Vitria Espirito Santo 2011

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PLANO DA DISCIPLINA - PRTICA DE ENSINO DE MATEMTICACARGA HORRIA 50 horas PROFESSORA Rosangela Cardoso Silva Barreto EMAIL rosiwhindson@gmail.com EMENTA: O estudo da Educao Matemtica no contexto atual, tendncias da Educao Matemtica com posterior discusso das Orientaes Curriculares Nacionais e os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica. O conhecimento dos mtodos e prticas aplicadas no ensino da Matemtica, resoluo de problemas e a matemtica por meio de jogos. A anlise de Livro didtico. O planejamento anual de cada srie. Aplicao de projetos e avaliao. OBJETIVO GERAL: Instrumentalizar pedagogicamente o aluno para o exerccio da docncia da Matemtica no Ensino Fundamental e Ensino mdio. OBJETIVOS ESPECFICOS: Destacar as mudanas no Ensino Fundamental e Mdio preconizadas na Lei de Diretrizes e Bases da Educao Brasileira. Discutir, com base em textos atuais, o ensino da Matemtica Conhecer as principais tendndecias que permeiam a Educao Matemtica hoje. Despertar a necessidade de conhecer novas estratgias de ensino da matemtica e desenvolver prticas de sala de aula. Demonstrar a importncia do planejamento para a qualidade do ensino e da aprendizagem. Analisar a qualidade dos livros didticos. CONTEDO PROGRAMTICO: Tendncias da Educao matemtica......................................................................................1 ENCONTRO Orientaes Curriculares Nacionais e Parmetros Curriculares Nacionais...................................1 ENCONTRO Metodologias e prticas aplicadas ao ensino Matemtica............................................................1 ENCONTRO Diversidade de atividades prticas em sala de aula.....................................................................1 ENCONTRO Planejamento................................................................................................................. ....1 ENCONTRO Discusso sobre o artigo.......................................................................................................1 ENCONTRO Anlise do livro didtico......................................................................................................2 ENCONTRO Planejamento anual do ensino de Matemtica. (orientaes)........................................................2 ENCONTRO Discusso sobre a aula a ser preparada.....................................................................................2 ENCONTRO Anlise do planejamento, discusso da aula preparada e sobre o artigo.......................................3 ENCONTRO O Novo ensino Mdio e o Enem............................................................................................3 ENCONTRO Anlise do material entregue como: plano de aula, artigo............................................................4 ENCONTRO Discusso sobre o Programa de Matemtica da SEDU................................................................4 ENCONTRO Avaliao do ensino de Matemtica....................................................................................... 4 ENCONTRO Apresentao do artigo cientfico............................................................................................5 ENCONTRO METODOLOGIA DE ENSINO: Nas atividades expositivas e dialogadas sero utilizados meios auxiliares como slides, filmes, seminrios. Tambm sero apresentadas diversas experincias terico-prticas com materiais e roteiros impressos. Ser desenvolvida uma atividade de campo simulando uma aula com alunos da educao bsica. METODOLOGIA DE AVALIAO: Participao em sala de aula, regncia de aula e portflio. BIBLIOGRAFIA

3BRASIL. Parmetros Curriculares Nacionais: Ensino Mdio. Cincias da Natureza e Matemtica/Ministrio da Educao: Braslia: MEC, 1999.

BROUSSEAU, G. Os diferentes papis do professor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didtica da matemtica: reflexes psicopedaggicas. Trad. Juan A. Llorens. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1996.CARRAHER, T. (org.) . (1988). Na vida dez, na escola zero. So Paulo: Cortez Editora. D'AMBROSIO, U. (1986). Da realidade Ao: Reflexes sobre Educao (e) Matemtica. Campinas . SP: Summus/UNICAMP. PERRENOUD, P. Avaliao: da excelncia regulao das aprendizagens entre duas lgicas. Porto Alegre: Artmed, 1999. SANTANNA, I.M. Por que avaliar? Como avaliar? Critrios e instrumentos. Petrpolis: Vozes, 1995. SACRISTN, J.G. O Currculo: uma reflexo sobre a prtica. Porto Alegre: ArtMed, 2000. LISTA DE CONTATOS: ALUNOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. EMAIL TURMA -

ATIVIDADES DISCRIMINADAS POR ENCONTRO:1 ENCONTRO ABORDAGEM TERICO-PRTICA 1. ABORDAGEM TERICA 8 s 11 horas Conversa informal e entrega do Plano de Ao da Disciplina. Tendncias da Educao Matemtica Competncias da Matemtica. 2. ATIVIDADE PRTICA 11 s 12 horas Identificao da inteno de desenvolvimento das competncias nas estratgias. 3. ANLISES DA PRTICA PEDAGGICA 13 s 15 horas Aulas prticas em sala de aula, aulas tericas, estratgias de resoluo de problemas e o uso de jogos no ensino da matemtica. 4.DISCUSSO DA PRTICA 15 s 16 horas. Importncia do planejamento da disciplina e da elaborao de projetos. Exemplos de projetos. Discusso sobre o artigo (relato de projeto).

2 ENCONTRO - AVALIAO DO LIVRO DIDTICO, PLANEJAMENTO ANUAL E DISCUSSO SOBRE AULA E ARTIGO.

41.DISCUSSO SOBRE O LIVRO DIDTICO: 8 s 10 horas Volume nico X volume nico de autores diferentes EM. Comparar. Volume nico X Livro seriado EM de mesmo autor. Escolher um assunto e comparar. Volume nico X Livro seriado EM de autores diferentes. Escolher um assunto e comparar. Livros seriados X Livros seriados de autores diferentes EF. Comparar. Livro seriado antigo EF X livro atualizado de mesmo autor Observar diferenas. Conhecer guia didtico de EF. 2.ANLISE DO LIVRO DIDTICO: 10h30min s 12 horas Discusso sobre critrios de avaliao do livro didtico. Adaptao de ficha de avaliao. Avaliao de um livro. 3.DISCUSSO E ELABORAO DO PLANEJAMENTO ANUAL: 13 s 14 horas Esquema de distribuio de aulas num ano letivo. Preenchimento do formulrio prprio para planejamento. 4.DISCUSSO SOBRE A AULA E O ARTIGO: 14 horas s 16 horas e 30 minutos.

3 ENCONTRO PLANEJAMENTO E NOVO ENSINO MDIO.1.ANLISE DO PLANEJAMENTO, DISCUSSO DA AULA PREPARADA E SOBRE O ARTIGO. Entrega do planejamento, apresentao da aula, ajustes finais do artigo,: 8 s 12 horas. 2.O NOVO ENSINO MDIO E EXEMPLOS DE PROVAS DO ENEM Apresentao de um planejamento de biologia: 13 s 14 horas. Descrio das competncias e habilidades: 14 s 15 horas. Discusso da forma de elaborao do ENEM: 15 s 16 horas. Anlise das provas (enem): 16 horas s 16 horas e 30 minutos. 4 ENCONTRO ANLISE DO PLANO DE AULA, ARTIGO 1.ANLISE DO ARTIGO: 8 s 9 horas. 2.ANLISE DA APRESENTAO DO ARTIGO: em ppt e entrega da apresentao do artigo em ppt impresso para ajustes: 9 s 12 horas. 3.DISCUSSO SOBRE O PROGRAMA DE MATEMTICA DA SEDU: 13 s 16 horas e 30 minutos. 4.DISCUSSO DE TEXTO SOBRE O ATUAL ENSINO DE MATEMTICA: 15 s 17 horas.

5 ENCONTRO APRESENTAO DO ARTIGO AVALIAO GERAL - PRTICA DE MATEMTICA CRITRIOS GERAIS DE AVALIAO:AVALIAO GERAL DA TURMA ALUNO ANLISE DO LIVRO DIDTICO 2,0 PLANEJAMENTO ANUAL - 2,0 PLANO DE AULA - 2,0 ARTIGO 4,0 TOTAL 10,0

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

517. 18. 19. 20.

CRITRIOS PARA A AVALIAO DO ARTIGO: AVALIAO DE ARTIGO TURMA ALUNO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. CRITRIOS 1 -1,0 2 1,0 3 1,0 4 1,0 TOTAL 4,0

01 Coerncia com a prtica de ensino de Matemtica (Texto 0,5 Apresentao 0,5) 02 Relevncia com a prtica de ensino (Texto 0,5 Apresentao 0,5) 03 - Quali-quantidade adequadas de contedo (Texto 0,5 Apresentao 0,5) 04 Organizao e esttica (Texto 0,5 Apresentao 0,5)

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FORMAO DO PROFESSOR: CONCEPES E PRTICA DOCENTERosangela Cardoso Silva Barreto1 Resumo A proposta deste artigo gerar uma discusso acerca da inteno e articulao da formao do professor de matemtica, em especial a formao do professor que atua na Educao de Jovens e Adultos EJA, por meio da construo de alguns cenrios propostos pela prtica docente, as prticas pedaggicas de Educao Matemtica, tendo como base slida a busca pela compreenso dos aspectos histricos da formao acadmica relacionados aos educadores matemticos. Palavras-chave: Formao do professor, Educao de Jovens e Adultos, Prtica docente

Introduo Ao iniciar minhas leituras para nortear-me na investigao do tema Formao do Professor: concepes e prtica docente, as mesmas me apresentaram inmeras discusses emergentes acerca dessa temtica, tentarei de forma geral e contundente socializar os conhecimentos adquiridos nesse percurso a respeito da formao de professores, especialmente a formao do professor de matemtica, no entanto, no iremos ter como foco principal as concepes dos professores a respeito da prtica docente, mas a aquisio, formalizao e sistematizao dos conhecimentos por eles adquiridos no em suas vivncias didticas. A formao do educador assume que a concepo de relevncia do ato de educar indivduos e profissionais crticos, criativos e dinmicos, sugere a necessidade de uma formao continuada mais crtica e reflexiva, baseando-se, como afirma Carvalho (1997), em conceitos-chave, como: saberes docentes, conhecimento na ao, reflexo na ao, reflexo sobre a reflexo e construo ativa do conhecimento segundo uma metodologia do aprender a fazer fazendo e/ou da pesquisa da prpria prtica. A proposta deste texto gerar uma discusso acerca da inteno e articulao da formao do professor de matemtica, em especial a formao do professor que atua na Educao de Jovens e Adultos EJA, por meio da construo de alguns cenrios propostos pela prtica docente, como possveis prticas pedaggicas de Educao Matemtica, tendo como base slida a busca pela compreenso dos aspectos histricos da formao acadmica relacionados aos educadores matemticos. 1. A formao do professor no Brasil Estamos vivenciando um sculo de mudanas, e o panorama educacional apresenta-se em total movimento. Assim sendo, os professores so potencializadores dessas mudanas. A formao de professores no Brasil e no resto do mundo tem sido motivo de grandes interrogaes devido s vrias culturas e mudanas sociais, polticas e econmicas. H necessidade de adequar a formao dos professores a uma realidade que, submetida a um constante processo de inovao, gera novas demandas, propostas educacionais e curriculares. Os nossos cursos de formao do professores sempre foram motivos de discusses e de crticas por vrios autores e estudiosos brasileiros, como Adair Mendes Nacarato (2008), Maria Auxiliadora Vilela Paiva (2008), Maria da Conceio F. R. Fonseca (2007), Jane Paiva (2009), Edna Castro de Oliveira (2009), dentre muitos outros, que ao analisarem o nosso sistema de ensino verificaram uma srie de deficincias. Uma das condies citadas constantemente, necessria para melhorar a qualidade da nossa escola, seria fornecer uma formao inicial mais adequada s demandas educativas atuais e nossa realidade. Buscarei me ater aqui s discusses acerca da formao docente no Brasil a partir da dcada de 70. Nesse perodo houve uma grande influncia da psicologia comportamental e dos avanos tecnolgicos no processo de formao dos especialistas em educao. Assim, o professor era concebido como um organizador dos componentes do processo de ensino-aprendizagem e a preocupao central relacionada 1

Mestranda do Programa de Ps-Graduao em Educao PPGE UFES. Linha de pesquisa de Educao e Linguagem: Linguagem Matemtica.

