Aula 1

Por que estudar Matemtica? Para que ela serve? Certamente voc j se fez essa pergunta. A Mate-mtica est muito mais presente em sua vida, no seu dia-a-dia, do que voc pensa. Em todas as ati-vidades humanas, das mais simples s mais sofisticadas, usa-se Matemtica. Veja algumas situaes.

A Matemtica e o dinheiroUma das primeiras e mais importantes aplicaes da Matemtica para qualquer cidado o tratocom o dinheiro. muito comum precisarmos somar quantias ou verificar se o dinheiro que temosno momento d para pagar as despesas feitas.

Mas no s isso. Devemos tambm entender as famosas porcentagens. Muitos impostos etaxas nos so cobrados em forma de porcentagens. Por exemplo, a contribuio que todo traba-lhador paga Previdncia uma porcentagem do seu salrio.

Outra interessante aplicao est na deciso que devemos tomar entre comprar vista ou aprazo. Imagine que uma loja esteja vendendo certo artigo por R$ 35,00 vista ou em duas parce-las de R$ 20,00. Que clculos deveremos fazer para escolher a melhor opo para essa compra?

Durante o curso, voc vai aprender a resolver esse e outros problemas semelhantes e, com isso,estar certamente economizando dinheiro ao tomar a deciso mais acertada.

A Matemtica nas medidasAs medidas esto em toda parte. O comprimento, o peso, o tempo de durao de um aconteci-mento so exemplos de medidas comuns na nossa vida. preciso aprender a trabalhar com elaspara podermos fazer previses e tomar decises.

Freqentemente ouvimos respostas assim:" mais ou menos do mesmo tamanho que ...""Parece que mais caro ..." ."Acho que, fazendo desta forma, levar mais tempo ..."

Na maioria das vezes, esse tipo de resposta no suficiente. necessrio ser mais preciso, dizerqual foi a concluso e como voc chegou a ela.

Para dar um exemplo, imagine que determinado detergente seja vendido em duas embala-gens: a de 400 gramas custa R$ 2,50 e a de 600 gramas custa R$ 3A5. Qual das duas embalagensvoc deve preferir?

Essa uma deciso importante para nossa economia, e uma situao assim aparecer cada vezque entrarmos num supermercado.

MATEMTICA 13

Outro exemplo: a planta de uma casa est cheia de medidas. Durante o nosso curso, vamos vercomo compreend-Ias. Os materiais usados em uma construo: tijolos, canos, fios, cimento,telhas, azulejos, etc. possuem tambm suas prprias medidas. Mesmo as lmpadas tm suas medi-das! Voc ver como, at na construo de uma casa, preciso usar a Matemtica.

AMatemtica e os grficosGrficos so formas de apresentar ao leitor informaes por meio de um desenho. Eles esto pre-sentes em jornais, revistas, manuais de aparelhos eltricos e at em alguns rtulos de leo decozinha.

Existem diversos tipos de grfico. Vamos mostrar os dois tipos mais comuns, em dois exem-plos, para que voc j v se familiarizando com eles.

Em certo jogo de futebol, perguntou-se a idade de cada pessoa que entrou no estdio. Essesdados foram reunidos e divididos em quatro faixas:

A - menores de 2S anosB - de 2S a 3S anosC - de 36 a 46 anosD - maiores de 46 anos

O resultado dessa pesquisa pode ser representado no grfico abaixo:

D 73%

C 20%

Nesse tipo de grfico, quanto maior a fatia, maior a quantidade de pessoas que ela est repre-sentando. Vemos que na fatia A temos o maior nmero de espectadores, e na fatia B, um poucomenos. E percebemos que na fatia D temos um nmero reduzido de pessoas.

O outro exemplo que daremos vem da cozinha. Em algumas marcas de leo j aparecem gr-ficos como o que vemos abaixo:

41%

leo de canololeo de girassolleo de milholeo de olivoleo de sojamargarina

banhagordura de manteiga

GORDURA SATURA DA5%

11%73%74%15%18%

66%

Em todos os leos e gorduras que usamos na cozinha existe uma parte de "gorduras saturadas".Essas gorduras so mais pesadas e menos saudveis para o nosso organismo. Portanto, impor-tante no abusar delas. O grfico da figura anterior mostra a quantidade de gordura saturadaexistente em manteigas e leos. fcil concluir que, nesse caso, quanto menor a quantidade uti-lizada, melhor para a sade.

14 AULA 1

Por que, ento, aprender Matemtica?Em seu dia-a-dia, voc usa muito mais Matemtica do que imagina. Quer seja pedreiro, carpin-teiro, marceneiro, torneiro mecnico, eletricista, empregada domstica, mdico, engenheiro, far-macutico, enfermeira, dona de casa, voc est constantemente lidando com nmeros, medindo,contando, pesando; fazendo, lendo e interpretando grficos; efetuando clculos mentais aproxi-mados, entre outras coisas - mesmo sem perceber que est usando Matemtica.

Se voc usa Matemtica de maneira intuitiva e informal, por que ento necessrio estud-Ia na escola ou em livros? H vrias respostas para isso.

Em primeiro lugar, quando voc organiza seus conhecimentos de Matemtica, pode utiliz-los com muito mais eficincia e empreg-los em situaes novas. Voc no se limita a repetirprocedimentos que guardou na memria, sempre nas mesmas situaes. Pode enfrentar proble-mas imprevistos, que exijam mtodos de soluo que voc no conhecia.

Em segundo lugar, se voc conhece bem os mtodos e a linguagem da Matemtica voc notem problemas para entender livros e manuais teis para crescer em sua profisso. Alm disso,voc pode, sem risco de confuso, compreender e passar adiante instrues que lhe so transmi-tidas por chefes e colegas de trabalho. Isso se torna cada vez mais necessrio, pois todas as pro-fisses utilizam de forma crescente a Matemtica, assim como alguns equipamentos sofistica-dos, para cuja operao preciso utilizar Matemtica.

o que este Telecurso vai ensinar da Matemtica?A primeira coisa a pensar que, para utilizar a Matemtica de maneira eficiente, preciso com-preender bem os nmeros, sua representao e as operaes com eles. Voc talvez nunca tenhapensado nisso, mas os nmeros so de fato uma ferramenta fundamental.

Na realidade, nosso sistema de numerao - o sistema decimal -, que utiliza os dez algaris-mos O, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representar qualquer nmero, uma das maiores invenesda humanidade. Com esses algarismos, voc pode exprimir seu peso, a distncia da Terra ao Sole at o nmero de tomos em todo o Universo. Se voc compreender o funcionamento do sis-tema de numerao decimal e a maneira de efetuar as operaes com os nmeros, ter a seu dis-por todo o poder dessa ferramenta.

importante tambm o desenvolvimento da capacidade de fazer clculos mentais aproxima-dos, quer dizer, clculos "de cabea". Por exemplo: se voc vai ao mercado e compra 3,600 qui-los de uma carne (que custa R$ 2JO o quilo) e lhe so cobrados R$ 11,00, voc pode perceber,por um rpido clculo mental, que houve um engano. A carne custa aproximadamente R$ 3,00por quilo, sendo essa aproximao por excesso; isto , trata-se de um valor maior do que o valorverdadeiro. Ento, 3,600 quilos custaro aproximadamente 3 x 3,600 = R$ 10,80, por excesso.Ou seja, o valor de sua compra seguramente inferior a R$ 10,80. Assim, o caixa cometeu umengano ao lhe cobrar R$ 11,00.

Ao mesmo tempo que voc compreende o sistema de numerao, necessrio saber utilizar osconhecimentos relativos s formas geomtricas bsicas. Por exemplo: qual a capacidade de umacaixa-d'gua, da qual conhecemos o comprimento, a largura e a altura? Quantos azulejos so neces-srios para revestir as paredes de um banheiro? Quantos caminhes so necessrios para trans-portar a terra retirada para a construo de uma piscina, cujas dimenses so conhecidas? Por queum banco com trs pernas no "balana", mas um com quatro pernas pode "balanar"?

A linguagem algbrica outra ferramenta importante da Matemtica. Embora seja possvelresolver muitos problemas com a Aritmtica, em geral a lgebra permite resolv-los de maneiramais rpida e uniforme.

MATEMTICA 15

Alm de conhecer e saber utilizar as propriedades das operaes numricas, importante quevoc se familiarize com as propriedades e tcnicas do clculo algbrico. Ser difcil? uma ques-to de prtica.

Lembre-se: a linguagem algbrica parece to misteriosa como uma partitura de msica paraquem no conhece um pouco de msica. Pode-se tocar msica lide ouvido", no entanto, se vocsouber ler uma partitura musical, seus horizontes se ampliam muito. E ser capaz de tocar msi-cas que nunca tinha ouvido antes!

A Matemtica vai mais longe .Algumas das aplicaes da Matemtica so bem simples e h outras mais elaboradas. Em nossasociedade, as utilizaes da Matemtica so praticamente ilimitadas."

Ela utilizada para fazer prvias eleitorais e calcular quanto voc deve pagar por seu segurode vida ou pelo seguro de um carro; as grandes frotas de nibus a utilizam para programar as tro-cas de pneus e as revises dos veculos.

A Secretaria de Educao pode utilizar a Matemtica para localizar as escolas de uma cidade,de maneira que atenda da melhor forma possvel aos alunos.

