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81
4 Funções exponenciais e funções logarítmicas
Atividade de diagnóstico
Pág. 118
1.1. 1
1 3 3 2 3
1 1n n
n n n nu u
n n n n+
+ − − − −− = − = − =
+ +
( ) ( )
2 22 3 3 30,
1 1
n n n n nn
n n n n
− − + − += = > ∀ ∈
+ +ℕ
1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.
1.2. 1
13 3 3 3 3 3 2 3 0,n n n n n n
n nu u n+
+ − = − = = × − = × > ∀ ∈ℕ
1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.
2.1.
1
1
5 5 5 5 5
2 2 2 2 2
n n n n
n nu u
+
+ − = − = × −
5 5 3 5
1 0,2 2 2 2
n n
n = − = × > ∀ ∈
ℕ
1 0,n nu u n+ − > ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente crescente.
2.2.
1
1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n
n nu u
+
+ − = − = × − =
1 1
0,2 2
n
n = − × < ∀ ∈
ℕ
1 0,n nu u n+ − < ∀ ∈ℕ . Logo, ( )nu é estritamente
decrescente.
2.3. ( )2n
nu = − ; 1 2 32 , 4 , 8u u u= − = = −
2 1u u> e
3 2u u<
Logo, ( )nu não é monótona.
3.1.
1
1
2 2
5 5
n n
n nu u
+
+ − = − =
2 2 3 2
1 0,5 5 5 5
n n
n = − = − × < ∀ ∈
ℕ
Logo, ( )nu é estritamente decrescente pelo que
1 ,nu u n≤ ∀ ∈ℕ .Como 1
2
5u = e
20,
5
n
n > ∀ ∈
ℕ :
20
5nu< ≤ , n∀ ∈ℕ
Logo, ( )nu é limitada.
3.2. Se n é ímpar: 1
0 1, nn
< ≤ ∀ ∈ℕ
Logo, 2 1,nu n− ≤ ≤ ∀ ∈ℕ , pelo que ( )nu é limitada.
4. Seja a condição em ℕ : 3n n≤
• Para 31, 1 1 1 1n = ≤ ⇔ ≤ é uma proposição verdadeira.
• Admitindo que para determinado 3,n n n∈ ≤ℕ
pretendemos provar que ( )31 1n n+ ≤ + .
( )3 3 21 3 3 1n n n n+ = + + +
3 31 1n n n n≤ ⇒ + ≤ + 3 21 1 3 3n n n n⇒ + ≤ + + + ⇒ 2
3 3 0,n n n+ > ∀ ∈ℕ
( )31 1n n⇒ + < +
Logo, a propriedade é hereditária.
Portanto, pelo princípio de indução matemática: 3,n n n≤ ∀ ∈ℕ
5. { }
1
1
4
2 , \ 1n n
a
a a n−
=
= + ∀ ∈ ℕ
Seja a condição ( ) 2 2nP n a n⇔ = +
• Para 1n = , vem 1 2 1 2 4na a= × + ⇔ =
Proposição verdadeira
• Admitamos, por hipótese, que para determinado
n∈ℕ , 2 2na n= + .
Pretendemos provar que ( )1 2 1 2na n+ = + + .
( )1 1 12n n
a a+ + −= + Fórmula de recorrência
2 na= + = 2 2 2n+ + Por hipótese
( )2 1 2n= + +
Logo, a propriedade é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática:
, 2 2nn a n∀ ∈ = +ℕ
6.
6
6 1
1 11 1
3 1 3643 361 1
1 2 2 729 24313 3
S u
− − = × = × = × − = −
7. 1 ,n na a r n+ − = ∀ ∈ℕ , dado que ( )na é uma progressão
aritmética de razão r:
1
11 ,n
n n
n
aa a rn
a
n
v kk k n
v k
+
+ −+ = = = ∀ ∈ℕ
Portanto, se ( )na é uma progressão aritmética de razão r,
( )nv é uma progressão geométrica de razão rk .
Pág. 119
8.1. 3 1
lim lim3 1 3 3
n n
n n
+= =
+
8.2. 2 21
lim lim lim2 1 2 2
n n n
n n
+= = = +∞
+
8.3. 2 2
1lim lim lim 0
3
n n
n n n= = =
+
8.4. 3 3
3 3
1 2 1lim lim
2 4 2 2 2
n n n
n n n
+ − −= = −
− +
8.5. lim 1n a =
8.6. 25 1 25 25 5
lim lim9 9 3
n n
n n
−= = =
8.7. 2 2 2
2 2
1 1lim lim lim 1 1
n n n
n n n
+ += = = =
8.8.
2
1 11 1
1lim lim lim
5 5 5
n n n
n n n
n n
− −−= = =
11
lim5
n
n
−= = −∞
8.9. 2
5 5lim 0
9 1n n= =
+∞− +
8.10. ( )( )
lim 2 1n n∞−∞
− − =
( )( )2 1 2 1
lim2 1
n n n n
n n
− − + −= =
+ −
( )2 1 1
lim lim2 1 2 1
n n n
n n n n
− − − += = =
+ − + −
82
4.1. Limites notáveis
2 2
1 11 1
lim lim2 12 1
nn n
n nn nn
n nn n
− + − + = = =
−− ++
2
11
1 0lim
01 2 1
n
n n n
+
− + − += = = −∞
+ −
8.11.
13 3 3 3lim lim lim 3
4 4 4
nn n
n n
+ × = = ×
0 3 0= × =
8.12.
2
2
2 4 42 4 4 4lim lim
34 31
4
n n
n nn n
nn n
n
+×
++= =
−−
216
0 164lim
1 031
4
n
n
+ + =− −
16=
8.13. ( ) ( )1 2lim 3 2 lim 3 3 3 0
3
n
n n n+ − = − = +∞× − = +∞
8.14.
2
22
11
1lim lim
2 1 2 1
n nnn n
n n
+ − + − = =+ +
2
11
lim2 1
n nn
n
+ −= =
+
2
11 1
lim 11
2
nn
nn
+ −
= +
8.15.
13
2 3 0 32lim lim 3
2 1 0 111
2
n
n
nn
−
−
+ + + = = =+ + +
8.16. ( )
21
2 0 1lim lim 0
22
n
n n
n n
b b
b
− − − = = =+∞
8.17.
21
2 0 1 1lim lim
2 2 2 2
n
n n
n
b b
b
− − − = = = −
Atividade inicial 1
Pág. 120
1. 1061, 2080 0,02 21, 224 16× =
1061, 2080 21, 224 16 1082, 43+ ≈
Ao fim do quarto ano terá 1082,43 €.
2. 0 1100
nr
C C = +
32
1000 1100
= +
1061, 208= €
Pág. 122
1. 2,5%r = ;
102,5
5000 1 6400,42 €100
C = + ≈
O capital acumulado ao fim dos 10 anos será de 6400,42 €.
Pág. 123
2. 0 10000, 3,6%C r= =
2.1.
23,6
10 000 1 10 363,24100 2
C = + ≈ ×
Capital cumulado: 10 363,24 €
2.2.
43,6
10 000 1 10 364,89100 4
C = + = ×
Capital cumulado: 10 364,89 €
3. Opção BTC
365
0 0
1,81 1,018
100 365C C C
= + ≈ ×
Opção BCT
365
0 0
1,71 1,017
1000 365C C C
= + ≈ ×
A melhor opção é a BTC.
4.
4 45082
5000 1 5082 1100 4 400 5000
r r + = ⇔ + = ⇔ ×
4 42541 2541
1 1400 2500 400 2500
r r⇔ + = ⇔ = − ⇔
42541
400 400 1,632500
r r⇔ = − ⇒ ≈
% 1,63%r ≈
Pág. 126
5.1.
5 5
51 5lim 1 lim 1 e
5
n n
n n
+ = + =
5.2.
2 2
63 6lim 1 lim 1 e
2
n n
n n
−− − + = + =
5.3.
6 6
42 4lim 1 lim 1 e
3 6
n n
n n
− − = − =
Pág. 127
5.4. 1
2
1
1 2lim 1 lim 1 e e2
n
n
n n
+ = + = =
5.5.
3 2 3 22 2 2
lim 1 lim 1 1
n n
n n n
− − + = + × + =
3 2
6 66 2lim 1 lim 1 e 1 e
3
n
n n
− = + × + = × =
5.6.
( )1 3 3 12 2
lim 1 lim 13 3
n n
n n
− + − − + = + = + +
3 4
2 22 2lim 1 lim 1 e 1 e
3 3
n
n n
+ − = + × + = × = + +
5.7.
2 21 1 1
lim 1 lim 1 lim 1
n n
n n n
− − − −− + = + × + = −
1 2 1e 1 e− − −= × =
5.8.
2 55 1
lim lim5 3
n nn
n
+ = +
11
5
5
n
n
+
2
31
5
n
n
=
+
2
1
5lim 1
3
5lim 1
n
n
n
n
+
+
21
22 455 5
3
5
ee e
e
− −
= = =
83
4.1. Limites notáveis
Pág. 128
6.1.
2
2
2 2
21
12 1 2lim lim
22 21
2
n
n
n n
n
n
+
× + +
= = + +
42
2
1lim 1
2
2lim 1
2
n
n
n
n
+ = +
( )4
14
1 4
2
ee e
e
− − = = =
6.2. ( ) ( )
( )
2
31 ! 3lim
2 !
n
n n
n
+ + = +
( ) ( )( )( )
21 321 ! 3
lim2 1 !
n
n n
n n
+ + = + +
33
lim2
n
n
n
+ = = +
1
31
13 333
2
3lim 1
ee e
e2lim 1
n
n
n
n
+ = = = +
6.3.
2 12
2
3 7 2lim
3
n
n n
n n
+ + +
= +
( )( )
2 12 1
2
2 3 16 2lim 1 lim 1
3 3 1
nnnn
n n n n
++ ++ = + = + = + +
2 1 2
12 2 4lim 1 lim 1 lim 1 1
2
n n
n n n
= + × + = + × =
4 4e 1 e= × =
6.4.
2 22 3
lim lim3 1
n nn
n
+ = +
31
2
3
n
n
+
2
11
3
n
n
=
+
2
2
3
3
2lim 13
12 22
lim lim13 31
133 lim 1
n
n
n
n
nn
nn
+ + = × = × = + +
23
2
1
3
e0 0
e
= × =
6.5.
2
2
35 1
5 3lim lim
221
n
n nn n
nn
n
+ + = = + +
1
21
3 2
2
3lim 1
elim5
e2lim 1
n
n
n
n
n
+ = × = +∞× = +∞ +
Pág. 132
7.1. ( ) 2
66 2
12 3 4 3 3
3 3
2 22 2
2 2
×− × −= = = 2 3 3 32 2−= =
7.2. ( ) 22 8 2 8 2 2 2 3 2 3 23 3 3 3 3 3 27+ +× = = = = =
8.1.
2
2 2lim 1 lim 1
nn
n n
− = − =
2 2
lim 1 1
n
n n
= − + =
2 2 02 2lim 1 lim 1 e e e 1
n n
n n
− = − × + = × = =
8.2.
2
22
2 2
22
2
22 1
2 4lim lim
12 12 1
2
n
n nn n
nn
n
− − = = − −
2
2 21 1
lim1 1
1 12 2
n
n n
n n
− + = = − +
2
2
2 2
1 1
2 2
2 2lim 1 lim 1
e e
1 1e e
2 2lim 1 lim 1
n n
n n
n n
n n
−
−
− × + × = =
× − × +
2 20
0
e 11
e 1
= = =
8.3.
1e e e
e 1 e 1lim 2 lim 2
e e e
n n
n n
n n n
+ × +
− = − − =
e e e e
e1 elim 2 1 lim 1 e
e e e
n n
n n
× ×− = − − = − = ×
Pág. 134
9.1. 62 22 64 2 2x x
= ⇔ = ⇔ 6 122
xx= ⇔ =
{ }12S =
9.2. 1 3
1 3
2162 162 3 2
3
x
x
++
= ⇔ × = ⇔
1 3 1 32 1
3 3162 81
x x+ +⇔ = ⇔ = ⇔
1 3 1 3 4
4
13 3 3
3
x x+ + −⇔ = ⇔ = ⇔
5
1 3 4 3 53
x x x⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −
5
3S
= −
9.3. ( )2 32 3 1 2 19 3 3 3
xx x x
++ + += ⇔ = ⇔
4 6 13 3 4 6 1x x x x+ +⇔ = ⇔ + = + ⇔
5
3 53
x x⇔ = − ⇔ = −
5
3S
= −
2 2
2
3 7 2 3
3 1
6 2
n n n n
n n
n
+ + +
− −
+
84
4.1. Limites notáveis
9.4. ( )5 15 1 38 2 0 2 2
xx
−− − = ⇔ = ⇔
1
15 3 21
2 2 15 32
x x−⇔ = ⇔ − = ⇔
1 7 7
15 3 152 2 30
x x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =
7
30S
=
9.5. ( ) ( ) ( )2
2 11 2 34 8 2 2
x xx x
− −− − = ⇔ = ⇔
( )22 2 3 4 4 32 2 2 2x x x x− − − −⇔ = ⇔ = ⇔
4 4 3 4x x x⇔ − = − ⇔ =
{ }4S =
9.6. 1 2 12 2 2 2 40x x x x+ − −− + − =
2 12 2 2 2 2 2 2 40x x x x− −⇔ × − × + × − = ⇔
1 1
2 2 1 404 2
x ⇔ −× + − = ⇔
5 4
2 40 2 404 5
x x⇔ × = ⇔ = × ⇔
52 32 2 2 5x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =
{ }5S =
9.7. 22 5 2 4 0x x− × + = ⇔ ( )2
2 5 2 4 0x x− × + = ⇔
5 25 16
22
x ± −⇔ = 2 1 2 4x x⇔ = ∨ = ⇔
0 22 2 2 2x x⇔ = ∨ = 0 2x x⇔ = ∨ =
{ }0 , 2S =
9.8. 35 4 5 5 5x x x−− × = × ⇔
( )35 4 5 5 5 5 5x x x x x−⇔ − × × = × × ⇔
4 25 4 5 5x x⇔ − × = ⇔ ( )22 25 4 5 5 0x x− × − =
2 4 16 20
52
x ± +⇔ = ⇔ 2 25 1 5 5x x= − ∨ =
A equação 25 1x = − é impossível
2 15 5xx⇔ ∈∅ ∨ =1
2 12
x x ⇔ = ⇔ =
1
2S
=
10. ( ) 4 8xf x = − ( ) 22 24xg x += +
Ponto A: ( ) 00 4 8 7f = − = − → ( )0 , 7A −
Ponto B:
( ) ( ) 24 8 2 24x xf x g x += ⇔ − = + ⇔
( )2 22 2 2 32 0x
x⇔ − × − = ( )2
2 4 2 32 0x x⇔ − × − =
4 16 128
22
x ± +⇔ =
4 122
2
x ±⇔ = ⇔
2 4 2 8x x⇔ = − ∨ = ⇔ 32 2 3xx x∈∅ ∨ = ⇔ =
( ) 33 4 8 56f = − = → ( )3 , 56B
Ponto C: ( ) 0 20 2 24 28g += + = → ( )0 , 28C
[ ]( )28 7 3abcissa de
2 2ABC
AB BA
− − ××= =
35 3
2
×=
52,5=
[ ] 52,5 u.a.ABC
A =
Pág. 135
11.1. 1 1 4
0,045 5 100
x x
> ⇔ > ⇔
1 1
5 25
x
> ⇔
21 1
5 5
x
⇔ > ⇔
2x < ; ] [, 2S = −∞
11.2. 225 5 0 5 5 2x x x− ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ; [ [2 ,S = + ∞
11.3. 2 22 5 2 5 25
2 0,25 2100
x x x x− −< ⇔ < ⇔
2 22 5 2 5 21
2 2 24
x x x x− − −⇔ < ⇔ < ⇔
22 5 2x x⇔ − < − ⇔ 22 5 2 0x x− + < ⇔
1
, 22
x ⇔ ∈
; 1
, 22
S =
11.4. 10 2 5 0x x− × > ⇔ 10 2 5x x> × ⇔
110
2 2 2 15
xx
xx⇔ > ⇔ > ⇔ >
] [1 ,S = + ∞
11.5. ( )223 9 10 3 3 10 3 9 0x x x x+ ≥ × ⇔ − × + ≥
Fazendo 3xy = , vem:
2 10 9 0y y− + ≥ ⇔ 1 9y y≤ ∨ ≥ ⇔
3 1 3 9x x⇔ ≤ ∨ ≥ 0 23 3 3 3x x⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔
0 2x x⇔ ≤ ∨ ≥ ] ] [ [, 0 2 ,x⇔ ∈ −∞ ∪ + ∞
] ] [ [, 0 2 ,S = −∞ ∪ + ∞
11.6. 2 25 3 10 5x x−− > × ⇔ ( )2 2 2 25 3 5 10 5 5x x x x−− × > × × ⇔
( )22 25 3 5 10 0x x⇔ − × − >
Fazendo 25 xy = , temos:
2 3 10 0y y− − > ⇔ 2 5y y< − ∨ > ⇔
2 2 15 2 5 5x x⇔ < − ∨ > 2 1x x⇔ ∈∅∨ > ⇔
1
2x⇔ >
1
,2
S = + ∞
12.1. ( ) ( ) 2 200 0 4 2 18 10 8
2AB f g= − = + − = − =
12.2. 0 F∉ , porque ( ) ( )0 0 1f g− > .
12.3. ( ) ( ) 3 2
1 3
201 4 2 1
2
x
xf x g x
+−
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔
3 2 3 14 4 20 2 1 0x x−⇔ × − × + ≤ ⇔
( )32 3 12 16 20 2 2 1 0
xx −⇔ × − × × + ≤ ⇔
( )23 316 2 10 2 1 0x x⇔ × − × + ≤
Fazendo 32 xy = :
216 10 1 0y y− + ≤ ⇔1 1
8 2y y≥ ∧ ≤ ⇔
3 3 1
3
12 2 2
2
x x −⇔ ≥ ∧ ≤ ⇔
3 32 2 3 1x x−⇔ ≥ ∧ ≤ − ⇔
1
3 33
x x⇔ ≥ − ∧ ≤ −1
13
x x⇔ ≥ − ∧ ≤ −
1
1,3
F = − −
2
Cálculo auxiliar
3 10 0
3 9 40
22 5
y y
y
y y
− − = ⇔
± +⇔ = ⇔
⇔ =− ∨ =
2
Cálculo auxiliar
16 10 1 0
10 100 64
321 1
8 2
y y
y
y y
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
2
Cálculo auxiliar
2 5 2 0
5 25 16
41
22
x x
x
x x
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
2
Cálculo auxiliar
10 9 0
10 100 36
21 9
y y
y
y y
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
85
4.1. Limites notáveis
Pág. 136
13.1. ( )
0
0
0 0 0
2 e 12e 2 2 e 1lim lim lim
3 3 3
xx x
x x xx x x
→ → →
−− −= = =
2 21
3 3× =
13.2.
0
0
0 0
e 1 e 1lim lim
x x
x xx x
− −
→ →
− −= − =
− 0
e 1lim 1
y
x y→
−− = −
13.3.
0
0
330 0
e 1
e 1lim lim
e 1e 13
3
x
x
xxx x
xx
xx
→ →
−×−
= =−−
×
0
3
0
e 1lim
1
e 13lim
3
x
x
x
x
x
x
→
→
−
× =−
0
1 1
e 13lim
y
y y→
= ×−
1 1 1
3 1 3= × =
13.4. ( )2 22
2 2
e e 1e elim lim
2 2
xx
x xx x
−
→ →
−−= =
− −
22
2
e 1e lim
2
x
x x
−
→
−=
−
2
0
e 1e lim
y
y y→
−= × 2 2e 1 e= × =
13.5.
1
lim e 1x
xx
→+∞
− =
( )
0
1lim e 1
y
y y→
− =
0
e 1lim 1
y
y y→
−= =
Pág. 137
14.1. 4
2 2log 16 log 2 4= =
14.2. 1
2 2
1log log 2 1
2
−= = −
14.3.
5
5 22 2 2
5log 32 log 2 log 2
2= = =
Pág. 138
15.1. 5
2 2log 32 log 2 5= =
15.2. 1
10 10log 10 log 10 1= =
15.3. 3
3 3 33
1 1log log log 3 3
27 3
− = = = −
15.4.
2
2
1 1 1
4 4 4
1log 16 log 4 log 2
4
− = = = −
15.5. 2
9 9log 81 log 9 2= =
15.6.
1
281 81 81
1log 9 log 81 log 81
2= = =
15.7. 3
5 5log 125 log 5 3= =
15.8. ( )5 5 1
5 32 3 38 8 8 8
log 32 log 2 log 2 log 2×
= = = =
( )51 5
32 3
8 8
5log 8 log 8
3
×= = =
ou
( ) ( )5 3
8log 32 32 8 2 2
yy
y= ⇔ = = = ⇔
55 3 3
72 2 23 5
2 2 2 22 2
yy y
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
5
3 53
y y⇔ = ⇔ =
Logo, 8
5log 32
3=
15.9. 0
7 2 1 7 2 4
32
1 1log 1 log log 4 log 7 log
16 2y
+ + = + + =
4
2
2 2 220 log 2 4
5 5 5
− = + + − = − − = −
Pág. 139
16.1. ( ) ( )2
22 2 41log 0,01 log log 10 log10 4
100
− − = = = = −
16.2.
333 2 32
3 3
0,001 10 10log log log log10
1000 10 10
−− − − = = = =
9
29
log102
−= = −
16.3.
2
3 2 32
ln e ln e3
= =
16.4. ( )1
21
2
1 1ln ln e e ln ln e e
ee
+ = + × =
1 11
2 21 3
ln e ln e 12 2
− += + = − + =
Pág. 140
17.1. 1 12 6 0 2 6x x+ +− = ⇔ = ⇔ 2 2 6 2 3x x× = ⇔ = ⇔
2log 3x⇔ =
{ }2log 3S =
17.2. e 10 ln10x x= ⇔ =
{ }ln10S =
17.3. ( ) 3 225 3 91,5 2,25
2 100 2 4
x xx = ⇔ = ⇔ = ⇔
23 3
22 2
x
x ⇔ = ⇔ =
{ }2S =
17.4. 1 12 3 2 3 0x x+ −− × − = ⇔ 12 2 3 2 2 3 0x x −× − × × − = ⇔
3
2 2 2 3 02
x x⇔ × − × − = ⇔3
2 2 32
x − × = ⇔
1
2 32
x⇔ × = ⇔2
2 6 log 6x x= ⇔ =
{ }2log 6S =
17.5. 2 3 0xx x× − = ⇔ ( )2 3 0 0 2 3x xx x− = ⇔ = ∨ = ⇔
20 log 3x x⇔ = ∨ =
{ }20 , log 3S =
17.6. ( )22e 1 e 2 e e 0
e
x x x x
x− = ⇔ − = ∧ ≠ ⇔
( )2 1 1 8e e 2 0 e
2
x x x ± +⇔ − − = ⇔ = ⇔
e 1 e 2 ln 2x x x x⇔ = − ∨ = ⇔ ∈∅ ∨ = ln 2x⇔ =
{ }ln 2S =
( )2 2 5
1 5
32
2 5
Cálculo auxiliar
1 1log 4 4 2 2 2
32 2
22 2 5 2
5
y yy
y
y
y y
−
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
3
Se 0, 0
y x
x y
=
→ →
2
Se 2, 0.
y x
x y
= −
→ →
1 1
Se , 0.
y xx y
x y
= ⇔ =
→+∞ →
Se 0, 0
y x
x y
= −
→ →
86
4.1. Limites notáveis
17.7. 19 2 3 5 0x x+− × + = ⇔ ( )23 2 3 3 5 0x
x− × × + = ⇔
( )2
3 6 3 5 0x x⇔ − × + =6 36 20
32
x ± −⇔ = ⇔
6 4
32
x ±⇔ = 3 1 3 5x x⇔ = ∨ = ⇔
3 3log 1 log 5x x⇔ = ∨ = 30 log 5x x⇔ = ∨ =
{ }30 , log 5S =
17.8. 6 32e 3 5ex x− = ⇔ ( )23 32 e 5e 3 0x x− − = ⇔
3 3 35 25 24 1
e e e 34 2
x x x± +⇔ = ⇔ = − ∨ = ⇔
1
3 ln3 ln 33
x x x⇔ ∈∅∨ = ⇔ =
1
ln33
S =
18. ( ) ( )( ) ( )
1
2
1 1 4 3 2
2 2 16 3 2
b
b
f g a
f g a
+
+
= + = × ⇔ ⇔ = + = ×
( ) 2 1
2
16 4 3 2 3 2
16 3 2
b b
b
a a
a
+ +
+
+ − + = × − ×⇔ ⇔+ = ×
( )2 1
2
12 3 2 2
16 3 2
b b
ba
+ +
+
= −⇔ ⇔
+ = ×
2 1
2
2 2 4
16 3 2
b b
ba
+ +
+
− = ⇔+ = ×
2
2 4 2 2 4
16 3 2
b b
ba +
× − × =⇔ ⇔+ = ×
2
2 2 4
16 3 2 2
b
ba
× = ⇔+ = × ×
12 2
816 12 2
b b
aa
= = ⇔ ⇔
=+ = ×
8a = e 1b =
Pág. 145
19.1. 24 2ln3 ln 3 ln9
lne e 4 e 4 e 4 9 13+ = + = + = + =
19.2. 5
ln 4 5ln 6 10ln 32
− + =1
5 ln 4 ln 6 2ln 32
− + =
( )1
225 ln 4 ln 6 ln 3
= − + =
45 ln ln3
6
+ =
2
5ln 3 5ln1 5 0 06
= × = = × =
19.3. ( )2
ln 52 2 ln 5 2 2 ln 5 2 2e e e e e e 5 5e+ = × = × = × =
19.4. 3
lnln 3ln
3ln
ee
e
aa b
b
a
b
− = =
19.5. ( )3 3log log log 3a
a b ab a= =
20. log1 1
log2 log 2
bc
b
bb
c= ⇔ = ⇔
1 1log 2
log 2b
b
cc= ⇔ =
log1 1
log3 log 3
ab
a
aa
b= − ⇔ = − ⇔
1 1
log 3a b= − ⇔
log 3a b⇔ = −
20.1. 2
2log log log
a a a
aa b
b
= − =
1
2log 2loga a
a b− =
( )1 1 132 3 6
2 2 2= − × − = + =
20.2. ( )1
3 32log log loga a a
b a b a× = + =1
log 32
a b + =
( )1 33 3
2 2= × − + =
20.3. 1 1
log 2 2 2 41log
2
b
c
cb
+ = + = + =
20.4. 113
2322
log log logb b b
b ab a c
c
×= × − =
11
32log log 2logb b bb a c= + −
1 1log 2 2
2 3b a= + − × =
( ) ( )( )18
9 2
1 1 1 1 14 4
2 3 3 2 9 ×× ×
= + × − − = − − =
9 2 72 65
18 18
− −= = −
21.1. ( ) ( ) ( )22
2 22log 1 log 1f x x x= − − + =
( ) ( )2
2 22log 1 2log 1x x= − − + =
( ) ( )2
2
2 2 2
12 log 1 log 1 2log
1
xx x
x
− = − − + = = +
( )( )
2
1 12log
1
x x
x
− += =
+( )22log 1x −
21.2. ( ) ( )20 2log 1 0 1f x x x= ⇔ − = ∧ > ⇔
( )2log 1 0 1x x⇔ − = ∧ > 01 2 1x x⇔ − = ∧ > ⇔
1 1 1x x⇔ − = ∧ > 2x⇔ =
Pág. 146
22.1. ( )3log 1 2x − = ⇔ 21 3 1 0x x− = ∧ − > 10x⇔ =
{ }10S =
22.2. ( )32log 1 2 1 0x x− = ∧ − > ( )3log 1 1x x⇔ − = ∧ > ⇔
11 3 1x x⇔ − = ∧ > 4x⇔ =
{ }4S =
22.3. ( )2
3log 1 2x − = ⇔ ( ) ( )2 221 3 1 0x x− = ∧ − > ⇔
( )1 3 1 3 1 0x x x⇔ − = ∨ − = − ∧ − ≠ ⇔
4 2x x⇔ = ∨ = −
{ }2 , 4S = −
22.4. ( )2 2 2log 5 log 2 log 10x+ − = ⇔
( )2 2log 5 2 log 10 2 0x x⇔ − = ∧ − >
5 10 10 2x x⇔ − = ∧ > 5 20 2x x⇔ = ∧ > 4x⇔ =
{ }4S =
22.5. ( ) ( )ln 3 ln 2 1 0x x− + = ⇔
( ) ( )ln 3 ln 2 1 3 0 2 1 0x x x x⇔ = + ∧ > ∧ + > ⇔
1
3 2 1 02
x x x x⇔ = + ∧ > ∧ > − 1x⇔ =
{ }1S =
22.6. ( )5 52log log 5 4x x+ = ⇔
( )2
5 5log log 5 4 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔
( )2
5log 5 4 0x x x⇔ × = ∧ > ⇔ 3 45 5 0x x= ∧ > ⇔
3 35 0x x⇔ = ∧ > 5x⇔ =
{ }5S =
1 0x + >
87
4.1. Limites notáveis
22.7. ( )2 2log 1 1 log 3x + = − ⇔
( )2 2log 1 log 3 1 1 0x x⇔ + + = ∧ + > ⇔
( )2log 3 1 1 1x x⇔ + = ∧ > − ⇔
1 1
3 3 2 13
x x x⇔ + = ∧ > − ⇔ = −
1
3S
= −
22.8. ( )( )2 3log log 1 1x + =
( ){ }3: 1 0 log 1 0D x x x= ∈ + > ∧ + > =ℝ
{ }0: 1 1 3x x x= ∈ > − ∧ + > =ℝ
{ }: 1 0x x x += ∈ > − ∧ > =ℝ ℝ
( )( )2 3log log 1 1x + = ⇔ ( )3log 1 2 0x x+ = ∧ > ⇔
21 3 0x x⇔ + = ∧ > 8x⇔ =
{ }8S =
22.9. ( )2
2log 3 2x x+ + = ⇔
{ }2: 2 0 2 1 3 0D x x x x= ∈ + > ∧ + ≠ ∧ + > =ℝ
] [ ] [2 , 1 1 ,x= ∈ − − ∪ − + ∞
( )2
2log 3 2x x+ + = ⇔( )( )
2ln 32
ln 2
xx D
x
+= ∧ ∈ ⇔
+
( ) ( )2ln 3 2ln 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔
( ) ( )22ln 3 ln 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔
( )22 3 2x x x D⇔ + = + ∧ ∈ ⇔
2 23 4 4x x x x D⇔ + = + + ∧ ∈ ⇔
1
4 14
x x D x⇔ = − ∧ ∈ ⇔ = −
1
4S
= −
Pág. 147
22.10. ( )2
3 9log 9 log 1 1x x x+ + − + =
{ }2: 9 0 1 0D x x x x= ∈ + + > ∧ + > =ℝ
] [1 ,= − + ∞
( )2
3 9log 9 log 1 1x x x+ + − + = ⇔
( ) ( )132 2
3
3
log 1log 9 1 1
log 9
xx x x
+⇔ + + − = ∧ > − ⇔
( ) ( )32
3
log 11log 9 1 1
2 2
xx x x
+⇔ + + − = ∧ > − ⇔
( ) ( )2
3 3log 9 log 1 2 1x x x x⇔ + + − + = ∧ > − ⇔
( ) ( )2 2
3 3 3log 9 log 3 log 1 1x x x x⇔ + + = + + ∧ > − ⇔
( ) ( )( )2
3 3log 9 log 9 1 1x x x x⇔ + + = + ∧ > − ⇔
2 9 9 9 1x x x x⇔ + + = + ∧ > − ⇔
2 8 0 1x x x⇔ − = ∧ > − ( )8 0 1x x x⇔ − = ∧ > −
0 8x x⇔ = ∨ =
{ }0 , 8S =
22.11. ( )log 1 2 log5 log6xx x+ + = + ; D = ℝ
( )log 1 2 log5 log6xx x+ + = + ⇔
( )log10 log 1 2 log5 log6x x x⇔ + + = + ⇔
( ) ( )log 10 1 2 log 6 5x x x ⇔ + = × ⇔
( )10 1 2 6 5x x x⇔ + = × ( ) ( )2 5 1 2 6 5 0x x x⇔ × + − × =
( )2 5 1 2 6 5 0x x x x⇔ × + − × = ( )5 2 1 2 6 0x x x ⇔ + − =
( )2
5 0 2 2 6 0x x x⇔ = ∨ + − = ⇔
( )2
2 2 6 0x xx⇔ ∈∅ ∨ + − = ⇔1 1 24
22
x − ± += ⇔
2 3 2 2x x⇔ = − ∨ = 1 1x x x⇔ ∈∅∨ = ⇔ =
{ }1S =
23.1. ( )ln 5 1 lnx x+ > ⇔
5 1 0 5 1 0x x x x⇔ + > ∧ > ∧ + > ⇔
1
4 1 05
x x x⇔ > − ∧ > ∧ > − ⇔
1 1
04 5
x x x⇔ > − ∧ > ∧ > − 0x⇔ >
S += ℝ
23.2. ( ) ( )3 1
3
log 3 log 2 0x x+ + ≥ ⇔
( ) ( )3
3
3
log 2log 3 0 3 0 2 0
1log
3
xx x x
+⇔ + ≥ ∧ ≥ ∧ + > ⇔
( ) ( )3
3
log 2log 3 0 0
1
xx x
+⇔ + ≥ ∧ > ⇔
−
( ) ( )3 3log 3 log 2 0 0x x x⇔ − + ≥ ∧ > ⇔
( ) ( )3 3log 3 log 2 0x x x⇔ ≥ + ∧ > ⇔
3 2 0x x x⇔ ≥ + ∧ > ⇔ 2 2 0x x≥ ∧ > 1x⇔ ≥
[ [1 ,S = + ∞
23.3. ( ) ( )2 2log 3 2 log 5x x− + ≥ − ⇔
( ) ( )2
2 2 2log 3 log 2 log 5 3 5x x x x⇔ − + ≥ − ∧ > ∧ <
( ) ( )2 2log 4 3 log 5 3 5x x x x⇔ − ≥ − ∧ > ∧ < ⇔
4 12 5 3 5x x x⇔ − ≥ − ∧ < < 5 17 3 5x x⇔ ≥ ∧ < <
17
3 55
x x⇔ ≥ ∧ < <17
55
x⇔ ≤ <
17
, 55
S =
23.4. ( )log 1 1 0x− + ≥ ⇔ ( )log 1 1 1 0x x− ≥ − ∧ − > ⇔
11 10 1x x−⇔ − ≥ ∧ <1
1 110
x x⇔ − ≥ − ∧ < ⇔
9
110
x x⇔ − ≥ − ∧ <9 9
110 10
x x x⇔ ≤ ∧ < ⇔ ≤
9
,10
S = −∞
Pág. 148
23.5. ( ) ( )2
2 2log log 3 3 1x x x+ ≤ − +
{ }2: 0 3 3 0D x x x x= ∈ + > ∧ − >ℝ ] [1 ,= + ∞
2
2
Cálculo auxiliar
9 0
1 36 0
9 0,
x x
x x x
+ + =∆ = − <
+ + > ∀ ∈ℝ
2 0x + >
88
4.1. Limites notáveis
( )2 0 1 0x x x x+ = ⇔ + = ⇔ 0 1x x= ∨ = −
3 3 0 3 3 1x x x− > ⇔ > ⇔ >
( ) ( )2
2 2log log 3 3 1x x x+ ≤ − + ⇔
( ) ( )2
2 2 2log log 3 3 log 2 1x x x x⇔ + ≤ − + ∧ > ⇔
( ) ( )2
2 2log log 2 3 3 1x x x x⇔ + ≤ − ∧ > ⇔
2 6 6 1x x x x⇔ + ≤ − ∧ > 2 5 6 0 1x x x⇔ − + ≤ ∧ >
2 3 1x x⇔ ≤ ≤ ∧ > 2 3x⇔ ≤ ≤
[ ]2 , 3S =
23.6. ( )3 3
3log 2 log 5
xx
x
− > −
3
: 0 5 0x
D x xx
− = ∈ > ∧ > = ℝ
{ }: 3 0 0x x x= ∈ − > ∧ > =ℝ
{ } ] [: 3 0 0 , 3x x x= ∈ < ∧ > =ℝ
( )3 3
3log 2 log 5
xx
x
− > − ⇔
( ) ] [3 3
3log log 5 2 0 , 3
xx x
x
− ⇔ + > ∧ ∈ ⇔
] [3
3log 5 2 0 , 3
xx x
x
− ⇔ × > ∧ ∈ ⇔
( ) ] [3log 15 5 2 0 , 3x x⇔ − > ∧ ∈ ⇔
] [215 5 3 0 , 3x x⇔ − > ∧ ∈ ] [5 6 0 , 3x x⇔ < ∧ ∈ ⇔
] [6 60 , 3 0 ,
5 5x x x
⇔ < ∧ ∈ ⇔ ∈ ;
60 ,
5S
=
23.7. 1 1
3 3
3 13log log
4
xx
− < ⇔
3
1
3 3
3 1log log 0 3 1 0
4
xx x x1
−⇔ < ∧ > ∧ − > ⇔
3 3 1 1
04 3
xx x x
−⇔ > ∧ > ∧ > ⇔
3 1
4 3 13
x x x⇔ > − ∧ > ⇔ 3 14 3 1 0
3x x x− + > ∧ >
Os zeros inteiros de ( ) 34 3 1P x x x= − + , caso existam,
são divisores de 1, ou seja, 1 ou –1.
