vol. 3 matemÁtica a -...
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SEMIEXTENSIVO – VOL. 3 – MATEMÁTICA A
05.01)
Pela definição de função composta temos: h(x) = g(f(x)), ou seja, h(x) = gof(x)
ALTERNATIVA D
05.02)
Se f(2) = 25 e g(25) = 5, baseado no exercício anterior, temos que g(f(2))=h(2), assim, temos
que h(2) = g(f(2)) = g(25) = 5.
ALTERNATIVA C
05.03)
g(f(x)) = [f(x)]2
g(f(x) = [4x]2
g(f(x) = 16x2
ALTERNATIVA B
05.04)
2
2
2 2 2 2
4 2
( ( )) ( ) 1
( ( )) 1 2 1
( ( )) ( ) 2 1 1 1
( ( )) 2 2
f f x f x
f f x x
f f x x x
f f x x x
ALTERNATIVA A
05.05)
2
(4) ( (4)) (1) 0
:
(4) 5 4 (4) 1
(1) 1 1 (1) 0
gof g f g
Pois
f f
g g
RESPOSTA: 0 (ZERO)
05.06)
( (0)) (1) 1
:
(0) 03 1 (0) 1
(1) 1 2 (1) 1
g f g
Pois
f f
g g
ALTERNATIVA E
05.07)
( (5)) ( (5))
(6) (10)
7 21
28
:
(5) 5 1 (5) 6
(5) 2 5 (5) 10
(6) 6 1 (6) 7
(10) 2 10 1 (10) 21
E f g g f
E f g
E
E
Pois
g g
f f
f f
g g
ALTERNATIVA D
05.08)
2
( ( 2)) ( 4) 26
:
( 2) 2 ( 2) ( 2) 4
( 4) 4 10 ( 4) 26
f g f
Pois
g g
f f
ALTERNATIVA B
05.09)
3 3 3
3
( 3) ( ( 3)) ( 1) 1 8 1 2
:
( 3) ( 3) 2 ( 3) 1
( 1) 1 8
fog t f g t f t t t
Pois
g t t g t t
f t t
ALTERNATIVA A
05.10)
1( ( ))
( ) 1
1( ( ))
11
1
1( ( ))
1 ( 1)
1
1( ( ))
2
1
1( ( ))
2
:
1 3( ( )) 1 1 1 2
2 2
f f xf x
f f x
x
f f xx
x
f f xx
x
xf f x
x
Então
xf f x x x x
x
ALTERNATIVA C
05.11)
2
3( ( 2)) ( (0))
4
3( 4) (10)
4
326 20
4
4,5
:
( 2) 2 ( 2) ( 2) 4
(0) 0 10 (0) 10
( 4) ( 4)2 10 ( 4) 26
(10) 2 10 (10) 20
E f g g f
E f g
E
E
Pois
g g
f f
f f
g g
ALTERNATIVA E
05.12)
2
:
(1) 1 (1) 1
( (1)) (1 ) ( (1)) (1 ) 4 ( (1))) 1 5
( (1)) 16
1 5 16
3
Temos
g t g t
f g f t f g t t f g t
Se
f g
Então
t
t
ALTERNATIVA D
05.13)
( ) ( ( ))
( ) 3
( 4) 3
( 4) 3
( 4 1) 3
( 3) 3
3 3
( ) ( ( ))
( ) 4
( 3) 4
( 3) 4
( 3 1) 4
( 2) 4
2 4
3 2 ( 3 ) ( 4 )
3 2 3
fog x f g x a
a g x a
a bx a
a bx a
a bx
a bx
a abx
gof x g f x b
b f x b
b ax b
b ax b
b ax
b ax
b abx
a b abx abx
a b
4
3 2 1
abx abx
a b
ALTERNATIVA E
05.14)
2
2
2
2
( ( )) ( ) 2 ( )
( ( )) 1 2 ( 1)
( ( )) 2 1 2 2
( ( )) 4 3
f g x g x g x
f g x x x
f g x x x x
f g x x x
- Função Polin. 2º grau (ax2+bx+c): Parábola;
- Concavidade pra cima (a = 1);
- Raízes: 1 e 3 (positivas);
- Corta eixo y (x = 0): 3;
ALTERNATIVA A
05.15)
Pelo Gráfico, obtemos os seguintes valores:
(1) 0
( 2) 0
(0) 0
(0) 2
g
f
f
g
Então, temos que:
( (1)) ( ( 2) (0) (0) 0 2 2f g g f f g
ALTERNATIVA B
05.16)
( )
3 2
( ) 2 3
( ) 2 (3 2) 3
( ) 6 1
b f a
b a
g b b
g b a
g b a
ALTERNATIVA A
05.17)
2
2
2
2
( ( ) 1 ( )
( ( )) 1 1
( ( )) 1 2 1
( ( )) 2
g f x f x
g f x x
g f x x x
g f x x x
- Concavidade pra baixo;
- Raízes: 0 e -2
- Intercepta eixo x: (0,0) e (-2,0)
- Intercepta eixo y: (0,0)
ALTERNATIVA C
05.18)
Faz-se:
3 3x m x m
Então:
( 3) 5
( ) ( 3) 5
( ) 8
f x x
f m m
f m m
Faz-se:
( ( )) ( ) 8f g x g x
E, segundo o enunciado, temos:
2( ( )) 6 8f g x x x
Então:
2
2
( ) 8 6 8
( ) 6
g x x x
g x x x
g(x) é Parábola com concavidade pra baixo, ou seja, possui ponto de mínimo que é o vértice da
parábola. Sendo g(k) o valor mínimo da função, k é o valor de x que gera esse valor mínimo, ou
seja, k é a abscissa do vértice. Então:
2
( 6)
2 1
3
vk x
bk
a
k
k
ALTERNATIVA D
05.19)
a)
2
2
( ) ( ( ))
( ) 0,5 ( ) 1
( ) 0,5 (10 0,1 ) 1
( ) 0,05 6
C t C p t
C t p t
C t t
C t t
b)
2
2
2
( ) 13,2
0,05 6 13,2
0,05 7,2
144
12
C t
t
t
t
t
Resposta: 12 anos
05.20)
2
2
2
2 2
2
:
1( )
:
1( ) 2
( ) ( ( )) ( ) 2 ( ) 2
:
(4) 4 2 (4) 18
Sabe se
fog x xx
Percebe se
fog x xx
fog x f g x g x f x x
Então
f f
Resposta: 18
06.01)
Somente funções bijetoras admitem inversa.
ALTERNATIVA D
06.02)
Pontos simétricos em relação a uma reta estão a mesma distância da mesma, ou seja, B está
situado á mesma distância da bissetriz dos quadrantes ímpares que o ponto A.
ALTERNATIVA C
06.03)
Se o ponto A(4,7), então, B(7,4)
Formando o triângulo retângulo, teremos:
- Cateto paralelo ao eixo x: distância entre 4 e 7, ou seja, mede 3;
- Cateto paralelo ao eixo y: distância entre 4 e 7, ou seja, mede 3;
- Hipotenusa: distância entre A e B;
2 2 2
2 2 2
2
3 3
18
3 2
hip cat cat
hip
hip
hip
ALTERNATIVA B
06.04)
(V)
(V) Injetoras mas não são sobrejetoras
(V) sobrejetoras mas não são injetoras
(V)
(F) Não necessariamente (3ª afirmação)
Resposta: VVVVF
06.05)
O domínio (x) e a imagem (y) da função e de sua inversa trocam a cada ponto, então, se
f(4)=10, temos que f-1(10)=4.
