervalo ]a,b[ f(x) é crescente em ]a,b[

      se f '(x) < 0 num intervalo ]a,b[ f(x) é decrescente em ]a,b[

     Nos pontos em que f '(x) = 0 teremos um máximo ou um mínimo da função, conforme a função seja crescente ou decrescente nos intervalos contíguos.

Esta tabela mostra a determinação dos extremos de uma função a partir da primeira

derivada.

Concavidade, Convexidade e Pontos de Inflexão

     Podemos encontrar funções que são crescentes mas que não crescem da mesma forma. O que as torna realmente diferentes é a concavidade. Para o verificarmos podemos observar os seguintes gráficos:

      Concavidade

     Diremos que uma curva é côncava no intervalo [a,b] onde tem apenas um minimo, quando o gráfico da curva fica por baixo da corda que une os pontos a e b.

Podemos verificar a definição de concavidade de uma curva observando

o grafico:

    Convexidade

     Diremos que uma curva é convexa no intervalo [a,b] onde tem apenas um máximo, quando o gráfico da curva fica por cima da corda que une as imagens a e b.

   Podemos verificar a definição de convexidade de uma curva observando o

grafico:

     Critérios de Concavidade e Convexidade

   Ao observar o grafico dizemos que a função de uma curva alterna intervalos côncavos e

convexos. Deste modo, temos de estabelecer o  critério de concavidade e critério

convexidade.

     1.  Para estabelecer o critério de concavidade, podemos observar o grafico:

     Dado um ponto a diremos que a curva é côncava nesse ponto, se conseguirmos encontrar uma vizinhança de a (a-x, a+x) em que a curva seja côncava.

     2.  Para estabelecer o critério de convexidade podemos observar a evolução da curva do grafico:

    Dado um ponto a, diremos que a curva é convexa nesse ponto, se conseguirmos encontrar uma vizinhança de a (a-x, a+x) em que a curva seja convexa.

     Pontos de inflexão

     Os pontos de inflexão de uma curva são os pontos em que a curva passa de côncava a convexa, ou de convexa a côncava, como podemos observar nos graficos.

    

      Nesta tabela está representada a determinação dos pontos de inflexão da função e da

sua concavidade a partir da segunda derivada.

Usando as Calculadoras Gráficas 

     Podemos usar as calculadoras gráficas para desenhar estas funções, para depois podermos efectuar quer operações com essas funções, quer fazer o estudo dessas funções. Como exemplo, vamos ver como podemos usar as opções da calculadora Texas TI 83 como suporte no estudo de soma, produto, composição e inversas de funções, zeros, extremos, sinal e derivada de uma função.

 

Operações com Funções

 

     1. Soma algébrica de duas funções:

     Sendo f(x) = x2 e g(x) = 1/x, representar graficamente e por uma tabela a função soma, isto é, f + g.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menú Y = . 

Escrever em Y1 a expressão x2.

Escrever em Y2 a expressão 1/x

Escrever em Y3 a expressãoY1+Y2.

A expressão Y1+Y2 define a função soma das funções Y1 e Y2

Visualizar o menú ZOOM e escolher a opção 4. 

A calculadora mostra imediatamente os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y1+Y2.

Visualizar o menú Y = .

Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1. Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2. Deste modo, fica apenas activo o gráfico correspondente a Y3.

Visualizar o gráfico correspondente a Y3, que  é o gráfico da função soma.

Observe-se, pelo gráfico, que a função soma não está definida em x = 0.

Algebricamente, verifica-se que (f+g)(x)= x3+1 /x, com x diferente de 0.

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y2.

Deste modo, ficam activos os gráficos correspondentes a Y1, Y2 e Y3.

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste estabelecemos o valor -5 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

Visualizar a tabela. 

Para visualizar os valores X, Y1, Y2 e Y3 necessitamos de quatro colunas. Consequentemente, porque cada ecrã da calculadora só tem três colunas, é necessário recorrer a dois ecrãs da calculadora para visualizar todos os quatro valores.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y1+Y2)(x) resultam de adicionar Y1(x) com Y2(x).