Se voc deseja tornar uma mensagem secreta, a fim de que ela no possa ser lida por estra-nhos, ir coloc-Ia em cdigo por intermdio do uso de Matemtica bem sofisticada.

Toda a fsica est expressa hoje em linguagem matemtica. Sem a Matemtica, seria impos-svel prever os eclipses e os horrios das mars. Os aparelhos de tomografia computadorizadaesto baseados em uma teoria matemtica. Sem Matemtica, no existiriam radares, computa-dores, calculadoras, satlites artificiais, previso do tempo, televiso, centrais telefnicas com-putadorizadas, nem terminais eletrnicos de bancos.

Usando a Matemtica em uma confeco de calas jeans, voc aprende a cortar o tecido damaneira mais econmica, deixando o mnimo de sobras. Essa tcnica tambm pode ser usadapara cortar, num estaleiro, as placas de ao do casco de um navio.

Alm de tudo isso, a Matemtica importante como organizadora do pensamento. Por exem-plo: suponhamos que voc queira testar vrios tipos de sementes, usando vrios tipos de adubos,em um campo de prova agrcola. Como dever dividir o campo em lotes e distribuir as semen-tes e os adubos por eles, a fim de saber que testou todas as combinaes possveis das sementescom os adubos? Usando Matemtica, fcil fazer isso. Nesse caso; se as sementes so chamadasA, B, C e D e se os adubos so chamados 1, 2 e 3, organizamos todas as experincias em formade uma rvore de cabea para baixo.

Aerin",~Ci) 0 ~

Feijo Milho Soja Arroz

A\ A\ A\ !1\~(@l000 0 00 0 I0 0

16 AULA 1

Cada experincia segue um "galho" da rvore, e vemos que, no total, existem 12 possibilidades.Logo, devemos dividir o terreno em 12 lotes.

Voc vai explorar essa capacidade que a Matemtica tem de organizar o pensamento. AMate-mtica no deve ser encarada somente como uma ferramenta para fazer contas. Isso impor-tante, mas no tudo.

No tenha medo da MatemticaMuito bem, talvez voc at concorde que a Matemtica realmente importante e til. Mas nuncateve boas experincias com ela. Talvez, na escola, os exerccios que lhe deram para resolver pare-ciam sem sentido, sem interesse, sem aplicaes. Garantiam que a Matemtica importante efcil, mas voc no sentia nenhum interesse por ela. Quem sabe por isso tenha se convencidode que "no dava para Matemtica", ou que ela coisa para gnios.

Mas voc deve levar em conta algumas coisas.Em primeiro lugar, tudo aquilo que voc realmente quer dominar exige esforo, fora de von-

tade e determinao. Ningum chega seleo de futebol ou de basquete sem muitas e muitashoras de trabalho e esforo. Tambm em Matemtica, se voc no dominar certas tcnicas e umvocabulrio bsico, ter muita dificuldade em utiliz-Ia com facilidade.

Em segundo lugar, no pense que Matemtica somente um conjunto de tcnicas, de maneiras deresolver equaes, e de frmulas. Na realidade, o que d poder e encanto, Matemtica so as idias.Voc tem de saber alguns conceitos bsicos para poder desenvolver suas idias.

Mas no fique angustiado ou preocupado se no conseguir memorizar alguma coisa. Os livrosexistem exatamente para isso. Quando voc no se lembrar de algo, poder procurar no livro.Ele a sua fonte de referncia para os fatos matemticos que voc utilizar em nosso curso e noseu dia-a-dia.

Alm de tudo isso, a Matemtica divertida. Voc certamente se lembra de jogos, brincadei-ras e quebra-cabeas que usam Matemtica.

Pensar divertido. D uma chance Matemtica! Ela pode ajudar voc.

Aula 2

Na figura abaixo, temos um grande nmero de pontos no interior do retngulo. Voc conseguecont-los?

Tente fazer essa contagem de outros modos e registre, pelo menos, dois que voc acharinteressante.

Para qualquer cidado, contar faz parte da rotina da vida. Por exemplo: contamos dinheiro, con-tamos pessoas, contamos os itens para saber o que precisamos comprar, contamos objetos emdiversas situaes.

Alm disso, o uso dos algarismos 1, 2, 3, 4, S, 6, 7,8,9 e Opara representar nossas contagensnos parece to evidente que chegamos at a consider-lo uma habilidade natural do ser humano,como andar, falar ou correr.

Mas ser que sempre foi assim? No. Na verdade, os homens demoraram bastante para che-gar ao processo de contagem.

Houve um tempo em que era difcil diferenciar grandes quantidades. A evidncia desse fato que, at hoje, existem grupos que desconhecem os nmeros quase por completo. Como exemplo,podemos citar os zulus e os pigmeus (frica), ou mesmo os botocudos (Brasil). "Um, dois e ... mui-tos" so as nicas grandezas numricas desses povos. to difcil para eles imaginar um nmerosuperior a cinco como para ns representar os trilhes ou uma quantidade superior a essa.

Esses povos possuem uma percepo numrica limitada, isto , tm a capacidade de s dife-renciar pequenas quantidades. O ser humano percebe, sem erro, no primeiro golpe de vista, um,dois, trs 'e at quatro elementos; terminando a o seu poder de identificar quantidades. Acimade quatro, tudo se confunde em sua mente.

18 AULA2

Experimente. Olhando rapidamente para as figuras abaixo, responda:

H quatro ou seispssaros voando?

H doze ou trezelaranjas nesta cesta?

Com exceo do primeiro exemplo, preciso contar para responder s outras perguntas.Como o homem aprendeu.a contar? Felizmente, o ser humano foi capaz de ampliar sua per-

cepo numrica por meio de um recurso: a contagem. Ela permitiu progredir no universo dosnmeros.

A inveno dos nmeros est relacionada a situaes prticas e teis de contagem no nossodia-a-dia. Como exemplos, temos os pastores, que, no fim do dia, quando recolhiam os reba-nhos, precisavam ter certeza de que todos os animais tinham entrado no curral; ou as tribosindgenas, que, ao trmino de uma guerra, precisavam saber se todos os guerreiros haviam vol-tado para a aldeia.

H quinze ou vintepratos nesta pilha?

Correspondncia um a um: o comeoAo pegarmos um nibus, com exceo do motorista e do cobrador, que ocupam lugares deter-minados, temos dois conjuntos: os assentos e os passageiros. Com uma olhadela rpida pode-mos encontrar trs situaes diferentes:

Todos os passageiros esto sentados eexistem lugares desocupados: h menos

passageiros do que assentos.

Todos os assentos esto ocupados eexistem passageiros em p: h mais

passageiros do que assentos.

Todos os assentos esto ocupados eno existem passageiros em p: h tantos

passageiros quanto assentos.

Ao analisar essas situaes, estamos fazendo a correspondncia um a um, isto , a cada passa-geiro relacionamos um assento, sem usar a contagem.

Foi sem dvida graas a esse princpio, isto , correspondncia um a um, que durante mui-tos anos o ser humano pde praticar a contagem, antes mesmo de saber o que um nmero.

MATEMTICA 19

A necessidade de registroVamos ver o exemplo de um pastor que guarda seu rebanho de carneiros todas as noites numacaverna. So SS animais, porm o nosso pastor no sabe contar. Ele s sabe que h "muitos" car-neiros. Mas, noite, sempre preciso verificar se o rebanho todo foi recolhido ...Um dia, ele tem uma idia. Senta-se entrada da caverna e faz entrar os animais, um a um.

Com uma pedra afiada, faz um entalhe num osso cada vez que um carneiro passa sua frente.Com a passagem do ltimo animal, ele ter feito exatamente SS entalhes. Agora, sem dificuldade,pode verificar se o rebanho est ou no completo.

Toda vez que voltar do pasto, far os carneiros seguirem um por um, colocando o dedo emum talho de cada vez. Se sobrar algum talho, quando todos os animais tiverem passado, por-que algum se perdeu; se no sobrar, tudo vai bem. Se nascer algum filhote, bastar fazer um talhoa mais no pedao de osso.

Essa situao vivida pelos povos antigos mostra a necessidade que o ser humano tem de registrar,de algum modo, o total de objetos que conta. claro que, em vez de fazer entalhes em um osso,o pastor poderia registrar sua contagem de outro modo, usando pedrinhas, por exemplo.

20 AULA 2

A organizao da contagem natural usarmos marcas para fazer uma contagem. As civilizaes antigas, como a egpcia, ababilnia, a maia e a romana utilizavam traos verticais, crculos, pontos ou outros sinais pararegistrar as contagens.

No incio, os povos antigos registravam os nove primeiros nmeros pela repetio de traosverticais, do seguinte modo:

(

Mas esse modo foi logo abandonado, pois a repetio de traos verticais para os nmeros maio-res que 4 no facilitava a leitura do registro. J os egpcios tiveram a seguinte idia:

A civilizao babilnia utilizou um princpio temrio - de trs em trs -, da seguinte maneira:

Outros povos solucionaram o mesmo problema criando um sinal especial para o nmero S, idiaque, sem dvida, teve a influncia dos cinco dedos da mo. Como os maias:

1 2 3 4 5 6(5+1)

7(5+2)

8(5+3)

9(5+4)

MATEMTICA 21

Podemos perceber que, com o passar dos anos, esses sinais foram agrupados de formas diferen-tes para facilitar sua visualizao.