ALTERNATIVA D
06.06)
1
1
1
( ) 4 8
4 8
4 8
8 4
8
4
8( )
4 4
1 8( )
4 4
( ) 0,25 2
f x x
y x
x y
x y
xy
xf x
f x x
f x x
ALTERNATIVA A
06.07)
f(x) = x2 (Parábola, concavidade pra cima e vértice na origem)
Im (f) : IR+
B = Im(f) (Sobrejetora)
B = IR+
ALTERNATIVA D
06.08)
1
( ) 4
4
4
4
( ) 4
g x x
y x
x y
y x
g x x
ALTERNATIVA D
06.09)
3
3
3
3
3
1 3
( ) 1
1
1
1
1
( ) 1
f x x
y x
x y
x y
x y
f x x
ALTERNATIVA B
06.10)
1
1
(10) 2 (2) 10
(7) 15 (15) 7
Se
f f
f f
Sabe-se também que para qualquer f(x), temos:
1 1( ( )) ( ( ))f f x f f x x
Então:
1 1 1(2) (15) ( (8)) ( (20))
10 7 8 20
45
m f f f f f f
m
m
ALTERNATIVA A
06.11)
3
1
1
(1) 1 1 (1) 2
( (1))
( ) (1)
( ) 2
( )
(0) 3 .0 3 3
3(2) 0 .2 0
2
:
3( ) 3
2
3 3 2( ) 3 2 1
2 2 3
:
2( (1))
3
g g
Se
f g k
Então
f k g
f k
f x ax b
f a b b
f a b a
Assim
f x x
f k k k k
Então
f g
ALTERNATIVA D
06.12)
f(x) = x2
- Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem;
- Não é injetora (simétrico ao eixo y);
- Não é sobrejetora (Imagem: IR+ que é diferente do contradomínio : IR);
- Crescente para x >0 e Decrescente para x < 0;
ALTERNATIVA E
06.13)
Se é invertível, é bijetora. Então é sobrejetora, ou seja, a Imagem de f(x) é igual ao
contradomínio;
A imagem de f(x) é igual ao domínio de f-1(x), assim:
1
2( )
2
2
2
2
2
2 2
2 2
(1 ) 2 2
2 2
1
2 2( )
1
xf x
x
xy
x
yx
y
y x xy
y xy x
y x x
xy
x
xf x
x
O domínio de f-1(x) é:
1 0 1x x
D(f) = IR – {-1}
Então, temos que a = -1
ALTERNATIVA D
06.14)
Para julgar um gráfico de uma função injetora, a regra prática é traçar paralelas ao eixo x.
Quando a função for injetora, todas as paralelas interceptarão o gráfico apenas uma vez.
ALTERNATIVA E
06.15)
f(x) = x2
F: IR IR
- Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem;
- Não é injetora (simétrico ao eixo y);
- Não é sobrejetora (Imagem: IR+ que é diferente do contradomínio : IR);
ALTERNATIVA E
06.16)
( 6) 3 11
( 5) 3 8
:
( 1)
(( 1) 5) 3( 1) 8
( 6) 3 11
f x x
Se
f x x
Faz se
x x
f x x
f x x
FALSO
1
1
1
1 1( )
2 2
( ) 2 1
2 1
2 1
1 2
1
2
1( )
2 2
1 1( )
2 2
g x x
Se
g x x
y x
x y
x y
xy
xg x
g x x
FALSO
1(2) (7) 10f g
Em f(x), para x = 7, temos:
(7 5) 3.7 8
(2) 13
f
f
Em g-1(x), para x =7, temos:
1
1
1 1(7) . 7
2 2
(7) 3
g
g
Substituindo, temos: 13 3 10
VERDADEIRO
ALTERNATIVA C
06.17)
f(x) = x2
Se: f: IR IR
- Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem;
- Não é injetora (simétrico ao eixo y);
- Não é sobrejetora (Imagem: IR+ que é diferente do contradomínio : IR);
Se: f: IR IR+
- Parábola, concavidade pra cima, vértice na origem;
- Não é injetora (simétrico ao eixo y);
- É sobrejetora (Imagem: IR+ que é igual ao contradomínio : IR);
Se: f: IR+ IR
- Parte de uma Parábola com concavidade pra cima, vértice na origem;
- É injetora (parte direita da parábola ; para x > 0);
- Não é sobrejetora (Imagem: IR+ que é diferente do contradomínio : IR);
II e III são verdadeiras
ALTERNATIVA E
06.18
I – VERDADEIRA
II – FALSO
III – FALSO : Se é sobrejetora o contradomínio e imagem são iguais;
IV – VERDADEIRO
ALTERNATIVA E
06.19)
1
2 2
2 2
1( )
2
1
2
1
2
1 2
2 1
(1 2 ) 1
1
1 2
1( )
1 2
1 1 3
1 2 2 1
2 2 1 1 3 2 6
2 ( 2) 1 6 5 1
xf x
x a
xy
x a
yx
y a
y xy ax
y xy ax
y x ax
axy
x
axf x
x
Então
ax x
x x
ax ax x x x x
ax a x x x
Igualando os coeficientes correspondentes, temos:
2 6 3
2 5 3
a a
ou
a a
Resposta: a = 3
06.20)
Se x for par, f(x) é par ou f(x) é ímpar;
Se x for ímpar, f(x) é par ou f(x) é ímpar;
Logo: Im (f) = IN (SOBREJETORA)
f(1) = 1
f(2) = 1
NÃO INJETORA
Logo: NÃO BIJETORA
SEMIEXTENSIVO – VOL. 3 – MATEMÁTICA B
05.01)
FUNDO AZUL
Casa = 2 / Palmeira = 2
2 2 4total
FUNDO CINZA
Casa = 3 / Palmeira = 1
3 1 3total
TOTAL = 4 + 3 = 7
Alternativa B
05.02)
2ª e4 barras precisam ser iguais;
1ª e 5ª barras precisam ser iguais;
2 2 2 1 1
TOTAL = 8 – (todas claras) – (todas escuras)
TOTAL = 6
Alternativa D
05.03)
* Usando 1ª engrenagem da coroa = 2 marchas (usando engrenagens 1 ou 2 do pinhão);
* Usando 2ª engrenagem da coroa = 6 marchas (usando uma das 6 engrenagens do pinhão);
* Usando 3ª engrenagem da coroa = 6 marchas (usando uma das 6 engrenagens do pinhão);
TOTAL = 14 marchas
Alternativa C
05.04)
Ida = 3 opções
Volta = 2 opções
Total = 3 . 2 = 6 opções
Alternativa E
05.05)
Usando {1, 3, 5, 7, 9}, para um número ser divisível por 5, terá o algarismo das unidades igual a
5, assim:
4 3 2 1
24 números de 4 algarismos divisíveis por 5.
Alternativa A
05.06)
A para B: 3 rodovias e 2 ferrovias
B para C: 2 rodovias e 2 ferrovias
1ª Opção
A para B por Rodovia e B para C por Ferrovia = 3 . 2 = 6
2ª Opção
A para B por Ferrovia e B para C por Rodovia = 2 . 2 = 4
TOTAL = 10
Alternativa B
05.07)
2 . 4 . 5 . 3 = 120 maneiras distintas
Alternativa E
05.08)
* Para ser divisível por 2, o último algarismo precisa ser par;
6 5 4 3
360 números de quatro algarismos.
Alternativa C
05.09)
Usando {1, 3, 5, 7, 9}, temos:
Para ser maior que 200 e menor que 800 precisa começar com 3, 5 ou 7;
3 . 4 . 3 = 36
Alternativa B
05.10)
Para cada edição da Copa, apenas 4 continentes podem se candidatar. Assim:
4 . 4 . 4 = 64
Alternativa B
05.11)
Cálculo do número de senhas possíveis (apenas os últimos 4 algarismos pois os dois primeiros
já estão definidos):
7 . 6 . 5 . 3 = 630 senhas
Como gasta 10 segundos por senha: 6300 segundos = 1,75 horas = 1h 45min
Alternativa A
05.12)
2
( 3)! ( 2)! ( 1)!
( 3)( 2)( 1)! ( 2)( 1)! ( 1)!
( 2)( 1)![( 3) 1] ( 1)!