( ) ( )31 4 1 3 1 0P − = × − + + =
4 0 –3 1
–1 –4 4 –1
4 –4 1 0
3 1
4 3 1 03
x x x− + > ∧ > ⇔
( )( )2 11 4 4 1 0
3x x x x⇔ + − + > ∧ > ⇔
( )( )2 11 2 1 0
3x x x⇔ + − > ∧ > ⇔
1
1 0 2 1 03
x x x⇔ + > ∧ − ≠ ∧ >
1 1
12 3
x x x⇔ > − ∧ ≠ ∧ >1 1 1
, ,3 2 2
x ⇔ ∈ ∪ + ∞
1 1 1
, ,3 2 2
S = ∪ + ∞
Pág. 150
24.1. ( )( )1 0
lim 1 e 1x
xx
∞×
→+∞
+ − =
( )
0
1lim 1 e 1y
y y→
+ − =
( )0
1lim e 1
y
y
y
y→
+= − =
( )
0 0
e 1lim 1 lim 1
y
y yy
y→ →
−+ × =
24.2. ( )
0
0
0lim
ln 1x
x
x
→=
+ 0
e 1lim
y
y y→
−1=
24.3. ( )
0
0
20
ln 1lim
3x
x
x x
→
+=
+
( )( )0
ln 1lim
3x
x
x x→
+=
+
( )
0 0
ln 11lim lim
3x x
x
x x→ →
+= × =
+
0
1lim
3 e 1yy
y
→= ×
−0
1 1 1 1 1
e 13 3 1 3lim
y
y y→
= × = × =−
24.4. ( )
0
0
1
1lim
2ln 2x
x
x
→
−=
−
( )0
1 2 e1lim
2
y
y y→
− −=
0
1 1 elim
2
y
y y→
− += =
0
1 e 1lim
2
y
y y→
−=
1 1
12 2
= × =
24.5. ( )
0
0
0
ln 4 ln 4limx
x
x
→
+ −=
0
4ln
4limx
x
x→
+ =
0
lim4e 4yy
y
→= =
− ( )0lim 0
4 e 1yy
y
→= =
−
0
1 1lim
e 14y
y
y→
= =−
0
1 1
e 14lim
y
y y→
× =−
1 1 1
4 1 4= × =
24.6. ( )
03
0
30
ln 5 ln5limx
x
x
→
+ −=
3
30
5ln
5limx
x
x→
+ =
3
30
ln 15
limx
x
x→
+
=( )0
lim5 e 1yy
y
→= =
−
0
1 1
e 15lim
y
y y→
= × =−
1 11
5 5× =
Pág. 151
24.7.
0
0
2
2lim
ln 1x
x
x
→
−=
− ( )1
22
2lim
ln 1x
x
x→
−
− ( )2
2lim
1ln 1
2
x
x
x→
−= =
−
( )2
22lim
ln 1x
x
x→
−=
− 0
e 1 2lim
y
y y→
+ −= =
0
e 12lim
y
y y→
−= 2 1 2= × =
2
Cálculo auxiliar
5 6 0
5 25 24
22 3
x x
x
x x
− + = ⇔
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
( )ln 1
e 1
e 1
Se 0, 0
y
y
y x
x
x
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ →
( )ln 2
e 2
2 e
1 0
y
y
y x
x
x
x y
= − ⇔
⇔ = − ⇔
⇔ = −
→ ⇒ →
4ln
4
4e
4
4e 4
4e 4
0 0
y
y
y
xy
x
x
x
x y
+ = ⇔
+⇔ = ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ ⇒ →
( )
3
3
3
ln 15
e 15
5 e 1
0 0
y
y
xy
x
x
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ ⇒ →
( )ln 1
e 1
e 1
2 0
y
y
y x
x
x
x y
= − ⇔
⇔ = − ⇔
⇔ = +
→ ⇒ →
( )22 1 0,x x− ≥ ∀ ∈ℝ
1 1
Se , 0
y xx y
x y
= ⇔ =
→ +∞ →
( )ln 1 e 1
e 1, se 0, 0
y
y
y x x
x x y
= + ⇔ = + ⇔
⇔ = − → →
89
4.1. Limites notáveis
24.8. 03
lim lnx
xx
x
∞×
→+∞
+ =
3lim ln 1
xx
x→+∞
+ =
0
3lim
e 1yyy
→
= × = − 03lim
e 1yy
y
→=
−
0
1 13 3 3
e 1 1lim
y
y y→
= × = × =−
Outro processo:
3 3
lim ln lim ln 1
x
x x
xx
x x→+∞ →+∞
+ = +
3ln lim 1
x
x x→+∞
= +
3ln e 3= =
24.9.
0
3 0
0 0
2 8 2 8 8lim lim
x x
x xx x
+
→ →
− × −= =
ln 2
0 0
2 1 e 18lim 8lim
xx
x xx x→ →
− −=
ln 2
0 0
2 1 e 18lim 8lim
xx
x xx x→ →
− −= = =
ln 2
0
e 18 lim
x
x x→
−× =
ln 2
0
e 18 ln 2 lim
ln 2
x
x x→
−= × × =
0
e 18ln 2 lim
y
x y→
−× =
8ln 2 1 8ln 2= × =
25.1. 2 2
2
2
e2 1
2elim lim
11
x
x
x x
x x
x x
x
∞ ∞
→+∞ →+∞
× −+= =
− −
( )2 1
1 0
× +∞ −= +∞
−pois
2
elim
x
x x→+∞= +∞
25.2. 3 2
11
lim limee
xx x
x x x
x
∞ ∞
→+∞
++= =
1 00
+=
+∞ porque
elim
x
x x→+∞= +∞
25.3.
3 33 7 3lim lim 3 3
7 7
x
x xx x
x x
→+∞ →+∞
× −= − =
3
3 3 lim7 xx
x
→+∞− ×
3
13 3
7lim
x
x x→+∞
= − × =1
3 3 3 3 0 3− × = − × =+∞
Dado que ln 7 ln7
3 3 3
7 e elim lim lim
xx x
x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞= = =
( )( )
ln 73
33
eln 7 lim
ln 7
x
x x→+∞= = ( )
( )
ln 73
3
eln 7 lim
ln 7
x
x x→+∞
( ) ( ) ( )3 3
3
eln 7 lim ln 7
y
y y→+∞= × = × +∞ = +∞
25.4. ( )0
3 2lim e x
xx
∞×−
→+∞=
3
2lim
e xx
x
→+∞
3
2lim
eyy
y
→+∞
=
31
8lime yy
y
→+∞= =
3
1 1
e8lim
y
y y→+∞
×1 1
8 0 08
= × = × =+∞
Pág. 152
25.5. ( )5lim 5x
xx
∞−∞
→+∞− = 5
5
5lim 1
x
xx
x→+∞
−
( )1= +∞× +∞ − = +∞
Dado que:
ln 5
5 5
5 elim lim
xx
x xx x→+∞ →+∞= ( )
( )
ln 55
5
eln 5 lim
ln 5
x
x x→+∞= ×
( )5
5
eln 5 lim
y
y y→+∞= × ( ) ( )5
ln5= × +∞ = +∞
25.6. ( )0
lim 1 ex
xx
∞×
→−∞ + = ( )lim 1 e y
yy −
→+∞ − + =
11
1lim lim
eeyyy x
y y
y
→+∞ →+∞
−−
= = =0 1
0−
=+∞
dado que
e
limy
y y→+∞= +∞ .
26.1. 2 2
2
2
ln2 1
2lnlim lim
111
x x
x
x x x
x
x
∞ ∞
→+∞ →+∞
++= =
− −2
ln 12 1
lim1
1x
x
x x
x
→+∞
× × +=
−
2 0 0 1
11 0
× × += =
− dado que
lnlim 0
x
x
x→+∞=
26.2.
1
2ln 1 ln 1lim lim
2 2x x
x x
x x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ += =
+ +
1ln 1
2lim2x
x
x→+∞
+=
+
1 ln 1
2lim2
1x
x
x x
x
→+∞
× += =
+
10 0
2 01 0
× +=
+, dado que .«
lnlim 0
x
x
x→+∞= .
26.3. 2
2
loglim
x
x
x
∞ ∞
→+∞=
loglimy
y
y→+∞=
ln
1 lnln10lim limln10y y
y
y
y y→+∞ →+∞= = × =
10 0
ln10× =
26.4. ( )( ) ln
lim 5ln lim 1 5x x
xx x x
x
∞−∞
→+∞ →+∞
− = − =
( )1 5 0= +∞ − × = +∞ , dado que ln
lim 0x
x
x→+∞=
26.5. ( )4ln 3 ln 3 4ln
lim lim5 5x x
x x
x x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+= =
ln3 4 ln
lim lim5 5x x
x
x x→+∞ →+∞= + =
40 0 0
5+ × =
Pág. 153
26.6. ( )0
0 0 0
1 1 1lim lim ln10 lim
lnlog ln
ln10
x x xxx x x xx
× −∞
→ → →= = × =
1
ln10 lim1 1
lny
y y
→+∞= × =
×
( )1
1 1ln10 lim ln10 lim
1 lnln
y y yy
y y
→+∞ →+∞−= × = × =
× −
1 1
ln10 ln10ln 0
limy
y
y
+
→+∞
= − × = − × =
( )ln10= − × +∞ = −∞
3ln 1
3e 1
3 3e 1
e 1
0
y
y
y
yx
x
xx
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ − = ⇔ =−
→+∞⇒ →
ln2
0 0
y x
x y
=
→ ⇒ →
ln 7y x
x y
=
→ +∞ ⇒ → +∞
ln5y x
x y
=
→ +∞ ⇒ → +∞
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→ −∞ ⇒ → +∞
2
Se ,
y x
x y
=
→ +∞ → +∞
1 1
0
y xx y
x y+
= ⇔ =
→ ⇒ → +∞
22
0 0
yy x x
x y
= ⇔ =
→ ⇒ →
Atendendo a que a função
logarítmica é contínua.
90
4.1. Limites notáveis
26.7. ( )
1ln 1
ln 1lim limx x
xx x
x x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ + = =
1ln ln 1
limx
xx
x→+∞
+ + = =
1ln 1
ln 0lim lim 0 0x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ = + = + =
+∞
26.8. ( )
33 3
1ln 3
ln 3 1 3lim lim
ln lnx x
xx x
x x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ + = = =
3
3
1ln ln 3
3lim
lnx
xx
x→+∞
+ + = =
3
13ln ln 3
3lim
lnx
xx
x→+∞
+ + = =
3
1ln 3
3ln 3lim lim
ln lnx x
x x
x x→+∞ →+∞
+ = + =
ln 3
3 3 0 3= + = + =+∞
26.9. ( )
1ln e 1
ln e 1 elim lim
xx x
x xx x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ + = =
1 1lne ln 1 ln 1
e elim lim
x
x x
x x
x
x x→+∞ →+∞
+ + + + = = =
1ln 1
ln1elim lim 1
x
x x
x
x x→+∞ →+∞
+ = + = + =
+∞1 0 1+ =
27.1.
33 lnlim ln 3 lim
3 0lim e e e 1
x x
xx
xx x
xx
→+∞ →+∞
×
→+∞= = = =
27.2. ( )( )1
1 lim ln 10
lim 1 e e 1x
xx
x
xx
→+∞
+
→+∞+ = = =
Dado que:
( ) ( )1
ln 1ln 11
lim ln 1 lim limx x x
xx x
xx x x
∞ ∞
→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = = =
1 1ln ln 1 ln 1
lnlim lim limx x x
xxx x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
+ + + = = + =
ln1
0 0 0 0= + = + =+∞
Pág. 155
28.1. 0
11 1lim ln 12
2 2 4
0lim 1 e e
2
x
xx
x
x
x →
+
→
+ = =
Dado que:
( )0
0
1lim ln 1
2 2x
x
x
∞×
→
+ = ( )0
1 1lim
2 2 e 1yyy
→
×
−
0
1 1 1 1 1
e 14 4 1 4lim
y
y y→
= × = × =−
28.2.
2 1 2
2
0 0
1 1lim lim
1 1
x x
x x
x x
x x
×
→ →
+ + = = − −
0
1 1lim ln
1 2e ex
x
x x→
+ − =
Dado que:
0
1 1lim ln
1x
x
x x→
+ = − 0
e 1lim
e 1
y
yyy
→
+× =
−
( )0 0
lim e 1 lime 1
y
yy y
y
→ →= + × =
−
( )
0
1 11 1 2 2
e 1 1lim
y
y y→
= + × = × =−
28.3. 0
11lim ln
1lnln
0lim e e ex
xxx
xx
+→
+
×
→= = =
28.4. ( )
0
lim sin lnsin 0
0 0lim lim e e 1x
x xx
x xx
+→
+ +
×
→ →= = =
Dado que:
( )0 0
sinlim sin ln lim lnx x
xx x x x
x+ +→ →
× = × =
( )0 0
sinlim lim lnx x
xx x
x+ +→ →= × =
1 1
1 lim lny y y→+∞
= × × =
11lim lny
yy
−
→+∞
=
ln ln
lim lim 0y y
y y
y y→+∞ →+∞
−= = − =
Pág. 155
29.1.
2 1
13lim 1
2
n
n
n
−+ + =
2 1 3lim ln 1
1 2e
n
n n
− + + 2 ln 1 2 0 0e e e 1× ×= = = =
Dado que 2 1 2
lim lim 21
n n
n n
−= =
+
29.2. ( ) 4 32 4
lim 2 lim ln3 1 34 3
lim e e3 1
nnn
nn
n
+ + + +∞× + + = = + e+∞= = +∞
Dado que 4 3 4
3 1 3
n
n
+→
+
29.3.
22 2
lim ln32
lim e e 03
+ × + −∞ + = = = +
nnn
nn
n
Dado que:
( )0
2 2lim ln
3
∞× + × = +
nn
n
2
0
2 3elim
e 1
u
uuu
→
−= × = −
( )2
0 0
2 3elim lim
e 1 e 1
u
u uu u
u− −→ →
−= × =
− −
0
1 1 1
e 10 1lim
u
u u−
−
→
= × = −∞× = −∞−
29.4.
13 3 2
2lim
2
−+ +
= +
n
nn n
n
( )3
2
11lim ln
3 2 2 3e e e 0
n n n
n n
− +× − × +∞ + + −∞ = = =
Dado que 1 1
3 2 3
−→ −
+
n
n ;
3 3
2 2lim lim lim
2
+= = = +∞
+
n n nn
n n
e lim ln→+∞
= +∞x
x
1 1
0
y xx y
x y+
= ⇔ =
→ ⇒ → +∞
( )
2ln
3
2e
3
e 3e 2
e 2 3e
e 1 2 3e
2 3e
e 1
0
2porque 1,
3
u
u u
u w
u u
u
u
nu
n
n
n
n n
n n
n
n
n u
nn
n
−
+ = ⇔ + +
⇔ = ⇔+
+ = + ⇔− = −
− = −
−=
−→ +∞ ⇒ →
+< ∀ ∈
+ℕ
( )
ln 12
e 12
2 e 1
0 0
y
y
xy
x
x
x y
= +
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ ⇒ →
( )
1ln
1
1e
1
e e 1
e e 1
1 e e 1
e 1
e 10 0
y
y y
y y
y y
y
y
xy
x
x
x
x x
x x
x
x
x y
+ = ⇔ − +
= ⇔−
⇔ − = +⇔ + = −
⇔ + = −
−⇔ =
+→ ⇒ →
91
4.1. Limites notáveis
Dado que 1 1
3 2 3
−→ −
+
n
n;
3 3
2 2lim lim lim
2
+= = = +∞
+
n n nn
n n
29.5. 2
1 21 2 3 1
lim ln4 14 1
2
3 1lim e
− − − + + + − = = +
nn n
nn n nn
n n
( )1 1ln 0
2 2e e+− × − × −∞=
e+∞= = +∞ dado que:
2 2
1 2 1 3 1 3 3, lim lim lim 0
4 1 2
+− −→ − = = =
+ +
n n n
n n n n n e
0lim lnx
x+→
= −∞ .
Pág. 158
30.1.
42,1
12 000 1 13 040,20100
C = + ≈
Capital acumulado: 13 040,20 €
30.2.
4
12 000 1 12 837100
r + = ⇔
412 837
1100 12 000
r + = ⇔
412 837
1100 12 000
r⇔ + = ⇔ 4
12 837100 100
12 000r = − ⇒
1,7r⇒ ≈
% 1,7%r ≈
31.1.
2
22 2 4
3 3
2
2 3lim 1 lim 1 e e3
n
n
n n
+ = + = =
31.2.
1 12
12 2
lim lim lim11 1
1
n
nn nn
n n
n
− − + + + = × = + + +
21
1
2lim 1
e1 e
e1lim 1
n
n
n
n
−
+ = × = = +
31.3. 22 2
lim 1 lim 1 e
n n
n n
− − − = + = −
31.4.
1 12 2 2 2
lim 2 lim1 1
n nn n n
n n
− −− + + − + = + +
14
lim1
nn
n
−+ = +
14
14
lim lim1 1
1
n
nn
n
n
− + + = × + +
1
4lim 1
11
lim 1
n
n
n
n
−
+ = × = +
4
3e1 e
e= × =
31.5.
2
2 1 12 22
2 2
2
21
2 2lim lim lim
44 41
n
n
n nn
n n
n
− − + + += × =
+ + +
2
2
12 22
1 2
2 4
2
2lim 1
elim 1 e
e4lim 1
n
n
nn
n
n
−
− −
+ = × = × = +
31.6.
3
3 1 13
13 2 3 22lim lim lim
11 2 1 21
2
n
nn nn
n n
n
− − − − − = × = − − −
3
33
33 12
1 32 21
2
3
2lim 1
e1 1 e e
1e
2lim 1
n
n
n
n
−− +− −
−
−
= × = × = = −
31.7. 3 1 1 6 2 2 1 4 3
lim lim lim2 1 2 4 2 4 2
n n nn n n n
n n n
− − − − − − = = + + +
31
4lim2
14
n
n
n
− = =
+
33 1 544 2 4
1
2
3
4lim 1
ee e
1e
2lim 1
n
n
n
n
−− − −
− = = =
+
31.8.
2
322
33
21
3 2 3 2 3lim lim lim11 3 3 1
13
n
nn
n n n
n n
n
× + + + = = = + + +
2
3
222 3
2 1 2333 3 9
1
3
2
3lim 1
ee e
1e
3lim 1
n
n
n
n
−
+
= = = = +
32.1. Seja a condição 1
,1 2
nu nn
= ∀ ∈+
ℕ .
• Para 1
1 1 11,
1 2 1 3 3n u= = ⇔ =
+ × , obtém-se uma
proposição verdadeira.
• Admitamos, por hipótese, que a condição se verifica
para determinado valor de n∈ℕ .
Provemos que também é válida para 1n + , ou seja,
( )1
1
1 2 1nu
n+ =
+ +
11 2
nn
n
uu
u+ = =
+
1
1 22
11 2
n
n
+ =+
+
( )
1
11 21 2 2 1 2 1
1 2
nn n
n
+= =+ + + ++
Portanto, a propriedade é hereditária.
Pelo princípio de indução matemática ficou provado
que 1
,1 2
nu nn
= ∀ ∈+
ℕ .
Fórmula de recorrência e por
hipótese
92
4.1. Limites notáveis
32.2. ( )2
1lim lim 2
1 2
n
nv
n nu v nn
× = × = +
22
lim1 2
nn
n
= +
2
2
1 1lim
1 11 lim 12 2
n
n
n n
= = = + +
11e
e
−=
33.1. 25 1
2 0,25 2 2100 4
x x x− − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ 22 2
x− −= ⇔
2 2x x⇔ − = − ⇔ =
{ }2S =
33.2. 1
8 82 5 2 5
2 2 2
x x
x x++ = ⇔ + = ⇔
×
42 5 0
2
x
x+ − = ⇔
( )2
2 5 2 4 0x x⇔ − × + = ⇔5 25 16
22
x ± −= ⇔
5 3
22
x ±⇔ = ⇔ 2 1 2 4
x x= ∨ = ⇔
0 22 2 2 2 0 2x x x x⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
{ }0 , 2S =
33.3. 1 1
3 3 4 3 3 4 03
x x x
x
− ++ = ⇔ + × − = ⇔
( )2
1 3 3 4 3 0x x⇔ + × − × = ⇔
( )2
3 3 4 3 1 0x x⇔ × − × + = ⇔4 16 12
36
x ± −= ⇔
4 2
36
x ±⇔ = ⇔ 1 01
3 3 1 3 3 3 33
x x x x−= ∨ = ⇔ = ∨ =
1 0x x⇔ = − ∨ =
{ }1 , 0S = −
33.4. ( )1 1 3 32 8 8 0 2 2 2x
x x x− −− × = ⇔ = × ⇔ 1 3 32 2
x x− += ⇔
3 3 1 2 4x x x⇔ + = − ⇔ = − 2x⇔ = −
{ }2S = −
33.5. 1 13 3 3 13x x x− ++ + = ⇔ 13 3 3 3 3 13x x x−× + + × = ⇔
1
3 1 3 133
x ⇔ + + =
133 13
3
x⇔ × =3
3 1313
x⇔ = ×
3 3 1x x⇔ = ⇔ =
{ }1S =
34.1. 3 3 9 0x x− × < ⇔ ( )1 2 1 23 3 3 3 3x
x x x+< × ⇔ < ⇔
1 2 1x x x⇔ < + ⇔ > −
] [1 ,S = − + ∞
34.2. ( )( )4 8 3 9 0x x− − <
• ( )2 3 2 34 8 0 2 2 2 2x
x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔
3
2 32
x x⇔ = ⇔ =
2 3 3
4 8 0 2 2 2 32
x xx x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ >
• ( )2 1 2 13 9 0 3 3 3 3 1 2
2
xx x
x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 1
3 9 0 3 3 1 22
x xx x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ <
x −∞ 1
2
3
2 +∞
4 8x − – – – 0 +
3 9 x− + 0 – – –
P – 0 + 0 –
( )( ) 1 34 8 3 9 0 , ,
2 2
x x x − − < ⇔ ∈ −∞ ∪ + ∞
1 3
, ,2 2
S = −∞ ∪ + ∞
35.1. ( )
0 0
e 1e 1lim lim
xx
x x
xx
x x→ →
− −− −= =
0 0
e 1lim lim
x
x x
x
x x→ →
−− =
1 1 0= − =
35.2. ( )2 33 2 2
0 0
e e 1e e 1lim lim
5 5
xx
x xx x
+
→ →
−−= × =
2 3
0
e e 13 lim
5 3
x
x x→
−= × × =
2
0
3e e 1lim
5
y
y y→
−× =
2 23e 3e
15 5
= × =
35.3. ( )
( )( )
23
22 2
e e 1e elim lim
4 2 2
xx
x xx x x
++
→− →−
−−= =
− − +
2
2 2
e e 1lim lim
2 2
x
x xx x
+
→− →−
−= × =
− +
0
e e 1lim
4
y
y y→
−= × =
−
e e1
4 4− × = −
35.4. ( )2
1 11 1
1lim lim
1 e e 1x xx x
x xx x− −→ →
−−= − =
− − 11 1
1lim lim
e 1xx x
xx
−→ →
−− × =
−
0
1 lime 1yy
y
→= − × =
−0
1 11
e 1 1lim
y
y y→
− = − = −−
35.5. 0 0
lim lime e e e
x x x xx x
x x− −→ →
= − =− − ( )20
lime e 1
x xx
x−→
− =−
20 0
1 1 2lim lim
e 2 e 1x xx x
x−→ →
= − × × =−
0
1 1lim
1 2 e 1yy
y
→= − × × =
−0
1 1 1 11
e 12 2 2lim
y
y y→
− × = − × = −−
35.6.
0
1 2 0
1
elim
1
x
x
x
x
−
→
−=
−
( )2
0
e 1lim
y
y
y
y→
− +=
2
0
e 2 1lim
y
y
y y
y→
− − −= =
2
0 0
e 1 2lim lim
y
y y
y y
y y→ →
− +− =
( ) ( )
0 0
21 lim 1 lim 2
y y
y yy
y→ →
+= − = − + = 1 2 1− = −
36.1. 2
2 2 2 22
1 1log 0,25 log log log 2 2
4 2
−= = = = −
36.2.
2
1 1 1
2 2 2
1 1log 0,25 log log 2
4 2
= = =
36.3.
