introduçãoa funções reai s curso: engenharia de produÇÃo tema da aula: introdução a...

Introdução a

Funções ReaisCurso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Introdução aoCálculo

Números e funções reais Conjunto dos Números Naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} N Z (N está contido em Z)

Conjunto dos Números Racionais (Q) Q = {a/b | a,b Z, b 0} Z Q (Z está contido em Q)

Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Conjunto dos Números Irracionais () É o conjunto formado por números cuja

representação decimal é não exata e não periódica

Exemplo: = 3,141592653589... Conjunto dos Números Reais (R)

É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais

Números e funções reais


R

Q

Z

N


Números e funções reais Reta Real

Cada ponto de uma reta real representa um número real

Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita. Um número a é menor que qualquer número b colocado a

sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda.

543210-1-2-3-4R

a bcCurso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Números e funções reais Conceito de função

Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de A um único elemento de B.

Notação: f: A B y = f(x)


Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos

ortogonais Eixo x é o eixo das abscissas Eixo y é o eixo das ordenadas A origem do sistema é o ponto O As coordenadas do ponto P são os números reais x1

e y1 Par ordenado (x1 , y1)

Números e funções reais

x

y

x1

y1P(x1, y1)

OCurso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Números e funções reais Domínio

É o conjunto de valores assumidos por x. Imagem

É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio.

Gráfico É a representação geométrica dos pares x e y no

plano cartesiano.


12

12

horizontal variação verticalvariação

xxyy

xym

m

Retas Coeficiente angular da reta R:

Obs.: Retas horizontais: m = 0 Retas verticais: Não têm m

X

RY

12 yyy

12 xxx

),(P 111 yx

),(P 222 yx

1x 2x

1y

2y


Retas Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular

A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m.

11

11

)(ou

yxxmy

xxmyy


Retas Exemplo 1

Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2. x1 = 2 y1 = 3 m = -3/2

623

3233

2233

11

xy

xy

xy

xxmyy


Retas Exemplo 2

Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). x1 = -2 y1 = -1 x2 = 3 y2 = 4 m = ?

121

)2(1)1(11

xyxy

xyxxmyy

retadaequaçãodaCálculo

155

2314

)2(3)1(4

12

12

m

xxyym

angularecoeficientdoCálculo


Retas Equação reduzida da reta:

m - coeficiente angular b - coeficiente linear

Equação geral da reta:

A e B diferentes de zero.

bmxy

CByAx

R

b)(0,

X

Y ),( yx

b


Aplicações Muitas variáveis importantes são relacionadas por

equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius. )32(

9532

59

FCouCF

mb


Os valores de uma variável frequentemente dependem dos valores de outra variável A temperatura de ebulição da água depende da

altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta)

O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco

Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função.

Funções e Gráficos

BA

OBS:A é o domínioB é a imagem (contradomínio)


Funções e Gráficos Nomenclatura (Leonhard Euler)

y é igual a f de x)(xfy

Variável independente (domínio)Variável dependente (contra-domínio ou imagem)

X (domínio)

Y (imagem)


FunçõesDefinição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável reale denotamos por:• x é chamada de variável independente.• y é chamada de variável dependente.• A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).• B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Seja f: A → B uma função. Domínio da função f é o conjunto A definido por:A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por:𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}

𝕀m(f)A = 𝔻(f) B = C𝔻(f)fy=f(x)x


Funções e Gráficos Domínios e imagens

Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.

Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo.

Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0.

Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

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Funções e Gráficos

xA B

xA B

xA B

xA B

As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores.

Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos. Aberto AB

A < x < B ou (A, B) Fechado AB

A ≤ x ≤ B ou [A, B] Fechado em A e aberto em B

A ≤ x < B ou [A, B) Aberto em A e fechado em B

A < x ≤ B ou (A, B]Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Funções e Gráficos Exemplos de domínios e imagens

A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, )

A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, )

RRxy

RRxy

RRxy

ou),0[ou),0[)3

ou),0[ou),()2

ou),(ou),(2)1(y) Imagem(x) DomínioFunção

2


Não é função de A em B É função de A em B

Definição de função através de conjuntos


Não é função de A em B É função de A em B

Noção de função através de conjuntos


Im(f)

