funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmalivro12_res_4.pdf · 81 4...

50
81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118 1.1. 1 1 3 3 2 3 1 1 n n n n n n u u n n n n + + = = = + + ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 0, 1 1 n n n n n n nn nn + + = = > ∀∈ + + 1 0, n n u u n + > . Logo, ( ) n u é estritamente crescente. 1.2. 1 1 3 3 3 3 3 3 2 3 0, n n n n n n n n u u n + + = = = × = × > ∀∈ 1 0, n n u u n + > . Logo, ( ) n u é estritamente crescente. 2.1. 1 1 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 n n n n n n u u + + = = × 5 5 3 5 1 0, 2 2 2 2 n n n = = × > ∀∈ 1 0, n n u u n + > . Logo, ( ) n u é estritamente crescente. 2.2. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n n u u + + = = × = 1 1 0, 2 2 n n =− × < ∀∈ 1 0, n n u u n + < . Logo, ( ) n u é estritamente decrescente. 2.3. ( ) 2 n n u =− ; 1 2 3 2, 4, 8 u u u =− = =− 2 1 u u > e 3 2 u u < Logo, ( ) n u não é monótona. 3.1. 1 1 2 2 5 5 n n n n u u + + = = 2 2 3 2 1 0, 5 5 5 5 n n n = =− × < ∀∈ Logo, ( ) n u é estritamente decrescente pelo que 1 , n u u n .Como 1 2 5 u = e 2 0, 5 n n > ∀∈ : 2 0 5 n u < , n ∀∈ Logo, ( ) n u é limitada. 3.2. Se n é ímpar: 1 0 1, n n < Logo, 2 1, n u n , pelo que ( ) n u é limitada. 4. Seja a condição em : 3 n n Para 3 1, 1 1 1 1 n = é uma proposição verdadeira. Admitindo que para determinado 3 , n n n pretendemos provar que ( ) 3 1 1 n n + + . ( ) 3 3 2 1 3 3 1 n n n n + = + + + 3 3 1 1 n n n n + + 3 2 1 1 3 3 n n n n + + + + 2 3 3 0, n n n + > ( ) 3 1 1 n n + < + Logo, a propriedade é hereditária. Portanto, pelo princípio de indução matemática: 3 , n n n ∀∈ 5. {} 1 1 4 2 , \1 n n a a a n = = + ∀∈ Seja a condição ( ) 2 2 n Pn a n = + Para 1 n = , vem 1 2 1 2 4 n a a = × + = Proposição verdadeira Admitamos, por hipótese, que para determinado n , 2 2 n a n = + . Pretendemos provar que ( ) 1 2 1 2 n a n + = + + . ( ) 1 1 1 2 n n a a + + = + Fórmula de recorrência 2 n a = + = 2 2 2 n + + Por hipótese ( ) 2 1 2 n = + + Logo, a propriedade é hereditária. Pelo princípio de indução matemática: , 2 2 n n a n = + 6. 6 6 1 1 1 1 1 3 1 364 3 36 1 1 1 2 2 729 243 1 3 3 S u = × = × = × = 7. 1 , n n a a r n + = , dado que ( ) n a é uma progressão aritmética de razão r: 1 1 1 , n n n n a a a r n a n v k k k n v k + + + = = = Portanto, se ( ) n a é uma progressão aritmética de razão r, ( ) n v é uma progressão geométrica de razão r k . Pág. 119 8.1. 3 1 lim lim 3 1 3 3 n n n n + = = + 8.2. 2 2 1 lim lim lim 2 1 2 2 n n n n n + = = = +∞ + 8.3. 2 2 1 lim lim lim 0 3 n n n n n = = = + 8.4. 3 3 3 3 1 2 1 lim lim 2 4 2 2 2 n n n n n n + = =− + 8.5. lim 1 n a = 8.6. 25 1 25 25 5 lim lim 9 9 3 n n n n = = = 8.7. 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 1 1 n n n n n n + + = = = = 8.8. 2 1 1 1 1 1 lim lim lim 5 5 5 n n n n n n n n = = = 1 1 lim 5 n n = = −∞ 8.9. 2 5 5 lim 0 9 1 n n = = +∞ + 8.10. ( ) ( ) lim 2 1 n n ∞−∞ = ( ) ( ) 2 1 2 1 lim 2 1 n n n n n n + = = + ( ) 2 1 1 lim lim 2 1 2 1 n n n n n n n + = = = + +

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81

4 Funções exponenciais e funções logarítmicas

Atividade de diagnóstico

Pág. 118

1.1. 1

1 3 3 2 3

1 1n n

n n n nu u

n n n n+

+ − − − −− = − = − =

+ +

( ) ( )

2 22 3 3 30,

1 1

n n n n nn

n n n n

− − + − += = > ∀ ∈

+ +ℕ

1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.

1.2. 1

13 3 3 3 3 3 2 3 0,n n n n n n

n nu u n+

+ − = − = = × − = × > ∀ ∈ℕ

1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.

2.1.

1

1

5 5 5 5 5

2 2 2 2 2

n n n n

n nu u

+

+ − = − = × −

5 5 3 5

1 0,2 2 2 2

n n

n = − = × > ∀ ∈

1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.

2.2.

1

1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

n n n n

n nu u

+

+ − = − = × − =

1 1

0,2 2

n

n = − × < ∀ ∈

1 0,n nu u n+ − < ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente

decrescente.

2.3. ( )2n

nu = − ; 1 2 32 , 4 , 8u u u= − = = −

2 1u u> e

3 2u u<

Logo, ( )nu não é monótona.

3.1.

1

1

2 2

5 5

n n

n nu u

+

+ − = − =

2 2 3 2

1 0,5 5 5 5

n n

n = − = − × < ∀ ∈

Logo, ( )nu é estritamente decrescente pelo que

1 ,nu u n≤ ∀ ∈ℕ .Como 1

2

5u = e

20,

5

n

n > ∀ ∈

ℕ :

20

5nu< ≤ , n∀ ∈ℕ

Logo, ( )nu é limitada.

3.2. Se n é ímpar: 1

0 1, nn

< ≤ ∀ ∈ℕ

Logo, 2 1,nu n− ≤ ≤ ∀ ∈ℕ , pelo que ( )nu é limitada.

4. Seja a condição em ℕ : 3n n≤

• Para 31, 1 1 1 1n = ≤ ⇔ ≤ é uma proposição verdadeira.

• Admitindo que para determinado 3,n n n∈ ≤ℕ

pretendemos provar que ( )31 1n n+ ≤ + .

( )3 3 21 3 3 1n n n n+ = + + +

3 31 1n n n n≤ ⇒ + ≤ + 3 21 1 3 3n n n n⇒ + ≤ + + + ⇒ 2

3 3 0,n n n+ > ∀ ∈ℕ

( )31 1n n⇒ + < +

Logo, a propriedade é hereditária.

Portanto, pelo princípio de indução matemática: 3,n n n≤ ∀ ∈ℕ

5. { }

1

1

4

2 , \ 1n n

a

a a n−

=

= + ∀ ∈ ℕ

Seja a condição ( ) 2 2nP n a n⇔ = +

• Para 1n = , vem 1 2 1 2 4na a= × + ⇔ =

Proposição verdadeira

• Admitamos, por hipótese, que para determinado

n∈ℕ , 2 2na n= + .

Pretendemos provar que ( )1 2 1 2na n+ = + + .

( )1 1 12n n

a a+ + −= + Fórmula de recorrência

2 na= + = 2 2 2n+ + Por hipótese

( )2 1 2n= + +

Logo, a propriedade é hereditária.

Pelo princípio de indução matemática:

, 2 2nn a n∀ ∈ = +ℕ

6.

6

6 1

1 11 1

3 1 3643 361 1

1 2 2 729 24313 3

S u

− − = × = × = × − = −

7. 1 ,n na a r n+ − = ∀ ∈ℕ , dado que ( )na é uma progressão

aritmética de razão r:

1

11 ,n

n n

n

aa a rn

a

n

v kk k n

v k

+

+ −+ = = = ∀ ∈ℕ

Portanto, se ( )na é uma progressão aritmética de razão r,

( )nv é uma progressão geométrica de razão rk .

Pág. 119

8.1. 3 1

lim lim3 1 3 3

n n

n n

+= =

+

8.2. 2 21

lim lim lim2 1 2 2

n n n

n n

+= = = +∞

+

8.3. 2 2

1lim lim lim 0

3

n n

n n n= = =

+

8.4. 3 3

3 3

1 2 1lim lim

2 4 2 2 2

n n n

n n n

+ − −= = −

− +

8.5. lim 1n a =

8.6. 25 1 25 25 5

lim lim9 9 3

n n

n n

−= = =

8.7. 2 2 2

2 2

1 1lim lim lim 1 1

n n n

n n n

+ += = = =

8.8.

2

1 11 1

1lim lim lim

5 5 5

n n n

n n n

n n

− −−= = =

11

lim5

n

n

−= = −∞

8.9. 2

5 5lim 0

9 1n n= =

+∞− +

8.10. ( )( )

lim 2 1n n∞−∞

− − =

( )( )2 1 2 1

lim2 1

n n n n

n n

− − + −= =

+ −

( )2 1 1

lim lim2 1 2 1

n n n

n n n n

− − − += = =

+ − + −

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82

4.1. Limites notáveis

2 2

1 11 1

lim lim2 12 1

nn n

n nn nn

n nn n

− + − + = = =

−− ++

2

11

1 0lim

01 2 1

n

n n n

+

− + − += = = −∞

+ −

8.11.

13 3 3 3lim lim lim 3

4 4 4

nn n

n n

+ × = = ×

0 3 0= × =

8.12.

2

2

2 4 42 4 4 4lim lim

34 31

4

n n

n nn n

nn n

n

++= =

−−

216

0 164lim

1 031

4

n

n

+ + =− −

16=

8.13. ( ) ( )1 2lim 3 2 lim 3 3 3 0

3

n

n n n+ − = − = +∞× − = +∞

8.14.

2

22

11

1lim lim

2 1 2 1

n nnn n

n n

+ − + − = =+ +

2

11

lim2 1

n nn

n

+ −= =

+

2

11 1

lim 11

2

nn

nn

+ −

= +

8.15.

13

2 3 0 32lim lim 3

2 1 0 111

2

n

n

nn

+ + + = = =+ + +

8.16. ( )

21

2 0 1lim lim 0

22

n

n n

n n

b b

b

− − − = = =+∞

8.17.

21

2 0 1 1lim lim

2 2 2 2

n

n n

n

b b

b

− − − = = = −

Atividade inicial 1

Pág. 120

1. 1061, 2080 0,02 21, 224 16× =

1061, 2080 21, 224 16 1082, 43+ ≈

Ao fim do quarto ano terá 1082,43 €.

2. 0 1100

nr

C C = +

32

1000 1100

= +

1061, 208= €

Pág. 122

1. 2,5%r = ;

102,5

5000 1 6400,42 €100

C = + ≈

O capital acumulado ao fim dos 10 anos será de 6400,42 €.

Pág. 123

2. 0 10000, 3,6%C r= =

2.1.

23,6

10 000 1 10 363,24100 2

C = + ≈ ×

Capital cumulado: 10 363,24 €

2.2.

43,6

10 000 1 10 364,89100 4

C = + = ×

Capital cumulado: 10 364,89 €

3. Opção BTC

365

0 0

1,81 1,018

100 365C C C

= + ≈ ×

Opção BCT

365

0 0

1,71 1,017

1000 365C C C

= + ≈ ×

A melhor opção é a BTC.

4.

4 45082

5000 1 5082 1100 4 400 5000

r r + = ⇔ + = ⇔ ×

4 42541 2541

1 1400 2500 400 2500

r r⇔ + = ⇔ = − ⇔

42541

400 400 1,632500

r r⇔ = − ⇒ ≈

% 1,63%r ≈

Pág. 126

5.1.

5 5

51 5lim 1 lim 1 e

5

n n

n n

+ = + =

5.2.

2 2

63 6lim 1 lim 1 e

2

n n

n n

−− − + = + =

5.3.

6 6

42 4lim 1 lim 1 e

3 6

n n

n n

− − = − =

Pág. 127

5.4. 1

2

1

1 2lim 1 lim 1 e e2

n

n

n n

+ = + = =

5.5.

3 2 3 22 2 2

lim 1 lim 1 1

n n

n n n

− − + = + × + =

3 2

6 66 2lim 1 lim 1 e 1 e

3

n

n n

− = + × + = × =

5.6.

( )1 3 3 12 2

lim 1 lim 13 3

n n

n n

− + − − + = + = + +

3 4

2 22 2lim 1 lim 1 e 1 e

3 3

n

n n

+ − = + × + = × = + +

5.7.

2 21 1 1

lim 1 lim 1 lim 1

n n

n n n

− − − −− + = + × + = −

1 2 1e 1 e− − −= × =

5.8.

2 55 1

lim lim5 3

n nn

n

+ = +

11

5

5

n

n

+

2

31

5

n

n

=

+

2

1

5lim 1

3

5lim 1

n

n

n

n

+

+

21

22 455 5

3

5

ee e

e

− −

= = =

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83

4.1. Limites notáveis

Pág. 128

6.1.

2

2

2 2

21

12 1 2lim lim

22 21

2

n

n

n n

n

n

+

× + +

= = + +

42

2

1lim 1

2

2lim 1

2

n

n

n

n

+ = +

( )4

14

1 4

2

ee e

e

− − = = =

6.2. ( ) ( )

( )

2

31 ! 3lim

2 !

n

n n

n

+ + = +

( ) ( )( )( )

21 321 ! 3

lim2 1 !

n

n n

n n

+ + = + +

33

lim2

n

n

n

+ = = +

1

31

13 333

2

3lim 1

ee e

e2lim 1

n

n

n

n

+ = = = +

6.3.

2 12

2

3 7 2lim

3

n

n n

n n

+ + +

= +

( )( )

2 12 1

2

2 3 16 2lim 1 lim 1

3 3 1

nnnn

n n n n

++ ++ = + = + = + +

2 1 2

12 2 4lim 1 lim 1 lim 1 1

2

n n

n n n

= + × + = + × =

4 4e 1 e= × =

6.4.

2 22 3

lim lim3 1

n nn

n

+ = +

31

2

3

n

n

+

2

11

3

n

n

=

+

2

2

3

3

2lim 13

12 22

lim lim13 31

133 lim 1

n

n

n

n

nn

nn

+ + = × = × = + +

23

2

1

3

e0 0

e

= × =

6.5.

2

2

35 1

5 3lim lim

221

n

n nn n

nn

n

+ + = = + +

1

21

3 2

2

3lim 1

elim5

e2lim 1

n

n

n

n

n

+ = × = +∞× = +∞ +

Pág. 132

7.1. ( ) 2

66 2

12 3 4 3 3

3 3

2 22 2

2 2

×− × −= = = 2 3 3 32 2−= =

7.2. ( ) 22 8 2 8 2 2 2 3 2 3 23 3 3 3 3 3 27+ +× = = = = =

8.1.

2

2 2lim 1 lim 1

nn

n n

− = − =

2 2

lim 1 1

n

n n

= − + =

2 2 02 2lim 1 lim 1 e e e 1

n n

n n

− = − × + = × = =

8.2.

2

22

2 2

22

2

22 1

2 4lim lim

12 12 1

2

n

n nn n

nn

n

− − = = − −

2

2 21 1

lim1 1

1 12 2

n

n n

n n

− + = = − +

2

2

2 2

1 1

2 2

2 2lim 1 lim 1

e e

1 1e e

2 2lim 1 lim 1

n n

n n

n n

n n

− × + × = =

× − × +

2 20

0

e 11

e 1

= = =

8.3.

1e e e

e 1 e 1lim 2 lim 2

e e e

n n

n n

n n n

+ × +

− = − − =

e e e e

e1 elim 2 1 lim 1 e

e e e

n n

n n

× ×− = − − = − = ×

Pág. 134

9.1. 62 22 64 2 2x x

= ⇔ = ⇔ 6 122

xx= ⇔ =

{ }12S =

9.2. 1 3

1 3

2162 162 3 2

3

x

x

++

= ⇔ × = ⇔

1 3 1 32 1

3 3162 81

x x+ +⇔ = ⇔ = ⇔

1 3 1 3 4

4

13 3 3

3

x x+ + −⇔ = ⇔ = ⇔

5

1 3 4 3 53

x x x⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −

5

3S

= −

9.3. ( )2 32 3 1 2 19 3 3 3

xx x x

++ + += ⇔ = ⇔

4 6 13 3 4 6 1x x x x+ +⇔ = ⇔ + = + ⇔

5

3 53

x x⇔ = − ⇔ = −

5

3S

= −

2 2

2

3 7 2 3

3 1

6 2

n n n n

n n

n

+ + +

− −

+

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84

4.1. Limites notáveis

9.4. ( )5 15 1 38 2 0 2 2

xx

−− − = ⇔ = ⇔

1

15 3 21

2 2 15 32

x x−⇔ = ⇔ − = ⇔

1 7 7

15 3 152 2 30

x x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =

7

30S

=

9.5. ( ) ( ) ( )2

2 11 2 34 8 2 2

x xx x

− −− − = ⇔ = ⇔

( )22 2 3 4 4 32 2 2 2x x x x− − − −⇔ = ⇔ = ⇔

4 4 3 4x x x⇔ − = − ⇔ =

{ }4S =

9.6. 1 2 12 2 2 2 40x x x x+ − −− + − =

2 12 2 2 2 2 2 2 40x x x x− −⇔ × − × + × − = ⇔

1 1

2 2 1 404 2

x ⇔ −× + − = ⇔

5 4

2 40 2 404 5

x x⇔ × = ⇔ = × ⇔

52 32 2 2 5x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =

{ }5S =

9.7. 22 5 2 4 0x x− × + = ⇔ ( )2

2 5 2 4 0x x− × + = ⇔

5 25 16

22

x ± −⇔ = 2 1 2 4x x⇔ = ∨ = ⇔

0 22 2 2 2x x⇔ = ∨ = 0 2x x⇔ = ∨ =

{ }0 , 2S =

9.8. 35 4 5 5 5x x x−− × = × ⇔

( )35 4 5 5 5 5 5x x x x x−⇔ − × × = × × ⇔

4 25 4 5 5x x⇔ − × = ⇔ ( )22 25 4 5 5 0x x− × − =

2 4 16 20

52

x ± +⇔ = ⇔ 2 25 1 5 5x x= − ∨ =

A equação 25 1x = − é impossível

2 15 5xx⇔ ∈∅ ∨ =1

2 12

x x ⇔ = ⇔ =

1

2S

=

10. ( ) 4 8xf x = − ( ) 22 24xg x += +

Ponto A: ( ) 00 4 8 7f = − = − → ( )0 , 7A −

Ponto B:

( ) ( ) 24 8 2 24x xf x g x += ⇔ − = + ⇔

( )2 22 2 2 32 0x

x⇔ − × − = ( )2

2 4 2 32 0x x⇔ − × − =

4 16 128

22

x ± +⇔ =

4 122

2

x ±⇔ = ⇔

2 4 2 8x x⇔ = − ∨ = ⇔ 32 2 3xx x∈∅ ∨ = ⇔ =

( ) 33 4 8 56f = − = → ( )3 , 56B

Ponto C: ( ) 0 20 2 24 28g += + = → ( )0 , 28C

[ ]( )28 7 3abcissa de

2 2ABC

AB BA

− − ××= =

35 3

2

×=

52,5=

[ ] 52,5 u.a.ABC

A =

Pág. 135

11.1. 1 1 4

0,045 5 100

x x

> ⇔ > ⇔

1 1

5 25

x

> ⇔

21 1

5 5

x

⇔ > ⇔

2x < ; ] [, 2S = −∞

11.2. 225 5 0 5 5 2x x x− ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ; [ [2 ,S = + ∞

11.3. 2 22 5 2 5 25

2 0,25 2100

x x x x− −< ⇔ < ⇔

2 22 5 2 5 21

2 2 24

x x x x− − −⇔ < ⇔ < ⇔

22 5 2x x⇔ − < − ⇔ 22 5 2 0x x− + < ⇔

1

, 22

x ⇔ ∈

; 1

, 22

S =

11.4. 10 2 5 0x x− × > ⇔ 10 2 5x x> × ⇔

110

2 2 2 15

xx

xx⇔ > ⇔ > ⇔ >

] [1 ,S = + ∞

11.5. ( )223 9 10 3 3 10 3 9 0x x x x+ ≥ × ⇔ − × + ≥

Fazendo 3xy = , vem:

2 10 9 0y y− + ≥ ⇔ 1 9y y≤ ∨ ≥ ⇔

3 1 3 9x x⇔ ≤ ∨ ≥ 0 23 3 3 3x x⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔

0 2x x⇔ ≤ ∨ ≥ ] ] [ [, 0 2 ,x⇔ ∈ −∞ ∪ + ∞

] ] [ [, 0 2 ,S = −∞ ∪ + ∞

11.6. 2 25 3 10 5x x−− > × ⇔ ( )2 2 2 25 3 5 10 5 5x x x x−− × > × × ⇔

( )22 25 3 5 10 0x x⇔ − × − >

Fazendo 25 xy = , temos:

2 3 10 0y y− − > ⇔ 2 5y y< − ∨ > ⇔

2 2 15 2 5 5x x⇔ < − ∨ > 2 1x x⇔ ∈∅∨ > ⇔

1

2x⇔ >

1

,2

S = + ∞

12.1. ( ) ( ) 2 200 0 4 2 18 10 8

2AB f g= − = + − = − =

12.2. 0 F∉ , porque ( ) ( )0 0 1f g− > .

12.3. ( ) ( ) 3 2

1 3

201 4 2 1

2

x

xf x g x

+−

− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔

3 2 3 14 4 20 2 1 0x x−⇔ × − × + ≤ ⇔

( )32 3 12 16 20 2 2 1 0

xx −⇔ × − × × + ≤ ⇔

( )23 316 2 10 2 1 0x x⇔ × − × + ≤

Fazendo 32 xy = :

216 10 1 0y y− + ≤ ⇔1 1

8 2y y≥ ∧ ≤ ⇔

3 3 1

3

12 2 2

2

x x −⇔ ≥ ∧ ≤ ⇔

3 32 2 3 1x x−⇔ ≥ ∧ ≤ − ⇔

1

3 33

x x⇔ ≥ − ∧ ≤ −1

13

x x⇔ ≥ − ∧ ≤ −

1

1,3

F = − −

2

Cálculo auxiliar

3 10 0

3 9 40

22 5

y y

y

y y

− − = ⇔

± +⇔ = ⇔

⇔ =− ∨ =

2

Cálculo auxiliar

16 10 1 0

10 100 64

321 1

8 2

y y

y

y y

− + = ⇔

± −⇔ = ⇔

⇔ = ∨ =

2

Cálculo auxiliar

2 5 2 0

5 25 16

41

22

x x

x

x x

− + = ⇔

± −⇔ = ⇔

⇔ = ∨ =

2

Cálculo auxiliar

10 9 0

10 100 36

21 9

y y

y

y y

− + = ⇔

± −⇔ = ⇔

⇔ = ∨ =

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85

4.1. Limites notáveis

Pág. 136

13.1. ( )

0

0

0 0 0

2 e 12e 2 2 e 1lim lim lim

3 3 3

xx x

x x xx x x

→ → →

−− −= = =

2 21

3 3× =

13.2.

0

0

0 0

e 1 e 1lim lim

x x

x xx x

− −

→ →

− −= − =

− 0

e 1lim 1

y

x y→

−− = −

13.3.

0

0

330 0

e 1

e 1lim lim

e 1e 13

3

x

x

xxx x

xx

xx

→ →

−×−

= =−−

×

0

3

0

e 1lim

1

e 13lim

3

x

x

x

x

x

x

× =−

0

1 1

e 13lim

y

y y→

= ×−

1 1 1

3 1 3= × =

13.4. ( )2 22

2 2

e e 1e elim lim

2 2

xx

x xx x

→ →

−−= =

− −

22

2

e 1e lim

2

x

x x

−=

2

0

e 1e lim

y

y y→

−= × 2 2e 1 e= × =

13.5.

1

lim e 1x

xx

→+∞

− =

( )

0

1lim e 1

y

y y→

− =

0

e 1lim 1

y

y y→

−= =

Pág. 137

14.1. 4

2 2log 16 log 2 4= =

14.2. 1

2 2

1log log 2 1

2

−= = −

14.3.

5

5 22 2 2

5log 32 log 2 log 2

2= = =

Pág. 138

15.1. 5

2 2log 32 log 2 5= =

15.2. 1

10 10log 10 log 10 1= =

15.3. 3

3 3 33

1 1log log log 3 3

27 3

− = = = −

15.4.

2

2

1 1 1

4 4 4

1log 16 log 4 log 2

4

− = = = −

15.5. 2

9 9log 81 log 9 2= =

15.6.

1

281 81 81

1log 9 log 81 log 81

2= = =

15.7. 3

5 5log 125 log 5 3= =

15.8. ( )5 5 1

5 32 3 38 8 8 8

log 32 log 2 log 2 log 2×

= = = =

( )51 5

32 3

8 8

5log 8 log 8

3

×= = =

ou

( ) ( )5 3

8log 32 32 8 2 2

yy

y= ⇔ = = = ⇔

55 3 3

72 2 23 5

2 2 2 22 2

yy y

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

5

3 53

y y⇔ = ⇔ =

Logo, 8

5log 32

3=

15.9. 0

7 2 1 7 2 4

32

1 1log 1 log log 4 log 7 log

16 2y

+ + = + + =

4

2

2 2 220 log 2 4

5 5 5

− = + + − = − − = −

Pág. 139

16.1. ( ) ( )2

22 2 41log 0,01 log log 10 log10 4

100

− − = = = = −

16.2.

333 2 32

3 3

0,001 10 10log log log log10

1000 10 10

−− − − = = = =

9

29

log102

−= = −

16.3.

2

3 2 32

ln e ln e3

= =

16.4. ( )1

21

2

1 1ln ln e e ln ln e e

ee

+ = + × =

1 11

2 21 3

ln e ln e 12 2

− += + = − + =

Pág. 140

17.1. 1 12 6 0 2 6x x+ +− = ⇔ = ⇔ 2 2 6 2 3x x× = ⇔ = ⇔

2log 3x⇔ =

{ }2log 3S =

17.2. e 10 ln10x x= ⇔ =

{ }ln10S =

17.3. ( ) 3 225 3 91,5 2,25

2 100 2 4

x xx = ⇔ = ⇔ = ⇔

23 3

22 2

x

x ⇔ = ⇔ =

{ }2S =

17.4. 1 12 3 2 3 0x x+ −− × − = ⇔ 12 2 3 2 2 3 0x x −× − × × − = ⇔

3

2 2 2 3 02

x x⇔ × − × − = ⇔3

2 2 32

x − × = ⇔

1

2 32

x⇔ × = ⇔2

2 6 log 6x x= ⇔ =

{ }2log 6S =

17.5. 2 3 0xx x× − = ⇔ ( )2 3 0 0 2 3x xx x− = ⇔ = ∨ = ⇔

20 log 3x x⇔ = ∨ =

{ }20 , log 3S =

17.6. ( )22e 1 e 2 e e 0

e

x x x x

x− = ⇔ − = ∧ ≠ ⇔

( )2 1 1 8e e 2 0 e

2

x x x ± +⇔ − − = ⇔ = ⇔

e 1 e 2 ln 2x x x x⇔ = − ∨ = ⇔ ∈∅ ∨ = ln 2x⇔ =

{ }ln 2S =

( )2 2 5

1 5

32

2 5

Cálculo auxiliar

1 1log 4 4 2 2 2

32 2

22 2 5 2

5

y yy

y

y

y y

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

3

Se 0, 0

y x

x y

=

→ →

2

Se 2, 0.

y x

x y

= −

→ →

1 1

Se , 0.

y xx y

x y

= ⇔ =

→+∞ →

Se 0, 0

y x

x y

= −

→ →

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86

4.1. Limites notáveis

17.7. 19 2 3 5 0x x+− × + = ⇔ ( )23 2 3 3 5 0x

x− × × + = ⇔

( )2

3 6 3 5 0x x⇔ − × + =6 36 20

32

x ± −⇔ = ⇔

6 4

32

x ±⇔ = 3 1 3 5x x⇔ = ∨ = ⇔

3 3log 1 log 5x x⇔ = ∨ = 30 log 5x x⇔ = ∨ =

{ }30 , log 5S =

17.8. 6 32e 3 5ex x− = ⇔ ( )23 32 e 5e 3 0x x− − = ⇔

3 3 35 25 24 1

e e e 34 2

x x x± +⇔ = ⇔ = − ∨ = ⇔

1

3 ln3 ln 33

x x x⇔ ∈∅∨ = ⇔ =

1

ln33

S =

18. ( ) ( )( ) ( )

1

2

1 1 4 3 2

2 2 16 3 2

b

b

f g a

f g a

+

+

= + = × ⇔ ⇔ = + = ×

( ) 2 1

2

16 4 3 2 3 2

16 3 2

b b

b

a a

a

+ +

+

+ − + = × − ×⇔ ⇔+ = ×

( )2 1

2

12 3 2 2

16 3 2

b b

ba

+ +

+

= −⇔ ⇔

+ = ×

2 1

2

2 2 4

16 3 2

b b

ba

+ +

+

− = ⇔+ = ×

2

2 4 2 2 4

16 3 2

b b

ba +

× − × =⇔ ⇔+ = ×

2

2 2 4

16 3 2 2

b

ba

× = ⇔+ = × ×

12 2

816 12 2

b b

aa

= = ⇔ ⇔

=+ = ×

8a = e 1b =

Pág. 145

19.1. 24 2ln3 ln 3 ln9

lne e 4 e 4 e 4 9 13+ = + = + = + =

19.2. 5

ln 4 5ln 6 10ln 32

− + =1

5 ln 4 ln 6 2ln 32

− + =

( )1

225 ln 4 ln 6 ln 3

= − + =

45 ln ln3

6

+ =

2

5ln 3 5ln1 5 0 06

= × = = × =

19.3. ( )2

ln 52 2 ln 5 2 2 ln 5 2 2e e e e e e 5 5e+ = × = × = × =

19.4. 3

lnln 3ln

3ln

ee

e

aa b

b

a

b

− = =

19.5. ( )3 3log log log 3a

a b ab a= =

20. log1 1

log2 log 2

bc

b

bb

c= ⇔ = ⇔

1 1log 2

log 2b

b

cc= ⇔ =

log1 1

log3 log 3

ab

a

aa

b= − ⇔ = − ⇔

1 1

log 3a b= − ⇔

log 3a b⇔ = −

20.1. 2

2log log log

a a a

aa b

b

= − =

1

2log 2loga a

a b− =

( )1 1 132 3 6

2 2 2= − × − = + =

20.2. ( )1

3 32log log loga a a

b a b a× = + =1

log 32

a b + =

( )1 33 3

2 2= × − + =

20.3. 1 1

log 2 2 2 41log

2

b

c

cb

+ = + = + =

20.4. 113

2322

log log logb b b

b ab a c

c

×= × − =

11

32log log 2logb b bb a c= + −

1 1log 2 2

2 3b a= + − × =

( ) ( )( )18

9 2

1 1 1 1 14 4

2 3 3 2 9 ×× ×

= + × − − = − − =

9 2 72 65

18 18

− −= = −

21.1. ( ) ( ) ( )22

2 22log 1 log 1f x x x= − − + =

( ) ( )2

2 22log 1 2log 1x x= − − + =

( ) ( )2

2

2 2 2

12 log 1 log 1 2log

1

xx x

x

− = − − + = = +

( )( )