1
3 33 3
1log 3 log 3
3= =
36.4. ( ) ( )1
212 33 33
3 3 3 3
2log 3 log 3 log 3 log 3
3
= = = =
3
Se 0, 0
y x
x y
=
→ →
2
Se 2, 0
y x
x y
= +
→ − →
1
Se 1, 0
y x
x y
= −
→ →
2
Se 0, 0
y x
x y
=
→ →
1 1
Se 1 , 0
y x x y
x y
= − ⇔ = +
→ →
93
4.1. Limites notáveis
36.5. ( ) ( ) ( )
22 23
6
log10log0,001 3 9 3
2 log1000 000 2 log10 2 6 12 4
−−
= = = =× × ×
36.6. 2
2
4 343 2 3 24
log 1 log0,01 0 log10
1 1log log 8 log log 2
81 3
−+ += =
× ×
3
4 43 2
2 2 2 2
3 3 34log 3 log 2
4−
− − −= = = =
−− ××
Pág. 159
37.1. 2 1 4 17 9 3 2 9 16x x x− −× + + × = ⇔
( )2 1 4 1 27 9 9 3 3 2 3 16x
x x− −⇔ × × + × + × = ⇔
( )22 4 21 1
7 3 3 2 3 169 3
xx x⇔ × × + × + × = ⇔
4 4 27 1
3 3 2 3 16 09 3
x x x⇔ × + × + × − = ⇔
4 4 27 3 3 3 18 3 144 0x x x⇔ × + × + × − = ⇔
4 210 3 18 3 144 0x x⇔ × + × − = ⇔
( )22 25 3 9 3 72 0x x⇔ × + × − = ⇔
2 9 81 1440
310
x − ± +⇔ = 2 9 39
310
x − ±⇔ = ⇔
2 224
3 3 35
x x⇔ = − ∨ =1
2 12
x x x⇔ ∈∅ ∨ = ⇔ =
1
2S
=
37.2. 10 2 64e e 3ex x x− − −= − ⇔ ( )10 10 2 6 104e e e 3e ex x x x x− − −× = − ×
8 44 e 3ex x⇔ = − ⇔ ( )24 4e 3e 4 0x x− − = ⇔
4 3 9 16
e2
x ± +⇔ = 4 4e 1 e 4x x⇔ = − ∨ = ⇔
24 ln 4 4 ln 2x x x⇔ ∈∅ ∨ = ⇔ = ⇔
ln 2
4 2ln 22
x x⇔ = ⇔ =
ln 2
2S
=
38.1. 2 22 2 0x xx x +× + × > 2 22 2 2 0x xx x⇔ × + × × > ⇔
( )22 4 0x x x⇔ + > ⇔ 2 4 0x x+ > ⇔
( )4 0x x⇔ + > ⇔ ] [ ] [, 4 0 ,x∈ −∞ − ∪ +∞
] [ ] [, 4 0 ,S = −∞ − ∪ + ∞
38.2. 3 2e 5e 6ex x x+ < ⇔ ( )2e e 6e 5 0x x x− + < ⇔
2e 6e 5 0x x⇔ − + <
Fazendo exy = , temos:
2 6 5 0y y− + < ⇔ 1 5y y> ∧ < ⇔
e 1 e 5x x⇔ > ∧ < 0 ln5x x⇔ > ∧ <
] [0 , ln 5S =
38.3. 8
ee 2
x
x< ⇔
−8
e 0e 2
x
x− < ⇔
−
( )2
e 2e 80
e 2
x x
x
− −<
−
Zeros e sinal de ( )2
e 2e 8x x− − .
Seja exy = .
2 2 4 32
2 8 02
y y y± +
− − = ⇔ = 2 4y y⇔ = − ∨ =
( )2
e 2e 8 0x x− − = ⇔ e 2 e 4x x= − ∨ = ⇔
ln 4x x⇔ ∈∅∨ = 2ln 2x⇔ =
( )2
e 2e 8 0x x− − < ⇔ e 2 e 4x x> − ∧ < ⇔
ln4x x⇔ ∈ ∧ <ℝ 2ln 2x⇔ <
Zeros e sinal de e 2x − :
e 2 0 e 2 ln 2x x x− = ⇔ = ⇔ =
2e 2 0 ln 2x− < ⇔ <
x −∞ ln 2 2 ln 2 +∞
N – – – 0 +
P – 0 + + +
Q + – 0 +
] [ln 2 , 2ln 2S =
39.1. 3 22 log log23 3 3 9 9x x x x
+ = × = × =
39.2. 2
3 32 log log 23 3
x xx= =
39.3. 3
3
22 log
log
3 93
3
x
xx
− = =
39.4. ( )4
22
2 2 2log4 log 2 log log
2 2 2xx x x+ = × = ( )4
2x x× =
2 2 4x x x= × =
39.5.
1 1ln ln ln
ln 1e e e 1
xxx x x
x
+= × = × =
39.6. ( ) 88 8
log3log log32 2 8
xx x x= = =
39.7. 8 8
2 3 2 34
2 1 2log log log log 3
16 3 2
x
x
−− = − =
( )4
2log 2 4x x= − − = +
39.8. ( )2 12 1 2
3 3 1
2
1 1log 9 ln log 3 ln
ee
xx
++ + = + =
1
4 2 23
1 3log 3 ln e 4 2 4
2 2
x x x−+= + = + − = +
40.1.
1 3
3 2 2
3 3 34 4
27 3 3 3 3log log log
81 3 3
× ×= = =
34
23
log 3−
=
5
23
5log 3
2
−= = −
40.2. ( )
( )( )
13 3 2
3 32
10 100,001 1000log log
0,01 10
−
−
××= =
33
2
6
10log
10
− +
−=
3 93 6
2 210 10
9log 10 log 10
2
− + += = =
40.3. ( ) ( )
( )
10010
610010
2 2 1010 1010
5
12
64 0,5 2log log
132 0,252
4
× × = =× ×
( ) ( )
60 100 60 100
2 21 25 2010
50 22
2 2 2log log
2 22 2
− −
−−
×= = =
××
4040 5
2 25
45
2
2log log 2
2
log 2 45
−− −
−
= = =
= = −
2
Cálculos auxiliares
6 5 0
6 36 20
26 4
21 5
y y
y
y
y y
− + = ⇔
± −⇔ =
±⇔ =
⇔ = ∨ =
( )2 0,x x> ∀ ∈ℝ
( )e 0,x x> ∀ ∈ℝ
94
4.1. Limites notáveis
41.1. ( ) ( ) ( )24 2
2
2
log 16log
log 4
xf x x= − =
( )2
22
2
log 16log
2
xx − =
( )2 2
2 2
1log log 16
2x x= − ( )
12 2 2
2 2log log 16x x= − =
( )2 22log log 4x x= − ( )2 2 22log log 4 logx x= − + =
2
2 2 22log log log 2x x= − − =
2log 2x= −
41.2. ( ) 0f x ≤ ⇔2log 2 0 0x x− ≤ ∧ > 2log 2 0x x⇔ ≤ ∧ >
22 0 0 4x x x x⇔ ≤ ∧ > ⇔ > ∧ < ⇔ ] ]0 , 4x∈
( ){ } ] ]: 0 0 , 4x f x∈ ≤ =ℝ
41.3. 31 128
61024 32
f f − × =
( )( )
17 3
1105 2
216
22
f f
− ×
( )7 5
10 3 22 6 2f f−−
= − =
( )1
10 62 6 2f f−−
−
=
1
10 62 2log 2 2 6 log 2 2
−− = − − −
=
1
10 2 6 2 12 1 12 16
= − − − − − = − + + =
41.4. a) ( ) 1
2 1f x
x+ = − ⇔ 2log 2 12 1 0x x x− + = − ∧ > ⇔
2log 12 2 1 0x x x−⇔ × = − ∧ > ⇔
1 02
xx x⇔ = − ∧ > 2 2 0x x x⇔ = − ∧ > ⇔
2x⇔ =
{ }2S =
b) ( ) ( )2 1 2f x f x+ > ⇔
( ) ( )2 22 log 2 1 log 2 2 0x x x⇔ − + > − ∧ > ⇔
( )2 22log 4 1 log 2 2 0x x x⇔ − + > − ∧ > ⇔
( )2
2 2log log 2 1 0x x x⇔ > + ∧ > ⇔
( )2
2 2log log 2 1 0x x x⇔ − > ∧ > ⇔
2
2log 1 02
xx
x
⇔ > ∧ > ⇔
2 0
2
xx> ∧ > ⇔
4x⇔ >
] [4 ,S = + ∞
42.1. 1
2
log loglog
loglog
a a
a
aa
b bb
aa
= = =log
2log1
2
aa
bb=
42.2. 2 2
log log 1log log
log 2 2
a aaa
a
b bb b
a= = =
42.3. 1 1
log log loglog log
1 log 1log
a a aa
aaa
b b bb b
a
a
−= = = = −
−
42.4. log log 1
log loglog
k
a aaka
a
b bb b
a k k= = =
43.1. 2
3log 2 3 9x x x= ⇔ = ⇔ =
{ }9S =
43.2. 4log 81 4 81 0 1x
x x x= ⇔ = ∧ > ∧ ≠ ⇔
4 43 0 1x x x⇔ = ∧ > ∧ ≠ 3x⇔ =
{ }3S =
43.3.
1
1
3
1log 1 0
3x x x
− = − ⇔ = ∧ ≠ ⇔
3 0x x= ∧ ≠ ⇔
3 3x x⇔ = − ∨ =
{ }3 , 3S = −
43.4. ( ) ( )2 2log 3 2 2 log 2x x− = + − ⇔
( ) ( )2
2 2 2log 3 2 log 2 log 2x x⇔ − = + − ∧
3 2 0 2 0x x∧ − > ∧ − > ⇔
( ) ( )2 2log 3 2 log 4 2x x⇔ − = − ∧ 2
23
x x> ∧ > ⇔
3 2 4 8 2x x x⇔ − = − ∧ > ⇔ 6x =
{ }6S =
43.5. ( ) ( )2log 2 1 log 8x x+ = ⇔
( ) ( )2log 2 1 log 8 2 1 0 8 0x x x x⇔ + = ∧ + > ∧ > ⇔
( )22 1 8 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔
24 4 1 8 0 0x x x x⇔ + + − = ∧ > ⇔
24 4 1 0 0x x x⇔ − + = ∧ > ⇔
( )2 12 1 0 0
2x x x⇔ − = ∧ > ⇔ =
1
2S
=
43.6. ( ) ( ) ( )2ln 18 3 ln 6 1 ln 4 6x x x− = − + −
{ }2:18 3 0 6 1 0 4 6 0D x x x x= ∈ − > ∧ − > ∧ − > =ℝ
6
,2
= +∞
218 3 6 1 2 3 0x x x> ∧ > ∧ − > ⇔
1 1 3 3
6 6 2 2x x x x
⇔ > ∧ > ∧ < − ∨ >
⇔
3 6
2 2x A x⇔ > ⇔ >
( ) ( ) ( )2ln 18 3 ln 6 1 ln 4 6x x x− = − + − ⇔
( ) ( ) ( )2 6ln 3 6 1 ln 6 1 ln 4 6
2x x x x⇔ − − − = − ∧ >
( ) ( ) ( )2ln3 ln 6 1 ln 6 1 ln 4 6x x x⇔ + − − − = − ∧6
2x >
2 6
4 6 32
x x⇔ − = ∧ > 2 64 9
2x x⇔ = ∧ > ⇔
3 3 6
2 2 2x x x
⇔ = − ∨ = ∧ >
3
2x⇔ =
3
2S
=
43.7. ( )2log 2log 1 0x x− + = ( )2
log 1 0 0x x⇔ − = ∧ > ⇔
log 1 0x x⇔ = ∧ > 10x⇔ =
{ }10S =
43.8. 2
2 2log 3log 1 0x x− + = ⇔
2 22log 3log 1 0 0x x x⇔ − + = ∧ > ⇔
2log 1 0 0x x⇔ − + = ∧ > 2log 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔
2x⇔ =
{ }2S =
5
7
10
32 2
128 2
1024 2
=
=
=
95
4.1. Limites notáveis
43.9. 2
2log 4 0x − = ⇔ ( )2
2log 4 0x x= ∧ > ⇔
( )2 2log 2 log 2 0x x x⇔ = − ∨ = ∧ > ⇔
2 22 2x x−⇔ = ∨ =1
44
x x⇔ = ∨ =
1
, 44
S =
43.10. ( ) ( )( )22
2 2log log 2 0x x− = ⇔
( ) ( )( )22
2 2log log 2x x⇔ = ⇔
( ) ( )( )2 2 2 2log log 2 log log 2 0x x x x x⇔ = ∨ = − ∧ >
( )( )2 22 log log 2 0x x x x x⇔ = ∨ − = ∧ > ⇔
( )( )1
2 20 log log 2 0x x x−⇔ = ∨ = ∧ > ⇔
1
2 0x xx
⇔ = ∧ > 22 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔
2 10
2x x⇔ = ∧ >
1 10
2 2x x x
⇔ = − ∨ = ∧ > ⇔
2
2x⇔ = ;
2
2S
=
44.1. ( ) ( )2 2log 1 log 4 7 0x x− − − ≥ ⇔
( ) ( )2 2log 1 log 4 7x x⇔ − ≥ − ⇔
1 4 7 1 0 4 7 0x x x x⇔ − ≥ − ∧ − > ∧ − > ⇔
7
3 6 14
x x x⇔ ≤ ∧ > ∧ >7
24
x x⇔ ≤ ∧ >
7
, 24
S =
44.2. ( ) ( )3 3log 2 log 7 1x x+ − + > ⇔
( ) ( )3 3 3log 2 log 7 log 3x x⇔ + > + + ∧
2 0 7 0x x∧ + > ∧ + > ⇔
( ) ( )3 3log 2 log 3 7 2 7x x x x⇔ + > + ∧ > − ∧ > − ⇔
2 3 21 2x x x⇔ + > + ∧ > − 2 19 2x x⇔ < − ∧ > − ⇔
19
22
x x⇔ < − ∧ > − x⇔ ∈∅ ; S = ∅
44.3. ( ) ( )4 2log 2 log 2 1x x+ ≥ + ⇔
( ) ( )2
2
2
log 2log 2 1 2 0 2 1 0
log 4
xx x x
+⇔ ≥ + ∧ + > ∧ + >
( ) ( )2
2
log 2 1log 2 1 2
2 2
xx x x
+⇔ ≥ + ∧ > − ∧ > − ⇔
( ) ( )2 2
1log 2 2log 2 1
2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔
( ) ( )2
2 2
1log 2 log 2 1
2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔
( )2 12 2 1
2x x x⇔ + ≥ + ∧ > − ⇔
2 12 4 4 1
2x x x x⇔ + ≥ + + ∧ > − ⇔
2 14 3 1 0
2x x x⇔ + − ≤ ∧ > −
1 1
14 2
x x⇔ − ≤ ≤ ∧ > −1 1
2 4x⇔ − < ≤
1 1
,2 4
S = −
44.4. 2
2log 4 0x − ≤ . Seja
2logy x= .
2 4 0y − ≤ ⇔ 2 2y y≥ − ∧ ≤
2
2log 4 0x − ≤ ⇔
2 2log 2 log 2 0x x x≥ − ∧ ≤ ∧ >
2 12 4 0 4
4x x x x
−⇔ ≥ ∧ ≤ ∧ > ⇔ ≤ ≤
1
, 44
S =
44.5. ( )5 2ln 2ln 4
2
xx
− ≥ − ⇔
( )25 2ln ln 4 5 2 0 4 0
2
xx x x
− ⇔ ≥ − ∧ − ≥ ∧ − > ⇔
( )25 2 24 4
2 5
xx x x
−⇔ ≥ − ∧ > ∧ < ⇔
25 2 216 8 4
2 5
xx x x
−⇔ ≥ − + ∧ < < ⇔
2 25 2 32 16 2 4
5x x x x⇔ − ≥ − + ∧ < < ⇔
2 22 21 34 0 4
5x x x⇔ − + ≤ ∧ < < ⇔
17 2
2 , , 42 5
x ⇔ ∈ ∩ ⇔
[ [2 , 4x⇔ ∈
[ [2 , 4S =
44.6. 2
2 2log 4 3logx x− < ⇔ 2
2 2log 3log 4 0x x− − <
Fazendo 2logy x= :
2 3 4 0y y− − < ⇔ 1 4y y> − ∧ <
2
2 2log 3log 4 0x x− − < ⇔
2 2log 1 log 4 0x x x⇔ > − ∧ < ∧ > ⇔
1 42 2x x−⇔ > ∧ <1
,162
x ⇔ ∈
1
,162
S =
44.7. ( )ln 3e 2 2x x− < ⇔ 23e 2 e 3e 2 0x x x− < ∧ − > ⇔
2 2e 3e 2 0 e
3
x x x⇔ − + > ∧ > ⇔
( )2 2e 3e 2 0 ln
3
x xx⇔ − + > ∧ >
Fazendo exy = :
2 3 2 0y y− + > ⇔ 1 2y y< ∨ >
( ) 2e 3e 2 0 ln
3
x xx− + > ∧ > ⇔
( ) 2e 1 e 2 ln
3
x xx⇔ < ∨ > ∧ > ⇔
( ) 20 ln 2 ln
3x x x⇔ < ∨ > ∧ >
] [2ln , 0 ln 2 ,
3S
= ∪ +∞
2
Cálculos auxiliares
4 3 1 0
3 9 16
81
14
x x
x
x x
+ − = ⇔
− ± +⇔ =
⇔ = − ∨ =
2
2
Cálculos auxiliares
2 21 34 0
21 21 8 34
421 13
417
22
x x
x
x
x x
− + =
± − ×⇔ =
±⇔ =
⇔ = ∨ =
2
Cálculos auxiliares
3 4 0
3 9 16
21 4
y y
y
y y
− − = ⇔
± +⇔ =
⇔ = − ∨ =
2
Cálculos auxiliares
3 2 0
3 9 8
21 2
y y
y
y y
− + = ⇔
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
96
4.1. Limites notáveis
44.8. 2 2
ln 1 ln 11 1 0
3ln 1 3ln 1
x x
x x
+ +< ⇔ − < ⇔
+ +
2
2
ln 1 3ln 10
3ln 1
x x
x
+ − −⇔ < ⇔
+
2
2
3ln ln0
3ln 1
x x
x
−< ⇔
+
23ln ln 0x x⇔ − > ⇔
1
ln 0 ln 03
x x x ⇔ < ∨ > ∧ > ⇔
1
31 e 0x x x
⇔ < ∨ > ∧ > ⇔
] [ 30 ,1 e ,x ⇔ ∈ ∪ + ∞
] [ 30 ,1 e ,S = ∪ + ∞
Pág. 160
45.1. ( )
0
0
0
ln 1 2limx
x
x
→
+=
( )0
ln 1 22lim
2x
x
x→
+= =
0
2lime 1yy
y
→= =
−0
1 12 2 2
1 1lim
e 1yy→
× = × =
−
45.2. 1
lnlim
1x
x
x→=
− 0
0
1 1lim 1
e 1e 1 1lim
yyy
y
y
y
→
→
= = =−−
45.3. ( ) ( )
02
0
0 0
ln 2 1 2ln 2 1lim limx x
x x
x x
→ →
+ +=
( )0
ln 2 12 2lim
2x
x
x→
+= × =
0
4lime 1yy
y
→= =
−0
1 14 4 4
e 1 1lim
y
y y→
= × =−
45.4.
0
0
0
ln 1limx
x
x
→
+=
( )1
2
0
ln 1limx
x
x→
+ ( )0
ln 11lim
2 x
x
x→
+= =
0
1lim
2 e 1yy
y
→= ×
−0
1 1 1 1 1
e 12 2 1 2lim
y
y y→
= × = × =−
45.5. ( )
( )( )
0
2 0
1 1
1lim lim
ln 2 ln 2x x
x xx x
x x
→ →
−−= =
− −
( )1 1
1lim lim
ln 2x x
xx
x→ →
−= ×
− 0
2 e 11 lim
y
y y→
− −= × =
0
e 1lim 1
y
y y→
−= − = −
45.6. ( )
( )( )
0
2 0
5 5
55lim lim
ln 6 ln 6x x
x xx x
x x
→ →
−−= =
− −
5 0
6 e 5lim lim
y
x yx
y→ →
− −= × =
0
e 15 lim
y
y y→
−× − =
( )5 1 5= × − = −
45.7. ( )
0
0
0 0
2 2ln
ln 2 2 ln 2 2lim limx x
x
x
x x
→ →
+ + − = =
( )
0
ln 1limx
x
x→
+= =
0lim
e 1yy
y
→=
−
0
11
e 1lim
y
y y→
= =−
45.8.
0 1
0 2
1 1 1
1ln
ln ln 2lim lim lim1 1 1x x x
xx x
x x x
→ → →= = =
− − −
1
1 lnlim
2 1x
x
x→= =
− 0
1lim
2 e 1yy
y
→× =
−
0
1 1
e 12lim
y
y y→
= × =−
1 1 1
2 1 2× =
45.9. ( )
( )( )
023 0
0 0
e e 1e elim lim
ln 2 1 ln 2 1
x xx x
x xx x
→ →
− −−= =
+ +
( ) ( )
2
0 0
e 1 2lim e lim
2 ln 2 1
xx
x x
x
x x→ →
−= − × × = +
( )
2
0 0
e 1 21 lim lim
2 ln 2 1
x
x x
x
x x→ →
−= − × × =
+
0 0
e 1 e 11 lim lim
y u
y uy u→ →
− −= − × × 1 1 1 1= − × × = −
45.10. ( )
3e elim
ln 2 1
x x
x x
∞−∞ ∞
→+∞
−=
+ ( )
3e e 3lim
3 ln 2 1
x x
x
x
x x→+∞
−− × = +
( )3 2e 1 e 3
lim lim3 1
ln 2
x x
x x
x
xx
x
−
→+∞ →+∞
−= − × =
+
( )3
2e 3lim lim 1 e lim
13ln ln 2
xx
x x x
x
xx
x
−
→+∞ →+∞ →+∞= − × − × =
+ +
( )1= − +∞× × +∞ = −∞ , dado que:
• 3e e
lim lim3
x y
x yx y→+∞ →+∞= = +∞
• ( )2lim 1 e 1 e 1 0 1x
x
− −∞
→+∞− = − = − =
• 3
lim1
ln ln 2x
x
xx
→∞=
+ +
3lim
1ln 2
ln
x
x x
x x
→+∞=
+ +
3 3
ln 2 00
++
= = = +∞+
+∞
45.11. 2
20
e 3e 2lim
x x
x x x→
− +
+ . Fazendo exy = :
2e 3e 2x x− + = 2 3 2y y− + =
( )( )1 2y y= − − ( )( )e 1 e 2x x= − −
( )( )
( )
2
20 0
e 1 e 2e 3e 2lim lim
1
x xx x
x xx x x x→ →
− −− += =
+ +
0
0 0
e 1 e 2 e 2 1 2lim lim 1 1
1 0 1 1
x x
x xx x→ →
− − − −= × = × = = −
+ +
45.12. ( )( )
3lim log 1 3log
xx x
∞−∞
→+∞ + − =
( )3 3lim log 1 logx
x x→+∞
= + − =
( )3 3
3
1 1lim log lim logx x
x x
x x→+∞ →+∞
+ + = = =
1
lim 3log 1x x→+∞
= +
3 log1 0= × =
( )
2
Cálculos auxiliares
3 0
3 1 0
10
3
y y
y y
y y
− =⇔ − =
⇔ = ∨ =
( )23ln 1 0,x x ++ > ∀ ∈ℝ
( )ln 1 2
e 1 2
2 e 1
Se 0, 0
y
y
y x
x
x
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ →
ln
e
1 0
y
y x
x
x y
= ⇔
⇔ =
→ ⇒ →
( )ln 2 1
e 2 1
2 e 1
0, 0
y
y
y x
x
x
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ →
( )ln 1
e 1 e 1y y
y x
x x
= + ⇔
⇔ = + ⇔ = −
( )ln 2
e 2
2 e
Se 0, 0
y
y
y x
x
x
x y
= −
⇔ = − ⇔
= −
→ →
( )ln 6
e 6
6 e
Se 5, 0
y
y
y x
x
x
x y
= −
⇔ = − ⇔
⇔ = −
→ →
2
Cálculos auxiliares
3 2 0
3 9 8
21 2
y y
y
y y
− + =
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
2
0 0
y x
x y
=→ ⇒ →
( )ln 2 1
e 2 1
2 e 1
0 0
u
u
u x
x
x
x u
= + ⇔
⇔ = + ⇔⇔ = −→ ⇒ →
3
Se ,
y x
x y
=
→ +∞ → +∞
( )ln 1
1 e
e 1
Se 1, 0
y
y
y x
x
x
x y
= + ⇔
⇔ + =
⇔ = −
→ →
ln
e
Se 1, 0
y
y x
x
x y
= ⇔
⇔ =
→ →
97
4.1. Limites notáveis
45.13. ( ) ( )( )
2
1lim log 1 log 1x
x x∞−∞
→ − − − =
( )( )2
1 1
1 11lim log lim log
1 1x x
x xx
x x+ +→ →
− +−= = =
− −
( )1
lim log 1 log2x
x+→
= + =
45.14. ( )( )2lim ln 9 2lnx
x x x→+∞
− − = ( )3x >
( )( )2 2lim ln 9 lnx
x x x→+∞
= − − =
2
2 2
9 9lim ln lim ln 1
x x
xx x
x x→+∞ →+∞
− = = − =
3 3
lim ln 1 1x
xx x→+∞
= − + =
3 3
lim ln 1 ln 1x
xx x→+∞
= − + + =
3 3
lim ln 1 ln 1x
x xx x→+∞
= − + + =
3 3
lim ln 1 lim ln 1x x
x xx x→+∞ →+∞
= − + +
3 3 0= − + = , dado que:
• ( )03
lim ln 1x
xx
∞×
→+∞
− = 0
3lim
e 1yy
y−→
− × = −
0
13
e 1lim
y
y y−→
= − × =−
13 3
1− × = −
• ( )03
lim ln 1x
xx
∞×
→+∞
+ = 0
3lim
e 1yy
y+→
× = −
0
1 13 3 3
e 1 1lim
y
x y+→
= × = × =−
45.15. De acordo com 45.14.:
( )( )2 2lim ln 9 lnx
x x x→−∞
− − =
3 3
lim ln 1 lim ln 1x x
x xx x→−∞ →−∞
= − + + =
3 3 0= − + = , dado que
• ( )03
lim ln 1x
xx
∞×
→−∞
− = 0
3lim
e 1yy
y+→
− × = −
0
13
e 1lim
y
y y+→
= − × =−
3 1 3− × = −
( )03
lim ln 1x
xx
∞×
→−∞
+ = 0
3lim
e 1yy
y−→
× = −
0
13
e 1lim
y
y y−→
= × =−
3 1 3× =
46.1.
ln2
2 lnlim lim
1 ln1 lnx x
xx x x
xx
x x
+∞ −∞
→+∞ →+∞
++= =
− −
2 0 2
0 0 0−
+= = −∞
−
46.2. ( )( ) ln
lim 2ln lim 2 1x x
xx x x
x
∞−∞
→+∞ →+∞
− = − =
( )2 0 1= +∞× × − = −∞
46.3. ( )
2ln 1
ln 2lim limx x
xx x
x x
∞ ∞
→+∞ →+∞
− − = = =
2ln ln 1
limx
xx
x→+∞
+ −
2ln 1
lnlim limx x
x x
x x→+∞ →+∞
− = + =
00 0+ =
+∞
46.4. ( )ln ln
lim limln 1 1
ln 1x x
x x
xx
x
∞ ∞
→+∞ →+∞= =
+ +
ln
lim1
ln ln 1x
x
xx
→+∞= =
+ +
1lim
1ln 1
1ln
x
x
x
→+∞=
+ +
1
10
1
= =+
+∞
46.5. ( )( )
22 2
1ln 1
ln 1lim lim
ln 1 1ln 1
o
x x
xx x
xx
x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ + = =+ +
2
2
1ln ln 1
lim1
ln ln 1x
xx
xx
→+∞
+ + = = + +
2
12ln ln 1
lim1
ln ln 1x
xx
xx
→+∞
+ + = + +
2
1ln 1
02 2
lnlim 201
1ln 1
1ln
x
x
x
x
x
→+∞
+ + +
+∞= = = ++ +∞ +
46.6. ( )
2lim lim
ln 3 3ln 1
x x
x x
xx
x
∞ ∞
→+∞ →+∞
+= =
+ +
lim3
ln ln 1x
x
xx
→+∞= =
+ +
1lim
3ln 1
ln
x
x x
x x
→+∞=
+ +
1 1
0 0 0+= = = +∞
+
46.7. ( )02
lim 3 lnx
xx
x
∞×
→+∞
+ =
23 lim ln 1
xx
x→+∞
+ =
0
23 lim
e 1yy
y+→
= × = − 0
16
e 1lim
y
y y+→
× =−
1
6 61
= × =
46.8. ln 1 ln 1
lim limlnlog
ln10
x x
x x
xx
∞ ∞
→+∞ →+∞
+ += =
ln 1ln10 lim
lnx
x
x→+∞
+× =
( )1ln10 lim 1 ln10 1 0
lnx x→+∞
= × + = × + =
ln10
3ln 1
3
e 1
0
y
yx
x
x y +
= −
−⇔ =
−→ −∞ ⇒ →
2ln 1
2e 1
2e 1
2
e 1
0
y
y
y
yx
x
x
x
x y +
= + ⇔
⇔ = +
⇔ − =
⇔ =−
→ +∞ ⇒ →
3ln 1
3e 1
3e 1
3
e 1
0
y
y
y
yx
x
x
x
x y −
= −
⇔ = −
−⇔ − =
−⇔ =
−→ +∞ ⇒ →
3ln 1
3e 1
3e 1
3
e 1
0
y
y
y
yx
x
x
x
x y +
= +
⇔ = +
⇔ − =
⇔ =−
→ +∞ ⇒ →
3ln 1
3
e 1
0
y
yx
x
x y −
= +
⇔ =−
→ −∞ ⇒ →
98
4.1. Limites notáveis
47.1. ( )32 3
2 2
e e 1e elim lim
x xx x
x xx x
−
→+∞ →+∞
−−= =
( )3
2
elim lim e 1
xx
x xx
−
→+∞ →+∞= × − ( )2
elim 0 1
1
3
y
y
y→+∞
= × − =
( )2
elim 1
1
9
y
y
y→+∞
= × − =2
e9 lim
y
y y→+∞− × ( )9= − × +∞ = −∞
47.2.
21
2 3 3lim lim3 3
3 13
x x
xx x
x
xx
∞ ∞
→+∞ →+∞
++= =
+ × +
21
0 11
3 0 1 1
+ ++∞ = =× +
dado que:
ln 3
lim lim3 e
xxx x
x x
→+∞ →+∞= =
ln 3 ln 3
1 ln3lim lim
e ln 3 ex xx x
x x
→+∞ →+∞= =
1
limln 3 e yy
y
→+∞= × =
1 1
eln 3lim
y
y y→+∞
× =
1 1
ln 3= × =
+∞1
0 0ln 3
× =
47.3.
