Aula-4

Difrao

Difrao = Desvio da propagao retilnea da luz

Trata-se de um efeito caracterstico de fenmenos

ondulatrios, que ocorre sempre que parte de uma frente

de onda (sonora, de matria, ou eletromagntica)

obstruda.

2

Augustin Fresnel (1788-1827)

Dez anos mais novo que T. Young, A. Fresnel foi um engenheiro civil francs que se interessou por

estudos de tica.

Ele no participava do crculo acadmico de Paris e no conhecia o trabalho de Young.

Fresnel estudou o efeito da passagem de luz por uma fenda.

Em 1819 a Academia Francesa ofereceu um prmio ao melhor trabalho experimental sobre difrao, que apresentasse um modelo terico

explicando o efeito. Fresnel apresentou um trabalho de 135 pginas

(modelo de ondas). O jri era composto por S.-D. Poisson,

J. B. Biot, e P. S. Laplace, todos Newtonianos que apoiavam

a teoria corpuscular da luz. Poisson calculou, usando a

teoria de Fresnel, algo que parecia inconsistente.

Feito o experimento, Fresnel estava correto!!! 3

Em um anteparo, obtemos um

padro de difrao

Difrao por uma fenda

am

sen

Franjas escuras

ocorrem para:

m = 1, 2, ...

a : largura da fenda

4

Determinao da Posio dos

Mximos e Mnimos

Supondo: aD A diferena de caminho ptico :

sen2

a

No anteparo as ondas devem estar fora de

fase para formao da primeira franja escura:

2

sena

a

sen

5

(Desenhos fora de escala!!!)

A condio que determina a segunda

franja escura encontrada dividindo a

fenda em 4 partes :

Teremos um mnimo quando:

Assim, para todos os mnimos :

2sen

4

a

a

2sen

am

sen ,.....2,1; m

6

A posio dos mnimos dada pela condio de que a

diferena de percurso entre o raio que sai da borda

superior e o que sai da borda inferior seja mltiplo de :

,...2,1;sen mma

m

7

Determinao da Intensidade

Verificaremos que:

onde:

2

senII m

sen

a

8

9

t)sin(E(t)E 11

)tsin(E(t)E 22

Fasores

21

022 cosEcosEE 0

).(2

sin2

sin

caminhodifdif.fase

ddk

Intensidade da Onda Difratada

yN

Ef

Ei

R

R

Ei

Ef

E0

E

f

in

n EE

sina

22

siny

2

10

Para a tela

a diferena de fase total, ou seja, entre o primeiro e o ltimo vetor da soma. a diferena de fase entre um vetor e o vetor seguinte na soma.

Intensidade da Onda Difratada

yN

)2/(2/ sinRE

;/RE0 /0ER

sinE)/sin(

/

EE 0

0 22

2

0

2

0

)(

E

E

I

I 2

0)(

sinII

Ef

Ei

11

sen

a

2

sina

22 Para a tela

Difrao por uma fenda e Fasores

siny

sin

sin)(

2

0

a

II

sin

f

in

nEE

12

360

Para a tela

=N

2,... 1,;2

)12(sin2

)12( nnan

Mximos (central e secundrios) :

)tan(0sin

2

d

d

y

y = tan(x) central mximo0tan

Difrao por uma fenda: mximos e mnimos

sin

sin)(

2

0

a

II

sin

a

m

mmam

sin

,...2,1;sin

Mnimos:

)tan( xx

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Observe que aumentando a largura da

fenda, diminui a largura do mximo central:

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Difrao por Duas Fendas

No estudo da interferncia no experimento de Young consi-

deramos a/ 0 e obtivemos a figura da direita acima.

Neste limite, as fontes S1 e S2 irradiam (I0) de modo uniforme

para todos os ngulos.

Mas, se considerarmos uma

razo a/ finita, cada fonte irradiar de modo semelhante

figura da direita.