Note-se, ainda, que Y2 e Y1+Y2 não estão definidas em x = 0.

      Se pretendermos definir graficamente e através de uma tabela a função diferença de f com g, isto é, f-g, usamos um procedimento semelhante àquele que utilizámos anteriormente para a soma f+g.

 

 

2. Produto de duas funções:

    O produto das funções processa-se de modo idêntico à soma de funções.

 

3. Composta de duas funções:

     Sendo f(x) = x 1/2 e g(x) = x2, vamos representar graficamente e

por uma tabela a função composta de f com g, isto é, a função g o f.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu  Y = .

Escrever em Y1 a expressão x1/2.

Escrever em Y2 a expressão x2.

Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1).

A expressão Y2(Y1) define a função composta das funções Y2 e Y1 e lê-se "Y2 após Y1".

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM,

sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y2(Y1).

Algebricamente, verifica-se que (g o f)(x) = x, com  x 0.

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

Visualizar a tabela.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y2 o Y1)(x) resultam de determinar a imagem de Y1(x) por Y2.

 

     Deve-se ter uma especial atenção ao escrever na calculadora a expressão que define a composta de duas funções. No caso da definição da função composta Y2 após Y1, isto é, Y2 o Y1, a expressão Y2(Y1) que a define é diferente das expressões Y2 x (Y1) e Y2 x Y1. Qualquer destas duas últimas expressões define a função produto de Y1 por Y2.

     Agora, sendo f(x) = x1/2 e g(x) = x2, vamos representar

graficamente a função composta de g com f, isto é, a função f o g.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor

sobre o sinal de = de Y3, premindo de seguida a tecla ENTER.

Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y3.

Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2).

A expressão Y1(Y2) define a função composta das funções Y1 e Y2 e lê-se "Y1 após Y2".

 

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y4 = Y1(Y2).

Algebricamente, verifica-se que (f o g)(x) = lxl, com x pertencente a R.

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

Visualizar a tabela.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x), verifica-se que os valores de (Y1 o Y2)(x) resultam de determinar a imagem de Y2(x) por Y1.

 

     A consideração dos dois exemplos antes estudados permite concluir que g o f é diferente de f o g. Por conseguinte, em geral, a operação de composição de funções não é comutativa, como foi visto na Introdução às Funções.

     Todavia, há funções f e g para as quais se tem g o f = f o g. Quando tal acontece diz-se que as funções f e g são permutáveis.

     Sendo f(x) = x 3e g(x) = x2, vejamos através das suas representações gráficas que estas são funções permutáveis.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3.

Escrever em Y2 a expressão x2.

Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1).

A expressão Y2(Y1) define a função composta Y2 após Y1.

Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2).

A expressão Y1(Y2) define a função composta Y1 após Y2.

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções compostas Y3 = Y2(Y1) e Y4 = Y1(Y2).

Observando o ecrã vemos uma única representação gráfica. Na realidade existem dois gráficos sobrepostos.

No sentido de obtermos evidência acerca da existência dos dois gráficos sobrepostos recorremos, com a função TRACE activa, às teclas de direcção vertical para deslocar o cursor de um gráfico para o outro e às teclas de direcção horizontal para deslocar o cursor ao longo de cada um dos gráficos.

 

 

4. Função Inversa:

     Sendo a função f(x) = x3, vamos representar graficamente a

função f e a sua inversa f-1.

     Usamos a opção 8: DrawInv do menu DRAW, que permite obter uma representação gráfica da função inversa. Neste menu existem várias facilidades de desenho.

     Contudo, os desenhos obtidos através do DRAW não podem ser percorridos com o cursor quando a função TRACE está activa e desaparecem logo que se alteram os gráficos das funções não obtidos com o DRAW ou se escolhe de novo a mesma janela ou uma janela diferente para visualização dos gráficos.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu   Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

Aceder ao ecrã de texto de limpar esse ecrã.

Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.

Escrever a variável dependente Y1.

Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função, já obtido anteriormente, e o da função inversa.