7 sua formao era no tocante a instrumentalizao tcnica, ou seja, com os mtodos de treinamento do professor. Na dcada de 80 o debate a respeito da formao do professor teve como foco dois pontos bsicos: o carter poltico da prtica pedaggica e o compromisso do educador com as classes populares. Para Pereira (2006, p. 28):A figura do educador dos anos 80 surge, ento, em oposio ao especialista de contedo, ao facilitador de aprendizagem, ao organizador das condies de ensino-aprendizagem, ou ao tcnico da educao dos anos 70. Dessa forma, pretendia-se que os educadores estivessem cada vez mais preocupados com a modernizao de seus mtodos de ensino e com o uso de recursos tecnolgicos e, cada vez mais, percebessem seu papel como agente scio-poltico.

Com as mudanas ocorridas no cenrio educacional nos anos finais da dcada de 80, com a crise dos paradigmas, os estudos sobre a formao do professor voltam-se crescentemente para compreenso dos aspectos microsociais, destacando e focalizando sob novos prismas, o papel do agente sujeito. Nesse cenrio, privilegia-se hoje, a formao do professor pesquisador, ou seja, ressalta-se a importncia da formao do profissional reflexivo, aquele que pensa-na-ao e percebe que possvel aliar a atividade profissional atividade de pesquisa. (PEREIRA, 2006 p. 41). Dentro desta perspectiva, chegamos formao do professor brasileiro na contemporaneidade que emerge do conceito de prtica reexiva. Ela surge como um modo possvel dos professores interrogarem as suas prticas de ensino. A reexo fornece oportunidades para voltar atrs e rever acontecimentos e prticas. A expresso prtica reexiva aparece muitas vezes associada investigao sobre as prticas.O professor precisa estar em constante formao e processo de reflexo sobre seus objetivos e sobre a concequncia de seu ensino durante a formao na qual ele o principal protagonista, assumindo a responsabilidade por seu prprio desenvolvimento profissional, e na qual seus saberes prticos e no saberes da prtica ou saberes sobre a prtica so construdos. (PAIVA, 2008 p, 92).

A insatisfao sentida por muitos educadores com a sua preparao prossional, que no contempla determinados aspectos da prtica, tem conduzido a movimentos de reexo e de desenvolvimento do pensamento sobre as prticas e como contemplar mais satisfatoriamente o conhecimento delas durante a formao inicial ou continuada. Diante do exposto, a proposta para formao do professor hoje deve ser pautada na reflexo, possibilitando ao professor ser um agente criativo e inovador nos processos questionadores. Essa ao docente problematizadora tem, portanto, como caractersticas as prticas reflexivas. No h uma nica abordagem no processo de pesquisa ou de questionamento, ou seja, o professor deve estar atento variedade de possveis opes. Ento, na sociedade plural em que vivemos, totalmente caracterizada pela gerao de conflitos, incertezas e complexidades, ns professores, precisamos desenvolver nossas concepes e prticas reflexivas com o intuito de transformar a sala de aula de modo direcionado ao crescimento educativo que propicie maior qualidade de vida ao ser humano. Essas prticas no resultam de um trabalho isolado, mas de uma construo coletiva, em trabalhos colaborativos e mais integrados em termos dos conhecimentos. 2. A formao do professor de Matemtica Atualmente as prticas docentes em Matemtica vm assumindo tambm uma considervel nfase ao contexto educativo. Sendo assim, este fenmeno implica em um olhar contemporneo a respeito da formao dos professores envolvidos nas prticas pedaggicas. Portanto, a formao do professor de matemtica pode ser encarada sob trs perspectivas: a formao acadmica, o trabalho vivenciado em sala de aula e a busca de uma nova perspectiva social.Para que o professor tenha competncia de transpor adequadamente para a sala de aula os contedos a serem trabalhados, alguns saberes devem ser adquiridos. Ao referir-se aos

8conhecimentos e competncias de que um professor precisa para ensinar determinada disciplina, Schulman (1986) distingue trs categorias de saber: o da disciplina, o pedaggico-disciplinar e o curricular e d uma importncia especial ao saber pedaggico-disciplinar por considerar que este trata das questes de ensino-aprendizagem, isto da forma como o professor aborda os contedos matemticos em sala de aula, sobre diversos contextos e de que maneira os alunos aprendem. (PAIVA, 2008 p.91)

Pensar a formao acadmica do professor de matemtica um desafio, pois este processo um campo de luta ideolgica e poltica. Historicamente nas licenciaturas em Matemtica preocupou-se muito com o que ensinar e, pouco, como e para quem ensinar. Uma prtica pedaggica centralmente prescritiva e reprodutiva, onde esteve presente de forma destacada a abordagem terica caracterizada como uma explicao de modelos, pressupostos e frmulas para a qual se utilizavam de uma metodologia essencialmente tecnicista ou tradicional, distanciada concretamente da vivncia da prtica escolar. O que j no satisfaz educao de hoje.[...] acreditamos que o professor possa ter sua autonomia intelectual e uma autoria que o torne capaz de construir seu prprio currculo, mediando o conhecimento historicamente construdo e o que realmente far parte da construo escolar dos alunos dentro de uma perspectiva social e cultural. Ele, portanto, deve ser capaz de transformar esse conhecimento em algo pedagogicamente tenha significado e, ao mesmo tempo esteja ao nvel das habilidades e conhecimentos de seus alunos, garantindo a formao de novas competncias. (PAIVA, 2008 p.91)

No caso da formao de professores nos cursos de licenciatura, em seus moldes tradicionais, onde os contedos so limitadores da formao docente. E mais, o bacharelado parece surgir como uma opo natural, pois tambm possibilita arranjar um posto como professor. Fala-se muito mais do diploma, de uma certificao formal, ao invs de se falar de formao, o que acarreta o cumprimento de crditos burocraticamente definidos, em vez de uma preparao integrada que propicie reflexo dos contedos da rea articulada realidade especfica da atuao docente. O ideal seria que os graduandos participassem de espaos de formao heterogneos, rompendo com a cultura escolar, da qual faz parte como aluno - mantm-se na passividade , esperando que os docentes digam o que deve fazer e como deve proceder. (NACARATO, 2008 p. 210). Sendo assim, percurso, as licenciaturas em matemtica tem se preocupado excessivamente com o que o professor no sabe , teorizando apenas e esquecendo-se de avanar em outros aspectos da vida profissional. As problematizaes foram deixadas para o final de curso argumentando-se ser necessrio os prrequisitos como a soluo de teoremas. Deixou-se de considerar o potencial do cientista acadmico j na sua entrada na faculdade. Para Paulo Freire (2002, p. 79):Na prtica de formao docente, fundamental que o aprendiz de educador assuma que o indispensvel pensar certo no presente dos deuses nem se acha nos guias de professores que iluminados intelectuais desde o centro do poder, mas pelo contrrio, o pensar certo que supera o ingnuo tem que ser produzido pelo prprio aprendiz em comunho com o professor formador.

No que se refere formao do professor de Matemtica, Ubiratan DAmbrsio (1996) afirma que os candidatos a professor desta rea devem ter viso do que vem a ser matemtica, do que constitui a atividade matemtica, e de como se d a aprendizagem da matemtica. Este autor nos adverte que, para ter um ensino de Matemtica de qualidade, os professores desta disciplina precisam estar atentos para a interdependncia que existe entre as disciplinas pedaggicas (Psicologia, Didtica, Prtica de Ensino, Instrumentao) e as disciplinas especficas (Clculo, lgebra e Geometria). Sendo assim, avanando nos aspectos metodolgicos para a prtica docente, observamos a ausncia de novos cenrios de estudo em educao matemtica, os quais podem contribuir de forma crtica reflexiva aos educadores e, consequentemente, aos aprendizes. Na formao do professor de matemtica as aproximaes com os meios de ensino-aprendizagem devem atentar transformao social, tanto de

9 quem ensina quanto de quem aprende, para que a Educao Matemtica no seja apenas um instrumento operacional para resoluo de problemas, mas tambm se apresente critica e transformadora na vida dos educandos. Em sntese, os cursos de formao de professores devem promover a unio entre as disciplinas pedaggicas e as disciplinas cientficas, para que o futuro professor venha a entender e, possa tambm, promover a interao entre a pedagogia e o contedo cientfico. Para que esta unio ocorra, necessria uma formao que viabilize a articulao entre o conhecimento e a ao, levando, portanto, a construo de uma reflexo consciente. 3. A formao do professor de Matemtica para Educao de Jovens e Adultos Inicialmente pode parecer fcil refletir acerca da formao necessria ao educador de jovens e adultos. O que se pensa que por termos uma viso panormica do pblico alvo e os parmetros curriculares oferecem linhas gerais que, poderamos simplesmente teorizar um eixo norteador para a construo de propostas para formao desses profissionais apenas baseados em sua pseuda funo a ser desempenhada que apenas educar jovens e adultos. So inmeras as estratgias/metodologias utilizadas pelos professores para mediar e potencializar a aprendizagem de jovens e adultos, buscando desenvolver as habilidades e competncias necessrias s reas do conhecimento. No entanto, os professores da EJA necessitam aprimorar a qualificao do ensino por meio de aprendizagens significativas e da construo do conhecimento. Considerando as vivncias e especificidades da educao de jovens e adultos, faz-se necessria a constituio de um profissional docente que contemple competncias e saberes especficos para atender os educandos que esto inseridos nessa modalidade educativa. Cabe a esse professor assumir o papel de mediador da sua prpria aprendizagem, para que frente diversidade de saberes de seu grupo ele se perceba construtor de sua prpria formao, assim o professor se constitui como sujeito que aprende e ensina. Diante da complexidade de ser professor e atuar na modalidade EJA, trazemos para nossa discusso a especificidade da formao do professor de matemtica que atua na Educao de Jovens e Adultos. Este educador necessita apresentar-se sensvel e perceber que seus educandos esto inseridos em um mundo complexo, onde a cultura, a razo, o afeto e a vida em sociedade podem conduzir os diversos caminhos e a matemtica estar permeando essa trajetria, o que torna cada vez mais evidente a necessidade de contextualizao do conhecimento matemtico tecido e/ou construdo, no apenas em situaesproblema, sobretudo em situaes concretas em que os educandos possam perceber que so agentes para transformao critica e social de sua realidade. Segundo Maria da Conceio F.R. Fonseca (2007, p. 54):Precisamos buscar ampliar a repercusso que o aprendizado daquele conhecimento matemtico que estamos abordando, inclusive nos seus aspectos sinttico e semntico, pode ter na vida social, nas opes, na produo e nos projetos daquele que aprende. At por isso, a aprendizagem da Matemtica deve justificar-se ainda como uma oportunidade de fazer emergir uma emoo que presente, que co-move os sujeitos, enquanto resgata (e atualiza) vivncias, sentimentos, cultura e num processo de confronto e reorganizao, acrescenta mais um elo histria da construo do conhecimento matemtico.