5
5
1010
1e elim lim
22
e e
x x
xxx x
x x
x
x
xx
∞ ∞
→+∞ →+∞
++= =
++
5
10
11 0elim0 02
e e
x
xx
x
x
x→+∞
+ += = +∞
+ +
, dado que:
5
5
1 1lim 0
eelim
xxx
x
x
x
→+∞
→+∞
= = =+∞
;
10
10
1 1lim 0
eelim
xxx
x
x
x
→+∞
→+∞
= = =+∞
2
lim 0e
x
x→+∞
=
porque 2
0 1e
< <
47.4. ( )( )
lim ln 2e 3x
xx
∞−∞
→+∞ − − = ( )lim ln e ln 2e 3x x
x→+∞ − − =
e 1 1
lim ln lim ln ln ln 232e 3 2
2e
x
xx x
x
→+∞ →+∞
= = = − − −
47.5. ( ) ( )( )lim ln 3 2e ln 3 2ex
xx −∞
→−∞ − − = −∞ − − =
( )ln 3 0= −∞ − − = −∞
48.1. ( )( )
3
11 lim ln 4133
3
1lim 4 e e
e
xx
xx
xx →
− −− −→
− = = = , dado que:
( )0
3
1lim ln 4
3xx
x
∞×
→
× − = −
0
1lim
4 e 3yyy
→
= × = − −
0
0
1 1lim 1
e 1e 1 1lim
yyy
y
y
y
→
→
= − = − = − = −−−
48.2. ( )1
11 1 1 1
lim ln ln11 1 0 0
1
1lim e e e
1
xx
x x
x x
+ +−→
−
×− +∞× +∞− −
→
= = = = +∞ −
48.3. ( )( )
π
2
1lim ln 1 cos
1 cos
cos
π
2
lim 1 cos ex
xx
x
x
x→
× +
→
+ = 1e e= = , dado que:
( )( )0
π
2
1lim ln 1 cos
cosx
xx
∞×
→
× + = 0
1lim
e 1yyy
→
× = −
0
1 11
e 1 1lim
y
y y→
= = =−
48.4. ( )( )1
1 lim ln 21ln
lnlim 2 e e ex
xx
x
xx
→+∞
+
→+∞+ = = = , dado que:
( )
2ln 1
1lim ln 2 lim
ln lnx x
xx
xx x→+∞ →+∞
+ × + = =
2ln ln 1
limlnx
xx
x→+∞
+ + = =
2ln 1
lim 1 1lnx
x
x→+∞
+ + =
48.5. ( ) ( )211 ln 2 3lim2 0
lim 2 3 e e 1x
xxx
xx →+∞
+
→+∞+ = = = , dado que:
( )( ) ( )20
2ln 2 31
lim ln 2 3 limx x
xx
x x
×∞
→+∞ →+∞
+ + = =
2 2
2 2
3 3ln 2 ln ln 2
lim limx x
x xx x
x x→+∞ →+∞
+ + + = = =
2
32ln ln 2
limx
xx
x→+∞
+ + = =
2
3ln 2
ln2 lim lim
x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ +
ln 2
2 0 0 0 0= × + = + =+∞
48.6. ( )( )
0
lim sin ln tansin 0
0lim tan e e 1x
x xx
xx
+→
+
×
→= = = , dado que:
( )( )0
0lim sin ln tanx
x x+
× −∞
→ × =
( )0
sinlim tan ln tan
tanx
xx x
x+→
= × × =
0
sin 1 1lim lim ln
tan yx
x
x y y+ →+∞→
= × =
1
0
cos lnlim sin lim
sin yx
x yx
x y+
−
→+∞→
= × × =
0
lnlim cos lim 1 0 0
yx
yx
y+ →+∞→
= × − = × =
48.7. 2
0
1lim ln
0
20
1lim e e 1x
xx
x x
x x x
+→
+
×
−
→
= = = − , dado que:
( )0
20
1lim lnx
xx x+
×∞
→
× = −
( )2
2 20
1lim lnx
xx x
x x x x+→
= × − × = − −
( )2
2 20 0
1lim lim lnx x
xx x
x x x x+ +→ →
= × − × = − −
( )0
1lim lim ln
1 yx
xy
x x y+ →+∞→
= × × −
33
yy x x
x y
= ⇔ =
→ +∞⇒ → +∞
( )ln 4
e 4
4 e
3 0
y
y
y x
x
x
x y
= −
⇔ = −⇔ = −→ ⇒ →
( )ln 1 cos
e 1 cos
cos e 1
π0
2
y
y
y x
x
x
x y
= +
⇔ = +⇔ = −
→ ⇒ →
1
tan1
tan
0
yx
xy
x y+
=
⇔ =
→ ⇒ →+∞
2
2
1 1
0
y x xx x y
x y+
= ⇔ − =−
→ ⇒ → +∞
ln 3y x
x y
=
→ +∞ ⇒ → +∞
1 lnlim 0
1 y
y
y→+∞= × =
99
4.1. Limites notáveis
Pág. 161
49.1. ( )2
22lim 1
nn
n n−
+ × = ( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 22 2
lim lim
1 1
n
n
n n
nn
n n
= =
+ +
2
2 2
2 2
2
2
1lim lim
111
n
n
n
n
n
= = = + +
2
1
2
2
1
1lim 1
n
n
+
1
21 1 1
e e e
= = =
49.2. ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
4 16 4 16 4 16lim lim lim
42 2
nn n
n
n n n
nn n
− − − = = =
2
16 2 2lim 1 lim 1 1
4
nn
n n n
= − = − + =
2 22 2
lim 1 lim 1 e e
n n
n n
− = − × + = × =
0e 1=
49.3.
22 2
12
1 1lim lim
2 2
nn
nn
n n
n n
+ + = + +
21
1
lim2
1
n
n
n
+ = =
+
2
1lim 1
2lim 1
n
n
n
n
− +
= = +
2
2
2 2
e 1e
e e
− = =
49.4. 1lim
n
n
n
u
u
+
=
( )( )
( )
1 !
! 1 !lim
!
! !
n
n
p n p
n
p n p
+ + − = −
( ) ( )
( )1 ! ! !
lim! 1 ! !
n
n p n p
p n p n
+ −=
+ −
( ) ( )( )( )
1 ! !lim
1 ! !
n
n n n p
n p n p n
+ −=
+ − −
1
lim1
n
n
n p
+= + −
11 lim 11
lim1 11 lim 1
nn
n
nnp p
n n
++ = = = − − + +
1 1
1
ee e
e
p p
p
− +−
= = =
49.5.
11 e
3 3lim 1 lim 1
e
nnu
n
nu
++ − = − =
e e
3e3elim 1 e
e e
n
n
×− − = ×
50.1.
11
2 1 2 12lim lim lim32 3 2 3
12
an
an b bn nnxn n
n
+ − − − = = × = + + +
1
2lim 1
13
2lim 1
an
b
n
n
n
− = × =
+
( )1
22 2
3
2
ee e
e
a
a
−
− −
= =
50.2. 2 1
e e e 2 12
ax a a
−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
51.1. [ ]2 sin sin2 1 5 2 , 0 , 2πx x x+ + = × ∈
Fazendo sin x y= vem:
22 1 5 2y y+ + = × ⇔ 22 2 5 2 1y y× − × = − ⇔
4 2 5 2 1y y⇔ × − × = − 2 1y⇔ − = − ⇔
2 1y⇔ = 0y⇔ = [ ]sin 0 0 , 2πx x⇔ = ∧ ∈ ⇔
0 πx x⇔ = ∨ =
{ }0 , πS =
51.2. [ ]cos
cos
33 4 0 , 2π
3
x
xx+ = ∧ ∈ . Fazendo cosy x= , vem:
( )233 4 3 3 4 3
3
y y y
y+ = ⇔ + = × ( )2
3 4 3 3 0y y⇔ − × + =
4 16 12
32
y ± −⇔ = 3 3 3 1y y⇔ = ∨ = 1 0y y⇔ = ∨ =
[ [cos 1 cos 0 0 , 2πx x x⇔ = ∨ = ∧ ∈ ⇔
π 3π
02 2
x x x⇔ = ∨ = ∨ =
π 3π
0 , ,2 2
S =
51.3. 2 ln 2 ln3 3 24x x+ −− = . Fazendo lny x= , vem:
2 23 3 24y y+ −− = ⇔ 2 23 3 3 3 24y y−× − × = ⇔
9
9 3 24 03
y
y⇔ × − − = ( )2
9 3 9 24 3 0y y⇔ × − − × =
( )2
9 3 24 3 9 0y y⇔ × − × − = ⇔
( )2
3 3 8 3 3 0y y⇔ × − × − =8 64 36
36
y ± +⇔ = ⇔
1
3 3 33
y y⇔ = − ∨ = 1y y⇔ ∈∅ ∨ = ln 1x⇔ = ⇔
ex⇔ =
{ }eS =
52.1. 1 2 14 3 3 2x x x x+ +− = − ⇔ ( )2 22 3 3 3 2 2x
x x x− × = − × ⇔
2 22 2 2 3 3 3x x x x⇔ + × = + × 23 2 4 3x x⇔ × = × ⇔
22 4
3 3
x
x⇔ = ⇔
( )22 4 4 4
3 3 3 3
xx
x
= ⇔ =
1x⇔ =
{ }1S =
52.2. 22 2 5 3 2
5 25 5 0x xx x x− − −× − = ⇔
{ }2 5 3 22
225 25 5 \ 1
x xx
x x x
− −−
⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ
( ) { }3 22 2 5
2 225 5 5 \ 1xx x
xx x−− −
⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ
{ }4 10 3 22
225 5 5 \ 1
x xx
x x x
− −−
⇔ × = ∧ ∈ ⇔ℕ
{ }2 4 10 3 2
2 25 5 \ 1
x x x
x x x
− − −+
⇔ = ∧ ∈ ⇔ℕ
( ) ( ) ( )
{ }2 1
2 4 10 3 2\ 1
2 2x
x x xx
x x
− − −⇔ + = ∧ ∈ ⇔ℕ
{ }2 2 8 20 3 2 \ 1x x x x x⇔ − + − = − ∧ ∈ ⇔ℕ
{ }2 3 18 0 \ 1x x x⇔ + − = ∧ ∈ ⇔ℕ
{ }3 9 72\ 1
2x x
− ± +⇔ = ∧ ∈ ⇔ℕ
( ) { }6 3 \ 1x x x⇔ = − ∨ = ∧ ∈ℕ 3x⇔ =
( )!
! !
n
n p
nu C
p n p= =
−lny x=
{ }3S =
100
4.1. Limites notáveis
52.3. ln 4 ln
2
8e
x
x
− =4
ln
2
8e 0x x
x⇔ = ∧ >
2
4 80x
x x⇔ = ∧ > ⇔
4 8 0x x⇔ = ∧ > 2x⇔ = ; { }2S =
52.4. 2 3ln ln 4x x+ = ⇔ ( )2ln 3ln 4 0 0x x x+ − = ∧ > ⇔
3 9 16
ln 02
x x− ± +
⇔ = ∧ > ⇔
3 5
ln 05
x x− ±
⇔ = ∧ > ⇔
( )ln 4 ln 1 0x x x⇔ = − ∨ = ∧ > 4e ex x−⇔ = ∨ =
4
1, e
eS
=
52.5. ( ) ( ) ( )ln 2 4 ln 2 ln 1x x− − = − ⇔
( )2 4
ln ln 1 2 4 0 1 02
xx x x
−⇔ = − ∧ − ≠ ∧ − > ⇔
2 1 2 1x x x x⇔ − = − ∧ ≠ − ∧ > ⇔
( )2 1 2 1 1x x x x x⇔ − = − ∨ − = − + ∧ > ⇔
( )2 1 2 3 1x x⇔ − = − ∨ = ∧ >3
2x⇔ =
52.6. 1
1 224 3 3 2x
x x x+ +− = + ⇔ ( )
1
224 4 3 3 3 2x
x x x× − × = + ⇔
4 4 4 3 3 3x x x x⇔ × − = + × 2 4 4 4 3x x x⇔ × − = ×
4 4 3x x⇔ = ×4
43
x
x⇔ =
4
3
44 log 4
3
x
x ⇔ = ⇔ =
4
3
log 4S
=
53.1. 2 6
2 2log 8 logx x+ < ⇔ ( )2
2 2log 6log 8 0 0x x x− + < ∧ >
Cálculo auxiliar
Fazendo 2logy x= :
26 8 0y y− + < ⇔ 2 4y y> ∧ <
Logo:
( )2
2 2log log 8 0 0x x x− + < ∧ > ⇔
2 2log 2 log 4 0x x x⇔ > ∧ < ∧ >
2 42 2x x⇔ > ∧ < ⇔
] [4 , 16x⇔ ∈
] [4 ,16S =
53.2. e 1
01 ln
x
x
−<
− → { } { }: 0 ln 1 \ eD x x x += ∈ > ∧ ≠ =ℝ ℝ
• e 1 0 e 1 0x x x− = ⇔ = ⇔ =
e 1 0 e 1 0x x x− > ⇔ > ⇔ >
• 1 ln 0 ln 1 ex x x− = ⇔ = ⇔ =
1 ln 0 ln 1 ex x x− > ⇔ < ⇔ <
x 0 e +∞
e 1x − 0 + + +
1 ln x− + 0 –
Q + –
] [e ,S = + ∞
53.3. ( )2
24 log 0x x− ≥ → D += ℝ
• 2log 0 1x x= ⇔ =
2log 0 1x x> ⇔ >
• 2 4 0 2 2x x x− = ⇔ = − ∨ =
2 4 0 2 2x x− < ⇔ − < <
x 0 1 2 +∞2 4x − – – – – 0 +
2log x – 0 + + +
P + 0 – 0 +
( ) ] ] [ [2
24 log 0 0 ,1 2 ,x x− ≥ ⇔ ∪ +∞
] ] [ [0 ,1 2 ,S = ∪ + ∞
53.4. 1 12 3 6 2x x+ −× < × ⇔ 12 3 3 6 2 2x x −× × < × × ⇔
6 3 3 2x x⇔ × < × ⇔3 3
2 6
x
x<
3 1
2 2
x
⇔ < ⇔
3 3
2 2
1log log 2
2x x⇔ < ⇔ < −
ln 2
3ln
2
x⇔ < −
ln2
,3
ln2
S
= −∞ −
54.1.
30
0 01 2100
rC C
+ = ⇔
20
1 2100
r + = ⇔
301 2100
r⇔ + = 30 2 1
100
r⇔ = − ⇔
30100 2 100r⇔ = × − 2,34r⇒ ≈
% 2,34%r ≈
54.2. 0 0
2,11 1,5
100
n
C C + =
( )1 0,021 1,5n
⇔ + = ⇔
1,021 1,5n⇔ = ⇔ 1,021log 1,5n =ln1,5
ln1,021n⇔ =
55. 2 2 2 2 2 2a b c a b c= + ⇔ − =
( ) ( )ln ln
log logln ln
a b a b
c cc c
a b a b+ −+ = + =
+ −
( ) ( )
( ) ( )ln ln ln ln
ln ln
a b c a b c
a b a b
− × + + ×= =
+ × −
( ) ( )
( ) ( )ln ln ln
ln ln
c a b a b
a b a b
− + + = =+ × −
( )( )
( ) ( )ln ln
ln ln
c a b a b
a b a b
× − + = =+ × −
( )( ) ( )
2 2ln ln
ln ln
c a b
a b a b
× −=
+ × −
( ) ( )
2ln ln
ln ln
c c
a b a b
×=
+ × − ( ) ( )ln ln
2ln ln
c c
a b a b= × =
+ −
2log loga b a bc c+ −= ×
56.1. 1
loglog
a
b
ba
= ; log 1
loglog log
ba
b b
bb
a a= =
56.2. 10
2 2 3 10
1 1 1 1...
log log log logk k n n n n=
= + + + =∑
log 2 log 3 ... log 10n n n= + + +
( )log 2 3 ... 10n= × × ×10!
1log 10!
logn
n= =
Avaliação 1
Pág. 162
1. ( ) 216 2 log 16 2 16af a−= − ⇔ = − ⇔ = ⇔
2
2
1 1 116
16 4a a
a⇔ = ⇔ = ⇔ = ( )0a >
( ) 1
4
logf x x= ; ( ) 1
4
128 log 128f =
2 6 8 0
6 36 32
2
2 4
y y
y
y y
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
101
4.1. Limites notáveis
( )7 2
1
4
1log 128 128 2 2
4
yy
y − = ⇔ = ⇔ = ⇔
7 22 2 y−=
7
2 72
y y⇔ − = ⇔ = −
( ) 7128
2f = −
Resposta: (B)
2.
1
12
22
2 2lim 1 lim 1
2
n
n
u
nnu
+
+×
+ = + =
1
2 2lim 1
n
n
+
+
1
2 2 2 2lim 1 1
n
n n
= + × + =
1
2 2 2 2lim 1 lim 1
n
n n
= + × + =
2 2 2 2e 1 e× =
Resposta: (C)
3.
1
212 12 12 12
1log 6 log 36 log 36 log 36
2= = = =
( )12
1log 12 3
2×
( ) ( )12 12
1 1 1log 12 log 3 1
2 2 2
yy
+= + = + =
Resposta: (D)
4. ( ) lnf x x= ; [ ] 2ABCD
AD BCA AB
+= ×
( ) lnAD f a a= =
( ) ( )3 ln 3BC f a a= =
3 2AB a a a= − =
[ ]( ) ( )2
ln ln 32 ln 3
2ABCD
a aA a a a
+= × =
Resposta: (D)
5. ( ) ( )f x g x= ⇔2 42 log log 0x x x+ = ∧ > ⇔
22
2
log2 log 0
log 4
xx x⇔ + = ∧ > ⇔
22
log2 log 0
2
xx x⇔ + = ∧ > ⇔
2 24 2log log 0x x x⇔ + = ∧ > ⇔
2log 4 0x x⇔ = − ∧ > ⇔
4 1
216
x x−⇔ = ⇔ =
( )4 4
22 2 log 2 2 4 2f − −= + = − = −
( ) 1, , 2
16x y
= −
Resposta: (A)
Pág. 163
6.1.
52,1
8000 1 8876,03100
C = + =
Capital cumulado: 8876,03 €
6.2. 1,9
8000 1 10 000100
n
+ = ⇔
10 0001,019
8000
n = ⇔
1,019 1,25n⇔ = ⇔( )( )1,019
ln 1,25log 1,25
ln 1,019n n= ⇔ =
6.3.
4
8000 1 8210100 4
r + = ⇔ ×
48210
1400 8000
r + =
4821
1400 800
r⇔ + = ⇔ 4
8211
400 800
r= −
4821
400 400800
r⇔ = − 2,6r⇒ ≈
% 2,6%r ≈
7.1. ( ) ( ) 11 log log 0a
a
f x g x x x x= ⇔ + = ∧ > ⇔
log
1 log 01
log
aa
a
xx x
a
⇔ + = ∧ > ⇔
log
1 log 01
aa
xx x⇔ + = ∧ > ⇔
−
1 log log 0a ax x x⇔ + = − ∧ > ⇔
log log 1 0a ax x x⇔ + = − ∧ > ⇔
2log 1 0a x x⇔ = − ∧ >1
log 02
a x x⇔ = − ∧ > ⇔
1
21
2
1 1x a x x
aa
−⇔ = ⇔ = ⇔ =
7.2. 1 1
2 21
1 logaf f a aa
− − = = + =
1 11
2 2− =
8.1. 1 44 7 2x x+ ++ = ⇔ 44 4 7 2 2x x× + = × ⇔
( )42 4 7 16 2x
x⇔ × + = × ⇔
( )2
4 2 16 2 7 0x x⇔ × − × + = ⇔
216 16 4 4 7
28
x ± − × ×⇔ = ⇔
16 12 1 7
2 2 28 2 2
x x x±⇔ = ⇔ = ∨ = ⇔
2
71 log
2x x
⇔ = − ∨ =
2
71 , log
2S
= −
8.2. ln
ln
33 4
3
x
x+ = . Seja lny x= :
3
3 43
y
y+ = ⇔ ( )2
3 4 3 3 0y y− × + = ⇔
4 16 12
32
y ± −⇔ = ⇔
4 23
2
y ±= ⇔
3 3 3 1 1 0y y y y⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
ln 1 ln 0 e 1x x x x= ∨ = ⇔ = ∨ =
{ }1 , eS =
9. 3
9
1log 1
logx
x− >
3 39
3
log loglog
log 9 2
x xx = =
9 3
1 2
log logx x=
3
9
1log 1
logx
x− > ⇔
3
3
2log 1 0 1
logx x x
x− > ∧ > ∧ ≠
3
3
2log 1 0 0 1
logx x x
x⇔ − − > ∧ > ∧ ≠
( )2
3 3
3
log log 20 0 1
log
x xx x
x
− −⇔ > ∧ > ∧ ≠
11log log 1a a a
a
− = = −
102
4.1. Limites notáveis
• Sinal de ( )2
3 3log log 2x x− − :
Seja 3logy x= :
2 1 1 8
2 02
y y y± +
− − = ⇔ =1 3
2y
±⇔ = ⇔
1 2y y⇔ = − ∨ =
• ( )2
3 3 3 3log log 2 0 log 1 log 2x x x x− − = ⇔ = − ∨ =
1
93
x x⇔ = ∨ =
• ( )2
3 3 3 3log log 2 0 log 1 log 2x x x− − < ⇔ > − ∧ < ∧
0 1x x∧ > ∧ ≠
1
0 13
x x x⇔ > ∧ > ∧ ≠
• 3log 0 1x x= ⇔ =
3log 0 1 0x x x< ⇔ < ∧ >
0 1
3 1 9 +∞
N + 0 – – 0 +
D – – – 0 + + +
Q – 0 + – 0 +
] [1,1 9 ,
3S
= ∪ + ∞
10.1. ( ) ( )3
2 2 4 4log 8 log 1 log 4 log 1f x x x = − + − + + =
( ) ( )1
22 4
3 log 1 1 3log 1x x= − + − − + =
( ) ( )2
2
2
log 112 log 1 3
2 log 4
xx
+= − + = =
( ) ( )2
2
log 112 log 1 3
2 2
xx
+= − + − =
( ) ( )2 2
1 32 log 1 log 1
2 2x x= − + − + ( )22 2log 1x= − +
10.2. ( ) ( )20 2 2log 1 0 1f x x x= ⇔ − + = ∧ > − ⇔
( )2log 1 1 1x x⇔ + = ∧ > − 1 2 1x x⇔ + = ∧ > − ⇔
1x⇔ =
{ }1S =
10.3. ( ) ( )2
2 2log 1lim lim
x x
f x x
x x→+∞ →+∞
− += =
( )2log 12lim 2x
x
x x→+∞
+ −
( ) 1ln 1 ln 12ln 20 2 lim lim
ln 2x x
x xx
x x→+∞ →+∞
+ + = − = − =
1ln ln 1
2lim
ln 2 x
xx
x→+∞
+ + = − × =
1ln 1
2 lnlim lim
ln 2 x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ = − × + =
2 0
0 0ln 2
= − × + = +∞
10.4. ( ) ( )2 1f x f x+ − =
( ) ( )2 22 2log 2 1 1 2 2log 1x x= − + + − − + =
( ) ( )2 22log 2 2 2log 1x x= − + + + =
( ) ( )( )2 22 log 1 log 2 2x x= + − + =
( )2 2
1 12log 2log
2 1 2
x
x
+ = = = +
( )1
22log 2 2 1 2−= = × − = −
10.5. ( ) ( ) ( ) 21 2
22
log2 log 2 2log 1 2
1log
2
xf x x x< + ⇔ − + < + ⇔
( ) 22
log2 2log 1 2
1
xx⇔ − + < + ⇔
−
( )2 22log 1 logx x⇔ − + < − ( )2 2log 1 logx x⇔ + >
1x x⇔ + > , condição universal em +ℝ
11.1. ( )
( )
0
2 0
13 3
2
33lim lim
ln 2 ln 2x x
x xx x
x x
→ →
−−= =
− −
( )
( )3
3lim
1ln 2
2
x
x x
x→
−=
−
( )( )3 3
3lim 2 lim
ln 2x x
xx
x→ →
−= × =
−
0
e 2 36 lim
y
y y→
+ −= ×
0
e 16 lim
y
y y→
−= × =
6 1 6= × =
11.2. 0
1tanlim tan ln
0
0
1lim e e 1x
xx
x
x x
+→
+
×
→
= = =
, dado que:
0
1lim tan lnx
xx+→
× = 0
tan 1lim lnx
xx
x x+→
× =
0 0
tan 1lim lim lnx x
xx
x x+ +→ →
= × =
0
sin 1lim lim ln
cos yx
xy
x x y+ →+∞→
= × =
0 0
1 sin lnlim lim lim
cos yx x
x y
x x y+ + →+∞→ →= × × 1 1 0 0= × × =
12. Se P pertence a uma circunferência de centro na origem e
raio 1 então 2 2 2 21 1x y y x+ = ⇔ − =
( ) ( )1 1
ln lnlog log
ln 1 ln 1y y
x xx x
y y+ −+ = + =
+ −
( ) ( )
( ) ( )ln 1 ln ln 1 ln
ln 1 ln 1
y x y x
y y
− + += =
+ × −
( ) ( )
( ) ( )ln ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
x y y
y y
− + + = =+ × −
( )( )
( ) ( )ln ln 1 1
ln 1 ln 1
x y y
y y
× − + = =+ × −
( )
( ) ( )
2ln ln 1
ln 1 ln 1
x y
y y
× −= =
+ − ( ) ( )
2ln ln
ln 1 ln 1
x x
y y
×=
+ −
( ) ( )ln ln
2ln 1 ln 1
x x
y y= × =
+ − 1 12log logy yx x+ −×
1 1
0
y xx y
x y+
= ⇔ =
→ ⇒ →+∞
( )ln 2
e 2
e 2
3 0
y
y
y x
x
x
x y
= − ⇔
⇔ = −
⇔ = +
→ ⇒ →
103
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Atividade inicial 2
Pág. 164
1.1. ( ) 00 e 1P = =
Inicialmente, foram contadas 1000 bactérias.
1.2. ( ) 1010 e 22026,46579P = ≈ (em milhares)
Foram contadas 22 026 466 bactérias.
2. ( ) ( )2 0 e 2 1 e 2t tP t P= ⇔ = × ⇔ = ln 2t⇔ =
ln 2 0,6931≈
0,69310,6931 60 s m 2 si n 4= × ≈
O número de bactérias duplicará aproximadamente 42 s
após a contagem inicial.
3. ( )( ) ( )
, 0 ,1
1 0t.m.v. e 1 1,718
1 0P
P P−= = − ≈
−
No primeiro minuto, a taxa média de variação do número
de bactérias é, aprox., igual a 1,718 bactérias/min.
4.1. ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0 0
e e 11 1 e e1 lim lim lim
hh
h h h
P h PP
h h
+
→ → →
−+ − −′ = = = =
0
e 1elim e 1 e
h
h h→
−= = × =
A taxa instantânea de variação no instante 1 st = é igual a
e bactérias/min
4.2. ( ) ( ) ( ) 2 2
0 0
2 2 e e2 lim lim
h
h h
P h PP
h h
+
→ →
+ − −′ = = = 2
0
e 1e lim
h
h h→
−
2 2e 1 e= × =
A taxa instantânea de variação no instante 2 st = é igual
a 2e bactérias/minuto.
4.3. ( ) ( ) ( ) 3 3
0 0
3 3 e e3 lim lim
h
h h
P h PP
h h
+
→ →
+ − −′ = = =
3 3 3
0
e 1e lim e 1 e
h
h h→
−= = × =
A taxa instantânea de variação no instante 3 st = é igual
a 3e bactérias/minuto.
4.4. ( ) ( ) ( )0 0
e elim lim
t h t
h h
P t h P tP t
h h
+
→ →
+ − −′ = = =
0
e 1e lim e 1 e
ht t t
h h→
−= = × =
A taxa instantânea de variação no instante t ( )0t ≥ é igual
a et bactérias/minuto.
Pág. 165
1.1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )exp 4 4 exp 4 4exp 4f x x x x x′ ′′ = − = − − = − −
1.2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2e 2 e 2 2 ex x x x x xf x x x x− + − + − +′′ = = − + = −
1.3. ( ) ( ) ( ) 1 ee e e
2 2
xx x xf x x
x x
′ ′′ = = = =
1.4. ( ) ( ) ( ) ( )2
e e 2 e e e ex x x x x xf x − − −′ ′ ′ = + = + × + =
( ) ( )2 e e e ex x x xx − − ′= − + + =
( )( )2 e e e ex x x x− −− +
( ) ( )( ) ( )2 22 22 e e 2 e ex x x x− −= − = −
1.5. ( ) ( )22 1 e xf x x − ′′ = − =
( ) ( )( )22 1 e 2 1 ex xx x− −′ ′ = − + − =
( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 1 e 2 1 ex xx x x x− − ′ ′= − − + − − =
( ) ( )( )22 2 2 1 e 4 4 1 ex xx x x− −= × − + − + − =
( ) ( )28 4 e 4 4 1 ex xx x x− −= − + − + − =
( ) ( )2 28 4 4 4 1 e 4 12 5 ex xx x x x x− −= − − + − = − + −
1.6. ( ) ( )1 1
sin sine e e ex xx xf x
′ ′′ = + = + =
( )1
sin 1sin e ex xx
x
′ ′= + =
1
sin
2
1cos e ex xx
x= − × =
1
sin
2
ecos e
xxx
x−
1.7. ( ) ( )1 1e cos e cos
e e
x x
x xf x x x
′ ′ ′′ = + = + =
( ) ( )( )
( )21 e 1 e
e cos e cose
x x
x x
x
xx x
′′ − ×′ ′= + + =
( )( )2
ee cos e sin
e
xx x
xx x= + − − =
e cos e sin ex x xx x −= − −
1.8. ( ) ( ) ( ) ( )cos e e sin ex x xf x − − −′ ′′ = = − =
( ) ( )e sin ex xx − −′= − − = ( )e sin ex x− −
1.9. ( )( ) ( )
( )22 e e 2 e e2
e e e e
x x x x
x x x xf x
− −
− −
′′ + − + ′ = = = + +
( )( )22 e e
e e
x x
x x
−
−
− −=
+
Pág. 166
2.1. ( ) ( )2 2 ln 2x xf x′′ = =
2.2. ( ) ( ) ( )5 5 ln 5x xf x x′ ′′ = = × =
15 ln5
2
x
x= ×
5 ln5
2
x
x=
2.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )cos 3 cos 33 cos 3 3 ln 3
x xf x x
′ ′′ = = =
( ) ( )cos 33sin 3 3 ln3
xx= − × ×
2.4. ( ) ( ) ( )e e ee ln e lnx x xx xf x a a a a a
′′ = = =
2.5. ( )( ) ( )( )
( )
1 1
21 1
3 1 3 3 1 33 1
3 3
x x x xx
x xf x
+ +
+ +
′ ′′ − × − − −′ = = =
( )
( )
1 1
21
3 ln3 3 3 1 3 ln3
3
x x x x
x
+ +
+
× − −= =
2
2
1 1 1
1
x x
x x
x
′ ′ ′× − × = =
= −
( )( ) ( )
1 1
2 2 11 1
3 ln3 3 3 1 3 ln 3 ln 3
33 3
x x x x
xx x
+ +
++ +
− += = =
104
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Pág. 167
3.1. ( ) ( )( ) ( )2
2
2 2
2 2ln
x xf x x
x x x
′′′ = = = =
3.2. ( ) ( ) ( ) 1ln ln ln ln ln 1f x x x x x x x x x x
x
′ ′′ ′= = + = + × = +
3.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2ln 2 2 ln 2 ln 2f x x x x′ ′′ = = =
( ) ( ) ( )2 2
2 ln 2 ln 22
xx x
x x
′= × = =
( )2ln 2x
x
3.4. ( )
1
1 cosln
1cos
cos
xf x
x
x
′ ′ ′ = = =
( )2
1 cos 1 cos
cos1
cos
x x
x
x
′′ −
=
2
2
sinsin coscos
1 cos
cos
xx xx
x
x
= = =sin
tancos
xx
x=
3.5. ( ) ( )lnf x x x x′′ = − =
( ) ( ) ( )ln lnx x x x x′ ′′= + − =
ln 1
2 2
x x
xx x= + − =
ln 1 1
2 2
x
x x x+ − =
ln 2 1 1 ln
2 2
x x
x x
+ − += =
Pág. 168
4.1. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2
3 2 2
4 2log 4
4 ln 3 4 ln 3
x xf x x
x x
′−′′ = − = =− −
4.2. ( ) ( ) ( )1
2log
ln 0 ln10
xx
f x xx x
′′′ = = = =
1 1
2 ln102 ln10 xx x= =
4.3. ( ) ( )( )2
2log 2f x x x′′ = + =
( ) ( )( )2 2
2 2log 2 log 2x x x x′′= + + + =
( ) ( )( )
2
2
2 2
2log 2
2 ln 2
xx x
x
′+= + + × =
+
( ) ( )2
2 2
2log 2
2 ln 2
x xx
x
×= + + =
+
( ) ( )2
2
2 2
2log 2
2 ln 2
xx
x= + +
+
4.4. ( ) ( )( ) ( )2
2
2 2
sinlog sin
sin ln 2
xf x x
x
′′′ = = =
×
( )
2 2
2sin sin 2sin cos
ln 2sin ln 2sin
x x x x
x x
′×= = =
2cos 2 2
sinln 2sin ln 2 tanln 2
cos
x
xx x
x
= = =×
4.5. ( ) 3
3
1 log
log
xf x
x
′ − +′ = =
( ) ( )( )3 3 3 3
2
3
1 log log 1 log log
log
x x x x
x
′ ′− + − − += =
( )3 3
2
3
1 1log 1 log
ln 3 ln 3
log
x xx x
x
× − − ×= =
( )3 3
2
3
1log 1 log
ln 3
log
x xx
x
+ −= =
2
3
1
ln3 logx x=
×
2
1
lnln3
ln3
xx
= = ×
2 2 2
2
1 1 ln 3
ln ln lnln 3
ln 3 ln 3
x x x x xx
= =×
Pág. 169
5.1. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 12 2 2
1 3 1 1f x x x x−′ ′ ′ = + = + + =
( ) ( )3 1 3 12 23 2 1 2 3 1x x x x
− −= × + = +
5.2. ( )π π 1
sin π sin sinπ π π
x x xf x
−′ ′ ′ = = =
π 1
π cos sinπ π π
x x x−′ = × =
π 1 π 11
π cos sin cos sinπ π π π π
x x x x− −
= × =
5.3. ( ) ( )( ) ( ) ( )e e 1
2 2 2log e log logf x x x x−′ ′′ = = =
( ) ( )e 1
e 1 2
2
e log1e log
ln 2 ln 2
xx
x x
−−
= × =
5.4. ( )11 1
lnlne e
x xxx xf x x
′ ′ = = = =
( )1 1
ln1 1 1ln e ln ln
xx xx x x x
x x x
′ ′ ′ = = + =
1 1
2 2
ln 1 1 1 lnx x
x xx x
x x x x
− = − + × =
5.5. ( )1 1
ln 1 ln 111 e e
xx
xx xf x
x
+ +
′ ′′ ′ = + = = =
1ln 11
ln 1 ex
xxx
+
′ = + =
1 1 1
ln 1 ln 1 1
x
x xx x x
′ ′= + + + + =
11
1 1ln 1 1
11
x
xx
x x
x
′ + = + + × + = +
2
11 1
ln 11
xx xx
xx x
x
− + = + × + = +
2
1 1
x x
x x
x x
= =
= =
1 1 1ln 1
1
xx
x x x
+ = − + +
105
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Pág. 170
6.1. ( ) exf x x=
Domínio e continuidade:
f
D =ℝ f é contínua em ℝ
Zeros:
( ) 0 e 0 0xf x x x= ⇔ = ⇔ =
Monotonia e extremos:
( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e 1x x x x x xf x x x x x x′ ′′ ′= = + = + = +
( ) ( )0 e 1 0 1 0 1xf x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
x −∞ –1 +∞f ' – 0 +
f ց 1e−− ր
Mín.