Os romanos tambm usaram um princpio qunro, como:

E hoje? Como o ser humano registra a sua contagem? Ainda empregamos as marcas para fazera contagem de alguma coisa.

Quando um comerciante anota num carto os pedidos de um cliente, em geral ele utiliza tra-os correspondentes aos pedidos, procedendo da seguinte forma:

nmero nmero nmerode pedidos registro de pedidos registro de pedidos registro

I 6 $ I 11 $$ I2 11 7 $11 12 $$ 1\3 1\1 8 $ 1\1 13 tHttHt 1114 11/1 9 $ 11/1 14 tHttHt 11115 ttH- 10 $$ 75 ttH-tHttHt

Voc saberia fazer esses registros de outro modo? Invente uma maneira diferente da utilizadapelo comerciante.

AtividadesFaa no seu caderno.1. Quantos quadrados h nesta figura?

22 AULA 2

2. Quantos caminhos diferentes voc tem para ir de A at B, caminhando spara baixo?

A

8

3. Fazendo de conta que voc no sabe contar, verifique o que h mais: quadra-dos listrados ou brancos?

4. Cite situaes de sua vida em que voc usa a contagem.

5. Cristina e]oo gostam muito do jogo-da-velha. A cada partida ganha por umdos dois, eles registram o resultado num papel, fazendo um trao. Ao finaldo jogo, esta ser a anotao do papel:

CRISTINA

r2Jr2JL

tJOoj001

a) Quem ganhou o jogo?b) Quantas partidas Cristina ganhou?c) E]oo?d) Voc acha prtica essa maneira de marcar os pontos? Por qu?

MATEMTICA 23

6. Quantos quadrados h nesta figura?

7. Quantos tringulos h na figura?

8. Quantos nmeros de dois algarismos voc pode escrever usando os algaris-mos 3,5 e 7?

9. Quantos nmeros de dois algarismos diferentes voc pode escrever usandoos algarismos 1, 2 e 3?

10.Cristina, Paula e Roberto so vendedores em uma loja. Um dia estavam con-tando quantas blusas tinham vendido. Paula tinha vendido menos do queCristina, e Roberto tinha vendido mais do que Cristina.a) Quem vendeu mais blusas?b) Quem vendeu menos blusas?

11.Continue as seqncias:a) 12, 17, 22, r , b) 8, 10, 12, r r c) 15, 12, 9, r r

Cite situaes em que contamos, fazendo agrupamentos diferentes de dez.

o que voc entende por: "Fulano um zero esquerda"?Escreva o nmero que est representado em cada quadro.

CUBOS DE 7 000 PLACAS DE 700 BARRAS DE 70 CUBOS

OJ OJ

111 OJ OJOJOJOJObserve o quadro abaixo.- Que nmero est representado nele?- Qual o algarismo das dezenas desse nmero?- Quantas dezenas esto contidas nesse nmero?

PLACAS DE 700 BARRAS DE 70 CUBOS

MATEMTICA 25

Estamos to acostumados com o nosso sistema de numerao, que ele nos parece simples. Masnem sempre foi assim: da poca em que o homem realizou as primeiras contagens at surgir onosso atual sistema de numerao, passaram-se muitos anos.

A agricultura e o pastoreio modificaram a vida dos homens, surgindo as aldeias que, em geral,ficavam situadas s margens de rios. Muitas aldeias cresceram e tomaram-se cidades, que acaba-ram originando as grandes civilizaes.

A vida foi se tornando complexa, e surgiram outras atividades, como artesanato, comrcio,etc. Houve, assim, maior troca de conhecimentos e, como conseqncia desse desenvolvimento,surgiu a escrita. .

Todas essas mudanas resultaram numa srie de problemas, cuja soluo exigia conhecimentoe domnio dos nmeros. Assim como cada civilizao criou sua linguagem escrita, desenvolveutambm diferentes maneiras de representar quantidades.

o sistema numrico egpcioQuase tudo que sabemos sobre o sistema egpcio de escrita numrica se encontra no Papiro Ahmes.Este documento antigo contm problemas de Matemtica envolvendo assuntos do dia-a-dia, taiscomo o preo do po, a alimentao do gado, etc. A escrita numrica dos povos antigos era rela-cionada ao significado dos objetos que contavam. Os egpcios Usavam a figura de um "homemajoelhado e de braos levantados" para representar o nmero 1 000 000 que, para a poca, eraconsiderado um nmero muito grande.

Eles escreviam os nmeros usando os seguintes smbolos:

OSSO no FIGURATRAO DE LAO DE DEDO PEIXECALCANHAR LTUS AJOELHADA

SMBOLO I (\ e ! ) ~ fVALOR 7 70 700 7000 70000 700000 7000000

Veja como os egpcios escreviam alguns nmeros:

quinze (\ 11111

quarenta e dois(\(\(\11(\

cento e vinte ~(\ (\

26. AULA 3

Observe que no sistema egpcio de numerao o smbolo (\ valia dez smbolos I. Da mesmaforma, dez smbolos (\ valiam um ~, e assim por diante. Podemos, ento, concluir que a con-tagem era feita por meio de agrupamentos de dez em dez.

AtividadesFaa no seu caderno.1. Tente escrever estes nmeros no sistema egpcio:

a) 18b) S2c) 123

o sistema numrico romanoOs romanos usaram as letras do alfabeto para representar os nmeros.

O sistema de numerao romano tem sete smbolos.

v x l C D ('liVALOR 1 5 10 50 100 500

O sistema romano ainda muito utilizado na atualidade. Se voc observar, provavelmente irencontr-lo em alguns mostradores de relgio ou na escrita de datas e de captulos de livros.

Veja como os romanos escreviam alguns nmeros:

Quando na representao de um nmero havia smbolos iguais, somavam seus valores:

lU = 3, porque 1 + 7 + 1 = 3XX = 20, porque 70 + 70 = 20

Quando havia dois smbolos diferentes e o que representava uma quantidade menor vinhaantes, subtraam seus valores (o valor do smbolo da direita menos o valor do smbolo daesquerda):

IV = 4, porque 5 - 1 = 4XL = 40, porque 50 - 10= 40

MATEMTICA 27

Quando apareciam dois smbolos diferentes e de maior valor vinha antes, somavam seus valores:

vn = 7, porque 5 + 7 + 1 = 7XXV, = 26, porque 10+ 10 + 5 + 1 = 26

No sistema de numerao romano, a contagem tambm feita de dez em dez. Observe que os smbo-los X, C eM indicam que a contagem feita por agrupamentos de dez. Os smbolos V,Le D so usadospara simplificar a escrita: para representar cinqenta, mais fcil usar o smbolo L do que XXXXX.

AtividadesFaa no seu caderno.2. Tente escrever estes nmeros no sistema romano:

a) 8b) 17c) 56

o sistema numrico indo-arbicoAtualmente, usamos o sistema de numerao decimal para contar e escrever os nmeros. Essesistema o resultado de muitos sculos de evoluo de uma escrita surgida na ndia e divulgadana Europa pelos rabes. Por isso, conhecido como sistema numrico indo-arbico. Os dez sm-bolos do nosso sistema de numerao so chamados de algarismos. So eles: 1,2,3,4,5,6, 7,8,9 e O. Dizemos, por exemplo, que 1 253 um nmero de quatro algarismos.

Mudanas na escrita dos algarismosAntes da inveno da imprensa, no sculo Xv, os livros eram copiados mo. Como cada copistatinha sua caligrafia, durante todo esse perodo os smbolos utilizados para representar nmerossofreram muitas modificaes. Alm disso, o sistema de numerao indiano foi adotado pelosrabes e passado aos europeus; era natural que a forma de escrever sofresse alteraes. Veja, noquadro abaixo, as principais mudanas que ocorreram ao longo do tempo:

SCULO IX

~ ~ J( q z, 'L r Ci) O(indiano) "SCULO X I 1., { ~ '\f b 1 8 , D(europeu)SCULO XIV t 1 J y C( 6 1 & ~ O(rabe ocidental)SCULO xv t r r- i o '" v 1\ '\(rabe oriental) SCULO XV , '- J 4 5 6 ~ 8 ,. ,(europeu)SCULO xx

-. -. LI C t: I I~ O .-.(algarismo de calculadoras C ~ zs O '-' -' I_Ie relgios digitais)

28 AULA 3

o sistema de numerao decimal apresenta dois aspectos muito importantes: o uso do zero e ovalor da po.sio dos smbolos.

o uso do zeroEstamos to acostumados com o zero que no sentimos dificuldade em pensar com ele. Mas nemsempre foi assim. Levou muito tempo para que o smbolo zero fosse inventado.

Os nmeros foram criados pelos homens para ajud-los nas contagens que surgiam no dia-a-dia.Eles apareceram como resposta pergunta "quantos?". Imagine que a resposta a essa pergunta fosse"nenhum". Como registrar isso? Foi preciso ento criar um smbolo para representar a ausnciade certo objeto em uma contagem: o O (zero).

AtividadesFaa no seu caderr o.3. Escreva o ano em que voc nasceu usando os algarismos indo-arbicos e tam-

bm os algarismos romanos.

4. Quando conto dias em semana porque estou agrupando de em .

Aprendendo agruparPara contar objetos, muito prtico formar grupos. Por isso, mostraremos exemplos com cubos(ou dados), porque com eles a arrumao fica mais fcil.