2

1 12log

1

x x

x

− += =

+( )22log 1x −

21.2. ( ) ( )20 2log 1 0 1f x x x= ⇔ − = ∧ > ⇔

( )2log 1 0 1x x⇔ − = ∧ > 01 2 1x x⇔ − = ∧ > ⇔

1 1 1x x⇔ − = ∧ > 2x⇔ =

Pág. 146

22.1. ( )3log 1 2x − = ⇔ 21 3 1 0x x− = ∧ − > 10x⇔ =

{ }10S =

22.2. ( )32log 1 2 1 0x x− = ∧ − > ( )3log 1 1x x⇔ − = ∧ > ⇔

11 3 1x x⇔ − = ∧ > 4x⇔ =

{ }4S =

22.3. ( )2

3log 1 2x − = ⇔ ( ) ( )2 221 3 1 0x x− = ∧ − > ⇔

( )1 3 1 3 1 0x x x⇔ − = ∨ − = − ∧ − ≠ ⇔

4 2x x⇔ = ∨ = −

{ }2 , 4S = −

22.4. ( )2 2 2log 5 log 2 log 10x+ − = ⇔

( )2 2log 5 2 log 10 2 0x x⇔ − = ∧ − >

5 10 10 2x x⇔ − = ∧ > 5 20 2x x⇔ = ∧ > 4x⇔ =

{ }4S =

22.5. ( ) ( )ln 3 ln 2 1 0x x− + = ⇔

( ) ( )ln 3 ln 2 1 3 0 2 1 0x x x x⇔ = + ∧ > ∧ + > ⇔

1

3 2 1 02

x x x x⇔ = + ∧ > ∧ > − 1x⇔ =

{ }1S =

22.6. ( )5 52log log 5 4x x+ = ⇔

( )2

5 5log log 5 4 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔

( )2

5log 5 4 0x x x⇔ × = ∧ > ⇔ 3 45 5 0x x= ∧ > ⇔

3 35 0x x⇔ = ∧ > 5x⇔ =

{ }5S =

1 0x + >

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87

4.1. Limites notáveis

22.7. ( )2 2log 1 1 log 3x + = − ⇔

( )2 2log 1 log 3 1 1 0x x⇔ + + = ∧ + > ⇔

( )2log 3 1 1 1x x⇔ + = ∧ > − ⇔

1 1

3 3 2 13

x x x⇔ + = ∧ > − ⇔ = −

1

3S

= −

22.8. ( )( )2 3log log 1 1x + =

( ){ }3: 1 0 log 1 0D x x x= ∈ + > ∧ + > =ℝ

{ }0: 1 1 3x x x= ∈ > − ∧ + > =ℝ

{ }: 1 0x x x += ∈ > − ∧ > =ℝ ℝ

( )( )2 3log log 1 1x + = ⇔ ( )3log 1 2 0x x+ = ∧ > ⇔

21 3 0x x⇔ + = ∧ > 8x⇔ =

{ }8S =

22.9. ( )2

2log 3 2x x+ + = ⇔

{ }2: 2 0 2 1 3 0D x x x x= ∈ + > ∧ + ≠ ∧ + > =ℝ

] [ ] [2 , 1 1 ,x= ∈ − − ∪ − + ∞

( )2

2log 3 2x x+ + = ⇔( )( )

2ln 32

ln 2

xx D

x

+= ∧ ∈ ⇔

+

( ) ( )2ln 3 2ln 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔

( ) ( )22ln 3 ln 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔

( )22 3 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔

2 23 4 4x x x x D⇔ + = + + ∧ ∈ ⇔

1

4 14

x x D x⇔ = − ∧ ∈ ⇔ = −

1

4S

= −

Pág. 147

22.10. ( )2

3 9log 9 log 1 1x x x+ + − + =

{ }2: 9 0 1 0D x x x x= ∈ + + > ∧ + > =ℝ

] [1 ,= − + ∞

( )2

3 9log 9 log 1 1x x x+ + − + = ⇔

( ) ( )132 2

3

3

log 1log 9 1 1

log 9

xx x x

+⇔ + + − = ∧ > − ⇔

( ) ( )32

3

log 11log 9 1 1

2 2

xx x x

+⇔ + + − = ∧ > − ⇔

( ) ( )2

3 3log 9 log 1 2 1x x x x⇔ + + − + = ∧ > − ⇔

( ) ( )2 2

3 3 3log 9 log 3 log 1 1x x x x⇔ + + = + + ∧ > − ⇔

( ) ( )( )2

3 3log 9 log 9 1 1x x x x⇔ + + = + ∧ > − ⇔

2 9 9 9 1x x x x⇔ + + = + ∧ > − ⇔

2 8 0 1x x x⇔ − = ∧ > − ( )8 0 1x x x⇔ − = ∧ > −

0 8x x⇔ = ∨ =

{ }0 , 8S =

22.11. ( )log 1 2 log5 log6xx x+ + = + ; D = ℝ

( )log 1 2 log5 log6xx x+ + = + ⇔

( )log10 log 1 2 log5 log6x x x⇔ + + = + ⇔

( ) ( )log 10 1 2 log 6 5x x x ⇔ + = × ⇔

( )10 1 2 6 5x x x⇔ + = × ( ) ( )2 5 1 2 6 5 0x x x⇔ × + − × =

( )2 5 1 2 6 5 0x x x x⇔ × + − × = ( )5 2 1 2 6 0x x x ⇔ + − =

( )2

5 0 2 2 6 0x x x⇔ = ∨ + − = ⇔

( )2

2 2 6 0x xx⇔ ∈∅ ∨ + − = ⇔1 1 24

22

x − ± += ⇔

2 3 2 2x x⇔ = − ∨ = 1 1x x x⇔ ∈∅∨ = ⇔ =

{ }1S =

23.1. ( )ln 5 1 lnx x+ > ⇔

5 1 0 5 1 0x x x x⇔ + > ∧ > ∧ + > ⇔

1

4 1 05

x x x⇔ > − ∧ > ∧ > − ⇔

1 1

04 5

x x x⇔ > − ∧ > ∧ > − 0x⇔ >

S += ℝ

23.2. ( ) ( )3 1

3

log 3 log 2 0x x+ + ≥ ⇔

( ) ( )3

3

3

log 2log 3 0 3 0 2 0

1log

3

xx x x

+⇔ + ≥ ∧ ≥ ∧ + > ⇔

( ) ( )3

3

log 2log 3 0 0

1

xx x

+⇔ + ≥ ∧ > ⇔

( ) ( )3 3log 3 log 2 0 0x x x⇔ − + ≥ ∧ > ⇔

( ) ( )3 3log 3 log 2 0x x x⇔ ≥ + ∧ > ⇔

3 2 0x x x⇔ ≥ + ∧ > ⇔ 2 2 0x x≥ ∧ > 1x⇔ ≥

[ [1 ,S = + ∞

23.3. ( ) ( )2 2log 3 2 log 5x x− + ≥ − ⇔

( ) ( )2

2 2 2log 3 log 2 log 5 3 5x x x x⇔ − + ≥ − ∧ > ∧ <

( ) ( )2 2log 4 3 log 5 3 5x x x x⇔ − ≥ − ∧ > ∧ < ⇔

4 12 5 3 5x x x⇔ − ≥ − ∧ < < 5 17 3 5x x⇔ ≥ ∧ < <

17

3 55

x x⇔ ≥ ∧ < <17

55

x⇔ ≤ <

17

, 55

S =

23.4. ( )log 1 1 0x− + ≥ ⇔ ( )log 1 1 1 0x x− ≥ − ∧ − > ⇔

11 10 1x x−⇔ − ≥ ∧ <1

1 110

x x⇔ − ≥ − ∧ < ⇔

9

110

x x⇔ − ≥ − ∧ <9 9

110 10

x x x⇔ ≤ ∧ < ⇔ ≤

9

,10

S = −∞

Pág. 148

23.5. ( ) ( )2

2 2log log 3 3 1x x x+ ≤ − +

{ }2: 0 3 3 0D x x x x= ∈ + > ∧ − >ℝ ] [1 ,= + ∞

2

2

Cálculo auxiliar

9 0

1 36 0

9 0,

x x

x x x

+ + =∆ = − <

+ + > ∀ ∈ℝ

2 0x + >

Page 8: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

88

4.1. Limites notáveis

( )2 0 1 0x x x x+ = ⇔ + = ⇔ 0 1x x= ∨ = −

3 3 0 3 3 1x x x− > ⇔ > ⇔ >

( ) ( )2

2 2log log 3 3 1x x x+ ≤ − + ⇔

( ) ( )2

2 2 2log log 3 3 log 2 1x x x x⇔ + ≤ − + ∧ > ⇔

( ) ( )2

2 2log log 2 3 3 1x x x x⇔ + ≤ − ∧ > ⇔

2 6 6 1x x x x⇔ + ≤ − ∧ > 2 5 6 0 1x x x⇔ − + ≤ ∧ >

2 3 1x x⇔ ≤ ≤ ∧ > 2 3x⇔ ≤ ≤

[ ]2 , 3S =

23.6. ( )3 3

3log 2 log 5

xx

x

− > −

3

: 0 5 0x

D x xx

− = ∈ > ∧ > = ℝ

{ }: 3 0 0x x x= ∈ − > ∧ > =ℝ

{ } ] [: 3 0 0 , 3x x x= ∈ < ∧ > =ℝ

( )3 3

3log 2 log 5

xx

x

− > − ⇔

( ) ] [3 3

3log log 5 2 0 , 3

xx x

x

− ⇔ + > ∧ ∈ ⇔

] [3

3log 5 2 0 , 3

xx x

x

− ⇔ × > ∧ ∈ ⇔

( ) ] [3log 15 5 2 0 , 3x x⇔ − > ∧ ∈ ⇔

] [215 5 3 0 , 3x x⇔ − > ∧ ∈ ] [5 6 0 , 3x x⇔ < ∧ ∈ ⇔

] [6 60 , 3 0 ,

5 5x x x

⇔ < ∧ ∈ ⇔ ∈ ;

60 ,

5S

=

23.7. 1 1

3 3

3 13log log

4

xx

− < ⇔

3

1

3 3

3 1log log 0 3 1 0

4

xx x x1

−⇔ < ∧ > ∧ − > ⇔

3 3 1 1

04 3

xx x x

−⇔ > ∧ > ∧ > ⇔

3 1

4 3 13

x x x⇔ > − ∧ > ⇔ 3 14 3 1 0

3x x x− + > ∧ >

Os zeros inteiros de ( ) 34 3 1P x x x= − + , caso existam,

são divisores de 1, ou seja, 1 ou –1.

( ) ( )31 4 1 3 1 0P − = × − + + =

4 0 –3 1

–1 –4 4 –1

4 –4 1 0

3 1

4 3 1 03

x x x− + > ∧ > ⇔

( )( )2 11 4 4 1 0

3x x x x⇔ + − + > ∧ > ⇔

( )( )2 11 2 1 0

3x x x⇔ + − > ∧ > ⇔

1

1 0 2 1 03

x x x⇔ + > ∧ − ≠ ∧ >

1 1

12 3

x x x⇔ > − ∧ ≠ ∧ >1 1 1

, ,3 2 2

x ⇔ ∈ ∪ + ∞

1 1 1

, ,3 2 2

S = ∪ + ∞

Pág. 150

24.1. ( )( )1 0

lim 1 e 1x

xx

∞×

→+∞

+ − =

( )

0

1lim 1 e 1y

y y→

+ − =

( )0

1lim e 1

y

y

y

y→

+= − =

( )

0 0

e 1lim 1 lim 1

y

y yy

y→ →

−+ × =

24.2. ( )

0

0

0lim

ln 1x

x

x

→=

+ 0

e 1lim

y

y y→

−1=

24.3. ( )

0

0

20

ln 1lim

3x

x

x x

+=

+

( )( )0

ln 1lim

3x

x

x x→

+=

+

( )

0 0

ln 11lim lim

3x x

x

x x→ →

+= × =

+

0

1lim

3 e 1yy

y

→= ×

−0

1 1 1 1 1

e 13 3 1 3lim

y

y y→

= × = × =−

24.4. ( )

0

0

1

1lim

2ln 2x

x

x

−=

( )0

1 2 e1lim

2

y

y y→

− −=

0

1 1 elim

2

y

y y→

− += =

0

1 e 1lim

2

y

y y→

−=

1 1

12 2

= × =

24.5. ( )

0

0

0

ln 4 ln 4limx

x

x

+ −=

0

4ln

4limx

x

x→

+ =

0

lim4e 4yy

y

→= =

− ( )0lim 0

4 e 1yy

y

→= =

0

1 1lim

e 14y

y

y→

= =−

0

1 1

e 14lim

y

y y→

× =−

1 1 1

4 1 4= × =

24.6. ( )

03

0

30

ln 5 ln5limx

x

x

+ −=

3

30

5ln

5limx

x

x→

+ =

3

30

ln 15

limx

x

x→

+

=( )0

lim5 e 1yy

y

→= =

0

1 1

e 15lim

y

y y→

= × =−

1 11

5 5× =

Pág. 151

24.7.

0

0

2

2lim

ln 1x

x

x

−=

− ( )1

22

2lim

ln 1x

x

x→

− ( )2

2lim

1ln 1

2

x

x

x→

−= =

( )2

22lim

ln 1x

x

x→

−=

− 0

e 1 2lim

y

y y→

+ −= =

0

e 12lim

y

y y→

−= 2 1 2= × =

2

Cálculo auxiliar

5 6 0

5 25 24

22 3

x x

x

x x

− + = ⇔

± −⇔ =

⇔ = ∨ =

( )ln 1

e 1

e 1

Se 0, 0

y

y

y x

x

x

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ →

( )ln 2

e 2

2 e

1 0

y

y

y x

x

x

x y

= − ⇔

⇔ = − ⇔

⇔ = −

→ ⇒ →

4ln

4

4e

4

4e 4

4e 4

0 0

y

y

y

xy

x

x

x

x y

+ = ⇔

+⇔ = ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ ⇒ →

( )

3

3

3

ln 15

e 15

5 e 1

0 0

y

y

xy

x

x

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ ⇒ →

( )ln 1

e 1

e 1

2 0

y

y

y x

x

x

x y

= − ⇔

⇔ = − ⇔

⇔ = +

→ ⇒ →

( )22 1 0,x x− ≥ ∀ ∈ℝ

1 1

Se , 0

y xx y

x y

= ⇔ =

→ +∞ →

( )ln 1 e 1

e 1, se 0, 0

y

y

y x x

x x y

= + ⇔ = + ⇔

⇔ = − → →

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89

4.1. Limites notáveis

24.8. 03

lim lnx

xx

x

∞×

→+∞

+ =

3lim ln 1

xx

x→+∞

+ =

0

3lim

e 1yyy

= × = − 03lim

e 1yy

y

→=

0

1 13 3 3

e 1 1lim

y

y y→

= × = × =−

Outro processo:

3 3

lim ln lim ln 1

x

x x

xx

x x→+∞ →+∞

+ = +

3ln lim 1

x

x x→+∞

= +

3ln e 3= =

24.9.

0

3 0

0 0

2 8 2 8 8lim lim

x x

x xx x

+

→ →

− × −= =

ln 2

0 0

2 1 e 18lim 8lim

xx

x xx x→ →

− −=

ln 2

0 0

2 1 e 18lim 8lim

xx

x xx x→ →

− −= = =

ln 2

0

e 18 lim

x

x x→

−× =

ln 2

0

e 18 ln 2 lim

ln 2

x

x x→

−= × × =

0

e 18ln 2 lim

y

x y→

−× =

8ln 2 1 8ln 2= × =

25.1. 2 2

2

2

e2 1

2elim lim

11

x

x

x x

x x

x x

x

∞ ∞

→+∞ →+∞

× −+= =

− −

( )2 1

1 0

× +∞ −= +∞

−pois

2

elim

x

x x→+∞= +∞

25.2. 3 2

11

lim limee

xx x

x x x

x

∞ ∞

→+∞

++= =

1 00

+=

+∞ porque

elim

x

x x→+∞= +∞

25.3.

3 33 7 3lim lim 3 3

7 7

x

x xx x

x x

→+∞ →+∞

× −= − =

3

3 3 lim7 xx

x

→+∞− ×

3

13 3

7lim

x

x x→+∞

= − × =1

3 3 3 3 0 3− × = − × =+∞

Dado que ln 7 ln7

3 3 3

7 e elim lim lim

xx x

x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞= = =

( )( )

ln 73

33

eln 7 lim

ln 7

x

x x→+∞= = ( )

( )

ln 73

3

eln 7 lim

ln 7

x

x x→+∞

( ) ( ) ( )3 3

3

eln 7 lim ln 7

y

y y→+∞= × = × +∞ = +∞

25.4. ( )0

3 2lim e x

xx

∞×−

→+∞=

3

2lim

e xx

x

→+∞

3

2lim

eyy

y

→+∞

=

31

8lime yy

y

→+∞= =

3

1 1

e8lim

y

y y→+∞

×1 1

8 0 08

= × = × =+∞

Pág. 152

25.5. ( )5lim 5x

xx

∞−∞

→+∞− = 5

5

5lim 1

x

xx

x→+∞

( )1= +∞× +∞ − = +∞

Dado que:

ln 5

5 5

5 elim lim

xx

x xx x→+∞ →+∞= ( )

( )

ln 55

5

eln 5 lim

ln 5

x

x x→+∞= ×

( )5

5

eln 5 lim

y

y y→+∞= × ( ) ( )5

ln5= × +∞ = +∞

25.6. ( )0

lim 1 ex

xx

∞×

→−∞ + = ( )lim 1 e y

yy −

→+∞ − + =

11

1lim lim

eeyyy x

y y

y

→+∞ →+∞

−−

= = =0 1

0−

=+∞

dado que

e

limy

y y→+∞= +∞ .

26.1. 2 2

2

2

ln2 1

2lnlim lim

111

x x

x

x x x

x

x

∞ ∞

→+∞ →+∞

++= =

− −2

ln 12 1

lim1

1x

x

x x

x

→+∞

× × +=

2 0 0 1

11 0

× × += =

− dado que

lnlim 0

x

x

x→+∞=

26.2.

1

2ln 1 ln 1lim lim

2 2x x

x x

x x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ += =

+ +

1ln 1

2lim2x

x

x→+∞

+=

+

1 ln 1

2lim2

1x

x

x x

x

→+∞

× += =

+

10 0

2 01 0

× +=

+, dado que .«

lnlim 0

x

x

x→+∞= .

26.3. 2

2

loglim

x

x

x

∞ ∞

→+∞=

loglimy

y

y→+∞=

ln

1 lnln10lim limln10y y

y

y

y y→+∞ →+∞= = × =

10 0

ln10× =

26.4. ( )( ) ln

lim 5ln lim 1 5x x

xx x x

x

∞−∞

→+∞ →+∞

− = − =

( )1 5 0= +∞ − × = +∞ , dado que ln

lim 0x

x

x→+∞=

26.5. ( )4ln 3 ln 3 4ln

lim lim5 5x x

x x

x x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+= =

ln3 4 ln

lim lim5 5x x

x

x x→+∞ →+∞= + =

40 0 0

5+ × =

Pág. 153

26.6. ( )0

0 0 0

1 1 1lim lim ln10 lim

lnlog ln

ln10

x x xxx x x xx

× −∞

→ → →= = × =

1

ln10 lim1 1

lny

y y

→+∞= × =

×

( )1

1 1ln10 lim ln10 lim

1 lnln

y y yy

y y

→+∞ →+∞−= × = × =

× −

1 1

ln10 ln10ln 0

limy

y

y

+

→+∞

= − × = − × =

( )ln10= − × +∞ = −∞

3ln 1

3e 1

3 3e 1

e 1

0

y

y

y

yx

x

xx

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ − = ⇔ =−

→+∞⇒ →

ln2

0 0

y x

x y

=

→ ⇒ →

ln 7y x

x y

=

→ +∞ ⇒ → +∞

ln5y x

x y

=

→ +∞ ⇒ → +∞

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→ −∞ ⇒ → +∞

2

Se ,

y x

x y

=

→ +∞ → +∞

1 1

0

y xx y

x y+

= ⇔ =

→ ⇒ → +∞

22

0 0

yy x x

x y

= ⇔ =

→ ⇒ →

Atendendo a que a função

logarítmica é contínua.

Page 10: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

90

4.1. Limites notáveis

26.7. ( )

1ln 1

ln 1lim limx x

xx x

x x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ + = =

1ln ln 1

limx

xx

x→+∞

+ + = =

1ln 1

ln 0lim lim 0 0x x

x x

x x→+∞ →+∞

+ = + = + =

+∞

26.8. ( )

33 3

1ln 3

ln 3 1 3lim lim

ln lnx x

xx x

x x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ + = = =

3

3

1ln ln 3

3lim

lnx

xx

x→+∞

+ + = =

3

13ln ln 3

3lim

lnx

xx

x→+∞

+ + = =

3

1ln 3

3ln 3lim lim

ln lnx x

x x

x x→+∞ →+∞

+ = + =

ln 3

3 3 0 3= + = + =+∞

26.9. ( )

1ln e 1

ln e 1 elim lim

xx x

x xx x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ + = =

1 1lne ln 1 ln 1

e elim lim

x

x x

x x

x

x x→+∞ →+∞

+ + + + = = =

1ln 1

ln1elim lim 1

x

x x

x

x x→+∞ →+∞

+ = + = + =

+∞1 0 1+ =

27.1.

33 lnlim ln 3 lim

3 0lim e e e 1

x x

xx

xx x

xx

→+∞ →+∞

×

→+∞= = = =

27.2. ( )( )1

1 lim ln 10

lim 1 e e 1x

xx

x

xx

→+∞

+

→+∞+ = = =

Dado que:

( ) ( )1

ln 1ln 11

lim ln 1 lim limx x x

xx x

xx x x

∞ ∞

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = =

1 1ln ln 1 ln 1

lnlim lim limx x x

xxx x

x x x→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = + =

ln1

0 0 0 0= + = + =+∞

Pág. 155

28.1. 0

11 1lim ln 12

2 2 4

0lim 1 e e

2

x

xx

x

x

x →

+

+ = =

Dado que:

( )0

0

1lim ln 1

2 2x

x

x

∞×

+ = ( )0

1 1lim

2 2 e 1yyy

×

0

1 1 1 1 1

e 14 4 1 4lim

y

y y→

= × = × =−

28.2.

2 1 2

2

0 0

1 1lim lim

1 1

x x

x x

x x

x x

×

→ →

+ + = = − −

0

1 1lim ln

1 2e ex

x

x x→

+ − =

Dado que:

0

1 1lim ln

1x

x

x x→

+ = − 0

e 1lim

e 1

y

yyy

+× =

( )0 0

lim e 1 lime 1

y

yy y

y

→ →= + × =

( )

0

1 11 1 2 2

e 1 1lim

y

y y→

= + × = × =−

28.3. 0

11lim ln

1lnln

0lim e e ex

xxx

xx

+→

+

×

→= = =

28.4. ( )

0

lim sin lnsin 0

0 0lim lim e e 1x

x xx

x xx

+→

+ +

×

→ →= = =

Dado que:

( )0 0

sinlim sin ln lim lnx x

xx x x x

x+ +→ →

× = × =

( )0 0

sinlim lim lnx x

xx x

x+ +→ →= × =

1 1

1 lim lny y y→+∞

= × × =

11lim lny

yy

→+∞

=

ln ln

lim lim 0y y

y y

y y→+∞ →+∞

−= = − =

Pág. 155

29.1.

2 1

13lim 1

2

n

n

n

−+ + =

2 1 3lim ln 1

1 2e

n

n n

− + + 2 ln 1 2 0 0e e e 1× ×= = = =

Dado que 2 1 2

lim lim 21

n n

n n

−= =

+

29.2. ( ) 4 32 4

lim 2 lim ln3 1 34 3

lim e e3 1

nnn

nn

n

+ + + +∞× + + = = + e+∞= = +∞

Dado que 4 3 4

3 1 3

n

n

+→

+

29.3.

22 2

lim ln32

lim e e 03

+ × + −∞ + = = = +

nnn

nn

n

Dado que:

( )0

2 2lim ln

3

∞× + × = +

nn

n

2

0

2 3elim

e 1

u

uuu

−= × = −

( )2

0 0

2 3elim lim

e 1 e 1

u

u uu u

u− −→ →

−= × =

− −

0

1 1 1

e 10 1lim

u

u u−

= × = −∞× = −∞−

29.4.

13 3 2

2lim

2

−+ +

= +

n

nn n

n

( )3

2

11lim ln

3 2 2 3e e e 0

n n n

n n

− +× − × +∞ + + −∞ = = =

Dado que 1 1

3 2 3

−→ −

+

n

n ;

3 3

2 2lim lim lim

2

+= = = +∞

+

n n nn

n n

e lim ln→+∞

= +∞x

x

1 1

0

y xx y

x y+

= ⇔ =

→ ⇒ → +∞

( )

2ln

3

2e

3

e 3e 2

e 2 3e

e 1 2 3e

2 3e

e 1

0

2porque 1,

3

u

u u

u w

u u

u

u

nu

n

n

n

n n

n n

n

n

n u

nn

n

+ = ⇔ + +

⇔ = ⇔+

+ = + ⇔− = −

− = −

−=

−→ +∞ ⇒ →

+< ∀ ∈

+ℕ

( )

ln 12

e 12

2 e 1

0 0

y

y

xy

x

x

x y

= +

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ ⇒ →

( )

1ln

1

1e

1

e e 1

e e 1

1 e e 1

e 1

e 10 0

y

y y

y y

y y

y

y

xy

x

x

x

x x

x x

x

x

x y

+ = ⇔ − +

= ⇔−

⇔ − = +⇔ + = −

⇔ + = −

−⇔ =

+→ ⇒ →

Page 11: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

91

4.1. Limites notáveis

Dado que 1 1

3 2 3

−→ −

+

n

n;

3 3

2 2lim lim lim

2

+= = = +∞

+

n n nn

n n

29.5. 2

1 21 2 3 1

lim ln4 14 1

2

3 1lim e

− − − + + + − = = +

nn n

nn n nn

n n

( )1 1ln 0

2 2e e+− × − × −∞=

e+∞= = +∞ dado que:

2 2

1 2 1 3 1 3 3, lim lim lim 0

4 1 2

+− −→ − = = =

+ +

n n n

n n n n n e

0lim lnx

x+→

= −∞ .

Pág. 158

30.1.

42,1

12 000 1 13 040,20100

C = + ≈

Capital acumulado: 13 040,20 €

30.2.

4

12 000 1 12 837100

r + = ⇔

412 837

1100 12 000

r + = ⇔

412 837

1100 12 000

r⇔ + = ⇔ 4

12 837100 100

12 000r = − ⇒

1,7r⇒ ≈

% 1,7%r ≈

31.1.

2

22 2 4

3 3

2

2 3lim 1 lim 1 e e3

n

n

n n

+ = + = =

31.2.

1 12

12 2

lim lim lim11 1

1

n

nn nn

n n

n

− − + + + = × = + + +

21

1

2lim 1

e1 e

e1lim 1

n

n

n

n

+ = × = = +

31.3. 22 2

lim 1 lim 1 e

n n

n n

− − − = + = −

31.4.

1 12 2 2 2

lim 2 lim1 1

n nn n n

n n

− −− + + − + = + +

14

lim1

nn

n

−+ = +

14

14

lim lim1 1

1

n

nn

n

n

− + + = × + +

1

4lim 1

11

lim 1

n

n

n

n

+ = × = +

4

3e1 e

e= × =

31.5.

2

2 1 12 22

2 2

2

21

2 2lim lim lim

44 41

n

n

n nn

n n

n

− − + + += × =

+ + +

2

2

12 22

1 2

2 4

2

2lim 1

elim 1 e

e4lim 1

n

n

nn

n

n

− −

+ = × = × = +

31.6.

3

3 1 13

13 2 3 22lim lim lim

11 2 1 21

2

n

nn nn

n n

n

− − − − − = × = − − −

3

33

33 12

1 32 21

2

3

2lim 1

e1 1 e e

1e

2lim 1

n

n

n

n

−− +− −

= × = × = = −

31.7. 3 1 1 6 2 2 1 4 3

lim lim lim2 1 2 4 2 4 2

n n nn n n n

n n n

− − − − − − = = + + +

31

4lim2

14

n

n

n

− = =

+

33 1 544 2 4

1

2

3

4lim 1

ee e

1e

2lim 1

n

n

n

n

−− − −

− = = =

+

31.8.

2

322

33

21

3 2 3 2 3lim lim lim11 3 3 1

13

n

nn

n n n

n n

n

× + + + = = = + + +

2

3

222 3

2 1 2333 3 9

1

3

2

3lim 1

ee e

1e

3lim 1

n

n

n

n

+

= = = = +

32.1. Seja a condição 1

,1 2

nu nn

= ∀ ∈+

ℕ .

• Para 1

1 1 11,

1 2 1 3 3n u= = ⇔ =

+ × , obtém-se uma

proposição verdadeira.

• Admitamos, por hipótese, que a condição se verifica

para determinado valor de n∈ℕ .

Provemos que também é válida para 1n + , ou seja,

( )1

1

1 2 1nu

n+ =

+ +

11 2

nn

n

uu

u+ = =

+

1

1 22

11 2

n

n

+ =+

+

( )

1

11 21 2 2 1 2 1

1 2

nn n

n

+= =+ + + ++

Portanto, a propriedade é hereditária.

Pelo princípio de indução matemática ficou provado

que 1

,1 2

nu nn

= ∀ ∈+

ℕ .

Fórmula de recorrência e por

hipótese

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92

4.1. Limites notáveis

32.2. ( )2

1lim lim 2

1 2

n

nv

n nu v nn

× = × = +

22

lim1 2

nn

n

= +

2

2

1 1lim

1 11 lim 12 2

n

n

n n

= = = + +

11e

e

−=

33.1. 25 1

2 0,25 2 2100 4

x x x− − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ 22 2

x− −= ⇔

2 2x x⇔ − = − ⇔ =

{ }2S =

33.2. 1

8 82 5 2 5

2 2 2

x x

x x++ = ⇔ + = ⇔

×

42 5 0

2

x

x+ − = ⇔

( )2

2 5 2 4 0x x⇔ − × + = ⇔5 25 16

22

x ± −= ⇔

5 3

22

x ±⇔ = ⇔ 2 1 2 4

x x= ∨ = ⇔

0 22 2 2 2 0 2x x x x⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =

{ }0 , 2S =

33.3. 1 1

3 3 4 3 3 4 03

x x x

x

− ++ = ⇔ + × − = ⇔

( )2

1 3 3 4 3 0x x⇔ + × − × = ⇔

( )2

3 3 4 3 1 0x x⇔ × − × + = ⇔4 16 12

36

x ± −= ⇔

4 2

36

x ±⇔ = ⇔ 1 01

3 3 1 3 3 3 33

x x x x−= ∨ = ⇔ = ∨ =

1 0x x⇔ = − ∨ =

{ }1 , 0S = −

33.4. ( )1 1 3 32 8 8 0 2 2 2x

x x x− −− × = ⇔ = × ⇔ 1 3 32 2

x x− += ⇔

3 3 1 2 4x x x⇔ + = − ⇔ = − 2x⇔ = −

{ }2S = −

33.5. 1 13 3 3 13x x x− ++ + = ⇔ 13 3 3 3 3 13x x x−× + + × = ⇔

1

3 1 3 133

x ⇔ + + =

133 13

3

x⇔ × =3

3 1313

x⇔ = ×

3 3 1x x⇔ = ⇔ =

{ }1S =

34.1. 3 3 9 0x x− × < ⇔ ( )1 2 1 23 3 3 3 3x

x x x+< × ⇔ < ⇔

1 2 1x x x⇔ < + ⇔ > −

] [1 ,S = − + ∞

34.2. ( )( )4 8 3 9 0x x− − <

• ( )2 3 2 34 8 0 2 2 2 2x

x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔

3

2 32

x x⇔ = ⇔ =

2 3 3

4 8 0 2 2 2 32

x xx x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ >

• ( )2 1 2 13 9 0 3 3 3 3 1 2

2

xx x

x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2 1

3 9 0 3 3 1 22

x xx x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ <

x −∞ 1

2

3

2 +∞

4 8x − – – – 0 +

3 9 x− + 0 – – –

P – 0 + 0 –

( )( ) 1 34 8 3 9 0 , ,

2 2

x x x − − < ⇔ ∈ −∞ ∪ + ∞

1 3

, ,2 2

S = −∞ ∪ + ∞

35.1. ( )

0 0

e 1e 1lim lim

xx

x x

xx

x x→ →

− −− −= =

0 0

e 1lim lim

x

x x

x

x x→ →

−− =

1 1 0= − =

35.2. ( )2 33 2 2

0 0

e e 1e e 1lim lim

5 5

xx

x xx x

+

→ →

−−= × =

2 3

0

e e 13 lim

5 3

x

x x→

−= × × =

2

0

3e e 1lim

5

y

y y→

−× =

2 23e 3e

15 5

= × =

35.3. ( )

( )( )

23

22 2

e e 1e elim lim

4 2 2

xx

x xx x x

++

→− →−

−−= =

− − +

2

2 2

e e 1lim lim

2 2

x

x xx x

+

→− →−

−= × =

− +

0

e e 1lim

4

y

y y→

−= × =

e e1

4 4− × = −

35.4. ( )2

1 11 1

1lim lim

1 e e 1x xx x

x xx x− −→ →

−−= − =

− − 11 1

1lim lim

e 1xx x

xx

−→ →

−− × =

0

1 lime 1yy

y

→= − × =

−0

1 11

e 1 1lim

y

y y→

− = − = −−

35.5. 0 0

lim lime e e e

x x x xx x

x x− −→ →

= − =− − ( )20

lime e 1

x xx

x−→

− =−

20 0

1 1 2lim lim

e 2 e 1x xx x

x−→ →

= − × × =−

0

1 1lim

1 2 e 1yy

y

→= − × × =

−0

1 1 1 11

e 12 2 2lim

y

y y→

− × = − × = −−

35.6.