( 2) 1
2 1 1
2 1 3(Im ) 1
m m m
m m m m m m
m m m m
m
m m
ou
m m possível m
Alternativa A
05.13)
Como os algarismos da senha precisam ser distintos, temos:
3 . 3 . 2 . 2 = 36
Alternativa C
05.14)
1ª Opção: Repetir o 1 ou o 10 e escolher 7 entre os 8 números restantes
2 . 8 = 16
2ª Opção: Repetir um dos 8 números ausentes e escolher 6 entre os 7 números restantes
8 . 7 = 56
TOTAL = 16 = 56 = 72
Alternativa E
05.15)
Total de senhas sem as restrições: 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106
Dentre as senhas que não são permitidas, para os dois algarismos centrais há 12 opções e,
para os demais 4 algarismos há 10 opções cada, assim: 10 . 10 . 12 . 10 . 10 = 12 . 104
Subtraindo: 106 – 12.104
Alternativa A
05.16)
Dois algarismos (começar com par e terminar com ímpar)
3 . 3 = 9
Três algarismos (começar com par e terminar com ímpar)
3 . 4 . 3 = 36
Quatro algarismos (começar com par e terminar com ímpar)
3 . 4 . 3 . 3 = 108
Cinco algarismos (começar com par e terminar com ímpar)
3 . 4 . 3 . 2 . 3 = 216
Seis algarismos (começar com par e terminar com ímpar)
3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 216
TOTAL = 9 + 36 + 108 + 216 + 216 = 585 números
Alternativa D
05.17)
* Considere o retângulo ABCD cujas diagonais são: AC e BD;
* Partindo do vértice A com 4 opções de cores, temos:
1º caso
Vértices B e D com a mesma cor (diferente de A), lembrando que o vértice C precisa ser
diferente de B e D, mas pode ser igual ao A.
Seguindo a sequência alfabética dos vértices temos as seguintes opções de cores para cada um
deles:
4 . 3 . 3 . 1 = 36
2º caso
Vértices B e D com cores diferentes (diferente de A), lembrando que o vértice C precisa ser
diferente de B e D, mas pode ser igual ao A.
Seguindo a sequência alfabética dos vértices temos as seguintes opções de cores para cada um
deles:
4 . 3 . 2 . 2 = 48
TOTAL = 36 + 48 = 84
Alternativa D
05.18)
Total de senhas sem as restrições: 5 . 5 . 5 . 5 = 625
Senhas com o número “13” que pode ocupar 3 posições (duas primeiras, duas centrais ou duas
últimas). Assim:
3 . (5.5) = 75
Subtraindo, temos: 625 – 75 = 550
Porém, a senha “1313” foi subtraída duas vezes (foi contada como uma das senhas com “13”
na duas primeiras e contada outra vez como uma das senhas com “13” nas duas últimas),
sendo assim, é necessário somar “1” para compensar o duplo desconto. Então:
TOTAL = 550 + 1 = 551
Alternativa A
05.19)
1 símbolo: 2 letras
2 símbolos: 2 . 2 = 4 letras
3 símbolos: 2 . 2 . 2 = 8 letras
4 símbolos: 2 . 2 . 2 . 2 = 16 letras
5 símbolos: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 letras
6 símbolos: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 letras
7 símbolos: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 letras
8 símbolos: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 letras
TOTAL = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510
05.20)
1º e último: linhas 2 / 2º e 3º : linha 1
3 . 3 . 3 . 3 = 81
1º e último: linha 3 / 2º e 3º : linha 2
3 . 3 . 3 . 3 = 81
1º e último: linha 4 / 2º e 3º: linha 3
1 . 3 . 3 . 1 = 9
TOTAL = 81 + 81 + 9 = 171 senhas possíveis
06.01)
Como sempre sai de “A” e volta pra “A”, João precisa permutar as outras 5 cidades, assim,
descartando as simétricas, João examinará: 5
1 15! 60
2 2P sequências distintas.
Ele gasta 1min30seg por cada uma delas, então: Tempo = 90 minutos.
Alternativa B
06.02)
1ª jogada: x
2ª jogada: 2.x
3ª jogada: 3.2.x
4ª jogada: 4.3.2.x
.
.
.
na jogada: n.(n-1)...3.2.x na jogada: n! x n! = 720 n! = 6! n =6
Alternativa B
06.03)
2 sucos / 5 salgados / 4 sobremesas
3 2 5 4. . .
3!.2!.5!.4!
6.2.120.24
34560
Total P P P P
Total
Total
Total
Alternativa E
06.04)
6 letras distintas;
6 6! 720P
Alternativa A
06.05)
9 letras: 2 C / 2 O / 1 H / 1 L / 1 A / 1 T / 1 E
2,2 2,2
9 9
9! 9.8.7.6.5.4.390720
2!2! 2P P
Alternativa C
06.06)
Se Carlos foi o primeiro e Bruno o último, as possibilidades são as permutações entre os outros
quatro amigos, então:
44! 24P
Alternativa D
06.07)
É a permutação de seis “símbolos” sendo que dois se repetem (cara) os outros quatro também
são repetidos (coroa), então:
2,4
6
6!15
2!4!P
Alternativa E
06.08)
Começando com “G”, usa-se as outras 7 letras (distintas)da palavra para as 3 vagas. Então:
7 . 6 . 5 = 210
Alternativa C
06.09)
Considere Pedro e Luísa apenas “uma pessoa”
Considere João e Rita apenas “uma pessoa”
Ficamos com “duas pessoas” para permutarmos sendo que, dentro de cada uma das
“pessoas”, é possível permutar entre eles, assim:
2 2 22! 2! 2! 8P P P
Alternativa C
06.10)
Locomotiva sempre na 1ª posição
Restaurante não pode ocupar a 2ª posição
1 . 5 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 600
Alternativa D
06.11)
Permutar 6 resultados sendo que há dois repetidos (vitória), outros 2 repetidos (empate) e
outros dois repetidos (derrota). Assim:
2,2,2
6
6!90
2!2!2!P
Alternativa B
06.12)
Começando por “P” e terminando em “O”
3
6
6!120
3!P
Começando por “G” e terminando em “O”
2,3
6
6!60
2!3!P
TOTAL = 120 + 60 = 180
Alternativa B
06.13)
Considerar as vogais como se fosse apenas “uma letra”, assim teremos que permutar 6 letras.
Lembrar que dentro da “letra” formada pela vogal, posso permutar as três que a formam.
Assim:
6 36!3! 4320P P
Alternativa E
06.14)
Antes do número 75391 estão todos os que começam com 1, 3 e 5, assim:
3.4.3.2.1 = 72
Dentre os que começam com 7, antes do número 75391 estão os que começam com 71 e 73,
assim:
2.3.2.1 = 12
Dentre os que começam com 75, antes do número 75391 estão os que começam com 751,
assim:
2.1 = 2
Dentre os que começam com 753, antes do número 75391 está o número 75319.
Ou seja, o total de números antes de 75391 é (72+12+2+1) = 87
Assim, o número 75391 ocupa a 88ª posição.