D(f) = A CD(f) = B

Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem


Algumas funções especiais:

c re sce n te d e c re s ce n te

q u e p od e se r

o g rá fico é um a re ta

fu n çã o do p rim eiro g rau

co m c o nca vid a de pa ra c im a co m con cav ida d e p ara ba ixo

o g rá fico é u m a pa ráb o la

fu nçã o do se g un do g rau

F u nçõ es


Temos várias maneiras para representar a ideia de função.

d ia gra m a de se tas g rá ficos(p la no c arte sia n o )

le i de fo rm a ção

C o m o re p res e n ta r u m a fun ç ão


Números e funções reais Tipos de funções

Função linear Ex.: y = x + 1;

Função linear afim Ex.: y = 2x;

Função constante Ex.: y = 3;

Função quadrática Ex.: y = x2 – 2x –

3; Função

exponencial Ex.: y = 2x;Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO


Função logarítmicaEx.: y = log2x;

Funções trigonométricasEx.: y = senx

Função do 1º Grau

baxy

Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :

Onde: a = Coeficiente angular - taxa de variação da função; b = coeficiente linear - ponto onde a reta toca o Eixo Y;

R

b)(0,

X

Y ),( yx

b


Propriedades da Reta É definida por um polinômio de 1o grau;

Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em

apenas um ponto;

O sinal do Coeficiente angular (taxa de variação) a fornece a

informação sobre o crescimento ou decrescimento da função:

a < 0 função decrescente;

a > 0 função crescente;Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

Propriedades da Reta

Só tocam o eixo X uma vez.

Se a < 0, a função decresce.Se a > 0, a função cresce.

---


As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é

justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau)

cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.

abxbaxbaxy 00

Raízes da Função de 1º Grau


Função Afimy = ax + b ∀a≠0 e bℝ

θ

a>0 reta crescente

b

a coeficiente angular a = tgθb coeficiente lineara<0 reta decrescente

θb

Função do 1º grau


Função Lineary = ax + b

θ

a>0 reta crescente a<0 reta decrescenteθ

y = ax


Função Constante

y = k f(x) = k


Exemplo 1:Dados os Pontos P1 (-1 ; 3) e P2 (2 ; 5) pede-se:

a) O valor dos coeficientes angular e linear;b) A equação da reta que passa por estes pontos;c) Identifique se a função é crescente ou decrescente;d) Verifique se os ponto P3 ( -1 ; -1) e P (-0,5 ; 4) pertence a reta;e) Informe o domínio e a imagem da função;f) Trace o gráfico da Reta para domínio D f(x) = -2 ≤ x < 3 , com x a Z;g) Informe a imagem para o domínio D f(x) = -2 ≤ x > 3 , com x a Z.


cbxax 2y

Uma função de 2º grau, também chamada de função

QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda

função real do tipo:

Desde que a ≠ 0;

Função de 2º Grau


É definida por um polinômio de 2o grau; Pode possuir:

Duas raízes reais e distintas; Duas raízes reais e iguais; Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).

O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função:

a < 0 concavidade para baixo; a > 0 concavidade para cima;

Propriedades da Parábola


Propriedades da Parábola

Podem ter três tipos de raízes.

Se a < 0, a concavidade é para baixo.Se a > 0, a concavidade é para cima.


Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação:

02 cbxax

Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:

acbcoma

bx 4,2

2

Raízes da Função de 2º Grau


Função Quadrática Função do 2º grau

a>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo


Gráfico da Função Quadrática

Para traçarmos o gráfico da função quadrática não precisamos determinar um serie de pontos basta determinarmos:as raízes, o vértice, o ponto onde a parábola corta o eixo oy (se corta-lo), e identificarmos o valor de a (concavidade)

Eixo oy: ponto c da parábola

Vértice: ponto onde a parábola apresenta o ponto de Maximo ou de mínimo

Raízes: resolução da equação do 2º grau

Concavidade: a > o para cima a < 0 para baixo

x’’

x’

c

V

x

y

a > 0

Representação Gráfica da Função Quadrática

Função Quadrática

> 0 = 0

<0x1 x2 x1 = x2


Propriedades das Funções

-4-2-1-3Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO



1-1f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda

f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita


2-2

24f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox

-4 f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo OyCurso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Tema da aula: Introdução a Funções Disciplina: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Professor: Jerry A. Domingos

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