Concavidades e inflexões
( ) ( )( ) ( )( ) ( )e 1 e 1 e 1x x xf x x x x′ ′′′ = + = + + + =
( ) ( )e 1 e e 2x x xx x= + + = +
( ) ( )0 e 2 0 2 0 2xf x x x x′′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
x −∞ –2 +∞f " – 0 +
f ∩ 22 e−− ∪
PI
Assíntotas:
Verticais: Como f
D =ℝ e f é contínua, o gráfico da
função não tem assíntotas verticais.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Em +∞ :
( ) e
lim lim lim ex
x
x x x
f x xm
x x→+∞ →+∞ →+∞= = = = +∞
O gráfico de f não tem assíntotas não verticais quando
x→ +∞
• Em −∞ :
( ) e
lim lim lim e 0x
x
x x x
f x xm
x x→−∞ →−∞ →+∞= = = =
( )( )0
lim lim ex
x xb f x ax x
∞×
→−∞ →−∞= − = =
( )lim e lime
y
yy y
yy −
→+∞ →+∞= − = − =
1 10
elim
y
y y→+∞
− = − =+∞
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f.
Gráfico:
6.2. ( ) e 2
e 1
x
xf x
+=
−
Domínio e continuidade:
{ } { }: e 1 0 \ 0x
fD x= ∈ − ≠ =ℝ ℝ
f é contínua em f
D .
Zeros:
( )0e 2
0 0e 1
x x
xf x
≠+= ⇔ = ⇔
−e 2 0x+ = e 2x x⇔ = − ⇔ ∈∅
f não tem zeros
Monotonia e extremos:
( ) e 2
e 1
x
xf x
′ +′ = = −
( ) ( ) ( )( )
( )2e 2 e 1 e 2 e 1
e 1
x x x x
x
′ ′+ − − + −= =
−
( ) ( )
( )2e e 1 e e 2
e 1
x x x x
x
− − += =
−
( )( )2
e e 1 e 2
e 1
x x x
x
− − −=
−
( )23e
e 1
x
x
−=
−
Como { } ( )\ 0 , 0x f x′∀ ∈ <ℝ , f é decrescente em
] [, 0−∞ e em ] [0 , +∞ e não admite qualquer extremo.
Concavidades e inflexões:
( )( )2
3e
e 1
x
xf x
′ − ′′ = = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
4
3e e 1 3e e 1
e 1
x x x x
x
′′ − − − − − = =−
( ) ( ) ( )
( )
2
4
3e e 1 3e 2 e 1 e 1
e 1
x x x x x
x
′− − + × − −= =
−
( )( )( )4
3e e 1 e 1 2e
e 1
x x x x
x
− − − −= =
−
( )( )3
3e e 1
e 1
x x
x
+
−
( ) 0, ff x x D′′ ≠ ∀ ∈
O sinal de ( )f x′′ é o sinal de ( )3e 1x − .
x −∞ 0 +∞f " – +
f ∩ ∪
Assíntotas:
Verticais:
f é contínua em ℝ \ {0}
( )0 0
e 2 3lim lim
e 1 0
x
xx x
f x− − −→ →
+= = = −∞
−
( )0 0
e 2 3lim lim
e 1 0
x
xx x
f x+ + +→ →
+= = = +∞
−
A reta de equação 0x = é assíntota ao gráfico de f.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→−∞ :
( )
e 2 0 2
2e 1 0 1lim lim 0
x
x
x x
f xm
x x→−∞ →−∞
+ +−− −= = = = =
−∞ −∞
( ) e 2 0 2lim lim 2
e 1 0 1
x
xx xb f x mx
→−∞ →−∞
+ += − = = = − − −
Se ,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→−∞ → +∞
e 1 0
e 1
0
x
x
x
− = ⇔⇔ = ⇔⇔ =
106
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
• Quando x→+∞ :
( )
( )
e 2
e 2e 1lim lim lime 1
x
xx
xx x x
f xm
x x x
+∞+∞
→+∞ →+∞ →+∞
++−= = = = =−
( )
21
1 0 1elim 01 1 0
1e
x
x
xx
→+∞
+ += = = =
+∞ − +∞ −
( ) e 2lim lim
e 1
x
xx xb f x mx
→+∞ →+∞
+= − = = −
21
elim 11
1e
x
x
x
→+∞
+=
−
As retas de equações 2y = − e 1y = são assíntotas ao
gráfico de f quando x→−∞ e quando x→+∞ ,
respetivamente.
Gráfico:
6.3. ( ) 2 e xf x x −= − +
Domínio e continuidade:
f
D =ℝ e f é contínua
Monotonia e extremos:
( ) ( )2 e 1 e 0,x xf x x x− −′′ = − + = − − < ∀ ∈ℝ
Como ( ), 0x f x′∀ ∈ <ℝ , f é estritamente decrescente em
ℝ pelo que não tem extremos.
Concavidades e inflexões:
( ) ( )1 e e 0,x xf x x− −′′′ = − − = > ∀ ∈ℝ
Como ( ), 0x f x′′∀ ∈ >ℝ , o gráfico de f tem concavidade
voltada para cima em ℝ.
Assíntotas
Verticais: Como f
D =ℝ e f é contínua, o gráfico da
função não tem assíntotas verticais.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→−∞ :
( ) 2 e
lim limx
x x
f x xm
x x
−
→−∞ →−∞
− += = =
2 elim 1
x
x x x
−
→−∞
− +
e
0 1 limx
x x
−
→−∞= − − =
−e
1 limy
y y→+∞− −
( )1= − − +∞ = −∞
Não existe assíntota em −∞ .
• Quando x→+∞ :
( ) 2 e
lim limx
x x
f x xm
x x
−
→+∞ →+∞
− += = =
2 e
lim 1 lim 0 1 0 1x
x xx x
−
→+∞ →+∞
= − − − = − + = −
( ) ( )lim lim 2 e x
x xb f x mx x x−
→+∞ →+∞= − = − + + =
( )lim 2 e 2 0 2x
x
−
→+∞= + = + =
A reta de equação 2y x= − + é uma assíntota ao
gráfico de f em +∞ .
Gráfico:
6.4. ( ) e sinxf x x=
Domínio e continuidade:
[ ]π , πfD = −
f é contínua em [ ]π , π−
Zeros
( ) 0 e sin 0 sin 0xf x x x= ⇔ = ⇔ =
Em [ ]π , π− : π 0 πx x x= − ∨ = ∨ =
Monotonia e extremos:
( ) ( ) ( ) ( )e sin e sin e sinx x xf x x x x′ ′ ′′ = = + =
( )e sin e cos e sin cosx x xx x x x= + = +
( ) ( )0 e sin cos 0xf x x x′ = ⇔ + = ⇔
π
sin cos sin sin2
x x x x
⇔ = − ⇔ = − ⇔
π
sin sin2
x x
⇔ = − ⇔
π π
2 π π 2 π,2 2
x x k x x k k ⇔ = − + ∨ = − − + ∈
ℤ
3π
2 2 π,2
x k k⇔ = + ∈ ⇔ℤ3π
π,4
x k k= + ∈ℤ
Em [ ] ( ) π 3ππ , π , 0
4 4f x x x′− = ⇔ = − ∨ =
x π− π
4−
3π
4 π
f ' – 0 + 0 –
f 0 ց a ր b ց 0
Mín. Máx.
π
4π
4
π π 2e sin
4 42e
f a− − = − = − =
3π3π 44
3π 3π 2 ee sin
4 4 2
= = =
f b
Concavidades e inflexões
( ) ( )( )e sin cos′′′ = + =xf x x x
( ) ( ) ( )e sin cos e sin cos′ ′= + + + =x xx x x x
( ) ( )e sin cos e cos sin= + + − =x xx x x x
( )e sin cos cos sin 2e cosx xx x x x x= + + − =
( ) 0 2e cos 0 cos 0′′ = ⇔ = ⇔ =xf x x x
Em [ ] π ππ , π :
2 2− = − ∨ =x x
x π− π
2−
π
2 π
f " – 0 + 0 –
f 0 ∩ ∪ ∩ 0 P.I. P.I.
Se ,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→ −∞ → +∞
107
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
π
2π
2
π π 1e sin
2 2e
f− − = − = −
π π
2 2π π
e sin e2 2
f = =
Assíntotas:
Verticais: Como f é contínua em [ ]π , πfD = − , o gráfico
de f não tem assíntotas verticais
Não verticais: Como f
D é um conjunto limitado, o
gráfico de f não tem assíntotas não verticais.
Gráfico:
Pág. 172
7.1. ( ) ln xf x
x=
Domínio e continuidade:
{ }: 0 += ∈ > =ℝ ℝfD x x
f é contínua
Zeros:
( ) ln0 0 0= ⇔ = ∧ > ⇔
xf x x
xln 0 0 1x x x= ∧ > ⇔ =
Monotonia e extremos:
( ) ( )2
ln lnln ′′ ′− × ′ = = =
x x x xxf x
x x2
1lnx x
x
x
× −
2
1 ln x
x
−=
( ) 0 1 ln 0 0′ = ⇔ − = ∧ > ⇔f x x x ln 1 0x x= ∧ >
ex⇔ =
x 0 e +∞f ' + 0 –
f ր 1
e ց
Máx.
( ) ln e 1e
e e= =f
Concavidades e inflexões
( )( ) ( )( )
( )
2 2
22 2
1 ln 1 ln1 ln x x x xxf x
x x
′′′ − − −− ′′ = = =
( )2
4
11 ln 2x x x
x
x
− × − − ×= =
( )4
2 1 lnx x x
x
− − −
( )
3 3
1 2 1 ln 2ln 3x x
x x
− − −= =
( ) 30 2ln 3 0 0 ln 0
2′′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ >f x x x x x
3
32e e⇔ = ⇔ =x x
x 0 3e +∞
f " – 0 +
f ∩ ∪ P.I.
( )3
3
3 3
ln e 3e
e 2 e= =f
Assíntotas:
Verticais
f é contínua em ℝ .
( )0 0
lnlim lim
0x x
xf x
x+ + +→ →
−∞= = = −∞
Não verticais: ( ) lnlim lim 0x x
xf x
x→+∞ →+∞= =
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f
quando →+∞x .
Gráfico:
7.2. ( ) 2 lnf x x x=
Domínio: { }: 0 += ∈ > =ℝ ℝfD x x
Zeros:
( ) 20 ln 0 0= ⇔ = ∧ >f x x x x ln 0 0 1x x x= ∧ > ⇔ =
Monotonia e extremos:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln ln′ ′ ′′ = = + =f x x x x x x x
2 12 ln 2 ln= + × = +x x x x x x
x
( ) 0 2 ln 0 0′ = ⇔ + = ∧ >f x x x x x
( )2ln 1 0 0⇔ + = ∧ > ⇔x x x
2 ln 1 0 0⇔ + = ∧ > ⇔x x1
ln 02
x x= − ∧ >
1
21
ee
−⇔ = ⇔ =x x
x 0 1
e +∞
f ' – 0 +
f ց 1
2e− ր
Mín.
1
21 1 1
ln ee 2ee
− = = −
f
Concavidades e inflexões:
( ) ( ) ( ) ( )2 ln 2 ln 2 ln 1′ ′ ′′′ = + = + + =f x x x x x x x x
1
2ln 2 1 2ln 3= + × + = +x x xx
( ) 0 2ln 3 0 0′′ = ⇔ + = ∧ >f x x x3
ln 02
x x⇔ = − ∧ >
3
2
3
1e
ex x
−⇔ = ⇔ =
x 0 3
1
e +∞
f " – 0 +
f ∩ 3
3
2e− ∪
P.I.
Assíntotas
Verticais: f é contínua em ℝ+
108
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) ( )2
0 0lim lim lnx x
f x x x+ +
∞ ∞
→ →= =
2
1 1lim lny y y→+∞
11 1lim lny
yy y
−
→+∞
= × =
1 lnlim limy y
y
y y→+∞ →+∞
× −
ln
0 lim 0 0 0y
y
y→+∞= − × = × =
O gráfico de f não tem assíntotas verticais.
Não verticais = +y mx b :
( ) 2 ln
lim lim→+∞ →+∞
= = =x x
f x x xm
x x( )lim ln
xx x
→+∞= +∞
O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.
Gráfico:
7.3. ( ) ln1
xf x
x
= +
Domínio:
: 01
f
xD x
x
= ∈ > = +
ℝ ] [ ] [, 1 0 ,−∞ − ∪ +∞
x −∞ 1− 0 −∞
x − − − 0 +
x + 1 − 0 + + +
Q + − 0 +
Zeros:
( ) 0 ln 01
= ⇔ = ∧ ∈ ⇔ +
f
xf x x D
x
1 11
f f
xx D x x x D
x⇔ = ∧ ∈ ⇔ = + ∧ ∈
+
x⇔ ∈∅
f não tem zeros.
Monotonia e extremos:
( ) 1ln
1
1
x
x xf x
xx
x
′ ′ + ′ = = = + +
( )21
1
1
x x
x
x
x
+ −
+=
+
( )21
1
1
x
x
x
+=
+
( ) ( )2
1 10,
11f
xx D
x xx x
+= = > ∀ ∈
++
Como ( ), 0fx D f x′∀ ∈ > , f é estritamente crescente em
] [, 1−∞ − e em ] [0 , +∞ .
Concavidades e inflexões:
( )( ) ( )
( )
2 2
22 2
1 11 x x x xf x
x x x x
′′′ + − × + ′′ = = = + +
( )22
2 1x
x x
+= −
+
( ) 0 2 1 0 ff x x x D′′ = ⇔ + = ∧ ∈ ⇔
1
2fx x D x⇔ = − ∧ ∈ ⇔ ∈∅
O gráfico de f não tem pontos de inflexão
x −∞ –1 0 +∞
f ' + –
f ∪ ∩
Assíntotas:
Verticais:
f é contínua em ] [ ] [, 1 0 ,−∞ − ∪ + ∞
( ) ( )1 1
1lim lim ln ln ln
1 0x x
xf x
x− − −→− →−
− = = = +∞ = +∞ +
( )0 0
0lim lim ln ln
1 1x x
xf x
x+ +
+
→ →
= = = −∞ +
As retas de equações 1x = − e 0x = são assíntota ao
gráfico de f
Não verticais: ( )y mx b= + :
• Quando x→ −∞ :
( ) ln
ln11lim lim 0
x x
x
f x xm
x x→−∞ →−∞
+ = = = =
−∞
( )lim lim ln ln1 01x x
xb f x mx
x→−∞ →−∞
= − = = = +
• Quando x→ +∞ :
( ) ln
ln11lim lim 0
x x
x
f x xm
x x→+∞ →+∞
+ = = = =
+∞
( )lim lim ln ln1 01x x
xb f x mx
x→+∞ →+∞
= − = = = +
A reta de equação 0y = é assíntota ao gráfico de f
quando x→±∞ .
Gráfico:
7.4. ( ) 2
1 1log
1 1f x
x x
= + +
Domínio:
1
: 1 0 01
fD x xx
= ∈ + ≠ ∧ > = +
ℝ ] [1,− +∞
Zeros:
( ) 2
1 10 log 0 1
1 1f x x
x x
= ⇔ = ∧ > − ⇔ + +
2
1log 0 1
1x
x
⇔ = ∧ > − ⇔ +
11 1
1x
x= ∧ > −
+
1 1 1 0x x x⇔ = + ∧ > − ⇔ =
Monotonia e extremos:
( ) 2
1 1log
1 1f x
x x
′ ′ = = + +
2 2
1 1 1 1log log
1 1 1 1x x x x
′′ = + = + + + +
( ) 22
1
1 1 1 1log
11 11 ln 21
x
x xxx
′ + = − + × = + + ++
10
11 0
1
xx
x
>+⇔ + > ⇔⇔ > −
1 1
Se 0 ,
y xx y
x y+
= ⇔ =
→ → +∞
109
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( )
( )222
1
11 1 1log
11 11 ln 21
x
x xxx
−
+ = − + × = + + ++
( ) ( )
2
2 2
1log
11
1 ln 2 1
x
x x
+ = − − =+ +
( )
2
2
1ln 2 log 1
1
ln 2 1
x
x
× + + = − =+
( ) ( )2 2
1ln
11 ln 1ln 2 11ln 2
ln 2 1 ln 2 1
x
x
x x
+ +× + + = − = −+ +
( ) 10 ln 1 0 1
1f x x
x
′ = ⇔ + = ∧ > − ⇔ +
1 1 1
ln 11 1 ex x
⇔ = − ⇔ = ⇔ + +
1 e e 1x x⇔ + = ⇔ = −
x –1 e 1− +∞
f ’ – 0 +
f ց ր
Mín.
( ) 2
1 1e 1 log
e ef
− = =
1
1ln
1 1 lne 1e
e ln 2 e ln 2 eln2
−
× = × = −
Concavidades e inflexões:
( )( )2
1ln 1
1
ln 2 1
xf x
x
′ + + ′′ = = +
( ) ( )
( )( )
2 2
22
1 1ln 1 ln2 1 ln 1 ln2 1
1 1
ln2 1
x xx x
x
′ ′ + + − + + + + = =+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 4
1
1 1ln2 1 ln 1 ln2 2 1
1 1
1
ln2 1
xx x
x
x
x
+ − − + − + × + + += =
+
( ) ( )
( ) ( )
2
2 4
1 1ln2 1 2ln2 1 ln 1
1 1
ln2 1
x xx x
x
− × × + − × + + + + = =+
( )
( ) ( )2 4
1ln2 1 1 2ln 2
1
ln2 1
xx
x
× + − − − + = =+ ( )3
12ln 3
1
1 ln 2
x
x
− − + +
( ) 10 2ln 3 0 1
1f x x
x
′′ = ⇔ − − = ∧ > − ⇔ +
1 3
ln 11 2
xx
⇔ = − ∧ > − ⇔ +
3
21
e2x
−= ⇔
+
3
21 ex⇔ + = ⇔ 3e 1x = −
x 1− 3e 1− +∞
f " + 0 –
f ∪ ∩
P.I.
Assíntotas
Verticais
f é contínua em ] [1 ,fD = − + ∞
( ) 21 1
1 1lim lim log
1 1x xf x
x x+ +→− →−
= = + + 2
1 1log
0 0+ +
=
( )= +∞× +∞ = +∞
A reta de equação 1x = − é uma assíntota ao gráfico de f.
Não verticais
( )( )0
2
1 1lim lim log
1 1x xf x
x x
×∞
→+∞ →+∞
= = + +
( ) 1
2
1lim log 1
1xx
x
−
→+∞= + =
+
( )2log 1lim
1x
x
x→+∞
− +
+
( )ln 1 1
limln 2 1x
x
x→+∞
+ = − × = +
( )ln 11
limln 2 1x
x
x→+∞
+= − × =
+1 ln
limln 2 x
y
y→+∞−
1
0 0ln 2
= − × =
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f
quando x→+∞ .
Gráfico
Pág. 173
8.1. ( ) ( )0 ln ln 0f x a x x= ⇔ − = ⇔
ln 0 ln 0a x x⇔ − = ∨ = ⇔
ln ln 0x a x⇔ = ∨ = ⇔ e 1ax x= ∨ =
Logo, se 0a ≠ , f tem dois zeros: ea e 1
8.2. fD += ℝ
( ) ( )ln lnf x a x x ′′ = − =
( ) ( )( )ln ln ln lna x x a x x′ ′= − + − =
( )1 1ln lnx a x
x x= − × + − × =
ln ln 2lnx a x a x
x x
− + − −= =
( ) 2ln0 0 2ln 0 0
a xf x a x x
x
−′ = ⇔ = ⇔ − = ∧ > ⇔
2ln 0 e2
aa
x x x⇔ = ∧ > ⇔ =
( )02ln
0 0xa x
f xx
>−′ > ⇔ > ⇔ 2ln 0a x− > .
2 ln x a⇔ < ⇔ 2ln e2
aa
x x< ⇔ <
x 0 2ea
+∞
f ' + 0 –
f ր 2
4
a ց
Máx.
1
Se ,
y x
x y
= +→ +∞ → +∞
110
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
2
2 2 2e ln e ln e2 2 4
a a aa a a
f a a = − = − × =
Logo, f tem um máximo absoluto igual a 2
4
a.
8.3. ( ) ( ) ( )2
2ln 2ln2ln a x x a x xa xf x
x x
′′ ′− − −− ′′ = = =
2 2
22ln
2ln 2x a x
x ax
x x
−× − + − −
= =
( ) 0 2ln 2 0 0f x x a x′′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔
2
ln 0 ln 1 02 2
a ax x x x
+⇔ = ∧ > ⇔ = + ∧ >
1
2ea
x+
⇔
( )0
2
2ln 20 2ln 2 0
xx af x x a
x
>− −′′ > ⇔ ⇔ − − > ⇔
1
22
2ln 2 ln e2
aa
x a x x++
⇔ > + ⇔ > ⇔ >
x 0 12ea+
+∞
f " – 0 +
f ∩ ∪ P.I.
Logo, o gráfico de f tem um ponto de inflexão de abcissa
12ea+
8.4. Assíntotas verticais
f é contínua em ℝ+.
( ) ( ) ( ) ( )0 0
lim lim ln lnx x
f x a x x+ +→ →
= − = − −∞ × −∞ = −∞
A reta de equação 0x = é uma ssíntota ao gráfico de f.
Assíntotas não verticais ( )y mx b= +
( ) ( )ln ln
lim limx x
f x a x xm
x x→+∞ →+∞
−= = =
( )2ln lnlimx
a x x
x→+∞
−
( )2lnln
lim limx x
xxa
x x→+∞ →+∞= − =
2
0 lime yy
ya
→+∞× −
2
1 10 0
elim
y
y y→+∞
= − = − =+∞
( ) ( )lim lim ln lnx x
b f x a x x→+∞ →+∞
= = − = ( )−∞× +∞ = −∞
O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.
Portanto, o gráfico de f tem uma única assíntota.
Pág. 174
9.1. f
D = ℝ
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4e e ex x xf x x x x′ ′ ′′ = = + = 3 44 e ex xx x+ =
( )3 4e 4x x x= +
( ) ( )3 4 3 40 e 4 0 4 0
xf x x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔
3 0 4 0 0 4x x x x⇔ = ∨ + = ⇔ = ∨ = −
x −∞ 4− 0 +∞f ' + 0 – 0 +
f ր 4256e− ց 0 ր
Máx. Mín.
( ) ( ) ( )4 4 44 4 e 256e ; 0 0f f− −− = − = =
f é estritamente crescente em ] ], 4−∞ − e em [ [0 , + ∞ e
estritamente decrescente em [– 4, 0].
f tem um máximo relativo igual a 4256e− para 4x = − e
mínimo absoluto igual a 0 para 0x = .
9.2. f
D = ℝ
( ) ( )e 2 2 e 2x xf x x′′ = − − = −
( ) 0 e 2 0 e 2 ln 2x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
( ) ln 2ln2 e 2 2 ln2 2ln2f = − − ×× = −
x −∞ ln2 +∞
f ' – 0 +
f ց 2ln2− ր Mín.
f é estritamente decrescente em ] ], ln 2−∞ e estritamente
crescente em [ [ln 2 , + ∞ .
f tem um mínimo absoluto igual a 2ln 2− para ln 2x = .
9.3. fD += ℝ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2ln ln lnf x x x x x x x′ ′′ ′= = + =
( ) ( ) ( )2 2 1ln 2ln ln ln 2 lnx x x x x x x
x
′= + × × = + ×
( )2ln 2lnx x= +
( ) ( )20 ln 2ln 0f x x x′ = ⇔ + = ⇔ ( )ln ln 2 0x x + = ⇔
2ln 0 ln 2 1 ex x x x −⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ =
( ) ( )2 2 2 2 2e e ln e 4ef − − − −= =
x 0 2e− 1 +∞
f ' + 0 – 0 +
f ր 24 e− ց 0 ր
Máx. Mín.
f é estritamente crescente em 20 , e− e em [ [1 , + ∞ e
estritamente decrescente 2e ,1− .
f tem um máximo relativo igual a 24e− para 2ex −= e
mínimo absoluto igual a 0 para 1x = .
9.4. f
D = ℝ . Se 0x ≠ :
( )2
2
1e xf x
x
−′ ′ = − − =
( ) ( ) 2
2 2
2
4
1 1e x
x xx
x
−
′′ × − × ′= − − − =
2
2 24
4 3 3
2 2 2 2 e2 e 2 e
xx xx x
x xx x x
−− − +
= + = + =
{ }24\ 0 , 2 2 e 0xx x −∀ ∈ + ≠ℝ
Logo, ( ) { }0, \ 0f x′ ≠ ∀∈ℝ
x −∞ 0 +∞
f ' – +
f 0 ց
−∞ 0
−∞ ր
0
Máx.
ln e
Se ,
yy x x
x y
= ⇔ =→ +∞ → +∞
111
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Dado que:
• f é contínua em ℝ \ {0}
• ( )2
2
1lim lim e 0 e 0x
x xf x
x
− −∞
→−∞ →−∞
= − − = − =
• ( ) ( )2
200 0
1lim lim lim e x
xx xf x f x
x− +
−
→→ →
= = − − = −∞
• ( )2
2
1lim lim e 0 e 0x
x xf x
x
− −∞
→+∞ →+∞
= − − = − − =
• f é estritamente decrescente em ] [, 0−∞ e estrita-mente
crescente em ] [0 , + ∞ .
( )0 0f = é o máximo absoluto de f.
10.1. f
D = ℝ
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2e 2 e 1 4 ex x x x x xf x x x x− − −′ ′′ = = − = −
( ) ( )( )221 4 ex xf x x − ′′′ = − =
( ) ( )( )2 22 21 4 e 1 4 ex x x xx x− − ′′= − + − =
( )( )2 22 24e 1 4 1 4 ex x x xx x− −= − + − − =
( )2 22 2 24e 1 8 16 ex x x xx x− −= − + − + =
( )22 2e 16 8 3x x x x−= − −
( ) ( )22 20 e 16 8 3 0x xf x x x−′′ = ⇔ − − =
216 8 3 0x x⇔ − − = ⇔
8 64 192 8 256
32 32x x
± + ±⇔ = ⇔ = ⇔
8 16 1 3
32 4 4x x x
±⇔ = ⇔ = − ∨ =
1 1 3
4 8 81
e e4
f− − − − = =
;
3 9 3
4 8 83
e e4
f− − = =
x −∞ 1
4−
3
4 +∞
f " + 0 – 0 +
f ∪ 3
8e−
∩ 3
8e−
∪
P.I. P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em
1,
4
−∞ − e em
3,
4
+ ∞ e voltada para baixo em
1 3,
4 4
− .
3
81
, e4
− −
e 3
83
, e4
−
são pontos de inflexão.
10.2. ( ) ( )( ) ( )2
2
2
1ln 1
1
xf x x
x
′+′′ = + = =+
( )2
2
2
1
2 1
1
x
x
x
′+
+ =+
( ) 22
2
12 1
x x
xx= =
++
( )( ) ( )
( )
2 2
22 2
1 1
1 1
x x x xxf x
x x
′′′ + − + ′′ = = = + +
( ) ( )
2 2
2 22 2
1 2 1
1 1
x x x x
x x
+ − × −= =
+ +
( )( )
22
22
10 0 1 0
1
xf x x
x
−′′ = ⇔ = ⇔ − = ⇔
+
2 1x =
1 1x x⇔ = − ∨ =
( )1 ln 2f − = ( )1 ln 2f =
x −∞ –1 1 +∞f " – 0 + 0 –
f ∩ ln 2 ∪ ln 2 ∩
P.I. P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em
] [, 1−∞ − e em ] [1 , + ∞ e voltada para cima em ] [1 ,1− .
( )1, ln 2− e ( )1, ln 2 são pontos de inflexão.
11.1. ( ) ( )2
ln lnln1
x x x xxf x x
x x
′′ ′× − × ′ = − = − =
2 2
1ln
1 ln1 1
x xxx
x x
× − −= − = − =
2
2
1 lnx x
x
− +
11.2. ( )2
2
1 lnx xf x
x
′ − +′′ = =
( ) ( )( )2 2 2 2
4
1 ln 1 lnx x x x x x
x
′ ′− + − − += =
( )2 2
4
12 1 ln 2x x x x x
x
x
+ − − + × = =
( )2 2
4
2 1 2 2 2lnx x x x
x
+ − + −= =
3
3 2ln x
x
−
fD += ℝ
( )3
3 2ln0 0 0
xf x x
x
−′′ = ⇔ = ∧ > ⇔
3 2ln 0 0x x− = ∧ >3
ln 02
x x⇔ = ∧ > ⇔ 2ex3
=
3 33 3 322 2
3 3 3
2 2 2
3e
ln e 2e 32e e
e e 2e
f
− −= − = =
x 0 3
2e +∞
f " + 0 –
f ∪ ∩ P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em 3
20 , e
e voltada pra baixo em 3
2e ,
+ ∞
.