0

1 2 0

1

elim

1

x

x

x

x

−=

( )2

0

e 1lim

y

y

y

y→

− +=

2

0

e 2 1lim

y

y

y y

y→

− − −= =

2

0 0

e 1 2lim lim

y

y y

y y

y y→ →

− +− =

( ) ( )

0 0

21 lim 1 lim 2

y y

y yy

y→ →

+= − = − + = 1 2 1− = −

36.1. 2

2 2 2 22

1 1log 0,25 log log log 2 2

4 2

−= = = = −

36.2.

2

1 1 1

2 2 2

1 1log 0,25 log log 2

4 2

= = =

36.3.

1

3 33 3

1log 3 log 3

3= =

36.4. ( ) ( )1

212 33 33

3 3 3 3

2log 3 log 3 log 3 log 3

3

= = = =

3

Se 0, 0

y x

x y

=

→ →

2

Se 2, 0

y x

x y

= +

→ − →

1

Se 1, 0

y x

x y

= −

→ →

2

Se 0, 0

y x

x y

=

→ →

1 1

Se 1 , 0

y x x y

x y

= − ⇔ = +

→ →

Page 13: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

93

4.1. Limites notáveis

36.5. ( ) ( ) ( )

22 23

6

log10log0,001 3 9 3

2 log1000 000 2 log10 2 6 12 4

−−

= = = =× × ×

36.6. 2

2

4 343 2 3 24

log 1 log0,01 0 log10

1 1log log 8 log log 2

81 3

−+ += =

× ×

3

4 43 2

2 2 2 2

3 3 34log 3 log 2

4−

− − −= = = =

−− ××

Pág. 159

37.1. 2 1 4 17 9 3 2 9 16x x x− −× + + × = ⇔

( )2 1 4 1 27 9 9 3 3 2 3 16x

x x− −⇔ × × + × + × = ⇔

( )22 4 21 1

7 3 3 2 3 169 3

xx x⇔ × × + × + × = ⇔

4 4 27 1

3 3 2 3 16 09 3

x x x⇔ × + × + × − = ⇔

4 4 27 3 3 3 18 3 144 0x x x⇔ × + × + × − = ⇔

4 210 3 18 3 144 0x x⇔ × + × − = ⇔

( )22 25 3 9 3 72 0x x⇔ × + × − = ⇔

2 9 81 1440

310

x − ± +⇔ = 2 9 39

310

x − ±⇔ = ⇔

2 224

3 3 35

x x⇔ = − ∨ =1

2 12

x x x⇔ ∈∅ ∨ = ⇔ =

1

2S

=

37.2. 10 2 64e e 3ex x x− − −= − ⇔ ( )10 10 2 6 104e e e 3e ex x x x x− − −× = − ×

8 44 e 3ex x⇔ = − ⇔ ( )24 4e 3e 4 0x x− − = ⇔

4 3 9 16

e2

x ± +⇔ = 4 4e 1 e 4x x⇔ = − ∨ = ⇔

24 ln 4 4 ln 2x x x⇔ ∈∅ ∨ = ⇔ = ⇔

ln 2

4 2ln 22

x x⇔ = ⇔ =

ln 2

2S

=

38.1. 2 22 2 0x xx x +× + × > 2 22 2 2 0x xx x⇔ × + × × > ⇔

( )22 4 0x x x⇔ + > ⇔ 2 4 0x x+ > ⇔

( )4 0x x⇔ + > ⇔ ] [ ] [, 4 0 ,x∈ −∞ − ∪ +∞

] [ ] [, 4 0 ,S = −∞ − ∪ + ∞

38.2. 3 2e 5e 6ex x x+ < ⇔ ( )2e e 6e 5 0x x x− + < ⇔

2e 6e 5 0x x⇔ − + <

Fazendo exy = , temos:

2 6 5 0y y− + < ⇔ 1 5y y> ∧ < ⇔

e 1 e 5x x⇔ > ∧ < 0 ln5x x⇔ > ∧ <

] [0 , ln 5S =

38.3. 8

ee 2

x

x< ⇔

−8

e 0e 2

x

x− < ⇔

( )2

e 2e 80

e 2

x x

x

− −<

Zeros e sinal de ( )2

e 2e 8x x− − .

Seja exy = .

2 2 4 32

2 8 02

y y y± +

− − = ⇔ = 2 4y y⇔ = − ∨ =

( )2

e 2e 8 0x x− − = ⇔ e 2 e 4x x= − ∨ = ⇔

ln 4x x⇔ ∈∅∨ = 2ln 2x⇔ =

( )2

e 2e 8 0x x− − < ⇔ e 2 e 4x x> − ∧ < ⇔

ln4x x⇔ ∈ ∧ <ℝ 2ln 2x⇔ <

Zeros e sinal de e 2x − :

e 2 0 e 2 ln 2x x x− = ⇔ = ⇔ =

2e 2 0 ln 2x− < ⇔ <

x −∞ ln 2 2 ln 2 +∞

N – – – 0 +

P – 0 + + +

Q + – 0 +

] [ln 2 , 2ln 2S =

39.1. 3 22 log log23 3 3 9 9x x x x

+ = × = × =

39.2. 2

3 32 log log 23 3

x xx= =

39.3. 3

3

22 log

log

3 93

3

x

xx

− = =

39.4. ( )4

22

2 2 2log4 log 2 log log

2 2 2xx x x+ = × = ( )4

2x x× =

2 2 4x x x= × =

39.5.

1 1ln ln ln

ln 1e e e 1

xxx x x

x

+= × = × =

39.6. ( ) 88 8

log3log log32 2 8

xx x x= = =

39.7. 8 8

2 3 2 34

2 1 2log log log log 3

16 3 2

x

x

−− = − =

( )4

2log 2 4x x= − − = +

39.8. ( )2 12 1 2

3 3 1

2

1 1log 9 ln log 3 ln

ee

xx

++ + = + =

1

4 2 23

1 3log 3 ln e 4 2 4

2 2

x x x−+= + = + − = +

40.1.

1 3

3 2 2

3 3 34 4

27 3 3 3 3log log log

81 3 3

× ×= = =

34

23

log 3−

=

5

23

5log 3

2

−= = −

40.2. ( )

( )( )

13 3 2

3 32

10 100,001 1000log log

0,01 10

××= =

33

2

6

10log

10

− +

−=

3 93 6

2 210 10

9log 10 log 10

2

− + += = =

40.3. ( ) ( )

( )

10010

610010

2 2 1010 1010

5

12

64 0,5 2log log

132 0,252

4

× × = =× ×

( ) ( )

60 100 60 100

2 21 25 2010

50 22

2 2 2log log

2 22 2

− −

−−

×= = =

××

4040 5

2 25

45

2

2log log 2

2

log 2 45

−− −

= = =

= = −

2

Cálculos auxiliares

6 5 0

6 36 20

26 4

21 5

y y

y

y

y y

− + = ⇔

± −⇔ =

±⇔ =

⇔ = ∨ =

( )2 0,x x> ∀ ∈ℝ

( )e 0,x x> ∀ ∈ℝ

Page 14: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

94

4.1. Limites notáveis

41.1. ( ) ( ) ( )24 2

2

2

log 16log

log 4

xf x x= − =

( )2

22

2

log 16log

2

xx − =

( )2 2

2 2

1log log 16

2x x= − ( )

12 2 2

2 2log log 16x x= − =

( )2 22log log 4x x= − ( )2 2 22log log 4 logx x= − + =

2

2 2 22log log log 2x x= − − =

2log 2x= −

41.2. ( ) 0f x ≤ ⇔2log 2 0 0x x− ≤ ∧ > 2log 2 0x x⇔ ≤ ∧ >

22 0 0 4x x x x⇔ ≤ ∧ > ⇔ > ∧ < ⇔ ] ]0 , 4x∈

( ){ } ] ]: 0 0 , 4x f x∈ ≤ =ℝ

41.3. 31 128

61024 32

f f − × =

( )( )

17 3

1105 2

216

22

f f

− ×

( )7 5

10 3 22 6 2f f−−

= − =

( )1

10 62 6 2f f−−

=

1

10 62 2log 2 2 6 log 2 2

−− = − − −

=

1

10 2 6 2 12 1 12 16

= − − − − − = − + + =

41.4. a) ( ) 1

2 1f x

x+ = − ⇔ 2log 2 12 1 0x x x− + = − ∧ > ⇔

2log 12 2 1 0x x x−⇔ × = − ∧ > ⇔

1 02

xx x⇔ = − ∧ > 2 2 0x x x⇔ = − ∧ > ⇔

2x⇔ =

{ }2S =

b) ( ) ( )2 1 2f x f x+ > ⇔

( ) ( )2 22 log 2 1 log 2 2 0x x x⇔ − + > − ∧ > ⇔

( )2 22log 4 1 log 2 2 0x x x⇔ − + > − ∧ > ⇔

( )2

2 2log log 2 1 0x x x⇔ > + ∧ > ⇔

( )2

2 2log log 2 1 0x x x⇔ − > ∧ > ⇔

2

2log 1 02

xx

x

⇔ > ∧ > ⇔

2 0

2

xx> ∧ > ⇔

4x⇔ >

] [4 ,S = + ∞

42.1. 1

2

log loglog

loglog

a a

a

aa

b bb

aa

= = =log

2log1

2

aa

bb=

42.2. 2 2

log log 1log log

log 2 2

a aaa

a

b bb b

a= = =

42.3. 1 1

log log loglog log

1 log 1log

a a aa

aaa

b b bb b

a

a

−= = = = −

42.4. log log 1

log loglog

k

a aaka

a

b bb b

a k k= = =

43.1. 2

3log 2 3 9x x x= ⇔ = ⇔ =

{ }9S =

43.2. 4log 81 4 81 0 1x

x x x= ⇔ = ∧ > ∧ ≠ ⇔

4 43 0 1x x x⇔ = ∧ > ∧ ≠ 3x⇔ =

{ }3S =

43.3.

1

1

3

1log 1 0

3x x x

− = − ⇔ = ∧ ≠ ⇔

3 0x x= ∧ ≠ ⇔

3 3x x⇔ = − ∨ =

{ }3 , 3S = −

43.4. ( ) ( )2 2log 3 2 2 log 2x x− = + − ⇔

( ) ( )2

2 2 2log 3 2 log 2 log 2x x⇔ − = + − ∧

3 2 0 2 0x x∧ − > ∧ − > ⇔

( ) ( )2 2log 3 2 log 4 2x x⇔ − = − ∧ 2

23

x x> ∧ > ⇔

3 2 4 8 2x x x⇔ − = − ∧ > ⇔ 6x =

{ }6S =

43.5. ( ) ( )2log 2 1 log 8x x+ = ⇔

( ) ( )2log 2 1 log 8 2 1 0 8 0x x x x⇔ + = ∧ + > ∧ > ⇔

( )22 1 8 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔

24 4 1 8 0 0x x x x⇔ + + − = ∧ > ⇔

24 4 1 0 0x x x⇔ − + = ∧ > ⇔

( )2 12 1 0 0

2x x x⇔ − = ∧ > ⇔ =

1

2S

=

43.6. ( ) ( ) ( )2ln 18 3 ln 6 1 ln 4 6x x x− = − + −

{ }2:18 3 0 6 1 0 4 6 0D x x x x= ∈ − > ∧ − > ∧ − > =ℝ

6

,2

= +∞

218 3 6 1 2 3 0x x x> ∧ > ∧ − > ⇔

1 1 3 3

6 6 2 2x x x x

⇔ > ∧ > ∧ < − ∨ >

3 6

2 2x A x⇔ > ⇔ >

( ) ( ) ( )2ln 18 3 ln 6 1 ln 4 6x x x− = − + − ⇔

( ) ( ) ( )2 6ln 3 6 1 ln 6 1 ln 4 6

2x x x x⇔ − − − = − ∧ >

( ) ( ) ( )2ln3 ln 6 1 ln 6 1 ln 4 6x x x⇔ + − − − = − ∧6

2x >

2 6

4 6 32

x x⇔ − = ∧ > 2 64 9

2x x⇔ = ∧ > ⇔

3 3 6

2 2 2x x x

⇔ = − ∨ = ∧ >

3

2x⇔ =

3

2S

=

43.7. ( )2log 2log 1 0x x− + = ( )2

log 1 0 0x x⇔ − = ∧ > ⇔

log 1 0x x⇔ = ∧ > 10x⇔ =

{ }10S =

43.8. 2

2 2log 3log 1 0x x− + = ⇔

2 22log 3log 1 0 0x x x⇔ − + = ∧ > ⇔

2log 1 0 0x x⇔ − + = ∧ > 2log 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔

2x⇔ =

{ }2S =

5

7

10

32 2

128 2

1024 2

=

=

=

Page 15: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

95

4.1. Limites notáveis

43.9. 2

2log 4 0x − = ⇔ ( )2

2log 4 0x x= ∧ > ⇔

( )2 2log 2 log 2 0x x x⇔ = − ∨ = ∧ > ⇔

2 22 2x x−⇔ = ∨ =1

44

x x⇔ = ∨ =

1

, 44

S =

43.10. ( ) ( )( )22

2 2log log 2 0x x− = ⇔

( ) ( )( )22

2 2log log 2x x⇔ = ⇔

( ) ( )( )2 2 2 2log log 2 log log 2 0x x x x x⇔ = ∨ = − ∧ >

( )( )2 22 log log 2 0x x x x x⇔ = ∨ − = ∧ > ⇔

( )( )1

2 20 log log 2 0x x x−⇔ = ∨ = ∧ > ⇔

1

2 0x xx

⇔ = ∧ > 22 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔

2 10

2x x⇔ = ∧ >

1 10

2 2x x x

⇔ = − ∨ = ∧ > ⇔

2

2x⇔ = ;

2

2S

=

44.1. ( ) ( )2 2log 1 log 4 7 0x x− − − ≥ ⇔

( ) ( )2 2log 1 log 4 7x x⇔ − ≥ − ⇔

1 4 7 1 0 4 7 0x x x x⇔ − ≥ − ∧ − > ∧ − > ⇔

7

3 6 14

x x x⇔ ≤ ∧ > ∧ >7

24

x x⇔ ≤ ∧ >

7

, 24

S =

44.2. ( ) ( )3 3log 2 log 7 1x x+ − + > ⇔

( ) ( )3 3 3log 2 log 7 log 3x x⇔ + > + + ∧

2 0 7 0x x∧ + > ∧ + > ⇔

( ) ( )3 3log 2 log 3 7 2 7x x x x⇔ + > + ∧ > − ∧ > − ⇔

2 3 21 2x x x⇔ + > + ∧ > − 2 19 2x x⇔ < − ∧ > − ⇔

19

22

x x⇔ < − ∧ > − x⇔ ∈∅ ; S = ∅

44.3. ( ) ( )4 2log 2 log 2 1x x+ ≥ + ⇔

( ) ( )2

2

2

log 2log 2 1 2 0 2 1 0

log 4

xx x x

+⇔ ≥ + ∧ + > ∧ + >

( ) ( )2

2

log 2 1log 2 1 2

2 2

xx x x

+⇔ ≥ + ∧ > − ∧ > − ⇔

( ) ( )2 2

1log 2 2log 2 1

2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔

( ) ( )2

2 2

1log 2 log 2 1

2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔

( )2 12 2 1

2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔

2 12 4 4 1

2x x x x⇔ + ≥ + + ∧ > − ⇔

2 14 3 1 0

2x x x⇔ + − ≤ ∧ > −

1 1

14 2

x x⇔ − ≤ ≤ ∧ > −1 1

2 4x⇔ − < ≤

1 1

,2 4

S = −

44.4. 2

2log 4 0x − ≤ . Seja

2logy x= .

2 4 0y − ≤ ⇔ 2 2y y≥ − ∧ ≤

2

2log 4 0x − ≤ ⇔

2 2log 2 log 2 0x x x≥ − ∧ ≤ ∧ >

2 12 4 0 4

4x x x x

−⇔ ≥ ∧ ≤ ∧ > ⇔ ≤ ≤

1

, 44

S =

44.5. ( )5 2ln 2ln 4

2

xx

− ≥ − ⇔

( )25 2ln ln 4 5 2 0 4 0

2

xx x x

− ⇔ ≥ − ∧ − ≥ ∧ − > ⇔

( )25 2 24 4

2 5

xx x x

−⇔ ≥ − ∧ > ∧ < ⇔

25 2 216 8 4

2 5

xx x x

−⇔ ≥ − + ∧ < < ⇔

2 25 2 32 16 2 4

5x x x x⇔ − ≥ − + ∧ < < ⇔

2 22 21 34 0 4

5x x x⇔ − + ≤ ∧ < < ⇔

17 2

2 , , 42 5

x ⇔ ∈ ∩ ⇔

[ [2 , 4x⇔ ∈

[ [2 , 4S =

44.6. 2

2 2log 4 3logx x− < ⇔ 2

2 2log 3log 4 0x x− − <

Fazendo 2logy x= :

2 3 4 0y y− − < ⇔ 1 4y y> − ∧ <

2

2 2log 3log 4 0x x− − < ⇔

2 2log 1 log 4 0x x x⇔ > − ∧ < ∧ > ⇔

1 42 2x x−⇔ > ∧ <1

,162

x ⇔ ∈

1

,162

S =

44.7. ( )ln 3e 2 2x x− < ⇔ 23e 2 e 3e 2 0x x x− < ∧ − > ⇔

2 2e 3e 2 0 e

3

x x x⇔ − + > ∧ > ⇔

( )2 2e 3e 2 0 ln

3

x xx⇔ − + > ∧ >

Fazendo exy = :

2 3 2 0y y− + > ⇔ 1 2y y< ∨ >

( ) 2e 3e 2 0 ln

3

x xx− + > ∧ > ⇔

( ) 2e 1 e 2 ln

3

x xx⇔ < ∨ > ∧ > ⇔

( ) 20 ln 2 ln

3x x x⇔ < ∨ > ∧ >

] [2ln , 0 ln 2 ,

3S

= ∪ +∞

2

Cálculos auxiliares

4 3 1 0

3 9 16

81

14

x x

x

x x

+ − = ⇔

− ± +⇔ =

⇔ = − ∨ =

2

2

Cálculos auxiliares

2 21 34 0

21 21 8 34

421 13

417

22

x x

x

x

x x

− + =

± − ×⇔ =

±⇔ =

⇔ = ∨ =

2

Cálculos auxiliares

3 4 0

3 9 16

21 4

y y

y

y y

− − = ⇔

± +⇔ =

⇔ = − ∨ =

2

Cálculos auxiliares

3 2 0

3 9 8

21 2

y y

y

y y

− + = ⇔

± −⇔ =

⇔ = ∨ =

Page 16: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

96

4.1. Limites notáveis

44.8. 2 2

ln 1 ln 11 1 0

3ln 1 3ln 1

x x

x x

+ +< ⇔ − < ⇔

+ +

2

2

ln 1 3ln 10

3ln 1

x x

x

+ − −⇔ < ⇔

+

2

2

3ln ln0

3ln 1

x x

x

−< ⇔

+

23ln ln 0x x⇔ − > ⇔

1

ln 0 ln 03

x x x ⇔ < ∨ > ∧ > ⇔

1

31 e 0x x x

⇔ < ∨ > ∧ > ⇔

] [ 30 ,1 e ,x ⇔ ∈ ∪ + ∞

] [ 30 ,1 e ,S = ∪ + ∞

Pág. 160

45.1. ( )

0

0

0

ln 1 2limx

x

x

+=

( )0

ln 1 22lim

2x

x

x→

+= =

0

2lime 1yy

y

→= =

−0

1 12 2 2

1 1lim

e 1yy→

× = × =

45.2. 1

lnlim

1x

x

x→=

− 0

0

1 1lim 1

e 1e 1 1lim

yyy

y

y

y

= = =−−

45.3. ( ) ( )

02

0

0 0

ln 2 1 2ln 2 1lim limx x

x x

x x

→ →

+ +=

( )0

ln 2 12 2lim

2x

x

x→

+= × =

0

4lime 1yy

y

→= =

−0

1 14 4 4

e 1 1lim

y

y y→

= × =−

45.4.

0

0

0

ln 1limx

x

x

+=

( )1

2

0

ln 1limx

x

x→

+ ( )0

ln 11lim

2 x

x

x→

+= =

0

1lim

2 e 1yy

y

→= ×

−0

1 1 1 1 1

e 12 2 1 2lim

y

y y→

= × = × =−

45.5. ( )

( )( )

0

2 0

1 1

1lim lim

ln 2 ln 2x x

x xx x

x x

→ →

−−= =

− −

( )1 1

1lim lim

ln 2x x

xx

x→ →

−= ×

− 0

2 e 11 lim

y

y y→

− −= × =

0

e 1lim 1

y

y y→

−= − = −

45.6. ( )

( )( )

0

2 0

5 5

55lim lim

ln 6 ln 6x x

x xx x

x x

→ →

−−= =

− −

5 0

6 e 5lim lim

y

x yx

y→ →

− −= × =

0

e 15 lim

y

y y→

−× − =

( )5 1 5= × − = −

45.7. ( )

0

0

0 0

2 2ln

ln 2 2 ln 2 2lim limx x

x

x

x x

→ →

+ + − = =

( )

0

ln 1limx

x

x→

+= =

0lim

e 1yy

y

→=

0

11

e 1lim

y

y y→

= =−

45.8.

0 1

0 2

1 1 1

1ln

ln ln 2lim lim lim1 1 1x x x

xx x

x x x

→ → →= = =

− − −

1

1 lnlim

2 1x

x

x→= =

− 0

1lim

2 e 1yy

y

→× =

0

1 1

e 12lim

y

y y→

= × =−

1 1 1

2 1 2× =

45.9. ( )

( )( )

023 0

0 0

e e 1e elim lim

ln 2 1 ln 2 1

x xx x

x xx x

→ →

− −−= =

+ +

( ) ( )

2

0 0

e 1 2lim e lim

2 ln 2 1

xx

x x

x

x x→ →

−= − × × = +

( )

2

0 0

e 1 21 lim lim

2 ln 2 1

x

x x

x

x x→ →

−= − × × =

+

0 0

e 1 e 11 lim lim

y u

y uy u→ →

− −= − × × 1 1 1 1= − × × = −

45.10. ( )

3e elim

ln 2 1

x x

x x

∞−∞ ∞

→+∞

−=

+ ( )

3e e 3lim

3 ln 2 1

x x

x

x

x x→+∞

−− × = +

( )3 2e 1 e 3

lim lim3 1

ln 2

x x

x x

x

xx

x

→+∞ →+∞

−= − × =

+

( )3

2e 3lim lim 1 e lim

13ln ln 2

xx

x x x

x

xx

x

→+∞ →+∞ →+∞= − × − × =

+ +

( )1= − +∞× × +∞ = −∞ , dado que:

• 3e e

lim lim3

x y

x yx y→+∞ →+∞= = +∞

• ( )2lim 1 e 1 e 1 0 1x

x

− −∞

→+∞− = − = − =

• 3

lim1

ln ln 2x

x

xx

→∞=

+ +

3lim

1ln 2

ln

x

x x

x x

→+∞=

+ +

3 3

ln 2 00

++

= = = +∞+

+∞

45.11. 2

20

e 3e 2lim

x x

x x x→

− +

+ . Fazendo exy = :

2e 3e 2x x− + = 2 3 2y y− + =

( )( )1 2y y= − − ( )( )e 1 e 2x x= − −

( )( )

( )

2

20 0

e 1 e 2e 3e 2lim lim

1

x xx x

x xx x x x→ →

− −− += =

+ +

0

0 0

e 1 e 2 e 2 1 2lim lim 1 1

1 0 1 1

x x

x xx x→ →

− − − −= × = × = = −

+ +

45.12. ( )( )

3lim log 1 3log

xx x

∞−∞

→+∞ + − =

( )3 3lim log 1 logx

x x→+∞

= + − =

( )3 3

3

1 1lim log lim logx x

x x

x x→+∞ →+∞

+ + = = =

1

lim 3log 1x x→+∞

= +

3 log1 0= × =

( )

2

Cálculos auxiliares

3 0

3 1 0

10

3

y y

y y

y y

− =⇔ − =

⇔ = ∨ =

( )23ln 1 0,x x ++ > ∀ ∈ℝ

( )ln 1 2

e 1 2

2 e 1

Se 0, 0

y

y

y x

x

x

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ →

ln

e

1 0

y

y x

x

x y

= ⇔

⇔ =

→ ⇒ →

( )ln 2 1

e 2 1

2 e 1

0, 0

y

y

y x

x

x

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ →

( )ln 1

e 1 e 1y y

y x

x x

= + ⇔

⇔ = + ⇔ = −

( )ln 2

e 2

2 e

Se 0, 0

y

y

y x

x

x

x y

= −

⇔ = − ⇔

= −

→ →

( )ln 6

e 6

6 e

Se 5, 0

y

y

y x

x

x

x y

= −

⇔ = − ⇔

⇔ = −

→ →

2

Cálculos auxiliares

3 2 0

3 9 8

21 2

y y

y

y y

− + =

± −⇔ =

⇔ = ∨ =

2

0 0

y x

x y

=→ ⇒ →

( )ln 2 1

e 2 1

2 e 1

0 0

u

u

u x

x

x

x u

= + ⇔

⇔ = + ⇔⇔ = −→ ⇒ →

3

Se ,

y x

x y

=

→ +∞ → +∞

( )ln 1

1 e

e 1

Se 1, 0

y

y

y x

x

x

x y

= + ⇔

⇔ + =

⇔ = −

→ →

ln

e

Se 1, 0

y

y x

x

x y

= ⇔

⇔ =

→ →

Page 17: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

97

4.1. Limites notáveis

45.13. ( ) ( )( )

2

1lim log 1 log 1x

x x∞−∞

→ − − − =

( )( )2

1 1

1 11lim log lim log

1 1x x

x xx

x x+ +→ →

− +−= = =

− −

( )1

lim log 1 log2x

x+→

= + =

45.14. ( )( )2lim ln 9 2lnx

x x x→+∞

− − = ( )3x >

( )( )2 2lim ln 9 lnx

x x x→+∞

= − − =

2

2 2

9 9lim ln lim ln 1

x x

xx x

x x→+∞ →+∞

− = = − =

3 3

lim ln 1 1x

xx x→+∞

= − + =

3 3

lim ln 1 ln 1x

xx x→+∞

= − + + =

3 3

lim ln 1 ln 1x

x xx x→+∞

= − + + =

3 3

lim ln 1 lim ln 1x x

x xx x→+∞ →+∞

= − + +

3 3 0= − + = , dado que:

• ( )03

lim ln 1x

xx

∞×

→+∞

− = 0

3lim

e 1yy

y−→

− × = −

0

13

e 1lim

y

y y−→

= − × =−

13 3

1− × = −

• ( )03

lim ln 1x

xx

∞×

→+∞

+ = 0

3lim

e 1yy

y+→

× = −

0

1 13 3 3

e 1 1lim

y

x y+→

= × = × =−

45.15. De acordo com 45.14.:

( )( )2 2lim ln 9 lnx

x x x→−∞

− − =

3 3

lim ln 1 lim ln 1x x

x xx x→−∞ →−∞

= − + + =

3 3 0= − + = , dado que

• ( )03

lim ln 1x

xx

∞×

→−∞

− = 0

3lim

e 1yy

y+→

− × = −

0

13

e 1lim

y

y y+→

= − × =−

3 1 3− × = −

( )03

lim ln 1x

xx

∞×

→−∞

+ = 0

3lim

e 1yy

y−→

× = −

0

13

e 1lim

y

y y−→

= × =−

3 1 3× =

46.1.

ln2

2 lnlim lim

1 ln1 lnx x

xx x x

xx

x x

+∞ −∞

→+∞ →+∞

++= =

− −

2 0 2

0 0 0−

+= = −∞

46.2. ( )( ) ln

lim 2ln lim 2 1x x

xx x x

x

∞−∞

→+∞ →+∞

− = − =

( )2 0 1= +∞× × − = −∞

46.3. ( )

2ln 1

ln 2lim limx x

xx x

x x

∞ ∞

→+∞ →+∞

− − = = =

2ln ln 1

limx

xx

x→+∞

+ −

2ln 1

lnlim limx x

x x

x x→+∞ →+∞

− = + =

00 0+ =

+∞

46.4. ( )ln ln

lim limln 1 1

ln 1x x

x x

xx

x

∞ ∞

→+∞ →+∞= =

+ +

ln

lim1

ln ln 1x

x

xx

→+∞= =

+ +

1lim

1ln 1

1ln

x

x

x

→+∞=

+ +

1

10

1

= =+

+∞

46.5. ( )( )

22 2

1ln 1

ln 1lim lim

ln 1 1ln 1

o

x x

xx x

xx

x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ + = =+ +

2

2

1ln ln 1

lim1

ln ln 1x

xx

xx

→+∞

+ + = = + +

2

12ln ln 1

lim1

ln ln 1x

xx

xx

→+∞

+ + = + +

2

1ln 1

02 2

lnlim 201

1ln 1

1ln

x

x

x

x

x

→+∞

+ + +

+∞= = = ++ +∞ +

46.6. ( )

2lim lim

ln 3 3ln 1

x x

x x

xx

x

∞ ∞

→+∞ →+∞

+= =

+ +

lim3

ln ln 1x

x

xx

→+∞= =

+ +

1lim

3ln 1

ln

x

x x

x x

→+∞=

+ +

1 1

0 0 0+= = = +∞

+

46.7. ( )02

lim 3 lnx

xx

x

∞×

→+∞

+ =

23 lim ln 1

xx

x→+∞

+ =

0

23 lim

e 1yy

y+→

= × = − 0

16

e 1lim

y

y y+→

× =−

1

6 61

= × =

46.8. ln 1 ln 1

lim limlnlog

ln10

x x

x x

xx

∞ ∞

→+∞ →+∞

+ += =

ln 1ln10 lim

lnx

x

x→+∞

+× =

( )1ln10 lim 1 ln10 1 0

lnx x→+∞

= × + = × + =

ln10

3ln 1

3

e 1

0

y

yx

x

x y +

= −

−⇔ =

−→ −∞ ⇒ →

2ln 1

2e 1

2e 1

2

e 1

0

y

y

y

yx

x

x

x

x y +

= + ⇔

⇔ = +

⇔ − =

⇔ =−

→ +∞ ⇒ →

3ln 1

3e 1

3e 1

3

e 1

0

y

y

y

yx

x

x

x

x y −

= −

⇔ = −

−⇔ − =

−⇔ =

−→ +∞ ⇒ →

3ln 1

3e 1

3e 1

3

e 1

0

y

y

y

yx

x

x

x

x y +

= +

⇔ = +

⇔ − =

⇔ =−

→ +∞ ⇒ →

3ln 1

3

e 1

0

y

yx

x

x y −

= +

⇔ =−

→ −∞ ⇒ →

Page 18: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

98

4.1. Limites notáveis

47.1. ( )32 3

2 2

e e 1e elim lim

x xx x

x xx x

→+∞ →+∞

−−= =

( )3

2

elim lim e 1

xx

x xx

→+∞ →+∞= × − ( )2

elim 0 1

1

3

y

y

y→+∞

= × − =

( )2

elim 1

1

9

y

y

y→+∞

= × − =2

e9 lim

y

y y→+∞− × ( )9= − × +∞ = −∞

47.2.

