aula 04

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Aula-4 Difração

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Difração

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  • Aula-4

    Difrao

  • Difrao = Desvio da propagao retilnea da luz

    Trata-se de um efeito caracterstico de fenmenos

    ondulatrios, que ocorre sempre que parte de uma frente

    de onda (sonora, de matria, ou eletromagntica)

    obstruda.

    2

  • Augustin Fresnel (1788-1827)

    Dez anos mais novo que T. Young, A. Fresnel foi um engenheiro civil francs que se interessou por

    estudos de tica.

    Ele no participava do crculo acadmico de Paris e no conhecia o trabalho de Young.

    Fresnel estudou o efeito da passagem de luz por uma fenda.

    Em 1819 a Academia Francesa ofereceu um prmio ao melhor trabalho experimental sobre difrao, que apresentasse um modelo terico

    explicando o efeito. Fresnel apresentou um trabalho de 135 pginas

    (modelo de ondas). O jri era composto por S.-D. Poisson,

    J. B. Biot, e P. S. Laplace, todos Newtonianos que apoiavam

    a teoria corpuscular da luz. Poisson calculou, usando a

    teoria de Fresnel, algo que parecia inconsistente.

    Feito o experimento, Fresnel estava correto!!! 3

  • Em um anteparo, obtemos um

    padro de difrao

    Difrao por uma fenda

    am

    sen

    Franjas escuras

    ocorrem para:

    m = 1, 2, ...

    a : largura da fenda

    4

  • Determinao da Posio dos

    Mximos e Mnimos

    Supondo: aD A diferena de caminho ptico :

    sen2

    a

    No anteparo as ondas devem estar fora de

    fase para formao da primeira franja escura:

    2

    sena

    a

    sen

    5

    (Desenhos fora de escala!!!)

  • A condio que determina a segunda

    franja escura encontrada dividindo a

    fenda em 4 partes :

    Teremos um mnimo quando:

    Assim, para todos os mnimos :

    2sen

    4

    a

    a

    2sen

    am

    sen ,.....2,1; m

    6

  • A posio dos mnimos dada pela condio de que a

    diferena de percurso entre o raio que sai da borda

    superior e o que sai da borda inferior seja mltiplo de :

    ,...2,1;sen mma

    m

    7

  • Determinao da Intensidade

    Verificaremos que:

    onde:

    2

    senII m

    sen

    a

    8

  • 9

    t)sin(E(t)E 11

    )tsin(E(t)E 22

    Fasores

    21

    022 cosEcosEE 0

    ).(2

    sin2

    sin

    caminhodifdif.fase

    ddk

  • Intensidade da Onda Difratada

    yN

    Ef

    Ei

    R

    R

    Ei

    Ef

    E0

    E

    f

    in

    n EE

    sina

    22

    siny

    2

    10

    Para a tela

    a diferena de fase total, ou seja, entre o primeiro e o ltimo vetor da soma. a diferena de fase entre um vetor e o vetor seguinte na soma.

  • Intensidade da Onda Difratada

    yN

    )2/(2/ sinRE

    ;/RE0 /0ER

    sinE)/sin(

    /

    EE 0

    0 22

    2

    0

    2

    0

    )(

    E

    E

    I

    I 2

    0)(

    sinII

    Ef

    Ei

    11

    sen

    a

    2

    sina

    22 Para a tela

  • Difrao por uma fenda e Fasores

    siny

    sin

    sin)(

    2

    0

    a

    II

    sin

    f

    in

    nEE

    12

    360

    Para a tela

    =N

  • 2,... 1,;2

    )12(sin2

    )12( nnan

    Mximos (central e secundrios) :

    )tan(0sin

    2

    d

    d

    y

    y = tan(x) central mximo0tan

    Difrao por uma fenda: mximos e mnimos

    sin

    sin)(

    2

    0

    a

    II

    sin

    a

    m

    mmam

    sin

    ,...2,1;sin

    Mnimos:

    )tan( xx

    13

  • Observe que aumentando a largura da

    fenda, diminui a largura do mximo central:

    14

  • Difrao por Duas Fendas

    No estudo da interferncia no experimento de Young consi-

    deramos a/ 0 e obtivemos a figura da direita acima.

    Neste limite, as fontes S1 e S2 irradiam (I0) de modo uniforme

    para todos os ngulos.

    Mas, se considerarmos uma

    razo a/ finita, cada fonte irradiar de modo semelhante

    figura da direita.

