aula 3 - bioestatística

Bioestatstica

Aula 3

Prof. Dra. Patrcia Calil

Bioestatstica | Aula 3 2

Ol, seja bem-vindo!

Assista ao vdeo a seguir e conhea os contedos que sero abordados

nesta aula.

Introduo

Os dados obtidos em uma pesquisa devem ser coletados e organizados

adequadamente. Alm da compilao em tabelas e grficos, existem outras

formas de apresentar dados para que representem uma amostra ou uma

populao. Algumas medidas de fcil obteno podem, atravs de um nico

valor, representar a tendncia dos elementos de um conjunto, assim como a

variao dos dados em relao mdia amostral.

Essas medidas so conhecidas como medidas de tendncia central

(mdia, moda e mediana) e medidas de disperso (varincia, desvio-padro,

erro-padro e coeficiente de variao). Existem outras medidas de disperso,

porm essas so as mais usadas por profissionais das reas biolgicas e da

sade, auxiliando na demonstrao do comportamento de uma amostra. Esse

captulo teve como base Berqu et al. (1981), Guedes e Guedes (1988), Vieira

(1998), Centeno (1999) e Winter (2002).

Medidas de Tendncia Central

Depois que os valores de uma varivel foram obtidos dentro de uma

amostra, fcil constatar que os dados normalmente no se distribuem

uniformemente, havendo certa concentrao de valores. Podemos, portanto,

estudar os valores numricos que determinam a distribuio dos dados,

procurando o ponto onde est a maior concentrao de valores individuais. De

um modo geral, um conjunto de dados pode ocupar uma posio especfica


dentro de uma distribuio. Essas medidas que "posicionam" o dado (ou o

grupo de dados) dentro de uma distribuio so chamadas de medidas de

tendncia central. Essas medidas so: mdia (aritmtica, ponderada etc.);

mediana e moda.

Mdia Aritmtica ou Mdia Simples: ou x

O smbolo normalmente utilizado para representar a mdia de uma

populao. J o smbolo x usado para representar a mdia de uma

amostra, mais comumente usado em pesquisas. Nesse captulo vamos tratar

mdia como sendo x . Mdia Aritmtica ( x ) a simples soma dos valores de

uma amostra (ou populao) (x), dividida pelo nmero total desses valores

(n).

Em um conjunto com vrios dados (x1, x2, x3, x4...), a x = (x1 + x2 + x3 +

x4 +...) n, ou x n, onde n o nmero total de dados.

Significado: corresponde a um "ponto de equilbrio" (valor em torno do

qual os dados se distribuem).

Essas medidas fornecem informaes sobre todos os dados e suas distribuies,

porm de maneira resumida. Elas fornecem o valor do ponto em torno do qual

os dados se distribuem.

Exemplo: 10; 2; 9; 6; 8 x = (10 + 2 = 9 + 6 + 8) 5 = 7.


Mediana: Md

Mediana o valor que ocupa a posio central dos dados, aps eles

serem organizados em ordem crescente (ROL).

Se o nmero total de dados da amostra organizada for par, a mediana

ser a mdia aritmtica dos pontos centrais, ou seja, temos que somar os dois

valores que esto nas posies centrais (sendo eles divididos por dois).

Usa-se a seguinte frmula para obter a posio da mediana:

Md = (n + 1) 2

A mdia deve ser arredondada da mesma forma que a varivel a qual pretende

representar, isto , igual aos valores que esto sendo estudados. Assim, se os

valores da varivel em estudo esto no decimal, tambm estar na mdia.

A mediana divide a amostra exatamente no meio, no caso da amostra possuir

um nmero mpar de dados.

Exemplo: 71; 82; 57; 68; 78; 75; 64; 61; 85 (n = 9)

ROL: 57; 61; 64; 68; 71; 75; 78; 82; 85. A mediana 71

Metade dos dados so menores ou iguais mediana (71) e a outra metade

maiores ou iguais a ela (71).

Exemplo: 71; 82; 57; 68; 69; 78; 75; 64; 61; 85 n. de dados: 10 (par).

ROL: 57; 61; 64; 68; 69; 71; 75; 78; 82; 85

Mediana (n + 1 ) 2 (10 + 1) 2 = 11 2 5,5a posio da Md no ROL.