O professor que atua na EJA necessita ter presente em sua formao o reconhecimento que a experincia e o conhecimento cientfico so equivalentemente importantes, tenso como objetivo trazer a unicidade destes saberes para a discusso das prticas pedaggicas voltadas para jovens e adultos.[...] Para compreender a natureza do ensino, absolutamente necessrio levar em conta a subjetividade dos atores em atividade, isto , a subjetividade dos prprios professores. Ora um professor de profisso no somente algum que aplica conhecimentos produzidos por outros, no somente um agente determinado por mecanismos sociais: um ator no sentido forte do termo, isto , um sujeito que assume sua prtica a partir do significado que ele mesmo lhe d, um sujeito

10que possui conhecimento e um saber-fazer proveniente de sua prpria atividade e a partir dos quais ele a estrutura e a orienta. (BORGH apud TARDIF, 2007, p.232).

necessrio que os educadores matemticos de jovens e adultos sejam continuamente desafiados a se constiturem professores atravs da reflexo e do desenvolvimento de experincias significativas, os mesmos necessitam ter intimidade com a Matemtica em sua plenitude para que estes possam generosa e sensivelmente compartilhar com seus educandos as atividades da vida diria. Fonseca (2007, p. 55) pontua trs valores fundamentais para que os professores que atuam na EJA participem mais ativamente da Educao Matemtica vivenciada por seus educandos. So eles: honestidade, compromisso e entusiasmo, esses valores devem ser considerados na postura formadora dos professores da EJA porque eles indicam dimenses solidrias importantssimas prtica docente desses educadores, dentre elas sua intimidade com a Matemtica, sua sensibilidade para as especificidades da vida adulta e sua conscincia poltica. Diante desta reflexo creio que Fonseca (2007) compactua com Freire (2000), por acreditar que as mudanas no acontecem apenas influenciadas pelos fatores externos, pois os fatores internos, se no determinantes, exercem influncia preponderante. neste vis que acredito estar situada a formao de professores para atuar na EJA, lembrando dos esforos centrados na formao, mas ao mesmo tempo, reconhecendo as dificuldades de se reverter os processos formativos em prtica cotidiana, se fazendo educadores atravs da reflexo e significao de suas prticas. Algumas consideraes Ao refletirmos sobre a formao do professor de matemtica, em especial o professor que atua na Educao de Jovens e Adultos, as questes abordadas neste texto podem ser salientadas tanto para consideraes sobre o ensino da matemtica quanto sobre o ensino de outras cincias. Essas reflexes possibilitam as discusses e possibilidades de novas prticas docentes, as quais possam proporcionar um novo (re)dimensionamento ou uma reformulao do ensino de Matemtica, de modo a oportunizar que o futuro professor tenha a possibilidade de romper com as concepes impostas e cultivadas por um sistema inadequado aos valores ticos e s necessidades educacionais. Isto lhe permitir (re)estabelecer o seu papel, que no somente o de dar aula, mas o de ser um profissional reflexivo e crtico, compromissado com a formao do aluno, tanto em nvel intelectual quanto em nvel humano. RefernciasBORGH, Idalina Souza Mascarenhas Formao de educadores da EJA: inquietaes e perspectivas dilogos possveis. julho/dezembro 2007, disponvel em: www.fsba.edu.br/dialogospossiveis. CARVALHO, J.M. O processo de formao continuada dos professores: uma construo estratgico-conceitual expressa nos peridicos brasileiros. Caderno de pesquisa do PPGE/UFES. Vitria, n. 3, p. 51-65, fev. 1997. DAMBROSIO, U. Educao para uma sociedade em transio. Campinas: Papirus, 1999. GARCIA, C.M. Formao de Professores: para uma mudana educativa. Traduo de Isabel Narciso. Porto: Porto Editora, 1999. FONSECA. Maria da Conceio F.R. Educao de Jovens e Adultos: Especificidades, desafios e contribuies. 2 ed. Editora autntica - Belo Horizonte, 2007. NACARATO, Adair Mendes. PAIVA, Maria Auxiliadora Vilela. A formao do professor que ensina Matemtica: perspectivas e pesquisas. Editora Autntica Belo Horizonte, 2008. PAIVA, Jane e OLIVEIRA, Ins B. Educao de Jovens e Adultos. Petrpolis, RJ: DP et Alii, 2009. PEREIRA, Jlio Emilio Diniz. Formao de professores pesquisa, representaes e poder. Editora Autntica - Belo Horizonte, 2006. SERRAZINA, L. (Org.) A formao para o ensino da Matemtica na Educao Pr escolar e no 1 ciclo do ensino Mdio. Porto: Porto Editora, 2002.

EM FAVOR DE UM DILOGO ENTRE A HISTRIA DA EDUCAO MATEMTICA E AS PRTICAS EDUCATIVAS EM MATEMTICA22

Este texto focaliza alguns dos resultados do projeto de pesquisa Aspectos histricos da abordagem dos campos numricos na matemtica escolar brasileira, apoiado financeiramente pela Fundao de Amparo Pesquisa em Minas Gerais (FAPEMIG).

11 Maria Laura Magalhes Gomes Departamento de Matemtica e Programa de Ps-Graduao em Educao-UFMG laura@mat.ufmg.br Apresenta-se, no texto, em linhas gerais, a forma como a histria da matemtica vista em algumas propostas curriculares atuais que lhe tm conferido prestgio: no apenas como uma possvel fonte de respostas s exigncias prementes do cotidiano da sala de aula, mas tambm como algo potencialmente capaz de mudar concepes arraigadas sobre o conhecimento matemtico as quais tm trazido prejuzos educao matemtica. Observa-se, ento, que, se muito se tem falado sobre a contribuio da histria da matemtica em relao prtica pedaggica, pouco se tem discutido sobre a importncia dos conhecimentos dos educadores quanto histria da educao matemtica. Argumenta-se em favor dessa importncia, a partir de algumas consideraes sobre diferentes vises dos contedos sobre nmeros e operaes em alguns momentos da histria da educao matemtica secundria brasileira, bem como sobre as condies gerais em que se constituiu a educao escolar no pas. Defende-se, portanto, um dilogo que, do ponto de vista pragmtico, pode parecer intil: o da histria da educao matemtica com as prticas educativas em matemtica. A presena da Histria da Matemtica na educao matemtica brasileira proposta pelos documentos curriculares mais recentes Atualmente no Brasil, como em outros pases, a histria da matemtica parece estar vivendo um momento de sucesso em relao recomendao de sua presena na prtica pedaggica na matemtica da escola bsica. Embora no possamos afirmar que essa recomendao tenha se traduzido em mudanas na realidade das salas de aula, tambm no podemos negar que, pelo menos no que diz respeito a propostas, os autores de textos curriculares vm se esforando no sentido da incluso dos aspectos histricos no discurso sobre a educao matemtica, pelo menos desde a publicao dos Parmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) para o Ensino Fundamental pelo Ministrio da Educao em 1997. Se no nos detivermos para avaliar as formas como os aspectos histricos vm passando a ocupar espao nesse discurso e nos limitarmos a simplesmente constatar sua presena, perceberemos que ela agora parece algo natural. Para aquilatar em alguma medida a importncia da incluso dos aspectos histricos na atualidade, considero interessante retomar algumas das idias desenvolvidas por Luiz Mrcio Imenes (1990) em um artigo referente sua dissertao de mestrado publicado no peridico Bolema, editado pela UNESP-Rio Claro. Imenes relata que um dos resultados de sua pesquisa foi a percepo de que, ao longo de sua prpria formao, esteve sempre presente uma concepo de matemtica que tradicionalmente tambm inspira, permeia e marca o ensino em todos os nveis: a de que matemtica apresenta-se fechada em si mesma. Procurando explicar essa idia, o autor escreve, entre outras coisas:A Matemtica apresentada no ensino de Matemtica a-histrica. Histria coisa dos homens e, como a Matemtica escolar se desenvolve em um ambiente exclusivamente matemtico, fechado em si mesmo, onde no entram as coisas dos homens, ela se mostra ahistrica, no aparece como construo humana, no parte de nossa cultura, no gerada num ambiente sociocultural (IMENES, 1990, p. 23, destaques nossos).

Observamos, ento, que, nesse texto publicado em 1990, ressalta-se a forma de apresentao ahistrica, isto , sem histria, da matemtica, em todos os nveis de ensino durante a vida do autor como estudante e professor, pelo menos at o momento em que concluiu sua pesquisa de mestrado. Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental, no que se refere matemtica dos ciclos iniciais, publicados em 1997, confirmam a viso de Imenes, relacionando-a fortemente ao movimento da matemtica moderna. A parte do documento que aborda de maneira breve a influncia desse movimento faz referncias aproximao que ele procurou promover entre a matemtica escolar e a matemtica cientfica, e preocupao que se passou a ter, no ensino, com abstraes internas prpria matemtica, o que est de acordo com a viso apresentada por Imenes. No Brasil, como em muitos outros pases, a proposta dos PCN contrape-se a essa viso, e procura caracterizar o

