aula 2 função uma ideia fundamental · É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora....

Tecnólogo em Construção de Edifícios

Aula 2

Função_Uma Ideia FundamentalProfessor Luciano Nóbrega

1

2www.professorlucianonobrega.wordpress.com

x2 y2yy1x1

NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

x

elementos

IMAGENS

A função é como uma máquina onde entram

que são transformados e saem suas

Matematicamente...

Entra o “x”...... E sai o “y”.

O domínio é o

conjunto de todas as

entradas, enquanto a

imagem é o conjunto

de todas as saídas.


NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

Considere os seguintes conjuntos A e B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A Bf

Definição de Função:

Dados dois conjuntos A e B, se para cada valorde “x” (x Є A) existir, em correspondência, umúnico valor de “y” (y Є B), então dizemos que “y”está em função de “x”.

Conjunto IMAGEM

NOTAÇÃO: f (x) = y

Observe que aqui:

f (x) = x + 4

“A” é o

Conjunto

DOMÍNIO

“B” é o Conjunto

CONTRADOMÍNIO

f (1) = 1 + 4

f (2) = 2 + 4

f (3) = 3 + 4

f (4) = 4 + 4


TESTANDO OS CONHECIMENTOS

8 – O diagrama ao lado representa uma função?E agora? Temos uma função?

9 – (UFRJ) Considere a

relação de M em N,

representada no diagrama

abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta:

A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;

B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;

C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;

D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

10 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode

representar uma função?


Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa cidade,de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturasem função da hora do dia.

Horas

Temperaturaº CIndique:

1º) o domínio;

2º) o contradomínio;3º) Quais as horas do dia em que

se registou a temperatura 3ºC ?

4º) Este gráfico representa uma

função? Justifique.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO

Como verificar se um gráfico determina uma função?

Não se trata de

uma

representação

de uma função

Trata-se de uma

representação de

uma função



11 – Determine o domínio das funções definidas por:

a) f (x) = ( x – 7) -1 b) f (x) = ( 3x – 1) 1/2

12 –

13 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é

kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para

meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em

cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h.

Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e

obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e

que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de

acordo com a fórmula, em kcal, é:

A) 2970. B) 2875. C) 2770. D) 2601.



14 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a

quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar

em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.

O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que

pesa 85kgf receberá em cada dose:

A) 7 mB) 9 mC) 8 mD) 10 m

15 – (UFRN) Determine o valor da expressão

para a = – 1.

a2

a319.

a2

a31 2

5

3


FUNÇÃO COMPOSTA

Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x ∈ A.

AB C

x f(x) g(f(x))

Ex: f(x) = x+2 e g(x) = x2, então g(f(x)) = ?

x = 5

Mais exemplos: Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

16 – Determine as funções compostas de

f(x)=√x e g(x)=√(2 – x)

a) f(g(3)) b) g(f(5))c) f(f(9)) d) g(g(7))

17 – (IFRN) Se f(g(x)) = 4x2 – 8x + 6 e

g(x)=2x–1 , então f (2) é igual a:

A) –2 B) –1 C) 3 D) 5 E) 6

18 – (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x+4 e f(g(x))=x – 5, então g(–3) é igual a:

A) –4 B) –3 C) 3 D) 4 E) 5


FUNÇÃO INVERSA

Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos importantes:

FUNÇÃO INJETORA

É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm

imagens diferentes no conjunto B.

FUNÇÃO SOBREJETORA

É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto

contradomínio. ( Im = CD ).

FUNÇÃO BIJETORA

É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.

EXEMPLO:

Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda

nenhuma delas:

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

3

4

5


FUNÇÃO INVERSA

Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora.

x y

D Rf(x)

f -1(x)

OBS: O símbolo “–1” em f –

1(x) não é um expoente. f –1(x) não significa 1/f(x).

A função inversa f –1(x)

“desfaz” o que a função

f(x) faz. Observe:

f(x) = 2x + 1; f –1(x) = ?

EXEMPLO: (UFSE) Considere a função bijetora

y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é:

A) (x + 3) : ( 3x – 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 – x)

C) ( 2x – 1) : (x + 1) D) ( 3x – 1) : (x + 3)

EXEMPLO: Se f (1) = 5 e f (8) = -10,

determine f –1(5) e f –1(-10).

OBS: Os gráficos de f(x) e

f –1(x) são simétricos em

relação a função y = x.



19 – (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o

conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a

cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f :

A) é injetora e não é sobrejetora.

B) é injetora e é sobrejetora.

C) não é injetora e é sobrejetora.

D) não é injetora e não é sobrejetora.

20 – (UFRN) Sejam E o conjunto formado

por todas as escolas de ensino médio

de Natal e P o conjunto formado pelos

números que representam a

quantidade de professores de cada

escola do conjunto E. Se f: E → P é a

função que a cada escola de E associa

seu número de professores, então:

A) f é uma função sobrejetora.

B) f não pode ser uma função bijetora.

C) f não pode ser uma função injetora.

D) f é necessariamente uma função

injetora.

21 –Dadas as funções ƒ(x) = 5x+1

e g(x) = 6x – 4, resolva a equação

ƒ -1(g(x)) = 7, seguindo o

procedimento em cada item:

1º) Determine ƒ -1(x);

2º) Na função ƒ -1(x) obtida no

item (1º), substitua “x” por “g(x)”,

em seguida, iguale a 7 e resolva a

equação;

GABARITO: 11) x = 20/3


FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)

FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = - f(-x)

Uma função é PAR quando ela é simétrica em

relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

y

x

f(x) = x²

y

x

f(x) = x³

22 – a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:23 – Sendo o gráfico ao

lado de f(x), o gráfico

de f(– x) será :



24 – Determine a função inversa das seguintes funções:

a) f(x) = 4 – 3x b) f(x) = x/2 c) f(x) = x/(x –2)

25 – Dada a função f(x) = 2x + 5.

a) Classifique-a; b) Determine f –1(x); c) f(f –1(x)) e f –

1(f(x))

26 – Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função f(x)

= x, g(x) = 2 – 3x e g –1(x). O que você pode observar?

27 – Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda

nenhuma delas:

a) f(x) = 2x – 1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x3

28 – (UFCE) Seja f: R ⟶ R a função tal que f(1) = 4 e f(x+1) = 4.f(x) para

todo x real. Nessas condições, f(10) é igual a:

A) 2–10 B) 4–10 C) 210 D) 410

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