A mediana est entre as posies 5 e 6. Soma-se o nmero da posio

5, que 69, com o nmero da posio 6, que 71, e divide-se o resultado da

soma por 2.

Moda: Mo

o valor que ocorre com maior frequncia entre todos os dados. Em

amostras grandes, interessante que os dados estejam organizados em ordem

crescente (ROL) para facilitar a deteco da Moda.

Se existir apenas uma moda em uma amostra, significa que h apenas

um agrupamento de indivduos com aquelas variaes, ou seja, a amostra

homognea, ou unimodal. Porm, se houver mais modas, h agrupamentos

diferentes dentro daquela amostra. Diz-se, ento, que a amostra

heterognea, sendo bi, tri ou polimodal. Amostras sem moda so chamadas de

amodais. A moda a nica medida de tendncia central que pode ser obtida

mesmo se a varivel for qualitativa.

Md = (69 + 71) 2 = 70 Mediana = 70

Exemplo: 71; 82; 57; 68; 86; 69; 78; 75; 64; 61; 85 n. de dados: 11 (mpar).

ROL: 57; 61; 64; 68; 69; 71; 75; 78; 82; 85; 86

Mediana = (n + 1) 2 (11+1) 2 = 12 2 = 6 6a posio no ROL

A mediana est na 6a posio, que ocupada pelo nmero 71 Mediana = 71

Exemplo: 5; 4; 3; 6; 6; 3; 1; 6; 2

ROL: 1; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 6 Moda = 6


A mediana representa melhor essa amostra do que a mdia. A mediana

normalmente utilizada para representar dados que no possuem distribuio

normal (assunto que ser tratado na aula 5).

A moda s deve ser utilizada sozinha quando um dos valores (dados) se

repetir inmeras vezes. Exemplo: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 0, 2, 4, 3, 5 A Moda = 4

a medida que melhor representa essa amostra.

Medidas de Tendncia Central em Dados Agrupados

Em diversas circunstncias, podemos ter acesso apenas aos dados j

organizados e apresentados em tabelas, em vez de ter em mos todos os

dados brutos obtidos na pesquisa de campo. Quando isso acontece,

necessrio saber encontrar as medidas que representam os dados (da mesma

forma que foi feito anteriormente, com os dados brutos), sendo as mais usadas

a mdia e a moda (ou classe modal).

Mdia de dados agrupados em tabelas de frequncias

com classes: x

Para obter a mdia de dados que esto expressos em frequncia

distribudas em classes, devemos seguir os seguintes passos:

Se for necessrio representar todos os dados da amostra com somente uma das

medidas de tendncia central, em geral, a que melhor representar a amostra

ser a mdia. Porm, em alguns casos, pode-se usar a mediana ou a moda.

A mediana pode dar uma ideia melhor dos dados quando eles forem muito

diferentes entre si. Exemplo: 0; 8; 9; 10 Mdia = 6,75 = 7

Mediana = 8,5 Moda = no existe.


Obter o ponto mdio de cada classe ( a mdia dos valores mnimo e

mximo da cada classe);

Multiplicar o ponto mdio de cada classe pela respectiva frequncia

absoluta;

Somar o produto de cada multiplicao;

Dividir esse resultado pelo n (nmero total de dados).

Exemplo:

x = (7 x 43) + (3 x 47) + (4 x 51) + (1 x 55) + (5 x 59) 20

x = 301 + 141 + 204 + 55 + 295 20

x = 49,8 x = 50

Significado: a idade mdia das pessoas analisadas de 50 anos, ou

seja, as pessoas analisadas possuem aproximadamente 50 anos de idade.

Tabela 10: Distribuio de frequncias com classes da varivel idade

Idades FA Ponto mdio

41 45 7 43

45 49 3 47

49 53 4 51

53 57 1 55

57 61 5 59

Total 20 --

x = x . FA n


Moda (ou classe modal): Mo

simplesmente a classe na qual est concentrada a maior parte dos

dados. Basta olhar a frequncia absoluta de cada classe e determinar a classe

modal, que ser a classe de maior frequncia absoluta (FA).