21

2 3 3lim lim3 3

3 13

x x

xx x

x

xx

∞ ∞

→+∞ →+∞

++= =

+ × +

21

0 11

3 0 1 1

+ ++∞ = =× +

dado que:

ln 3

lim lim3 e

xxx x

x x

→+∞ →+∞= =

ln 3 ln 3

1 ln3lim lim

e ln 3 ex xx x

x x

→+∞ →+∞= =

1

limln 3 e yy

y

→+∞= × =

1 1

eln 3lim

y

y y→+∞

× =

1 1

ln 3= × =

+∞1

0 0ln 3

× =

47.3.

5

5

1010

1e elim lim

22

e e

x x

xxx x

x x

x

x

xx

∞ ∞

→+∞ →+∞

++= =

++

5

10

11 0elim0 02

e e

x

xx

x

x

x→+∞

+ += = +∞

+ +

, dado que:

5

5

1 1lim 0

eelim

xxx

x

x

x

→+∞

→+∞

= = =+∞

;

10

10

1 1lim 0

eelim

xxx

x

x

x

→+∞

→+∞

= = =+∞

2

lim 0e

x

x→+∞

=

porque 2

0 1e

< <

47.4. ( )( )

lim ln 2e 3x

xx

∞−∞

→+∞ − − = ( )lim ln e ln 2e 3x x

x→+∞ − − =

e 1 1

lim ln lim ln ln ln 232e 3 2

2e

x

xx x

x

→+∞ →+∞

= = = − − −

47.5. ( ) ( )( )lim ln 3 2e ln 3 2ex

xx −∞

→−∞ − − = −∞ − − =

( )ln 3 0= −∞ − − = −∞

48.1. ( )( )

3

11 lim ln 4133

3

1lim 4 e e

e

xx

xx

xx →

− −− −→

− = = = , dado que:

( )0

3

1lim ln 4

3xx

x

∞×

× − = −

0

1lim

4 e 3yyy

= × = − −

0

0

1 1lim 1

e 1e 1 1lim

yyy

y

y

y

= − = − = − = −−−

48.2. ( )1

11 1 1 1

lim ln ln11 1 0 0

1

1lim e e e

1

xx

x x

x x

+ +−→

×− +∞× +∞− −

= = = = +∞ −

48.3. ( )( )

π

2

1lim ln 1 cos

1 cos

cos

π

2

lim 1 cos ex

xx

x

x

x→

× +

+ = 1e e= = , dado que:

( )( )0

π

2

1lim ln 1 cos

cosx

xx

∞×

× + = 0

1lim

e 1yyy

× = −

0

1 11

e 1 1lim

y

y y→

= = =−

48.4. ( )( )1

1 lim ln 21ln

lnlim 2 e e ex

xx

x

xx

→+∞

+

→+∞+ = = = , dado que:

( )

2ln 1

1lim ln 2 lim

ln lnx x

xx

xx x→+∞ →+∞

+ × + = =

2ln ln 1

limlnx

xx

x→+∞

+ + = =

2ln 1

lim 1 1lnx

x

x→+∞

+ + =

48.5. ( ) ( )211 ln 2 3lim2 0

lim 2 3 e e 1x

xxx

xx →+∞

+

→+∞+ = = = , dado que:

( )( ) ( )20

2ln 2 31

lim ln 2 3 limx x

xx

x x

×∞

→+∞ →+∞

+ + = =

2 2

2 2

3 3ln 2 ln ln 2

lim limx x

x xx x

x x→+∞ →+∞

+ + + = = =

2

32ln ln 2

limx

xx

x→+∞

+ + = =

2

3ln 2

ln2 lim lim

x x

x x

x x→+∞ →+∞

+ +

ln 2

2 0 0 0 0= × + = + =+∞

48.6. ( )( )

0

lim sin ln tansin 0

0lim tan e e 1x

x xx

xx

+→

+

×

→= = = , dado que:

( )( )0

0lim sin ln tanx

x x+

× −∞

→ × =

( )0

sinlim tan ln tan

tanx

xx x

x+→

= × × =

0

sin 1 1lim lim ln

tan yx

x

x y y+ →+∞→

= × =

1

0

cos lnlim sin lim

sin yx

x yx

x y+

→+∞→

= × × =

0

lnlim cos lim 1 0 0

yx

yx

y+ →+∞→

= × − = × =

48.7. 2

0

1lim ln

0

20

1lim e e 1x

xx

x x

x x x

+→

+

×

= = = − , dado que:

( )0

20

1lim lnx

xx x+

×∞

× = −

( )2

2 20

1lim lnx

xx x

x x x x+→

= × − × = − −

( )2

2 20 0

1lim lim lnx x

xx x

x x x x+ +→ →

= × − × = − −

( )0

1lim lim ln

1 yx

xy

x x y+ →+∞→

= × × −

33

yy x x

x y

= ⇔ =

→ +∞⇒ → +∞

( )ln 4

e 4

4 e

3 0

y

y

y x

x

x

x y

= −

⇔ = −⇔ = −→ ⇒ →

( )ln 1 cos

e 1 cos

cos e 1

π0

2

y

y

y x

x

x

x y

= +

⇔ = +⇔ = −

→ ⇒ →

1

tan1

tan

0

yx

xy

x y+

=

⇔ =

→ ⇒ →+∞

2

2

1 1

0

y x xx x y

x y+

= ⇔ − =−

→ ⇒ → +∞

ln 3y x

x y

=

→ +∞ ⇒ → +∞

1 lnlim 0

1 y

y

y→+∞= × =

Page 19: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

99

4.1. Limites notáveis

Pág. 161

49.1. ( )2

22lim 1

nn

n n−

+ × = ( )

( )

( )

2

2

2 2

2 2

2 22 2

lim lim

1 1

n

n

n n

nn

n n

= =

+ +

2

2 2

2 2

2

2

1lim lim

111

n

n

n

n

n

= = = + +

2

1

2

2

1

1lim 1

n

n

+

1

21 1 1

e e e

= = =

49.2. ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 16 4 16 4 16lim lim lim

42 2

nn n

n

n n n

nn n

− − − = = =

2

16 2 2lim 1 lim 1 1

4

nn

n n n

= − = − + =

2 22 2

lim 1 lim 1 e e

n n

n n

− = − × + = × =

0e 1=

49.3.

22 2

12

1 1lim lim

2 2

nn

nn

n n

n n

+ + = + +

21

1

lim2

1

n

n

n

+ = =

+

2

1lim 1

2lim 1

n

n

n

n

− +

= = +

2

2

2 2

e 1e

e e

− = =

49.4. 1lim

n

n

n

u

u

+

=

( )( )

( )

1 !

! 1 !lim

!

! !

n

n

p n p

n

p n p

+ + − = −

( ) ( )

( )1 ! ! !

lim! 1 ! !

n

n p n p

p n p n

+ −=

+ −

( ) ( )( )( )

1 ! !lim

1 ! !

n

n n n p

n p n p n

+ −=

+ − −

1

lim1

n

n

n p

+= + −

11 lim 11

lim1 11 lim 1

nn

n

nnp p

n n

++ = = = − − + +

1 1

1

ee e

e

p p

p

− +−

= = =

49.5.

11 e

3 3lim 1 lim 1

e

nnu

n

nu

++ − = − =

e e

3e3elim 1 e

e e

n

n

×− − = ×

50.1.

11

2 1 2 12lim lim lim32 3 2 3

12

an

an b bn nnxn n

n

+ − − − = = × = + + +

1

2lim 1

13

2lim 1

an

b

n

n

n

− = × =

+

( )1

22 2

3

2

ee e

e

a

a

− −

= =

50.2. 2 1

e e e 2 12

ax a a

−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

51.1. [ ]2 sin sin2 1 5 2 , 0 , 2πx x x+ + = × ∈

Fazendo sin x y= vem:

22 1 5 2y y+ + = × ⇔ 22 2 5 2 1y y× − × = − ⇔

4 2 5 2 1y y⇔ × − × = − 2 1y⇔ − = − ⇔

2 1y⇔ = 0y⇔ = [ ]sin 0 0 , 2πx x⇔ = ∧ ∈ ⇔

0 πx x⇔ = ∨ =

{ }0 , πS =

51.2. [ ]cos

cos

33 4 0 , 2π

3

x

xx+ = ∧ ∈ . Fazendo cosy x= , vem:

( )233 4 3 3 4 3

3

y y y

y+ = ⇔ + = × ( )2

3 4 3 3 0y y⇔ − × + =

4 16 12

32

y ± −⇔ = 3 3 3 1y y⇔ = ∨ = 1 0y y⇔ = ∨ =

[ [cos 1 cos 0 0 , 2πx x x⇔ = ∨ = ∧ ∈ ⇔

π 3π

02 2

x x x⇔ = ∨ = ∨ =

π 3π

0 , ,2 2

S =

51.3. 2 ln 2 ln3 3 24x x+ −− = . Fazendo lny x= , vem:

2 23 3 24y y+ −− = ⇔ 2 23 3 3 3 24y y−× − × = ⇔

9

9 3 24 03

y

y⇔ × − − = ( )2

9 3 9 24 3 0y y⇔ × − − × =

( )2

9 3 24 3 9 0y y⇔ × − × − = ⇔

( )2

3 3 8 3 3 0y y⇔ × − × − =8 64 36

36

y ± +⇔ = ⇔

1

3 3 33

y y⇔ = − ∨ = 1y y⇔ ∈∅ ∨ = ln 1x⇔ = ⇔

ex⇔ =

{ }eS =

52.1. 1 2 14 3 3 2x x x x+ +− = − ⇔ ( )2 22 3 3 3 2 2x

x x x− × = − × ⇔

2 22 2 2 3 3 3x x x x⇔ + × = + × 23 2 4 3x x⇔ × = × ⇔

22 4

3 3

x

x⇔ = ⇔

( )22 4 4 4

3 3 3 3

xx

x

= ⇔ =

1x⇔ =

{ }1S =

52.2. 22 2 5 3 2

5 25 5 0x xx x x− − −× − = ⇔

{ }2 5 3 22

225 25 5 \ 1

x xx

x x x

− −−

⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ

( ) { }3 22 2 5

2 225 5 5 \ 1xx x

xx x−− −

⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ

{ }4 10 3 22

225 5 5 \ 1

x xx

x x x

− −−

⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ

{ }2 4 10 3 2

2 25 5 \ 1

x x x

x x x

− − −+

⇔ = ∧ ∈ ⇔ℕ

( ) ( ) ( )

{ }2 1

2 4 10 3 2\ 1

2 2x

x x xx

x x

− − −⇔ + = ∧ ∈ ⇔ℕ

{ }2 2 8 20 3 2 \ 1x x x x x⇔ − + − = − ∧ ∈ ⇔ℕ

{ }2 3 18 0 \ 1x x x⇔ + − = ∧ ∈ ⇔ℕ

{ }3 9 72\ 1

2x x

− ± +⇔ = ∧ ∈ ⇔ℕ

( ) { }6 3 \ 1x x x⇔ = − ∨ = ∧ ∈ℕ 3x⇔ =

( )!

! !

n

n p

nu C

p n p= =

−lny x=

{ }3S =

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100

4.1. Limites notáveis

52.3. ln 4 ln

2

8e

x

x

− =4

ln

2

8e 0x x

x⇔ = ∧ >

2

4 80x

x x⇔ = ∧ > ⇔

4 8 0x x⇔ = ∧ > 2x⇔ = ; { }2S =

52.4. 2 3ln ln 4x x+ = ⇔ ( )2ln 3ln 4 0 0x x x+ − = ∧ > ⇔

3 9 16

ln 02

x x− ± +

⇔ = ∧ > ⇔

3 5

ln 05

x x− ±

⇔ = ∧ > ⇔

( )ln 4 ln 1 0x x x⇔ = − ∨ = ∧ > 4e ex x−⇔ = ∨ =

4

1, e

eS

=

52.5. ( ) ( ) ( )ln 2 4 ln 2 ln 1x x− − = − ⇔

( )2 4

ln ln 1 2 4 0 1 02

xx x x

−⇔ = − ∧ − ≠ ∧ − > ⇔

2 1 2 1x x x x⇔ − = − ∧ ≠ − ∧ > ⇔

( )2 1 2 1 1x x x x x⇔ − = − ∨ − = − + ∧ > ⇔

( )2 1 2 3 1x x⇔ − = − ∨ = ∧ >3

2x⇔ =

52.6. 1

1 224 3 3 2x

x x x+ +− = + ⇔ ( )

1

224 4 3 3 3 2x

x x x× − × = + ⇔

4 4 4 3 3 3x x x x⇔ × − = + × 2 4 4 4 3x x x⇔ × − = ×

4 4 3x x⇔ = ×4

43

x

x⇔ =

4

3

44 log 4

3

x

x ⇔ = ⇔ =

4

3

log 4S

=

53.1. 2 6

2 2log 8 logx x+ < ⇔ ( )2

2 2log 6log 8 0 0x x x− + < ∧ >

Cálculo auxiliar

Fazendo 2logy x= :

26 8 0y y− + < ⇔ 2 4y y> ∧ <

Logo:

( )2

2 2log log 8 0 0x x x− + < ∧ > ⇔

2 2log 2 log 4 0x x x⇔ > ∧ < ∧ >

2 42 2x x⇔ > ∧ < ⇔

] [4 , 16x⇔ ∈

] [4 ,16S =

53.2. e 1

01 ln

x

x

−<

− → { } { }: 0 ln 1 \ eD x x x += ∈ > ∧ ≠ =ℝ ℝ

• e 1 0 e 1 0x x x− = ⇔ = ⇔ =

e 1 0 e 1 0x x x− > ⇔ > ⇔ >

• 1 ln 0 ln 1 ex x x− = ⇔ = ⇔ =

1 ln 0 ln 1 ex x x− > ⇔ < ⇔ <

x 0 e +∞

e 1x − 0 + + +

1 ln x− + 0 –

Q + –

] [e ,S = + ∞

53.3. ( )2

24 log 0x x− ≥ → D += ℝ

• 2log 0 1x x= ⇔ =

2log 0 1x x> ⇔ >

• 2 4 0 2 2x x x− = ⇔ = − ∨ =

2 4 0 2 2x x− < ⇔ − < <

x 0 1 2 +∞2 4x − – – – – 0 +

2log x – 0 + + +

P + 0 – 0 +

( ) ] ] [ [2

24 log 0 0 ,1 2 ,x x− ≥ ⇔ ∪ +∞

] ] [ [0 ,1 2 ,S = ∪ + ∞

53.4. 1 12 3 6 2x x+ −× < × ⇔ 12 3 3 6 2 2x x −× × < × × ⇔

6 3 3 2x x⇔ × < × ⇔3 3

2 6

x

x<

3 1

2 2

x

⇔ < ⇔

3 3

2 2

1log log 2

2x x⇔ < ⇔ < −

ln 2

3ln

2

x⇔ < −

ln2

,3

ln2

S

= −∞ −

54.1.

30

0 01 2100

rC C

+ = ⇔

20

1 2100

r + = ⇔

301 2100

r⇔ + = 30 2 1

100

r⇔ = − ⇔

30100 2 100r⇔ = × − 2,34r⇒ ≈

% 2,34%r ≈

54.2. 0 0

2,11 1,5

100

n

C C + =

( )1 0,021 1,5n

⇔ + = ⇔

1,021 1,5n⇔ = ⇔ 1,021log 1,5n =ln1,5

ln1,021n⇔ =

55. 2 2 2 2 2 2a b c a b c= + ⇔ − =

( ) ( )ln ln

log logln ln

a b a b

c cc c

a b a b+ −+ = + =

+ −

( ) ( )

( ) ( )ln ln ln ln

ln ln

a b c a b c

a b a b

− × + + ×= =

+ × −

( ) ( )

( ) ( )ln ln ln

ln ln

c a b a b

a b a b

− + + = =+ × −

( )( )

( ) ( )ln ln

ln ln

c a b a b

a b a b

× − + = =+ × −

( )( ) ( )

2 2ln ln

ln ln

c a b

a b a b

× −=

+ × −

( ) ( )

2ln ln

ln ln

c c

a b a b

×=

+ × − ( ) ( )ln ln

2ln ln

c c

a b a b= × =

+ −

2log loga b a bc c+ −= ×

56.1. 1

loglog

a

b

ba

= ; log 1

loglog log

ba

b b

bb

a a= =

56.2. 10

2 2 3 10

1 1 1 1...

log log log logk k n n n n=

= + + + =∑

log 2 log 3 ... log 10n n n= + + +

( )log 2 3 ... 10n= × × ×10!

1log 10!

logn

n= =

Avaliação 1

Pág. 162

1. ( ) 216 2 log 16 2 16af a−= − ⇔ = − ⇔ = ⇔

2

2

1 1 116

16 4a a

a⇔ = ⇔ = ⇔ = ( )0a >

( ) 1

4

logf x x= ; ( ) 1

4

128 log 128f =

2 6 8 0

6 36 32

2

2 4

y y

y

y y

− + = ⇔

± −⇔ = ⇔

⇔ = ∨ =

Page 21: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

101

4.1. Limites notáveis

( )7 2

1

4

1log 128 128 2 2

4

yy

y − = ⇔ = ⇔ = ⇔

7 22 2 y−=

7

2 72

y y⇔ − = ⇔ = −

( ) 7128

2f = −

Resposta: (B)

2.

1

12

22

2 2lim 1 lim 1

2

n

n

u

nnu

+

+ = + =

1

2 2lim 1

n

n

+

+

1

2 2 2 2lim 1 1

n

n n

= + × + =

1

2 2 2 2lim 1 lim 1

n

n n

= + × + =

2 2 2 2e 1 e× =

Resposta: (C)

3.

1

212 12 12 12

1log 6 log 36 log 36 log 36

2= = = =

( )12

1log 12 3

( ) ( )12 12

1 1 1log 12 log 3 1

2 2 2

yy

+= + = + =

Resposta: (D)

4. ( ) lnf x x= ; [ ] 2ABCD

AD BCA AB

+= ×

( ) lnAD f a a= =

( ) ( )3 ln 3BC f a a= =

3 2AB a a a= − =

[ ]( ) ( )2

ln ln 32 ln 3

2ABCD

a aA a a a

+= × =

Resposta: (D)

5. ( ) ( )f x g x= ⇔2 42 log log 0x x x+ = ∧ > ⇔

22

2

log2 log 0

log 4

xx x⇔ + = ∧ > ⇔

22

log2 log 0

2

xx x⇔ + = ∧ > ⇔

2 24 2log log 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔

2log 4 0x x⇔ = − ∧ > ⇔

4 1

216

x x−⇔ = ⇔ =

( )4 4

22 2 log 2 2 4 2f − −= + = − = −

( ) 1, , 2

16x y

= −

Resposta: (A)

Pág. 163

6.1.

52,1

8000 1 8876,03100

C = + =

Capital cumulado: 8876,03 €

6.2. 1,9

8000 1 10 000100

n

+ = ⇔

10 0001,019

8000

n = ⇔

1,019 1,25n⇔ = ⇔( )( )1,019

ln 1,25log 1,25

ln 1,019n n= ⇔ =

6.3.

4

8000 1 8210100 4

r + = ⇔ ×

48210

1400 8000

r + =

4821

1400 800

r⇔ + = ⇔ 4

8211

400 800

r= −

4821

400 400800

r⇔ = − 2,6r⇒ ≈

% 2,6%r ≈

7.1. ( ) ( ) 11 log log 0a

a

f x g x x x x= ⇔ + = ∧ > ⇔

log

1 log 01

log

aa

a

xx x

a

⇔ + = ∧ > ⇔

log

1 log 01

aa

xx x⇔ + = ∧ > ⇔

1 log log 0a ax x x⇔ + = − ∧ > ⇔

log log 1 0a ax x x⇔ + = − ∧ > ⇔

2log 1 0a x x⇔ = − ∧ >1

log 02

a x x⇔ = − ∧ > ⇔

1

21

2

1 1x a x x

aa

−⇔ = ⇔ = ⇔ =

7.2. 1 1

2 21

1 logaf f a aa

− − = = + =

1 11

2 2− =

8.1. 1 44 7 2x x+ ++ = ⇔ 44 4 7 2 2x x× + = × ⇔

( )42 4 7 16 2x

x⇔ × + = × ⇔

( )2

4 2 16 2 7 0x x⇔ × − × + = ⇔

216 16 4 4 7

28

x ± − × ×⇔ = ⇔

16 12 1 7

2 2 28 2 2

x x x±⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔

2

71 log

2x x

⇔ = − ∨ =

2

71 , log

2S

= −

8.2. ln

ln

33 4

3

x

x+ = . Seja lny x= :

3

3 43

y

y+ = ⇔ ( )2

3 4 3 3 0y y− × + = ⇔

4 16 12

32

y ± −⇔ = ⇔

4 23

2

y ±= ⇔

3 3 3 1 1 0y y y y⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =

ln 1 ln 0 e 1x x x x= ∨ = ⇔ = ∨ =

{ }1 , eS =

9. 3

9

1log 1

logx

x− >

3 39

3

log loglog

log 9 2

x xx = =

9 3

1 2

log logx x=

3

9

1log 1

logx

x− > ⇔

3

3

2log 1 0 1

logx x x

x− > ∧ > ∧ ≠

3

3

2log 1 0 0 1

logx x x

x⇔ − − > ∧ > ∧ ≠

( )2

3 3

3

log log 20 0 1

log

x xx x

x

− −⇔ > ∧ > ∧ ≠

11log log 1a a a

a

− = = −

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102

4.1. Limites notáveis

• Sinal de ( )2

3 3log log 2x x− − :

Seja 3logy x= :

2 1 1 8

2 02

y y y± +

− − = ⇔ =1 3

2y

±⇔ = ⇔

1 2y y⇔ = − ∨ =

• ( )2

3 3 3 3log log 2 0 log 1 log 2x x x x− − = ⇔ = − ∨ =

1

93

x x⇔ = ∨ =

• ( )2

3 3 3 3log log 2 0 log 1 log 2x x x− − < ⇔ > − ∧ < ∧

0 1x x∧ > ∧ ≠

1

0 13

x x x⇔ > ∧ > ∧ ≠

• 3log 0 1x x= ⇔ =

3log 0 1 0x x x< ⇔ < ∧ >

0 1

3 1 9 +∞

N + 0 – – 0 +

D – – – 0 + + +

Q – 0 + – 0 +

] [1,1 9 ,

3S

= ∪ + ∞

10.1. ( ) ( )3

2 2 4 4log 8 log 1 log 4 log 1f x x x = − + − + + =

( ) ( )1

22 4

3 log 1 1 3log 1x x= − + − − + =

( ) ( )2

2

2

log 112 log 1 3

2 log 4

xx

+= − + = =

( ) ( )2

2

log 112 log 1 3

2 2

xx

+= − + − =

( ) ( )2 2

1 32 log 1 log 1

2 2x x= − + − + ( )22 2log 1x= − +

10.2. ( ) ( )20 2 2log 1 0 1f x x x= ⇔ − + = ∧ > − ⇔

( )2log 1 1 1x x⇔ + = ∧ > − 1 2 1x x⇔ + = ∧ > − ⇔

1x⇔ =

{ }1S =

10.3. ( ) ( )2

2 2log 1lim lim

x x

f x x

x x→+∞ →+∞

− += =

( )2log 12lim 2x

x

x x→+∞

+ −

( ) 1ln 1 ln 12ln 20 2 lim lim

ln 2x x

x xx

x x→+∞ →+∞

+ + = − = − =

1ln ln 1

2lim

ln 2 x

xx

x→+∞

+ + = − × =

1ln 1

2 lnlim lim

ln 2 x x

x x

x x→+∞ →+∞

+ = − × + =

2 0

0 0ln 2

= − × + = +∞

10.4. ( ) ( )2 1f x f x+ − =

( ) ( )2 22 2log 2 1 1 2 2log 1x x= − + + − − + =

( ) ( )2 22log 2 2 2log 1x x= − + + + =

( ) ( )( )2 22 log 1 log 2 2x x= + − + =

( )2 2

1 12log 2log

2 1 2

x

x

+ = = = +

( )1

22log 2 2 1 2−= = × − = −

10.5. ( ) ( ) ( ) 21 2

22

log2 log 2 2log 1 2

1log

2

xf x x x< + ⇔ − + < + ⇔

( ) 22

log2 2log 1 2

1

xx⇔ − + < + ⇔

( )2 22log 1 logx x⇔ − + < − ( )2 2log 1 logx x⇔ + >

1x x⇔ + > , condição universal em +ℝ

11.1. ( )

( )

0

2 0

13 3

2

33lim lim

ln 2 ln 2x x

x xx x

x x

→ →

−−= =

− −

( )

( )3

3lim

1ln 2

2

x

x x

x→

−=

( )( )3 3

3lim 2 lim

ln 2x x

xx

x→ →

−= × =

0

e 2 36 lim

y

y y→

+ −= ×

0

e 16 lim

y

y y→

−= × =

6 1 6= × =

11.2. 0

1tanlim tan ln

0

0

1lim e e 1x

xx

x

x x

+→

+

×

= = =

, dado que:

0

1lim tan lnx

xx+→

× = 0

tan 1lim lnx

xx

x x+→

× =

0 0

tan 1lim lim lnx x

xx

x x+ +→ →

= × =

0

sin 1lim lim ln

cos yx

xy

x x y+ →+∞→

= × =

0 0

1 sin lnlim lim lim

cos yx x

x y

x x y+ + →+∞→ →= × × 1 1 0 0= × × =

12. Se P pertence a uma circunferência de centro na origem e

raio 1 então 2 2 2 21 1x y y x+ = ⇔ − =

( ) ( )1 1

ln lnlog log

ln 1 ln 1y y

x xx x

y y+ −+ = + =

+ −

( ) ( )

( ) ( )ln 1 ln ln 1 ln

ln 1 ln 1

y x y x

y y

− + += =

+ × −

( ) ( )

( ) ( )ln ln 1 ln 1

ln 1 ln 1

x y y

y y

− + + = =+ × −

( )( )

( ) ( )ln ln 1 1

ln 1 ln 1

x y y

y y

× − + = =+ × −

( )

( ) ( )

2ln ln 1

ln 1 ln 1

x y

y y

× −= =

+ − ( ) ( )

2ln ln

ln 1 ln 1

x x

y y

×=

+ −

( ) ( )ln ln

2ln 1 ln 1

x x

y y= × =

+ − 1 12log logy yx x+ −×

1 1

0

y xx y

x y+

= ⇔ =

→ ⇒ →+∞

( )ln 2

e 2

e 2

3 0

y

y

y x

x

x

x y

= − ⇔

⇔ = −

⇔ = +

→ ⇒ →

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103

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Atividade inicial 2

Pág. 164

1.1. ( ) 00 e 1P = =

Inicialmente, foram contadas 1000 bactérias.

1.2. ( ) 1010 e 22026,46579P = ≈ (em milhares)

Foram contadas 22 026 466 bactérias.

2. ( ) ( )2 0 e 2 1 e 2t tP t P= ⇔ = × ⇔ = ln 2t⇔ =

ln 2 0,6931≈

0,69310,6931 60 s m 2 si n 4= × ≈

O número de bactérias duplicará aproximadamente 42 s

após a contagem inicial.

3. ( )( ) ( )

, 0 ,1

1 0t.m.v. e 1 1,718

1 0P

P P−= = − ≈

No primeiro minuto, a taxa média de variação do número

de bactérias é, aprox., igual a 1,718 bactérias/min.

4.1. ( ) ( ) ( ) ( )1

0 0 0

e e 11 1 e e1 lim lim lim

hh

h h h

P h PP

h h

+

→ → →

−+ − −′ = = = =

0

e 1elim e 1 e

h

h h→

−= = × =

A taxa instantânea de variação no instante 1 st = é igual a

e bactérias/min

4.2. ( ) ( ) ( ) 2 2

0 0

2 2 e e2 lim lim

h

h h

P h PP

h h

+

→ →

+ − −′ = = = 2

0

e 1e lim

h

h h→

2 2e 1 e= × =

A taxa instantânea de variação no instante 2 st = é igual

a 2e bactérias/minuto.

4.3. ( ) ( ) ( ) 3 3

0 0

3 3 e e3 lim lim

h

h h

P h PP

h h

+

→ →

+ − −′ = = =

3 3 3

0

e 1e lim e 1 e

h

h h→

−= = × =

A taxa instantânea de variação no instante 3 st = é igual

a 3e bactérias/minuto.

4.4. ( ) ( ) ( )0 0

e elim lim

t h t

h h

P t h P tP t

h h

+

→ →

+ − −′ = = =

0

e 1e lim e 1 e

ht t t

h h→

−= = × =

A taxa instantânea de variação no instante t ( )0t ≥ é igual

a et bactérias/minuto.