 

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER .

Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

 

Aceder ao ecrã de texto.

Repetir a última expressão escrita.  

Premindo a tecla ENTER obtém-se imediatamente o gráfico da função inversa.

Observe-se que não se tem o gráfico da função correspondente a Y1, pois a respectiva expressão foi desactivada.

 

 

     Sendo a função f(x) = x2 uma função não injectiva, ela não tem inversa. Será que a calculadora ainda desenha o gráfico da relação inversa de f?

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu   Y = .

Escrever em Y1 a expressão x2.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

Aceder ao ecrã de texto e limpar esse ecrã.

Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.

Escrever a variável dependente Y1.

Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função inversa, já obtido anteriormente, e o da relação inversa.

 

     Este exemplo mostra que a opção 8: DrawInv do menu DRAW permite desenhar o gráfico da relação inversa de uma dada função, quer esta relação inversa seja ou não função. Portanto, se estivermos interessados em estudar se uma dada função tem ou não inversa devemos verificar se a função dada é ou não injectiva, pois a calculadora a partir da opção 8: DrawInv do menu DRAW não distingue as funções que têm inversa daquelas que não têm.

 

Estudo de Funções

     A calculadora dispõe de várias facilidades de cálculo com especial interesse para o estudo de funções. Estas facilidades de cálculo, acessíveis no menu CALC, podem ser executadas a partir do ecrã de texto ou interactivamente sobre o próprio gráfico.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu CALCULATE.

Descrição de cada uma das opções do menu:

1. value (calcula o valor de uma função num ponto);

2. zero (determina um zero de uma função);

3. minimum (calcula o mínimo relativo de uma função);

4. maximum (calcula o máximo relativo de uma função);

5. intersect (determina as coordenadas de um ponto de intersecção de dois gráficos correspondentes a outras duas funções);

6. dy/dx (determina a derivada numérica de uma função num ponto);

7. f(x)dx (determina o integral numérico de uma função entre dois pontos).

 

     Deve observar-se que a função TRACE, além de permitir percorrer o gráfico de uma função, também permite calcular o seu valor num ponto. Em consequência, a função value pode ser substituída com vantagem pela função TRACE, pois esta é de utilização mais imediata.

     A opção 7: f(x)dx, que permite calcular o integral numérico de uma função, não será objecto de estudo uma vez que esse assunto não faz parte dos actuais programas do Ensino Secundário.

 

1. Zeros de uma Função:

     Vamos determinar o zero da função f(x) = x3 - 4.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão   x3 - 4, a qual define a função.

Seleccionar a opção 6: ZStandard do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

Seleccionar a opção 2: zero do menu CALCULATE.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o zero.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o zero.

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do zero. Obteve-se x = 1,5874011 para valor aproximado do zero.

 

       Este procedimento pode ainda ser usado para resolver equações.

     Vamos resolver a equação 2x3 + x 2= 6x + 3.

     Para resolver esta equação basta considerar duas funções cujas expressões são os membros da equação, isto é, y = 2x3 + x2 e y = 6x + 3. As soluções da equação são, então, as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão 2x3 + x2, a qual corresponde ao primeiro membro da equação.

Escrever em Y2 a expressão 6x + 3, a qual corresponde ao segundo membro da equação.

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-5,5] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-20,20] no eixo dos yy, com o incremento 2. Assim, [-5,5] x [-20,20] define o rectângulo

de visualização do gráfico.

Visualizar os gráficos das funções Y1 e Y2.

Seleccionar a opção 5: intersect no menu CALCULATE.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, deslocar o cursor sobre um dos gráficos de modo a que fique suficientemente próximo do ponto de intersecção dos gráficos que se pretende estudar.

Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER.

Observe-se que o cursor se deslocou para o outro gráfico.

Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER.

Deve notar-se que, quando temos mais de dois gráficos, pode existir a necessidade de deslocar o cursor de um gráfico para o outro de modo a relacionar os dois gráficos pretendidos.

Consegue-se isso premindo as teclas de deslocação vertical.