Exemplo: na tabela anterior (tabela 10), a primeira classe a que tem a

maior frequncia (7). Assim, a classe 41 45 a classe modal. Isso

significa que a maior parte (ou a maioria) das pessoas tem idade entre 41 e 44

anos (coloca-se 44 e no 45, pois o intervalo aberto direita, excluindo o

valor ao seu lado).

Fonte: http://www.statconsultoria.com/resources/consulting.jpg

A mdia deve preferencialmente ser arredondada de acordo com a varivel que

ela representa. Se ela for quantitativa discreta (como idade, nmero de filhos etc.),

que no podem ser expressas com nmeros fracionados, devemos tambm

arredondar a mdia, j que ela representar tais dados.


O vdeo a seguir mostra exemplos das medidas de tendncia central, assim

como explicaes sobre seus significados. Assista!

Exerccios prticos

Para melhor compreendermos essas medidas, vamos agora observar

um exemplo prtico resolvido passo a passo.

1) Os dados abaixo referem-se altura (cm) de uma amostra de 54

universitrios de sexo masculino e j esto organizados em ordem crescente

(ROL). Calcule e explique os significados das seguintes medidas de tendncia

central: a) mdia; b) mediana e c) moda.

160 160 161 162 162 162

164 164 165 165 166 166

166 167 167 168 168 169

169 169 169 170 170 170

170 171 171 171 172 172

172 172 173 174 174 174

175 175 175 177 177 177

177 177 178 178 179 179

180 180 183 185 188 192

a) Mdia: x = x n

x = 9277 54 = 171,80 172 cm

Significado: os universitrios analisados apresentaram uma altura

mdia de 172cm (ou os universitrios analisados medem aproximadamente

172cm).

b) Mediana: Md = (n + 1) 2

Md = (54+1) 2 = 55 2 = 27,5 (entre a posio 27 e 28 do ROL)


Posio 27 = 171 e posio 28 = 171

Md = 171 + 171 2 = 171 cm

Significado: metade dos universitrios analisados medem 172cm ou

mais, e a outra metade mede 172cm ou menos.

c) Moda: Mo = 177cm

Significado: a maior parte dos universitrios analisados mede 177cm.

2) A tabela a seguir (tabela 11) representa a presso intraocular (mmHg)

de uma amostra de 140 pacientes.

a) Determine e d o significado da mdia e da moda dos dados da

tabela.

Tabela 11: Tabela de distribuio de frequncia com classes da presso intraocular (mmHg) de 140 pacientes.

Presso intraocular (mmHg)

Frequncia absoluta

Frequncia absoluta

acumulada

Frequncia relativa (%)

Frequncia relativa

acumulada (%)

7,5 9,5 01 1 0,71 0,71 9,5 11,5 02 3 1,43 2,14 11,5 13,5 17 20 12,14 14,28 13,5 15,5 20 40 14,29 28,57 15,5 17,5 43 83 30,71 59,28 17,5 19,5 57 140 40,71 99,99

Total 140 --- 99,99 ---

Clculos Intermedirios:

Presso intraocular (mmHg)

Ponto Mdio Nmero de pacientes (frequncia absoluta)

7,5 9,5 8,5 01 9,5 11,5 10,5 02 11,5 13,5 12,5 17 13,5 15,5 14,5 20 15,5 17,5 16,5 43 17,5 19,5 18,5 57

Total --- 140


Mdia = x = x . FA n

x = (8,5x1)+(10,5x2)+(12,5x17)+(14,5x20) +(16,5x43)+(18,5x57) n

x = 8,5 + 21 + 212,5 + 290 + 709,5 + 1054,5 n

x = 2296 140 = 16,4

Significado: os pacientes tm cerca de 16,4 mmHg de presso

intraocular.

Moda = 6 classe, de 17,5 19,5 classe com a maior frequncia.

Significado: a maioria dos pacientes tem presso intraocular de 17,5 a

19,4 mmHg.

Observe o grfico abaixo e a indicao da moda (amostra unimodal).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

7,5 |---

9,5

9,5 |---

11,5

11,5 |---

13,5

13,5 |---

15,5

15,5 |---

17,5

17,5 |---

19,5

Presso intraocular (mm Hg)

Fre

q

n

cia

re

lativ

a (

%) Esta a

classe modal


O vdeo a seguir vai ajudar a acompanhar o passo a passo dos

exemplos dados acima. Acompanhe.