12 conhecimento matemtico como um conhecimento que tem uma longa histria, que no est pronto e acabado, que se relaciona com outras reas, enfim, como um conhecimento que transcende suas caractersticas como disciplina cientfica. Assim, o documento procura apresentar facetas da matemtica diferentes daquela que acabou sendo a mais enfatizada no ensino ligado ao movimento da matemtica moderna. Diversos trechos do texto dos PCN se referem histria da matemtica. Por exemplo, no que diz respeito ao tema transversal da pluralidade cultural, ressalta-se a importncia, no processo de ensino e aprendizagem, da histria da matemtica, para explicitar a dinmica da produo histrica e social do conhecimento matemtico de modo que se caminhe para a superao do preconceito de que a Matemtica um conhecimento produzido exclusivamente por determinados grupos sociais ou sociedades mais desenvolvidas (BRASIL, 1997, p. 34). Os PCN insistem ainda em que os professores, em sua formao, precisam conhecer a histria dos conceitos matemticos, precisamente para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a matemtica como cincia que no trata de verdades eternas, infalveis e imutveis, mas como cincia dinmica, sempre aberta incorporao de novos conhecimentos (Idem, p. 38). No que diz respeito contribuio do conhecimento histrico para os professores, o documento tambm chama a ateno para sua utilidade no sentido de que o conhecimento dos obstculos envolvidos no processo de construo dos conceitos (Idem, ibidem) pode possibilitar a compreenso de aspectos da aprendizagem dos alunos. Alm disso, a histria da matemtica figura, no documento, junto resoluo de problemas, aos jogos e s tecnologias da informao, como um dos recursos disponveis para fazer Matemtica em sala de aula: enfatiza-se, a, que ela pode contribuir para o processo de ensino e aprendizagem, tanto porque ajudaria a desenvolver atitudes e valores mais favorveis matemtica no aluno, quanto porque auxiliaria a construo das idias por ele. Portanto, a leitura dos PCN nos mostra, inequivocamente, contrastes em relao viso que Imenes nos apresenta: quando se argumenta de forma to enftica em prol da incluso da histria da matemtica na educao matemtica, evidencia-se um esforo pela vitria contra a a-historicidade com que a matemtica se apresenta comumente nas prticas pedaggicas. Reforos a essa posio de prestgio da histria podem ser encontrados em outros documentos curriculares mais recentes, como as Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio (BRASIL, 2006), relativas aos conhecimentos de matemtica, um documento publicado no ano passado. Logo na introduo desse texto j se pode perceber a relevncia conferida histria, pois, entre as expectativas quanto aos alunos concludentes do Ensino Mdio, insere-se a de que percebam a matemtica como um conhecimento social e historicamente construdo. Na leitura de uma seo do documento dedicada s questes de metodologia, vamos encontrar explicitada a idia de que utilizar a histria da matemtica relevante no processo de atribuio de significados aos conceitos matemticos. Ressalvando-se a possibilidade de uma compreenso equivocada sobre a presena da histria no ensino aquela que a concebe como simples descrio de fatos ou apresentao de biografias de matemticos famosos , insiste-se em que a recuperao histrica pode ser um elemento significativo de contextualizao dos objetos de conhecimento, alm de contribuir para que o professor compreenda algumas dificuldades dos alunos. O documento sugere, ainda, algumas possibilidades de utilizao do conhecimento histrico no sentido da discusso e da explorao das idias matemticas na prtica pedaggica. Poderamos nos referir aqui, tambm, ao contedo de outras propostas curriculares ou textos didticos sobre a histria da matemtica, mas consideramos que os dois documentos so suficientes para ilustrar o prestgio de que o conhecimento da matemtica do passado vem desfrutando mais recentemente em nosso pas, no que concerne educao matemtica. O que se tem colocado em relevo no somente a possibilidade oferecida por esse conhecimento para modificar atitudes e valores geralmente muito arraigados quanto matemtica, especialmente a viso desse saber como fechado em si mesmo, concludo e acessvel a poucos. Nitidamente se tem insistido na dimenso da aprendizagem, isto , da atribuio de significados aos conhecimentos matemticos veiculados pela escola por parte dos estudantes, para a qual a histria da matemtica tem muito a contribuir. Portanto, no se trata de incluir a histria da matemtica na educao matemtica como um elemento que possivelmente atraia a curiosidade e o interesse dos estudantes, mas de apresent-la como um entre outros recursos metodolgicos que est disposio dos educadores matemticos e que poderia atender sua constante expectativa em relao ao desenvolvimento de um trabalho mais satisfatrio.

13 Concordando, de modo geral, com as idias relativas s potencialidades da histria da matemtica que se vm difundindo, devemos admitir, porm, que h muito por fazer no sentido de que elas de fato possam se incorporar positivamente s prticas educativas. Acreditamos, sobretudo, que a possibilidade de integrao da histria da matemtica a essas prticas muito atraente porque, vislumbram-se, com ela, respostas para a premncia com que se apresentam as questes do quotidiano das salas de aula na atualidade brasileira. Contudo, aqui queremos chamar a ateno para uma parte da histria da matemtica que tem merecido pouca iluminao pblica, isto , pouco destaque em documentos sobre a prtica pedaggica escolar no que diz respeito educao matemtica referimo-nos aos conhecimentos sobre a histria da educao matemtica, e particularmente sobre a histria da educao matemtica em nosso pas. Uma questo inicial: a educao matemtica muda ao longo do tempo? Quando falamos de maneira to corriqueira sobre histria da educao matemtica, um primeiro aspecto que interessante ressaltar que a maioria das pessoas possivelmente nunca pensou que as prticas educativas em matemtica tm uma histria. Na verdade, o universo da educao, o mundo escolar e o ensino da matemtica esto (ou estiveram) de tal modo presentes em nosso quotidiano que parecem naturais; muito difcil imaginar que nem sempre eles existiram ou tiveram a mesma aparncia com que se apresentam a ns. Alm disso, talvez parea maior parte das pessoas que no h modificaes na matemtica ensinada nas escolas em diferentes tempos e lugares ensinam-se sempre as mesmas coisas e do mesmo modo. O que me fez refletir sobre essa idia foi um episdio ocorrido h poucos meses. Ao procurar livros didticos antigos em um sebo de Belo Horizonte, ouvi do vendedor que o estoque da loja estava muito pequeno, porque, segundo ele, esses livros so os mais procurados e vendidos, j que a matemtica no muda. Fiquei um pouco surpresa, mas depois pensei que, se a matemtica se afigurava aos sujeitos pesquisados por Imenes, e provavelmente se afigura, hoje, ainda, a muitas pessoas, como um conhecimento a-histrico, seria estranho que o mesmo no se passasse tambm com a educao matemtica. Constatei, a partir das palavras do vendedor do sebo, que no fcil para as pessoas comuns, e talvez no o seja nem mesmo para os professores de matemtica, perceber que, ao longo do tempo, ocorrem alteraes nos contedos, nas abordagens, nas concepes, nas finalidades e nos valores propostos para a educao matemtica. Inmeros exemplos dessas alteraes se apresentam imediatamente a quem examinar com algum cuidado programas de ensino, documentos curriculares e livros didticos elaborados no passado, mesmo que recente. Para ilustrar o que acabo de dizer, proponho considerarmos, ao longo do tempo, o tratamento recomendado em nosso pas para um tema que faz parte da educao matemtica nos currculos da escola bsica em todo o mundo e que tem integrado os programas brasileiros do nvel de escolarizao que atualmente conhecemos como o ensino bsico desde, pelo menos, o sculo XIX: o estudo dos nmeros e operaes. A educao matemtica se altera com o passar do tempo: o exemplo da abordagem dos nmeros e operaes na matemtica escolar brasileira Focalizaremos aqui, especificamente, mas de uma perspectiva bastante geral, os enfoques conferidos aos nmeros e operaes nas propostas para o seu ensino na escola secundria do Brasil em diversos momentos. Num primeiro momento, que escolhemos situar como aquele que se estende da segunda metade do sculo XIX at 1931, ano de promulgao da primeira legislao nacional para a educao em todo o Brasil a chamada Reforma Francisco Campos, o trabalho com os nmeros localizava-se, em sua maior parte, na disciplina Aritmtica. preciso lembrar que, at ento, o tratamento dos contedos matemticos era feito, na escola secundria, em disciplinas separadas (Aritmtica, lgebra, Geometria e Trigonometria) distribudas ao longo dos anos de escolarizao, ministradas por docentes distintos e referenciadas por livros-texto tambm distintos. A Aritmtica tratava dos nmeros que hoje denominamos naturais, das fraes e tambm dos nmeros aos quais atualmente nos referimos como irracionais positivos. interessante notar, tambm, que o nmero, explcita ou implicitamente, era apresentado como o resultado da comparao de uma grandeza com uma grandeza de mesma espcie, descontnua (da a

14 origem dos nmeros inteiros) ou contnua (vm desse tipo de comparao os nmeros no inteiros, distinguidos em comensurveis e incomensurveis). Observemos que os nmeros negativos no se encaixam nessa conceituao; a meno a eles, na matemtica escolar do secundrio, s era feita no contexto da disciplina lgebra. O exame de programas e livros didticos nos mostra uma abordagem predominantemente terica, e ainda que no se possa afirmar uma completa homogeneidade entre os autores dos manuais escolares, a apresentao dos assuntos caracteriza-se pela nfase na forma dedutiva, com a insero, ao longo dos captulos, de definies, lemas, teoremas e corolrios sobre os nmeros e as operaes com eles. Exemplos de materiais em que se pode comprovar a breve descrio que acabamos de empreender so livros didticos que tiveram ampla circulao em todo o perodo de que estamos falando, como se pode constatar pela sua incluso nos programas do Colgio Pedro II, referncia nacional para os estudos secundrios, e tambm pelo fato de que alguns deles tiveram um grande nmero de edies; citamos especificamente Coqueiro (1897), Reis e Reis (1892), Vianna (1929) e Roxo (1928). Num segundo momento, que consideramos como o que se inicia com a Reforma Francisco Campos e termina na poca em que comeam a se difundir, no Brasil, as idias do movimento modernizador do ensino da matemtica, vamos verificar, ao analisar programas e manuais para o ensino, algumas diferenas em relao ao tratamento dos nmeros e operaes. A partir de agora, no h mais disciplinas separadas, e os conhecimentos aritmticos, algbricos e geomtricos passam a figurar em uma nica disciplina, a Matemtica, para o ensino da qual so produzidos os livros-texto. Se, no momento anterior, pudemos atribuir um carter preponderantemente terico e formal apresentao dos nmeros nos estudos secundrios, agora no temos dvidas de que, para o mesmo tema, so propostos, sobretudo, enfoques prticos, voltados para o quotidiano e para as relaes da matemtica com as outras reas do conhecimento. Ressalta-se, tambm, a importncia de uma abordagem intuitiva e do trabalho com o clculo mental. Esse esprito pode ser percebido no texto do decreto da Reforma Francisco Campos relativo matemtica do curso ginasial por ela criado. Nota-se, tambm, menor preocupao com os aspectos formais: nos livros didticos, constata-se que a apresentao dos conhecimentos aritmticos deixa de dar destaque, e por diversas vezes, de mencionar as palavras definio e teorema, to marcantes nos manuais do perodo anterior. Para ilustrar o que acabamos de dizer, transcrevemos dois pargrafos das orientaes da Reforma Campos para o ensino da Aritmtica no programa de Matemtica:Alm do desembarao nos clculos, procurar-se- desenvolver o senso da percepo dos valores numricos. O clculo, oral ou escrito, ser objeto de constantes exerccios, nos quais dever sobressair, pela sua importncia, a prtica do clculo mental. As noes de divisibilidade, de nmero primo, de decomposio em fatores, bem como de formao do mnimo mltiplo comum e do mximo divisor comum, devem ser explicadas, na primeira srie, sem preocupao de formalismo ou de rigor dedutivo, mas com o cuidado de se evitar a mecanizao dos processos e com o objetivo de despertar a iniciativa do aluno, tanto no aproveitamento dos meios expeditos, como na faculdade de operar, quanto possvel, mentalmente. Nos exerccios sobre fraes, evitar-se- o clculo de expresses exageradamente complicadas, imprprias aos fins de se fazer com que o estudante domine, firmemente, a significao das fraes e do clculo sobre elas (apud VALENTE, 2005, sublinhados nossos).