O ponto de abcissa 3
2e é um ponto de inflexão.
Pág. 175
12. ( ) ( )2 2ln lnln1
2 2
x xxf x x
′ ′× ′ = − = − =
2ln
12
x
x−
2ln ln
1 12
x x
x x= − = −
( ) ( )2
ln lnln1
x x x xxf x
x x
′′ ′× − × ′′ = − = − =
2 2
1ln
ln 1x x
xx
x x
× − −= − =
112
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( )2
ln 10 0 0
xf x x
x
−′′ = ⇔ = ∧ > ⇔ ln 1 0 0x x− = ∧ > ⇔
ln 1 0x x⇔ = ∧ > ⇔ ex =
( )2ln e 1
e e e2 2
f = − = −
x 0 e +∞f " – 0 +
f ∩ 1
e2
− ∪
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em
] [0 , e e voltada para cima em ] [e , +∞ . O ponto
1e , e
2
−
é um ponto de inflexão do gráfico de f.
13. Pretende-se provar que a equação:
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇔ − =
tem uma e uma só solução em [1, 2].
Seja h a função definida em ℝ por ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ,
ou seja, ( ) e 2 2xh x x= − − .
• h é contínua em ℝ por ser a soma de duas funções
contínuas em ℝ.
Logo, h é contínua em [1, 2].
• ( )1 e 2 2 e 4 0h = − − = − <
( ) 2 22 e 4 2 e 6 0h = − − = − >
Como h é contínua em [1, 2] e ( ) ( )1 2 0h h× < , pelo
corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, h admite pelo
menos um zero em ]1, 2[.
( ) ( )e 2 2 e 2x xh x x′′ = − − = −
( ) 0 e 2 0 e 2 ln 2x xh x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
x −∞ ln 2 +∞f ' – 0 +
f ց ր
[ ] [ [1, 2 ln 2 ,+∞⊂
h é estritamente crescente em ]1, 2[, pois neste intervalo
( ) 0h x′ > , pelo que o zero cuja existência se provou no
intervalo ]1, 2[ é único.
Pág. 176
14.1. f
D = ℝ ; g
D = ℝ
( ) ( )( ) ( )2
2
2 2
1 2ln 1
1 1
x xf x x
x x
′+′′ = + = =+ +
( ) 0 2 0 0f x x x′ = ⇔ = ⇔ =
( )0 0f =
x −∞ 0 +∞f ' – 0 +
f ց 0 ր
Como ] [ ] [1 , 2 0 ,⊂ +∞ , f é crescente em ]1, 2[
( ) ( )2 21 11 e 2 ex xg x x− −′′ = + = −
( )210 2 e 0 2 0 0xg x x x x−′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
x −∞ 0 +∞g' + 0 –
g ր 0 ց
Como ] [ ] [1 , 2 0 ,⊂ +∞ , g é decrescente em ]1, 2[ .
14.2. Consideremos a função h definida por:
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
( ) ( ) 22 1ln 1 1 e xh x x −= + − −
A função h é uma função contínua em ℝ por ser definida
pela composta e soma de funções contínuas em ℝ.
Portanto, h é contínua em [1, 2].
( ) ( ) 01 ln 2 1 e ln 2 2 0h = − − = − <
( ) ( ) 32 ln 5 1 e 0h −= − − >
Logo, como h é contínua em [1, 2] e ( ) ( )1 2 0h h× < , pelo
corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy podemos
concluir que a equação ( ) 0h x = tem pelo menos uma
solução em ]1, 2[.
Como f é crescente e g é decrescente em ]1, 2[, existe
apenas um ponto de interseção do gráfico de f e g.
Como recurso à calculadora gráfica, determinam-se as
coordenadas desse ponto: ( )1,56 ;1,24P
Pág. 177
15.1. ( )1 1
ln ln1e ln e
x xx xf x x
x
′ ′ ′ = = =
( )1
1 1ln ln xx x x
x x
′ ′ = + =
1
2
1 1 1ln xx x
x x x
= − + × =
( ) ( )1
12
21 ln 1 ln
xx
xx x x
x
−= − = −
( ) ( )0 1 ln 0 0 ln 1 0f x x x x x′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ > ⇔
ex⇔ =
x 0 e +∞f ' + 0 –
f ր 1
ee ց
Máx.
f é estritamente crescente em ]0, e] e estritamente
decrescente em [ [e , +∞ .
( )1
ee ef = é o máximo absoluto de f.
15.2. ( )11 1
lnln
0 0 0 0lim lim lim e lim e
x xxx x
x x x xf x x
+ + + +→ → → →= = = =
( )
e e 0+∞× −∞ −∞= = =
( )11 1
lnlnlim lim lim e lim e
x xxx x
x x x xf x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = =
ln
lim ex
x
x→+∞
0e 1= = , dado que ln
lim 0x
x
x→+∞=
15.3. f é contínua em ℝ+.
Tendo em conta os resultados obtidos em 15.1. e 15.2.,
1
e0 , efD
′ =
113
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Pág. 178
16.1. :r y mx= ( )0, porque a reta passa na origemb r=
( ) ( )2
ln lnln x x x xxf x
x x
′′ ′− × ′ = = = 2
1lnx x
x
x
× −=
2
1 ln x
x
−=
• No ponto de tangência, o declive, m, da reta r, é igual
à derivada de f: 2
1 ln xm
x
−=
• O ponto de tangência é comum à reta r de equação
y mx= e ao gráfigo de f, ln x
yx
= , pelo que
ln xmx
x= , ou seja,
2
ln xm
x= .
Temos 2
1 ln xm
x
−= e
2
ln xm
x= de onde se pode concluir:
0
2 2
1 ln ln1 ln ln 2ln 1
xx xx x x
x x
>−= ⇔ − = ⇔ = ⇔
1ln
2x = ⇔
1
2ex⇔ =
Como 2
ln xm
x= , vem
1
2
2 11
2
1
lne 12
e 2ee
m = = =
.
A equação da reta r é 1
2ey x= .
16.2. :s y mx b= +
( )( ) ( )( )2 2
2 4
1 ln 1 ln1 ln x x x xxf x
x x
′′′ − − −− ′′ = = =
( ) ( )2
4 4
11 ln 2 1 2 2lnx x x x xx
x x
− × − − − − += = =
3
2ln 3x
x
−=
( ) 30 2ln 3 0 0 ln 0
2f x x x x x′′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ >
3
2ex⇔ =
x 0 3
2e +∞
f " – 0 +
f ' ց 3
1
2e− ր
Mín
33 22
2 3 33
2
31
1 ln e 12ee 2e
e
f
− −′ = = = −
f ' tem mínimo absoluto igual a 3
1
2e− para
3
2ex = .
33 22
3 3 3
2 2 2
3
ln e 32e
e e 2e
f
= = =
Ponto de tangência: 3
23
2
3e ,
2e
P
Declive: 3
1
2em = −
Equação da reta s:
3
23 3
2
3 1e
2e2e
y x
− = − − ⇔
3
2
33 3
2
1 e 3
2e 2e2e
y x= − + +
3 33
2 2
1 1 3
2e2e 2e
y x⇔ = − + + ⇔
33
2
1 4
2e2e
y x⇔ = − + ⇔33
2
1 2
2ee
y = − +
16.3. ( )2
1 ln xf x
x
−′ =
• f é contínua em ℝ+ por se tratar da soma e quociente
de funções contínuas em ℝ+.
• ( ) ( )2
1 ln 1,51,5 0,26
1,5f
−′ = ≈
( )2
1 ln 22 0,08
2f
−′ = ≈
( ) ( )2 0,1 1,5f f′ ′< <
Logo, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo
menos um ponto c no intervalo ]1,5; 2[ tal que f ’(c) = 0,1,
ou seja, em que o declive da reta tangente ao gráfico de f é
igual a 0,1.
Como, neste intervalo, f ’ é estritamente decrescente, o
ponto c cuja existência se provou é único pelo que o ponto
de tangência, A, também é único.
Recorrendo à calculadora gráfica, verifica-se que
( )1,90 ; 0,34A
17.1. Para 0x < :
( ) ( ) ( )( ) ( )2 22
2
ln lnln x x x xxf x
x x
′′ ′− × − − × −′ = = =
( )( ) ( ) ( )2
2
2 ln ln lnx x x x
x
′− − × − −= =
( ) ( )2
2
12 ln lnx x x
x
x
−× × − × − −−= =
( ) ( )2
2
2ln lnx x
x
− − −=
( ) ( ) ( )20 2ln ln 0 0f x x x x′ = ⇔ − − − = ∧ < ⇔
( ) ( )( )ln 2 ln 0 0x x x⇔ − − − = ∧ < ⇔
( ) ( )ln 0 ln 2 0x x x⇔ − = ∨ − = ∧ < ⇔
21 e 0x x x⇔ − = ∨ − = ∧ < ⇔ 21 ex x= − ∨ = −
Para 0x > :
( ) ( )( ) e 2 eln e 1 2 2
e 1 e 1
x xx
x xf x x
−′′ = − − = − =− −
3 33
2 2− =
114
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) 0 2 e 0 0 e 2 0x xf x x x′ = ⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ > ⇔
ln 2x⇔ =
x −∞ 2e− –1 0 ln 2 +∞
f ' – 0 + 0 – + 0 –
f ց ր ց ր ց
Mín. Máx Máx.
f é estritamente decrescente em 2, e −∞ − , em [ [1, 0− e
em [ [ln 2 , + ∞ e estritamente crescente em 2e , 1 − − e
em ] ]0 , ln 2 .
( )2 2e 4ef −− = − ; ( )1 0f − = ; ( )ln 2 2ln 2f = −
f admite um mínimo relativo igual a 24e−− para 2ex = −
e máximos relativos iguais a 0 e a 2ln 2− para 1x = − e
ln 2x = , respetivamente.
17.2. Assíntotas verticais:
{ }\ 0fD = ℝ e f é contínua.
( ) ( )2
0 0
lnlim lim
0x x
xf x
x− − −→ →
− +∞= = = −∞
( ) ( )( ) ( )0 0
lim lim ln e 1 2 ln 0 0x
x xf x x
+ +
+
→ →= − − = − = −∞
A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de f.
Assíntotas não verticais:
• Quando x→ −∞
Começamos por verificar se existe assíntota horizontal:
( ) ( )2lnlim limx x
xf x
x→−∞ →−∞
−= =
( )2lnlim
x
x
x→−∞
−− =
−
2
lime yy
y
→+∞= =
−2
1
elim
y
y y→+∞
− 10= − =
+∞
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f
quando x→ −∞ .
• Quando x→ +∞ ( )y mx b= + :
( ) ( )ln e 1 2
lim lim
x
x x
xf xm
x x→+∞ →+∞
− −= = =
( )
1ln e 1
ln e 1 elim 2 lim 2
xx x
x xx x→+∞ →+∞
− − = − = − =
1ln e ln 1
elim 2
x
x
x x→+∞
+ − = − =
1ln 1
elim 2
x
x
x
x→+∞
+ − −
1ln 1
elim lim 2 1 0 2 1
x
x x
x
x x→+∞ →+∞
+ = + − = + − = −
( )( ) ( )( )lim lim ln e 1 2x
x xb f x mx x x
→+∞ →+∞= − = − − + =
1
lim ln e 1e
x
xxx
→+∞
= − − =
1
lim lne ln 1e
x
xxx
→+∞
= + − − =
1
lim ln 1exx
x x→+∞
= + − − =
1lim ln 1 0
exx→+∞
− =
A reta de equação y x= − é assíntota ao gráfico de f,
quando x→ +∞
17.3. Atendendo a 17.1. e a 17.2., ] ], 0fD′ = −∞ .
17.4. f ’ é contínua em ℝ–. Logo, f ’ é contínua em [– 2, – 1].
( )1 0f ′ − = e ( ) ( ) ( )22ln 2 ln 22 0,23
4f
− − −′ = ≈
Como ( ) ( )1 0,2 2f f′ ′− < < − e f ’ é contínua em
[– 2, – 1], podemos concluir que, pelo Teorema de
Bolzano, existe ] [2 ,1x∈ − , tal que ( ) 0,2f x′ = .
Usando a calculadora gráfica para resolver a equação
( ) 0,2f x′ = , obtém-se como solução 1,15x ≈ − , cuja
imagem por f é – 0,02, aproximadamente.
Logo, ( )1,15 ; 0,02A − − .
Pág. 180
18. 250 2500 0 0
1 1 1e e
4 4 4
t t
P P P P− −
= ⇔ × = ⇔ = ⇔
1 1
ln 250ln250 4 4
tt
⇔ − = ⇔ = −
Logo, 347t ≈
Serão necessários 347 dias, aproximadamente.
Pág. 181
19.1. Como ( ) ( ) ( ) 0, ektQ t kQ t Q t Q′ = = .
A substância reduz-se para metade passados 1600 anos e
0 60Q = . Logo:
( ) 1600 1600 11600 30 60e 30 e
2
k kQ = ⇔ = ⇔ = ⇔
1 ln 2
1600 ln2 1600
k k− ⇔ = ⇔ =
Logo, ( ) 60ektQ t = com ln 2
1600k−
=
19.2. ( )ln 2
1001600100 60e 57,5Q− ×
= ≈
A quantidade de rádio passados 100 anos é, aproximada-
mente igual a 57,5 mg.
Pág. 182
20.1. ( ) 0 ektQ t Q= ; ( ) ( ) 0 ektQ t kQ t kQ′ = =
( )( )
0
0
e0,0866 0,0866 0,0866
e
kt
kt
Q t kQk
Q t Q
′= − ⇔ = − ⇔ = −
Logo, ( ) 0,0866
0 e tQ t Q −= .
( )ln
e
Se ,
y
y x
x
x
y
= − ⇔
⇔ − =→ −∞
→ +∞
115
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
20.2. ( ) 0,0866
0 0 00,3 e 0,3tQ t Q Q Q−= ⇔ = ⇔ 0,0866e 0,3t− =
( )0,0866 ln 0,3t⇔ − = ⇔( )ln 0,3
0,0866t =−
Logo, 13,9t ≈ . Passaram aproximadamente 13,9 dias.
20.3. ( ) 0,0866 8 0,6928
0 08 e eQ Q Q− × −= =
0,6928e 0,5− ≈
Logo, ( ) 08 0,5Q Q≈
Passados oito dias há aproximadamente 50% da
quantidade inicial da substância radioativa.
Pág. 183
21.1. ( ) 0,03 00 50e 50P ×= =
A população atual do país é de 50 milhões de habitantes.
21.2. ( )( )
( )0,3 1
0,03 0,03 0,03 0,03
0,03
1 50ee e 1,03
50e
t
t t
t
P t
P t
++ −+
= = = ≈
Logo, ( )( )
11,03
P t
P t
+≈ .
A população cresce cerca de 3% ao ano
21.3. ( ) ( )3P t x P t+ = ⇔ ( )0,03 0,0350e 3 50et x t+ = × ⇔
0,03 0,03
0,03
e3
e
t x
t
+
⇔ = ⇔ 0,03e 3x = ⇔
0,03 ln3x⇔ = ⇔ ln3
0,03x =
Logo, 36,6x ≈ .
Este resultado significa que a população do país triplica
em cada período de 36,6 anos, aproximadamente.
21.4. ( )( )
0,03 10
0,03 0
10 50e1,350
0 50e
P
P
×
×= ≈
Nos próximos 10 anos a população aumentará 35,0%
aproximadamente.
Atividades complementares
Pág. 185
22.1. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 e 2 e 2 ex x xf x x x x x x x′ ′ ′′ = − = − + − =
( ) ( ) ( )2 22 2 e 2 e 2 2 2 ex x xx x x x x x= − + − = − + − =
( )2 2 exx= −
22.2. ( ) ( )1 1 1e e ex x xf x
x x x
′ ′ ′′ = = + = 2
1 1e ex x
x x− + =
2
1 1ex
x x
= − + 2
1exx
x
−=
22.3. ( )( ) ( ) ( )( )
( )2e 1 2e 1 e 1 2e 1e 1
2e 1 2e 1
x x x xx
x xf x
′ ′′ − + − − + −′ = = = + +
( ) ( )
( )2e 2e 1 e 1 2e
2e 1
x x x x
x
+ − −= =
+
( )( ) ( )2 2
e 2e 1 2e 2 3e
2e 1 2e 1
x x x x
x x
+ − += =
+ +
22.4. ( )1 1 1
e e ex x xf x x x x
′ ′ ′ ′= = + =
1 11
e ex xxx
′ + × =
1 1
2
1e ex xx
x
−= + × =
1 1 1 11 1 1
e e 1 e ex x x xx
x x x
− − = − =
22.5. ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sincos e cos e cos ex x xf x x x x′ ′′′ = = + =
( )sin sinsin e cos sin ex xx x x ′= − + × =
sin sinsin e cos cos ex xx x x= − + × =
( )2 sincos sin e xx x= −
22.6. ( ) 2 2
1 1
1 12
1e e
1
x x
x xx
f xx
+ +
+ +
′ ′ + ′ = = = +
( ) ( ) ( )( )
( )2
2 2 1
12
2
1 1 1 1e
1
x
xx x x x
x
+
+
′′+ + − + += =
+
( )
( )2
12
12
2
1 1 2e
1
x
xx x x
x
+
++ − + ×
= =+
( )2
12
12
2
2 1e
1
x
xx x
x
+
+− − += =
+ ( )2
12
12
2
2 1e
1
x
xx x
x
+
++ −−
+
22.7. ( )1
1 1
2
1 3 ln33 3 ln3
xx xf x
x x
′ ′ ′ = = × = −
22.8. ( )( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 22
22 2
5 1 5 5 1 55
1 5 1 5
x x x xx
x xf x
′ ′′ − − − ′ = = = − −
( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
2 5 ln5 1 5 5 2 5 ln5
1 5
x x x x
x
× − − × − ×= =
−
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 22 2
2 5 ln5 1 5 5 2 5 ln5
1 5 1 5
x x x x
x x
× − + ×= =
− −
23.1. ( ) 1 2 2 11 2ln
2 2 2
xf x x
x x
′ ′ = − + + = − + = −
23.2. ( ) ( ) ( )ln ln ln 1f x x x x x x x x′ ′′ ′= − = + − =
1
ln 1x xx
= + × − = ln 1 1 lnx x+ − =
23.3. ( ) ( )( ) ( )( )2
2 2
2
1ln ln 1 2 ln ln
1
xf x x x x x
x
′−′ ′′ = + − = + =−
2
2ln 2
1
x x
x x= +
−
23.4. ( ) ( )( ) ( )e e 1ln e
e e
x xx
x x
xf x x
x x
′+ +′′ = + = =+ +
23.5. ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1ln 1 2 ln 1 ln 1
2 2f x x x x
′ ′′ = + = × + + =
( ) ( ) ( )1 ln 1
ln 11 1
x xx
x x
′+ += + =
+ +
116
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
23.6. ( ) ( ) ( )( )2
21 logf x x x x′′ = − − =
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
2 21 log 1 logx x x x x x′′= − − + − − =
( ) ( )( )( )
2
2
2 2log 1
ln 2
x xx x x
x x
′−= − + − × =
−
( ) ( )( )( )
2
2
1 2 1log
1 ln 2
x xx x
x x
− −= − + =
−
( )2
2
2 1log
ln 2
xx x
x
−= − +
23.7. ( )
1 e
1 e1 eln
1 e1 e
1 e
x
xx
xx
x
f x
′ − ′ + − ′ = = = −+ +
( ) ( )( )2
e 1 e e 1 e
1 e
1 e
1 e
x x x x
x
x
x
− + − −
+= =
−+
( )( )( ) ( ) ( )( )2
e 1 e 1 e 1 e 2e
1 e 1 e1 e 1 e
x x x x x
x xx x
− + + − + −= = =
+ −+ −
( )2 2
2e 2e
e 11 e
x x
xx
−= =
−−
23.8. ( ) ( ) ( )2 5 5log log logf x x x x x x x′ ′′ ′= = + =
( )
5 5
1
2log log
ln5 ln5
xx
x x x xx x
′
= + × = + =
5 5
1log log
2 ln5 2ln 5
xx x
x= + = +
23.9. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
2 2 1 2 lnln 2 ln ln
xf x x x x
x
−−′ ′′ = = =
23.10. ( )1
1 1ln ln
ln1e e e
xx
xx xx xf x
x
−
′ ′′ ′ ′ = = = = =
( ) ( )ln lne ln ex x x xx x− −′ ′= = − =
( ) ( ) 1ln ln
x
x x x xx
′ ′= − − =
( )11 1 1ln ln 1
x x
x x xx x x
− = − − × = − =
1 1
ln 1
x
x x
= −
24.1. ( ) ( )1 exf x x= +
Domínio: f
D = ℝ
Monotonia e extremos:
( ) ( )( ) ( ) ( )1 e e 1 e 2 ex x x xf x x x x′′ = + = + + = +
( ) ( )0 2 e 0 2 0 2xf x x x x′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
x −∞ 2− +∞
f ' – 0 +
f ց 2e−− ր
Mín.
( ) 22 ef −− = −
Concavidades e inflexões:
( ) ( ) ( ) ( )2 e e 2 e 3 ex x x xf x x x x′′′ = + = + + = +
( ) ( )0 3 e 0 3 0 3xf x x x x′′ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
x −∞ 3− +∞
f " – 0 +
f ∩ 32 e−− ∪
P.I.
Assíntotas:
Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem
qualquer assíntota vertical.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→ −∞
( ) ( )1 e
lim lim
x
x x
f x xm
x x→−∞ →−∞
+= = = 1
lim 1 ex
x x→−∞
+ =
( )1 0 e 1 0 0−∞= + = × =
( )( ) ( )( )0
lim lim 1 ex
x xb f x mx x
∞×
→−∞ →−∞= − = + =
( )lim 1 e y
yy −
→+∞= − + =
1lim
e yy
y
→+∞
− +=
1
lim lime e
y yy y
y
→+∞ →+∞= − + =
1 1
elim
y
x y→+∞
− + =+∞
1
0 0= + =+∞
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de
f quando x→ −∞ .
• Quando x→ +∞ :
( ) ( )1 e
lim lim
x
x x
f x xm
x x→+∞ →+∞
+= = = ( )e
lim lim 1x
x xx
x→+∞ →+∞× +
( )= +∞× +∞ = +∞
Não há assíntota ao gráfico de f quando x→ +∞ .
Gráfico:
24.2. ( ) ( )2log 1f x x= +
Domínio: f
D = ℝ
Monotonia e extremos:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2
1 2log 1
1 ln10 1 ln10
x xf x x
x x
′+′′ = + = =+ +
( ) 0 2 0 0f x x x′ = ⇔ = ⇔ =
x −∞ 0 +∞
f ' – 0 +
f ց 0 ր
Mín.
Concavidades e inflexões:
( ) ( )2
2
1 ln10
xf x
x
′ ′′ = = +
( )( )
2
22 2
2 1 ln10 2 2 ln10
1 ln 10
x x x
x
+ − ×
+
( )
( )
2 2
22 2
2ln10 1 2
1 ln 10
x x
x
+ −= =
+
( )( )
2
22
2 1
1 ln10
x
x
−
+
Se ,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→ −∞ → +∞
117
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) ( )20 2ln10 1 0f x x′′ = ⇔ − = ⇔ 2 21 0 1x x− = ⇔ = ⇔
1 1x x⇔ = − ∨ =
x −∞ –1 1 +∞
f " – 0 + 0 –
f ∩ log 2 ∪ log 2 ∩
P.I. P.I.
Assíntotas
Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem
qualquer assíntota vertical.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→ +∞
( ) ( )2log 1
lim limx x
xf xm
x x
∞ ∞
+∞ →+∞
+= = =
( )
22 2
1ln 1
ln 1lim lim
ln10 ln10x x
xx x
x x→+∞ →±∞
+ + = = =
2
2
1ln ln 1
1lim
ln10 x
xx
x→+∞
+ + = =
2
1ln 1
1 2lnlim
ln10 x
x x
x x→+∞
+ = + =
2
1ln 1
1 ln2 lim lim
ln10 x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ = + =
( )1 0 12 0 0 0 0
ln10 ln10
= × + = + = +∞
( ) ( )2lim lim log 1x x
b f x mx x→+∞ →+∞
= − = + = +∞
O gráfico de f não tem assíntota em +∞ .
• Quando x→ −∞ ,x x∀ ∈ − ∈ℝ ℝ e
( ) ( )2log 1f x x = − + = ( ) ( )2log 1x f x+ =
Portanto, f é uma função par e, como tal, se o seu
gráfico não tem assíntota em +∞ , também não tem em
−∞ .
O gráfico de f não tem assíntotas não verticais
Gráfico:
24.3. ( ) e 4ex xf x −= +
Domínio: f
D = ℝ
Monotonia e extremos
( ) ( )e 4e e 4ex x x xf x − −′′ = + = −
( ) 40 e 4e 0 e 0
e
x x x
xf x −′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ( )2e 4 0
x − =
e 2 e 2 ln 2x x x⇔ = ∨ = ⇔ =
x −∞ ln2 +∞
f ' – 0 +
f ց 4 ր
Mín
( ) ln 2 ln 2 1ln 2 e 4e 2 4 4
2f −= + = + × =
Concavidades e inflexões
( ) ( )e 4e e 4ex x x xf x − −′′′ = − = +
( ), 0x f x′′∀ ∈ >ℝ . Logo, o gráfico de f tem a concavi-
dade voltada para cima e não tem pontos de inflexão.
Assíntotas
Verticais: f é contínua em ℝ. Logo, o gráfico de f não tem
assíntotas verticais.
Não verticais ( )y mx b= +
• Quando x→ −∞
( ) e 4e
lim limx x
x x
f xm
x x
−
→−∞ →−∞
+= = =
e elim 4 lim
x x
x xx x
−
→−∞ →−∞+
0 e
4 limy
y y→+∞= − =−∞
( )0 4− × +∞ = −∞
• Quando x→ +∞
( ) e 4e
lim limx x
x x
f xm
x x
−
→+∞ →+∞
+= = =
e elim 4 lim
x x
x xx x
−
→+∞ →+∞+
0
4= +∞ + × = +∞+∞
O gráfico de f não tem assíntotas não verticais.
Gráfico
24.4. ( ) 2 ln xf x
x
− −=
Domínio: fD += ℝ
Monotonia e extremos:
( )( )
2
12 ln
2 lnx x
x xf xx x
− × − − −′− − ′ = = =
2
1 ln x
x
+
( ) 0 1 ln 0 0f x x x′ = ⇔ + = ∧ > ⇔ ln 1 0x x= − ∧ > ⇔
1 1e
ex x−⇔ = ⇔ =
x 0 1
e +∞
f ' – 0 +
f ց e− ր
Mín.
1
1
1 2 lnee
e ef
−
−
− − = = −
Concavidades e inflexões:
( )( )2
2 4
12 1 ln
1 lnx x x
x xf xx x
× − +′+ ′′ = = =
( )
4 3
1 2 2ln 1 2lnx x x
x x
− − − −= =
,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→ −∞ → +∞
2
Se 0,
ln 2ln
x
x x
>=
118
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) 0 1 2ln 0 0f x x x′′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔
1
21
ln 0 e2
x x x−
⇔ = − ∧ > ⇔ = ⇔1
ex =
x 0 1
e +∞
f " + 0 –
f ∪ 3 e
2− ∩
P.I.
1
2
1
2
1 2 lne 3 e
2ee
f
−
−
− − = = −
Assíntotas: Verticais:
f é contínua em ℝ+.
( ) ( )0 0
22 lnlim lim
0x x
xf x
x+ + +→ →
− − −∞− −= = = +∞
A reta de equação 0x = é uma assíntota ao gráfico de f .
Não verticais:
( ) 2 lnlim limx x
xf x
x→+∞ →+∞
− −= =
2 lnlim lim
x x
x
x x→+∞ →+∞
− − =
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f.
Gráfico:
24.5. ( ) 1
1 ex
f x−
=+
Domínio: f
D = ℝ
Monotonia e extremos:
( )( )
( ) ( )2 2
e1 e
1 e 1 e 1 e
x x
xx x
f x
− −
− − −
′ − − ′ = = = + + +
( ), 0x f x′∀ ∈ >ℝ . Logo, f é crescente em todo o
domínio e não tem extremos.
Concavidades e inflexões:
( )( )2
e
1 e
x
xf x
−
−
′ ′′ = = +
( ) ( ) ( )
( )
2
4
e 1 e e 2 e 1 e
1 e
x x x x x
x
− − − − −
−
− + − × × − +=
+
( )
( )41 e e e e 2e e
1 e
x x x x x x
x
− − − − − −
−
+ − − × + × =+
( )( )
( )3 3
e 1 ee e e
1 e 1 e
x xx x x
x x
− −− − −
− −
− −− + ×= =
+ +
( ) 0 1 e 0xf x −′′ = ⇔ − = ⇔ e 1x− = 0x⇔− =
0x⇔ =
x −∞ 0 +∞
f " + 0 –
f ∪ 1
2 ∩
P.I.
Assíntotas:
Verticais: Como f é contínua em ℝ, o seu gráfico não tem
assíntotas verticais.
Não verticais:
• Quando x→ −∞ :
Como ( ) 1 1lim lim 0
1 exx x
f x−→−∞ →−∞
= = =+ +∞
, a reta de
equação 0y = é assíntota ao gráfico de f quando
x→ −∞ .
• Quando x→ +∞ :
Dado que ( ) 1 1lim lim 1
1 e 1 0xx x
f x−→+∞ →+∞
= = =+ +
, a reta
de equação 1y = é assíntota aográfico de f quando
x→ +∞ .
Gráfico:
24.6. ( )2
1 ln xf x
x
+=
Domínio: fD += ℝ
Monotonia e extremos:
( )( )2
2 4
11 ln 2
1 lnx x x
x xf xx x
× − + ×′+ ′ = = =
( )
4 3
1 2 2ln 1 2lnx x x
x x
− − − −= =
( ) 0 1 2ln 0 0f x x x′ = ⇔ − − = ∧ > ⇔1
ln 02
x x= ∧ > ⇔
1
21
ee
x x−
⇔ = ⇔ =
x 0 1
e
f ' + 0 –
f ր e
2 ց
Máx.
1
2
1
22
1
2
1 ln e1 e
e2e
e
f f
−
−
−
+
= = =
Concavidades e inflexões:
( )3
1 2ln xf x
x
− − ′′ = =
( )3 2
6
21 2ln 3x x x
x
x
−× − − − ×
=
( )2
6 4
2 3 6ln 6ln 1x x x
x x
− + + += =
( ) 0 6ln 1 0 0f x x x′′ = ⇔ + = ∧ > ⇔1
ln 06
x x= − ∧ >
1
6
6
1e
ex x
−⇔ = ⇔ =
( )
0
1 10
1 e 2f = =
+
119
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
x 0 6
1
e +∞
f " – 0 +
f ∩ 35 e
6 ∪
11 366
26 1
6
1 1 ln e 5 ee
6ee
f f
−−
−
+ = = =
Assíntotas:
Verticais:
f é contínua em ℝ+.