Alternativa C
06.15)
1) Entre A e B
Uma opção: NLNLLL
Todas as opções para o trecho são as permutações desses sentidos, assim:
2,4
6
6!15
2!4!P
2) Entre B e C
Uma opção: LNNLN
Todas as opções para o trecho são as permutações desses sentidos, assim:
2,3
5
5!10
2!3!P
Para cada opção do trecho entre A e B, há 10 opções de trechos entre B e C, assim:
TOTAL = 15 . 10 = 150
Alternativa E
06.16)
Total de possibilidades: 8
8! 40320P
Possibilidades com A e B juntos: 7 2
7!2! 10080P P
TOTAL = 40320 – 10080 = 30240
Alternativa C
06.17)
3 matérias / 2 horários por dia
Segunda Feira: 3 . 2 = 6 opções
Quarta Feira: 3 . 2 – (mesmas matérias de 2ª) = 6 – (2) = 4
Sexta Feira: Duas matérias com duas opções de ordem das aulas = 2
PFC: 6 . 4 . 2 = 48 opções de horário
Alternativa B
06.18)
As 6 serão colocadas em 6 posições. Para que as vogais fiquem em ordem alfabética, temos:
1ª) Opção: Vogais em posições consecutivas (1ª,2ª ,3ª / 2ª,3ª,4ª /3ª,4ª,5ª /4ª,5ª,6ª )
4 . (Permutações das consoantes) = 3
4 4 3! 24P
2ª Opção: Vogais em posições um espaço entre as duas primeiras (1ª,3ª,4ª /2ª,4ª,5ª /3ª,5ª,6ª )
3. (permutações das consoantes) = 3
3 3 3! 18P
3ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas primeiras (1ª,4ª,5ª/2ª,5ª,6ª )
2. (permutações das consoantes) = 3
2 2 3! 12P
4ª Opção: Vogais em posições com três espaços entre as duas primeiras (1ª, 5ª ,6ª)
1. (permutações das consoantes) = 3
1 1 3! 6P
5ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas últimas (1ª,2ª,4ª /2ª,3ª,5ª
/3ª,4ª,6ª )
3. (permutações das consoantes) = 3
3 3 3! 18P
6ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas últimas (1ª,2ª,5ª/2ª,3ª,6ª )
2. (permutações das consoantes) = 3
2 2 3! 12P
7ª Opção: Vogais em posições com três espaços entre as duas últimas (1ª,2ª ,6ª)
1. (permutações das consoantes) = 3
1 1 3! 6P
8ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas primeiras e um espaço entre as
duas últimas (1ª,3ª,5ª / 2ª,4ª,6ª )
2. (permutações das consoantes) = 3
2 2 3! 12P
9ª Opção: Vogais em posições com um espaço entre as duas primeiras e dois espaços entre as
duas últimas (1ª,3ª, 6ª)
1. (permutações das consoantes) = 3
1 1 3! 6P
10ª Opção: Vogais em posições com dois espaços entre as duas primeiras e um espaço entre as
duas últimas (1ª, 4ª, 6ª)
1. (permutações das consoantes) = 3
1 1 3! 6P
TOTAL = 24 + 18 + 12 + 6 + 18 + 12 + 6 + 12 + 6 + 6 = 120
Alternativa D
06.19)
Total de maneiras sem as restrições: 15!
Total de maneiras de ordenar os homens sem restrições: 5!
Total de maneiras de ordenar as mulheres sem restrições: 10!
Como as posições em ordem crescente e decrescente são únicas, é necessário considerar que
as ordens de cada grupo são repetições que precisam ser descartadas, assim:
15
5,10
P =15!
5!10!=
15.14.13.12.11
5.4.3.2.1= 3003
06.20)
O grupo de franceses precisará ser o primeiro, ou seja, permuta-se apenas dois grupos.
Dentro de cada um dos três grupos há as permutações entre os membros. Assim:
2P ×5P ×
3P ×4P = 2!×5!×3!×4! = 34560
Semiextensivo – vol. 3 – Matemática C
05.01)
A + B = 28
A + C = 35
B + C = 23
Logo:
1A +1B + 0C = 28
1A + 0B +1C = 35
0A +1B +1C = 23
ì
íï
îï
Escalonando:
1A +1B + 0C = 28
0A +1B -1C = -7
0A +1B +1C = 23
ì
íï
îï
escalonando:
1A +1B + 0C = 28
0A +1B -1C = -7
0A + 0B - 2C = -30
ì
íï
îï
Calculando, tem-se:
C = R$15,00; B = R$8,00 e A = R$20,00
ALTERNATIVA D
05.02)
Preço do cinto: x
Preço da camiseta: y
Preço da calça: z
x + 2y + z = 23
2x + y + z = 21
x + y + 2z = 28
ì
íï
îï
Escalonando :
x + 2y + z = 23
0x + 3y + z = 25
0x + y - z = -5
ì
íï
îï
Escalonando :
x + 2y + z = 23
0x + 3y + z = 25
0x + 0y - 4z = -40
ì
íï
îï
Calculando :
z = R$10,00
y = R$5,00
x = R$3,00
ALTERNATIVA B
05.03)
x + 5y +10z = 500
x + y + z = 92
x - z = 0
ì
íï
îï
Isolando x = z
Substituindo:
x + 5y +10x = 500
x + y + x = 92
ìíî
Assim:
11x + 5y = 500
2x + y = 92
ìíî
Multiplicando:
11x + 5y = 500
-10x - 5y = -460
ìíî
Somando as equações:
x = 40
Logo, y = 12 e z = 40
ALTERNATIVA D
05.04)
Qtde cédulas de 1: x
Qtde cédulas de 5: y
Qtde cédulas de 10: z
1x + 5y +10z = 500
x + y + z = 92
x = z
ì
íï
îï
Substituindo:
x + 5y +10x = 500
x + y + x = 92
ìíî
Assim:
11x + 5y = 500
2x + y = 92
ìíî
Multiplicando:
11x + 5y = 500
-10x - 5y = -460
ìíî
Somando, tem-se:
x = 40; y = 12 e z = 40
ALTERNATIVA A
05.05)
Qtde pastel: x
Qtde iogurte: y
Qtde chocolate: z
1x + 0,50y + 0,60z = 2,20
200x + 50y + 600z = 1350
28x + 4y + 24z = 66
ì
íï
îï
Escalonando :
x + 0,50y + 0,60z = 2,20
0x + 50y - 480z = -910
0x +10y - 7,20z = -4,40
ì
íï
îï
Escalonando :
x + 0,50y + 0,60z = 2,20
0x + 50y - 480z = -910
0x + 0y + 444z = 888
ì
íï
îï
Calculando :
z = 2
y = 1
x = 0,50
Esses valores representam as quantidades de porções de 100 gramas. Em gramas a resposta é:
z = 200
y = 100
x = 50
ALTERNATIVA E
05.06)
Preço refrigerante: x
Preço água: y
Preço cerveja: z
3x + 3y + 2z = 17,20
3x + 2y + 3z = 14,00
z - x = y - z
OpçãoI :
3x + 3y + 2z = 17,20
3x + 2y + 3z = 14,00
x + y - 2z = 0
Escalonando :
3x + 3y + 2z = 17,20
0x + y - z = 3,20
0x + 0y - 8z = -17,20
Calculando :
z = R$2,15
y = R$5,35
x = -R$3,15
OpçãoII
3x + 3y + 2z = 17,20
3x + 2y + 3z = 14,00
x - y + 0z = 0
Escalonando :
3x + 3y + 2z = 17,20
0x + y - z = 3,20
0x - 6y - 2z = -17,20
Escalonando :
3x + 3y + 2z = 17,20
0x + y - z = 3,20
0x + 0y - 8z = 2,00
Calculando :
z = -R$0,25
y = R$2,95
x = R$8,35
05.07)
Substituindo os valores da solução na equação temos:
4 3 ( 2) ( 5) 13
12 2 5 13
2 4
2
k
k
k
k
ALTERNATIVA C
05.08)
Substituindo as duas soluções na equação temos:
3 ( 1) 18
6 1 18
:
3 18
6 18
:
9 36
4
:
3.4 18
6
m n
m n
Então
m n
m n
Somando
m
m
Substituindo
n
n
ALTERNATIVA C
05.09)
3 11
4 3 18
:
9 3 33
4 3 18
:
5 15
3
:
4.3 3 18
2
: (3,2)
x y
x y
Multiplicando
x y
x y
Somando
x
x
Substituindo
y
y
Solução
ALTERNATIVA B
05.10)
O denominador na regra de Cramer é o determinante principal, assim:
3 5
4 7
21 20
41
D
D
D
ALTERNATIVA A
05.11)
Pela regra de Cramer, temos:
1 1 1
3 2 0
2 1 3
6 0 3 4 0 9
4
6 1 1
18 2 0
14 1 3
36 0 18 28 0 54
28
287
4
D
D
D
Dx
Dx
Dx
Dxx x x
D
ALTERNATIVA D
05.12)
Pela regra de Cramer, temos:
4 1 1
3 2 4
2 3 2
16 8 9 4 48 6
5
4 9 1
3 11 4
2 2 2
88 72 6 22 32 54
10
102
5
D
D
D
Dy
Dy
Dy
Dyy y y
D
ALTERNATIVA D
05.13)
Pelo escalonamento, teremos:
2 2 2 2 2 2
6
3 4 8
2 3 4 20
:
6( )
4 10( )
2 8( )
: ( ) ( )
6 18 3
:
4.3 10
2
2 3 6
1
1 2 3 1 4 9 14
x y z
x y z
x y z
Escalonando
x y z I
y z II
y z III
Subtraindo II III
z z
Substituindo
y
y
E
x
x
x y z
ALTERNATIVA E
05.14)
3 2 10
6 4 20
:
6 4 20
6 4 20
:
0 0
x y
x y
Multiplicando
x y
x y
Somando
SPI
ALTERNATIVA B
05.15)
0( )
2( )
2 3 1( )
: ( ) ( )
2 2
1
:
1 2 1 ( )
: ( ) ( )
2.1 3.(1 ) 1
2 3 3 1
2 2
1
0
:
( , , ) (1, 1,0)
1 ( 1) 0
0
x y z I
x y z II
x y z III
Somando I II
x
x
Substituindo
y z z y IV
Substituindo IV em III
y y
y y
y
y
E
z
Então
a b c
a b c
a b c
ALTERNATIVA A
05.16)
Pela regra de Cramer, temos:
1 1 1
3 2 1
0 10 9
18 30 10 27
5
1 1 0
3 2 7
0 10 12
24 70 36
10
102
5
D
D
D
Dz
Dz
Dz
Dzz z z
D
ALTERNATIVA D
05.17)
2 2
2
2 2
2 2
2
:
2
:
( ) ( ).( )
:
2
x y a
bx ay a b
Multplicando
ax ay a
bx ay a b
Somando
bx ax b a
x b a b a b a
x b a
Substituindo
b a y a
y a b
ALTERNATIVA C
05.18)
2
2
2
2
2 1
:
(2 1)
( 1) 2 1
( 1) ( 1)
1
:
1 2 1
( 1)
1
ax y a
x y a
Subtraindo
ax x a a
x a a a
x a a
x a
Substituindo
a y a
y a
y x a a
y x
ALTERNATIVA A
05.19)
3 2( )
2 8( )
4 12( )
: ( ) ( )
5 10 2
:
3.2 2
2.2 8
4.2 12
4( )
4( )
4( )
:
( ) ( ) ( )
:
. .