Ainda que no se possa definitivamente dizer que, quando feita uma proposta curricular, a prtica pedaggica imediatamente incorpora seus princpios (o que se observa, em geral, a grande dificuldade de efetivar reformas, e no foi diferente com a Reforma Francisco Campos, na qual teve papel essencial o educador matemtico Euclides Roxo3), so claras as diferenas quanto ao tratamento proposto para os nmeros na escola secundria em relao ao momento anterior. Nos livros didticos elaborados para atender as proposies da renovao curricular de 1931, notaremos mudanas que, em maior ou menor medida, refletem sintonia com essas proposies4. Vale a pena mencionar, ainda, a permanncia, nesse segundo momento, da concepo de nmero como resultado da medio de uma grandeza, presente nos livros de Aritmtica do momento anterior, bem como a abordagem em separado dos nmeros negativos, integrantes dos captulos dedicados aos3 4

Para estudos aprofundados quanto a esse aspecto, recomendo a leitura de Pitombeira (2004) e Valente (2004). Uma anlise de algumas colees de manuais produzidas no contexto da Reforma Francisco Campos realizada em Valente (2005).

15 nmeros relativos ou qualificados. As caractersticas aqui apontadas para o enfoque dos nmeros podem ser percebidas em diversos livros didticos produzidos antes do movimento da matemtica moderna no Brasil, tais como Maeder (1940; 1955), Roxo, Thir e Melo e Souza (1943), Stvale (1940; 1943), Thir e Melo e Souza (1934). Nosso terceiro momento o do domnio, em nosso pas, das idias do movimento da matemtica moderna, que aqui penetraram desde o final dos anos de 1950 e alcanaram sua maior fora nas dcadas de 1960 e 1970. Esse momento assinala uma mudana radical em relao abordagem dos nmeros e operaes que se propusera at ento, pois nele constatamos o completo abandono da concepo de nmero como resultado da medio de grandezas em favor de uma apresentao que passa a organizar os nmeros com base nos conceitos de conjuntos e estruturas. As palavras de Osvaldo Sangiorgi, presidente do Grupo de Estudos do Ensino da Matemtica (GEEM) de So Paulo, um dos grupos de atuao mais importante no contexto brasileiro do movimento (SOARES, 2001), evidenciam uma das bandeiras mais importantes do mesmo a de trazer para a escola secundria as caractersticas da matemtica cientfica produzida mais contemporaneamente:Preocupando-se, assim, a Matemtica atual, muito menos com a natureza dos elementos que estuda (nmeros, letras, polinmios, pontos,...) e muito mais com o tipo de estrutura que caracteriza as relaes existentes entre esses elementos que aparentemente pareciam no estar subordinados a relao alguma fundamental que a Escola Secundria de hoje transmita aos seus jovens alunos as verdadeiras mensagens de que portadora a chamada Matemtica Moderna (SANGIORGI, 1965, p.4).

Na verdade, nos Assuntos Mnimos para um moderno Programa de Matemtica para o Ginsio, documento elaborado pelo GEEM em 1962, as sugestes que acompanham os itens relativos aos nmeros fazem referncia explcita a essas idias. Por exemplo, o primeiro item, referente aos nmeros inteiros, operaes fundamentais, propriedades e sistemas de numerao, apresentado com a seguinte recomendao:A idia de conjunto deveria ser a dominante; as propriedades das operaes com os nmeros inteiros devem ser ressaltadas como incio das estruturas matemticas. Lembrar a importncia de outros sistemas de numerao, alm do decimal. (G.E.E.M, 1965, p. 91).

Nos demais itens referentes aos outros tipos de nmeros, observamos a presena constante da idia de ressaltar, com o aparecimento de cada novo conjunto numrico, a permanncia das propriedades introduzidas no conjunto anterior e o comparecimento da estrutura. E fcil comprovar, examinando algumas entre as muitas colees de livros didticos publicadas no Brasil adeptas das idias modernistas, que as sugestes foram plenamente acatadas pelos autores. Sabemos, tambm, que a prtica pedaggica da matemtica secundria aderiu a essa forma de apresentao dos nmeros, e que as preocupaes com os aspectos dedutivos e as abstraes internas matemtica cientfica refletiram-se num tratamento predominantemente terico e formal dos nmeros e operaes na educao escolar. As crticas s propostas do movimento da matemtica moderna, em todo o mundo, se desenvolveram cada vez mais intensamente desde o incio da dcada de 1970: vrios pesquisadores atacaram a exagerada nfase abordagem dedutiva, os excessos quanto terminologia e ao simbolismo, o demasiado destaque conferido aos conjuntos, a adequao do estudo das estruturas aos jovens estudantes do secundrio, o fechamento da matemtica em si prpria, que a isolava dos outros conhecimentos. O prprio Osvaldo Sangiorgi, um dos lderes do movimento no Brasil, apontou diversos efeitos negativos por ele produzidos no ensino, como o abandono dos conhecimentos matemticos mais ligados ao quotidiano (SOARES, 2001). Entretanto, foi profunda e duradoura a marca do iderio modernista na educao matemtica brasileira, e particularmente sua influncia quanto ao trabalho com os nmeros e operaes na escola secundria. A partir da dcada de 1980, inicia-se, no Brasil, um movimento de educadores que teve como um de seus pontos de culminncia na fundao da Sociedade Brasileira de Educao Matemtica (SBEM); a esse movimento, associa-se a realizao de pesquisas acadmicas cujo objeto so as questes de natureza mltipla envolvidas no ensino e aprendizagem da matemtica, criando-se e reconhecendo-se institucionalmente o campo de investigao da Educao Matemtica. Desde ento, tm mudado as propostas curriculares para o ensino da matemtica no nvel correspondente aos antigos curso ginasial ou

16 quatro ltimas sries do 1 grau. Entre tais propostas, sobressai-se a dos Parmetros Curriculares Nacionais; cabe-nos localizar a partir de sua publicao o quarto momento de nossa anlise, e dizer algumas palavras quanto ao estudo dos nmeros e operaes pretendido para os dois ltimos ciclos do Ensino Fundamental segundo esse documento. Isso porque acreditamos que ele no somente reflete tendncias atuais e internacionais, como tambm, sendo parte de uma poltica educacional federal, tem norteado vrias outras polticas pblicas para a educao matemtica brasileira, como aquelas relacionadas ao livro didtico. Sem focalizar muitos detalhes do extenso texto que constitui as recomendaes dos PCN Matemtica para o enfoque dos nmeros e operaes, podemos tentar empreender uma sntese dos princpios nele enfatizados. Logo nas primeiras frases sobre o assunto, que compe um dos blocos de contedo da proposta, colocam-se duas idias centrais cuja presena na prtica pedaggica recomendada: 1) os nmeros so um instrumento eficaz para resolver determinados problemas; 2) os nmeros so tambm um objeto de estudo em si mesmos, e, portanto, preciso considerar suas propriedades, suas inter-relaes e o modo como historicamente foram constitudos. Notamos, a partir dessas colocaes iniciais e do resto da leitura dos trechos sobre os nmeros, uma busca de equilbrio entre aspectos prticos e tericos; quanto s operaes, insiste-se muito na compreenso de seus diversos significados e faz-se sobressair a importncia de diversos tipos de clculo aritmtico: exato ou aproximado, mental ou escrito, usando procedimentos convencionais ou alternativos, usando ou no calculadoras. relevante ressaltar que no se configura, no que se refere ao tratamento dos nmeros e operaes, um deslocamento acentuado para o plo dos aspectos concretos ou utilitrios, em contraposio abordagem terica e formal caracterstica do movimento da matemtica moderna. Embora se perceba nos PCN um tom de crtica permanncia de algumas prticas relacionadas ao movimento, constatam-se tambm ressalvas a possveis interpretaes equivocadas das orientaes do documento. Isso pode ser observado, por exemplo, na parte que focaliza o trabalho com os nmeros inteiros, quando se recomenda que as atividades propostas no podem se limitar s que se apiam apenas em situaes concretas, pois nem sempre essas concretizaes explicam os significados das noes envolvidas (BRASIL, 1998, p. 100). Prossegue-se com a orientao de buscar situaes que permitam aos alunos reconhecer alguns aspectos formais dos nmeros inteiros a partir de experincias prticas e do conhecimento que possuem sobre os nmeros naturais (Idem, ibidem). Deve-se, ainda, assinalar que as diretrizes dos PCN para o trabalho com os nmeros e operaes conferem grande destaque aos aspectos histricos, em conformidade com as potencialidades da histria da matemtica sublinhadas no documento e comentadas na parte inicial deste texto. Ao realizar uma anlise sucinta de como as propostas para a matemtica escolar brasileira conceberam e procuraram colocar em prtica diferentes orientaes para o estudo dos nmeros e operaes no nvel de ensino que sucede imediatamente a fase mais incial da escolarizao em quatro momentos distintos, acreditamos ter podido dar uma idia de que a educao matemtica tem uma histria, o que talvez, como dissemos, no seja evidente para a maioria das pessoas, incluindo-se, a, os professores de matemtica. Todavia, ao fixar a ateno exclusivamente sobre o contedo referente aos nmeros e operaes no ensino realizado aps os quatro tradicionais anos da escolarizao ainda hoje denominada primria, no nos detivemos para pensar que as diferenas observadas no so fruto do acaso em cada momento, as recomendaes curriculares e os livros didticos refletem aquelas que foram, em alguma medida, as propostas vencedoras na sociedade brasileira em relao s necessidades reconhecidas por ela para a educao matemtica. Dessa forma, torna-se imprescindvel, tambm, tecer algumas consideraes sobre a educao escolar no Brasil ao longo do tempo, e a isso que agora nos dedicamos. A tardia histria da educao escolar brasileira Examinamos e comentamos acima alguns aspectos das abordagens historicamente produzidas no Brasil para o estudo dos nmeros e operaes na escola secundria, isto , no nvel de ensino posterior a um certo nmero de anos de escolarizao inicial. Lembremos que esses aspectos foram localizados cronologicamente num passado de menos de duzentos anos, e poderamos nos perguntar sobre uma histria anterior, considerando que o Brasil existe desde 1500. As pesquisas em Histria da Educao e Histria da Educao Matemtica no Brasil vm nos mostrando, porm, h bastante tempo, que a proposta de uma educao escolar para a populao