15

O mnimo de

difrao

elimina franjas

brilhantes da

interferncia

O grfico geral da intensidade fica sendo:

uma fenda

duas fendas

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Intensidade da figura de interferncia de duas

fendas:

onde:

No limite a/ 0, obtemos a equao para a intensidade no experimento de Young:

No limite d/ 0, obtemos a equao para a intensidade no caso de uma fenda nica:

02

2 4;cos IIsen

II mm

sen

a

sen

d

2cosII m

2

senII m

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Difrao por uma Abertura Circular

A posio do primeiro mnimo, para uma abertura

circular de dimetro d, dada por:

d,sen

221

d

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Resoluo

A imagem difratada de

dois objetos pontuais, ao

passar por um orifcio de

dimetro d, adquire uma

separao angular .

. d

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Critrio de Rayleigh : A separao angular mnima para que duas fontes pontuais possam ser distinguidas (resolvidas)

aquela para a qual o mximo central de uma fonte coincide com o

primeiro mnimo da figura de difrao da outra fonte:

ddarcR

22,122,1sen

(pontilhismo)

d

20

Os sistemas pticos (microscpios, telescpios, olho humano) so caracterizados por um poder de resoluo:

R1

21

Un dimanche la Grande Jatte

Georges Seurat (French, 1859-1891)

A Sunday on La Grande Jatte -- 1884, 1884-86

Oil on canvas, 81 3/4 x 121 1/4 in. (207.5 x 308.1 cm)

22

Rede de Difrao:

muitas fendas (~milhares por mm!) Somando os raios, dois a dois, teremos

mximos (interferncia construtiva) no

anteparo quando:

; mdsen ,...,,m 210

23

d

a

A ordem dos

mximos m :

24

25

Quando aumentamos o nmero de fendas, .....

Rede de difrao

26

Quando aumentamos o nmero de fendas, .....

N=2 N=8 N=16

A rede de difrao tem uma resoluo muito superior a uma fenda dupla, por exemplo:

A rede pode ser utilizada para determinar um desconhecido a partir do medido: md sen 27

picos estreitos rotulados pelos

nmeros m da ordem

franjas claras => linhas

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Rede

Para cada , a interferncia construtiva ocorre para um :

Largura das Linhas numa rede de difrao

Verificamos no estudo da difrao por uma fenda "a" que a posio do primeiro mnimo dada por:

sena

Para um ngulo geral:

cosNdml

Para calcular a meia largura da linha clara central na rede, podemos fazer a analogia:

Nda ~ )sen( 0mlNd

Ndml

000 ml

0

ml

1 mnimo

29

A rede de difrao pode ser utilizada para determinar

um desconhecido a partir do medido:

Espectrmetro de

Rede de Difrao

d

marcsen

md sen

Linhas de emisso do Cd

30

31

Para comparao : o que vemos na tela ???

Disperso A disperso numa rede de difrao definida por:

onde separao angular entre duas linhas que diferem de .

Vimos que

Logo, temos:

Portanto, derivando,

D

m

send

cos

m

d

d

d

cosd

mD

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Resoluo

A resoluo numa rede de difrao definida por:

Vimos que o menor ngulo que pode ser resolvido :

Substituindo este valor na eq. da disperso:

Assim, temos:

onde menor diferena de comprimento de onda que pode ser resolvido e med o comprimento de onda mdio.

medR

cosNdml

cos

1

cos d

m

Nd

NmR med

cosd

mD

33

Redes de difrao com diferentes resolues:

m = 0

A luz branca difratada nos dois casos

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Disperso x Resoluo

NmR med

cosd

mD

Resoluo aumenta com N,

nmero de ranhuras

A disperso melhora com a

diminuio de d

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Maior resoluo!

Maior disperso!

Difrao de raios-X por cristais

O comprimento de onda dos raios X da ordem do espaamento atmico em cristais: 10-10 m = 1 .

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Temos interferncias construtivas quando:

Lei de Bragg md sen2

37

Porm, para qualquer ngulo de incidncia, temos

vrios planos de reflexo.

38

Assim, temos uma figura de difrao complexa:

39

Resumo da aula:

Difrao por uma fenda nica

Difrao por uma abertura circular

Critrio de Rayleigh para resoluo

Difrao por duas fendas

Rede de difrao (muitas fendas!)

e sua resoluo e disperso

Difrao de raios X em cristais

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Sistema de Lentes para a Difrao: com ele,

os raios que saem da fenda so paralelos.

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