Cubo

Se voc tem 10 cubos, pode formar uma barra. Juntando 10 barras, forma uma placa.

Barro de dez Placa de cem

Para facilitar uma contagem, voc pode reunir cubos, barras e placas em um quadro. Veja comofizemos a seguir:

Exemplo 1

MATEMTICA 29

CUBOSPLACASDE 700

BARRASDE70

7

Uma certa quantidade de cubos foi arrumada da seguinte maneira:Comeamos formando barras de 10 cubos cada. Reunindo 10 barras, formamos 1 placa.Temos, ento, 1 placa e ainda 4 barras completas. Alm disso, sobraram 7 cubos soltos. Observeque o resultado da nossa contagem est no quadro.

4

Quantos cubos temos ao todo? Fcil. Cento e quarenta e sete (147) cubos.

Para dispor os objetos no quadro, o nmero de cada tipo no pode ser maior que 9.

Exemplo 2Observe agora a contagem de uma outra quantidade de cubos.

PLACAS BARRASDE 70 BARRAS DE70 CUBOS

2 O 3

Quantos cubos temos ao todo?O quadro mostra que temos 203 (duzentos e trs) cubos.

30 AULA 3

Quando ~screvemos 203, o smbolo O(zero) indica que no h barras de 10. Claro que, em vez dessesmbolo, poderamos usar um outro smbolo qualquer, como, por exemplo, uma estrela: 2 * 3. Issono importa; estaramos, do mesmo modo, usando um smbolo para o nada, isto , para dizer queno h barras de 10.

AtividadesFaa no seu caderno.5. a) Para fazer uma barra, quantos cubos devo ter?

b) Quantos cubos, no mximo, podem ficar soltos?c) Em 1 milhar, quantas unidades h?

Podemos ainda reunir 10 placas para formar um grande cubo.O cubo da figura ao lado possui 1 000 cubinhos.

6. Complete:4 barras possuem cubos.2 placas possuem barras.4 dezenas ou unidades.

2 centenas ou dezenas.8 cubes possuem cubos.12 cubes possuem placas.

o que significa valor da posio dos smbolos?Sabemos que as letras formam diferentes palavras quando colocadas em ordem diferente. Assim,com as letras a, o, 1 e b podemos escrever loba ou bola.

De modo semelhante, ao representarmos um nmero' no sistema de numerao decimal, cadaalgarismo ter diferente valor, de acordo com a sua posio.

Ento, cada um dos algarismos ocupa uma posio, isto , uma ordem no nmero. Por exemplo:

34 tem duas ordens1 507 tem quatro ordens

Para contar quantidades maiores que 10, no h necessidade de outros algarismos. Muda-se aposio do algarismo e ele muda de valor.

MATEMTICA 31

Observe o valor do algarismo 5 em cada nmero:

Em 25, valeEm 537, valeEm 10 851, vale

5 unidades500 unidades50 unidades

Para facilitar a leitura dos nmeros, as ordens foram agrupadas de trs em trs, da direita para aesquerda. Cada trs ordens formam uma classe.

Veja, em cada nmero, a classe formada por 437:

437 forma a classe das unidades no nmero 28 437437 forma a classe dos milhares no nmero 437 200437 forma a classe dos milhes no nmero 437560000

No quadro abaixo esto indicados os nomes das primeiras ordens e das primeiras classes.

o"'l..r::nQ)"O'11:ICQ).....cQ)u

o-'11:I..r::nQ)"O11:ICQ)NQ)"O

VlQ)Q.

E'ViQ)"O11:I

:Qc:::J

o'11:Is:

'-11:I..r:

'EQ)"OQ)"O11:I"OC:::J

'-11:I..r:

o'11:I..r::nQ)"OQ)"O11:I

:Qc:::J

o'11:I..r:

'-11:I.s:-.- -.-EE EE 11:IC

Q).....cQ)u

11:ICQ)NQ)"O

Q)"O11:ICQ).....cQ)u

Q)

"O11:ICQ).....cQ)u

Q)"O11:ICQ)NQ)"O

Q)"O11:ICQ)NQ)"O

AtividadesFaa no seu caderno.7. Usando os algarismos 3, 4 e 6, escreva todos os nmeros possveis com trs

algarismos distintos.a) Qual o maior deles?b) E o menor?

8. Qual o menor nmero que pode ser escrito com quatro algarismos, todosdiferentes? E o maior?

9. Jos acertou na Sena e ganhou a quantia de um milho, onze mil e setecentose oitenta e quatro reais e setenta e seis centavos. Escreva, usando algarismosindo-arbicos, a quantia ganha por Jos.

A soma (adio) e a diminuio (subtrao) fazem parte do nosso dia-a-dia, mas quase no nosdamos conta disso. Quer ver?

Que operao voc usaria. para responder a perguntas como:- Quantos anos voc tem a mais que seu irmo mais novo?- Quantos anos voc tem a menos que sua me?- Para uma encomenda de 5 000 parafusos, o fabricante possui 2 800 em estoque. Quantos

faltam para completar a encomenda?- No final de uma semana de produo, o controle de qualidade contou peas boas e ruins.

Qual o total de peas produzidas nessa semana?

Observe o grfico de barras da figura abaixo. Este um tipo de grfico muito comum nocontrole de qualidade das indstrias. Tente responder:- Por que as indstrias divulgam esses grficos, ms a ms, para seus funcionrios?- Como calcular o total da produo de um ms?

nmero de peas

1200

1 100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

DEPARTAMENTO DE CONTROLE DE QUALIDADE

mesesjaneiro fevereiro

Peas de boa qualidade Peas defeituosas

maro

MATEMTICA 33

A adio na formao dos nmerosA adio ou soma a primeira das operaes matemticas. Ela est relacionada com a constru-o dos nmeros e com o ato de contar.

Voc sabe que os nmeros podem ser ordenados e que, na ordenao, cada nmero tem umaunidade a mais do que aquele que est imediatamente antes.

4+1=5 LrJ BJOI LJ1 + CjI"c. : "cr- r-f- f-r-f-

30+1=37 f- f- + Lllr- r-f- f-f- f-r- ~..... -r= r= "c r= r= r= r= ljf- f- f- f- f- f- f-r- r- r- r- r- r- r- l]\OJf- f- f- r- r- r- r-f- f- f- f- f- Lj LJ + [jJ99 + 7 = 700 r- r- r- r- r- r-f- r- r- r- r- r- 0101f- f- f- f- f- f- (jJr- r- r- r- r- r-f- f- f- f- r- r- LiJ'- '- '- '- .... '-

A soma tambm fundamental para compreendermos o nosso sistema de numerao. Observeo ltimo exemplo. Quando acrescentamos uma unidade ao nmero 99, temos mais uma dezena,e essa dezena, junto com as nove que j existiam, forma uma centena.

L!J I I "> o: I: "c L1JtJJr- C]lr- LJ]r- OJ

[Jl

1DJ..... L1J - ....(jJ

99 + 1, formando uma centena ) 700

Por meio da adio, voc pode notar que o conjunto dos nmeros infinito (nunca acaba). Ima-. gine um nmero bem grande! Se voc somar 1 a ele, encontrar outro, maior do que aquele emque voc pensou.

34 AULA 4

A adio na contagemQuando usamos tcnicas de contagem rpida, como vimos na Aula 2,estamos tambm utilizando a soma para formar grupos e depois jun-tar todos eles.

No exemplo ao lado, contamos de 5 em 5. Mudamos de linha a cadadois grupos de 5, pois 5 + 5 = 10. So trs grupos de 10 e mais 4 unidades.Somando tudo, temos: (10 + 10 + 10) + 4. Nosso total 30 + 4 = 34.

A soma no dia-a-dia

Se voc ganha por ms R$ 650,00 e tem como despesas fixas:

R$ 120,00 de aluguel,R$ 90,00 de transporte,R$ 135,00 de contas de luz, gs, gua e esgoto,

[Z][Z][Z][Z][Z][Z]D

para saber quanto sobra para ir ao supermercado e para outras despesas, preciso somar osgastos j previstos.

Se voc trabalha no comrcio e ganha sobre suas vendas do dia, preciso somar os valoresdas notas fiscais desse dia para calcular o seu ganho.

Se voc trabalha na indstria e recebe o projeto de uma pea como a do desenho abaixo, preciso somar as medidas das partes para saber o comprimento total da pea:

48mm 38mm

comprimento total = ?

Com certeza voc se lembra de muitas outras situaes nas quais a adio est presente, emsua vida domstica ou profissional. Na prxima aula, vamos mostrar como fazer as contas; porenquanto, queremos apenas que voc identifique situaes em que a adio aparece.

Curiosidade

MATEMTICA 35

Os quadrados abaixo so chamados Quadrados Mgicos. Eles so "mgicos" por-que somando os nmeros que aparecem, na horizontal, na vertical ou na dia-gonal, o resultado sempre o mesmo. Verifique se estes quadrados so, real-mente, "mgicos".

7 8 3

6 4 2

5 O 7

2

8

9 4

lfl--t--t------f5 37

6 7

7 75 74 472 6 7 98 70 77 573 3 2 76

A subtrao irm da adioCostuma-se dizer que a subtrao desfaz o que a adio faz, "coisas de irmos". Observe:

3+7=4 e 4-7=3 D D D rjJ5+3=8 e 8-3=5 DDDDDrjJrjJrjJ

70+2=72 e 72-2=70 CIIIIIIIID rjJrjJ

Poderamos dizer que:

a adio pe, junta; a subtrao tira, separa.