Finalmente, premindo a tecla ENTER obtêm-se as coordenadas do ponto de intersecção dos gráficos.

Obteve-se x = 1,7320508 para valor aproximado da raiz da equação.

 

     O procedimento utilizado para determinar uma das raízes da equação pode ser repetido para determinar as outras duas raízes da equação.

     Em alternativa, observando que a equação 2x3 + x2 = 6x + 3 é equivalente à equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0, conclui-se que as suas soluções são os zeros da função y = 2x3 + x2 - 6x - 3, bastando então repetir o procedimento já observado para calcular os zeros desta função.

 

 

2. Valores máximo e mínimo de uma função num intervalo:

     A possibilidade da calculadora determinar o valor máximo e o valor mínimo de uma função num intervalo pode ser explorada para determinar extremos relativos de uma função.

     Vamos determinar os extremos relativos da função Y = x4 - 4x2 - 5.

 

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x4 + 4x2 - 5.

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-15,15] no eixo dos yy, com o incremento 3. Assim, [-4,7;4,7] x [-15,15] define o rectângulo de visualização do gráfico.

Visualizar o gráfico da função Y1.

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o mínimo.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o mínimo.

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do mínimo.

Obteve-se y = -9 para o valor do mínimo e x = -1,414213 para valor do minimizante.

Note-se que o mínimo da direita é também y = -9 e ocorre para x = -1,414213, pois a função é par.

Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o máximo.

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o máximo.

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do máximo.

Obteve-se y = -5 para o valor do máximo e x = 1,5938 x 10-6

para o valor do maximizante. Em termos exactos, o máximo é -5 e o maximizante é o 0.

  

 

3. Sinal e Variação de uma Função:

     A partir da observação do gráfico de uma função podemos tirar conclusões acerca do sinal e da variação de uma função. Para tal, consideram-se os seus zeros e os seus extremos.

   Vamos estudar o sinal e a variação da função y = x5 - 3x4 - x + 3.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x5 - 3x4 - x + 3.

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-25,20] no eixo dos yy, com o incremento 4. Assim, [-4,7;4,7] x [-25,20] define o rectângulo de visualização do gráfico.

Visualizar o gráfico da função Y1.

 

 

Determinando o valor da função em x = -1, verifica-se que -1 é um zero da função.

Determinando o valor da função em x = 1, verifica-se que 1 é um zero da função.

Determinando o valor da função em x = 3, verifica-se que 3 é um zero da função.

Note-se que os zeros podiam ser obtidos recorrendo à opção 2: zero do menu CALCULATE.

 

Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o máximo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do máximo e do maximizante.

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante.

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante.

 

 

4. Derivada de uma Função:

     Com a calculadora conseguimos calcular o valor da derivada de uma função num dado ponto do seu domínio.

   Vamos calcular a derivada da função y = x2 em x = 0 e x = -1.

 

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x2.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

Calcular a derivada da função no ponto x = 0.

Calcular a derivada da função no ponto x = -1.

 

     Porém, existem casos em que a calculadora não determina correctamente o valor da derivada da função num ponto. Isto resulta de a calculadora determinar a derivada de uma função num ponto pelo método das diferenças simétricas. Este método considera para valor aproximado da derivada o declive da recta secante definida pelos pontos (x - h, f(x - h)) e (x + h, f(x + h)), isto é, o valor do quociente [f(x + h) - f(x - h)]/2h, com h positivo e o mais próximo possível de zero.

     Como exemplo, calculemos a derivada da função y = lxl no ponto de abcissa x = 0.

 

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão abs(x).

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico.

Calcular a derivada da função no ponto x = 0.

Obteve-se y'(0) = 0 para valor da derivada de y em x = 0. Note-se que a função y = lxl não tem derivada em x = 0, pelo que a calculadora apresentou uma resposta errada.