17 brasileira, mesmo com muitas dificuldades de acesso, s comeou a se fazer presente no pas a partir da independncia, na primeira metade do sculo XIX. De fato, embora tenham existido instituies voltadas para o ensino desde o sculo XVI, com os colgios dos jesutas, e, aps sua expulso, outras medidas de instruo tenham sido implantadas, como as Aulas Rgias do perodo pombalino, a presena de escolas no perodo colonial brasileiro e, nelas, do ensino de matemtica, foi algo muito restrito (CURY, 2003; MIORIM, 1998; VALENTE, 1999). preciso lembrar que a primeira lei nacional de educao de 1827, no perodo imperial, e referese ao chamado ensino das primeiras letras, no qual a matemtica estava presente: primeiras letras significava, afinal, ler, escrever e contar. No entanto, se nesse momento que se pode situar a primeira colocao da educao da populao como direito social, com a descentralizao que o governo central promoveu, em 1834, do encargo das primeiras letras para as administraes provinciais, no foi possvel a constituio de um sistema escolar capaz de atender a populao. H que se ter sempre em mente a marca antiga da excluso em nosso pas, colonizado por uma metrpole contra-reformista, que considerava os ndios como brbaros e os escravos negros como propriedade de seus senhores; para essa grande parcela da populao, a educao era, pois, perfeitamente dispensvel. A essas circunstncias, associavam-se as dificuldades naturais de prover instituies escolares em um pas imenso, despovoado, com enormes distncias (CURY, 2003). No seria no tempo do imprio que se mudariam as condies educacionais de um pas que s eliminou formalmente a escravido quase simultaneamente proclamao da repblica, no final do sculo XIX. Movimentos significativos em direo implantao de uma escolarizao primria que alcanasse um nmero maior de pessoas apenas podem ser assinalados no Brasil a partir desse perodo, e uma mobilizao forte da sociedade em favor da ampliao da oferta da educao escolar aconteceu apenas nos anos de 1920 e 1930. Ainda que tivesse havido previamente ensino secundrio no pas (para pouca gente), uma organizao nacional para esse nvel foi implantada somente em 1931, com a Reforma Francisco Campos. Lembremos, contudo, que o crescimento do oferecimento de escolas com ensino ps-primrio foi lenta s na dcada de 1990 que foram atingidos percentuais acima de 90% no acesso da populao ao Ensino Fundamental. Concluso Ao pensarmos no ensino da matemtica na escola, devemos, tendo em vista o que comentamos, pensar sempre na profundidade das cicatrizes da discriminao, do preconceito e da excluso que pesaram durante sculos sobre a maior parte da populao brasileira. Se foram precisos 500 anos para que se universalizasse o acesso educao escolar, lamentavelmente, ainda hoje, essa educao universalizada carece de qualidade. No me parece possvel atuar como professor de matemtica nas salas de aula do Brasil sem a conscincia dessa histria de excluso. preciso que nos lembremos constantemente que, se a sociedade brasileira, em cada poca, selecionou conhecimentos a serem difundidos na escola, e, entre eles, atribuiu valor aos conhecimentos matemticos, o que fazemos hoje como educadores matemticos est indelevelmente vinculado ao nosso passado. Refletir sobre esse passado, no somente no que diz respeito aos contedos e abordagens propostos para a matemtica escolar, mas tambm pensar, sempre, que a escola uma instituio da sociedade e que seus problemas, em cada poca, so problemas da sociedade parece-me, assim, condio essencial para o exerccio profissional da educao matemtica. Se, como vimos, no simples perceber que existe uma histria para a educao matemtica, tambm difcil apontarmos utilidades dessa histria no sentido de dar respostas s preocupaes urgentes dos professores responsveis por educar matematicamente crianas, adolescentes, jovens e adultos brasileiros. A histria da matemtica tem sido mais prestigiada, pelo menos nos discursos, por parecer oferecer aportes mais imediatos prtica pedaggica.Todavia, penso que o dilogo entre as prticas educativas em matemtica e a histria da educao matemtica tambm se faz urgente, pela contribuio que pode dar para que compreendamos melhor os problemas que o presente nos coloca. Referncias Bibliogrficas

18BRASIL. Secretaria de Educao Bsica. Cincias da natureza, matemtica e suas tecnologias. Braslia: Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica, 2006 (Orientaes curriculares para o ensino mdio; volume 2). Disponvel em http://www.mec.gov.br. Acesso em: 18 maio 2007. BRASIL. Secretaria de Educao Fundamental. Parmetros curriculares nacionais: Matemtica. Secretaria de Educao Fundamental. Braslia : MEC/SEF, 1997. BRASIL. Secretaria de Educao Fundamental. Parmetros curriculares nacionais: Matemtica. Secretaria de Educao Fundamental. Braslia : MEC/SEF, 1998. COQUEIRO, J. A. Tratado de Arithmetica. Para uso dos collegios, lyceos e estabelecimentos de instruco secundaria. Rio de Janeiro: Casa MontAlverne, 1897. CURY, Carlos R. J. A educao como desafio na ordem jurdica. In: LOPES, Eliane M.; FARIA FILHO, Luciano M.; VEIGA, Cynthia G. 500 anos de educao no Brasil. 3 ed. Belo Horizonte: Autentica, 2003. G.E.E.M-GRUPO DE ESTUDOS DO ENSINO DA MATEMTICA So Paulo. Matemtica Moderna para o Ensino Secundrio. 2 ed. So Paulo: L.P.M. Editora, 1965. IMENES, Luiz Mrcio. Um estudo sobre o fracasso do ensino e da aprendizagem da Matemtica. Bolema, Rio Claro, n. 6, p.21-27, 1990. MAEDER, Algacyr M. Lies de Matemtica. 1 ano (1 srie). 9 ed. So Paulo: Melhoramentos, 1940. MAEDER, Algacyr M. Curso de Matemtica. 1 srie. Curso Ginasial. 16 ed. So Paulo: Melhoramentos, 1955. MIORIM, M. A. Introduo Histria da Educao Matemtica. So Paulo: Atual, 1998. PITOMBEIRA, Joo Bosco. Euclides Roxo e as polmicas sobre a modernizao do ensino da matemtica. In: VALENTE, Wagner R. (org.). Euclides Roxo e a modernizao do ensino de Matemtica no Brasil. Braslia: Editora UnB, 2004, p. 85149. REIS, Aaro.; REIS, Lucano. Curso Elementar de Mathematica Theorico, pratico e applicado. Aritmtica. Clculo de valores. Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1892. ROXO, Euclides. Lies de Arithmetica. 7 edio. Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves, 1928. ROXO, Euclides.; THIR, Cecil.; MELO e SOUZA, Julio C. Matemtica Ginasial. 1 srie. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1943. SANGIORGI, Osvaldo. Introduo da Matemtica Moderna no Ensino Secundrio. In: G.E.E.M-GRUPO DE ESTUDOS DO ENSINO DA MATEMTICA So Paulo. Matemtica Moderna para o Ensino Secundrio. 2 ed. So Paulo: L.P.M. Editora, 1965. SOARES, Flvia. Movimento da Matemtica Moderna no Brasil: avano ou retrocesso? Rio de Janeiro: Pontifcia Universidade Catlica, 2001 (Dissertao, Mestrado em Matemtica). STVALE, Jacomo. Primeiro Ano de Matemtica. 15 ed. So Paulo: Companhia Editora Nacional, 1940. STVALE, Jacomo. Elementos de Matemtica. Primeiro Volume para a Primeira Srie do Curso Ginasial. 2 ed. So Paulo: Companhia Editora Nacional, 1943. THIR, Cecil.; MELO e SOUZA, Julio C. Matemtica. 1 ano. 7 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1934. VALENTE, Wagner R. (org.). A Matemtica do Ginsio. Livros Didticos e as Reformas Campos e Capanema. CD-ROM. So Paulo: GHEMAT/FAPESP, 2005. VALENTE, Wagner R. (org.). O nascimento da matemtica do ginsio. So Paulo: Annablume; Fapesp, 2004. VALENTE, W. R. Uma histria da matemtica escolar no Brasil (1730-1930). So Paulo: Annablume/FAPESP, 1999. VIANNA, J. J. L. Elementos de Arithmetica. 24 edio. Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves, 1929.

PEDAGOGIA DE PROJETOS NA EDUCAO MATEMTICA: COMO VIABILIZAR?Olenva Sanches Sousa UFBA oleneva.sanches@gmail.com Temos dados suficientes para constatar inmeros problemas relativos ao processo ensinoaprendizagem da Matemtica. A abrangncia do conhecimento matemtico no contexto scio-cultural, muitas vezes, no ambiente escolar, encontra-se tmida e paradoxalmente restrita. A sociedade moderna exige, diz DAmbrosio (sd), participao ativa de todos os interessados na tomada de decises. Na prtica docente isso se manifesta na elaborao do aprendizado. No por acaso, portanto, as leis brasileiras vigentes para a Educao promovem escola e ao educador autonomia para as aes e novas consideraes sobre a realidade. Ao educador matemtico, cabe o usufruto desta autonomia e desta valiosa referncia vida real como condio para tornar o conhecimento matemtico democrtico, tico e efetivamente til ao exerccio da cidadania. O ciclo de aquisio de conhecimentos deflagrado a partir da realidade, que plena de fatos que informam o indivduo, conclui DAmbrosio (sd), apresentando o ciclo ...realidade indivduo ao realidade... . A Pedagogia de Projetos uma forma otimista de imprimir mudanas significativas ao processo pedaggico da Matemtica.

19 A Pedagogia de Projetos um modo de organizao da prtica pedaggica que envolve os estudantes como co-autores de suas aprendizagens. De modo mais amplo, tm sido os projetos de trabalho, diz Veiga (2001), uma forma de gerar a autonomia da escola, atravs do projeto polticopedaggico. Liberdade um princpio constitucional, pondera, associado diretamente autonomia e ambos so inerentes prtica pedaggica. (...) liberdade para aprender, ensinar, pesquisar e divulgar a arte e o saber direcionados para uma intencionalidade definida coletivamente (Veiga, 2001, pp.19-20) Diante de sua perspectiva participativa, colaborativa, prospectiva e contextualizada, o projeto pode ser considerado na Educao Matemtica como uma perspectiva de viabilizar mudanas positivas e qualitativas no trato com o conhecimento matemtico em via do exerccio da cidadania.(...) Centrado em si mesmo, limitando-se explorao de contedos meramente acadmicos, de forma isolada, sem qualquer conexo entre seus prprios campos ou com outras reas de conhecimento (...) (BRASIL, 1997, p. 26), afirmam os Parmetros Curriculares Nacionais PCN que o ensino [da Matemtica] pouco tem contribudo para a formao integral do aluno, com vistas conquista da cidadania., oferecendo como alternativa os trabalhos com projetos (...) Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os contedos de forma a lhes conferir significado. (...)

Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 9) consideram que o objeto de estudo da Educao Matemtica envolve as mltiplas relaes e determinaes entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemtico em um contexto sociocultural especfico. Todos os pontos apresentados buscam ilustrar que a estreita relao entre realidade e Matemtica escolar factvel, vivel, a partir da Pedagogia de Projetos, sendo, portanto, objeto de estudo Educao Matemtica. A riqueza da realidade o ponto-chave da Pedagogia de Projetos Educao Matemtica. Para Jolibert (1994), esta alternativa promove escola um alicerce no real e uma abertura s mltiplas relaes com o exterior. Skovsmose (2000) alerta que as referncias vida real oferecem aos educandos meios para o estabelecimento de reflexes minuciosas acerca das operaes matemticas dentro da sociedade, tornando-os crticos, portanto, reflexivos, melhores preparados para a cidadania. Para tal, o prprio Skovsmose (2001) prope o trabalho com projetos como condio ao exerccio da democracia em sala de aula. Hernandez (1998) destaca tambm o aspecto colaborativo e a possibilidade de dilogo com outros projetos, afirmando que os projetos implicam numa viso do conhecimento e do currculo que pode contribuir favoravelmente para as mudanas na escola. Alm disso, os projetos, ao permitirem a co-autoria da aprendizagem, com esta, promovem a autonomia discente. Urge uma mudana de postura do professor de Matemtica. Preocupa-nos, ento, a vivncia da reflexo, essencial formao de um educador pesquisador de sua prpria prtica, tal como prope Shn (1992), num processo contnuo de reflexo na ao e para a ao pedaggica. Considerando a intencionalidade no trabalho docente, o professor de Matemtica, preferencialmente da Educao Bsica, o pblico-alvo direto desta proposta, embora o trabalho possa interessar aos formadores desses professores. Esses referenciais privilegiados e muitos outros fundamentam prioritariamente duas intenes, neste trabalho, por um lado a de promover reflexes e discusses em torno da importncia da Pedagogia de Projetos para a Educao Matemtica, e por outro, a de mostrar a possibilidade da elaborao coletiva e consensual de projetos que envolvem o conhecimento matemtico, passveis de implementao. Contedos: Conceituais: o projeto pedaggico; a importncia do projeto pedaggico para o significado do conhecimento matemtico inserido na realidade e sensvel s questes scio-culturais. Procedimentais: realizao de atividades prticas e ldicas e discusses em torno da relevncia da Pedagogia de Projetos Educao Matemtica; elaborao de mini-projeto pedaggico para a rea de Matemtica; Atitudinais: utilizao da Pedagogia de Projetos na prtica da Educao Matemtica. Proposta metodolgica: A metodologia apresenta um carter de oficina, com quatro horas de durao, distribudas em dois momentos distintos: Pedagogia de Projetos e Educao Matemtica; e elaborao de projeto em Educao Matemtica e avaliao. A mediao buscar respeitar as decises coletivas de escolha do problema

20 central, os conceitos, procedimentos e atitudes pertinentes, bem como as novas tendncias em Educao Matemtica. CronogramaO qu? Momento um A Pedagogia de Projetos Apresentao individual Discusso sobre Pedagogia de Projetos Como? Tempo

Identificao e projeto de vida. 15 min Em grupo, privilegiando os aspectos conceituais, 20 min procedimentais e atitudinais. O que um projeto? caa-palavras-chave 25 min (construo conceitual) pequenos grupos (conceituao coletiva) grupo. A Pedagogia de Projeto na Educao Matemtica Por que desenvolver projetos na escola? Exposio dialogada 5min Quais os tipos de projetos pedaggicos? Painel integrado 15 min Que necessidades demanda um projeto? Exposio dialogada 15 min Como o processo de desenvolvimento de um projeto? Como caminha um projeto? Como fazer um diagnstico? Reflexes para elaborao de um projeto de Educao Matemtica Qual o problema que pretendemos trabalhar? Seleo coletiva e consensual dum problema central para 20 min oficina de elaborao de projeto Qual o roteiro para elaborao de um Domin coletivo. 05 min projeto? Vamos elaborar um projeto? Proposta aberta para reflexo no presencial. *** Momento dois Elaborao de mini-projeto pedaggico Coletiva e consensualmente. 110 min voltado para a Educao Matemtica. Avaliao Coletiva. 10 min ***** ***** 240 min

Avaliao: Levantamento coletivo das opinies do grupo, a partir das seguintes reflexes: que bom! Que pena! Que tal!? RefernciasBRASIL. Secretaria de Educao Fundamental. Parmetros Curriculares Nacionais: matemtica. Braslia:MEC/SEF,1997 DAMBROSIO, Ubiratan. Contedo nos cursos de formao de professores de matemtica. Disponvel em . Acesso em 30.mar.2007. _____________. Formao de professores: o comentarista crtico e o animador cultural. Disponvel em Acesso em 30.mar.2007. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigao em educao Matemtica: percursos tericos e metodolgicos. Campinas: Autores Associados, 2006. HERNANDEZ, Fernando. Transgresso e mudana na educao: os projetos de trabalho. Porto Alegre, ArtMed, 1998. JOLIBERT, Josette. Formando crianas leitoras. P. Alegre: Artes Mdicas. 1994. SCHON, Donald. Formar professores como profissionais reflexivos. In: NVOA, A. (org.) Os Professores e a sua formao. Lisboa: Dom Quixote, 1992, p. 77-91. SKOVSMOSE, Ole. Cenrios para investigao. Revista Bolema, n 14, 2000. ______________Educao matemtica crtica: a questo da democracia. Campinas: Papirus, 2001. VEIGA, Ilma Passos Alencastro (Org.) Projeto poltico-pedaggico da escola: uma construo possvel. 23. ed. Campinas: Papirus, 2001.

EDUCAO MATEMTICA X DIDTICA DA MATEMTICAEducao Matemtica rea de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo a compreenso, interpretao e descrio de fenmenos referentes ao ensino e aprendizagem da matemtica.

21 Didtica da Matemtica A didtica da matemtica uma das tendncias da grande rea da educao matemtica, cujo objeto de estudo a elaborao de conceitos e teorias que sejam compatveis com a especificidade educacional do saber escolar matemtico, procurando manter fortes vnculos com a formao de conceitos matemticos, tanto em nvel experimental da prtica pedaggica, como no territrio terico da pesquisa acadmica. Trajetrias do saber e a transposio didtica Objetivo: Descrever um estudo das transformaes por que passam os contedos da educao matemtica (noo de transposio didtica). 1o) Transposio dos saberes Transposio didtica um caso especial de transposio dos saberes, no sentido da evoluo das idias. Transposio (na aprendizagem), pode ser analisada para caracterizar o fluxo cognitivo relativo evoluo do conhecimento. A convenincia em destacar essa dimenso da transposio est associada necessria aplicao de conhecimentos anteriores para a aprendizagem de um novo conceito. 2o) Transposio didtica Um contedo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre ento um conjunto de transformaes adaptativas que vo torn-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, chamado de transposio didtica. (Chevallard, 1991) Destaca-se, tambm, o conceito de noosfera: conjunto das fontes de influncias na seleo dos contedos. 3o) Criaes didticas So recursos para facilitar a aprendizagem. o conjunto das criaes didticas que evidencia a diferena entre o saber cientfico e o saber ensinado. 4o) Exemplos de transposio didtica O conceito de distncia. Transposio didtica stricto sensu: a evoluo das idias analisada em relao a um determinado conceito (ex.: conceito de distncia). Transposio didtica lato sensu: a anlise desenvolvida no contexto mais amplo, no se atendo a uma noo particular. (ex.: Movimento da Matemtica Moderna 5o) Saber cientfico e saber escolar Saber cientfico: est associado vida acadmica. 1. Referncias da Didtica da Matemtica O estudo dos conceitos didticos da matemtica fica mais evidente quando se considera a questo de sua especificidade educacional e cientfica. A natureza e o estatuto cientfico de cada disciplina, moldada pela sua trajetria histrica, determinam uma forma particular de valorizar a dimenso educacional de cada saber. Por isso, no adianta insistir em propostas excessivamente abstratas, como se fosse possvel falar de situaes generalistas, aplicveis a qualquer contedo. Na didtica da matemtica, Brousseau (1986) prope uma anlise do saber matemtico, do trabalho do professor de matemtica e da atividade intelectual do aluno. Saber Matemtico O objetivo deste tpico destacar alguns aspectos do saber matemtico. Iniciamos com a observao de que no existe uma nica forma de conceber as idias cientficas ou matemticas. E isso se deve ao fato de existirem diferentes concepes filosficas, e por esta causa se torna possvel falar de diferentes prticas educativas.

22 A natureza da matemtica se traduz pelo trabalho desenvolvido pelo matemtico: criao de conceitos, descoberta de teoremas e demonstraes, sistematizados por uma redao vlida pela comunidade especfica(no caso a matemtica). Esse objeto, alm de conduzir o trabalho do matemtico, condiciona uma parte considervel da ao pedaggica(professor) e das prprias tarefas realizadas pelos alunos. No que se refere a natureza filosfica, podemos destacar trs tendncias que fundamentam suas concepes histricas, que so: o platonismo, o formalismo e o construtivismo. No platonismo, os objetos matemticos so idias puras e acabadas, que existem em um mundo no material e distante daquele que nos dado pela realidade imediata. Esses estariam em um mundo impregnado pela razo, onde as percepes dos sentidos totalmente desconsiderada. A existncia desses objetos radicalmente objetiva e independente do conhecimento que temos sobre eles. Ento, segundo esta concepo, poderamos falar apenas em descoberta dos entes matemticos, e no em inveno, pois eles j existiam muito antes de qualquer esforo intelectual do matemtico. No formalismo a matemtica consistiria em um tipo de jogo formal de smbolos, envolvendo axiomas, definies e teoremas. Para trabalhar com esses elementos, existem regram que permitem deduzir seqncias lgicas, representando a atividade matemtica. O significado desses elementos passa a existir a partir do momento em que as frmulas descobertas podem ser aplicadas a problemas compreensveis no contexto em questo. Os construtivistas consideram matemtica genuna somente o que pode ser obtida por uma construo finita. De acordo com essa concepo, as teorias que envolvem a construo dos nmeros reais ou das sries matemticas no so aceitas por essa corrente filosfica da matemtica. Devemos destacar que as concepes anteriores a esta possuem uma hegemonia em relao a mesma. Em sntese, em relao ao problema da existncia e da realidade das idias matemticas, o formalismo e o platonismo se constituem em duas posies extremas, contraditrias e predominantes na prtica cientfica. O mais prudente o fato de que no aconselhvel a adoo exclusiva e radical de uma nica dessas concepes na prtica educativa. O mais sensato seria conciliar as duas vertentes filosficas predominantes, ou seja, um "platonismo formalista". Apesar do saber matemtico se constituir de noes objetivas, abstratas e gerais, no a como negar a intermediao da subjetividade e da particularidade na atividade humana da sua elaborao. Contudo contraditrio iniciar a aprendizagem de uma proposio exatamente pelo mais elevado grau de generalidade, no uma alternativa correta. uma estratgia equivocada, pois nem mesmo na atividade de pesquisa, a construo da generalidade se inicia por ela mesma. Trabalho do professor de Matemtica preciso relacionar o trabalho do professor de matemtica, com o trabalho do matemtico, no excluindo a possibilidade de conciliar essas duas atividades. O trabalho do professor envolve o desafio que consiste em realizar uma atividade que, em um certo sentido, inverso daquela do pesquisador. Pois, enquanto o matemtico tenta eliminar as condies contextuais da sua pesquisa, buscando nveis mais amplos de generalidade, o professor de matemtica, ao contrrio, deve recontextualizar o contedo, tentando relacion-lo a uma situao que seja mais compreensvel para o aluno. Epistemologia do professor A epistemologia o estudo da evoluo das idias essncias de uma determinada cincia, considerando os grandes problemas concernentes metodologia, aos valores e ao objeto desse saber, sem vincular necessariamente ao contexto histrico desse desenvolvimento. Portanto, h uma diferena entre histria da cincia e epistemologia dessa cincia. Enquanto a primeira est associada a nomes, datas, culturas e contextos, a segunda se refere exclusivamente formao dos conceitos em si mesmo. A partir dessa viso, entendemos epistemologia do professor como sendo as concepes referentes disciplina com que trabalha esse professor, oriundas do plano estrito de sua compreenso e que conduzem a uma parte essencial de sua postura pedaggica, em relao ao entendimento dos conceitos ensinados aos alunos. Quando se analisa a epistemologia do professor, surgem crenas enrijecidas pelo tempo, que podem gerar uma viso puramente pessoal sobre a cincia ensinada. Mesmo que haja a inteno de uma permanente aproximao entre a compreenso do professor e a essncia objetiva do conceito, preciso estar atento s possveis divergncias entre esses dois nveis.