Pág. 165

1.1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )exp 4 4 exp 4 4exp 4f x x x x x′ ′′ = − = − − = − −

1.2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2e 2 e 2 2 ex x x x x xf x x x x− + − + − +′′ = = − + = −

1.3. ( ) ( ) ( ) 1 ee e e

2 2

xx x xf x x

x x

′ ′′ = = = =

1.4. ( ) ( ) ( ) ( )2

e e 2 e e e ex x x x x xf x − − −′ ′ ′ = + = + × + =

( ) ( )2 e e e ex x x xx − − ′= − + + =

( )( )2 e e e ex x x x− −− +

( ) ( )( ) ( )2 22 22 e e 2 e ex x x x− −= − = −

1.5. ( ) ( )22 1 e xf x x − ′′ = − =

( ) ( )( )22 1 e 2 1 ex xx x− −′ ′ = − + − =

( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 1 e 2 1 ex xx x x x− − ′ ′= − − + − − =

( ) ( )( )22 2 2 1 e 4 4 1 ex xx x x− −= × − + − + − =

( ) ( )28 4 e 4 4 1 ex xx x x− −= − + − + − =

( ) ( )2 28 4 4 4 1 e 4 12 5 ex xx x x x x− −= − − + − = − + −

1.6. ( ) ( )1 1

sin sine e e ex xx xf x

′ ′′ = + = + =

( )1

sin 1sin e ex xx

x

′ ′= + =

1

sin

2

1cos e ex xx

x= − × =

1

sin

2

ecos e

xxx

x−

1.7. ( ) ( )1 1e cos e cos

e e

x x

x xf x x x

′ ′ ′′ = + = + =

( ) ( )( )

( )21 e 1 e

e cos e cose

x x

x x

x

xx x

′′ − ×′ ′= + + =

( )( )2

ee cos e sin

e

xx x

xx x= + − − =

e cos e sin ex x xx x −= − −

1.8. ( ) ( ) ( ) ( )cos e e sin ex x xf x − − −′ ′′ = = − =

( ) ( )e sin ex xx − −′= − − = ( )e sin ex x− −

1.9. ( )( ) ( )

( )22 e e 2 e e2

e e e e

x x x x

x x x xf x

− −

− −

′′ + − + ′ = = = + +

( )( )22 e e

e e

x x

x x

− −=

+

Pág. 166

2.1. ( ) ( )2 2 ln 2x xf x′′ = =

2.2. ( ) ( ) ( )5 5 ln 5x xf x x′ ′′ = = × =

15 ln5

2

x

x= ×

5 ln5

2

x

x=

2.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos 3 cos 33 cos 3 3 ln 3

x xf x x

′ ′′ = = =

( ) ( )cos 33sin 3 3 ln3

xx= − × ×

2.4. ( ) ( ) ( )e e ee ln e lnx x xx xf x a a a a a

′′ = = =

2.5. ( )( ) ( )( )

( )

1 1

21 1

3 1 3 3 1 33 1

3 3

x x x xx

x xf x

+ +

+ +

′ ′′ − × − − −′ = = =

( )

( )

1 1

21

3 ln3 3 3 1 3 ln3

3

x x x x

x

+ +

+

× − −= =

2

2

1 1 1

1

x x

x x

x

′ ′ ′× − × = =

= −

( )( ) ( )

1 1

2 2 11 1

3 ln3 3 3 1 3 ln 3 ln 3

33 3

x x x x

xx x

+ +

++ +

− += = =

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104

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Pág. 167

3.1. ( ) ( )( ) ( )2

2

2 2

2 2ln

x xf x x

x x x

′′′ = = = =

3.2. ( ) ( ) ( ) 1ln ln ln ln ln 1f x x x x x x x x x x

x

′ ′′ ′= = + = + × = +

3.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2ln 2 2 ln 2 ln 2f x x x x′ ′′ = = =

( ) ( ) ( )2 2

2 ln 2 ln 22

xx x

x x

′= × = =

( )2ln 2x

x

3.4. ( )

1

1 cosln

1cos

cos

xf x

x

x

′ ′ ′ = = =

( )2

1 cos 1 cos

cos1

cos

x x

x

x

′′ −

=

2

2

sinsin coscos

1 cos

cos

xx xx

x

x

= = =sin

tancos

xx

x=

3.5. ( ) ( )lnf x x x x′′ = − =

( ) ( ) ( )ln lnx x x x x′ ′′= + − =

ln 1

2 2

x x

xx x= + − =

ln 1 1

2 2

x

x x x+ − =

ln 2 1 1 ln

2 2

x x

x x

+ − += =

Pág. 168

4.1. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2

3 2 2

4 2log 4

4 ln 3 4 ln 3

x xf x x

x x

′−′′ = − = =− −

4.2. ( ) ( ) ( )1

2log

ln 0 ln10

xx

f x xx x

′′′ = = = =

1 1

2 ln102 ln10 xx x= =

4.3. ( ) ( )( )2

2log 2f x x x′′ = + =

( ) ( )( )2 2

2 2log 2 log 2x x x x′′= + + + =

( ) ( )( )

2

2

2 2

2log 2

2 ln 2

xx x

x

′+= + + × =

+

( ) ( )2

2 2

2log 2

2 ln 2

x xx

x

×= + + =

+

( ) ( )2

2

2 2

2log 2

2 ln 2

xx

x= + +

+

4.4. ( ) ( )( ) ( )2

2

2 2

sinlog sin

sin ln 2

xf x x

x

′′′ = = =

×

( )

2 2

2sin sin 2sin cos

ln 2sin ln 2sin

x x x x

x x

′×= = =

2cos 2 2

sinln 2sin ln 2 tanln 2

cos

x

xx x

x

= = =×

4.5. ( ) 3

3

1 log

log

xf x

x

′ − +′ = =

( ) ( )( )3 3 3 3

2

3

1 log log 1 log log

log

x x x x

x

′ ′− + − − += =

( )3 3

2

3

1 1log 1 log

ln 3 ln 3

log

x xx x

x

× − − ×= =

( )3 3

2

3

1log 1 log

ln 3

log

x xx

x

+ −= =

2

3

1

ln3 logx x=

×

2

1

lnln3

ln3

xx

= = ×

2 2 2

2

1 1 ln 3

ln ln lnln 3

ln 3 ln 3

x x x x xx

= =×

Pág. 169

5.1. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 12 2 2

1 3 1 1f x x x x−′ ′ ′ = + = + + =

( ) ( )3 1 3 12 23 2 1 2 3 1x x x x

− −= × + = +

5.2. ( )π π 1

sin π sin sinπ π π

x x xf x

−′ ′ ′ = = =

π 1

π cos sinπ π π

x x x−′ = × =

π 1 π 11

π cos sin cos sinπ π π π π

x x x x− −

= × =

5.3. ( ) ( )( ) ( ) ( )e e 1

2 2 2log e log logf x x x x−′ ′′ = = =

( ) ( )e 1

e 1 2

2

e log1e log

ln 2 ln 2

xx

x x

−−

= × =

5.4. ( )11 1

lnlne e

x xxx xf x x

′ ′ = = = =

( )1 1

ln1 1 1ln e ln ln

xx xx x x x

x x x

′ ′ ′ = = + =

1 1

2 2

ln 1 1 1 lnx x

x xx x

x x x x

− = − + × =

5.5. ( )1 1

ln 1 ln 111 e e

xx

xx xf x

x

+ +

′ ′′ ′ = + = = =

1ln 11

ln 1 ex

xxx

+

′ = + =

1 1 1

ln 1 ln 1 1

x

x xx x x

′ ′= + + + + =

11

1 1ln 1 1

11

x

xx

x x

x

′ + = + + × + = +

2

11 1

ln 11

xx xx

xx x

x

− + = + × + = +

2

1 1

x x

x x

x x

= =

= =

1 1 1ln 1

1

xx

x x x

+ = − + +

Page 25: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

105

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Pág. 170

6.1. ( ) exf x x=

Domínio e continuidade:

f

D =ℝ f é contínua em ℝ

Zeros:

( ) 0 e 0 0xf x x x= ⇔ = ⇔ =

Monotonia e extremos:

( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e 1x x x x x xf x x x x x x′ ′′ ′= = + = + = +

( ) ( )0 e 1 0 1 0 1xf x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

x −∞ –1 +∞f ' – 0 +

f ց 1e−− ր

Mín.

Concavidades e inflexões

( ) ( )( ) ( )( ) ( )e 1 e 1 e 1x x xf x x x x′ ′′′ = + = + + + =

( ) ( )e 1 e e 2x x xx x= + + = +

( ) ( )0 e 2 0 2 0 2xf x x x x′′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

x −∞ –2 +∞f " – 0 +

f ∩ 22 e−− ∪

PI

Assíntotas:

Verticais: Como f

D =ℝ e f é contínua, o gráfico da

função não tem assíntotas verticais.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Em +∞ :

( ) e

lim lim lim ex

x

x x x

f x xm

x x→+∞ →+∞ →+∞= = = = +∞

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais quando

x→ +∞

• Em −∞ :

( ) e

lim lim lim e 0x

x

x x x

f x xm

x x→−∞ →−∞ →+∞= = = =

( )( )0

lim lim ex

x xb f x ax x

∞×

→−∞ →−∞= − = =

( )lim e lime

y

yy y

yy −

→+∞ →+∞= − = − =

1 10

elim

y

y y→+∞

− = − =+∞

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f.

Gráfico:

6.2. ( ) e 2

e 1

x

xf x

+=

Domínio e continuidade:

{ } { }: e 1 0 \ 0x

fD x= ∈ − ≠ =ℝ ℝ

f é contínua em f

D .

Zeros:

( )0e 2

0 0e 1

x x

xf x

≠+= ⇔ = ⇔

−e 2 0x+ = e 2x x⇔ = − ⇔ ∈∅

f não tem zeros

Monotonia e extremos:

( ) e 2

e 1

x

xf x

′ +′ = = −

( ) ( ) ( )( )

( )2e 2 e 1 e 2 e 1

e 1

x x x x

x

′ ′+ − − + −= =

( ) ( )

( )2e e 1 e e 2

e 1

x x x x

x

− − += =

( )( )2

e e 1 e 2

e 1

x x x

x

− − −=

( )23e

e 1

x

x

−=

Como { } ( )\ 0 , 0x f x′∀ ∈ <ℝ , f é decrescente em

] [, 0−∞ e em ] [0 , +∞ e não admite qualquer extremo.

Concavidades e inflexões:

( )( )2

3e

e 1

x

xf x

′ − ′′ = = −

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

4

3e e 1 3e e 1

e 1

x x x x

x

′′ − − − − − = =−

( ) ( ) ( )

( )

2

4

3e e 1 3e 2 e 1 e 1

e 1

x x x x x

x

′− − + × − −= =

( )( )( )4

3e e 1 e 1 2e

e 1

x x x x

x

− − − −= =

( )( )3

3e e 1

e 1

x x

x

+

( ) 0, ff x x D′′ ≠ ∀ ∈

O sinal de ( )f x′′ é o sinal de ( )3e 1x − .

x −∞ 0 +∞f " – +

f ∩ ∪

Assíntotas:

Verticais:

f é contínua em ℝ \ {0}

( )0 0

e 2 3lim lim

e 1 0

x

xx x

f x− − −→ →

+= = = −∞

( )0 0

e 2 3lim lim

e 1 0

x

xx x

f x+ + +→ →

+= = = +∞

A reta de equação 0x = é assíntota ao gráfico de f.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→−∞ :

( )

e 2 0 2

2e 1 0 1lim lim 0

x

x

x x

f xm

x x→−∞ →−∞

+ +−− −= = = = =

−∞ −∞

( ) e 2 0 2lim lim 2

e 1 0 1

x

xx xb f x mx

→−∞ →−∞

+ += − = = = − − −

Se ,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→−∞ → +∞

e 1 0

e 1

0

x

x

x

− = ⇔⇔ = ⇔⇔ =

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106

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

• Quando x→+∞ :

( )

( )

e 2

e 2e 1lim lim lime 1

x

xx

xx x x

f xm

x x x

+∞+∞

→+∞ →+∞ →+∞

++−= = = = =−

( )

21

1 0 1elim 01 1 0

1e

x

x

xx

→+∞

+ += = = =

+∞ − +∞ −

( ) e 2lim lim

e 1

x

xx xb f x mx

→+∞ →+∞

+= − = = −

21

elim 11

1e

x

x

x

→+∞

+=

As retas de equações 2y = − e 1y = são assíntotas ao

gráfico de f quando x→−∞ e quando x→+∞ ,

respetivamente.

Gráfico:

6.3. ( ) 2 e xf x x −= − +

Domínio e continuidade:

f

D =ℝ e f é contínua

Monotonia e extremos:

( ) ( )2 e 1 e 0,x xf x x x− −′′ = − + = − − < ∀ ∈ℝ

Como ( ), 0x f x′∀ ∈ <ℝ , f é estritamente decrescente em

ℝ pelo que não tem extremos.

Concavidades e inflexões:

( ) ( )1 e e 0,x xf x x− −′′′ = − − = > ∀ ∈ℝ

Como ( ), 0x f x′′∀ ∈ >ℝ , o gráfico de f tem concavidade

voltada para cima em ℝ.

Assíntotas

Verticais: Como f

D =ℝ e f é contínua, o gráfico da

função não tem assíntotas verticais.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→−∞ :

( ) 2 e

lim limx

x x

f x xm

x x

→−∞ →−∞

− += = =

2 elim 1

x

x x x

→−∞

− +

e

0 1 limx

x x

→−∞= − − =

−e

1 limy

y y→+∞− −

( )1= − − +∞ = −∞

Não existe assíntota em −∞ .

• Quando x→+∞ :

( ) 2 e

lim limx

x x

f x xm

x x

→+∞ →+∞

− += = =

2 e

lim 1 lim 0 1 0 1x

x xx x

→+∞ →+∞

= − − − = − + = −

( ) ( )lim lim 2 e x

x xb f x mx x x−

→+∞ →+∞= − = − + + =

( )lim 2 e 2 0 2x

x

→+∞= + = + =

A reta de equação 2y x= − + é uma assíntota ao

gráfico de f em +∞ .

Gráfico:

6.4. ( ) e sinxf x x=

Domínio e continuidade:

[ ]π , πfD = −

f é contínua em [ ]π , π−

Zeros

( ) 0 e sin 0 sin 0xf x x x= ⇔ = ⇔ =

Em [ ]π , π− : π 0 πx x x= − ∨ = ∨ =

Monotonia e extremos:

( ) ( ) ( ) ( )e sin e sin e sinx x xf x x x x′ ′ ′′ = = + =

( )e sin e cos e sin cosx x xx x x x= + = +

( ) ( )0 e sin cos 0xf x x x′ = ⇔ + = ⇔

π

sin cos sin sin2

x x x x

⇔ = − ⇔ = − ⇔

π

sin sin2

x x

⇔ = − ⇔

π π

2 π π 2 π,2 2

x x k x x k k ⇔ = − + ∨ = − − + ∈

2 2 π,2

x k k⇔ = + ∈ ⇔ℤ3π

π,4

x k k= + ∈ℤ

Em [ ] ( ) π 3ππ , π , 0

4 4f x x x′− = ⇔ = − ∨ =

x π− π

4−

4 π

f ' – 0 + 0 –

f 0 ց a ր b ց 0

Mín. Máx.

π

4

π π 2e sin

4 42e

f a− − = − = − =

3π3π 44

3π 3π 2 ee sin

4 4 2

= = =

f b

Concavidades e inflexões

( ) ( )( )e sin cos′′′ = + =xf x x x

( ) ( ) ( )e sin cos e sin cos′ ′= + + + =x xx x x x

( ) ( )e sin cos e cos sin= + + − =x xx x x x

( )e sin cos cos sin 2e cosx xx x x x x= + + − =

( ) 0 2e cos 0 cos 0′′ = ⇔ = ⇔ =xf x x x

Em [ ] π ππ , π :

2 2− = − ∨ =x x

x π− π

2−

π

2 π

f " – 0 + 0 –

f 0 ∩ ∪ ∩ 0 P.I. P.I.

Se ,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→ −∞ → +∞

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107

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

π

2

π π 1e sin

2 2e

f− − = − = −

π π

2 2π π

e sin e2 2

f = =

Assíntotas:

Verticais: Como f é contínua em [ ]π , πfD = − , o gráfico

de f não tem assíntotas verticais

Não verticais: Como f

D é um conjunto limitado, o

gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

Gráfico:

Pág. 172

7.1. ( ) ln xf x

x=

Domínio e continuidade:

{ }: 0 += ∈ > =ℝ ℝfD x x

f é contínua

Zeros:

( ) ln0 0 0= ⇔ = ∧ > ⇔

xf x x

xln 0 0 1x x x= ∧ > ⇔ =

Monotonia e extremos:

( ) ( )2

ln lnln ′′ ′− × ′ = = =

x x x xxf x

x x2

1lnx x

x

x

× −

2

1 ln x

x

−=

( ) 0 1 ln 0 0′ = ⇔ − = ∧ > ⇔f x x x ln 1 0x x= ∧ >

ex⇔ =

x 0 e +∞f ' + 0 –

f ր 1

e ց

Máx.

( ) ln e 1e

e e= =f

Concavidades e inflexões

( )( ) ( )( )

( )

2 2

22 2

1 ln 1 ln1 ln x x x xxf x

x x

′′′ − − −− ′′ = = =

( )2

4

11 ln 2x x x

x

x

− × − − ×= =

( )4

2 1 lnx x x

x

− − −

( )

3 3

1 2 1 ln 2ln 3x x

x x

− − −= =

( ) 30 2ln 3 0 0 ln 0

2′′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ >f x x x x x

3

32e e⇔ = ⇔ =x x

x 0 3e +∞

f " – 0 +

f ∩ ∪ P.I.

( )3

3

3 3

ln e 3e

e 2 e= =f

Assíntotas:

Verticais

f é contínua em ℝ .

( )0 0

lnlim lim

0x x

xf x

x+ + +→ →

−∞= = = −∞

Não verticais: ( ) lnlim lim 0x x

xf x

x→+∞ →+∞= =

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f

quando →+∞x .

Gráfico:

7.2. ( ) 2 lnf x x x=

Domínio: { }: 0 += ∈ > =ℝ ℝfD x x

Zeros:

( ) 20 ln 0 0= ⇔ = ∧ >f x x x x ln 0 0 1x x x= ∧ > ⇔ =

Monotonia e extremos:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln ln′ ′ ′′ = = + =f x x x x x x x

2 12 ln 2 ln= + × = +x x x x x x

x

( ) 0 2 ln 0 0′ = ⇔ + = ∧ >f x x x x x

( )2ln 1 0 0⇔ + = ∧ > ⇔x x x

2 ln 1 0 0⇔ + = ∧ > ⇔x x1

ln 02

x x= − ∧ >

1

21

ee

−⇔ = ⇔ =x x

x 0 1

e +∞

f ' – 0 +

f ց 1

2e− ր

Mín.

1

21 1 1

ln ee 2ee

− = = −

f

Concavidades e inflexões:

( ) ( ) ( ) ( )2 ln 2 ln 2 ln 1′ ′ ′′′ = + = + + =f x x x x x x x x

1

2ln 2 1 2ln 3= + × + = +x x xx

( ) 0 2ln 3 0 0′′ = ⇔ + = ∧ >f x x x3

ln 02

x x⇔ = − ∧ >

3

2

3

1e

ex x

−⇔ = ⇔ =

x 0 3

1

e +∞

f " – 0 +

f ∩ 3

3

2e− ∪

P.I.

Assíntotas

Verticais: f é contínua em ℝ+

Page 28: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

108

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) ( )2

0 0lim lim lnx x

f x x x+ +

∞ ∞

→ →= =

2

1 1lim lny y y→+∞

11 1lim lny

yy y

→+∞

= × =

1 lnlim limy y

y

y y→+∞ →+∞

× −

ln

0 lim 0 0 0y

y

y→+∞= − × = × =

O gráfico de f não tem assíntotas verticais.

Não verticais = +y mx b :

( ) 2 ln

lim lim→+∞ →+∞

= = =x x

f x x xm

x x( )lim ln

xx x

→+∞= +∞

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

Gráfico:

7.3. ( ) ln1

xf x

x

= +

Domínio:

: 01

f

xD x

x

= ∈ > = +

ℝ ] [ ] [, 1 0 ,−∞ − ∪ +∞

x −∞ 1− 0 −∞

x − − − 0 +

x + 1 − 0 + + +

Q + − 0 +

Zeros:

( ) 0 ln 01

= ⇔ = ∧ ∈ ⇔ +

f

xf x x D

x

1 11

f f

xx D x x x D

x⇔ = ∧ ∈ ⇔ = + ∧ ∈

+

x⇔ ∈∅

f não tem zeros.

Monotonia e extremos:

( ) 1ln

1

1

x

x xf x

xx

x

′ ′ + ′ = = = + +

( )21

1

1

x x

x

x

x

+ −

+=

+

( )21

1

1

x

x

x

+=

+

( ) ( )2

1 10,

11f

xx D

x xx x

+= = > ∀ ∈

++

Como ( ), 0fx D f x′∀ ∈ > , f é estritamente crescente em

] [, 1−∞ − e em ] [0 , +∞ .

Concavidades e inflexões:

( )( ) ( )

( )

2 2

22 2

1 11 x x x xf x

x x x x

′′′ + − × + ′′ = = = + +

( )22

2 1x

x x

+= −

+

( ) 0 2 1 0 ff x x x D′′ = ⇔ + = ∧ ∈ ⇔

1

2fx x D x⇔ = − ∧ ∈ ⇔ ∈∅

O gráfico de f não tem pontos de inflexão

x −∞ –1 0 +∞

f ' + –

f ∪ ∩

Assíntotas:

Verticais:

f é contínua em ] [ ] [, 1 0 ,−∞ − ∪ + ∞

( ) ( )1 1

1lim lim ln ln ln

1 0x x

xf x

x− − −→− →−

− = = = +∞ = +∞ +

( )0 0

0lim lim ln ln

1 1x x

xf x

x+ +

+

→ →

= = = −∞ +

As retas de equações 1x = − e 0x = são assíntota ao

gráfico de f

Não verticais: ( )y mx b= + :

• Quando x→ −∞ :

( ) ln

ln11lim lim 0

x x

x

f x xm

x x→−∞ →−∞

+ = = = =

−∞

( )lim lim ln ln1 01x x

xb f x mx

x→−∞ →−∞

= − = = = +

• Quando x→ +∞ :

( ) ln

ln11lim lim 0

x x

x

f x xm

x x→+∞ →+∞

+ = = = =

+∞

( )lim lim ln ln1 01x x

xb f x mx

x→+∞ →+∞

= − = = = +

A reta de equação 0y = é assíntota ao gráfico de f

quando x→±∞ .

Gráfico:

7.4. ( ) 2

1 1log

1 1f x

x x

= + +

Domínio:

1

: 1 0 01

fD x xx

= ∈ + ≠ ∧ > = +

ℝ ] [1,− +∞

Zeros:

( ) 2

1 10 log 0 1

1 1f x x

x x

= ⇔ = ∧ > − ⇔ + +

2

1log 0 1

1x

x

⇔ = ∧ > − ⇔ +

11 1

1x

x= ∧ > −

+

1 1 1 0x x x⇔ = + ∧ > − ⇔ =

Monotonia e extremos:

( ) 2

1 1log

1 1f x

x x

′ ′ = = + +

2 2

1 1 1 1log log

1 1 1 1x x x x

′′ = + = + + + +

( ) 22

1

1 1 1 1log

11 11 ln 21

x

x xxx

′ + = − + × = + + ++

10

11 0

1

xx

x

>+⇔ + > ⇔⇔ > −

1 1

Se 0 ,

y xx y

x y+

= ⇔ =

→ → +∞

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109

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( )

( )222

1

11 1 1log

11 11 ln 21

x

x xxx

+ = − + × = + + ++

( ) ( )

2

2 2

1log

11

1 ln 2 1

x

x x

+ = − − =+ +

( )

2

2

1ln 2 log 1

1

ln 2 1

x

x

× + + = − =+

( ) ( )2 2

1ln

11 ln 1ln 2 11ln 2

ln 2 1 ln 2 1

x

x

x x

+ +× + + = − = −+ +

( ) 10 ln 1 0 1

1f x x

x

′ = ⇔ + = ∧ > − ⇔ +

1 1 1

ln 11 1 ex x

⇔ = − ⇔ = ⇔ + +

1 e e 1x x⇔ + = ⇔ = −

x –1 e 1− +∞

f ’ – 0 +

f ց ր

Mín.

( ) 2

1 1e 1 log

e ef

− = =

1

1ln

1 1 lne 1e

e ln 2 e ln 2 eln2

× = × = −

Concavidades e inflexões:

( )( )2

1ln 1

1

ln 2 1

xf x

x

′ + + ′′ = = +

( ) ( )

( )( )

2 2

22

1 1ln 1 ln2 1 ln 1 ln2 1

1 1

ln2 1

x xx x

x

′ ′ + + − + + + + = =+

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 4

1

1 1ln2 1 ln 1 ln2 2 1

1 1

1

ln2 1

xx x

x

x

x

+ − − + − + × + + += =

+

( ) ( )

( ) ( )

2

2 4

1 1ln2 1 2ln2 1 ln 1

1 1

ln2 1

x xx x

x

− × × + − × + + + + = =+

( )

( ) ( )2 4

1ln2 1 1 2ln 2

1

ln2 1

xx

x

× + − − − + = =+ ( )3

12ln 3

1

1 ln 2

x

x

− − + +

( ) 10 2ln 3 0 1

1f x x

x

′′ = ⇔ − − = ∧ > − ⇔ +

1 3

ln 11 2

xx

⇔ = − ∧ > − ⇔ +

3

21

e2x

−= ⇔

+

3

21 ex⇔ + = ⇔ 3e 1x = −

x 1− 3e 1− +∞

f " + 0 –

f ∪ ∩

P.I.

Assíntotas

Verticais

f é contínua em ] [1 ,fD = − + ∞

( ) 21 1

1 1lim lim log

1 1x xf x

x x+ +→− →−

= = + + 2

1 1log

0 0+ +

=

( )= +∞× +∞ = +∞

A reta de equação 1x = − é uma assíntota ao gráfico de f.

Não verticais

( )( )0

2

1 1lim lim log

1 1x xf x

x x

×∞

→+∞ →+∞

= = + +

( ) 1

2

1lim log 1

1xx

x

→+∞= + =

+

( )2log 1lim

1x

x

x→+∞

− +

+

( )ln 1 1

limln 2 1x

x

x→+∞

+ = − × = +

( )ln 11

limln 2 1x

x

x→+∞

+= − × =

+1 ln

limln 2 x

y

y→+∞−

1

0 0ln 2

= − × =

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f

quando x→+∞ .

Gráfico

Pág. 173

8.1. ( ) ( )0 ln ln 0f x a x x= ⇔ − = ⇔

ln 0 ln 0a x x⇔ − = ∨ = ⇔

ln ln 0x a x⇔ = ∨ = ⇔ e 1ax x= ∨ =

Logo, se 0a ≠ , f tem dois zeros: ea e 1

8.2. fD += ℝ

( ) ( )ln lnf x a x x ′′ = − =

( ) ( )( )ln ln ln lna x x a x x′ ′= − + − =

( )1 1ln lnx a x

x x= − × + − × =

ln ln 2lnx a x a x

x x

− + − −= =

( ) 2ln0 0 2ln 0 0

a xf x a x x

x

−′ = ⇔ = ⇔ − = ∧ > ⇔

2ln 0 e2

aa

x x x⇔ = ∧ > ⇔ =

( )02ln

0 0xa x

f xx

>−′ > ⇔ > ⇔ 2ln 0a x− > .

2 ln x a⇔ < ⇔ 2ln e2

aa

x x< ⇔ <

x 0 2ea

+∞

f ' + 0 –

f ր 2

4

a ց

Máx.

1

Se ,

y x

x y

= +→ +∞ → +∞

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110

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

2

2 2 2e ln e ln e2 2 4

a a aa a a

f a a = − = − × =

Logo, f tem um máximo absoluto igual a 2

4

a.

8.3. ( ) ( ) ( )2

2ln 2ln2ln a x x a x xa xf x

x x

′′ ′− − −− ′′ = = =

2 2

22ln

2ln 2x a x

x ax

x x

−× − + − −

= =

( ) 0 2ln 2 0 0f x x a x′′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔

2

ln 0 ln 1 02 2

a ax x x x

+⇔ = ∧ > ⇔ = + ∧ >

1

2ea

x+

( )0

2

2ln 20 2ln 2 0

xx af x x a

x

>− −′′ > ⇔ ⇔ − − > ⇔

1

22

2ln 2 ln e2

aa

x a x x++

⇔ > + ⇔ > ⇔ >

x 0 12ea+

+∞

f " – 0 +

f ∩ ∪ P.I.

Logo, o gráfico de f tem um ponto de inflexão de abcissa

12ea+

8.4. Assíntotas verticais

f é contínua em ℝ+.

( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim ln lnx x

f x a x x+ +→ →

= − = − −∞ × −∞ = −∞

A reta de equação 0x = é uma ssíntota ao gráfico de f.

Assíntotas não verticais ( )y mx b= +

( ) ( )ln ln

lim limx x

f x a x xm

x x→+∞ →+∞

−= = =

( )2ln lnlimx

a x x

x→+∞

( )2lnln

lim limx x

xxa

x x→+∞ →+∞= − =

2

0 lime yy

ya

→+∞× −

2

1 10 0

elim

y

y y→+∞

= − = − =+∞

( ) ( )lim lim ln lnx x

b f x a x x→+∞ →+∞

= = − = ( )−∞× +∞ = −∞

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

Portanto, o gráfico de f tem uma única assíntota.

Pág. 174

9.1. f

D = ℝ

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4e e ex x xf x x x x′ ′ ′′ = = + = 3 44 e ex xx x+ =

( )3 4e 4x x x= +

( ) ( )3 4 3 40 e 4 0 4 0

xf x x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

3 0 4 0 0 4x x x x⇔ = ∨ + = ⇔ = ∨ = −

x −∞ 4− 0 +∞f ' + 0 – 0 +

f ր 4256e− ց 0 ր

Máx. Mín.

( ) ( ) ( )4 4 44 4 e 256e ; 0 0f f− −− = − = =

f é estritamente crescente em ] ], 4−∞ − e em [ [0 , + ∞ e

estritamente decrescente em [– 4, 0].

f tem um máximo relativo igual a 4256e− para 4x = − e

mínimo absoluto igual a 0 para 0x = .

9.2. f

D = ℝ

( ) ( )e 2 2 e 2x xf x x′′ = − − = −

( ) 0 e 2 0 e 2 ln 2x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

( ) ln 2ln2 e 2 2 ln2 2ln2f = − − ×× = −

x −∞ ln2 +∞

f ' – 0 +

f ց 2ln2− ր Mín.

f é estritamente decrescente em ] ], ln 2−∞ e estritamente

crescente em [ [ln 2 , + ∞ .

f tem um mínimo absoluto igual a 2ln 2− para ln 2x = .

9.3. fD += ℝ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2ln ln lnf x x x x x x x′ ′′ ′= = + =

( ) ( ) ( )2 2 1ln 2ln ln ln 2 lnx x x x x x x

x

′= + × × = + ×

( )2ln 2lnx x= +

( ) ( )20 ln 2ln 0f x x x′ = ⇔ + = ⇔ ( )ln ln 2 0x x + = ⇔

2ln 0 ln 2 1 ex x x x −⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ =

( ) ( )2 2 2 2 2e e ln e 4ef − − − −= =

x 0 2e− 1 +∞

f ' + 0 – 0 +

f ր 24 e− ց 0 ր

Máx. Mín.

f é estritamente crescente em 20 , e− e em [ [1 , + ∞ e

estritamente decrescente 2e ,1− .

f tem um máximo relativo igual a 24e− para 2ex −= e

mínimo absoluto igual a 0 para 1x = .

9.4. f

D = ℝ . Se 0x ≠ :

( )2

2

1e xf x

x

−′ ′ = − − =

( ) ( ) 2

2 2

2

4

1 1e x

x xx

x

′′ × − × ′= − − − =

2

2 24

4 3 3

2 2 2 2 e2 e 2 e

xx xx x

x xx x x

−− − +

= + = + =

{ }24\ 0 , 2 2 e 0xx x −∀ ∈ + ≠ℝ

Logo, ( ) { }0, \ 0f x′ ≠ ∀∈ℝ

x −∞ 0 +∞

f ' – +

f 0 ց

−∞ 0

−∞ ր

0

Máx.

ln e

Se ,

yy x x

x y

= ⇔ =→ +∞ → +∞

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111

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Dado que:

• f é contínua em ℝ \ {0}

• ( )2

2

1lim lim e 0 e 0x

x xf x

x

− −∞

→−∞ →−∞

= − − = − =

• ( ) ( )2

200 0

1lim lim lim e x

xx xf x f x

x− +

→→ →

= = − − = −∞

• ( )2

2

1lim lim e 0 e 0x

x xf x

x

− −∞

→+∞ →+∞

= − − = − − =

• f é estritamente decrescente em ] [, 0−∞ e estrita-mente

crescente em ] [0 , + ∞ .

( )0 0f = é o máximo absoluto de f.

10.1. f

D = ℝ

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2e 2 e 1 4 ex x x x x xf x x x x− − −′ ′′ = = − = −

( ) ( )( )221 4 ex xf x x − ′′′ = − =

( ) ( )( )2 22 21 4 e 1 4 ex x x xx x− − ′′= − + − =

( )( )2 22 24e 1 4 1 4 ex x x xx x− −= − + − − =

( )2 22 2 24e 1 8 16 ex x x xx x− −= − + − + =

( )22 2e 16 8 3x x x x−= − −

( ) ( )22 20 e 16 8 3 0x xf x x x−′′ = ⇔ − − =

216 8 3 0x x⇔ − − = ⇔

8 64 192 8 256

32 32x x

± + ±⇔ = ⇔ = ⇔

8 16 1 3

32 4 4x x x

±⇔ = ⇔ = − ∨ =

1 1 3

4 8 81

e e4

f− − − − = =

;

3 9 3

4 8 83

e e4

f− − = =

x −∞ 1

4−

3

4 +∞

f " + 0 – 0 +

f ∪ 3

8e−

∩ 3

8e−

P.I. P.I.

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em

1,

4

−∞ − e em

3,

4

+ ∞ e voltada para baixo em

1 3,

4 4

− .

3

81

, e4

− −

e 3

83

, e4

são pontos de inflexão.