Medidas de Disperso ou Variabilidade

Muitas vezes o conhecimento dos valores das medidas de tendncia

central insuficiente para representar um conjunto de dados, sendo necessrio

saber como os dados de uma amostra, ou populao, se comportam em torno

da mdia, ou seja, como a disperso dos dados. Existem vrias medidas que

indicam a variabilidade dos dados e entre as mais utilizadas esto a varincia,

o desvio-padro, o erro-padro e o coeficiente de variao.

Amplitude total (At ou R)

Intuitivamente, quando se deseja saber o grau de variabilidade de um

conjunto de nmeros, a primeira coisa a fazer verificar qual o maior e qual

o menor deles. Se eles forem muito diferentes, ento ser maior a dificuldade

de uma medida qualquer de tendncia central (mdia, moda ou mediana)

representar, sozinha, o conjunto de maneira adequada. A diferena entre o

maior e o menor nmero uma medida bastante simples desse grau de

disperso dos dados.

A associao dessas medidas com as medidas de tendncia central garante uma

representao bem mais completa de um conjunto de dados.


Observe o quadro abaixo:

Renda Anos que morou

com os pais

Idade do primeiro emprego

Anos de estudo

Mnima R$ 180,00 0 12 0

Mxima R$ 5000,00 27 19 12

Amplitude Total R$ 4820,00 27 7 12

Amplitude igual a zero = no houve variabilidade.

Quanto maior a amplitude, maior a variabilidade.

Amplitude no uma medida muito adequada de variabilidade, pois

no informa nada sobre valores intermedirios.

Varincia ( 2 ou s2) e desvio-padro ( ou s)

A varincia (s2) baseada nas diferenas entre cada valor do conjunto

de dados e a mdia aritmtica do grupo. Essas diferenas so elevadas ao

quadrado antes de serem somadas para que os possveis sinais negativos de

alguns valores sejam anulados. O nico problema da varincia que a unidade

que ela expressa tambm fica elevada ao quadrado. Exemplo: se estiver sendo

analisada a estatura de 50 pessoas, em metros, a varincia da estatura estar

sendo representada em m2, o que dificulta a compreenso do resultado. Os

smbolos da varincia so: 2 para populao e s2 para amostra. Neste

captulo utilizaremos o smbolo s2, pois, na rea da sade, normalmente se

trabalha com amostras.

Amplitude Total = diferena entre o maior e o menor valor que no tenham sido

agrupados em uma distribuio de frequncia At = Mximo - Mnimo.


A frmula da varincia :

Na maior parte dos casos a varincia transformada em desvio-padro

para a anlise e melhor compreenso dos dados. O desvio-padro a raiz

quadrada da varincia. necessrio obter a raiz quadrada da varincia para

que sua medida (ex: m2), volte a ser expressa da mesma forma que aparece

nas medidas originais (ex: m). Seus valores ficaro ento expressos nas

mesmas unidades dos dados observados. Os smbolos do desvio-padro so:

para populao e s para amostra. Neste captulo utilizaremos o smbolo

s para representar o desvio-padro.

A frmula do desvio-padro :

Quando o desvio-padro assume um valor alto em relao aos valores

da mdia e da amplitude da amostra, significa que os dados dessa amostra

tm uma alta disperso, ou seja, possuem valores muito discrepantes uns dos

outros. Entende-se ento que a amostra formada por dados diversos, no

sendo caracterizada como homognea, e sim como heterognea. Porm,

quando o desvio-padro assume um valor baixo com relao ao valor da mdia

e da amplitude da amostra, podemos dizer que no houve muita variao nos

dados dessa amostra, pois eles possuem valores prximos ao da mdia. Em

uma pesquisa, geralmente se espera que a amostra seja homognea, o que

facilita a anlise dos dados.

s =

s2 = ( x x )2

n 1


Erro-padro ou erro da mdia (sX)

O desvio-padro expressa, assim como a varincia, o desvio de cada

elemento da amostra em relao mdia. Porm, pode ocorrer a obteno de

diferentes amostras retiradas da mesma populao, e que contenham mdias

diferentes. A variao entre esse conjunto de mdias estimada por meio do

erro-padro, tambm chamado de erro da mdia, que corresponde ao desvio-

padro das mdias. O smbolo do erro-padro sX

e a frmula para calcul-

lo :

Assim, para obter o erro-padro de uma amostra, basta dividir o valor do

desvio-padro (s) pela raiz de n, isto , pela raiz quadrada da quantidade de

elementos da amostra.