x y z I
x y z II
x y z III
Somando I II
x x
Substiutindo
y z
y z
y z
y z IV
y z V
y z VI
Percebe se
IV V VI
Logo
S P I
ALTERNATIVA E
05.20)
Multiplicando as matrizes e igualando, temos:
1( )
2 1( )
0( )
( ) :
2 1 2 1
( ) :
0
:
( , , ) ( ,2 1, )
x y z I
x y II
x z III
De II
x y y x
De III
x z z x
Então
x y z x x x
ALTERNATIVA A
05.21)
2 2 12( )
2 2 14( )
2 2 18( )
: ( ) ( )
2 2 2 2 32
2 2 2 2
32
a c I
b c II
a d III
Somando II III
a c b d
Perímetro a b c d
Perímetro cm
ALTERNATIVA E
05.22)
11( )
4( )
4( )
2( )
: ( ) ( )
2 7( )
: ( ) ( )
0 ( )
: ( ) ( )
72 7
3
:
7
3
( ) :
7 72 2
3 3
( ) :
7 7( 2)
3 3
x y z t I
x y z II
x y t III
y z t IV
Subtraindo I II
z t V
Subtraindo II III
z t z t VI
Substituindo VI em V
z z z
Logo
t
Em IV
y y
Em I
x
11
25
3
25 7 7. . . .( 2). .
3 3 3
x
x y z t
ALTERNATIVA ??
05.23)
11( )
9( )
7( )
5( )
: ( ) ( )
2 2 1
: ( ) ( )
2 4 2
: ( ) ( )
2 6 3
:
1 2 3 11 5
:
. . . 1.2.3.5 30
x y z t I
x y z t II
x y z t III
x y z t IV
Somando I II
x x
Somando I III
y y
Somando I IV
z z
Substituindo
t t
Logo
x y z t
Resposta = 30
05.24)
2 1( )
2 2( )
2 3( )
2 4( )
: ( ) ( )
1 1
: ( ) ( )
2 2
: ( ) ( )
3 3
:
2 ( 1) ( 2) ( 3) 1 1
x y z w I
x y z w II
x y z w III
x y z w IV
Subtraidndo I II
x y y x
Subtraindo I III
x z z x
Subtraindo I IV
x w w x
Substituindo
x x x x x
En
:
0
1
2
: {( 1,0,1,2)}
tão
y
z
w
Solução
06.01)
6 2
12 6
6 2
( ) :
12 6 2
( )
6 2.2 2
: ( ,2 ,2 )
x y z
x z
x y z
Em II
x z z x
Em I
x y x y x
Solução x x x
ALTERANATIVA A
06.02)
40
25 200 1700
:
25 25 1000
25 200 1700
:
175 700 4
:
4 40 36
p g
p g
Multiplicando
p g
p g
Subtraindo
g g
Subsituindo
p p
ALTERNATIVA D
06.03)
50 10 5 1 400( )
5 ( )
10( )
: ( ) ( ) ( )
50 10 5( 10) 5 400
55 15 350
11 3 70
:
0
2 16
4
A B C D I
D B II
C A III
A par
Substituindo II e III em I
A B A B
A B
A B
Possibilidades
A B IN
A B
A B IN
ALTERNATIVA C
06.04)
2
2
( 4) 2
2
4
2
( 2)( 2)
1
2
m x m
mx
m
mx
m m
xm
Conclusões:
m=2Equação sem solução
m≠2Equação com uma única solução
ALTERNATIVA D
06.05)
2 5 10
6 12
:
2 5 10
0 (15 ) 42
:
15 0 15 .
15 0 15 . .
x y
x my
Escalonando
x y
x m y
Conclusões
m m S I
m m S P D
ALTERNATIVA B
06.06)
3 7
4 10
:
3 7
0 (4 3 ) 2
:
44 3 0 .
3
44 3 0 . .
3
x y
x my
Escalonando
x y
x m y
Conclusões
m m S I
m m S P D
ALTERNATIVA C
06.07)
2
2
:
2
0 ( 2 ) 4
:
2 0 2. .
4 0 4
x y
x ay b
Escalonando
x y
x a y b
Conclusões
a aS P I
b b
ALTERNATIVA A
06.08)
2 5
2 3 7
4 7 17
:
2 5
0 3 3
0 3 3
:
3 3 3 3
x y z
x y z
x y z
Escalonando
x y z
x y z
x y z
Então
y z y z
ALTERNATIVA C
06.09)
10
2 3 15
5 4
Re :
10
4 5
2 3 15
:
10
0 5 (40 )
0 5 (2 ) 5
:
10
0 5 (40 )
0 0 ( 3) (35 )
3 0. .
x y z
mx y z
x y z n
escrevendo
y z x
y z x n
y z mx
Escalonando
y z x
y z x n
y z m x
Escalonando
y z x
x z x n
y z m x n
mS P I
3
35 0 35
3 35 38
m
n n
m n
ALTERNATIVA E
06.10)
Para S.P.D, a regra de Cramer é um bom caminho:
3 2 5
4 2 0
10 9 8
24 40 180 50 54 64 0
26 130
5
D m
m m
m
m
ALTERNATIVA B
06.11)
1
2 3 2
2
Re :
1
3 2 2
0 2
:
1
0 2 5 5
0 2
:
1
0 2 5 5
0 0 (5 ) (5 )
5 0 5.
5 0 5
x y z
x y z
mx y n
escrevendo
z y x
z y x
z y mx n
Escalonando
z y x
z y x
z y mx n
Escalonando
z y x
z y x
z y m x n
m mS I
n n
ALTERNATIVA D
06.12)
2 5
3 2 4
5 4 5
Re :
2 5
4 5 5
3 2 4
:
2 5
0 7 3 (10 )
0 7 (3 2 ) 7
:
2 5
0 7 3 (10 )
0 0 (2 6) (3 )
2. .
x y z
mx y z
x y z n
escrevendo
y z x
y z x n
y z mx
Escalonando
y z x
y z x n
y z m x
Escalonando
y z x
y z x n
y z m x n
mS P I
6 0 3
3 0 3
. 3.3 9
m
n n
m n
ALTERNATIVA B
06.13)
2 5
3 3 2
2
Re :
2 5
3 3 2
2
:
2 5
0 5 3 11
0 5 (2 1) (2 5)
:
2 5
0 5 3 11
0 0 (2 4) (2 6)
2 4 0 2.
x y z
x y z
mx y z n
escrevendo
z y x
z y x
z y mx n
Escalonando
z y x
z y x
z y m x n
Escalonando
z y x
z y x
z y m x n
m mS I
2 6 0 3n n
ALTERNATIVA D
06.14)
3
2 3 5
3 2 2 5
Re :
2 2 3 5
5 3 2
3
:
2 2 3 5
0 4 11 (25 2 )
0 4 (2 3) 11
:
2 2 3 5
0 4 11 (25 2 )
0 0 (8 2 ) (14 2 )
mx y z
x y z n
x y z
escrevendo
z y x
z y x n
z y mx
Escalonando
z y x
z y x n
z y m x
Escalonando
z y x
z y x n
z y m x n
8 2 0 4. .