Mas a subtrao d outros resultados importantes. A subtrao tambm compara, ou seja, veri-fica quanto uma quantidade tem a mais que outra.

DDDDDDDDDDDDD

8 - 5 = 3

8 tem 3 unidades a mais que 5

36 AULA 4

A subtrao tambm utilizada para verificar a quantidade que falta para completar uma tarefa.Por exemplo, se voc vai fazer um suco com uma dzia (uma dzia = 12 unidades) de laranjas es espremeu duas, utiliza a subtrao para saber quantas faltam para completar a tarefa.

1 dzia de laranjas

I 2 laranjas espremidas

I faltam espremer 12 - 2 = 10 I

A subtrao no dia-a-diaUma das situaes abaixo j deve ter ocorrido com voc.

Quando voc vai matricular seu filho de 6 anos na escola, perguntam: "Em que ano ele nas-ceu?" Se voc no lembra, a conta que precisa fazer uma subtrao: deve retirar 6 anosdo ano em que est. Por exemplo: crianas que completam 6 anos em 2003 nasceram em2003- 6 = 1997.

Quando voc compra a prazo pagando uma entrada, preciso subtrair o valor da entrada dopreo total da mercadoria para saber quanto falta pagar.

Do valor do seu contracheque ou recibo de pagamento preciso subtrair os descontos parasaber quanto voc realmente vai receber.

Se voc trabalha numa seo de controle de estoque, a operao que voc mais usa a sub-trao. A quantidade de mercadorias de certo tipo, vendida em um dia, deve ser subtradadiariamente do estoque. Esse controle feito para que exista sempre um estoque mnimo e,quando estiver perto desse mnimo, voc faa um novo pedido ao fabricante.

MATEMTICA 37

Leitura de grficos de barras.Os grficos de barra so assim chamados porque representam quantidades por meio de barras,verticais ou horizontais.

Eles so timos para compararmos resultados e desempenhos em vrios setores, como naindstria, no comrcio e nos esportes. Essa comparao pode ser feita visualmente sem que haja,para o leitor, urna grande preocupao com a preciso dos nmeros. Vamos ver um exemplo:

Consumo de calorias em algumas tarefas cotidianas, por minuto

Mulheres

Homens

0,9 descansando7,7 de p1,31 trabalho de escritrio

decascando batataslavando loua

lavando-se e vestindo-secaminhando

,....;;.,.;,. .....arrumando camas

1,2 descansando1,25 de p1,6 trabalho de escritrio

~~~~~i#~~d~e~cascando batatas3,5 lavando loua3,5 lavando-se e vestindo-se5, 7 caminhando7 arrumando camas

Quem disse que a parte fraca a mulher?

O grfico acima foi publicado numa revista mdica. A concluso "Quem disse que a parte fraca a mulher?" foi tirada pela comparao do comprimento das barras dos homens e das mulhe-res. Voc logo v que, em todas as atividades pesquisadas, os homens consomem mais caloriasque as mulheres.

Podemos saber quanto um homem gasta a mais em urna atividade usando a subtrao. Porexemplo: para lavar loua, uma mulher gasta 1,5 caloria por minuto, enquanto um homem gasta3,5 calorias por minuto. Ento a diferena : 3,5 - 1,5 = 2,0. Ou seja, para realizar essa atividade,os homens gastam, por minuto, 2 calorias a mais que as mulheres.

38 AULA 4

Construo de grficos de barrasImagine que voc trabalha no setor de vendas de uma indstria e deseja fazer um grfico comos dados da venda de um equipamento.

Quando a indstria recebeu a encomenda, o setor de oramento calculou que teria um custode 3 milhes com matria-prima e mo-de-obra. O preo de venda com base nesses clculos foide 6 milhes. No final da fabricao, o custo real foi de 4 milhes. Veja como fica bem mais fcilcomparar esses resultados num grfico de barras. Arrume primeiro os dados:

CUSTO PREVISTO

13 MILHES

IPREO DE VENDA 6 MILHES

I CUSTO REAL

I4 MILHES

I

As barras devem corresponder aos valores. Primeiro, escolha uma medida fixa (um padro) pararepresentar 1 milho e faa marcas desse tamanho numa linha vertical. Depois, faa as barras dotamanho que correspondam a seus dados.

Observe como poderia ficar seu grfico:

milhes

6 -----------g

5....,s.....ct:Q..

4 ----- ~u;:,...

3

g i2

...., ~s ~...g: ....Qe ou.. f

o

AtividadesFaa no sei. cader o.1. Some 1 e verifique o nmero que vem logo depois de:

100 100 + 1 =253 253 + 1 =199 199 + 1 =

1003 1 003 + 1 =2509 2509 + 1 =999 999+ 1 =

MATEMTICA 39

2. Subtraia 1 e verifique qual o nmero que vem imediatamente antes de:

37 37-1 =100 100-1 =530 530-1 =

1 001 1 001 -1 =999 999 -1 =

3. Observe o grfico abaixo. Ele mostra uma projeo da populao brasileirano ano 2020, por sexo e idade.

Distribuio do populao brosileitopor idade e sexo, em 2020*

* estimativa

7000+

65069

60064

55059 t-~- .50054

45049

40044

35039

30034

25029

20024

15 019

10 014

509

004

Fonte: /8GE

a) De acordo com o grfico, a projeo para 2020 de que na populaoinfantil, de O a 4 anos haver mais meninas ou meninos?

40 I AULA 4

b) Entre 35 e 39 anos, a projeo de haver mais homens ou mulheres?c) Pelo grfico, o que voc pode concluir sobre a populao idosa (mais

de 65 anos) no Brasil?d) A que outras concluses voc pode chegar com esse grfico?

4. Observe os dados da tabela. Tente desenhar um grfico com os dados daltima coluna.

Construo naval intoxicao por 12000 17 em cada 100metais pesados

Telefnico surdez 9000 20 em cada 100

Sade radiaes 5000 12 em cada 100

Indstria qumica contaminao por 1 200 15 em cada 100mercrio

Siderrgico surdez 12000 30 em cada 100

Petroleiro benzenismo 1 000 14 em cada 100

Construo civil asbestose 100000 . 1O em cada 100

Rural intoxicao 100000 25 em cada 100

Benzenismo - Doena causada por uma substncia chamada benzeno, que origina aleucemia (cncer no sangue).

Asbestose - Doena provocada por um tipo de mineral, o asbesto ou amianto, usado naconfeco de telhas e caixas-d'gua, por exemplo. Esta substncia cancergena.

Aula 5

Todos os dias fazemos "contas de mais", que nada mais so do que operaes de adio ou soma.Veja o seguinte exemplo:

Um pequeno fabricante de telhas tem em seu estoque 520 telhas. Em certo sbado, ele recebeuma encomenda de 1 000 telhas e diz ao comprador: "Minha produo pequena, mas na quintaou sexta-feira da prxima semana devo ter a sua encomenda." Ele ento anotou a sua produoda semana da seguinte forma:

segunda-feiratera-feiraquarta-feiraquinta-feirasexta-feira

110 telhas125 telhas130 telhas102 telhas90 telhas

No fim da tarde de quinta-feira, a encomenda pde ser entregue?

No suficiente assistir a um programa de TV ou a uma aula para compreender totalmente umassunto. preciso praticar. Praticando, as coisas nos parecem mais fceis. Praticando, a nossasegurana aumenta e as chances de erro diminuem. Quando fazemos uma coisa muitas vezes,acabamos fazendo essa coisa cada vez melhor. E isso no vale s para a Matemtica, mas paraqualquer atividade na vida.

Para ter segurana na operao de adio, devemos primeiro ter prtica na soma de nmerospequenos. Ento, vamos treinar.

AtividadesFaa no seu caderno.1. D o resultado das somas:

a) 5 + 7 =b) 2+6+4c) 5 + 3 + 1 + 8 =d) 13 + 5 =

e) 17+4=f) 5 + 15 + 6 =g) 42 + 3 + 4 =~1+2+3+4+5+6+7+8+9=

42 AULA 5

Quando temos de somar muitos nmeros pequenos, podemos tentar fazer grupos, de prefern-cia grupos que somem 10. Como voc j percebeu, no precisamos somar os nmeros na ordemem que so apresentados. Podemos som-los em qualquer ordem. Essa uma propriedade queser estudada na Aula 8, mas podemos utiliz-Ia desde j.

Exemplo 1Calcular 3 + 6 + 8 + 4 + 5 + 5 + 7. Para resolver essa soma, riscamos os grupos de nmeros quesomam 10. ( direita, aparece o que dizemos em voz alta.)

3 + 6 + 8 + 4 +j +1+73 +1+ 8 +I +J' +f + 7i+J +8 +I+i +7+/

DezMais dezMais dez

Somando tudo: 10 + 10 + 10 + 8 = 38

AtividadesFaa no seu caderno.2. Calcule as somas, procurando fazer grupos que somem 10.

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =b) 4 + 7 + 6 + 5 + 10 + 3 =c) 3 + 1 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 6 + 1 + 2 + 5 + 2 + 2 =

Vamos agora praticar somas com nmeros maiores. Teremos de usar com freqncia o "vai um",sempre que a soma de uma coluna tiver dois algarismos. Observe com cuidado este exemploantes de fazer as atividades.

Exemplo 2Calcular 2 578 + 1 465

1 1 1 1 11 1Como feita 2578 2578 2578 2578 2578a canta: + 1 465 + 1 465 + U.6.5. + 1465 + 1 465

3 43 043 4043

O que dizemos 8 mais 5 1 mais 7 1 mais 5 1 mais 2em voz alta: so 13. Vai 1. so 8 e mais 6 So 6. Emais 4 So 3. Emais 1

so 14. Vai 1. so 10. Vai 1. so 4.

Resposta: 4 043 (quatro mil e quarenta e trs).

MATEMTICA 43

AtividadesFaa no seu caderno.3. Calcule as somas:

a) 347 + 291 =b) 1 234 + 5 012 =c) 597 + 485 =d) 3 888 + 4 305 =e) 2643+7357~

Cada nmero de uma soma se chama parcela. Vamos agora praticar somas com muitas parcelas.Observe o Exemplo 3 e repare que teremos no s "vai um" como "vo dois", "vo trs", etc.

Exemplo 3Calcular 328 + 57 + 9 + 12 + 158. Observe a arrumao dos nmeros: todos esto alinhados peladireita.

3 13 1Como feita 328 328 328 328o conta: 57 57 57 57

9 9 9 912 12 12 12

+ 158 + 158 + 158 + 1584 64 564

O que dizemos 8 mais 7 so 15, 10(3+2+5) 1 mais 3em voz alta: mais 9 so 24 e mais mais 6 (1 + 5) so 16 mais 1

10 so 34. vo 3. vai 1. so 5.

Resposta: 564 (quinhentos e sessenta e quatro).

4. Calcule as somas:a) 1237 + 32 + 433 =b) 552+437+128+650+304=c) 30+ 140+950+2310+46 720=

Quando encontramos o resultado de uma soma, freqentemente nos perguntamos: "Est certaessa resposta?" Claro que podemos errar. Afinal, todos ns erramos de vez em quando ...

Como fazer ento para descobrir se a conta est certa? Em geral, para conferir, fazemos nova-mente a conta, mudando a ordem das parcelas. Assim:

237 43522 237+ 43 + 522802 802

44 AULA 5

Se encontramos o mesmo resultado, a conta, provavelmente, deve estar certa.No um processo infalvel, porque podemos ter muito azar e errar da mesma forma nas duas

contas. De qualquer modo, sempre bom conferir.Alguns erros podem ser encontrados facilmente. Veja esta conta:

43+12+316=271

Ela est errada. Por qu?Pense um pouco antes de continuar a leitura.

A conta est errada porque a resposta tem de ser maior que qualquer uma das parcelas. Real-mente, no possvel que 316 mais duas parcelas d 271.

Entretanto, existem erros difceis de descobrir. Vamos mostrar, como curiosidade, um mtodopara conferir somas que quase nunca falha. Esse mtodo s ser justificado mais tarde, mas vocpode us-lo desde j.

Em tempo

Para encontrar um possvel erro na soma, faa o seguinte:

Some os algarismos de todas as parcelas e some, separadamente, os algaris-mos da resposta. Voc tem agora dois novos nmeros.

Some os algarismos de cada um destes nmeros para obter dois outros nme-ros menores. Continue assim at obter dois nmeros de um s algarismo. Seeles forem iguais, a conta deve estar certa. Se forem diferentes, a conta estcertamente errada. Veja o exemplo abaixo:

213 }175+ 36424

Soma dosalgarismos

) 28 -7 7 O -7 7 } Encontramosresultados iguais

----~) 7 O -7 7

A conta est certa! Melhor dizendo, a conta, provavelmente, deve estar certa,pois este mtodo tambm no infalvel...

MATEMTICA 45

AtividadesFaa no seu caderno.5. As contas abaixo esto erradas. Justifique por que, sem efetuar as somas.

a) 42 + 36 = 68b) 30 + 70 + 43 + 65 = 207c) 192 + 188 + 197 + 176 = 803

6. Utilize o mtodo da soma dos algarismos para verificar se existe algum errona soma abaixo.203 + 146 + 51 + 310 = 610

7. Um viajante percorre uma estrada com sua bicicleta. No primeiro dia, andou42 quilmetros. No segundo, 36 quilmetros, e no terceiro, 64. Quantos qui-lmetros ele percorreu nesses 3 dias?

8. Um criador de galinhas vende ovos todo fim de semana e fica com algunspara seu prprio consumo. Nas quatro semanas de um determinado ms, eleconsumiu 30 ovos e vendeu:

li! semana - 92 ovos3 semana - 80 ovos