10.2. ( ) ( )( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xf x x

x

′+′′ = + = =+

( )2

2

2

1

2 1

1

x

x

x

′+

+ =+

( ) 22

2

12 1

x x

xx= =

++

( )( ) ( )

( )

2 2

22 2

1 1

1 1

x x x xxf x

x x

′′′ + − + ′′ = = = + +

( ) ( )

2 2

2 22 2

1 2 1

1 1

x x x x

x x

+ − × −= =

+ +

( )( )

22

22

10 0 1 0

1

xf x x

x

−′′ = ⇔ = ⇔ − = ⇔

+

2 1x =

1 1x x⇔ = − ∨ =

( )1 ln 2f − = ( )1 ln 2f =

x −∞ –1 1 +∞f " – 0 + 0 –

f ∩ ln 2 ∪ ln 2 ∩

P.I. P.I.

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em

] [, 1−∞ − e em ] [1 , + ∞ e voltada para cima em ] [1 ,1− .

( )1, ln 2− e ( )1, ln 2 são pontos de inflexão.

11.1. ( ) ( )2

ln lnln1

x x x xxf x x

x x

′′ ′× − × ′ = − = − =

2 2

1ln

1 ln1 1

x xxx

x x

× − −= − = − =

2

2

1 lnx x

x

− +

11.2. ( )2

2

1 lnx xf x

x

′ − +′′ = =

( ) ( )( )2 2 2 2

4

1 ln 1 lnx x x x x x

x

′ ′− + − − += =

( )2 2

4

12 1 ln 2x x x x x

x

x

+ − − + × = =

( )2 2

4

2 1 2 2 2lnx x x x

x

+ − + −= =

3

3 2ln x

x

fD += ℝ

( )3

3 2ln0 0 0

xf x x

x

−′′ = ⇔ = ∧ > ⇔

3 2ln 0 0x x− = ∧ >3

ln 02

x x⇔ = ∧ > ⇔ 2ex3

=

3 33 3 322 2

3 3 3

2 2 2

3e

ln e 2e 32e e

e e 2e

f

− −= − = =

x 0 3

2e +∞

f " + 0 –

f ∪ ∩ P.I.

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em 3

20 , e

e voltada pra baixo em 3

2e ,

+ ∞

.

O ponto de abcissa 3

2e é um ponto de inflexão.

Pág. 175

12. ( ) ( )2 2ln lnln1

2 2

x xxf x x

′ ′× ′ = − = − =

2ln

12

x

x−

2ln ln

1 12

x x

x x= − = −

( ) ( )2

ln lnln1

x x x xxf x

x x

′′ ′× − × ′′ = − = − =

2 2

1ln

ln 1x x

xx

x x

× − −= − =

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112

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( )2

ln 10 0 0

xf x x

x

−′′ = ⇔ = ∧ > ⇔ ln 1 0 0x x− = ∧ > ⇔

ln 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔ ex =

( )2ln e 1

e e e2 2

f = − = −

x 0 e +∞f " – 0 +

f ∩ 1

e2

− ∪

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em

] [0 , e e voltada para cima em ] [e , +∞ . O ponto

1e , e

2

é um ponto de inflexão do gráfico de f.

13. Pretende-se provar que a equação:

( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇔ − =

tem uma e uma só solução em [1, 2].

Seja h a função definida em ℝ por ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ,

ou seja, ( ) e 2 2xh x x= − − .

• h é contínua em ℝ por ser a soma de duas funções

contínuas em ℝ.

Logo, h é contínua em [1, 2].

• ( )1 e 2 2 e 4 0h = − − = − <

( ) 2 22 e 4 2 e 6 0h = − − = − >

Como h é contínua em [1, 2] e ( ) ( )1 2 0h h× < , pelo

corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, h admite pelo

menos um zero em ]1, 2[.

( ) ( )e 2 2 e 2x xh x x′′ = − − = −

( ) 0 e 2 0 e 2 ln 2x xh x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

x −∞ ln 2 +∞f ' – 0 +

f ց ր

[ ] [ [1, 2 ln 2 ,+∞⊂

h é estritamente crescente em ]1, 2[, pois neste intervalo

( ) 0h x′ > , pelo que o zero cuja existência se provou no

intervalo ]1, 2[ é único.

Pág. 176

14.1. f

D = ℝ ; g

D = ℝ

( ) ( )( ) ( )2

2

2 2

1 2ln 1

1 1

x xf x x

x x

′+′′ = + = =+ +

( ) 0 2 0 0f x x x′ = ⇔ = ⇔ =

( )0 0f =

x −∞ 0 +∞f ' – 0 +

f ց 0 ր

Como ] [ ] [1 , 2 0 ,⊂ +∞ , f é crescente em ]1, 2[

( ) ( )2 21 11 e 2 ex xg x x− −′′ = + = −

( )210 2 e 0 2 0 0xg x x x x−′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

x −∞ 0 +∞g' + 0 –

g ր 0 ց

Como ] [ ] [1 , 2 0 ,⊂ +∞ , g é decrescente em ]1, 2[ .

14.2. Consideremos a função h definida por:

( ) ( ) ( )h x f x g x= −

( ) ( ) 22 1ln 1 1 e xh x x −= + − −

A função h é uma função contínua em ℝ por ser definida

pela composta e soma de funções contínuas em ℝ.

Portanto, h é contínua em [1, 2].

( ) ( ) 01 ln 2 1 e ln 2 2 0h = − − = − <

( ) ( ) 32 ln 5 1 e 0h −= − − >

Logo, como h é contínua em [1, 2] e ( ) ( )1 2 0h h× < , pelo

corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy podemos

concluir que a equação ( ) 0h x = tem pelo menos uma

solução em ]1, 2[.

Como f é crescente e g é decrescente em ]1, 2[, existe

apenas um ponto de interseção do gráfico de f e g.

Como recurso à calculadora gráfica, determinam-se as

coordenadas desse ponto: ( )1,56 ;1,24P

Pág. 177

15.1. ( )1 1

ln ln1e ln e

x xx xf x x

x

′ ′ ′ = = =

( )1

1 1ln ln xx x x

x x

′ ′ = + =

1

2

1 1 1ln xx x

x x x

= − + × =

( ) ( )1

12

21 ln 1 ln

xx

xx x x

x

−= − = −

( ) ( )0 1 ln 0 0 ln 1 0f x x x x x′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ > ⇔

ex⇔ =

x 0 e +∞f ' + 0 –

f ր 1

ee ց

Máx.

f é estritamente crescente em ]0, e] e estritamente

decrescente em [ [e , +∞ .

( )1

ee ef = é o máximo absoluto de f.

15.2. ( )11 1

lnln

0 0 0 0lim lim lim e lim e

x xxx x

x x x xf x x

+ + + +→ → → →= = = =

( )

e e 0+∞× −∞ −∞= = =

( )11 1

lnlnlim lim lim e lim e

x xxx x

x x x xf x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = =

ln

lim ex

x

x→+∞

0e 1= = , dado que ln

lim 0x

x

x→+∞=

15.3. f é contínua em ℝ+.

Tendo em conta os resultados obtidos em 15.1. e 15.2.,

1

e0 , efD

′ =

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113

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Pág. 178

16.1. :r y mx= ( )0, porque a reta passa na origemb r=

( ) ( )2

ln lnln x x x xxf x

x x

′′ ′− × ′ = = = 2

1lnx x

x

x

× −=

2

1 ln x

x

−=

• No ponto de tangência, o declive, m, da reta r, é igual

à derivada de f: 2

1 ln xm

x

−=

• O ponto de tangência é comum à reta r de equação

y mx= e ao gráfigo de f, ln x

yx

= , pelo que

ln xmx

x= , ou seja,

2

ln xm

x= .

Temos 2

1 ln xm

x

−= e

2

ln xm

x= de onde se pode concluir:

0

2 2

1 ln ln1 ln ln 2ln 1

xx xx x x

x x

>−= ⇔ − = ⇔ = ⇔

1ln

2x = ⇔

1

2ex⇔ =

Como 2

ln xm

x= , vem

1

2

2 11

2

1

lne 12

e 2ee

m = = =

.

A equação da reta r é 1

2ey x= .

16.2. :s y mx b= +

( )( ) ( )( )2 2

2 4

1 ln 1 ln1 ln x x x xxf x

x x

′′′ − − −− ′′ = = =

( ) ( )2

4 4

11 ln 2 1 2 2lnx x x x xx

x x

− × − − − − += = =

3

2ln 3x

x

−=

( ) 30 2ln 3 0 0 ln 0

2f x x x x x′′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ >

3

2ex⇔ =

x 0 3

2e +∞

f " – 0 +

f ' ց 3

1

2e− ր

Mín

33 22

2 3 33

2

31

1 ln e 12ee 2e

e

f

− −′ = = = −

f ' tem mínimo absoluto igual a 3

1

2e− para

3

2ex = .

33 22

3 3 3

2 2 2

3

ln e 32e

e e 2e

f

= = =

Ponto de tangência: 3

23

2

3e ,

2e

P

Declive: 3

1

2em = −

Equação da reta s:

3

23 3

2

3 1e

2e2e

y x

− = − − ⇔

3

2

33 3

2

1 e 3

2e 2e2e

y x= − + +

3 33

2 2

1 1 3

2e2e 2e

y x⇔ = − + + ⇔

33

2

1 4

2e2e

y x⇔ = − + ⇔33

2

1 2

2ee

y = − +

16.3. ( )2

1 ln xf x

x

−′ =

• f é contínua em ℝ+ por se tratar da soma e quociente

de funções contínuas em ℝ+.

• ( ) ( )2

1 ln 1,51,5 0,26

1,5f

−′ = ≈

( )2

1 ln 22 0,08

2f

−′ = ≈

( ) ( )2 0,1 1,5f f′ ′< <

Logo, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo

menos um ponto c no intervalo ]1,5; 2[ tal que f ’(c) = 0,1,

ou seja, em que o declive da reta tangente ao gráfico de f é

igual a 0,1.

Como, neste intervalo, f ’ é estritamente decrescente, o

ponto c cuja existência se provou é único pelo que o ponto

de tangência, A, também é único.

Recorrendo à calculadora gráfica, verifica-se que

( )1,90 ; 0,34A

17.1. Para 0x < :

( ) ( ) ( )( ) ( )2 22

2

ln lnln x x x xxf x

x x

′′ ′− × − − × −′ = = =

( )( ) ( ) ( )2

2

2 ln ln lnx x x x

x

′− − × − −= =

( ) ( )2

2

12 ln lnx x x

x

x

−× × − × − −−= =

( ) ( )2

2

2ln lnx x

x

− − −=

( ) ( ) ( )20 2ln ln 0 0f x x x x′ = ⇔ − − − = ∧ < ⇔

( ) ( )( )ln 2 ln 0 0x x x⇔ − − − = ∧ < ⇔

( ) ( )ln 0 ln 2 0x x x⇔ − = ∨ − = ∧ < ⇔

21 e 0x x x⇔ − = ∨ − = ∧ < ⇔ 21 ex x= − ∨ = −

Para 0x > :

( ) ( )( ) e 2 eln e 1 2 2

e 1 e 1

x xx

x xf x x

−′′ = − − = − =− −

3 33

2 2− =

Page 34: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

114

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) 0 2 e 0 0 e 2 0x xf x x x′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ > ⇔

ln 2x⇔ =

x −∞ 2e− –1 0 ln 2 +∞

f ' – 0 + 0 – + 0 –

f ց ր ց ր ց

Mín. Máx Máx.

f é estritamente decrescente em 2, e −∞ − , em [ [1, 0− e

em [ [ln 2 , + ∞ e estritamente crescente em 2e , 1 − − e

em ] ]0 , ln 2 .

( )2 2e 4ef −− = − ; ( )1 0f − = ; ( )ln 2 2ln 2f = −

f admite um mínimo relativo igual a 24e−− para 2ex = −

e máximos relativos iguais a 0 e a 2ln 2− para 1x = − e

ln 2x = , respetivamente.

17.2. Assíntotas verticais:

{ }\ 0fD = ℝ e f é contínua.

( ) ( )2

0 0

lnlim lim

0x x

xf x

x− − −→ →

− +∞= = = −∞

( ) ( )( ) ( )0 0

lim lim ln e 1 2 ln 0 0x

x xf x x

+ +

+

→ →= − − = − = −∞

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de f.

Assíntotas não verticais:

• Quando x→ −∞

Começamos por verificar se existe assíntota horizontal:

( ) ( )2lnlim limx x

xf x

x→−∞ →−∞

−= =

( )2lnlim

x

x

x→−∞

−− =

2

lime yy

y

→+∞= =

−2

1

elim

y

y y→+∞

− 10= − =

+∞

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f

quando x→ −∞ .

• Quando x→ +∞ ( )y mx b= + :

( ) ( )ln e 1 2

lim lim

x

x x

xf xm

x x→+∞ →+∞

− −= = =

( )

1ln e 1

ln e 1 elim 2 lim 2

xx x

x xx x→+∞ →+∞

− − = − = − =

1ln e ln 1

elim 2

x

x

x x→+∞

+ − = − =

1ln 1

elim 2

x

x

x

x→+∞

+ − −

1ln 1

elim lim 2 1 0 2 1

x

x x

x

x x→+∞ →+∞

+ = + − = + − = −

( )( ) ( )( )lim lim ln e 1 2x

x xb f x mx x x

→+∞ →+∞= − = − − + =

1

lim ln e 1e

x

xxx

→+∞

= − − =

1

lim lne ln 1e

x

xxx

→+∞

= + − − =

1

lim ln 1exx

x x→+∞

= + − − =

1lim ln 1 0

exx→+∞

− =

A reta de equação y x= − é assíntota ao gráfico de f,

quando x→ +∞

17.3. Atendendo a 17.1. e a 17.2., ] ], 0fD′ = −∞ .

17.4. f ’ é contínua em ℝ–. Logo, f ’ é contínua em [– 2, – 1].

( )1 0f ′ − = e ( ) ( ) ( )22ln 2 ln 22 0,23

4f

− − −′ = ≈

Como ( ) ( )1 0,2 2f f′ ′− < < − e f ’ é contínua em

[– 2, – 1], podemos concluir que, pelo Teorema de

Bolzano, existe ] [2 ,1x∈ − , tal que ( ) 0,2f x′ = .

Usando a calculadora gráfica para resolver a equação

( ) 0,2f x′ = , obtém-se como solução 1,15x ≈ − , cuja

imagem por f é – 0,02, aproximadamente.

Logo, ( )1,15 ; 0,02A − − .

Pág. 180

18. 250 2500 0 0

1 1 1e e

4 4 4

t t

P P P P− −

= ⇔ × = ⇔ = ⇔

1 1

ln 250ln250 4 4

tt

⇔ − = ⇔ = −

Logo, 347t ≈

Serão necessários 347 dias, aproximadamente.

Pág. 181

19.1. Como ( ) ( ) ( ) 0, ektQ t kQ t Q t Q′ = = .

A substância reduz-se para metade passados 1600 anos e

0 60Q = . Logo:

( ) 1600 1600 11600 30 60e 30 e

2

k kQ = ⇔ = ⇔ = ⇔

1 ln 2

1600 ln2 1600

k k− ⇔ = ⇔ =

Logo, ( ) 60ektQ t = com ln 2

1600k−

=

19.2. ( )ln 2

1001600100 60e 57,5Q− ×

= ≈

A quantidade de rádio passados 100 anos é, aproximada-

mente igual a 57,5 mg.

Pág. 182

20.1. ( ) 0 ektQ t Q= ; ( ) ( ) 0 ektQ t kQ t kQ′ = =

( )( )

0

0

e0,0866 0,0866 0,0866

e

kt

kt

Q t kQk

Q t Q

′= − ⇔ = − ⇔ = −

Logo, ( ) 0,0866

0 e tQ t Q −= .

( )ln

e

Se ,

y

y x

x

x

y

= − ⇔

⇔ − =→ −∞

→ +∞

Page 35: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

115

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

20.2. ( ) 0,0866

0 0 00,3 e 0,3tQ t Q Q Q−= ⇔ = ⇔ 0,0866e 0,3t− =

( )0,0866 ln 0,3t⇔ − = ⇔( )ln 0,3

0,0866t =−

Logo, 13,9t ≈ . Passaram aproximadamente 13,9 dias.

20.3. ( ) 0,0866 8 0,6928

0 08 e eQ Q Q− × −= =

0,6928e 0,5− ≈

Logo, ( ) 08 0,5Q Q≈

Passados oito dias há aproximadamente 50% da

quantidade inicial da substância radioativa.

Pág. 183

21.1. ( ) 0,03 00 50e 50P ×= =

A população atual do país é de 50 milhões de habitantes.

21.2. ( )( )

( )0,3 1

0,03 0,03 0,03 0,03

0,03

1 50ee e 1,03

50e

t

t t

t

P t

P t

++ −+

= = = ≈

Logo, ( )( )

11,03

P t

P t

+≈ .

A população cresce cerca de 3% ao ano

21.3. ( ) ( )3P t x P t+ = ⇔ ( )0,03 0,0350e 3 50et x t+ = × ⇔

0,03 0,03

0,03

e3

e

t x

t

+

⇔ = ⇔ 0,03e 3x = ⇔

0,03 ln3x⇔ = ⇔ ln3

0,03x =

Logo, 36,6x ≈ .

Este resultado significa que a população do país triplica

em cada período de 36,6 anos, aproximadamente.

21.4. ( )( )

0,03 10

0,03 0

10 50e1,350

0 50e

P

P

×

×= ≈

Nos próximos 10 anos a população aumentará 35,0%

aproximadamente.

Atividades complementares

Pág. 185

22.1. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 e 2 e 2 ex x xf x x x x x x x′ ′ ′′ = − = − + − =

( ) ( ) ( )2 22 2 e 2 e 2 2 2 ex x xx x x x x x= − + − = − + − =

( )2 2 exx= −

22.2. ( ) ( )1 1 1e e ex x xf x

x x x

′ ′ ′′ = = + = 2

1 1e ex x

x x− + =

2

1 1ex

x x

= − + 2

1exx

x

−=

22.3. ( )( ) ( ) ( )( )

( )2e 1 2e 1 e 1 2e 1e 1

2e 1 2e 1

x x x xx

x xf x

′ ′′ − + − − + −′ = = = + +

( ) ( )

( )2e 2e 1 e 1 2e

2e 1

x x x x

x

+ − −= =

+

( )( ) ( )2 2

e 2e 1 2e 2 3e

2e 1 2e 1

x x x x

x x

+ − += =

+ +

22.4. ( )1 1 1

e e ex x xf x x x x

′ ′ ′ ′= = + =

1 11

e ex xxx

′ + × =

1 1

2

1e ex xx

x

−= + × =

1 1 1 11 1 1

e e 1 e ex x x xx

x x x

− − = − =

22.5. ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sincos e cos e cos ex x xf x x x x′ ′′′ = = + =

( )sin sinsin e cos sin ex xx x x ′= − + × =

sin sinsin e cos cos ex xx x x= − + × =

( )2 sincos sin e xx x= −

22.6. ( ) 2 2

1 1

1 12

1e e

1

x x

x xx

f xx

+ +

+ +

′ ′ + ′ = = = +

( ) ( ) ( )( )

( )2

2 2 1

12

2

1 1 1 1e

1

x

xx x x x

x

+

+

′′+ + − + += =

+

( )

( )2

12

12

2

1 1 2e

1

x

xx x x

x

+

++ − + ×

= =+

( )2

12

12

2

2 1e

1

x

xx x

x

+

+− − += =

+ ( )2

12

12

2

2 1e

1

x

xx x

x

+

++ −−

+

22.7. ( )1

1 1

2

1 3 ln33 3 ln3

xx xf x

x x

′ ′ ′ = = × = −

22.8. ( )( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 22

22 2

5 1 5 5 1 55

1 5 1 5

x x x xx

x xf x

′ ′′ − − − ′ = = = − −

( ) ( )

( )

2 2 2 2

22

2 5 ln5 1 5 5 2 5 ln5

1 5

x x x x

x

× − − × − ×= =

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2

2 5 ln5 1 5 5 2 5 ln5

1 5 1 5

x x x x

x x

× − + ×= =

− −

23.1. ( ) 1 2 2 11 2ln

2 2 2

xf x x

x x

′ ′ = − + + = − + = −

23.2. ( ) ( ) ( )ln ln ln 1f x x x x x x x x′ ′′ ′= − = + − =

1

ln 1x xx

= + × − = ln 1 1 lnx x+ − =

23.3. ( ) ( )( ) ( )( )2

2 2

2

1ln ln 1 2 ln ln

1

xf x x x x x

x

′−′ ′′ = + − = + =−

2

2ln 2

1

x x

x x= +

23.4. ( ) ( )( ) ( )e e 1ln e

e e

x xx

x x

xf x x

x x

′+ +′′ = + = =+ +

23.5. ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1ln 1 2 ln 1 ln 1

2 2f x x x x

′ ′′ = + = × + + =

( ) ( ) ( )1 ln 1

ln 11 1

x xx

x x

′+ += + =

+ +

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116

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

23.6. ( ) ( ) ( )( )2

21 logf x x x x′′ = − − =

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 21 log 1 logx x x x x x′′= − − + − − =

( ) ( )( )( )

2

2

2 2log 1

ln 2

x xx x x

x x

′−= − + − × =

( ) ( )( )( )

2

2

1 2 1log

1 ln 2

x xx x

x x

− −= − + =

( )2

2

2 1log

ln 2

xx x

x

−= − +

23.7. ( )

1 e

1 e1 eln

1 e1 e

1 e

x

xx

xx

x

f x

′ − ′ + − ′ = = = −+ +

( ) ( )( )2

e 1 e e 1 e

1 e

1 e

1 e

x x x x

x

x

x

− + − −

+= =

−+

( )( )( ) ( ) ( )( )2

e 1 e 1 e 1 e 2e

1 e 1 e1 e 1 e

x x x x x

x xx x

− + + − + −= = =

+ −+ −

( )2 2

2e 2e

e 11 e

x x

xx

−= =

−−

23.8. ( ) ( ) ( )2 5 5log log logf x x x x x x x′ ′′ ′= = + =

( )

5 5

1

2log log

ln5 ln5

xx

x x x xx x

= + × = + =

5 5

1log log

2 ln5 2ln 5

xx x

x= + = +

23.9. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

2 2 1 2 lnln 2 ln ln

xf x x x x

x

−−′ ′′ = = =

23.10. ( )1

1 1ln ln

ln1e e e

xx

xx xx xf x

x

′ ′′ ′ ′ = = = = =

( ) ( )ln lne ln ex x x xx x− −′ ′= = − =

( ) ( ) 1ln ln

x

x x x xx

′ ′= − − =

( )11 1 1ln ln 1

x x

x x xx x x

− = − − × = − =

1 1

ln 1

x

x x

= −

24.1. ( ) ( )1 exf x x= +

Domínio: f

D = ℝ

Monotonia e extremos:

( ) ( )( ) ( ) ( )1 e e 1 e 2 ex x x xf x x x x′′ = + = + + = +

( ) ( )0 2 e 0 2 0 2xf x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

x −∞ 2− +∞

f ' – 0 +

f ց 2e−− ր

Mín.

( ) 22 ef −− = −

Concavidades e inflexões:

( ) ( ) ( ) ( )2 e e 2 e 3 ex x x xf x x x x′′′ = + = + + = +

( ) ( )0 3 e 0 3 0 3xf x x x x′′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

x −∞ 3− +∞

f " – 0 +

f ∩ 32 e−− ∪

P.I.

Assíntotas:

Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem

qualquer assíntota vertical.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→ −∞

( ) ( )1 e

lim lim

x

x x

f x xm

x x→−∞ →−∞

+= = = 1

lim 1 ex

x x→−∞

+ =

( )1 0 e 1 0 0−∞= + = × =

( )( ) ( )( )0

lim lim 1 ex

x xb f x mx x

∞×

→−∞ →−∞= − = + =

( )lim 1 e y

yy −

→+∞= − + =

1lim

e yy

y

→+∞

− +=

1

lim lime e

y yy y

y

→+∞ →+∞= − + =

1 1

elim

y

x y→+∞

− + =+∞

1

0 0= + =+∞

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de

f quando x→ −∞ .

• Quando x→ +∞ :

( ) ( )1 e

lim lim

x

x x

f x xm

x x→+∞ →+∞

+= = = ( )e

lim lim 1x

x xx

x→+∞ →+∞× +

( )= +∞× +∞ = +∞

Não há assíntota ao gráfico de f quando x→ +∞ .

Gráfico:

24.2. ( ) ( )2log 1f x x= +

Domínio: f

D = ℝ

Monotonia e extremos:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

2

2 2

1 2log 1

1 ln10 1 ln10

x xf x x

x x

′+′′ = + = =+ +

( ) 0 2 0 0f x x x′ = ⇔ = ⇔ =

x −∞ 0 +∞

f ' – 0 +

f ց 0 ր

Mín.

Concavidades e inflexões:

( ) ( )2

2

1 ln10

xf x

x

′ ′′ = = +

( )( )

2

22 2

2 1 ln10 2 2 ln10

1 ln 10

x x x

x

+ − ×

+

( )

( )

2 2

22 2

2ln10 1 2

1 ln 10

x x

x

+ −= =

+

( )( )

2

22

2 1

1 ln10

x

x

+

Se ,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→ −∞ → +∞

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117

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) ( )20 2ln10 1 0f x x′′ = ⇔ − = ⇔ 2 21 0 1x x− = ⇔ = ⇔

1 1x x⇔ = − ∨ =

x −∞ –1 1 +∞

f " – 0 + 0 –

f ∩ log 2 ∪ log 2 ∩

P.I. P.I.

Assíntotas

Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem

qualquer assíntota vertical.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→ +∞

( ) ( )2log 1

lim limx x

xf xm

x x

∞ ∞

+∞ →+∞

+= = =

( )

22 2

1ln 1

ln 1lim lim

ln10 ln10x x

xx x

x x→+∞ →±∞

+ + = = =

2

2

1ln ln 1

1lim

ln10 x

xx

x→+∞

+ + = =

2

1ln 1

1 2lnlim

ln10 x

x x

x x→+∞

+ = + =

2

1ln 1

1 ln2 lim lim

ln10 x x

x x

x x→+∞ →+∞

+ = + =

( )1 0 12 0 0 0 0

ln10 ln10

= × + = + = +∞

( ) ( )2lim lim log 1x x

b f x mx x→+∞ →+∞

= − = + = +∞

O gráfico de f não tem assíntota em +∞ .

• Quando x→ −∞ ,x x∀ ∈ − ∈ℝ ℝ e

( ) ( )2log 1f x x = − + = ( ) ( )2log 1x f x+ =

Portanto, f é uma função par e, como tal, se o seu

gráfico não tem assíntota em +∞ , também não tem em

−∞ .

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais

Gráfico:

24.3. ( ) e 4ex xf x −= +

Domínio: f

D = ℝ

Monotonia e extremos

( ) ( )e 4e e 4ex x x xf x − −′′ = + = −

( ) 40 e 4e 0 e 0

e

x x x

xf x −′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ( )2e 4 0

x − =

e 2 e 2 ln 2x x x⇔ = ∨ = ⇔ =

x −∞ ln2 +∞

f ' – 0 +

f ց 4 ր

Mín

( ) ln 2 ln 2 1ln 2 e 4e 2 4 4

2f −= + = + × =

Concavidades e inflexões

( ) ( )e 4e e 4ex x x xf x − −′′′ = − = +

( ), 0x f x′′∀ ∈ >ℝ . Logo, o gráfico de f tem a concavi-

dade voltada para cima e não tem pontos de inflexão.

Assíntotas

Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem

assíntotas verticais.

Não verticais ( )y mx b= +

• Quando x→ −∞

( ) e 4e

lim limx x

x x

f xm

x x

→−∞ →−∞

+= = =

e elim 4 lim

x x

x xx x

→−∞ →−∞+

0 e

4 limy

y y→+∞= − =−∞

( )0 4− × +∞ = −∞

• Quando x→ +∞

( ) e 4e

lim limx x

x x

f xm

x x

→+∞ →+∞

+= = =

e elim 4 lim

x x

x xx x

→+∞ →+∞+

0

4= +∞ + × = +∞+∞

O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.

Gráfico

24.4. ( ) 2 ln xf x

x

− −=

Domínio: fD += ℝ

Monotonia e extremos:

( )( )

2

12 ln

2 lnx x

x xf xx x

− × − − −′− − ′ = = =

2

1 ln x

x

+

( ) 0 1 ln 0 0f x x x′ = ⇔ + = ∧ > ⇔ ln 1 0x x= − ∧ > ⇔

1 1e

ex x−⇔ = ⇔ =

x 0 1

e +∞

f ' – 0 +

f ց e− ր

Mín.

1

1

1 2 lnee

e ef

− − = = −

Concavidades e inflexões:

( )( )2

2 4

12 1 ln

1 lnx x x

x xf xx x

× − +′+ ′′ = = =

( )

4 3

1 2 2ln 1 2lnx x x

x x

− − − −= =

,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→ −∞ → +∞

2

Se 0,

ln 2ln

x

x x

>=

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118

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) 0 1 2ln 0 0f x x x′′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔

1

21

ln 0 e2

x x x−

⇔ = − ∧ > ⇔ = ⇔1

ex =

x 0 1

e +∞

f " + 0 –

f ∪ 3 e

2− ∩

P.I.

1

2

1

2

1 2 lne 3 e

2ee

f

− − = = −

Assíntotas: Verticais:

f é contínua em ℝ+.

( ) ( )0 0

22 lnlim lim

0x x

xf x

x+ + +→ →

− − −∞− −= = = +∞

A reta de equação 0x = é uma assíntota ao gráfico de f .

Não verticais:

( ) 2 lnlim limx x

xf x

x→+∞ →+∞

− −= =

2 lnlim lim

x x

x

x x→+∞ →+∞

− − =

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f.

Gráfico:

24.5. ( ) 1

1 ex

f x−

=+

Domínio: f

D = ℝ

Monotonia e extremos:

( )( )

( ) ( )2 2

e1 e

1 e 1 e 1 e

x x

xx x

f x

− −

− − −

′ − − ′ = = = + + +

( ), 0x f x′∀ ∈ >ℝ . Logo, f é crescente em todo o

domínio e não tem extremos.

Concavidades e inflexões:

( )( )2

e

1 e

x

xf x

′ ′′ = = +

( ) ( ) ( )

( )

2

4

e 1 e e 2 e 1 e

1 e

x x x x x

x

− − − − −

− + − × × − +=

+

( )

( )41 e e e e 2e e

1 e

x x x x x x

x

− − − − − −

+ − − × + × =+

( )( )

( )3 3

e 1 ee e e

1 e 1 e

x xx x x

x x

− −− − −

− −

− −− + ×= =

+ +

( ) 0 1 e 0xf x −′′ = ⇔ − = ⇔ e 1x− = 0x⇔− =

0x⇔ =

x −∞ 0 +∞

f " + 0 –

f ∪ 1

2 ∩

P.I.

Assíntotas:

Verticais: Como f é contínua em ℝ, o seu gráfico não tem

assíntotas verticais.

Não verticais:

• Quando x→ −∞ :

Como ( ) 1 1lim lim 0

1 exx x

f x−→−∞ →−∞

= = =+ +∞

, a reta de

equação 0y = é assíntota ao gráfico de f quando

x→ −∞ .

• Quando x→ +∞ :

Dado que ( ) 1 1lim lim 1

1 e 1 0xx x

f x−→+∞ →+∞

= = =+ +

, a reta

de equação 1y = é assíntota aográfico de f quando

x→ +∞ .

Gráfico:

24.6. ( )2

1 ln xf x

x

+=

Domínio: fD += ℝ

Monotonia e extremos:

( )( )2

2 4

11 ln 2

1 lnx x x

x xf xx x

× − + ×′+ ′ = = =

( )

4 3

1 2 2ln 1 2lnx x x

x x

− − − −= =

( ) 0 1 2ln 0 0f x x x′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔1

ln 02

x x= ∧ > ⇔

1

21

ee

x x−

⇔ = ⇔ =

x 0 1

e

f ' + 0 –

f ր e

2 ց

Máx.