14 2 0 7
4 7 11
m mS P I
n n
m n
ALTERNATIVA C
06.15)
4 7
3 8
1
:
0 4 7
0 3 4 1
0 1
:
0 4 7
0 3 4 1
0 0 1 2
:
2
3
1
2
x z
x y
y z
Escalonando
x y z
x y z
x y z
Escalonando
x y z
x y z
x y z
Então
z
y
x
x y z
ALTERNATIVA E
06.16)
4( )
6( )
4( )
6( )
: ( ) ( )
2 0 0
: ( ) ( )
2 2 1
:
0 ( 1) 4
5
. .
x y z t I
x y z t II
x y z t III
x y z t IV
Somando I III
y y
Somando I IV
t t
Substituindo
x z
x z
S P I
ALTERNATIVA C
06.17)
2 3 3
2 3 4 5
5 8 5 10
:
2 3 3
0 10 1
0 2 20 5
:
2 3 3
0 10 1
0 0 0 3
.
x y z
x y z
x y z
Escalonando
x y z
x y z
x y z
Escalonando
x y z
x y z
x y z
S I
ALTERNATIVA A
06.18)
I –
0
2 4
2
2 7
.
x y
x y z
x y
S I
VERDADEIRO
II –
1
2
2 2 4( )
12( )
2
52 7( )
2
: ( ) ( )
13 6
2
:
2 8
. .
x y z I
x y z II
x y z III
Subtraindo I III
z z
Então
x y
S P I
VERDADEIRO
III –
Por exemplo:
1
2 4 4
2
2 5 7
3
1
6
. .
x y z
x z
x y z
z
x
y
S P D
FALSO
ALERNATIVA C
06.19)
2 3
2 3
7 4 3 13
Re :
2 3
7 4 3 13
2 3
:
2 3
0 10 10 8
0 5 5 6
:
2 3
0 10 10 8
0 0 0 4 2
x y z a
x y z
x y z
escrevendo
x y z
x y z
x y z a
Escalonando
x y z
x y z
x y z a
Escalonando
x y z
x y z
x y z a
Para que o sistema seja possível, a única opção é S.P.I, ou seja, 4 2 0 2a a
Para a=2, temos então:
2 3( )
0 10 10 8( )
0 0 0 0( )
( ) :
410 10 8 ( )
5
: ( ) ( )
42 3
5
7
5
:
7 4; ;
5 5
x y z I
x y z II
x y z III
Em II
y z y z IV
Substituindo IV em I
x z z
x z
Solução
z z z
Duas soluções possíveis:
7 40 ; ;0
5 5
2 91 ; ;1
5 5
z
z
06.20)
a)
1
2
3
1
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
a
x y z
x y z
x y z
S.IA mesma equação com três resultados diferentes.
b)
3 3
. . 0
1
2
3
1 1
1 1 0 1 1 0 3 2 0
1 1
S P D Dp
ax y z
x ay z
x y az
a
Dp a a a a a a a
a
Pelo Dispositivo Prático de Briott-Ruffini podemos calcular os valores de a, tais que, 3 3 2 0a a . Então temos:
2
3
1 1 0 3 2
1 1 2 0
:
2 0
2
1
:
0 3 2 0
:
1
2
Temos
a a
a
a
Assim
Dp a a
Então
a
a
SEMIEXTENSIVO – VOL. 3 – MATEMÁTICA D
05.01)
É possível formarmos o seguinte triângulo:
Aplicando Pitágoras, temos:
2 2 290 120
150
x
x cm
Comprimento total do corrimão = 30 + 150 + 30 = 210 cm = 2,1 metros
Alternativa D
05.02)
Aplicando Pitágoras, temos:
2 2 2
2 2
(40 ) 20
1600 80 400
80 2000
25
d d
d d d
d
d km
Alternativa C
05.03)
ÁreaTerreno
= (AB).(BC)
ÁreaTerreno
= (AB).2(AB)
ÁreaTerreno
= 2(AB)2
ÁreaCasa
= (AE)2
ÁreaCasa
=AB
5
æ
èçö
ø÷
2
ÁreaCasa
=(AB)2
25® Área
Casa=
2(AB)2
50
ÁreaCasa
=Área
Terreno
50® Área
Casa=
2
100×Área
Terreno
ÁreaCasa
= 2%( ) ×ÁreaTerreno
Alternativa E
05.04)
2 2 2
2 2 2
10 6 8
( ) 90 180 45
17 15 8
o o o
V
V
V x x x
F x x cm
05.05)
2)e h m n
Alternativa E
05.06)
2 2 2
2
13 5 12
( ) ( )
2
12 530
2
b b cm
cateto catetoÁrea
Área Área cm
Alternativa B
05.07)
Re
2
3 48 3
2
30
tângulo TriânguloÁrea Área Área
Área
Área cm
Alternativa B
05.08)
Re
210 8
4 5
tângulo QuadradoÁrea Área
x
x cm
Alternativa B
05.09)
1º Cateto = x
Hipotenusa =3x
Outro Cateto = y
2 2 2
2 2 2
3
9
2 2
3 3 3 3 2
42 2 2 2
x x y
x x y
y x
x x
y x
Alternativa B
05.10)
Temos os dois triângulos:
2 2 2
2 2 2
3,9 1,5 3,6
2,5 1,5 ( )
2,0
3,6 2,0
1,6
y y m
y x
y x
x
x m
Alternativa C
05.11)
Lados: (x-2) ; (x+2) ; x
2 2 2
2 2 2
2
2
2
( 2) ( 2) 83
4 4 4 4 83
3 75
25
5
9;49;25
49
x x x
x x x x x
x
x
x
Áreas
Maior cm
Alternativa C
05.12)
Maior lado = Hipotenusa. Então:
Hipotenusa = 10 + x
Catetos = (2 + x) e (9 + x)
2 2 2
2 2 2
2
10 9 2
100 20 81 18 4 4
2 15 0
3
5
x x x
x x x x x x
x x
x
ou
x
Alternativa C
05.13)
Formamos o seguinte triângulo:
2 2 2
2 2
3 8
9 6 64
6 55
9,16
k k
k k k
k
k chih
Alternativa B
05.14)
Podemos ter a seguinte representação:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
30 (50 )
20
20 30 (50 )
400 900 2500 100
30
d x
d x
x x
x x x
x m
Alternativa E
05.15)
INÍCIO
2 2 236 27
45
D
D milhas
Alternativa A
05.16)
No triângulo retângulo formado, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
2 2 2130 50
120
x
x m
No mesmo triângulo, temos:
120cos
130
12cos
13
cos
1272
13
78 /
Vm Vr
Vr
Vr km h
Alternativa B
05.17)
L1 = 9 L2 = 8 L9 = 9 - 8 = 1 L4 = 8 – 1 = 7 L3 = 8 + 7 = 15
L5 = 9 + 1 = 10 L5 = L4 + L6 – L9 10 = 7 + L6 – 1L6 = 4 L8 = 10 + 4 = 14 L7 = 14 + 4 = 18 STOTAL = 92 + 82 + 152 + 72 + 102 + 42 + 182 + 142 + 12 STOTAL = 1056
Alternativa D
05.18)
Re
Re2.
