aula 7 - análise combinatória ii
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Sumario
ANALISE COMBINATORIA
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Colegio Pedro II
15 de maio de 2015
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Sumario
1 Outras Formulas Combinatorias
2 O Binomio de Newton
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Outline
1 Outras Formulas Combinatorias
2 O Binomio de Newton
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Outras Formulas Combinatorias
Exemplo 14: De quantos modos 5 criancas podem formaruma roda de ciranda?
Exemplo 15: Quantos sao os anagramas da palavra“BULGARO” que nao possuem duas vogais adjacentes?
Exemplo 16: Quantas sao as solucoes inteiras nao negativasda equacao x1 + x2 + ...+ xn = p?
Exemplo 17: De quantos modos podemos comprar 3 sorvetesem umbar que os oferece em 6 sabores distintos?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Outras Formulas Combinatorias
Exercıcio p.134 n. 6.52: De quantos modos podemos formaruma mesa de buraco com 4 jogadores?
Exercıcio p.134 n. 6.53: De quantos modos podemos formaruma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas de modo quepessoas de mesmo sexo nao fiquem juntas?
Exercıcio p.134 n. 6.54: De quantos modos podemos formaruma roda de ciranda com 6 criancas, de modo que duas delas,Vera e Isadora, nao fiquem juntas?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Exercıcios
Exercıcio p.134 n. 6.55: Quantas sao as soluc oes inteiras epositivas de x + y + z = 7?
Exercıcio p.134 n. 6.53: Quantas sao as soluc oes inteiras enao negativas de x + y + z <= 6?
Exercıcio p.134 n. 6.54: Uma industria fabrica 5 tipos de balasque sao vendidas em caixas de 20 balas, de um so tipo ousortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Triangulo Aritmetico
Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557): matematico italiano
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Triangulo Aritmetico
Blaise Pascal (1623-1662): matematico, filosofo e fısicofrances
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Triangulo Aritmetico
O Triangulo de Tartaglia-Pascal
C00
C01 C1
1C0
2 C12 C2
2C0
3 C13 C2
3 C33
C04 C1
4 C24 C3
4 C44
C05 C1
5 C25 C3
5 C45 C5
5
11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Triangulo Aritmetico
Relacao de Stifel
Cpn + Cp+1
n = Cp+1n+1
Teorema das Linhas
C0n + C1
n + ...+ Cnn = 2n
Teorema das Colunas
Cpp + Cp
p+1 + Cpp+2 + ...+ Cp
n = Cp+1n+1
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Triangulo Aritmetico
Teorema das Diagonais
C0n + C1
n+1 + C2n+2 + ...+ Cp
n+p = Cpn+p+1
Teorema: Cpn = Cn−p
n
Exemplo 18: Um palacio tem 7 portas. De quantos modospode ser aberto o palacio?
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1 Outras Formulas Combinatorias
2 O Binomio de Newton
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Binomio de Newton
Isaac Newton (1642-1727): matematico e fısico ingles
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
O Binomio de Newton
Termo generico do produto: Cpn apxn−p
O Binomio de Newton
(x + a)n =n∑
p=0
Cpn apxn−p
= C0na0xn + C1
na1xn−1 + C2na2xn−2 + ...+ Cn
nanx0
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O Binomio de Newton
Exemplo 19: Determine o coeficiente de x3 no
desenvolvimento de(
x4 − 1x
)7
Exemplo 20: Determine o termo maximo do desenvolvimento
de(
1 + 13
)50
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Exercıcos
Exercıcio p.138 n. 6.58: Com 7 vitaminas diferentes, quantoscoqueteis de duas ou mais vitaminas podemos formar?
Exercıcio p.138 n. 6.59: Determine p para que seja maximo:
a) Cp10
b) Cp21
Exercıcio p.138 n. 6.63: Determine o termo independente de
x no desenvolvimento de(
x3 − 1x2
)10
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Exercıcos
Exercıcio p.138 n. 6.64: Determine o coeficiente de xn nodesenvolvimento de (1− x)2.(x + 2)n
Exercıcio p.138 n. 6.65: Determine o valor da somaC0
n + 3C1n + 32C2
n + ...+ 3nCnn
Exercıcio p.138 n. 6.66: Se(1 + x + x2)
n= A0 + A1x + A2x2 + ...+ A2nx2n, determine o
valor de:
a) A0 + A1 + A2 + ...+ A2n
b) A0 + A21 + A4 + ...+ A2n
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Exercıcos
Exercıcio p.138 n. 6.67: Determine o termo maximo do
desenvolvimento de(
1 + 12
)100
Exercıcio p.138 n. 6.68: Prove que 10150 > 9950 + 10050
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Revisao
Exemplo 21: Considere os conjuntos A = {1,2, ...,m} eB = {1,2, ...,n}. Quantas sao:
a) As funcoes de A em B?
b) As funcoes injetivas de A em B?
c) As funcoes sobrejetivas de A em B?
d) As funcoes crescentes de A em B?
e) As funcoes nao decrescentes de A em B?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Exercıcos
Exercıcio p.141 n. 6.70 (OBMEP 2012 Nıvel 1 Segunda Fase):Vitor tem 24 cartoes, sendo oito azuis, oito brancos e oito verdes.Para cada cor, ele enumerou os cartoes de 1 a 8.
a) De quantas maneiras Vitor pode escolher 2 cartoes azuis de modoque a soma de seus nuemros seja igual a 9?
b) De quantas maneiras Vitor pode escolher 2 cartoes de modo quea soma de seus numeros seja igual a 9?
c) De quantas maneiras Vitor pode escolher 3 cartoes de modo quea soma de seus numeros seja igual a 9?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Exercıcos
Exercıcio p.141 n. 6.71 (PROFMAT - AV3 - 2011): Uma senhade banco e formada por 4 dıgitos de 0 a 9.
a) Quantas sao as senhas em que aparecem exatamente tresdıgitos diferentes?
b) Quantas sao as senhas em que nao ha dıgitos consecutivosiguais?
Outras Formulas Combinatorias O Binomio de Newton
Exercıcos
Exercıcio p.141 n. 6.72 (PROFMAT - AV2 - 2012): Num portaCDs, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formandouma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 demusica classica.
a) De quantos modos diferentes posso empilha-los de modoque todos os CDs de rock fiquem juntos?
b) De quantos modos posso escolher 4 CDs para levar em umaviagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de cada tipode musica?