1

2

1

22

1

2

1 ln e1 e

e2e

e

f f

+

= = =

Concavidades e inflexões:

( )3

1 2ln xf x

x

− − ′′ = =

( )3 2

6

21 2ln 3x x x

x

x

−× − − − ×

=

( )2

6 4

2 3 6ln 6ln 1x x x

x x

− + + += =

( ) 0 6ln 1 0 0f x x x′′ = ⇔ + = ∧ > ⇔1

ln 06

x x= − ∧ >

1

6

6

1e

ex x

−⇔ = ⇔ =

( )

0

1 10

1 e 2f = =

+

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119

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

x 0 6

1

e +∞

f " – 0 +

f ∩ 35 e

6 ∪

11 366

26 1

6

1 1 ln e 5 ee

6ee

f f

−−

+ = = =

Assíntotas:

Verticais:

f é contínua em ℝ+.

( )2

0 0

1 lnlim lim

0x x

xf x

x+ + +→ →

+ −∞= = = −∞

A reta de equação 0x = é uma assíntota ao gráfico de f.

Não verticais y mx b= + :

( ) 2

1 ln

lim limx x

xf x xm

x x→+∞ →+∞

+

= = =3

1 lnlim

x

x

x→+∞

+=

3 2

1 ln 1lim limx x

x

x x x→+∞ →+∞

= + × =

2

ln 10 lim lim 0 0 0

x x

x

x x→+∞ →+∞= + × = × =

( )2

1 lnlim lim

x x

xb f x mx

x→+∞ →+∞

+= − = =

2

1 ln 1lim lim lim 0 0 0 0x x x

x

x x x→+∞ →+∞ →+∞= + × = + × =

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f

quando x→ +∞ .

Gráfico :

24.7. ( ) 1e

xf x x

−=

Domínio: f

D = ℝ

Monotonia e extremos:

Para 0x ≠ , tem-se:

( )1

1

se 0

e se 0

x

x

x xf x

x x

+

>= <

( )( )1 1

1 1

e e se 0

e e se 0

x x

x x

x xf x

x x

− −

+ +

+ × − >′ = =+ <

( )( )

1

1

1 e se 0

1 e se 0

x

x

x x

x x

+

− >=

+ <

( ) 0f x′ = ⇔ ( ) ( )1 0 0 1 0 0x x x x− = ∧ > ∨ + = ∧ <

1 1x x⇔ = ∨ = −

x −∞ –1 0 1 +∞

f ' – 0 + + 0 –

f ց –1 ր 0 ր 1 ց Mín. Máx.

( ) 01 1e 1f − = − = −

( ) 01 1e 1f = =

Nota: Como f é contínua em ℝ, f é estritamente crescente

em [– 1, 1].

Concavidades e inflexões

Para 0x ≠ :

( )( )( )

( )( )

1

1

1 e se 0

1 e se 0

x

x

x xf x

x x

+

′− >′′ = =′ + <

( ) ( )( )

1 1

1 1

e + 1 e se 0

e + 1 e se 0

x x

x x

x x

x x

− −

+ +

− − × − >= =+ <

( )( )

1

1

1 1 e se 0

1 1 e se 0

x

x

x x

x x

+

− − + >= =

+ + <

( )( )

1

1

2 e se 0

2 e se 0

x

x

x x

x x

+

− >= =

+ <

( ) 0f x′′ = ⇔ ( ) ( )2 0 0 2 0 0x x x x− = ∧ > ∨ + = ∧ < ⇔

2 2x x⇔ = ∨ = −

x −∞ –2 0 2 +∞f " – 0 + – 0 +

f ∩ 2

e− ∪ 0 ∩

2

e ∪

P.I. P.I. P.I.

Assíntotas

Verticais: Como f é contínua em ℝ, o gráfico não tem

assíntotas verticais.

Não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→ −∞ :

( ) 1e

lim lim e 0x

x x

f x xm

x x

+−∞

→−∞ →−∞= = = =

( )( ) ( )1lim lim e x

x xb f x mx x +

→−∞ →−∞= − = = e lim ex

xx

→−∞=

( )e lim e y

yy −

→+∞= − = e lim

e yy

y

→+∞− =

e e

0e

limy

y y→−∞

− −= = =

+∞

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de

f quando x→ −∞ .

• Quando x→ +∞ :

( ) 1

1elim lim lim e e 0

xx

x x x

f x xm

x x

−− −∞

→+∞ →+∞ →+∞= = = = =

( )( ) 1lim lim e e lime

x

xx x x

xb f x mx x −

→+∞ →+∞ →+∞= − = = =

e e

0e

limx

x x→+∞

= = =+∞

A reta de equação 0y = é uma assíntota horizontal ao

gráfico de f quando x→ +∞

Gráfico

,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→−∞ →+∞

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120

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

25.1. ( )( )0

lim lim e lime

x

xx x x

xf x x

∞×−

→+∞ →+∞ →+∞= = = 1 1

0e

limx

x x→+∞

= =+∞

25.2. ( ) ( )e e e 1x x xf x x x− − −′ = − = −

( ) 0 1f x x′ = ⇔ =

x −∞ 1 +∞

f ' + 0 –

f ր 1

e ց

Máx.

f é estritamente crescente em ] ],1−∞ e estritamente

decrescente em [ [1 , + ∞ . f tem um máximo relativo (e

absoluto) igual a 1

e para 1x = .

25.3. y mx b= +

( ) ( )00 e 1 0 1m f ′= = − =

P(0, 0) → ( ) 00 0 e 0f = × =

y x= é a equação da reta tangente ao gráfico de f no

ponto P(0, 0).

25.4. ( ) ( )e e e 2e ex x x x xf x x x− − − − −′′ = − − − = − + = ( )e 2x x− −

( ) 0 2f x x′′ = ⇔ =

x −∞ 2 +∞

f " – 0 +

f ' ց 2

1

e− ր

O declive mínimo é o mínimo de f ’, ou seja, é igual a

2

1

e− .

25.5. ( ) ( ) ] [ln 2 , , 2gg x x D= − = −∞

a) Seja ( ) ( ) ( ) ( )e ln 2xh x f x g x x x−= − = − −

• h é contínua em ] [, 2−∞ por ter a diferença de

funções contínuas neste intervalo. Logo, h é

contínua em [ ] ] [0 ,1 , 2⊂ −∞ .

• ( ) ( ) ( )0 0 0 0 ln 2 ln 2 0h f g= − = − = − <

( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 0 0

e eh f g= − = − = >

( ) ( )0 1 0h h× <

O corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy garante

que h tem pelo menos um zero em ]0, 1[.

Logo, existe pelo menos um ponto de abcissa em ]0, 1[,

onde os gráficos de f e g se intersetam.

Já vimos que f é estritamente crescente em [0, 1].

( ) ] [1 10, , 2

2 2g x x

x x

−′ = = < ∀ ∈ −∞− −

Logo, g é estritamente decrescente em [0, 1]. Portanto,

como em [0, 1], f é estritamente crescente e g é

estritamente decrescente, o ponto

de interseção cuja existência se

provou é único. Recorrendo à

calculadora gráfica obtiveram-se as

coordenadas do ponto de

interseção, com aproximação às

centésimas: (0,61; 0,33)

b) ( ) ( )ln f x g x x ≤ − ⇔ ( ) ( )ln e ln 2xx x x− ≤ − −

( )ln ln e ln 2xx x x−⇔ + ≤ − − ⇔

( )ln ln 2x x x x⇔ − ≤ − − ⇔ ( )ln ln 2x x≤ − ⇔

2 0 2 0x x x x⇔ ≤ − ∧ > ∧ − > ⇔

] ]

2 2 0 2

1 0 0 , 1

x x x

x x x

⇔ ≤ ∧ > ∧ < ⇔

⇔ ≤ ∧ > ⇔ ∈

] ]0 ,1S =

26.1. ( ) ( ) ( )0 3 0g x f x x> ⇔ − − > ⇔ 25e 3e 0x x− −− > ⇔

( )e 5 3e 0x x− −⇔ − > 5 3e 0x−⇔ − > ⇔

5

3e 5 e3

x x− −⇔ < ⇔ < ⇔5 5

ln ln3 3

x x− < ⇔ > −

3

ln5

x⇔ >

3

ln ,5

S = + ∞

26.2. ( ) ( ) ( )lim lim 3x x

g x f x x→+∞ →+∞

= − − = ( )2lim 5e 3ex x

x

− −

→+∞− =

5 0 3 0 0= × − × =

A reta de equação 3y x= − é uma assíntota ao gráfico da

função f em +∞ .

26.3. Provar que o gráfico de f e a reta r se intersetam, no

intervalo [– 1, 0], num único ponto, é o mesmo que provar

que a função g tem um único zero em [– 1, 0].

• g é contínua em ℝ . (diferença de funções contínuas)

Logo, g é contínua em [– 1, 0].

• ( ) 21 5e 3e 0g − = − < ; ( ) 0 00 5e 3e 2 0g = − = >

( ) ( )1 0 0g g− × <

O corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy garante a

existência de pelo menos um zero de f em ]– 1, 0[.

( ) ( )2 25e 3e 6e 5ex x x xg x − − − −′′ = − = −

( ) ( ) 5 50 e 6e 5 0 e ln

6 6

x x xg x x− − −′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔

6

ln5

x ⇔ =

x −∞ 6

ln5

+∞

g' + 0 –

g ր ց

g é estritamente crescente em 6

, ln5

−∞ ⇒ g é

estritamente crescente em [– 1, 0] dado que 6

ln 05> .

Como g é estritamente crescente em [– 1, 0], o zero cuja

existência se provou neste intervalo é único.

Recorrendo à calculadora

determinaram-se valores

aproximados às décimas do

ponto de interseção dos gráficos

de ( )1y f x= e 2 3y x= −

tendo-se obtido (– 0,5; – 3,5).

( ) 2

2

12 e

ef −′ = − = −

e 0,x x− > ∀ ∈ℝ

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121

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Pág. 186

27. ( )0 2048M =

27.1. ( ) 2048ektM t =

( ) 44 512 2048e 512kM = ⇔ = ( )44 21e e 2

4

k k −⇔ = ⇔ =

2

4 2 0,54e 2 e 2 e 2k k k−− −⇔ = ⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( )0,52048e 2048 e 2048 2

t tkt k

M t−= = =

( ) 0,52048 2 tM t −= ×

27.2. ( ) 0,5 10 510 2048 2 2048 2 64M − × −= × = × =

( )10 64M = g

27.3. ( ) 0,52048 0,1 2048 2 2048 0,1tM t −= × ⇔ × = × ⇔

( )0,5

22 0,1 0,5 log 0,1t t−⇔ = ⇔ − = ⇔ln 0,1

0,5ln 2

t− =

ln0,1

6,64390,5ln 2

t t⇔ = ⇒ ≈−

6,6439 min ≈ 6 min 39 s

27.4. ( )( ) ( )

, 0 ,1

1 0 1448,15 2048t.m.v.

1 0 1M

M M− −= ≈

( ), 0 ,1t.m.v. 600 g/min

M≈ −

( )( ) ( )

, 1 , 2

2 1 1024 1448,15t.m.v.

2 1 1M

M M− −= ≈

( ), 1 , 2t .m.v. 424 g/min

M≈ −

27.5. ( ) ( ) 0,52048 0,5 2 ln 2tM t −′ = × − × × = 0,51024 2 ln 2t−− × ×

( ) 0,5 55 1024 2 ln 2M − ×′ = − × ×

( )5 125,5 g/minM ′ ≈ −

28. ( ) ( ) 1000x t y t+ =

( ) ( )x t ky t′ =

( )0 0x = e ( )0 5x′ =

28.1. ( ) ( ) ( ) ( )1000 1000x t y t y t x t+ = ⇔ = −

( ) ( )x t ky t′ = ⇔ ( ) ( )( )1000x t k x t′ = −

( ) ( )( )0 1000 0x k x′ = − ⇔ ( )5 1000 0k= − ⇔

5

0,0051000

k k⇔ = ⇔ =

Logo, ( ) ( )0,005 1000x t x′ = − .

28.2. Se ( ) 0,0051000 e tx t Q −= −

( ) 0,0050 0,005 e tx t Q −′ = + ⇔ ( ) 0,0050,005 e tx t Q −′ =

Por outro lado:

( ) ( )0,005 1000 5 0,005x x t− = − ( )0,00555 0,005 1000 e

tQ

−= − −

0,0055 5 0,005 e tQ −= − + ( )x t′=

Fica assim provado o que se pretendia.

( ) 0,0051000 e tx t Q −= −

( )0 0x = ⇔ 0,005 01000 e 0 1000 1 0Q Q− ×− = ⇔ − × = ⇔

1000Q⇔ =

29.1. ( )0,5

10000

2 2 tP t

−= −

( ) 0,5

10 0006000 6000

2 2 tP t −= ⇔ = ⇔

( )0,510 000 6000 2 2 t−⇔ = − ⇔

0,5 0,55 12 2 2

3 3

t t− −⇔ − = ⇔ − = − ⇔

2 2

10,5 log 0,5 log 3

3t t⇔ − = ⇔ − = − ⇔

ln3 ln3

0,5ln 2 0,5 ln 2

t t⇔ = ⇔ =×

3,17t⇒ ≈

3,17 semanas ≈ 22 dias

29.2. ( ) ( )1

0 2 500 5002 1 2 2

k kP P

−− = ⇔ − = ⇔

− −

2

500 5003 3

2

kk k k⇔ − = ⇔ − = ⇔

3 2 1500 1500k k k⇔ − = ⇔ =

30.1. Se ( ) ( ) ( ) 0, ektQ t kQ t Q t Q′ = =

( ) ( )1 0,98Q t Q t+ = ⇔ ( )10 0e 0,98 e

k t ktQ Q+ = × ⇔

0e e 0,98 e

kt k ktQ⇔ × = × ⇔

( )e 0,98 ln 0,98k k⇔ = ⇔ =

( ) ( )ln 0,98

0 et

Q t Q=

30.2. ( ) ( )ln 0,98 1010 100eQ

× = → ( )10 81,7 mgQ ≈

30.3. ( ) ( )( )ln 0,98

0 0 0

1 1e

2 2

tQ t Q Q Q= ⇔ = ⇔

( ) ( )ln 0,98 1 1

e ln 0,98 ln2 2

tt

⇔ = ⇔ × = ⇔

( )ln 2

34,3ln 0,98

t t−

⇔ = ⇒ ≈

Ao fim de 24,3 anos, aproximadamente.

Pág. 187

31. ( ) 1 ln , ff x x x x D += + − = ℝ

31.1. ( ) ( )0 0

lim lim 1 lnx x

f x x x x+ +→ →

= + − = ( )( )0

01 0 lim ln

xx x

+

×∞

→+ − =

1 1

1 lim lny y y→+∞

= − =

1ln1 lim

y

y

y

→+∞− =

ln ln

1 lim 1 limy y

y y

y y→+∞ →+∞

−= − = + = 1 0 1+ =

( ) ( )( )

lim lim 1 lnx x

f x x x x∞−∞

→+∞ →+∞= + − =

( )1 lim 1 lnx

x x→+∞

= + −

( )1 1= + +∞ −∞ = −∞

31.2. ( ) 11 ln 1 ln 1f x x x x

x′ = − + × = − − = ln x−

( ) 0 ln 0 ln 0 1f x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

1 1

0

y xx y

x y+

= ⇔ =

→ ⇒ →+∞

Page 42: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

122

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

x 0 1 +∞

f ' + 0 –

f ր 2 ց

Máx.

f é estritamente crescente em ]0, 1] e estritamente

decrescente em [ [1 , + ∞ . f admite máximo absoluto igual

a 2 para 1x = .

31.3. f é contínua em ℝ+ Produto e soma de funções contínuas

( )1 2 0f = >

Como ( ) ] [ ( )lim , 1 , : 0x

f x a f a→+∞

= −∞ ∃ ∈ +∞ <

(por exemplo 2ea = , pois ( )2 2e 1 e 0f = − < )

Logo, como f é contínua em [ ]1, a e ( ) ( )1 0f f a× < , o

Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de um

zero de f em ]1, a[.

Atendendo a que ( )0

lim 1x

f x+→

= e f é estritamente

crescente em ]0, 1] então ( ) 1f x > para todo o ] ]0 ,1x∈ .

Logo, f não tem zeros neste intervalo.

Como f é estritamente decrescente em [ [1, +∞ , então f

tem no máximo um zero neste intervalo.

Assim, o zero cuja existência se provou é único.

Recorrendo à calculadora obtém-se 0 3,59x ≈ como valor

aproximado do zero de f.

31.4. ( ) 1 3 1 ln 1 3f x x x x x x> + ⇔ + − > + ⇔ 2 ln 0x x x+ <

( )2 ln 0x x⇔ + <

22 ln 0 ln 2 ex x x −+ = ⇔ = − ⇔ =

22 ln 0 ln 2 ex x x −+ > ⇔ > − ⇔ >

x 0 2e− +∞

x + + +

2 ln x+ – 0 +

( )2 lnx x+ – 0 +

20 , eS − =

31.5. ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

ln 1 ln 1

1

x x x xg x

x

′ ′+ − +′ = =+

( )

( ) ( )2 2

1 1 ln1 ln

1 1

x x xx x

x x

x x

+ −× + −

= = =+ +

( )

( )( )2 2

1 ln

1 1

f xx x x

x x x x

+ −= =

+ +

32. ( ) ( )2ln e 1 ;x

ff x x D= + − = ℝ

32.1. ( )( )e 1 e

2 2 1e 1 e 1

x x

x xf x x

′+′ ′= × − = − =

+ +

2e e 1 e 1

e 1 e 1

x x x

x x

− − −= =

+ +

( ) 0 e 1 0 e 1 0x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

x −∞ 0 +∞f ' – 0 +

f ց 2 ln 2 ր

Mín.

f é estritamente decrescente em ] ], 0−∞ e estritamente

crescente em [ [0 , + ∞ .

( )0 2ln 2f = é o mínimo absoluto de f.

32.2. ( )( ) ( ) ( )( )

( )2e 1 e 1 e 1 e 1

e 1

x x x x

xf x

′ ′− + − − +′′ = =

+

( ) ( )( )2

e e 1 e 1 e

e 1

x x x x

x

+ − −= =

+

( )( )2

e e 1 e 1

e 1

x x x

x

+ − +=

+

( )22e

e 1

x

x=

+

( ) 0,f x x′′ > ∀ ∈ℝ

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em

todo o domínio.

32.3. f é contínua em ℝ pelo que o seu gráfico não tem

assíntotas verticais.

Assíntotas não verticais ( )y mx b= + :

• Quando x→ −∞ :

( ) ( )2ln e 1

lim lim

x

x x

xf xm

x x→−∞ →−∞

+ −= = =

( )2ln e 1

lim lim

x

x x

x

x x→−∞ →−∞

+= − =

( )2ln 0 11

+= − =

−∞

0 1 1= − = −

( )( ) ( )( )lim lim 2ln e 1x

x xb f x x x x

→−∞ →−∞= + = + − + =

( ) ( )lim 2ln e 1 2ln 0 1 0x

x→−∞ = + = + =

A reta de equação y x= é uma assíntota ao gráfico de f

em x→ −∞

• Quando x→ +∞ :

( ) ( )2ln e 1

lim lim

x

x x

xf xm

x x→+∞ →+∞

+ −= = =

12ln e 1

elim

x

x

x

x

x→+∞

+ − = =

12lne 2ln 1

elim

x

x

x

x

x→+∞

+ + − = =

12 2ln 1

elim

x

x

x x

x→+∞

+ + − = =

12ln 1

elim

x

x

x

x→+∞

+ +

12ln 1

elim lim

x

x x

x

x x→+∞ →+∞

+ = + =

( )2ln 1 01

++ =

+∞

1 0 1= + =

( ) ( )lim lim 2ln e 1x

x xb f x x x x

→−∞ →−∞ = − = + − − =

1

lim 2ln e 1 2e

x

xxx

→+∞

= + − =

1

lim 2ln e 2ln 1 2e

x

xxx

→+∞

= + + − =

1

lim 2 2ln 1 2exx

x x→+∞

= + + − =

( )1lim 2ln 1 2ln 1 0 0

exx→+∞

= + = + =

A reta de equação y x= é uma assíntota ao gráfico de f

em +∞ .

( )1 2f =

( )0 2ln 2f =

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123

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

32.4.

[ [2ln 2 ,fD′ = + ∞

33.1. ( )0

105 1050 3

1 34 e 35P = = =

+ ×

33.2. ( )1,1244 10

10510 105

1 34 eP

− ×= ≈+ ×

33.3. ( ) ( )( )

1,11244

21,1244

105 34 1,1244 e

1 34e

t

tP t

− × × −′ = =+

( )

1,1244

01,1244

4014,108e0,

1 34e

t

tt

−+

−= > ∀ ∈

+ℝ

( ) 00,P t t +′ > ∀ ∈ℝ . Logo, P é estritamente crescente

( )1,1244

105 105 105lim lim 105

1 34e 1 34e 1 0tt tP t

− −∞→+∞ →+∞= = = =

+ + +

O número de elementos da população é crescente e, com o

decorrer do tempo, tende e aproximar-se de 105. Como a

função é crescente, aproxima-se de 105 sem ultrapassar

este valor.

33.4. ( ) ( )1,1244

1,1244

4014,108e

1 34e

t

tP t

−′ =

+ ( )23570 e

1 34e

kt

kt

k−=

+ com

1,1244k = − .

( )P t′′ =

( ) ( )

( )

22

4

3570 e 1 34e 3570 e 2 134e 34 e

1 34e

kt kt kt kt kt

kt

k k k− + − × ×= =

+

( )( )

( )

2

4

3570 e 1 34e 1 34e 2 34e

1 34e

kt kt kt kt

kt

k + − − + ×= =

+

( )

( )

2

3

3570 e 34e 1

1 34e

kt kt

kt

k −=

+

( ) 10 34e 1 0 e

34

kt ktP t′′ = ⇔ − = ⇔ =1

ln34

kt⇔ = ⇔

( ) ln 34ln 34kt t

k

−⇔ = − ⇔ =

x 0 ln34

k

− +∞

P” + + 0 –

P’ ր ց Máx.

P’ é máxima para ln 34

tk

= −

Como 1,1244k = − , a taxa de crescimento é máxima para

3,1362t ≈ .

3,1362 dias = 3 dias e 3 horas

34.1. ( )0,2

300

3 e tP t

A −=+

( )( )

( )

0,2

20,2

300 0,2 e

3 e

t

t

AP t

A

− −′ =

+

0,2

0,2 0,2

300 e0,2

3 e 3 e

t

t t

A

A A

− −= ×

+ +

( )0,2

0,2

e0,2 1 1

3 e

t

t

AP t

A

= − + =

+

( )0,12 0,2

0,2

3 e e0,2 1

3 e

t t

t

A AP t

A

− −

+ −= − =

+

( )0,2

30,2 1

3 e tP t

A −

= − + ( ) ( )

0,2 1100

P tP t

= −

34.2. ( ) 00P P= ⇔ 0 00

300 300

3 e 3P P

A A= ⇔ = ⇔

+ +

0 0 0 0300 3 300 3P AP A P P⇔ = + ⇔ = − ⇔

0

0 0

300 3 3003

PA A

P P

−⇔ = ⇔ = −

34.3. 0 3P = ;

3003 97

3A = − = ; ( )

0,2

300

3 97e tP t

−=+

a) ( )0,2

30030 30

3 97e tP t

−= ⇔ = ⇔

+0,210 3 97e t−= + ⇔

0,2 7

97e 7 0,2 ln97

t t−⇔ = ⇔ − = ⇔

7ln

9713,144

0,2t t

⇔ = ⇒ ≈−

13,144 h 13 h 9 min≈

b) ( )0,2

300

3 97e 3 et kt

AP t

B−= =+ +

( )( )( )2

3 e

3 e 3 e

kt

ktkt

A BAP t

B B

′′ − + ′ = = = + +

( )( )2

e

3 e

kt

kt

A kB

B

−=

+

( )2e

3 e

kt

kt

kAB

B

−=

+ ( )

0,2

20,2

5820e

3 97e

t

t

−=

+

Como ( ) 00,P t t +′ > ∀ ∈ℝ , P é estritamente crescente

( )0,2

300 300lim lim 100

3 97e 3 97 0tt xP t −→+∞ →+∞

= = =+ + ×

O número de bactérias aumenta com o decorrer do

tempo e tende a estabilizar em 100.

c) ( )( )2

e

3 e

kt

kt

kABP t

B

′ − ′′ = = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

4

e 3 e e 3 e

3 e

kt kt kt kt

kt

kAB B kAB B

B

′′ − + − − + =

+

( ) ( )( )

( )

22

4

e 3 e 2 e 3 e e

3 e

kt kt kt kt kt

kt

k AB B kAB B kB

B

− + − − +=

+

( )( )

( )

2 2 2 2 2 2 2

4

3 e 3 e e 2 e

3 e

kt kt kt kt

kt

B k AB k AB k AB

B

+ − − +=

+

( )

2 2 2 2

3

3 e e

3 e

kt kt

kt

k AB k AB

B

− += =

+

( )

( )

0,2 0,2

3

1164e 97e 3

3 97e

t t

kt

− − −=

+

300; 97

0, 2

A B

k

= =

= −

300; 97; 0,2

5820

A B k

kAB

= = = −

= −

2

300; 97

0,2

1164

A B

k

k AB

= =

= −

=

Page 44: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

124

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) 0,20 97e 3 0tP t −′′ = ⇔ − = ⇔ 0,2 3e

97

t− = ⇔

3

0,2 ln97

t ⇔ − = ⇔

3ln

9717,380

0,2t t

= ⇒ ≈−

Seja 1

3ln

97

0,2t

=−

.

x 0 1t +∞

P” + 0 –

P’ ր ց

Máx.

P’ é máxima para 17,380t ≈ .

17,380 h 17 h 23 min≈

34.4. 1t é a abcissa do ponto de inflexão.

35.1. ( )0

1200 0,597

1 200eh = ≈

+

A altura da árvore media 59,7 cm (aproximadamente).

35.2. a) ( )2

12010 4,3

1 200 eh

−= ≈+ ×

m

b) ( )4

12020 25,7

1 200eh

−= ≈+

m

35.3. ( )0,2

120 120lim lim 120

1 200e 1 200 0tt th t

−→+∞ →+∞= = =

+ + ×

Com o decorrer do tempo, a altura da árvore tende a

estabilizar em 120 m.

35.4. ( )0,2

120

1 200e 1 et kt

Ah t

B−= =+ +

( )( )( )2

1 e

1 e 1 e

kt

ktkt

A BAh t

B B

′′ − + ′ = = = + +

( )( )2

e

1 e

kt

kt

A kB

B

−=

+

( )2e

1 e

kt

kt

kAB

B

−= =

+ ( )0,2

20,2

4800e

1 200e

t

t

−+

( )( )2

e

1 e

kt

kt

kABh t

B

′ − ′′ = = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

4

e 1 e e 1 e

1 e

kt kt kt kt

kt

kAB B kAB B

B

′′ − + − − + = =

+

( ) ( )( )

( )

22

4

e 1 e 2 e 1 e e

1 e

kt kt kt kt kt

kt

k AB B kAB B kB

B

− + − − += =

+

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 2

4

1 e e e 2 e

1 e

kt kt kt kt

kt

B k AB k AB k AB

B

+ − − + =

+

( )

( )

22 2 2

3

e e

1 e

kt kt

kt

k AB k AB

B

− +=

+

( )( )

2

3

e 1 e

1 e

kt kt

kt

k AB B

B

− += =

+

( )

( )

0,2 0,2

30,2

960e 200e 1

1 200e

t t

t

− −

−=

+

( ) 0,20 200e 1 0th t −′′ = ⇔ − = 0,2 1e

200

t−⇔ = ⇔

( )0,2 ln 200t⇔− = −( )ln 200

0,2t⇔ = ⇒

26,4916t⇒ ≈

Seja ( )

0

ln 20026,4916

0,2t = ≈ .

t 0 0t +∞

h" + 0 –

h' ր ց

Máx.

A taxa de crescimento é máxima decorridos 26,5 anos,

aproximadamente.

Avaliação 2

Pág. 188

1. ( )2

1lnf x x

x= +

( )2

4 3 3

1 2 1 2 2x xf x

x x x x x

− −′ = + = − =

( )2

2 6 2 4

1 2 3 1 6xf x

x x x x

− ×′′ = − − = − +

2

4

6 x

x

−=

( ) 0 6 6f x x x′′ = ⇔ = − ∨ =

x 2 6 3

f " + 0 –

f ' ր ց

Máx.

( ) 1 2 6 2 4 2 6 66

3 6 96 6 6 6 6 6 6f

−′ = − = = = =×

Resposta: (A)

2. ( ) 4

5

x

f x =

e ( ) 5

4

x

g x =

( ) ( )0 1, 0 1f g= =

Os gráficos intersetam-se no ponto (0, 1).

(C) é falsa

Resposta: (C)

3. ( ) ( )12 ln 2 2 2 2 ln 2 1x xf x −′ = − = −

Resposta: (B)

4. ( ) e 2xg x′ = − − → ( ) 0,g x x′ < ∀ ∈ℝ

( ) exg x′′ = − → ( ) 0,g x x′′ < ∀ ∈ℝ

Resposta: (D)

5. ( )( ) ( )

( )2

11 1 ln

1

x x xx

f xx

− + − − ′ = =

+

( )2

11 1 ln

1

x x xx

x

+ − − − +=

+ ( ) ( )2 2

1 1 lnln

1 1

x xx

x x

x x

−−

= = =+ +

( )2

1 ln

1

x x

x x

−=

+

Resposta: (D)

6. ( ) 0,1

0 2 tQ t Q −= ×

( ) 0,1 0,1 1

0

1 12 2 2

2 2

t tQ t Q − − −= ⇔ = ⇔ = 0,1 1t⇔− = − ⇔

10t⇔ =

Resposta: (D)

120; 200

0,2

A B

k

= =

= −

120; 200; 0,2

4800

A B k

kAB

= = = −

= −

2

120; 200

0,2

960

A B

k

k AB

= =

= −

=

Page 45: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

125

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

7. ( ) 0,2200 20e xh x x −′ = +

( ) 0,2200 4e xh x −′′ = −

( ) 0,2 0,20 200 4e 0 e 50x xh x − −′′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔

ln50

0,2 ln 50 19,60,2

x x x⇔ − = ⇔ = ⇒ ≈ −−

Resposta: (C)

Pág. 189

8.1. { }\ 1fD =ℝ

8.2. ( ) ( ) ( )( )

1 1

1 12

1 11e e

1 1

x x

x xx xx

f xx x

+ +− −

′ − − ++ ′ = = = − − ( )

1

12

2e

1

x

x

x

+

−−

( ) 0, ff x x D′ < ∀ ∈

f é estritamente decrescente em ] [,1−∞ e em [ [1, +∞ .

f não tem extremos.

8.3. ( )( ) ( )

1 1

1 12 2

2 2e e

1 1

x x

x xf xx x

+ +− −

′ ′ − −′′ = + =

− −

( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 14 2 2

2 2 1 2 2e e

1 1 1

x x

x xx

x x x

+ +− −

× − −= − × =

− − −

( ) ( )

1 1

1 13 3

4 1 4e 1 e

1 11 1

x x

x xx

x xx x

+ +− − = + = × = − − − −

( )

1

14

4e

1

x

xx

x

+−=

( ) 0 4 0 0ff x x x D x′′ = ⇔ = ∧ ∈ ⇔ =

x −∞ 0 1 +∞f " – 0 + +

f ∩ 1

e ∪ ∪

P.I.

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em

] [, 0−∞ e voltada para cima em ]0, 1[e em ] [1, +∞ .

O ponto de coordenadas 1

0 ,e

é um ponto de inflexão.

8.4. f é contínua.