12. 12 12 120 18 6
2
3144 18 6
2
4 3
6
2 2
Losango tângulo
Triângulo tângulo
o
Área Área
Área Área
sen h
h
h
h m
Alternativa C
05.19)
2 2 2
2
2
2 2
2
arg 16 16arg
9 9
37 ( arg ) ( )
161369 ( )
9
2561369 ( )
81
3371369 ( )
81
37 9( )
18,5
18 / arg 32
L uraL ura Altura
Altura
L ura Altura
Altura Altura
Altura Altura
Altura
Altura
Altura polegadas L ura polegadas
Então
45
arg 80
Altura cm
L ura cm
05.20)
Cada Retângulo:
Largura = x
Altura = y
x > y
Lado do quadrado = (4x + y) ou (2x + 2y)
2
Re
4 12
4 2 3
4 2 2
2 3 tângulo
x y
x y
x y y x
Perímetro
06.01)
2 2 2
2
5 3 4
(15 9).4
2
48
h h m
Área
Área m
Alternativa D
06.02)
Sendo um hexágono regular a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, a largura da faixa será
5 alturas de um dos triângulos, assim:
10 3arg 5
2
arg 25 3
L ura
L ura cm
Alternativa E
06.03)
2 2 250 40
30
x
x cm
Escala 1 : 20
50 cm 10 m
40 cm 8 m
60 cm 12 m
30 cm 6 m
2(12 6) 872
2Área Área m
Alternativa B
06.04)
2
2
2
6 33 3
2
10 2
2 3 33 3
4
50 50 5 2
2 5 2 2 10
V h h cm
V d cm
V A A cm
V A cm
d d d cm
06.05)
2 2 23 4 5a a
4 2 5 5
16
Perímetro
Perímetro
Alternativa D
06.06)
O raio do círculo inscrito em um hexágono é o apótema do hexágono. O apótema do hexágono
regular é a altura de um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono. Assim:
3 3 10 35
2 2 3
6 20 3
r cm
Perímetro Perímetro cm
Alternativa A
06.07)
Lado do triângulo = a
Lado do hexágono = b
Então:
2
2
2
2
2
2
3 6
2
3
4
36
4
6
2
6
4
6
2
3
Triângulo
Hexágono
Triângulo
Hexágono
Triângulo
Hexágono
Triângulo
Hexágono
Triângulo
Hexágono
a b
a b
aÁrea
Área b
Área a
Área b
Área b
Área b
Área
Área
Área
Área
Alternativa C
06.08)
2
16 3
316 3
4
8
3 8 34 3
2 2
1 4 3
3 3
2 8 3
3 3
Área
cm
h h h cm
r h r cm
R h R cm
Alternativa D
06.09)
Ao considerar o hexágono regular como a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo
assinalado será a junção de duas metades desses triângulos, ou seja, será a área de um dos
triângulos equiláteros que formam o hexágono. Com o mesmo raciocínio, a distância do
vértice D à diagonal FB corresponde a 1,5 lados do triângulo. Assim:
2 2
3 22
1 3 2 36 3
6 4 4Área Área Área
Alternativa A
06.10)
2
2
2 2 3 33
3 3 2 3
3
3 3
3 3
0
RR h R R
R
R R
R
ou
R
Alternativa B
06.11)
O raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular é igual ao lado do hexágono regular.
Assim:
2 2 23 3 3 36 6
4 4 2
R
R RA A A
Alternativa B
06.12)
Considerando o hexágono regular sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo
inscrito da figura corresponde a área de 3 desses triângulos, assim, a área do hexágono regular
é o dobro da área do triângulo inscrito. Ou seja:
2
2 2
4
Hexágono Triângulo
Hexágono
Hexágono
Área Área
Área
Área
Alternativa E
06.13)
Considerando que o hexágono regular é a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, a área
assinalada corresponde a 1/3 da área de um dos triângulos. Assim:
sin
sin
sin
sin
1
3
1 1
3 6
1180
18
10
As alada Triângulo
As alada Hexágono
As alada
As alada
Área Área
Área Área
Área
Área
Alternativa A
06.14)
2
2
36
4
33 6
4
6
3
2
22
6
3 22
2 3
Hexágono
Triângulo
ABÁrea
AB
AB
Área
AB Altura
Altura
Altura
A distância entre P e o segmento AB, é a ALTURA do triângulo PAB, ou seja, é igual a 2 3 .
Alternativa E
06.15)
Considerando o hexágono regular sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o triângulo
equilátero cujos vértices também são vértices de um hexágono regular, corresponde a área de
3 dos triângulos que formam o hexágono, assim, a área do hexágono regular é o dobro da área
do triângulo inscrito. Ou seja:
22
2
2
2
2 36 6 3
4
:
3 3
6 3 3 3 3 3
Hexágono Triângulo
Hexágono Hexágono
Triângulo
Hexágono Triângulo
Área Área
Área Área m
Então
Área m
Área Área m
Alternativa C
06.16)
O polígono DEFGHI fica composto dessa forma:
1 triângulo equilátero de lado 1;
3 quadrados de lado 1;
3 triângulos isósceles de lados iguais medindo 1 e ângulo entre eles igual a 120º ;
Então:
221 3 1
3 1 3 1 1. 1204 2
3 3 33
4 2 2
3 3
oÁrea sen
Área
Área
Alternativa C
06.17)
Considerando o hexágono regular como sendo a junção de 6 triângulos equiláteros iguais, o
pentágono assinalado será formado por uma área correspondente a 5 desses triângulos que
formam o hexágono. Assim:
5
6
52
6
5
3
Pentágono Hexágono
Pentágono
Pentágono
Área Área
Área
Área
Alternativa E
06.18)
22
2 3 2 360 3 2
2 3 12
13
otg xx x
BC
BC
Alternativa D
06.19)
a)
5
180 360
180 5 360 30 / 150
o o
o o o o
b)
1802 2
150 30180 90
2 2
o
o oo o
06.20)
a) O triângulo AMS é isósceles de lados iguais medindo 3 cm e ângulo entre eles é 120º .
Assim:
2 2 2
2
3 3 2 3 3 cos120
118 18
2
3 3
6
18 3
o
Perímetro
Perímetro cm
b)
2
2
3 3 36
274100 100 100 75%366 3
64
menor
maior
Área
Área
SEMIEXTENSIVO – VOL. 3 – MATEMÁTICA E
05.01)
Repetição do comprimento gráfico = Período da função
( ) 4. (4 )
2
4 2
f x sen x
p p
Alternativa A
05.02)
( ) 4.cos
( )cos
4
1 cos 1
( )1 1
4
4 ( ) 4
f x x
f xx
Como
x
Então
f x
f x
Alternativa D
05.03)
5 2 (6 )
5(6 )
2
1 (6 ) 1
51 1
2
2 5 2
3 7
y sen x
ysen x
Como
sen x
Então
y
y
y
Alternativa B
05.04)
5 2 (6 )
2
6
3
y sen x
p
p
Alternativa B
05.05)
( )
( ) :
Im( ) : [ 1,1] 1/ 1
2
0,2
( ) 3.
( ) :
Im( ) : [ 3,3] 3 / 3
2
0,2
f x senx
Dom f IR
f Mín Máx
p
crescente
g x senx
Dom g IR
g Mín Máx
p
crescente
F V V V V
05.06)
( )
( ) :
Im( ) : [ 1,1] 1/ 1
2
( ) cos
( ) :
Im( ) : [ 1,1] 3 / 3
2
f x senx
Dom f IR
f Mín Máx
p
Ímpar
g x x
Dom g IR
g Mín Máx
p
Par
V V V V V
05.07)
( ) 24
2
2
f x sen x
p p
Alternativa A
05.08)
1 2
1
2
1 1
11 1
2
2 1 2
1 3
y senx
ysenx
Como
senx
Então
y
y
y
Alternativa D
05.09)
( )
:
0
2
0
2 2 14
2
:
12
2
y a bsen cx d
Gráfico
a
b
d
p cc c
Então
y sen x
Alternativa B
05.10)
( )
2
y sen kx
pk
K p
Inversamente proporcional
Alternativa E
05.11)
Qualquer triângulo a base será o período da função, assim:
28 8
4
p p base
Maior triângulo, então, terá a maior altura que corresponde ao valor máximo da função.