( )2
0 0
1 lnlim lim
0x x
xf x
x+ + +→ →
+ −∞= = = −∞
A reta de equação 0x = é uma assíntota ao gráfico de f.
Não verticais y mx b= + :
( ) 2
1 ln
lim limx x
xf x xm
x x→+∞ →+∞
+
= = =3
1 lnlim
x
x
x→+∞
+=
3 2
1 ln 1lim limx x
x
x x x→+∞ →+∞
= + × =
2
ln 10 lim lim 0 0 0
x x
x
x x→+∞ →+∞= + × = × =
( )2
1 lnlim lim
x x
xb f x mx
x→+∞ →+∞
+= − = =
2
1 ln 1lim lim lim 0 0 0 0x x x
x
x x x→+∞ →+∞ →+∞= + × = + × =
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f
quando x→ +∞ .
Gráfico :
24.7. ( ) 1e
xf x x
−=
Domínio: f
D = ℝ
Monotonia e extremos:
Para 0x ≠ , tem-se:
( )1
1
se 0
e se 0
x
x
x xf x
x x
−
+
>= <
( )( )1 1
1 1
e e se 0
e e se 0
x x
x x
x xf x
x x
− −
+ +
+ × − >′ = =+ <
( )( )
1
1
1 e se 0
1 e se 0
x
x
x x
x x
−
+
− >=
+ <
( ) 0f x′ = ⇔ ( ) ( )1 0 0 1 0 0x x x x− = ∧ > ∨ + = ∧ <
1 1x x⇔ = ∨ = −
x −∞ –1 0 1 +∞
f ' – 0 + + 0 –
f ց –1 ր 0 ր 1 ց Mín. Máx.
( ) 01 1e 1f − = − = −
( ) 01 1e 1f = =
Nota: Como f é contínua em ℝ, f é estritamente crescente
em [– 1, 1].
Concavidades e inflexões
Para 0x ≠ :
( )( )( )
( )( )
1
1
1 e se 0
1 e se 0
x
x
x xf x
x x
−
+
′− >′′ = =′ + <
( ) ( )( )
1 1
1 1
e + 1 e se 0
e + 1 e se 0
x x
x x
x x
x x
− −
+ +
− − × − >= =+ <
( )( )
1
1
1 1 e se 0
1 1 e se 0
x
x
x x
x x
−
+
− − + >= =
+ + <
( )( )
1
1
2 e se 0
2 e se 0
x
x
x x
x x
−
+
− >= =
+ <
( ) 0f x′′ = ⇔ ( ) ( )2 0 0 2 0 0x x x x− = ∧ > ∨ + = ∧ < ⇔
2 2x x⇔ = ∨ = −
x −∞ –2 0 2 +∞f " – 0 + – 0 +
f ∩ 2
e− ∪ 0 ∩
2
e ∪
P.I. P.I. P.I.
Assíntotas
Verticais: Como f é contínua em ℝ, o gráfico não tem
assíntotas verticais.
Não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→ −∞ :
( ) 1e
lim lim e 0x
x x
f x xm
x x
+−∞
→−∞ →−∞= = = =
( )( ) ( )1lim lim e x
x xb f x mx x +
→−∞ →−∞= − = = e lim ex
xx
→−∞=
( )e lim e y
yy −
→+∞= − = e lim
e yy
y
→+∞− =
e e
0e
limy
y y→−∞
− −= = =
+∞
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de
f quando x→ −∞ .
• Quando x→ +∞ :
( ) 1
1elim lim lim e e 0
xx
x x x
f x xm
x x
−− −∞
→+∞ →+∞ →+∞= = = = =
( )( ) 1lim lim e e lime
x
xx x x
xb f x mx x −
→+∞ →+∞ →+∞= − = = =
e e
0e
limx
x x→+∞
= = =+∞
A reta de equação 0y = é uma assíntota horizontal ao
gráfico de f quando x→ +∞
Gráfico
,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→−∞ →+∞
120
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
25.1. ( )( )0
lim lim e lime
x
xx x x
xf x x
∞×−
→+∞ →+∞ →+∞= = = 1 1
0e
limx
x x→+∞
= =+∞
25.2. ( ) ( )e e e 1x x xf x x x− − −′ = − = −
( ) 0 1f x x′ = ⇔ =
x −∞ 1 +∞
f ' + 0 –
f ր 1
e ց
Máx.
f é estritamente crescente em ] ],1−∞ e estritamente
decrescente em [ [1 , + ∞ . f tem um máximo relativo (e
absoluto) igual a 1
e para 1x = .
25.3. y mx b= +
( ) ( )00 e 1 0 1m f ′= = − =
P(0, 0) → ( ) 00 0 e 0f = × =
y x= é a equação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto P(0, 0).
25.4. ( ) ( )e e e 2e ex x x x xf x x x− − − − −′′ = − − − = − + = ( )e 2x x− −
( ) 0 2f x x′′ = ⇔ =
x −∞ 2 +∞
f " – 0 +
f ' ց 2
1
e− ր
O declive mínimo é o mínimo de f ’, ou seja, é igual a
2
1
e− .
25.5. ( ) ( ) ] [ln 2 , , 2gg x x D= − = −∞
a) Seja ( ) ( ) ( ) ( )e ln 2xh x f x g x x x−= − = − −
• h é contínua em ] [, 2−∞ por ter a diferença de
funções contínuas neste intervalo. Logo, h é
contínua em [ ] ] [0 ,1 , 2⊂ −∞ .
• ( ) ( ) ( )0 0 0 0 ln 2 ln 2 0h f g= − = − = − <
( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 0 0
e eh f g= − = − = >
( ) ( )0 1 0h h× <
O corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy garante
que h tem pelo menos um zero em ]0, 1[.
Logo, existe pelo menos um ponto de abcissa em ]0, 1[,
onde os gráficos de f e g se intersetam.
Já vimos que f é estritamente crescente em [0, 1].
( ) ] [1 10, , 2
2 2g x x
x x
−′ = = < ∀ ∈ −∞− −
Logo, g é estritamente decrescente em [0, 1]. Portanto,
como em [0, 1], f é estritamente crescente e g é
estritamente decrescente, o ponto
de interseção cuja existência se
provou é único. Recorrendo à
calculadora gráfica obtiveram-se as
coordenadas do ponto de
interseção, com aproximação às
centésimas: (0,61; 0,33)
b) ( ) ( )ln f x g x x ≤ − ⇔ ( ) ( )ln e ln 2xx x x− ≤ − −
( )ln ln e ln 2xx x x−⇔ + ≤ − − ⇔
( )ln ln 2x x x x⇔ − ≤ − − ⇔ ( )ln ln 2x x≤ − ⇔
2 0 2 0x x x x⇔ ≤ − ∧ > ∧ − > ⇔
] ]
2 2 0 2
1 0 0 , 1
x x x
x x x
⇔ ≤ ∧ > ∧ < ⇔
⇔ ≤ ∧ > ⇔ ∈
] ]0 ,1S =
26.1. ( ) ( ) ( )0 3 0g x f x x> ⇔ − − > ⇔ 25e 3e 0x x− −− > ⇔
( )e 5 3e 0x x− −⇔ − > 5 3e 0x−⇔ − > ⇔
5
3e 5 e3
x x− −⇔ < ⇔ < ⇔5 5
ln ln3 3
x x− < ⇔ > −
3
ln5
x⇔ >
3
ln ,5
S = + ∞
26.2. ( ) ( ) ( )lim lim 3x x
g x f x x→+∞ →+∞
= − − = ( )2lim 5e 3ex x
x
− −
→+∞− =
5 0 3 0 0= × − × =
A reta de equação 3y x= − é uma assíntota ao gráfico da
função f em +∞ .
26.3. Provar que o gráfico de f e a reta r se intersetam, no
intervalo [– 1, 0], num único ponto, é o mesmo que provar
que a função g tem um único zero em [– 1, 0].
• g é contínua em ℝ . (diferença de funções contínuas)
Logo, g é contínua em [– 1, 0].
• ( ) 21 5e 3e 0g − = − < ; ( ) 0 00 5e 3e 2 0g = − = >
( ) ( )1 0 0g g− × <
O corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy garante a
existência de pelo menos um zero de f em ]– 1, 0[.
( ) ( )2 25e 3e 6e 5ex x x xg x − − − −′′ = − = −
( ) ( ) 5 50 e 6e 5 0 e ln
6 6
x x xg x x− − −′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔
6
ln5
x ⇔ =
x −∞ 6
ln5
+∞
g' + 0 –
g ր ց
g é estritamente crescente em 6
, ln5
−∞ ⇒ g é
estritamente crescente em [– 1, 0] dado que 6
ln 05> .
Como g é estritamente crescente em [– 1, 0], o zero cuja
existência se provou neste intervalo é único.
Recorrendo à calculadora
determinaram-se valores
aproximados às décimas do
ponto de interseção dos gráficos
de ( )1y f x= e 2 3y x= −
tendo-se obtido (– 0,5; – 3,5).
( ) 2
2
12 e
ef −′ = − = −
e 0,x x− > ∀ ∈ℝ
121
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Pág. 186
27. ( )0 2048M =
27.1. ( ) 2048ektM t =
( ) 44 512 2048e 512kM = ⇔ = ( )44 21e e 2
4
k k −⇔ = ⇔ =
2
4 2 0,54e 2 e 2 e 2k k k−− −⇔ = ⇔ = ⇔ =
( ) ( ) ( )0,52048e 2048 e 2048 2
t tkt k
M t−= = =
( ) 0,52048 2 tM t −= ×
27.2. ( ) 0,5 10 510 2048 2 2048 2 64M − × −= × = × =
( )10 64M = g
27.3. ( ) 0,52048 0,1 2048 2 2048 0,1tM t −= × ⇔ × = × ⇔
( )0,5
22 0,1 0,5 log 0,1t t−⇔ = ⇔ − = ⇔ln 0,1
0,5ln 2
t− =
ln0,1
6,64390,5ln 2
t t⇔ = ⇒ ≈−
6,6439 min ≈ 6 min 39 s
27.4. ( )( ) ( )
, 0 ,1
1 0 1448,15 2048t.m.v.
1 0 1M
M M− −= ≈
−
( ), 0 ,1t.m.v. 600 g/min
M≈ −
( )( ) ( )
, 1 , 2
2 1 1024 1448,15t.m.v.
2 1 1M
M M− −= ≈
−
( ), 1 , 2t .m.v. 424 g/min
M≈ −
27.5. ( ) ( ) 0,52048 0,5 2 ln 2tM t −′ = × − × × = 0,51024 2 ln 2t−− × ×
( ) 0,5 55 1024 2 ln 2M − ×′ = − × ×
( )5 125,5 g/minM ′ ≈ −
28. ( ) ( ) 1000x t y t+ =
( ) ( )x t ky t′ =
( )0 0x = e ( )0 5x′ =
28.1. ( ) ( ) ( ) ( )1000 1000x t y t y t x t+ = ⇔ = −
( ) ( )x t ky t′ = ⇔ ( ) ( )( )1000x t k x t′ = −
( ) ( )( )0 1000 0x k x′ = − ⇔ ( )5 1000 0k= − ⇔
5
0,0051000
k k⇔ = ⇔ =
Logo, ( ) ( )0,005 1000x t x′ = − .
28.2. Se ( ) 0,0051000 e tx t Q −= −
( ) 0,0050 0,005 e tx t Q −′ = + ⇔ ( ) 0,0050,005 e tx t Q −′ =
Por outro lado:
( ) ( )0,005 1000 5 0,005x x t− = − ( )0,00555 0,005 1000 e
tQ
−= − −
0,0055 5 0,005 e tQ −= − + ( )x t′=
Fica assim provado o que se pretendia.
( ) 0,0051000 e tx t Q −= −
( )0 0x = ⇔ 0,005 01000 e 0 1000 1 0Q Q− ×− = ⇔ − × = ⇔
1000Q⇔ =
29.1. ( )0,5
10000
2 2 tP t
−= −
−
( ) 0,5
10 0006000 6000
2 2 tP t −= ⇔ = ⇔
−
( )0,510 000 6000 2 2 t−⇔ = − ⇔
0,5 0,55 12 2 2
3 3
t t− −⇔ − = ⇔ − = − ⇔
2 2
10,5 log 0,5 log 3
3t t⇔ − = ⇔ − = − ⇔
ln3 ln3
0,5ln 2 0,5 ln 2
t t⇔ = ⇔ =×
3,17t⇒ ≈
3,17 semanas ≈ 22 dias
29.2. ( ) ( )1
0 2 500 5002 1 2 2
k kP P
−− = ⇔ − = ⇔
− −
2
500 5003 3
2
kk k k⇔ − = ⇔ − = ⇔
3 2 1500 1500k k k⇔ − = ⇔ =
30.1. Se ( ) ( ) ( ) 0, ektQ t kQ t Q t Q′ = =
( ) ( )1 0,98Q t Q t+ = ⇔ ( )10 0e 0,98 e
k t ktQ Q+ = × ⇔
0e e 0,98 e
kt k ktQ⇔ × = × ⇔
( )e 0,98 ln 0,98k k⇔ = ⇔ =
( ) ( )ln 0,98
0 et
Q t Q=
30.2. ( ) ( )ln 0,98 1010 100eQ
× = → ( )10 81,7 mgQ ≈
30.3. ( ) ( )( )ln 0,98
0 0 0
1 1e
2 2
tQ t Q Q Q= ⇔ = ⇔
( ) ( )ln 0,98 1 1
e ln 0,98 ln2 2
tt
⇔ = ⇔ × = ⇔
( )ln 2
34,3ln 0,98
t t−
⇔ = ⇒ ≈
Ao fim de 24,3 anos, aproximadamente.
Pág. 187
31. ( ) 1 ln , ff x x x x D += + − = ℝ
31.1. ( ) ( )0 0
lim lim 1 lnx x
f x x x x+ +→ →
= + − = ( )( )0
01 0 lim ln
xx x
+
×∞
→+ − =
1 1
1 lim lny y y→+∞
= − =
1ln1 lim
y
y
y
−
→+∞− =
ln ln
1 lim 1 limy y
y y
y y→+∞ →+∞
−= − = + = 1 0 1+ =
( ) ( )( )
lim lim 1 lnx x
f x x x x∞−∞
→+∞ →+∞= + − =
( )1 lim 1 lnx
x x→+∞
= + −
( )1 1= + +∞ −∞ = −∞
31.2. ( ) 11 ln 1 ln 1f x x x x
x′ = − + × = − − = ln x−
( ) 0 ln 0 ln 0 1f x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
1 1
0
y xx y
x y+
= ⇔ =
→ ⇒ →+∞
122
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
x 0 1 +∞
f ' + 0 –
f ր 2 ց
Máx.
f é estritamente crescente em ]0, 1] e estritamente
decrescente em [ [1 , + ∞ . f admite máximo absoluto igual
a 2 para 1x = .
31.3. f é contínua em ℝ+ Produto e soma de funções contínuas
( )1 2 0f = >
Como ( ) ] [ ( )lim , 1 , : 0x
f x a f a→+∞
= −∞ ∃ ∈ +∞ <
(por exemplo 2ea = , pois ( )2 2e 1 e 0f = − < )
Logo, como f é contínua em [ ]1, a e ( ) ( )1 0f f a× < , o
Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de um
zero de f em ]1, a[.
Atendendo a que ( )0
lim 1x
f x+→
= e f é estritamente
crescente em ]0, 1] então ( ) 1f x > para todo o ] ]0 ,1x∈ .
Logo, f não tem zeros neste intervalo.
Como f é estritamente decrescente em [ [1, +∞ , então f
tem no máximo um zero neste intervalo.
Assim, o zero cuja existência se provou é único.
Recorrendo à calculadora obtém-se 0 3,59x ≈ como valor
aproximado do zero de f.
31.4. ( ) 1 3 1 ln 1 3f x x x x x x> + ⇔ + − > + ⇔ 2 ln 0x x x+ <
( )2 ln 0x x⇔ + <
22 ln 0 ln 2 ex x x −+ = ⇔ = − ⇔ =
22 ln 0 ln 2 ex x x −+ > ⇔ > − ⇔ >
x 0 2e− +∞
x + + +
2 ln x+ – 0 +
( )2 lnx x+ – 0 +
20 , eS − =
31.5. ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2
ln 1 ln 1
1
x x x xg x
x
′ ′+ − +′ = =+
( )
( ) ( )2 2
1 1 ln1 ln
1 1
x x xx x
x x
x x
+ −× + −
= = =+ +
( )
( )( )2 2
1 ln
1 1
f xx x x
x x x x
+ −= =
+ +
32. ( ) ( )2ln e 1 ;x
ff x x D= + − = ℝ
32.1. ( )( )e 1 e
2 2 1e 1 e 1
x x
x xf x x
′+′ ′= × − = − =
+ +
2e e 1 e 1
e 1 e 1
x x x
x x
− − −= =
+ +
( ) 0 e 1 0 e 1 0x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
x −∞ 0 +∞f ' – 0 +
f ց 2 ln 2 ր
Mín.
f é estritamente decrescente em ] ], 0−∞ e estritamente
crescente em [ [0 , + ∞ .
( )0 2ln 2f = é o mínimo absoluto de f.
32.2. ( )( ) ( ) ( )( )
( )2e 1 e 1 e 1 e 1
e 1
x x x x
xf x
′ ′− + − − +′′ = =
+
( ) ( )( )2
e e 1 e 1 e
e 1
x x x x
x
+ − −= =
+
( )( )2
e e 1 e 1
e 1
x x x
x
+ − +=
+
( )22e
e 1
x
x=
+
( ) 0,f x x′′ > ∀ ∈ℝ
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em
todo o domínio.
32.3. f é contínua em ℝ pelo que o seu gráfico não tem
assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais ( )y mx b= + :
• Quando x→ −∞ :
( ) ( )2ln e 1
lim lim
x
x x
xf xm
x x→−∞ →−∞
+ −= = =
( )2ln e 1
lim lim
x
x x
x
x x→−∞ →−∞
+= − =
( )2ln 0 11
+= − =
−∞
0 1 1= − = −
( )( ) ( )( )lim lim 2ln e 1x
x xb f x x x x
→−∞ →−∞= + = + − + =
( ) ( )lim 2ln e 1 2ln 0 1 0x
x→−∞ = + = + =
A reta de equação y x= é uma assíntota ao gráfico de f
em x→ −∞
• Quando x→ +∞ :
( ) ( )2ln e 1
lim lim
x
x x
xf xm
x x→+∞ →+∞
+ −= = =
12ln e 1
elim
x
x
x
x
x→+∞
+ − = =
12lne 2ln 1
elim
x
x
x
x
x→+∞
+ + − = =
12 2ln 1
elim
x
x
x x
x→+∞
+ + − = =
12ln 1
elim
x
x
x
x→+∞
+ +
12ln 1
elim lim
x
x x
x
x x→+∞ →+∞
+ = + =
( )2ln 1 01
++ =
+∞
1 0 1= + =
( ) ( )lim lim 2ln e 1x
x xb f x x x x
→−∞ →−∞ = − = + − − =
1
lim 2ln e 1 2e
x
xxx
→+∞
= + − =
1
lim 2ln e 2ln 1 2e
x
xxx
→+∞
= + + − =
1
lim 2 2ln 1 2exx
x x→+∞
= + + − =
( )1lim 2ln 1 2ln 1 0 0
exx→+∞
= + = + =
A reta de equação y x= é uma assíntota ao gráfico de f
em +∞ .
( )1 2f =
( )0 2ln 2f =
123
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
32.4.
[ [2ln 2 ,fD′ = + ∞
33.1. ( )0
105 1050 3
1 34 e 35P = = =
+ ×
33.2. ( )1,1244 10
10510 105
1 34 eP
− ×= ≈+ ×
33.3. ( ) ( )( )
1,11244
21,1244
105 34 1,1244 e
1 34e
t
tP t
−
−
− × × −′ = =+
( )
1,1244
01,1244
4014,108e0,
1 34e
t
tt
−+
−= > ∀ ∈
+ℝ
( ) 00,P t t +′ > ∀ ∈ℝ . Logo, P é estritamente crescente
( )1,1244
105 105 105lim lim 105
1 34e 1 34e 1 0tt tP t
− −∞→+∞ →+∞= = = =
+ + +
O número de elementos da população é crescente e, com o
decorrer do tempo, tende e aproximar-se de 105. Como a
função é crescente, aproxima-se de 105 sem ultrapassar
este valor.
33.4. ( ) ( )1,1244
1,1244
4014,108e
1 34e
t
tP t
−
−′ =
+ ( )23570 e
1 34e
kt
kt
k−=
+ com
1,1244k = − .
( )P t′′ =
( ) ( )
( )
22
4
3570 e 1 34e 3570 e 2 134e 34 e
1 34e
kt kt kt kt kt
kt
k k k− + − × ×= =
+
( )( )
( )
2
4
3570 e 1 34e 1 34e 2 34e
1 34e
kt kt kt kt
kt
k + − − + ×= =
+
( )
( )
2
3
3570 e 34e 1
1 34e
kt kt
kt
k −=
+
( ) 10 34e 1 0 e
34
kt ktP t′′ = ⇔ − = ⇔ =1
ln34
kt⇔ = ⇔
( ) ln 34ln 34kt t
k
−⇔ = − ⇔ =
x 0 ln34
k
− +∞
P” + + 0 –
P’ ր ց Máx.
P’ é máxima para ln 34
tk
= −
Como 1,1244k = − , a taxa de crescimento é máxima para
3,1362t ≈ .
3,1362 dias = 3 dias e 3 horas
34.1. ( )0,2
300
3 e tP t
A −=+
( )( )
( )
0,2
20,2
300 0,2 e
3 e
t
t
AP t
A
−
−
− −′ =
+
0,2
0,2 0,2
300 e0,2
3 e 3 e
t
t t
A
A A
−
− −= ×
+ +
( )0,2
0,2
e0,2 1 1
3 e
t
t
AP t
A
−
−
= − + =
+
( )0,12 0,2
0,2
3 e e0,2 1
3 e
t t
t
A AP t
A
− −
−
+ −= − =
+
( )0,2
30,2 1
3 e tP t
A −
= − + ( ) ( )
0,2 1100
P tP t
= −
34.2. ( ) 00P P= ⇔ 0 00
300 300
3 e 3P P
A A= ⇔ = ⇔
+ +
0 0 0 0300 3 300 3P AP A P P⇔ = + ⇔ = − ⇔
0
0 0
300 3 3003
PA A
P P
−⇔ = ⇔ = −
34.3. 0 3P = ;
3003 97
3A = − = ; ( )
0,2
300
3 97e tP t
−=+
a) ( )0,2
30030 30
3 97e tP t
−= ⇔ = ⇔
+0,210 3 97e t−= + ⇔
0,2 7
97e 7 0,2 ln97
t t−⇔ = ⇔ − = ⇔
7ln
9713,144
0,2t t
⇔ = ⇒ ≈−
13,144 h 13 h 9 min≈
b) ( )0,2
300
3 97e 3 et kt
AP t
B−= =+ +
( )( )( )2
3 e
3 e 3 e
kt
ktkt
A BAP t
B B
′′ − + ′ = = = + +
( )( )2
e
3 e
kt
kt
A kB
B
−=
+
( )2e
3 e
kt
kt
kAB
B
−=
+ ( )
0,2
20,2
5820e
3 97e
t
t
−
−=
+
Como ( ) 00,P t t +′ > ∀ ∈ℝ , P é estritamente crescente
( )0,2
300 300lim lim 100
3 97e 3 97 0tt xP t −→+∞ →+∞
= = =+ + ×
O número de bactérias aumenta com o decorrer do
tempo e tende a estabilizar em 100.
c) ( )( )2
e
3 e
kt
kt
kABP t
B
′ − ′′ = = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
4
e 3 e e 3 e
3 e
kt kt kt kt
kt
kAB B kAB B
B
′′ − + − − + =
+
( ) ( )( )
( )
22
4
e 3 e 2 e 3 e e
3 e
kt kt kt kt kt
kt
k AB B kAB B kB
B
− + − − +=
+
( )( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
4
3 e 3 e e 2 e
3 e
kt kt kt kt
kt
B k AB k AB k AB
B
+ − − +=
+
( )
2 2 2 2
3
3 e e
3 e
kt kt
kt
k AB k AB
B
− += =
+
( )
( )
0,2 0,2
3
1164e 97e 3
3 97e
t t
kt
− − −=
+
300; 97
0, 2
A B
k
= =
= −
300; 97; 0,2
5820
A B k
kAB
= = = −
= −
2
300; 97
0,2
1164
A B
k
k AB
= =
= −
=
124
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) 0,20 97e 3 0tP t −′′ = ⇔ − = ⇔ 0,2 3e
97
t− = ⇔
3
0,2 ln97
t ⇔ − = ⇔
3ln
9717,380
0,2t t
= ⇒ ≈−
Seja 1
3ln
97
0,2t
=−
.
x 0 1t +∞
P” + 0 –
P’ ր ց
Máx.
P’ é máxima para 17,380t ≈ .
17,380 h 17 h 23 min≈
34.4. 1t é a abcissa do ponto de inflexão.
35.1. ( )0
1200 0,597
1 200eh = ≈
+
A altura da árvore media 59,7 cm (aproximadamente).
35.2. a) ( )2
12010 4,3
1 200 eh
−= ≈+ ×
m
b) ( )4
12020 25,7
1 200eh
−= ≈+
m
35.3. ( )0,2
120 120lim lim 120
1 200e 1 200 0tt th t
−→+∞ →+∞= = =
+ + ×
Com o decorrer do tempo, a altura da árvore tende a
estabilizar em 120 m.
35.4. ( )0,2
120
1 200e 1 et kt
Ah t
B−= =+ +
( )( )( )2
1 e
1 e 1 e
kt
ktkt
A BAh t
B B
′′ − + ′ = = = + +
( )( )2
e
1 e
kt
kt
A kB
B
−=
+
( )2e
1 e
kt
kt
kAB
B
−= =
+ ( )0,2
20,2
4800e
1 200e
t
t
−
−+
( )( )2
e
1 e
kt
kt
kABh t
B
′ − ′′ = = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
4
e 1 e e 1 e
1 e
kt kt kt kt
kt
kAB B kAB B
B
′′ − + − − + = =
+
( ) ( )( )
( )
22
4
e 1 e 2 e 1 e e
1 e
kt kt kt kt kt
kt
k AB B kAB B kB
B
− + − − += =
+
( ) ( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 2
4
1 e e e 2 e
1 e
kt kt kt kt
kt
B k AB k AB k AB
B
+ − − + =
+
( )
( )
22 2 2
3
e e
1 e
kt kt
kt
k AB k AB
B
− +=
+
( )( )
2
3
e 1 e
1 e
kt kt
kt
k AB B
B
− += =
+
( )
( )
0,2 0,2
30,2
960e 200e 1
1 200e
t t
t
− −
−
−=
+
( ) 0,20 200e 1 0th t −′′ = ⇔ − = 0,2 1e
200
t−⇔ = ⇔
( )0,2 ln 200t⇔− = −( )ln 200
0,2t⇔ = ⇒
26,4916t⇒ ≈
Seja ( )
0
ln 20026,4916
0,2t = ≈ .
t 0 0t +∞
h" + 0 –
h' ր ց
Máx.
A taxa de crescimento é máxima decorridos 26,5 anos,
aproximadamente.
Avaliação 2
Pág. 188
1. ( )2
1lnf x x
x= +
( )2
4 3 3
1 2 1 2 2x xf x
x x x x x
− −′ = + = − =
( )2
2 6 2 4
1 2 3 1 6xf x
x x x x
− ×′′ = − − = − +
2
4
6 x
x
−=
( ) 0 6 6f x x x′′ = ⇔ = − ∨ =
x 2 6 3
f " + 0 –
f ' ր ց
Máx.
( ) 1 2 6 2 4 2 6 66
3 6 96 6 6 6 6 6 6f
−′ = − = = = =×
Resposta: (A)
2. ( ) 4
5
x
f x =
e ( ) 5
4
x
g x =
( ) ( )0 1, 0 1f g= =
Os gráficos intersetam-se no ponto (0, 1).
(C) é falsa
Resposta: (C)
3. ( ) ( )12 ln 2 2 2 2 ln 2 1x xf x −′ = − = −
Resposta: (B)
4. ( ) e 2xg x′ = − − → ( ) 0,g x x′ < ∀ ∈ℝ
( ) exg x′′ = − → ( ) 0,g x x′′ < ∀ ∈ℝ
Resposta: (D)
5. ( )( ) ( )
( )2
11 1 ln
1
x x xx
f xx
− + − − ′ = =
+
( )2
11 1 ln
1
x x xx
x
+ − − − +=
+ ( ) ( )2 2
1 1 lnln
1 1
x xx
x x
x x
−−
= = =+ +
( )2
1 ln
1
x x
x x
−=
+
Resposta: (D)
6. ( ) 0,1
0 2 tQ t Q −= ×
( ) 0,1 0,1 1
0
1 12 2 2
2 2
t tQ t Q − − −= ⇔ = ⇔ = 0,1 1t⇔− = − ⇔
10t⇔ =
Resposta: (D)
120; 200
0,2
A B
k
= =
= −
120; 200; 0,2
4800
A B k
kAB
= = = −
= −
2
120; 200
0,2
960
A B
k
k AB
= =
= −
=
125
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
7. ( ) 0,2200 20e xh x x −′ = +
( ) 0,2200 4e xh x −′′ = −
( ) 0,2 0,20 200 4e 0 e 50x xh x − −′′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔
ln50
0,2 ln 50 19,60,2
x x x⇔ − = ⇔ = ⇒ ≈ −−
Resposta: (C)
Pág. 189
8.1. { }\ 1fD =ℝ
8.2. ( ) ( ) ( )( )
1 1
1 12
1 11e e
1 1
x x
x xx xx
f xx x
+ +− −
′ − − ++ ′ = = = − − ( )
1
12
2e
1
x
x
x
+
−−
−
( ) 0, ff x x D′ < ∀ ∈
f é estritamente decrescente em ] [,1−∞ e em [ [1, +∞ .
f não tem extremos.
8.3. ( )( ) ( )
1 1
1 12 2
2 2e e
1 1
x x
x xf xx x
+ +− −
′ ′ − −′′ = + =
− −
( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 14 2 2
2 2 1 2 2e e
1 1 1
x x
x xx
x x x
+ +− −
× − −= − × =
− − −
( ) ( )
1 1
1 13 3
4 1 4e 1 e
1 11 1
x x
x xx
x xx x
+ +− − = + = × = − − − −
( )
1
14
4e
1
x
xx
x
+−=
−
( ) 0 4 0 0ff x x x D x′′ = ⇔ = ∧ ∈ ⇔ =
x −∞ 0 1 +∞f " – 0 + +
f ∩ 1
e ∪ ∪
P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em
] [, 0−∞ e voltada para cima em ]0, 1[e em ] [1, +∞ .
O ponto de coordenadas 1
0 ,e
é um ponto de inflexão.
8.4. f é contínua.
Assíntotas verticais:
( )21
1 0
1 1lim lim e e e 0
x
x
x xf x
−
− −
+−∞−
→ →= = = =
( )21
1 0
1 1lim lim e e e
x
x
x xf x
+
+ +
++∞−
→ →= = = = +∞
A reta de equação 1x = é uma assíntota ao gráfico de f
Assíntotas não verticais:
( )1
11lim lim e e e
x
x
x xf x
+−
→±∞ →±∞= = = dado que
1lim lim 1
1x x
x x
x x→±∞ →±∞
+= =
−
A reta de equação ey = é uma assíntota ao gráfico de f
em −∞ e em +∞ .