Para saber ainda sobre esse assunto, leia o artigo Desvio padro ou erro

padro, disponvel em:

Amostras no homogneas podem ter causa em um n amostral muito pequeno,

em algum tipo de erro durante a coleta, registro ou organizao dos dados, ou

simplesmente representar realmente uma populao heterognea, fato esse que

deve ser sempre levado em considerao.

n

ssx


Coeficiente de variao (CV)

O coeficiente de variao, cujo smbolo CV, utilizado para permitir a

comparao da disperso de dados entre variveis com diferentes unidades.

Assim, ele uma medida abstrata e que no depende das unidades em que os

dados foram medidos e esto sendo expressos. Ele expressa o desvio-padro

que seria obtido se a mdia representasse o ndice 100.

Sua frmula :

Imagine que, em uma amostra, foram obtidos o comprimento total (cm) e

o peso (g) de uma espcie se crustceo, sendo que as medidas obtidas foram:

Comprimento total (cm): x s = 3,5 0,9

Peso (g): x s = 9,0 0,7

No h como comparar qual das amostras mais homognea, ou em

qual delas os dados possuem menor disperso, j que uma foi medida em

centmetros e a outra em gramas. Entretanto, utilizando o coeficiente de

variao obtemos os seguintes valores:

Comprimento total (cm): CV = 25,71

Peso (g): CV = 7,78

Podemos ento concluir que a varivel peso possui elementos mais

homogneos entre si do que a varivel comprimento, que apresentou um

maior valor de CV.

x

sCV x 100


Acompanhe no vdeo a seguir alguns exemplos tericos e prticos das

medidas de variabilidade e a importncia do seu uso em qualquer pesquisa.

Exemplo prtico

Assim como as medidas de tendncia central, as de variabilidade

requerem que voc siga um exemplo prtico passo a passo para compreender

totalmente sua utilizao e interpretao. Vamos l!

1) Em um laboratrio foram obtidas as medidas referentes ao volume

intracelular de cinco cobaias (mL) = 5; 8; 10; 12; 15. Determine a varincia e o

desvio-padro destas medidas.

Medidas (x) mL

Mdia ( x ) (x x ) (x x )2

mL2

5,0 10,0 5 10 = -5 25

8,0 10,0 8 10 = -2 4

10,0 10,0 10 10 = 0 0

12,0 10,0 12 10 = 2 4

15,0 10,0 15 10 = 5 25

= 50mL -- = 0 = 58 mL2

As medidas de tendncia central e de disperso podem ser facilmente calculadas

em programas estatsticos simples como o Excel, por exemplo. H diversos

vdeos contendo aulas tutoriais que ensinam passo a passo tais clculos. Aqui vai

uma indicao:


x = x n = 50 5 = 10

At = 15 - 5 = 10

s2 = (x x )2 n 1

s2 = 58 4

s2 = 14,5mL2 varincia = 14,5mL2

s = 2s

s = 2mL5,14

s = 3,81mL desvio-padro = 3,81mL

Nesse caso, a mdia dos dados 10mL e possui um desvio padro igual

a 3,81mL, ou seja, os dados da amostra variaram aproximadamente 3,81 ao

redor da mdia, o que no um valor muito alto, tendo-se uma amplitude total

igual a 10. Assim, essa amostra possui dados prximos do valor mdio da

amostra, sem grandes variaes.

Para concluir a interpretao de um exerccio como esse, devemos

utilizar a mdia o desvio padro:

Exemplo x s 10 3,81

O volume intracelular obtido nas cobaias foi de aproximadamente 10mL, variando

de 6,19mL (10 - 3,81) a 13,81mL (10 + 3,81).


O grfico que apresenta os valores de disperso chamado de grfico

de disperso e pode ser elaborado de diversas formas. Observe um modelo

desse tipo de grfico que indica a quantidade mdia (em nmero absoluto)

mais ou menos o desvio-padro ( x s) de larvas de uma espcie de peixe

coletado durantes quatro meses (julho de 2007 a outubro de 2007) no balnerio

de Atami (PR).