 

     Neste exemplo, em x = 0 tem-se f(x - h) = f(x + h), para qualquer valor de h > 0. Então, [f(x + h) - f(x - h)]/2h = 0 e, em consequência, quando x tende para zero temos que [f(x + h) - f(x - h)]/2h tende também para zero, de onde sai y'(0) = 0, como foi apresentado pela calculadora.

 

5. Gráfico da Função Derivada:

     Dada uma função f, definida por uma expressão algébrica, a calculadora não permite determinar a expressão algébrica que define a função derivada. Todavia, em relação ao gráfico da função derivada a situação é diferente. Recorrendo ao comando nDeriv(Y1,x,x) em que Y1 define a função f, x define a variável em relação à qual se pretende calcular a derivada e o segundo x estabelece a abcissa do ponto em que se determina a derivada da função, obtém-se a derivada da função em sucessivos pontos do intervalo do eixo dos xx, intervalo esse definido pela janela de visualização do gráfico. Finalmente, unindo os sucessivos pontos por segmentos de recta obtém-se um esboço do gráfico da função derivada de f.

    Como exemplo, vamos determinar um esboço do gráfico da função derivada de f(x) = x3- 2x.

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3 - 2x e colocar o cursor em Y2.

Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(.

Escrever a expressão Y1,x,x), em que Y1 define a função, x é a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função e da função derivada.

Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função derivada é uma função quadrática que tem por gráfico uma parábola.

    

Repetindo o processo anterior, considerando agora a função derivada de f, obtém-se o gráfico da função segunda derivada de f. Usando a simbologia da calculadora, trata-se de escrever em Y3 a expressão nDeriv(Y2,x,x) e obter o seu gráfico.

 

Teclas a Premir Descrição Ecrã

Visualizar o menu Y = .

Colocar o cursor em Y3.

Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(.

Escrever a expressão Y2,x,x), em que Y2 define a função, x a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função, da função primeira derivada e da função segunda derivada.

Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função segunda derivada é uma função afim que tem por gráfico uma recta.

Tarefas     Agora vamos ver se estiveram com atenção... Divirtam-se com estes exercícios e problemas!

 

Calculando as imagens...

     Nas seguintes funções, qual é a imagem f(x) quando x = 4 e para x = -2?

        a) f(x) = 2/(x-3)

        b) f(x) = 1/x

        c) f(x) = (x3 + 6)/3

        d) f(x) = 20/(x2 - 4)

        e) f(x) = x3 - 9x2 + 15x

 

Soluções

 

Domínio

     Qual o domínio das funções do exercício anterior?

 

Soluções

 

Operações com Funções 

        1. Expressa a função p(x), que se obtém a partir do produto de f(x) = 1/(x-2) e g(x) = (x2-4)/(x-1).

     Qual é o domínio de f, de g e de p?

      2. Sejam as funções h(x) = 2x - 3 e k(x) = 3x2 + 4. Escreve as expressões que definem as funções compostas (h o k) e (k o h).

        3. Calcula a expressão que define a função inversa das seguintes funções:

            a) f(x) = 2x - 4

            b) f(x) = x2, com x 0

            c) f(x) = x3/8

            d) f(x) = 2/(x-1)

 

Soluções

 

A horta à beira do rio 

     O Sr. António pediu-nos ajuda:

     «Tem 100 metros de rede para vedar um terreno rectangular à beira do rio. Só quer vedar os três lados que não dão para o rio. Mas quer que a área da horta fique o maior possível...»

     a) Qual a função a maximizar, que nos dá a área do terreno?

     b) Qual a expressão da área numa só variável? Define o seu domínio.

     c) Procura os extremos relativos da função recorrendo à derivada.

     d) Interpreta os resultados obtidos no contexto do problema.

 

Soluções

    

Volta a Portugal

     Observe o gráfico abaixo, publicado no «Expresso»

     a) Justifica que a função não tem derivada nos pontos assinalados com 1,2,3.

     b) Dos locais assinalados indica dois entre os quais a função é monótona.

     c) Dos troços de declive positivo, indica o de maior declive e o de menor.

     d) Indica três máximos e três mínimos.