9.1. ( ) ( )6 3 3 1 6x xf x = ⇔ − = ⇔ ( )23 3e 6 0x x− − = ⇔
1 1 24
3 3 2 3 32
x x x± +⇔ = = = − ∨ = 1x⇔ =
{ }1S =
9.2. ( ) ( )2 23 3 2 3 ln 3 3 ln 3x x x xf x′′ = − = × − ( )3 ln 3 2 3 1x x= × −
10. :f →ℝ ℝ com ( ) ( )ln e ex xf x −= +
10.1. ,f fx D x D∀ ∈ − ∈
( ) ( ) ( )ln e e ,x x
ff x f x x D−− = + = ∀ ∈
Logo, f é uma função par.
10.2. Em −∞ : y mx b= +
( ) ( )ln e e
lim lim
x x
x x
f xm
x x
−
→−∞ →−∞
+= = =
( )2ln e 1 elim
x x
x x
−
→−∞
+
( )2ln e ln 1 e
lim
x x
x x
−
→−∞
+ += =
( )2ln 1 elim
x
x
x
x→−∞
− + +=
( )2ln 1 e
lim lim
x
x x
x
x x→−∞ →−∞
+−= +
01 1= − + = −−∞
( )( ) ( )lim lim ln e ex x
x xb f x x x−
→−∞ →−∞ = + = + + =
( )( )2lim ln e 1 ex x
xx−
→−∞ = + + =
=
( )2lim ln 1 e x
xx x
→−∞ = − + + + ( )2
lim ln 1 ex
x→−∞= + =
( )ln 1 0 0= + =
A reta de equação y x= − é assíntota ao gráfico de f em
−∞ .
Em +∞ :
( ) ( ) ( )2ln e e ln e e 1
x x x xf x
− − = + = + =
( ) ( )2 2ln e ln e 1 ln e 1x x xx− −= + + = + +
( ) ( )2ln e 1
lim lim
x
x x
xf xm
x x
−
→+∞ →+∞
+ += = =
( )2ln e 1
lim lim 1 0 1
x
x x
x
x x
−
→+∞ →+∞
+= + = + =
( )( ) ( )2lim lim ln e 1x
x xb f x x x x−
→+∞ →+∞ = − = + + − =
( ) ( )2lim ln e 1 ln 0 1 0
x
x
−
→+∞= + = + =
A reta de equação y x= é assíntota ao gráfico de f em +∞ .
Logo, o gráfico de f tem duas assíntotas perpendiculares, as
retas de equações y x= − e y x= dado que 1 1 1− × = − .
10.3. ( ) e e
e e
x x
x xf x
−
−
− +′ =+
( ) 0 e e 0 e e 0x x x xf x x x x− −′ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = − ⇔ =
x −∞ 0 +∞
f ′ – 0 +
f ց ln 2 ր
Mín.
f é estritamente decrescente em ] ], 0−∞ e estritamente
crescente em [ [0 , +∞ .
( )0 ln2f = é o mínimo aabsoluto de f.
10.4. Atendendo a 10.2. e 10.3., [ [ln2 ,fD′ = +∞
( ) ( )2lim ln e ln 1 ex x
xx−
→−∞ = + + +
126
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Logo, a equação ( )f x k= é impossível se e só se
] [, ln2k∈ −∞ .
11.1. ( ) ( )2ln e e 1 1x xf x = − + −
{ }2: e e 1 0x x
fD x= ∈ − + >ℝ =ℝ
2e e 1 0x x− + > ⇔ ( )2e e 1 0x x− + >
Se exy = , 2 1 0y y− + > .
( )2e e 1 0,x x x− + > ∀ ∈ℝ
11.2. ( ) ( )2lim lim ln e e 1 1x x
x xf x
→−∞ →−∞ = − + − = ( )ln 0 0 1 1− + −
1= −
A reta de equação 1y = − é uma assíntota ao gráfico de f
em −∞ .
11.3. ( ) ( )2ln e e 1 1x xf x = − + − ( )2 2ln e 1 e e 1
x x x− − = − + − =
( ) ( )2 2ln e ln 1 e e 1x x x− −= + − + − =
( )22 1 ln 1 e ex xx − −= − + − +
11.4. ( ) ( )lim 2 1x
f x x→+∞ − − =
( )2lim 2 1 ln 1 e e 2 1x x
xx x− −
→+∞ = − + − + − + =
( ) ( )2lim ln 1 e e ln 1 0 0 0
x x
x
− −
→+∞= − + = − + =
Logo, a reta de equação 2 1y x= − é uma assíntota ao
gráfico de f em +∞ .
11.5. ( )( )2
2 2
e 2e 12e e
e e 1 e e 1
x xx x
x x x xf x
−−′ = =− + − +
( ) 10 2e 1 0 e ln 2
2
x xf x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = −
x −∞ ln2− +∞f ' – 0 +
f ց ր
Mín.
( ) ( )2 ln 2 ln 2ln 2 ln e e 1 1f − −− = − + −1 1
ln 1 14 2
= − + − =
3
ln 14
= −
f é estritamente decrescente em ] ], ln2−∞ − e estritamente
crescente em [ [ln2 ,− +∞ .
( ) 32ln 2 ln 1
4f
− = −
é o mínimo absoluto de f.
11.6. ( )( )( ) ( )( )
( )
2 2 2 2
22
4e e e e 1 2e e 2e e
e e 1
x x x x x x x x
x xf x
− − + − − −′′ =
− +
( )
4 3 2 3 2 4 3 3 2
22
4e 4e 4e e e e 4e 2e 2e e
e e 1
x x x x x x x x x x
x x
− + − + − − + + −=
− +
( )( )( )
23 2
2 22 2
e e 4e 1e 4e e
e e 1 e e 1
x x xx x x
x x x x
− + −− + −= =
− + − +
( ) ( )20 e 4e 1 0x xf x′′ = ⇔ − + − = ⇔
4 16 4
e2
x − ± −⇔ =
−
4 2 3e
2
x ±⇔ =
e 2 3 e 2 3x x⇔ = − ∨ = +
( ) ( )ln 2 3 ln 2 3x x⇔ = − ∨ = +
Sejam ( )0 ln 2 3x = − e ( )1 ln 2 3x = + .
x −∞ 0x 1x +∞
f " – 0 + 0 –
f ∩ ∪ ∩ P.I. P.I.
O gráfico tem a concavidade voltada para baixo em
( ), ln 2 3 −∞ − e em ( )ln 2 3 , + + ∞ e voltada
para cima em ( ) ( )ln 2 3 , ln 2 3 − + . Os pontos de
abcissas ( )ln 2 3− e ( )ln 2 3+ são pontos de inflexão.
11.7.
12. ( ) ( )P t kP t′ = ; ( ) ( )0 ektP t P=
12.1. ( )0 1000P = ; ( )5 1335P = ; ( ) 1000ektP t =
5 51000e 1335 e 1,335k k= ⇔ = ⇔ ( )5 ln 1,335k = ⇔
( )ln 1,335
0,057795
k k⇔ = ⇒ ≈
12.2. ( ) 0,057791000e tP t −=
( ) 0,05779 2525 1000e 4241P ×= ≈
12.3. a) ( ) 6 0,05779 610 1000e 10tP t = ⇔ = ⇔
0,05779 3e 10t⇔ = 30,057 79 ln10t⇔ = ⇔
3ln10
119,532 min0,05779
t t⇔ = ⇒ ≈
119,532 min 119 min 32 s≈
b) ( ) 2000P t = ⇔ 0,057791000e 2000− = 0,05779e 2t⇔ =
ln 2
12 min0,05779
t t⇔ = ⇒ ≈
13. Seja ( )Q t a quantidade, em gramas do composto X, t
minutos após o início da reação.
Sabemos que ( ) ( )Q t kQ t′ = . Então, ( ) ektQ t A= sendo A
a quantidade inicial, em gramas, da substância X.
( ) 110
3Q A= e ( )15 20Q =
( ) 10 101 1 110 e e
3 3 3
k kQ A A A= ⇔ = ⇔ = ⇔
( ) ( )
ln 3110 ln 0,1ln 3
3 10k k k
− ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
( ) ( )0,1 ln 3e
tQ t A
−=
( ) ( )0,1 ln3 15
1,5ln3
2015 20 e 20
eQ A A
− ×
−= ⇔ = ⇔ = ⇔
1,5
1,5
1,5ln 3
20 203 20
3eA A A− −
⇔ = ⇔ = ⇔ = × ⇔
3 1
2 23 20 3 3 20 3 3 20A A A⇔ = × ⇔ = × × ⇔ = × ⇔
60 3 103,9A A⇔ = ⇒ ≈
60 3 g 103,9 gA = ≈
2
2
1 0
1 4 0
1 0,
y y
y y y
− + =∆ = − <− + > ∀ ∈ℝ
127
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Avaliação global
Pág. 190
1. 2x yA − = e 3 8yA =
( )33 38 8 8 2y y y yA A A A= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 2 2x
x y x y
y
AA A A
A
− = ⇔ = ⇔ =
2 2 2 4x yA A= = × =
Resposta: (A)
2. ( ) 410 ektf t =
( ) 4 4 3 43 8 10 10 e 8 10kf = × ⇔ = × ⇔
( )33 3e 8 e 8 e 8k k k⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
e 2 ln 2k k⇔ = ⇔ =
( ) ( )ln 2410 et
f t =
( ) ( )ln 2 0,540,5 10 e 14 140f×= ≈ 30 min = 0,5 h
Resposta: (C)
3. 22 8 2 12 0x x− × + = ( )22 8 2 12 0x x⇔ − × + = ⇔
8 64 48
22
x ± −⇔ = 2 2 2 6x x⇔ = ∨ = ⇔
( )2 21 log 6 1 log 2 3x x x x⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = × ⇔
2 2 21 log 2 log 3 1 1 log 3x x x x⇔ = ∨ = + ⇔ = ∨ = +
log3
1 1log 2
x x⇔ = ∨ = +
Resposta: (B)
4. ( ) 2 2
2
x x
f x−+
= ; ( ) 2 2
2
x x
g x−−
=
( ) ( )2 2log 3 log 3 2 2
2
2 2 2 2log 3 2
2 2f g
− −+ −− = − =
12log 3
14
3 2 4
2 2
− −+= −
1 13 4
3 4
2
+ − += =
7 51
512 12
2 2 24
− + −= = = −
5
24= −
Resposta: (A)
5. ( )( )2ln 1
1 3 2x
xf x
+=
− −
{ }2: 1 0 1 3 2 0
x
fD x x= ∈ + > ∧ − − >ℝ
1 3 2 0 3 2 1x x− − > ⇔ − < ⇔ 3 2 1 3 2 1x x− > − ∧ − < ⇔
3 1 3 3x x⇔ > ∧ < 0 1x x⇔ > ∧ < ⇔
] [0 ,1x⇔ ∈
] [0 ,1fD =
Resposta: (A)
6. ( ) 2e 1xf x x= − .
• ( ) ( )2 2 2 2e e e 2 ex x x xf x x x x′′ ′= + = + = ( )2e 2 1x x +
((A) é verdadeira)
• ( ) ( ) 10 2 1 0
2f x x x′ > ⇔ + > ⇔ > −
((B) é verdadeira)
• ( ) ( )2lim lim e 1
x
x xf x x
→+∞ →+∞= − = +∞ ((C) é verdadeira)
• ( ) ( )( )0
2lim lim e 1x
x xf x x
∞×
→−∞ →−∞= − = ( )( )2lim e 1y
yy −
→+∞− − =
2
lim 1e yy
y
→+∞= − − =
2
1 2lim 1
2 e yy
y
→+∞− − =
1
lim 12 euu
u
→+∞= − −
1 11
e2lim
u
u u→+∞
= − × − =
1 1 1
1 0 1 12 2
= − × − = − × − = −+∞
((D) é falsa)
Resposta: (D)
Pág. 191
7.1. a) ( )0
1,25 1,250 1
1 0,25 e 1,25M = = =
+ ×
( )0 1 gM =
b) ( )0,4
1,251 1,07
1 0,25 eM
−= ≈+ ×
( )1 1,07 gM ≈
7.2. ( ) ( )0,4
1,251,2 0 1,2 1
1 0,25et
M t M−
= ⇔ = × ⇔+
0,41,25 1,2 1,2 0,25 e t−⇔ = + × × ⇔ 0,40,3e 0,05t− =
0,4 0,05e
0,3
t−⇔ = ⇔1
0,4 ln6
t − =
ln 6
0,4t−
⇔ =−
4,4794t⇒ ≈ 4 h 28 min 46 st⇔ ≈
Ao fim de 4 h 28 min 46 s
7.3. ( )0,4
1,25 1,25lim lim 1,25
1 0,25e 1 0,25 0tt t
M t−→+∞ →+∞
= = =+ + ×
Com o decorrer do tempo a massa da cultura de bactérias
tende a estabilizar em 1,25 g.
7.4. [ ]( ) ( )
0 ,1
1 0t.v.m. 0,07 g/h
1 0
M M−= ≈
−
[ ]( ) ( )
1 , 2
2 1t.v.m. 0,05 g/h
2 1
M M−= ≈
−
No intervalo [0, 1] a massa da cultura de bactérias cresce a
uma velocidade média de 0,07 g/h enquanto que no intervalo
[1, 2] a velocidade média de crescimento é 0,05 g/h.
7.5. ( )0,4
1,25
1 0,25e 1 et kt
AM t
B−= =+ +
( )( )( )2
1 e
1 e 1 e
kt
ktkt
A BAM t
B B
′′ − + ′ = = = + +
( )( )2
e
1 e
kt
kt
A kB
B
−=
+
( )2e
1 e
kt
kt
kAB
B
−= =
+ ( )0,4
20,4
0,125e
1 0,25e
t
t
−
−+
( ) ( )0,4 3
0,4 3
0,5e3 0,03
1 0,25 eM
− ×
− ×′ = ≈
+ ×
No instante 3t = a massa da cultura de bactérias cresce à
velocidade de 0,03 g/hora.
7.6. ( )( )2
e
1 e
kt
kt
kABM t
B
′ − ′′ = = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
4
e 1 e e 1 e
1 e
kt kt kt kt
kt
kAB B kAB B
B
′′ − + − − + = =
+
,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→−∞ →+∞
1,25; 0,25
0,4
A B
k
= =
= −
1,25; 0,25; 0,4
0,125
A B k
kAB
= = = −
= −
1,25; 0,25
0,4
A B
k
= =
= −
2u y
y u
=
→ +∞⇒ → +∞
128
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
( ) ( )( )
( )
22
4
e 1 e 2 e 1 e e
1 e
kt kt kt kt kt
kt
k AB B kAB B kB
B
− + − − += =
+
( ) ( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 2
4
1 e e e 2 e
1 e
kt kt kt kt
kt
B k AB k AB k AB
B
+ − − + = =
+
( )
( )
22 2 2
3
e e
1 e
kt kt
kt
k AB k AB
B
− +=
+
( )( )
2
3
e 1 e
1 e
kt kt
kt
k AB B
B
− += =
+
( )
( )
0,4 0,4
30,4
0,05e 0,25e 1
1 0,25e
t t
t
− −
−
−=
+
O sinal de M ” depende do sinal de ( )0,40,25e 1t− − .
0,4 0,4 0,410,25e 1 0 e e 4
0,25
t t t− − −− < ⇔ < ⇔ < ⇔
0,4 ln 4t⇔ − <ln 4
0,4t⇔ >−
A condição é universal em 0
+ℝ porque ln 4
00,4
<−
.
Logo, como 0t +∀ ∈ℝ , 0,40,25e 1 0t− − < temos:
( ) 00,M t t +′′ < ∀ ∈ℝ pelo que M ’(t) é decrescente em 0
+ℝ .
Assim, o valor máximo de ( )M t′ é ( )0 0,08M ′ = .
O crescimento foi máximo no instante 0t = e foi de
0,08 g/h .
8.1.
51,5
6000 1 6463,70100
C = + ≈
€
8.2. 1,5
6000 1 7500100
n
+ > ⇔
5001,015
6000
n 7> ⇔
1,015
5log
4n
⇔ >
( )( )
ln 1,2515
ln 1,015n n⇔ > ⇒ ≥
Ao fim de 15 anos.
8.3. 1,5
6000 1 12 000100
n
+ =
1,0151,05 2 log 2n n⇔ = ⇔ > ⇔
ln 2
47ln1,015
n > ≈ . Terão de passar 47 anos.
9.1. ( )
( )( )
022 0
0 0
3 3 13 9lim lim
ln 1 ln 1
xx
x x
x
x x x
+
→ →
−− = × =
+ +
( )
ln 32
0 0
e 13 lim lim
ln 1
x
x x
x
x x→ →
−= × =
+
ln 3
0 0
e 1 e 19 ln3 lim lim
ln3
x y
x yx y→ →
− −= × × × =
0
e 19ln 3 lim 1 9ln3 1 9ln 3
u
u u→
−= × × = × =
9.2.
( )
( )
02 12 2 0
5 5 5 11 0
e 1 e 1 1lim lim
e 5 1 e 1
xx
x xx x
x
x
−−
− −→ →
− − −= × =
− − −
( )
( )( )( )
2 1
5 11 0
5 1e 1 12lim lim
2 1 5 e 1
x
xx x
x
x
−
−→ →
−−= × ×
− −
0 0
e 1 12lim lim
5 e 1
u
vu v
v
u→ →
−= × ×
−
0
1 1 2 1 22 1
e 15 5 1 5lim
v
v v→
= × × × = × =−
9.3. ( )( )
0
1 11 lim ln 13 33
30
1lim 1 e e
e
xx
xx
xx
→
− −
→− = = =
Dado que:
( )0
1lim ln 1
3xx
x→
× − = ( )
( )0
0
1 1lim ln 1
3 xx
x
∞×
→
− − = −
0
1 1lim
3 e 1yy
y→
= − × × = −
0
1 1 1 1 1
e 13 3 1 3lim
y
y y→
= − × = − × = −−
10. ( ) 1
2 ln
xf x
x= −
10.1. { }: 0 ln 0fD x x x= ∈ > ∧ ≠ℝ
1
ln 0 ln 0 0 12
x x x x= ⇔ = ∧ > ⇔ =
] [ ] [0 ,1 1,D = ∪ +∞
A proposição é falsa.
10.2. Seja y mx b= + a assíntota ao gráfico de f, quando
x→+∞ , caso exista.
( ) 1 1 1 1 1
lim lim2 2 2lnx x
f xm
x x x→+∞ →+∞
= = − = − = +∞
( )( ) 1lim lim 0
lnx xb f x mx
x→+∞ →+∞
= − = − =
A reta de equação 1
2y x= é uma assíntota ao gráfico de f
quando x→+∞ .
A proposição é verdadeira.
10.3. ( ) 2f x < ; ( )2 2 2
2
2
e 1 e 1 ee 1 2
2 2 ln e 2ln ef = − = − = − >
A proposição é falsa.
10.4. ( ) 1 1 1
12 2ln ln2
xf x
x x
′ ′ ′ = − = − =
( ) ( )2 2
1
1 1 22
2 2ln ln
x
x x x
−= − × = +
A proposição é verdadeira.
Pág. 192
11.1. ( ) ( )e e e ex x x xg x x x′ = − + = −
( ) 0 0g x x′ = ⇔ =
x −∞ 0 +∞g' + 0 –
g ր 0 ց
Máx.
g é estritamente crescente em ] ], 0−∞ e estritamente
decrescente em [ [0 ,+∞ .
Como ( )0 0g = , ( ) { }0, \ 0g x x< ∀ ∈ℝ .
11.2. ( )( ) ( )
( ) ( )2 2
e 1 e 1 e 1 e
e 1 e 1
x x x x
x x
x x xf x
′′ − − − − −′ = =− −
( )( )2e 1
x
g x=
−
O sinal de ( )f x′ é o sinal de ( )g x em { }\ 0ℝ .
2
1,25; 0,25;
0,4
0,05
A B
k
k AB
= =
= −
=
( )ln 1
e 1
e 1
0 0
y
y
y x
x
x
x y
= + ⇔
⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ ⇒ →
ln 3
0 0
u x
x u
=
→ ⇒ →
( )2 1
1 0
u x
x u
= −
→ ⇒ →
( )5 1
1 0
v x
x v
= −
→ ⇒ →
( )ln 1
e 1
e 1
0 0
y
y
y x
x
x
x y
= −
⇔ = −
⇔− = −→ ⇒ →
129
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
Como ( ) { }0, \ 0g x x< ∀ ∈ℝ , f é estritamente decrescente
em ] [, 0−∞ e em ] [0 , +∞ pelo que não tem extremos.
11.3. f é contínua em ℝ \ {0}
Assíntotas verticais:
( )0 0
0
1 1lim lim 1
e 1e 1 1lim
xxx x
x
xf x
x
→ →
→
= = = =−−
O gráfico de f não tem assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais
Em +∞ :
( ) 1 1lim lim lim 0
e 1e 1 0xxx x x
xf x
x x
→+∞ →+∞ →+∞= = = =
− +∞ −−
A reta de equação 0y = é uma assíntota ao gráfico de f,
em +∞ . Em : y mx b−∞ = +
( ) 1
lim lim 1e 1xx x
f xm
x→−∞ →−∞= = = −
−
( )lim lime 1xx x
xb f x x x
→−∞ →−∞
= + = + = −
e
lime 1
x
xx
x x x
→−∞
+ −= =
−( )1
lim lim ee 1
x
xx xx
→−∞ →−∞= × =
−
( )1lim e
0 1
y
yy −
→+∞= × − =−
1 1
1 lim 0ee
limyyy
y
y
y
→+∞
→+∞
= − × − = = = +∞
A reta de equação y x= − é uma assíntota ao gráfico de f
em −∞ .
11.4. Atendendo a 11.2. e 11.3., ] [ ] [0 ,1 1,fD′ = ∪ +∞
12.1. ( )1 1f = e ( )1 0f ′ =
( )2 2 3ln2f = −
( ) lnbx c
f x a b xx
+′ = + +
( )
( )( )
( )
( )
ln1 11 1
1 0 ln1 01
2 2 3ln 2 2 2 ln 2 2 3ln 2
a b cf
b cf a b
f a b c
+ + = = + ′ = ⇔ + + =
= − + + × = −
( ) ( )
1 1
1 0 1
2 2 ln 2 2 3ln 2 2 1 ln 2 3ln 2
a a
b c c b
b c b b
= =
⇔ + + = ⇔ = − − + + = − − − = −
1 1
1 1
1 3 2
a a
c b c
b b
= =
⇔ = − − ⇔ = − = − = −
12.2. ( ) ( )2 1 lnf x x x x= + − +
a) ( ) ( )0 0
lim lim 2 1 lnx x
f x x x x+ +→ →
= + − + = ( )0 1= + × −∞
= −∞
b) ( ) ( )( )
lim lim 2 1 lnx x
f x x x x∞−∞
→+∞ →+∞= + − + =
( )lim 2 ln lnx
x x x x→+∞
= − + =
ln
lim 1 2lnx
xx x
x→+∞
= − + =
( )1 0= +∞× −∞ + = −∞
12.3. ( ) ( ) ( ) 11 2 ln 2 1f x x xx
′ = + − + − +1
1 2ln 2xx
= − − + =
1
1 2ln xx
= − − +
( )2
1 12f x
x x′′ = − × − =
2
2 10,
xx
x
++− < ∀ ∈ℝ
( ) 0,f x x +′′ < ∀ ∈ℝ . Logo o gráfico da função f tem a
concavidade voltada para baixo em todo o domínio.
12.4. a) ( ) ( )2 1 lnf x x x x x x= ⇔ + − + = ⇔
( )2 1 ln 0x x⇔ − + = ⇔
( ) 12 1 0 ln 0 0 1
2x x x x x⇔ − + = ∨ = ∧ > ⇔ = ∨ =
O gráfico de f interseta a reta de equação y x= nos
pontos de abcissas 1
2 e 1 .
b) Atendendo a 12.3. e 12.4.: ] [10 , 1 ,
2x ∈ ∪ + ∞
13.1. 1
: 0 2 0f
D x xx
= ∈ ≠ ∧ − >
ℝ ] [ 1, 0 ,
2
= −∞ ∪ + ∞
x −∞ 0 1
2 +∞
2 1x − – – – 0 +
x – 0 + + +
2 1x
x
− + – 0 +
13.2. f é contínua.
Assíntotas verticais:
( )( )0
0 0
1lim lim ln 2x x
f x xx− −
×∞
→ →
= − =
1
lim ln2y
yy→+∞
= =−
ln
lnlim lim
221
y y
y
y y
y
y
→+∞ →+∞= =
− −
00
0 1= =−
( )1 1
2 2
1 1lim lim ln 2 ln 0
2x x
f x xx+ +
+
→ →
= − = × = −∞
A reta de equação1
2y = é assíntota vertical ao gráfico de f.
Assíntotas não verticais: y mx b= +
• Quando x→−∞ :
( ) 1
lim lim ln 2 ln 2x x
f xm
x x→−∞ →−∞
= = − =
( ) 1lim ln 2 lim ln 2 ln 2
x xb f x x x x
x→−∞ →−∞
= − = − − =
1
lim ln 2 ln 2x
xx→−∞
= − − =
( )01
lim ln 12x
xx
∞×
→−∞
= − =
1 1
lim 2 ln 12 2x
xx→−∞
= − − − =
0
0
1 1 1 1 1 1 1lim
e 12 e 1 2 2 1 2lim
yyy
y
y
y
→
→
= − × = − = − × = − −−
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→−∞⇒ →+∞
lnlim 0x
x
x→+∞=
1 12 2
1
2
0
y yx x
xy
x y−
= − ⇔ = −
⇒ =−
→ ⇒ → +∞
1ln 1
2
1e 1
21
e 12
12
e 10
y
y
y
yx
x
x
x
x y
= −
⇔ = −
⇔ − = −
⇔ − =−
→ −∞⇒ →
130
4.2. Derivadas e aplicações de funções exponenciais e de funções logarítmicas
A reta de equação ( ) 1ln 2
2y x= − é uma assíntota do
gráfico de f em −∞ .
• Quando x→+∞
( ) 1
lim lim ln 2 ln 2x x
f xm
x x→+∞ →+∞
= = − =
( )lim ln 2x
b f x x→+∞
= − =
1 1
lim 2 ln 12 2x
xx→+∞
= − − − =
1 1 1
lim2 e 1 2
yyy
→+∞
= − × × = − −
A reta de equação ( ) 1ln 2
2y x= − também é assíntota
ao gráfico de f em +∞ .
Pág. 193
14.1. ( )( )
( )
0,9
20,9
1500 0,9 295e
5 295e
t
tP t
−
−
− − ×′ =
+ ( )
0,9
20,9
398 250e
5 295e
t
t
−
−=
+
( ) ( )0,9 1
300
P tP t
− =
( )0,9 0,9
1500 15000,9 1
5 295e 300 5 295et t− −
− = + +
( )
0,9
0,9 0,9
1350 1500 88 500e 1500
5 295e 300 5 295e
t
t t
−
− −
+ − = = + +
( ) ( )
( )0,9 0,9
2 20,9 0,9
1350 88 500e 398 250e
300 5 295e 5 295e
t t
t tP t
− −
− −
× ′= = =+ +
14.2. a) ( )0
15000 5
5 295eP = =
+
b) [ ]( ) ( )
0 ,1
1 0 12,0 5t.v.m. 7,0
1 0 1
P P− −= ≈ ≈
−
[ ]0 ,1t.v.m 7,0 indivíduos /semana≈
[ ]( ) ( )
1, 2
2 1 27,9 12,0t.v.m. 15,9
1 1
P P− −= ≈ ≈
[ ]1, 2t.v.m 15,9 indivíduos/semana≈
c) ( )0,9
1500200 200
5 295e tP t
−= ⇔ = ⇔
+
0,91500
5 295e200
t−⇔ = + ⇔ 0,97,5 5e
295
t−−= ⇔
1
0,9 ln118
t ⇔ − =
( )ln 118
0,19t−
⇔ = ⇔−
( )ln 118
0,9t⇔ =
Se ( )ln 118
0,9t = ,
( )( ) 1
ln 118,0,9
ln 1180,9 0,9 1e e e
118
t−− ×
− = = = ,
pelo que:
( )
2
1398250ln 118 3375118 60
0,9 56,2515 295
118
P
× ′ = = = + ×
Quando 200 indivíduos foram infetados a taxa de
crescimento era de 60 indivíduos/semana.
d) ( ) 0,P t t +′ > ∀ ∈ℝ . ( )P t é estritamente crescente.
0,9
1500 1500lim lim 300
5 295e 5 295 0tt t −→+∞ →+∞= = =
+ + ×
O número máximo de indivíduos infetados tende a
aproximar-se de 300.
14.3. ( )( ) ( )
0,9
2 20,9
398 250e e
5 295e 5 e
t kt
t kt
AP t
B
−
−
′ ′ ′′ = = = + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
4
e 5 e e 5 e
5 e
kt kt kt kt
kt
A B A B
B
′′ + − + = =+
( ) ( )( )
( )
2
4
e 5 e 2 e 5 e e
5 e
kt kt kt kt kt
kt
kA B A B kB
B
+ − += =
+
( )( )
( )
2 2
4
5 e 5 e e 2 e
5 e
kt kt kt kt
kt
B kA kAB kAB
B
+ + −= =
+
( )
2
3
5 e e
5 e
kt kt
kt
kA kAB
B
−= =
+
( )( )3
e e 5
5 e
kt kt
kt
kA B
B
− −=
+
( )
( )
0,9 0,9
30,9
358 425e 295e 5
5 295e
t t
t
− −
−
−=
+
( ) 0,90 295e 5 0tP t −′′ = ⇔ − = ⇔ 0,9 5e
295
t− = ⇔
0,9 1
e59
t−⇔ = ⇔ ( )0,9 ln 59t⇔− = −ln59
0,9t⇔ =
x 0 ln59
0,9 +∞
P” + 0 –
P’ ր 0 ց
Máx.
ln 59
0,90,9
ln59 1500
0,95 295e
P− ×
= =
+
1500150
15 295
59
=+ ×
Quando a taxa de crescimento foi máxima, foram
infetados 150 indivíduos.
14.4.
15.
210
3000 1 3630100
× + =
; 4000 3630 370− =
O investidor não recuperou porque perdeu 370 €.
16.1. ( ) ( )24 e 24kt ktT t A A T t− −= + ⇔ = −
( ) ( ) ( )e 24ktT t kA T t k T−′ ′= − ⇔ = − −
16.2. ( ) ( )0 80 ; 24 ktT T t A−= = +
080 24 e 80 24 56A A A= + ⇔ = − ⇔ =
( ) ( )12 60 ; 24 56e ktT T t −= = +
12 12 60 24 960 24 56e e 12 ln 0,0368
56 14
k kk k
− − − = + ⇔ = ⇔ − = ⇒ ≈
16.3. ( ) 0,036830 24 56e 30tT t −= ⇔ + = ⇔ 0,0368 30 24e
56
t− −= ⇔
3
0,0368 ln28
t ⇔ − =
3ln
28
0,0368t
⇔ =
−60,7t⇒ ≈
Terão de decorrer 61 min, aproximadamente.
(tendo em contas os
cálculos já efetuados)
1ln 1
2
12
e 1
0
y
yx
x
x y
= − ⇔
⇔ − =−
→ +∞⇒ →
;
295
0, 9
398 250
B
k
A
=
= −
=
;
295
0, 9
358425
398 250
B
k
kA
A
=
= −
= −
=
( )e 24ktA T t− = −