Claudenise Alves - Engenharia Civil

Função Inversa

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2

Tipos de Funções

• Função Composta: é formada pela composição deduas funções, f e g, traçando-se x como f(g(x)).

• Função Constante: retorna um valor constanteindependente da entrada.

• Função Vazia: cujo domínio é um conjunto vazio.• Função Identidade: a imagem, ou correspondente

no contra-domínio, de cada objeto é o próprioobjeto.

• Função em partes: é definida por diferentesexpressões em intervalos em diferentes intervalos

• Função bijetora: é tanto injetora, quantosobrejetora e, portanto, invertível.

Função Injetora

Definição 1

Uma função f é chamada função injetora se elanunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é;

𝑓(x1)≠𝑓(x2) sempre que x1 ≠ x2

Teste da Reta Horizontal

• Observe que para toda reta horizontal a funçãoanalisada só vai cruzá-la em um único ponto e,portanto, a função f é injetora em seu domínio.

Teste da Reta Horizontal

INJETORA

NÃO É INJETORA

VAMOS EXERCITAR!!

1. Classifique como injetora ou não injetora:

a. f:ℝ → ℝ, f(x)= x²+1

NÃO É INJETORA

b. f:ℝ → ℝ, f(x)= 3x

INJETORA

Função Sobrejetora

Definição 2;

Seja f uma função com domínio A e imagem B.Dizemos que a função é sobrejetora se a Im(f)=B.Equivalente para todo elemento y pertencente a B,existe x pertencente a A tal que Im(f) = B.

Exemplo

y = x y = x²- 4É SOBREJETORA

NÃO É

SOBREJETORA

VAMOS EXERCITAR!!

a. f:ℝ → ℝ, f(x)= x+3

É SOBREJETORA

b. f:ℝ → ℝ, f(x)= x²

NÃO É SOBREJETORA

Função Bijetora

Definição 3

Seja f uma função. Dizemos que f é bijetora, se forinjetora e sobrejetora.

𝟏. 𝒇(𝐱𝟏)≠𝒇(𝐱𝟐) sempre que 𝐱𝟏 ≠ 𝐱𝟐

2. Im(f) = B

Função Bijetora

APENAS INJETORA APENAS

SOBREJETORA

Função Inversa

Seja f uma função bijetora com domínio A e imagemB. Então sua função inversa 𝑓−1 tem domínio B eimagem A, sendo definida por

𝑓−1 y = x

f x = y

Equações de Cancelamento

𝑓−1(f(x)) = x para todo x em A

f(𝑓−1(x)) = x para todo x em B

Como Achar a Inversa de Uma Função

Passo 1: Escreva y = f(x)

Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o emtermos de y.

Passo 3: Para expressar 𝑓−1 como uma função de x,troque x por y.

A equação resultante é y = 𝑓−1(x)

Exemplo 01

Encontre a função inversa de f(x) = 𝑥3 + 2

𝑦 = 𝑥³ + 2𝑦 – 2 = 𝑥³

𝑥 = 3 𝑦 − 2

Logo, 𝑓−1 𝑥 =3𝑥 − 2

Exemplo 02

Esboce os gráficos de f(x) = 𝑥3e de sua funçãoinversa, usando o mesmo sistema de coordenadas.

𝑦 = 𝑥³𝑥 = 3 𝑦

Logo, 𝑓−1 𝑥 = 3 𝑥

Gráfico da Inversa:

g(x) = 𝑥3

h(x) = 𝑥1/3

y = x

Funções Trigonométricas Inversas

Funções Trigonométricas Inversas

Função Seno

Seno com Domínio Restringido

Logo;

sen y = x

𝑠𝑒𝑛−1 x = y

Com;

-𝜋

2≤ y ≤

𝜋

2

VAMOS EXERCITAR!!

(a) Calcule 𝑠𝑒𝑛−1(1

2)

30°

b) Calcule tg (arcsen3

2)

3

Cosseno com Domínio Restringido

Logo;

cos y = x

𝑐𝑜𝑠−1 x = y

Com;

0 ≤ y ≤ 𝜋

VAMOS EXERCITAR!!

Encontre o valor exato da expressão 𝑐𝑜𝑠−1(-1).

Tangente com Domínio Restringido

Exemplo 03

Simplifique a expressão cos 𝑡𝑔−1 𝑥 .

cos 𝑡𝑔−1 𝑥 =

cos φ =adj.

hip.

cos 𝑡𝑔−1 𝑥 =1

h

cos 𝑡𝑔−1 𝑥 =1

1 + 𝑥²

1

x

φ

h

Obrigado pela atenção!

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