 

Soluções

   

PraiaObserva a figura:

     O tripulante do barco B tem de levar uma mensagem urgente a um ponto a 12 km de A, que é o ponto da praia mais próximo de B. O barco só dá 6 km/h mas o tripulante pode correr na orla da praia a 10 km/h.

     Exprime o tempo que leva de B a P em função da distancia x de A ao ponto D de desembarque na praia.

Resolução

 

Problema dos Moinhos

   

   Temos quatro moinhos dispostos nos vértices de um quadrado. Pretendemos construir uma estrada que ligue os quatro moinhos, de forma a gastar o mínimo de alcatrão possível, ou seja, que a estrada construída tenha o menor comprimento possível. Pretendemos

saber como deverá ser construída a estrada. A estrada não tem de voltar ao ponto de partida.

Resolução

 

SOLUÇÕES

 

Calculando as imagens...

a) Para x = 4, f(x) = 2; para x = -2, f(x) = -2/5.

b) Para x = 4, f(x) = 1/4; para x = -2, f(x) = -1/2.

c) Para x = 4, f(x) = 70/3; para x = -2, f(x) = -2/3.

d) Para x = 4, f(x) = 5/3; para x = -2, f(x) não existe.

e) Para x = 4, f(x) = -20; para x = -2, f(x) = -74.

 

Domínio

a) Todos os números reais menos o 3. Se x = 3 a função não existe. D = R/{3}.

b) Todos os números reais menos o 0. Se x = 0 a função não existe. D = R/{0}.

c) Todos os números reais. D = R.

d) Todos os números reais, excepto -2 e 2. Se x = -2 ou se x = 2 a função não existe, dado que a divisão por 0 não foi definida. D = R/{-2,2}.

e) Todos os números reais. D = R.

 

Operações com Funções

   1. p(x) = (x + 2)/(x-1). O domínio de f são todos os números reais menos o 2. O domínio de g são todos os números reais menos o 1. O domínio de p são todos os números reais menos o 1 e o 2.

   2. (h o k)(x) = 6x2 + 5.

       (k o h)(x) = 12x2 - 36x + 31.

   3. a) (x) = 1/2x + 2.

       b) (x) = x1/2.

       c) (x) = (8x)1/3.

    A horta à beira do rio

    a) A = y.x

 

    b) O melhor é chamar x a um dos lados iguais. O outro será 100 - 2x. A área expressa em função de x: A = (100 - 2x).x = 100x - 2x2

Encontramos a função f: x A = 100x - 2x2 cujo domínio é definido pelas condições x 0 e 100 - 2x 0: d = [0;50]

     c) A/= 100 - 4x

   d) A função A(x) tem dois mínimos (área nula) e um só máximo que corresponde às dimensões 25*50, que dá uma área de 1250 m2 , o que satisfaz o problema.

    

 

Volta a Portugal

a) Nesses pontos não é possível traçar tangentes a à curva (derivadas laterais diferentes).

b) Penhas da Saúde e Torre; Nave e Torre (crescente).

c) Nave, Torre, Penhas - máximos

     Mínimos - pode-se escolher qualquer um dos pontos mais baixos dos "vales" da serra.

 

Praia

Como se tem , e ,

O barco demora e o tripulante horas.

O tempo perdido é    que corresponde à função

irracional f (x) =

O domínio de t é Dt = [0,12] visto que x < 12km e 16 + x2 >0 x.

 

Problema dos Moinhos

    Esquematizando, temos que o caminho mais curto que podemos definir é da forma:

     Chamemos agora d ao comprimento da estrada. Por aplicação do Teorema de Pitágoras a cada triângulo como o definido na figura, a hipotenusa h desse triângulo é dada por:

 

     Como temos r = 1 – 2x e d = r + 4h , podemos definir a função:

    queremos determinar o menor comprimento, vamos calcular o mínimo da função d(x). Temos:

 

 

Então, os extremos da função são

, 

Pelo estudo da função verifica-se que o mínimo da função é

Então temos:

 

Então, o comprimento mais curto que a estrada poderá ter é:

d = 2,732 Km