2i!semana - 104 ovos4i!semana - 98 ovos

Quantos ovos as galinhas produziram?

9. Um elevador traz uma placa com a seguinte advertncia:

Peso Mximo: 420 kg.

Diga se o elevador pode transportar, em uma nica viagem, pessoas que pesam72, 36, 84, 58, 68 e 95 quilos.

10.Uma soma tem 6 parcelas. Se aumentarmos em duas unidades cada parcela,em quanto aumentar o resultado?

11.Tenho um saco com 40 laranjas. Quantas laranjas faltam para completar 4dzias?

46 AULA 5

12. Para ir da cidade A para a cidade B existem dois caminhos: um passa pelascidades M e N e outro passa pela cidade P.As distncias em quilmetros entreas cidades esto indicadas na figura.

B

p

A

Qual o caminho mais curto?

13. Refaa o problema das telhas sugerido no incio desta aula, usando o que vocaprendeu.

Aula 6

Com certeza, voc vive fazendo a operao de subtrao (a nossa velha conhecida "conta demenos") no seu dia-a-dia e quase nem percebe. Vamos ver um exemplo.

Uma fbrica tem 256 operrios. Certo dia, houve um atraso nos trens. s 8 horas, s 138 ope-rrios haviam chegado. Quantos estavam faltando?

Na aula passada, aprendemos a somar. A operao de adio junta objetos, rene, acrescenta.Agora, vamos aprender a subtrao. Esta operao retira uma quantidade da outra. Acompanheos exemplos seguintes.

Exemplo 1Uma pessoa precisa empacotar 65 mercadorias. J conseguiu empacotar 43. Quantas faltam ainda?A questo saber: "Se de 65 retiramos 43, quanto resta?"

Ou ainda: "Quanto falta a 43 para completar 65?"Esta a operao chamada de subtrao. Ela retira uma quantidade de outra, ou, em outras

palavras, calcula quanto falta a uma quantidade para atingir outra. Para entendermos melhor,vamos representar essas quantidades.

65 = = 6 dezenas e 5 unidades

43 = = 4 dezenas e 3 unidades

Podemos ento ver um resumo na figura da pgina seguinte. A operao de subtrao foi feitaseparadamente nas colunas das unidades e das dezenas.

48 AULA 6

Na prtica, armamos a conta assim: 65-4322

Resultado dasubtrao

DEZENAS UNIDADES

6 5

4 3

2 2

Esta operao,falada, seria:3 para 5, faltam 24 para 6, faltam 2

Portanto, a pessoa precisa empacotar ainda 22 mercadorias.Esta operao indicada assim:

65 - 43 = 22

Voc j deve ter ouvido falar que a subtrao a operao "contrria", ou "inversa", da adio.Vamos ver por qu.

Voc viu que 65 - 43 = 22. Ento, experimente somar 22 com 43:

22 + 43 = 65

Isto significa que:

a subtrao entre dois nmeros, quando somamos o resultado com o menor dos nmeros (nmeroque ser subtrado), obtemos o outro nmero, o maior.

Essa propriedade nos ajuda a verificar se acertamos o resultado.

Exemplo 2Para fazer uma viagem, uma pessoa vai percorrer 400 quilmetros. Aps percorrer 195 quilme-tros, fez uma parada. Quantos quilmetros ainda restam .para completar a viagem?

Para solucionar este problema, precisamos responder pergunta "quanto falta a 195 para com-pletar 400?", ou seja:

400 -195 =

Se arrumamos os nmeros colocando o menor embaixo do maior,

400-195

MATEMTICA 49

percebemos que existe um problema. Na coluna das unidades, no podemos de zero retirar 5 e,na coluna das dezenas, no podemos de zero retirar 9. Por isso, vamos pedir socorro s cente-nas. Das 4 centenas, vamos pedir uma emprestada para, com ela, preencher as outras casas. Vejacomo fazemos:

400 = 4 centenas400 = 3 centenas + 1 centena400 = 3 centenas + 10 dezenas400 = 3 centenas + 9 dezenas + 1 dezena400 = 3 centenas + 9 dezenas + 10 unidades

Observe o resumo da transformao de 400 no quadro abaixo.

400 =

CENTENAS DEZENAS UNIDADES

4 O O

3 10 O

3 9 10

1 9 5Subtrao

795 =

Resultado = 2 o 5

Conseguimos, ento, fazer as subtraes em cada coluna e chegamos concluso de que:

400 - 195 = 205.

Exemplo 3Vamos mostrar agora corno fazemos na prtica. Sempre que, em'uma coluna, o nmero de cimafor menor que o de baixo, devemos pedir emprestadas 10 unidades na casa da esquerda. Observecomo fazemos a conta 92 - 28.

8 72 8 72\ / \ /

Como feita 92 92 92 92a conta: -28 -28 -28 -28--

? 4 64

O que dizemos Armamos Comeamos pela Como o 2 agora De 8, tiramosem voz alta: a conta coluna das unidades. vale 72 (2 mais 7 02: 8 menos 2

assim Como no possvel dezena = 72), d 6.tirar 8 de 2, tiramos podemos tirar 8:7 dezena das 9 e 72 menos 8 d 4.emprestamos s O 9, ento, ficaunidades, ou seja, valendo 8.emprestamos 7dezena ao 2.

Portanto, 92 - 28 = 64.

50 AULA 6

Exemplo 4Observe COI)1 ateno uma conta mais complicada. Vamos fazer 6 023 - 575.

Como feita 1113 911 5 9 5".1 \1 \ 1 1a conta: 6023 6023 6023 6023 6023

-575 -575 -575 -575 -575? 8 48 448 5448

O que dizemos Observe que o 13 menos 5 11 menos 7 9 menos 5 5 menos Oem voz alta alinhamento dos d 8. d 4. d 4. d 5.

nmeros deve serfeito pela direita (tirei 1) (tirei 1) (tirei 1)

Resposta: 6 023 - 575 = 5 448.

Para ter segurana na subtrao, preciso praticar. Ainda mais importante que aprender a subtrair saber quando devemos subtrar, Faa, ento, as seguintes atividades. Na primeira, voc encon-trar apenas contas. Nas outras, voc descobrir as contas que devem ser feitas.

AtividadesFaa no seu caderno.1. Faa as subtraes. No se esquea de verificar o resultado.

a) 16 495 - 13 827 =b) 20 000 - 4 625 =c) 1025 - (307 + 28) =

2. Num jogo de cartas chamado "buraco" ou"biriba", ganha quem fizer primeiro 2 000 pon-tos. Temos esta situao:a) Qual das duplas est na frente, NS ou ELES?b) Quantos pontos a dupla que est perdendo

precisa fazer para empatar?

NS ElES320 140250 280540 630

3. Joo recebe R$ 800,00 por ms. Neste ms, ele precisou fazer dois vales: um deR$ 120,00 e outro de R$ 150,00. Quanto ainda tem para receber no fim do ms?

4. Uma pessoa tem R$ 500,00 e quer comprar trs mercadorias. O preo de umadelas R$ 130,00; o da segunda R$ 210,00; e o da terceira R$ 150,00.Para essa compra, sobrar ou faltar dinheiro? Quanto?

s. A distncia entre Macei (Alagoas) e Braslia de 2 642 quilmetros. A dis-tncia entre Rio de Janeiro e Braslia de 1160 quilmetros. Uma pessoa vaide Braslia para o Rio de Janeiro e outra pessoa, de Braslia para Macei.a) Quem percorrer maior distncia?b) Quantos quilmetros a mais essa pessoa far?

Aula 7

Observando a forma como cresce esta seqncia de nmeros, voc consegue descobrir quais soos nmeros que vm depois?

I, 3, 6, 10, 15, , r r

Nesta aula, vamos conhecer as propriedades da adio. Com elas, voc simplifica muitos clculos.Mas antes veja o Exemplo 1, no qual uma boa idia tambm tornou o trabalho mais simples.

Exemplo 1Algum resolveu empilhar tijoles em forma de escada, como mostram as figuras:

,c::.,c::. -

............

......./'"

/'"

/'"

---~I I11

c::.

~ f-/'"

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;;-./'"

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...-.,...

.,......-

/'"

/'"

/'".,....,...

...-II I1 E:: ==--1

20

a) Quantos tijoles so necessrios para, empilhando-os todos, obter uma escada.de 10 degraus,como na figura da esquerda?

b) E de 20 degraus, como na figura da direita?

52 AULA 7

Talvez voc resolva a questo da escada de 10 degraus (item "a") s contando os tijoles. ummtodo lento, mas neste caso funciona.

J para a escada de 20 degraus (item "b"), essa contagem direta nos deixa um pouco impacien-tes. O mtodo no s lento, pouco prtico tambm.

De fato, se sairmos contando os tijoles um por um, no estaremos levando em conta que elesno esto jogados ao acaso, e sim organizados em forma de escada. Vamos ver, ento, uma idiaque permite saber quantos tijoles existem em cada escada sem cont-los de um em um.

Considere a escada menor. Ela tem 10 degraus. Vamos ento cort-Ia, como mostra a figuraabaixo.

FF '-

~-------l

I I- - - - - - - - - - - - - - corte

~ i~

~.--l1.11::';\"::.',':'!~.',":;::,.~.~.:~:V,J;'

64 AULA 8

CuriosidadeComplete a tabuada do 9, colocando os resultados em dezenas e unidades.

00. ~.-, o. - .' .. , ~-:~". ,.' -. , ~,~~:':;:..:;.::...~'.>;:.~,:";,

Aula 9

Vamos imaginar o seguinte: voc precisa saber quanto 14 x 12, mas ainda no sabe fazer estaconta e, tambm, no dispe de uma calculadora para ajud-Ia. Um amigo sugeriu que vocfizesse 140 mais 28, que daria certo. O que seu amigo sugeriu? Por que ele afirmou que a contad certo?

Vamos comear explicando as principais propriedades da multiplicao.O resultado da multiplicao tambm chamado de produto, e cada um dos nmeros mul-

tiplicados chamado de fator.

Propriedades da multiplicao

Propriedade comutativaUma das aplicaes bsicas da multiplicao de dois nmeros a de contar objetos que estoarrumados em linhas e colunas, formando um retngulo.

As bolinhas podem representar soldados em formao, carteiras de uma sala de aula,automveis em um estacionamento e muitas outras coisas.AMatemtica assim: ela representa objetos por smbolos. Podemos interpretar o desenho dafigura anterior de duas maneiras:

,. .] Formado por,. .] 4 filas de6 bolinhas\. .] cada uma. \. .]

r-- ~

Formado por6 filas de4 bolinhascada uma.

66 AULA 9

Conclumos, ento, que 4 x 6 = 6 x 4, sendo ambos os resultados iguais a 24. Apropriedade queacabamos de ver pode ser resumida na seguinte frase:

Aordem dos fatores no altera o produto.

Propriedade associativaQuando temos vrias operaes seguidas, indicamos dentro de parnteses (...) aquela que deveser feita primeiro. Por exemplo, a operao

5 x (6 - 2)deve ser feita assim:

5x (6 - 2) = 5 x 4 = 20

Agora, vamos imaginar que voc tenha de fazer a conta 5 x 2 x 3. Como fazer? Podemos expe-rimentar duas maneiras:

(5 x 2) x 3 = 10 x 3 = 30

t'------5 x (2 x 3) = 5 x 6 = 30

___ tComo j sabemos que a ordem dos fatores no altera o produto, podemos ainda experimentaroutras maneiras de multiplicar esses trs nmeros:

2 x (5 x 3) = 2 x 15 = 30

,-------t(3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 30