Esse grfico pode ainda ser elaborado com outras medidas de

variabilidade, tais como o erro-padro, por exemplo.

Jul-2007 Aug-2007 Sep-2007 Oct-2007-40

-20

0

20

40

60

80

100

N

me

ro d

e la

rva

s

Mdia

+ - Desvio-padro

Fonte: Criado por Patrcia Calil Dados hipotticos

A mdia representa a distribuio de aproximadamente 68% dos dados, e no de

100%. Vale ressaltar que nem todos os elementos de uma amostra esto

includos nesse intervalo.


No vdeo a seguir voc rev os exemplos prticos trabalhados nesta aula, a

fim de seguir os clculos e entender o significado dos valores obtidos.

Concluindo

Em muitas pesquisas, obtm-se dados diferentes uns dos outros,

fazendo com que o agrupamento tenha frequncias simples inviveis. Para tais

dados, utiliza-se o agrupamento em classes, nos quais so inseridas as

frequncias dentro de cada intervalo de classe, construindo-se, assim, uma

tabela de frequncias com intervalos de classes. Pode-se utilizar, ainda,

algumas frmulas para determinar o nmero de classes e o intervalo de cada

uma delas, sendo que a mais utilizada a Regra de Sturges.

As medidas de disperso indicam a variabilidade dos dados, isto ,

como se distribuem os dados de uma amostra, ou populao, em torno da

mdia.

Na internet, h um Frum Estatstico, mantido pelo Conselho Regional de

Estatstica da 3 Regio (SP-PR-MT-MS), que possui interessantes discusses

sobre diversos assuntos estatsticos. Voc pode procurar o tema que mais lhe

interessar, mas no se esquea de dar uma olhada nas discusses sobre a

diferena entre desvio-padro e erro-padro, disponvel em:


As medidas de disperso mais utilizadas so:

Varincia;

Desvio-padro;

Erro-padro;

Coeficiente de variaes.

A associao dessas medidas com as medidas de tendncia central

garante uma representao bem mais do conjunto de dados.

Sntese

Acompanhe esse ltimo vdeo e reveja quais foram os principais tpicos

abordados nesta aula.

Para que voc observe a ampla utilizao dos contedos que estudamos nesta

aula, leia o artigo Avaliao do uso de medicamentos na rede pblica municipal

de sade de Campo Grande MS. Preste especial ateno ao uso das mdias e

dos desvios-padro, disponvel em:


1. Na srie de dados formada por {3, 1, 2, 3, 6}:

a. Mediana > moda > mdia.

b. Moda < mdia < mediana.

c. Moda = mediana = mdia.

d. Mediana = mdia e no h moda.

2. O nmero de resfriados adquiridos por oito estudantes, em um determinado

perodo, foi: [1, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 8]. Assinale a alternativa que contem o valor

correto da mdia ( x ), do desvio-padro (s), do coeficiente de variabilidade

(CV) e do erro-padro (s x ).

a. x = 3,75 resfriados; s = 5,36 resfriados; CV = 142,9; s x = 0,29.

b. x = 3,75 resfriados; s = 2,31 resfriados; CV = 61,6; s x = 0,82.

c. x = 3,75 resfriados; s = 2,31 resfriados; CV = 162,3; s x = 0,29.

d. x = 30 resfriados; s = 5,36 resfriados; CV = 142,9; s x = 0,82.


Referncias

BERQU, E. S., SOUZA, J. M. P., GOTLIEB, S. L. D. Bioestatstica. So

Paulo: Editora Pedaggica e Universitria Ltda., 1981.

CENTENO, A. J. Curso de estatstica aplicada biologia. Goinia: Ed.

UFMG, 1999.

GUEDES, M. L. S. e GUEDES, J. S. Bioestatstica para profissionais de

sade. Braslia: MCT - CNPq; Rio de Janeiro: Ao Livro Tcnico S.A., 1988.

VIEIRA, S. Introduo bioestatstica. Rio de Janeiro: Campus, 1998.

WINTER, E. M. W. Notas de aula: introduo bioestatstica. Curitiba: UFPR,

2002.

aula 3 - bioestatística

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