Assíntotas verticais:

( )21

1 0

1 1lim lim e e e 0

x

x

x xf x

− −

+−∞−

→ →= = = =

( )21

1 0

1 1lim lim e e e

x

x

x xf x

+

+ +

++∞−

→ →= = = = +∞

A reta de equação 1x = é uma assíntota ao gráfico de f

Assíntotas não verticais:

( )1

11lim lim e e e

x

x

x xf x

+−

→±∞ →±∞= = = dado que

1lim lim 1

1x x

x x

x x→±∞ →±∞

+= =

A reta de equação ey = é uma assíntota ao gráfico de f

em −∞ e em +∞ .

9.1. ( ) ( )6 3 3 1 6x xf x = ⇔ − = ⇔ ( )23 3e 6 0x x− − = ⇔

1 1 24

3 3 2 3 32

x x x± +⇔ = = = − ∨ = 1x⇔ =

{ }1S =

9.2. ( ) ( )2 23 3 2 3 ln 3 3 ln 3x x x xf x′′ = − = × − ( )3 ln 3 2 3 1x x= × −

10. :f →ℝ ℝ com ( ) ( )ln e ex xf x −= +

10.1. ,f fx D x D∀ ∈ − ∈

( ) ( ) ( )ln e e ,x x

ff x f x x D−− = + = ∀ ∈

Logo, f é uma função par.

10.2. Em −∞ : y mx b= +

( ) ( )ln e e

lim lim

x x

x x

f xm

x x

→−∞ →−∞

+= = =

( )2ln e 1 elim

x x

x x

→−∞

+

( )2ln e ln 1 e

lim

x x

x x

→−∞

+ += =

( )2ln 1 elim

x

x

x

x→−∞

− + +=

( )2ln 1 e

lim lim

x

x x

x

x x→−∞ →−∞

+−= +

01 1= − + = −−∞

( )( ) ( )lim lim ln e ex x

x xb f x x x−

→−∞ →−∞ = + = + + =

( )( )2lim ln e 1 ex x

xx−

→−∞ = + + =

=

( )2lim ln 1 e x

xx x

→−∞ = − + + + ( )2

lim ln 1 ex

x→−∞= + =

( )ln 1 0 0= + =

A reta de equação y x= − é assíntota ao gráfico de f em

−∞ .

Em +∞ :

( ) ( ) ( )2ln e e ln e e 1

x x x xf x

− − = + = + =

( ) ( )2 2ln e ln e 1 ln e 1x x xx− −= + + = + +

( ) ( )2ln e 1

lim lim

x

x x

xf xm

x x

→+∞ →+∞

+ += = =

( )2ln e 1

lim lim 1 0 1

x

x x

x

x x

→+∞ →+∞

+= + = + =

( )( ) ( )2lim lim ln e 1x

x xb f x x x x−

→+∞ →+∞ = − = + + − =

( ) ( )2lim ln e 1 ln 0 1 0

x

x

→+∞= + = + =

A reta de equação y x= é assíntota ao gráfico de f em +∞ .

Logo, o gráfico de f tem duas assíntotas perpendiculares, as

retas de equações y x= − e y x= dado que 1 1 1− × = − .

10.3. ( ) e e

e e

x x

x xf x

− +′ =+

( ) 0 e e 0 e e 0x x x xf x x x x− −′ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = − ⇔ =

x −∞ 0 +∞

f ′ – 0 +

f ց ln 2 ր

Mín.

f é estritamente decrescente em ] ], 0−∞ e estritamente

crescente em [ [0 , +∞ .

( )0 ln2f = é o mínimo aabsoluto de f.

10.4. Atendendo a 10.2. e 10.3., [ [ln2 ,fD′ = +∞

( ) ( )2lim ln e ln 1 ex x

xx−

→−∞ = + + +

Page 46: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

126

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Logo, a equação ( )f x k= é impossível se e só se

] [, ln2k∈ −∞ .

11.1. ( ) ( )2ln e e 1 1x xf x = − + −

{ }2: e e 1 0x x

fD x= ∈ − + >ℝ =ℝ

2e e 1 0x x− + > ⇔ ( )2e e 1 0x x− + >

Se exy = , 2 1 0y y− + > .

( )2e e 1 0,x x x− + > ∀ ∈ℝ

11.2. ( ) ( )2lim lim ln e e 1 1x x

x xf x

→−∞ →−∞ = − + − = ( )ln 0 0 1 1− + −

1= −

A reta de equação 1y = − é uma assíntota ao gráfico de f

em −∞ .

11.3. ( ) ( )2ln e e 1 1x xf x = − + − ( )2 2ln e 1 e e 1

x x x− − = − + − =

( ) ( )2 2ln e ln 1 e e 1x x x− −= + − + − =

( )22 1 ln 1 e ex xx − −= − + − +

11.4. ( ) ( )lim 2 1x

f x x→+∞ − − =

( )2lim 2 1 ln 1 e e 2 1x x

xx x− −

→+∞ = − + − + − + =

( ) ( )2lim ln 1 e e ln 1 0 0 0

x x

x

− −

→+∞= − + = − + =

Logo, a reta de equação 2 1y x= − é uma assíntota ao

gráfico de f em +∞ .

11.5. ( )( )2

2 2

e 2e 12e e

e e 1 e e 1

x xx x

x x x xf x

−−′ = =− + − +

( ) 10 2e 1 0 e ln 2

2

x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = −

x −∞ ln2− +∞f ' – 0 +

f ց ր

Mín.

( ) ( )2 ln 2 ln 2ln 2 ln e e 1 1f − −− = − + −1 1

ln 1 14 2

= − + − =

3

ln 14

= −

f é estritamente decrescente em ] ], ln2−∞ − e estritamente

crescente em [ [ln2 ,− +∞ .

( ) 32ln 2 ln 1

4f

− = −

é o mínimo absoluto de f.

11.6. ( )( )( ) ( )( )

( )

2 2 2 2

22

4e e e e 1 2e e 2e e

e e 1

x x x x x x x x

x xf x

− − + − − −′′ =

− +

( )

4 3 2 3 2 4 3 3 2

22

4e 4e 4e e e e 4e 2e 2e e

e e 1

x x x x x x x x x x

x x

− + − + − − + + −=

− +

( )( )( )

23 2

2 22 2

e e 4e 1e 4e e

e e 1 e e 1

x x xx x x

x x x x

− + −− + −= =

− + − +

( ) ( )20 e 4e 1 0x xf x′′ = ⇔ − + − = ⇔

4 16 4

e2

x − ± −⇔ =

4 2 3e

2

x ±⇔ =

e 2 3 e 2 3x x⇔ = − ∨ = +

( ) ( )ln 2 3 ln 2 3x x⇔ = − ∨ = +

Sejam ( )0 ln 2 3x = − e ( )1 ln 2 3x = + .

x −∞ 0x 1x +∞

f " – 0 + 0 –

f ∩ ∪ ∩ P.I. P.I.

O gráfico tem a concavidade voltada para baixo em

( ), ln 2 3 −∞ − e em ( )ln 2 3 , + + ∞ e voltada

para cima em ( ) ( )ln 2 3 , ln 2 3 − + . Os pontos de

abcissas ( )ln 2 3− e ( )ln 2 3+ são pontos de inflexão.

11.7.

12. ( ) ( )P t kP t′ = ; ( ) ( )0 ektP t P=

12.1. ( )0 1000P = ; ( )5 1335P = ; ( ) 1000ektP t =

5 51000e 1335 e 1,335k k= ⇔ = ⇔ ( )5 ln 1,335k = ⇔

( )ln 1,335

0,057795

k k⇔ = ⇒ ≈

12.2. ( ) 0,057791000e tP t −=

( ) 0,05779 2525 1000e 4241P ×= ≈

12.3. a) ( ) 6 0,05779 610 1000e 10tP t = ⇔ = ⇔

0,05779 3e 10t⇔ = 30,057 79 ln10t⇔ = ⇔

3ln10

119,532 min0,05779

t t⇔ = ⇒ ≈

119,532 min 119 min 32 s≈

b) ( ) 2000P t = ⇔ 0,057791000e 2000− = 0,05779e 2t⇔ =

ln 2

12 min0,05779

t t⇔ = ⇒ ≈

13. Seja ( )Q t a quantidade, em gramas do composto X, t

minutos após o início da reação.

Sabemos que ( ) ( )Q t kQ t′ = . Então, ( ) ektQ t A= sendo A

a quantidade inicial, em gramas, da substância X.

( ) 110

3Q A= e ( )15 20Q =

( ) 10 101 1 110 e e

3 3 3

k kQ A A A= ⇔ = ⇔ = ⇔

( ) ( )

ln 3110 ln 0,1ln 3

3 10k k k

− ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

( ) ( )0,1 ln 3e

tQ t A

−=

( ) ( )0,1 ln3 15

1,5ln3

2015 20 e 20

eQ A A

− ×

−= ⇔ = ⇔ = ⇔

1,5

1,5

1,5ln 3

20 203 20

3eA A A− −

⇔ = ⇔ = ⇔ = × ⇔

3 1

2 23 20 3 3 20 3 3 20A A A⇔ = × ⇔ = × × ⇔ = × ⇔

60 3 103,9A A⇔ = ⇒ ≈

60 3 g 103,9 gA = ≈

2

2

1 0

1 4 0

1 0,

y y

y y y

− + =∆ = − <− + > ∀ ∈ℝ

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127

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Avaliação global

Pág. 190

1. 2x yA − = e 3 8yA =

( )33 38 8 8 2y y y yA A A A= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2 2 2x

x y x y

y

AA A A

A

− = ⇔ = ⇔ =

2 2 2 4x yA A= = × =

Resposta: (A)

2. ( ) 410 ektf t =

( ) 4 4 3 43 8 10 10 e 8 10kf = × ⇔ = × ⇔

( )33 3e 8 e 8 e 8k k k⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

e 2 ln 2k k⇔ = ⇔ =

( ) ( )ln 2410 et

f t =

( ) ( )ln 2 0,540,5 10 e 14 140f×= ≈ 30 min = 0,5 h

Resposta: (C)

3. 22 8 2 12 0x x− × + = ( )22 8 2 12 0x x⇔ − × + = ⇔

8 64 48

22

x ± −⇔ = 2 2 2 6x x⇔ = ∨ = ⇔

( )2 21 log 6 1 log 2 3x x x x⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = × ⇔

2 2 21 log 2 log 3 1 1 log 3x x x x⇔ = ∨ = + ⇔ = ∨ = +

log3

1 1log 2

x x⇔ = ∨ = +

Resposta: (B)

4. ( ) 2 2

2

x x

f x−+

= ; ( ) 2 2

2

x x

g x−−

=

( ) ( )2 2log 3 log 3 2 2

2

2 2 2 2log 3 2

2 2f g

− −+ −− = − =

12log 3

14

3 2 4

2 2

− −+= −

1 13 4

3 4

2

+ − += =

7 51

512 12

2 2 24

− + −= = = −

5

24= −

Resposta: (A)

5. ( )( )2ln 1

1 3 2x

xf x

+=

− −

{ }2: 1 0 1 3 2 0

x

fD x x= ∈ + > ∧ − − >ℝ

1 3 2 0 3 2 1x x− − > ⇔ − < ⇔ 3 2 1 3 2 1x x− > − ∧ − < ⇔

3 1 3 3x x⇔ > ∧ < 0 1x x⇔ > ∧ < ⇔

] [0 ,1x⇔ ∈

] [0 ,1fD =

Resposta: (A)

6. ( ) 2e 1xf x x= − .

• ( ) ( )2 2 2 2e e e 2 ex x x xf x x x x′′ ′= + = + = ( )2e 2 1x x +

((A) é verdadeira)

• ( ) ( ) 10 2 1 0

2f x x x′ > ⇔ + > ⇔ > −

((B) é verdadeira)

• ( ) ( )2lim lim e 1

x

x xf x x

→+∞ →+∞= − = +∞ ((C) é verdadeira)

• ( ) ( )( )0

2lim lim e 1x

x xf x x

∞×

→−∞ →−∞= − = ( )( )2lim e 1y

yy −

→+∞− − =

2

lim 1e yy

y

→+∞= − − =

2

1 2lim 1

2 e yy

y

→+∞− − =

1

lim 12 euu

u

→+∞= − −

1 11

e2lim

u

u u→+∞

= − × − =

1 1 1

1 0 1 12 2

= − × − = − × − = −+∞

((D) é falsa)

Resposta: (D)

Pág. 191

7.1. a) ( )0

1,25 1,250 1

1 0,25 e 1,25M = = =

+ ×

( )0 1 gM =

b) ( )0,4

1,251 1,07

1 0,25 eM

−= ≈+ ×

( )1 1,07 gM ≈

7.2. ( ) ( )0,4

1,251,2 0 1,2 1

1 0,25et

M t M−

= ⇔ = × ⇔+

0,41,25 1,2 1,2 0,25 e t−⇔ = + × × ⇔ 0,40,3e 0,05t− =

0,4 0,05e

0,3

t−⇔ = ⇔1

0,4 ln6

t − =

ln 6

0,4t−

⇔ =−

4,4794t⇒ ≈ 4 h 28 min 46 st⇔ ≈

Ao fim de 4 h 28 min 46 s

7.3. ( )0,4

1,25 1,25lim lim 1,25

1 0,25e 1 0,25 0tt t

M t−→+∞ →+∞

= = =+ + ×

Com o decorrer do tempo a massa da cultura de bactérias

tende a estabilizar em 1,25 g.

7.4. [ ]( ) ( )

0 ,1

1 0t.v.m. 0,07 g/h

1 0

M M−= ≈

[ ]( ) ( )

1 , 2

2 1t.v.m. 0,05 g/h

2 1

M M−= ≈

No intervalo [0, 1] a massa da cultura de bactérias cresce a

uma velocidade média de 0,07 g/h enquanto que no intervalo

[1, 2] a velocidade média de crescimento é 0,05 g/h.

7.5. ( )0,4

1,25

1 0,25e 1 et kt

AM t

B−= =+ +

( )( )( )2

1 e

1 e 1 e

kt

ktkt

A BAM t

B B

′′ − + ′ = = = + +

( )( )2

e

1 e

kt

kt

A kB

B

−=

+

( )2e

1 e

kt

kt

kAB

B

−= =

+ ( )0,4

20,4

0,125e

1 0,25e

t

t

−+

( ) ( )0,4 3

0,4 3

0,5e3 0,03

1 0,25 eM

− ×

− ×′ = ≈

+ ×

No instante 3t = a massa da cultura de bactérias cresce à

velocidade de 0,03 g/hora.

7.6. ( )( )2

e

1 e

kt

kt

kABM t

B

′ − ′′ = = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

4

e 1 e e 1 e

1 e

kt kt kt kt

kt

kAB B kAB B

B

′′ − + − − + = =

+

,

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→−∞ →+∞

1,25; 0,25

0,4

A B

k

= =

= −

1,25; 0,25; 0,4

0,125

A B k

kAB

= = = −

= −

1,25; 0,25

0,4

A B

k

= =

= −

2u y

y u

=

→ +∞⇒ → +∞

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128

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

( ) ( )( )

( )

22

4

e 1 e 2 e 1 e e

1 e

kt kt kt kt kt

kt

k AB B kAB B kB

B

− + − − += =

+

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 2

4

1 e e e 2 e

1 e

kt kt kt kt

kt

B k AB k AB k AB

B

+ − − + = =

+

( )

( )

22 2 2

3

e e

1 e

kt kt

kt

k AB k AB

B

− +=

+

( )( )

2

3

e 1 e

1 e

kt kt

kt

k AB B

B

− += =

+

( )

( )

0,4 0,4

30,4

0,05e 0,25e 1

1 0,25e

t t

t

− −

−=

+

O sinal de M ” depende do sinal de ( )0,40,25e 1t− − .

0,4 0,4 0,410,25e 1 0 e e 4

0,25

t t t− − −− < ⇔ < ⇔ < ⇔

0,4 ln 4t⇔ − <ln 4

0,4t⇔ >−

A condição é universal em 0

+ℝ porque ln 4

00,4

<−

.

Logo, como 0t +∀ ∈ℝ , 0,40,25e 1 0t− − < temos:

( ) 00,M t t +′′ < ∀ ∈ℝ pelo que M ’(t) é decrescente em 0

+ℝ .

Assim, o valor máximo de ( )M t′ é ( )0 0,08M ′ = .

O crescimento foi máximo no instante 0t = e foi de

0,08 g/h .

8.1.

51,5

6000 1 6463,70100

C = + ≈

8.2. 1,5

6000 1 7500100

n

+ > ⇔

5001,015

6000

n 7> ⇔

1,015

5log

4n

⇔ >

( )( )

ln 1,2515

ln 1,015n n⇔ > ⇒ ≥

Ao fim de 15 anos.

8.3. 1,5

6000 1 12 000100

n

+ =

1,0151,05 2 log 2n n⇔ = ⇔ > ⇔

ln 2

47ln1,015

n > ≈ . Terão de passar 47 anos.

9.1. ( )

( )( )

022 0

0 0

3 3 13 9lim lim

ln 1 ln 1

xx

x x

x

x x x

+

→ →

−− = × =

+ +

( )

ln 32

0 0

e 13 lim lim

ln 1

x

x x

x

x x→ →

−= × =

+

ln 3

0 0

e 1 e 19 ln3 lim lim

ln3

x y

x yx y→ →

− −= × × × =

0

e 19ln 3 lim 1 9ln3 1 9ln 3

u

u u→

−= × × = × =

9.2.

( )

( )

02 12 2 0

5 5 5 11 0

e 1 e 1 1lim lim

e 5 1 e 1

xx

x xx x

x

x

−−

− −→ →

− − −= × =

− − −

( )

( )( )( )

2 1

5 11 0

5 1e 1 12lim lim

2 1 5 e 1

x

xx x

x

x

−→ →

−−= × ×

− −

0 0

e 1 12lim lim

5 e 1

u

vu v

v

u→ →

−= × ×

0

1 1 2 1 22 1

e 15 5 1 5lim

v

v v→

= × × × = × =−

9.3. ( )( )

0

1 11 lim ln 13 33

30

1lim 1 e e

e

xx

xx

xx

− −

→− = = =

Dado que:

( )0

1lim ln 1

3xx

x→

× − = ( )

( )0

0

1 1lim ln 1

3 xx

x

∞×

− − = −

0

1 1lim

3 e 1yy

y→

= − × × = −

0

1 1 1 1 1

e 13 3 1 3lim

y

y y→

= − × = − × = −−

10. ( ) 1

2 ln

xf x

x= −

10.1. { }: 0 ln 0fD x x x= ∈ > ∧ ≠ℝ

1

ln 0 ln 0 0 12

x x x x= ⇔ = ∧ > ⇔ =

] [ ] [0 ,1 1,D = ∪ +∞

A proposição é falsa.

10.2. Seja y mx b= + a assíntota ao gráfico de f, quando

x→+∞ , caso exista.

( ) 1 1 1 1 1

lim lim2 2 2lnx x

f xm

x x x→+∞ →+∞

= = − = − = +∞

( )( ) 1lim lim 0

lnx xb f x mx

x→+∞ →+∞

= − = − =

A reta de equação 1

2y x= é uma assíntota ao gráfico de f

quando x→+∞ .

A proposição é verdadeira.

10.3. ( ) 2f x < ; ( )2 2 2

2

2

e 1 e 1 ee 1 2

2 2 ln e 2ln ef = − = − = − >

A proposição é falsa.

10.4. ( ) 1 1 1

12 2ln ln2

xf x

x x

′ ′ ′ = − = − =

( ) ( )2 2

1

1 1 22

2 2ln ln

x

x x x

−= − × = +

A proposição é verdadeira.

Pág. 192

11.1. ( ) ( )e e e ex x x xg x x x′ = − + = −

( ) 0 0g x x′ = ⇔ =

x −∞ 0 +∞g' + 0 –

g ր 0 ց

Máx.

g é estritamente crescente em ] ], 0−∞ e estritamente

decrescente em [ [0 ,+∞ .

Como ( )0 0g = , ( ) { }0, \ 0g x x< ∀ ∈ℝ .

11.2. ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

e 1 e 1 e 1 e

e 1 e 1

x x x x

x x

x x xf x

′′ − − − − −′ = =− −

( )( )2e 1

x

g x=

O sinal de ( )f x′ é o sinal de ( )g x em { }\ 0ℝ .

2

1,25; 0,25;

0,4

0,05

A B

k

k AB

= =

= −

=

( )ln 1

e 1

e 1

0 0

y

y

y x

x

x

x y

= + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = −

→ ⇒ →

ln 3

0 0

u x

x u

=

→ ⇒ →

( )2 1

1 0

u x

x u

= −

→ ⇒ →

( )5 1

1 0

v x

x v

= −

→ ⇒ →

( )ln 1

e 1

e 1

0 0

y

y

y x

x

x

x y

= −

⇔ = −

⇔− = −→ ⇒ →

Page 49: Funções exponenciais e funções logarítmicaspedronoia.pt/12ano/mmaLivro12_res_4.pdf · 81 4 Funções exponenciais e funções logarítmicas Atividade de diagnóstico Pág. 118

129

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

Como ( ) { }0, \ 0g x x< ∀ ∈ℝ , f é estritamente decrescente

em ] [, 0−∞ e em ] [0 , +∞ pelo que não tem extremos.

11.3. f é contínua em ℝ \ {0}

Assíntotas verticais:

( )0 0

0

1 1lim lim 1

e 1e 1 1lim

xxx x

x

xf x

x

→ →

= = = =−−

O gráfico de f não tem assíntotas verticais.

Assíntotas não verticais

Em +∞ :

( ) 1 1lim lim lim 0

e 1e 1 0xxx x x

xf x

x x

→+∞ →+∞ →+∞= = = =

− +∞ −−

A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f,

em +∞ . Em : y mx b−∞ = +

( ) 1

lim lim 1e 1xx x

f xm

x→−∞ →−∞= = = −

( )lim lime 1xx x

xb f x x x

→−∞ →−∞

= + = + = −

e

lime 1

x

xx

x x x

→−∞

+ −= =

−( )1

lim lim ee 1

x

xx xx

→−∞ →−∞= × =

( )1lim e

0 1

y

yy −

→+∞= × − =−

1 1

1 lim 0ee

limyyy

y

y

y

→+∞

→+∞

= − × − = = = +∞

A reta de equação y x= − é uma assíntota ao gráfico de f

em −∞ .

11.4. Atendendo a 11.2. e 11.3., ] [ ] [0 ,1 1,fD′ = ∪ +∞

12.1. ( )1 1f = e ( )1 0f ′ =

( )2 2 3ln2f = −

( ) lnbx c

f x a b xx

+′ = + +

( )

( )( )

( )

( )

ln1 11 1

1 0 ln1 01

2 2 3ln 2 2 2 ln 2 2 3ln 2

a b cf

b cf a b

f a b c

+ + = = + ′ = ⇔ + + =

= − + + × = −

( ) ( )

1 1

1 0 1

2 2 ln 2 2 3ln 2 2 1 ln 2 3ln 2

a a

b c c b

b c b b

= =

⇔ + + = ⇔ = − − + + = − − − = −

1 1

1 1

1 3 2

a a

c b c

b b

= =

⇔ = − − ⇔ = − = − = −

12.2. ( ) ( )2 1 lnf x x x x= + − +

a) ( ) ( )0 0

lim lim 2 1 lnx x

f x x x x+ +→ →

= + − + = ( )0 1= + × −∞

= −∞

b) ( ) ( )( )

lim lim 2 1 lnx x

f x x x x∞−∞

→+∞ →+∞= + − + =

( )lim 2 ln lnx

x x x x→+∞

= − + =

ln

lim 1 2lnx

xx x

x→+∞

= − + =

( )1 0= +∞× −∞ + = −∞

12.3. ( ) ( ) ( ) 11 2 ln 2 1f x x xx

′ = + − + − +1

1 2ln 2xx

= − − + =

1

1 2ln xx

= − − +

( )2

1 12f x

x x′′ = − × − =

2

2 10,

xx

x

++− < ∀ ∈ℝ

( ) 0,f x x +′′ < ∀ ∈ℝ . Logo o gráfico da função f tem a

concavidade voltada para baixo em todo o domínio.

12.4. a) ( ) ( )2 1 lnf x x x x x x= ⇔ + − + = ⇔

( )2 1 ln 0x x⇔ − + = ⇔

( ) 12 1 0 ln 0 0 1

2x x x x x⇔ − + = ∨ = ∧ > ⇔ = ∨ =

O gráfico de f interseta a reta de equação y x= nos

pontos de abcissas 1

2 e 1 .

b) Atendendo a 12.3. e 12.4.: ] [10 , 1 ,

2x ∈ ∪ + ∞

13.1. 1

: 0 2 0f

D x xx

= ∈ ≠ ∧ − >

ℝ ] [ 1, 0 ,

2

= −∞ ∪ + ∞

x −∞ 0 1

2 +∞

2 1x − – – – 0 +

x – 0 + + +

2 1x

x

− + – 0 +

13.2. f é contínua.

Assíntotas verticais:

( )( )0

0 0

1lim lim ln 2x x

f x xx− −

×∞

→ →

= − =

1

lim ln2y

yy→+∞

= =−

ln

lnlim lim

221

y y

y

y y

y

y

→+∞ →+∞= =

− −

00

0 1= =−

( )1 1

2 2

1 1lim lim ln 2 ln 0

2x x

f x xx+ +

+

→ →

= − = × = −∞

A reta de equação1

2y = é assíntota vertical ao gráfico de f.

Assíntotas não verticais: y mx b= +

• Quando x→−∞ :

( ) 1

lim lim ln 2 ln 2x x

f xm

x x→−∞ →−∞

= = − =

( ) 1lim ln 2 lim ln 2 ln 2

x xb f x x x x

x→−∞ →−∞

= − = − − =

1

lim ln 2 ln 2x

xx→−∞

= − − =

( )01

lim ln 12x

xx

∞×

→−∞

= − =

1 1

lim 2 ln 12 2x

xx→−∞

= − − − =

0

0

1 1 1 1 1 1 1lim

e 12 e 1 2 2 1 2lim

yyy

y

y

y

= − × = − = − × = − −−

y x x y

x y

= − ⇔ = −

→−∞⇒ →+∞

lnlim 0x

x

x→+∞=

1 12 2

1

2

0

y yx x

xy

x y−

= − ⇔ = −

⇒ =−

→ ⇒ → +∞

1ln 1

2

1e 1

21

e 12

12

e 10

y

y

y

yx

x

x

x

x y

= −

⇔ = −

⇔ − = −

⇔ − =−

→ −∞⇒ →

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130

4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas

A reta de equação ( ) 1ln 2

2y x= − é uma assíntota do

gráfico de f em −∞ .

• Quando x→+∞

( ) 1

lim lim ln 2 ln 2x x

f xm

x x→+∞ →+∞

= = − =

( )lim ln 2x

b f x x→+∞

= − =

1 1

lim 2 ln 12 2x

xx→+∞

= − − − =

1 1 1

lim2 e 1 2

yyy

→+∞

= − × × = − −

A reta de equação ( ) 1ln 2

2y x= − também é assíntota

ao gráfico de f em +∞ .

Pág. 193

14.1. ( )( )

( )

0,9

20,9

1500 0,9 295e

5 295e

t

tP t

− − ×′ =

+ ( )

0,9

20,9

398 250e

5 295e

t

t

−=

+

( ) ( )0,9 1

300

P tP t

− =

( )0,9 0,9

1500 15000,9 1

5 295e 300 5 295et t− −

− = + +

( )

0,9

0,9 0,9

1350 1500 88 500e 1500

5 295e 300 5 295e

t

t t

− −

+ − = = + +

( ) ( )

( )0,9 0,9

2 20,9 0,9

1350 88 500e 398 250e

300 5 295e 5 295e

t t

t tP t

− −

− −

× ′= = =+ +

14.2. a) ( )0

15000 5

5 295eP = =

+

b) [ ]( ) ( )

0 ,1

1 0 12,0 5t.v.m. 7,0

1 0 1

P P− −= ≈ ≈

[ ]0 ,1t.v.m 7,0 indivíduos /semana≈

[ ]( ) ( )

1, 2

2 1 27,9 12,0t.v.m. 15,9

1 1

P P− −= ≈ ≈

[ ]1, 2t.v.m 15,9 indivíduos/semana≈

c) ( )0,9

1500200 200

5 295e tP t

−= ⇔ = ⇔

+

0,91500

5 295e200

t−⇔ = + ⇔ 0,97,5 5e

295

t−−= ⇔

1

0,9 ln118

t ⇔ − =

( )ln 118

0,19t−

⇔ = ⇔−

( )ln 118

0,9t⇔ =

Se ( )ln 118

0,9t = ,

( )( ) 1

ln 118,0,9

ln 1180,9 0,9 1e e e

118

t−− ×

− = = = ,

pelo que:

( )

2

1398250ln 118 3375118 60

0,9 56,2515 295

118

P

× ′ = = = + ×

Quando 200 indivíduos foram infetados a taxa de

crescimento era de 60 indivíduos/semana.

d) ( ) 0,P t t +′ > ∀ ∈ℝ . ( )P t é estritamente crescente.

0,9

1500 1500lim lim 300

5 295e 5 295 0tt t −→+∞ →+∞= = =

+ + ×

O número máximo de indivíduos infetados tende a

aproximar-se de 300.

14.3. ( )( ) ( )

0,9

2 20,9

398 250e e

5 295e 5 e

t kt

t kt

AP t

B

′ ′ ′′ = = = + +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

4

e 5 e e 5 e

5 e

kt kt kt kt

kt

A B A B

B

′′ + − + = =+

( ) ( )( )

( )

2

4

e 5 e 2 e 5 e e

5 e

kt kt kt kt kt

kt

kA B A B kB

B

+ − += =

+

( )( )

( )

2 2

4

5 e 5 e e 2 e

5 e

kt kt kt kt

kt

B kA kAB kAB

B

+ + −= =

+

( )

2

3

5 e e

5 e

kt kt

kt

kA kAB

B

−= =

+

( )( )3

e e 5

5 e

kt kt

kt

kA B

B

− −=

+

( )

( )

0,9 0,9

30,9

358 425e 295e 5

5 295e

t t

t

− −

−=

+

( ) 0,90 295e 5 0tP t −′′ = ⇔ − = ⇔ 0,9 5e

295

t− = ⇔

0,9 1

e59

t−⇔ = ⇔ ( )0,9 ln 59t⇔− = −ln59

0,9t⇔ =

x 0 ln59

0,9 +∞

P” + 0 –

P’ ր 0 ց

Máx.

ln 59

0,90,9

ln59 1500

0,95 295e

P− ×

= =

+

1500150

15 295

59

=+ ×

Quando a taxa de crescimento foi máxima, foram

infetados 150 indivíduos.

14.4.

15.

210

3000 1 3630100

× + =

; 4000 3630 370− =

O investidor não recuperou porque perdeu 370 €.

16.1. ( ) ( )24 e 24kt ktT t A A T t− −= + ⇔ = −

( ) ( ) ( )e 24ktT t kA T t k T−′ ′= − ⇔ = − −

16.2. ( ) ( )0 80 ; 24 ktT T t A−= = +

080 24 e 80 24 56A A A= + ⇔ = − ⇔ =

( ) ( )12 60 ; 24 56e ktT T t −= = +

12 12 60 24 960 24 56e e 12 ln 0,0368

56 14

k kk k

− − − = + ⇔ = ⇔ − = ⇒ ≈

16.3. ( ) 0,036830 24 56e 30tT t −= ⇔ + = ⇔ 0,0368 30 24e

56

t− −= ⇔

3

0,0368 ln28

t ⇔ − =

3ln

28

0,0368t

⇔ =

−60,7t⇒ ≈

Terão de decorrer 61 min, aproximadamente.

(tendo em contas os

cálculos já efetuados)

1ln 1

2

12

e 1

0

y

yx

x

x y

= − ⇔

⇔ − =−

→ +∞⇒ →

;

295

0, 9

398 250

B

k

A

=

= −

=

;

295

0, 9

358425

398 250

B

k

kA

A

=

= −

= −

=

( )e 24ktA T t− = −