23 Esta questo salienta a essncia da atividade cognitiva, na qual se espera existir uma aproximao entre o entendimento pessoal e os conceitos universais. Em outros termos, a objetividade se faz nesse trabalho de aproximao entre o individual da cognio e a essncia dos conceitos que se encontram registrados no transcorrer da histria da cincia. Uma pesquisa realizada por Becker analisa essa epistemologia do professor no cotidiano escolar. A concluso 'que o pensamento escolar predominante na prtica docente de natureza essencialmente emprica e que normalmente muito difcil o professor se afastar dessa posio. Esse pesquisador constatou o predomnio de uma viso estratificada e isolada da educao o que leva a uma prtica pedaggica fundamentada na repetio e na reproduo. E esses por sua vez so inexpressivos, pois favorecem a cristalizao de velhas concepes. Aprendizagem da matemtica Aprender a valorizar o raciocnio lgico e argumentativo torna-se um dos objetivos da educao matemtica, ou seja, despertar no aluno o hbito de fazer uso de seu raciocnio e de cultivar o gosto pela resoluo de problemas. necessrio buscar problemas que permitam mais de uma soluo, que valorizem a criatividade e admitam estratgias pessoais de pesquisa. Seguindo essa idia, o trabalho com a resoluo de problemas amplia os valores educativos do saber matemtico e o desenvolvimento dessa competncia contribui na capacitao do aluno para melhor enfrentar os desafios do mundo contemporneo. Conhecimento e saber Enquanto o saber est relacionado ao plano histrico da produo de uma rea disciplinar, o conhecimento considerado mais prximo do fenmeno da cognio, estando submetido aos vnculos da dimenso pessoal do sujeito empenhado na compreenso do saber. Alm disso, o saber cientfico tende a ser despersonalizado e mais associado ao contexto histrico e cultural, do que aos desafios pessoais da aprendizagem. Quando falamos no saber matemtico, estamos nos referindo a uma cincia que tem suas teorias estruturadas em um contexto prprio, que no est na dependncia de uma validao pessoal e isolada. Por outro lado, o conhecimento refere-se mais dimenso individual e subjetiva, revelando algum aspecto com o qual o sujeito tenha uma experincia direta. Nessa concepo, est mais presente o carter experimental e pragmtico do que o aspecto terico e racional. As situaes didticas que envolvem procedimentos prticos esto mais prximas do conhecimento do que do saber. O saber matemtico est associado ao problema da validao dos contedos aprendidos. A utilidade do saber permite ao sujeito um referencial capaz de gerar um olhar mais amplo e indagador. Quando o sujeito passa a ter um domnio sobre um determinado saber, possvel desencadear uma ao mais transformadora, geradora de novos saberes. 2. Obstculos Epistemolgicos Bachelard, 1938, A formao do conhecimento cientfico, dizia que a evoluo de conhecimentos passa pela rejeio de conhecimentos anteriores e aparecimento de obstculos. Estes so por existirem conhecimentos, e no por no existirem. A matemtica, particularmente, apresenta uma regularidade, nos parece no ter erros ou rupturas, aparenta linearidade. Isso, no registro histrico. Essa regularidade s existe na fase final da formulao do texto matemtico. Na fase inicial no h linearidade e sim conflitos intensos na criao do saber. Esses obstculos que aparecem na fase da criao no esto expostos na redao do saber. Aparecem na fase da aprendizagem e sntese do conhecimento e no na fase de seu registro histrico. Todos os avanos, retrocessos, dvidas e erros cometidos na hora de fazer a conjectura, no aparecem no resultado final apresentado pelo texto cientfico. Lakatos, 1978, conclui que pode ser estudada a noo de obstculos epistemolgicos na matemtica, j que o desenvolvimento das provas se faz por uma seqncia de rupturas parciais nos argumentos estabelecidos at ento e, por outro lado, procura manter uma certa continuidade no espao dos problemas considerados. Ou seja, a existncia dos obstculos epistemolgicos em matemtica se revela na fase da produo de uma demonstrao mais do que no seu registro formal atravs de um texto. Bachaleff, 1988, analisa os obstculos, destacando que a matemtica no formal, a que vem antes da tentativa de formalizao , no se desenvolve em um processo de acrscimos, onde cada teorema

24 parece ser somado ou conectado ao anterior. Uma vez que a teoria se encontra formalizada, parece linear em sua sucesso. Mas, na verdade, no perodo em que ocorrem as primeiras snteses, o pesquisador vivencia um processo de melhoria das conjecturas e das proposies. Na prtica, as provas normalmente evoluem em funo das refutaes levantadas pelo sujeito cognitivo. Essas refutaes podem vir a ser obstculos para a formao do conceito. A apresentao final do contedo matemtico filtra as dificuldades existentes na elaborao. Durante a aprendizagem, ao iniciar o contato com um conceito inovador, pode ocorrer uma revoluo interna entre o equilbrio aparente do velho conhecimento e o saber que se encontra em fase de elaborao. Isso faz com que a noo seja de interesse para a didtica, j que no ensino escolar preciso, s vezes, que haja fortes rupturas com o saber cotidiano, caracterizando a ocorrncia de uma revoluo interna. Obstculos Didticos So conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evoluo da aprendizagem do saber escolar. Existem diferentes fontes de obstculos na aprendizagem escolar. Igliori, 1999, observa que a noo de obstculo epistemolgico pode ser estudada tanto para analisar a evoluo histrica de um conhecimento, como em situaes de aprendizagem ou na evoluo espontnea de sntese de um conceito. Ou seja, a noo de obstculos no deve ser interpretada de forma restrita ao territrio de epistemologia, tampouco como uma idia isolada no plano pedaggico. Os obstculos epistesmolgicos tm, por um lado razes histricas e culturais, e por outro esto relacionados dimenso social da aprendizagem. Muitos deles so representaes elaboradas pelo imaginrio do sujeito cognitivo. a que surgem dificuldades decorrentes de conhecimentos anteriores, bloqueando a evoluo da aprendizagem. Bachelard chamava de psicanlise do conhecimento objetivo, o levantamento dos fatores que impedem a evoluo do conhecimento. Essa idia ganha consistncia quando se trata da anlise de um conceito especfico. O avano das idias cientficas pode ser ameaado ou at mesmo obstrudo por concepes que predominam no imaginrio cognitivo. O conhecimento antigo atua como uma fora contrria realizao de uma nova aprendizagem. A evoluo do conhecimento encontra-se, ento, estagnada at o momento que ocorrer uma ruptura epistemolgica com os saberes que predominaram por um certo perodo. Num caso extremo, a obstruo do conhecimento antigo pode at provocar uma regresso do nvel de compreenso. Uma das principais crticas quanto utilizao da idia de obstculo epistemolgico para interpretar o fenmeno da aprendizagem escolar a forma precipitada com que ela transferida do contexto histrico da filosofia das cincias para o contexto pedaggico. Ligando o assunto a nossa rea de ensino de matemtica, preciso entender como ocorre a reorganizao intelectual de modo que o novo conhecimento entre em harmonia com os anteriores, sendo esse o momento em que os obstculos se manifestam. Exemplos de obstculos didticos: Na aritmtica. Por exemplo, uma criana aprende que o produto de dois nmero inteiros positivos sempre maior do que cada parcela. Isso pode ser um obstculo aprendizagem das propriedades do produto de dois nmeros racionais, para os quais a proposio nem sempre verdadeira. Ainda na rea de nmeros racionais, podemos citar a diviso de um nmero inteiro positivo por um nmero menor do que um, cujo resultado maior do que o dividendo. Nesse caso, o conhecimento anterior, no cotidiano no refletido, traz a idia intuitiva de que o resultado da diviso sempre menor do que o dividendo. Diferentes tipos de obstculos Bachelard mostra que os primeiros obstculos so os provocados pelas primeiras experincias, quando estas so realizadas sem maiores reflexes e crticas. Essa atitude primria contrria ao esprto cientfico e resulta na fragilidade do conhecimento. Para a validao da cincia, esse abuso da intuio no se constitui em um elemento plausvel elaborao conceitual. No plano pedaggico, associa-se

25 esses obstculos forma simplificada dos contedos no livro didtico, onde o formalismo no corresponde aos desafios do fenmeno cognitivo. preciso lembrar a possibilidade da generalidade vir a ser um obstculo epistemolgico formao do conhecimento cientfico. Esse problema surge quando ocorre uma tentativa apressada de generalizar uma idia que est ainda presa ao entendimento pr-reflexivo. Esse problema ocorre, quando uma concepo conduzida para o territrio da cincia sem os devidos cudados metodolgicos da pesquisa. preciso prestar ateno, pois, por um lado, o objetivo da cincia apresentar sempre um maior nvel de generalidade em suas teorias e por outro, essa prpria generalizao se constitui em obstculo cincia. preciso prestar ateno na generalidade e identificar quando ela passa a ser uma obstruo ao conhecimento objetivo. A falsa doutrina do geral se refere a uma tendncia de, por uma influncia da lgica cotidiana, extrapolar os limites da generalidade. Trata-se de uma precipitao do pensamento indutivo, em que a observao de uma caso particular j suficiente para induzir afirmaes gerais. A observao de casos particulares na matemtica, no entanto, no serve para fundamentar uma demonstrao, no mximo, pode sugerir uma conjectura. No plano escolar, o risco de ocorrer uma generalizao precipitada reside na tentativa de transformar o saber cotidiano em saber cientfico. De uma forma geral, as experincias vagas caracterizam o esprito no cientfico, pois esto impregnadas de concepes voltadas para o saber cotidiano ao invs da cincia. Assim, a generalidade interpretada como um tipo de conhecimento que, tentando ter uma viso geral do todo, acaba se perdendo em sua superficialidade. Mas essa no a generalidade existente no saber matemtico. A generalidade de um teorema s faz sentido como sntese de regularidade existente em uma infinidade de casos particulares, ou seja, no se trata de conhecimento vago. Mas, se o ensino de uma proposio matemtica foi iniciado pelo aspecto de sua generalidade, a chance para ocorrer um conhecimento vago grande. Quer dizer, a ordem da construo epistemolgica da generalidade no se inicia pelo fato geral em si. Ela deve ser conjecturada a partir de casos particulares e por meio de um lento processo que envolve indagaes, reflexes, avanos e retrocessos, culminando em uma demonstrao como sntese de elaborao do saber. 3. A formao de conceitos e os Campos Conceituais Teoria dos Campos Conceituais (Vernaugd, 1996) - aprendizagem conceitual acessvel compreenso do aluno. Trata-se de estudar a questo do significado no contexto escolar sem perder de vistas suas razes epistemolgicas. A Teoria dos Campos Conceituais estuda condies de compreeso do significado do saber escolar pelo aluno. Busca possibilidades de filiaes e rupturas entre as idias iniciais da matemtica, levando em considerao as aes realizadas e compreendidae pelo aluno. Ela no foi desenvolvida apenas para a matemtica, mas para estudar a estrutura progressiva da elaborao de conceitos. Porm, suas pesquisas iniciais foram feita com respeito compreenso das operaes algbricas. Espaos de situaes-problema fazem com que o aluno conecte os vrios conceitos. Nesse espao, so estruturadas as condies ide