    15

    O mnimo de

    difrao

    elimina franjas

    brilhantes da

    interferncia

  • O grfico geral da intensidade fica sendo:

    uma fenda

    duas fendas

    16

  • Intensidade da figura de interferncia de duas

    fendas:

    onde:

    No limite a/ 0, obtemos a equao para a intensidade no experimento de Young:

    No limite d/ 0, obtemos a equao para a intensidade no caso de uma fenda nica:

    02

    2 4;cos IIsen

    II mm

    sen

    a

    sen

    d

    2cosII m

    2

    senII m

    17

  • Difrao por uma Abertura Circular

    A posio do primeiro mnimo, para uma abertura

    circular de dimetro d, dada por:

    d,sen

    221

    d

    18

  • Resoluo

    A imagem difratada de

    dois objetos pontuais, ao

    passar por um orifcio de

    dimetro d, adquire uma

    separao angular .

    . d

    19

  • Critrio de Rayleigh : A separao angular mnima para que duas fontes pontuais possam ser distinguidas (resolvidas)

    aquela para a qual o mximo central de uma fonte coincide com o

    primeiro mnimo da figura de difrao da outra fonte:

    ddarcR

    22,122,1sen

    (pontilhismo)

    d

    20

  • Os sistemas pticos (microscpios, telescpios, olho humano) so caracterizados por um poder de resoluo:

    R1

    21

  • Un dimanche la Grande Jatte

    Georges Seurat (French, 1859-1891)

    A Sunday on La Grande Jatte -- 1884, 1884-86

    Oil on canvas, 81 3/4 x 121 1/4 in. (207.5 x 308.1 cm)

    22

  • Rede de Difrao:

    muitas fendas (~milhares por mm!) Somando os raios, dois a dois, teremos

    mximos (interferncia construtiva) no

    anteparo quando:

    ; mdsen ,...,,m 210

    23

  • d

    a

    A ordem dos

    mximos m :

    24

  • 25

    Quando aumentamos o nmero de fendas, .....

    Rede de difrao

  • 26

    Quando aumentamos o nmero de fendas, .....

    N=2 N=8 N=16

  • A rede de difrao tem uma resoluo muito superior a uma fenda dupla, por exemplo:

    A rede pode ser utilizada para determinar um desconhecido a partir do medido: md sen 27

    picos estreitos rotulados pelos

    nmeros m da ordem

    franjas claras => linhas

  • 28

    Rede

    Para cada , a interferncia construtiva ocorre para um :

  • Largura das Linhas numa rede de difrao

    Verificamos no estudo da difrao por uma fenda "a" que a posio do primeiro mnimo dada por:

    sena

    Para um ngulo geral:

    cosNdml

    Para calcular a meia largura da linha clara central na rede, podemos fazer a analogia:

    Nda ~ )sen( 0mlNd

    Ndml

    000 ml

    0

    ml

    1 mnimo

    29

  • A rede de difrao pode ser utilizada para determinar

    um desconhecido a partir do medido:

    Espectrmetro de

    Rede de Difrao

    d

    marcsen

    md sen

    Linhas de emisso do Cd

    30

  • 31

    Para comparao : o que vemos na tela ???

  • Disperso A disperso numa rede de difrao definida por:

    onde separao angular entre duas linhas que diferem de .

    Vimos que

    Logo, temos:

    Portanto, derivando,

    D

    m

    send

    cos

    m

    d

    d

    d

    cosd

    mD

    32

  • Resoluo

    A resoluo numa rede de difrao definida por:

    Vimos que o menor ngulo que pode ser resolvido :

    Substituindo este valor na eq. da disperso:

    Assim, temos:

    onde menor diferena de comprimento de onda que pode ser resolvido e med o comprimento de onda mdio.

    medR

    cosNdml

    cos

    1

    cos d

    m

    Nd

    NmR med

    cosd

    mD

    33

  • Redes de difrao com diferentes resolues:

    m = 0

    A luz branca difratada nos dois casos

    34

  • Disperso x Resoluo

    NmR med

    cosd

    mD

    Resoluo aumenta com N,

    nmero de ranhuras

    A disperso melhora com a

    diminuio de d

    35

    Maior resoluo!

    Maior disperso!

  • Difrao de raios-X por cristais

    O comprimento de onda dos raios X da ordem do espaamento atmico em cristais: 10-10 m = 1 .

    36

  • Temos interferncias construtivas quando:

    Lei de Bragg md sen2

    37

  • Porm, para qualquer ngulo de incidncia, temos

    vrios planos de reflexo.

    38

  • Assim, temos uma figura de difrao complexa:

    39

  • Resumo da aula:

    Difrao por uma fenda nica

    Difrao por uma abertura circular

    Critrio de Rayleigh para resoluo

    Difrao por duas fendas

    Rede de difrao (muitas fendas!)

    e sua resoluo e disperso

    Difrao de raios X em cristais

    40

  • Sistema de Lentes para a Difrao: com ele,

    os raios que saem da fenda so paralelos.

    41