Assim:
( ) 3.4
( )
4 3
1 14
( )1 1
3
3 ( ) 3 3 3
( ) ( )( )
2
8 3( )
2
( ) 12
xf x sen
x f xsen
Como
xsen
Então
f x
f x Máx Altura
base x alturaÁrea máxima
xÁrea máxima
Área máxima
Alternativa A
05.12)
( )
:
0
1
16
0
2 1 2512
256
:
1
16
2 2 512 256
:
1256 16
16
P A Bsen Cx D
Gráfico
A
B
D
p CC C
Comparando
a B a
f C f f
Logo
a f
Alternativa B
05.13)
2( ) 18,8 1,3
365
1.
2365
2
365
2.
21 ( ) 20,1
365
2 21 ( ) 17,5 91,25
365 365 2
3.
21 ( ) 17,5 17 30min
365
f x sen t
p p
Para
sen t f x Máximo
sen t f x Mínimo t t dias ABRIL
sen t f x h
Alternativa D
05.14)
( ) ( )
:
2
2
0
2 22 1
:
( ) 2 2
Im( ) [0,4]
19 3 3 22 2 2 2 2 2 3,41
4 4 4 2
f x a bsen cx d
Gráfico
a
b
d
p cc c
Logo
f x senx
f
f f sen
Alternativa D
05.15)
* Período é o tempo entre duas marés altas, ou seja, período é de 12h;
* Máximo: 3 para t = 0 / t = 12 / ....
* Mínimo: 0,03;
Se for função Seno: 1,515 1,485.6 2
y sen t
Se for função Coseno: 1,515 1,485cos6
y t
Alternativa A
05.16)
224 8
12 3
21
12 3
,
2
12 3 2
7
12 6
14
y sen x
Máximo sen x
Então
x
x
x h
Alternativa C
05.17)
* O Ponto A tem ordenada 0 e abscissa negativa, assim:
cos(2 ) 0 22 4 2
1 ,04 4
x x k x k
k x A
* O ponto B tem ordenada -1 e abscissa positiva correspondente à segunda determinação
positiva, assim:
cos(2 ) 1 2 22
02
3 31 , 1
2 2
x x k x k
k x
k x B
* Calculando o coeficiente angular da reta, temos:
1 0
3
2 4
4
7
B A
B A
y ym
x x
m
m
Alternativa A
05.18)
f(x)=senx g(x)=cosx h(x)=senx + cosx
0 0 1 1
30 0,50 0,85 1,35
45 0,70 0,70 1,40 = √ (Máximo)
60 0,85 0,50 1,35
90 1 0 1
120 0,50 -0,85 -0,35
135 0,70 -0,70 0
150 0,85 -0,50 0,35
180 0 -1 -1
210 -0,50 -0,85 -1,35
225 -0,70 -0,70 -1,40
240 -0,85 -0,5 -1,35
270 -1 0 -1
300 -0,85 0,50 -0,35
315 -0,70 0,70 0
330 -0,50 0,85 0,35
360 0 1 1
p =
h = √
p.h = √
Alternativa B
05.19)
a)
( ) 12 1,6.cos 10180
19 / 02 50
:
(50) 12 1,6.cos 50 10180
(50) 12 1,6.cos3
1(50) 12 1,6.
2
(50) 12,8
(50) 12 48min
D t t
t
Então
D
D
D
D horas
D h
b)
( ) 12
12 1,6.cos 10 12180
cos 10 0180
:
310
2 180 2
1 10 3
2 180 2
90 10 270
80 260 181
D t
t
t
Então
t
t
t
t dias
05.20)
( ) 21 4cos12
F t t
a)
cos 1 ( ) 21 4.( 1) ( ) 2512
cos 1 ( ) 21 4.(1) ( ) 1712
17 ( ) 25o o
Para
t F t F t
Para
t F t F t
Variação
C F t C
b)
( ) 23
21 4cos 2312
1cos
12 2
:
28 :14
12 3
416 : 22
12 3
F t
t
t
Então
t t horas Horário h
ou
t t horas Horário h
06.01)
6 arcos implica em cada arco medir 60º , ou seja, 3
kx
Alternativa A
06.02)
1º vértice: 0o
2º vértice: 90º
3º vértice: 180º
4º vértice: 270º
Então:
2
kx
Alternativa E
06.03)
1º vértice: 0º
2º vértice: 60º
3º vértice: 120º
4º vértice: 180º
5º vértice: 240º
6º vértice: 300º
Soma = 900º
Alternativa C
06.04)
cos 0
cos
14
53
4
o
o
senx x
senx x
x quadrante
ou
x quadrante
Alternativa A
06.05)
120 360 .o ox k
2ox quadrante
1
240 240 120 3603
o o o ox k k
240 240 120 360 1o o o ox k k
F V F V
06.06)
0 0
1
2 2
x k
k x
k x
k x
3 arcos
Alternativa D
06.07)
2 3
3
60
120
240
300
o
o
o
o
tg x
tgx
x
x
x
x
4 soluções
Alternativa E
06.08)
cos 0
0 { }
3cos 0 ,
2 2
senx x
senx
ou
x
n = 3 soluções
Alternativa D
06.09)
2
2
2
2 2
2
2
sec 1
11
cos cos
1 cos cos
cos cos
1 1 cos
cos 0
( cos ) 0
0
cos4
5
4 4
x tgx
senx
x x
x senx x
x x
sen x senx x
sen x senx x
senx senx x
senx x
ou
senx x x
Soma Soma
Alternativa D
06.10)
2
2
2
cossec cot 2
1 cos2
1 cos 2
1 cos 2(1 cos )
2cos cos 1 0
cos 11 3
cos 14 cos
2
: 0 ,120 ,240 ,360o o o o
x gx senx
xsenx
senx senx
x sen x
senx senx
x x
x x
x
xx
S
Alternativa ????
06.11)
13
:
23 2
22 3
26
sen x
Logo
x k
x k
x k
Alternativa A
06.12)
2
2
2 coscos
2 cos 0cos
12cos 0
cos
0 0, ,2 ,3 ,...
1 1 2 3 5 72cos 0 cos cos , , , ,...
cos 2 2 4 4 4 4
sen tg
sensen
sensen
sen
sen
ou
Alternativa E
06.13)
cos 0
cos
3
4
4
senx x
senx x
x k
ou
x k
Alternativa A
06.14)
cos(3 )cos( ) (3 ) ( ) 1
cos(3 ) 1
cos(2 ) 1
2 0 2
[0,2 ] : {0,1,2}
: 3
x x sen x sen x
x x
x
x k
x k
k
Soluções
Alternativa E
06.15)
cos(3 ) 1
3 2
2
3 3
[ , ] : { 2, 1,0,1}
: 4
x
x k
kx
k
Soluções
Alternativa D
06.16)
cos(2 )
cos(2 ) 0
3 1
3 3
cos(2 ) 0
22
4 2
x
x
x
x k
x k
Alternativa C
06.17)
2cos cos 2 0
cos 2 Im1 3cos
2 cos 1 2
[0,4 ] : ,3
3 4
x x
x possívelx
x x k
Solução
Alternativa D
06.18)
2
2 2 2
2 2
2
2cos cos(2 ) 0
2cos cos 0
3cos (1 cos ) 0
1cos
4
1cos
2
2[0, ] : ,
3 3
2
3 3
x x
x x sen x
x x
x
x
S
Alternativa C
06.19)
2
2
sec cos 0
1cos 0
cos
1 cos cos0
cos
cos0
cos
( cos ) 0
0
cos 0 cos
3 7: 0, , , ,2
4 4
x x senx
x senxx
x xsenx
x
sen x xsenx
x
senx senx x
senx
ou
senx x senx x
S
06.20)
2 2 2
22 2
2
2 2 2
2 2 2
2
1 2 cos 0
1 2 cos 0cos
cos 2 0
1 2 0
1
2
2
2
3 5
2 4
12 12 515
4
tg x x sen x
sen xx sen x
x
x sen x sen x
sen x sen x sen x
sen x
senx
x x
x