,----tEssasexperincias nos levam a concluir a seguinte propriedade:

Se temos vrias multiplicaes, qualquer uma pode ser feita primeiro.

MATEMTICA 67

Na vida realVista de cima, uma caixa de leite aparece assim:

DDDDDDDDDDDDCada retngulo representa 1 litro de leite. Quantos litros h em uma pilha de 5 caixas?

Primeiro, calculamos quantos litros de leite existem em cada caixa. Isso sabemos fazer.A resposta 3 x 4. Como essa situao aparece repetida cinco vezes, o nmero total de litros :

5 x 3 x 4

J sabemos que, para fazer o clculo, qualquer multiplicao pode ser feita primeiro. Resolve-mos, ento, calcular assim:

(5 x 3) x 4 = 15 x 4 = 60

Resposta: Na pilha existem 60 litros de leite.

Estamos aprendendo a fazer contas. J sabemos somar, subtrair e multiplicar. Mas no bastasaber fazer contas. O mais importante saber aplicar esses conhecimentos, para resolver os pro-blemas que temos todos os dias. Para descobrir quais so as contas que temos de fazer, precisopensar, preciso raciocinar.

O raciocnio se desenvolve com a prtica. Realizando atividades.Procure descobrir, em cada uma das atividades seguintes, quais so as contas que devem ser

feitas para se conseguir a resposta.

AtividadesFaa no seu caderno.1. Trs costureiras organizaram uma pequena fbrica de vestidos. Cada uma

delas consegue fazer 4 vestidos por dia e cada um dos vestidos vendido porR$ 40,00.a) Quanto dinheiro essa pequena fbrica arrecada por dia?b) Para cada vestido, gastam-se 2 metros de tecido. Quantos metros de tecido

so gastos por dia?c) O dinheiro que a fbrica arrecada por dia no o seu lucro. Existem

vrias despesas. As costureiras precisam comprar tecido, linhas, botes eoutros materiais e tm de pagar faxineira, que todos os dias vai arrumara baguna. Se a despesa em cada dia for de R$ 154,00, qual o lucro dafbrica por dia?

68 AULA 9

Agora, vamos conhecer um pouco mais a fbrica de vestidos da Atividade 1. Certo dia, as trsmoas resolveram aumentar a produo e contrataram mais uma costureira. Essa nova costu-reira era excelente e conseguia fazer 5 vestidos por dia. Ela passou a ganhar, por dia, R$ 6,00 parapagar o nibus e mais R$ 3,00 por vestido feito. Quanto ela vai receber diariamente?

Fcil. A conta a ser feita :

6 + 5 x 3

So R$ 6,00 do nibus. Se ela ganha R$ 3,00 por vestido, ganhar por todos: 5 x 3. Como deve-mos fazer a conta: 2 + 5 x 3?

Se voc fizer essa pergunta para vrias pessoas, com certeza vo aparecer duas sugestes. Temgente que vai fazer assim:

6 + 5 x 3 = 11 x 3 = 33

e tem gente que vai fazer assim:

6 + 5 x 3 = 6 + 15 = 21

Qual o jeito certo? Se voc pensar um pouco, vai descobrir que a segunda conta a certa. Aprimeira est completamente errada. No podemos fazer primeiro a conta 6 + 5 porque notem nada a ver somar o dinheiro reservado para o nibus com o dinheiro ganho pelos vestidos.Vamos, ento, aprender uma regra importante:

Se temos vrias operaes seguidas, devemos fazer primeiroas multiplicaes e, depois, as somas e subtraes.

AtividadesFaa no seu caderno.2. Quanto d esta conta: 9 + 6 x 1 - 4 x 2?

Propriedade distributivaAgora vamos imaginar a seguinte situao: dois irmos resolvem rifar uma bicicleta que no usam,embora ela seja quase nova. Joo diz: "Vamos vender cada bilhete da rifa por R$ 2,00, para nos-sos amigos." Pedra responde: "Est certo. Depois fazemos um sorteio para ver quem leva."

Joo vendeu 3 bilhetes e Pedro vendeu 7 bilhetes. Quanto eles arrecadaram? Repare que hduas maneiras de fazer a conta. Uma delas verificar quanto cada um arrecadou e, depois, somar.A conta a ser feita :

2x3+2x7

MATEMTICA 69

Chegamos concluso de que]oo arrecadou R$ 6,00 e Pedro arrecadou R$ 14,00. Portanto, osdois juntos arrecadaram R$ 20,00.

Mas tambm podemos fazer a conta de outra forma: verificamos quantos bilhetes foram ven-didos ao todo e multiplicamos pelo valor de cada um. Neste caso, a conta a ser feita :

2 x (3 + 7)

Conclumos, ento, que foram vendidos 10 bilhetes por R$ 2,00 cada um. Por isso, o total arre-cadado de:

R$ 2,00 x 10 = R$ 20,00

Com este exemplo, descobrimos que:

2 x (3 + 7) = 2 x 3 + 2 x 7

Esta importante propriedade pode ser resumida na seguinte frase:

Se um nmero multiplica uma soma,ento ele multiplica cada parcela dessa soma.

Devemos dizer que todos os resultados que apresentamos para voc no so coincidncias. As pro-priedades valem para qualquer outro nmero em qualquer outro problema, porque no depen-dem dos nmeros. Elas valem sempre, em qualquer situao.

Para gravar bem as propriedades, a Matemtica usa letras no lugar de nmeros. Portanto, ascontas que vamos escrever com letras so contas que podem ser feitas com quaisquer nmeros.

Observe como podemos resumir nossa aula usando letras:

propriedade comutativa: a x b = b x a

propriedade associativa: a x (b x c) = (a x b) x c

propriedade distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c

70 AULA 9

AtividadesFaa no seu caderno.3. Na figura abaixo, cada bolinha representa uma cadeira de um cinema. Quantos

lugares existem nesse pequeno cinema? (No vale contar de um em um.)

4. Cada andar de um edifcio tem 3 apartamentos de frente e 3 apartamentosde fundos. Se o edifcio possui 8 andares, quantos apartamentos existem?

5. Calcule: 2 + 3 x 4 - 5 + 6 x 1.

6. Calcule: 3 + 2 x (7 - 2).

7. Faa esta conta de duas formas diferentes: 5 x (2 + 6).

8. Faa esta conta de duas formas diferentes: 2 x (S + 3 - 1).

9. Volte situao proposta no incio desta aula e explique o que seu amigofez. Use uma propriedade para explicar.

Que algarismos devem ser colocados nos pontinhos da conta abaixo?

... 34x41 ... O

Invente um problema que tenha como soluo os clculos abaixo:

IS x 12 = 180300 - 180 = 120

Em diversas situaes do nosso dia-a-dia, necessitamos realizar multiplicaes. s vezes essascontas so feitas com nmeros muito grandes. Para facilitar a compreenso das tcnicas de cl-culo, vamos apresentar alguns exemplos.

Exemplo 1Uma caixa contm 27 bombons. Quantos bombons h em 8 caixas?

5 5Como feita 27 27 27a conta: 2...... 2..... 2.....

6 276

a que dizemos Para calcular o Para efetuar o clculo, Agora, multiplicamosem voz alta: total de bombons, multiplicamos 8 por 2 (algarismos das

devemos muiupti- inicialmente 8 por 7 dezenas) e depoiscar 8 por 27. (algarismo das unidades somamos 5:Armamos a conta do nmero de cima): 8 vezes 2 so 76desse modo. 8 vezes 7 so 56. e mais 5 so 27.

Escrevemos o 6 e "vo 5 ".

a resultado 276, ou seja, existem 276 bombons nas 8 caixas.Na multiplicao 8 x 27 = 276, nmeros 8 e 27 so os fatores e 276 o produto.

Vamos agora explicar porque a conta feita assim.O nmero 27 composto de 7 unidades e 2 dezenas:

27 = 7 + 20

72 AULA 10

Portanto, a conta 8 x 27 igual a 8 x (7 + 20). Vamos ento usar a propriedade distributiva damultiplicao (veja a Aula 9): quando um nmero multiplica uma soma, ele multiplica cada par-cela dessa soma.

Ento: 8 x 27 =8 x (7 + 20) =8 x 7 + 8 x 20 =56 + 160 =6 + 50 + 160

Observe que: 8 x 7 = 56 = 6 unidades e 5 dezenas8 x 20 = 8 x 2 dezenas = 16 dezenas

Somando ento as dezenas, verificamos que o resultado tem 6 unidades e 21 dezenas. Ou seja,ele igual a:

6 + 210 = 216

Voc viu por que a conta de multiplicar feita como mostramos no Exemplo 1. Com o tempo ecom a prtica, voc far contas como essas quase automaticamente.

AtividadesFaa no seu caderno.1. Numa fbrica, uma mquina produz 476 blusas por hora. Quantas blusas

sero produzidas em 8 horas?

2. Calcule:a) 725 x 8 =b) 1 196 x 4 =c) 12874 x 7=

Voc j sabe como multiplicar um nmero, pequeno ou grande, por outro de um algarismo.Veja agora como multiplicar um nmero de mais de um algarismo por outro de dois algarismos.

MATEMTICA 73

Exemplo 2Um teatro tem 32 fileiras de poltronas e cada fileira tem 54 poltronas. Qual a lotao desseteatro?

1 1 1Como feita a 54 54 54 54 54conta: x 32 x 32 x 32 x 32 x 32--

108 108108 1082 162 162-- --

I 728

O que dizemos Para cal- Inicialmente Agora, vamos 3 (dezenas) Somando asem voz alta: eular o 54 multi- multiplicar 54 por 3. vezes 5 108 unida-

total de plicado por 3 (dezenas) vezes 4 (dezenas) des com aspoltronas, 2. Isso j so 12 (dezenas). so 15 162 deze-devemos sabemos escrevemos o 2 e (centenas) nas, temosmultiplicar fazer. D "vai um". e com mais o resultado

, 54 por 32. 108. Ateno: o 2 fica na 1 (centena) da nossacasa das dezenas! so 16. operao.

Portanto, h nesse teatro 1 728 poltronas.

Vamos agora justificar esse processo utilizando, mais uma vez, as propriedades que vimos naaula passada. Observe que:

54 x 32 = 54 x (2 + 30)

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao, temos:

54 x 32 = 54 x (2 + 30)= 54 x 2 + 54 x 30

Note que 54 x 2 = 108 e que 30 = 3 dezenas, ou seja, 30 = 3 x 10.

Assim, temos:54 x 32 = 54 x 2 + 54 x 30

= 108 + 54 x 3 x 10= 108 + 162 x 10= 108 + 1 620

A soma:108

+ 16201728

d o resultado da operao e mostra perfeitamente por que, na conta armada, o 162 apareceudeslocado para a esquerda.

74 AULA 10

AtividadesFaa no seu caderno.3. Calcule:

a) 87 x 28 =b) 132 x 43 =c) 2051 x 73 =

Em tempoQuando terminamos uma conta, sempre ficamos em dvida se o clculo estcorreto. Um dos meios para verificar se a multiplicao est correta trocar aordem dos fatores. Veja o exemplo seguinte.

Vamos calcular 32 x 54:

54x 32108

1621 728

Trocando a ordem dos fatores, obtemos:

32x 54128

1601728

Se encontrarmos o mesmo resultado, a conta provavelmente estar certa. No um mtodo absolutamente seguro, porque podemos errar nas duas contas.Mas, de qualquer maneira, um modo de encontrar um possvel erro. Algunserros podem ser verificados facilmente. Por exemplo, a conta: 23 x 31 = 513est errada. Por qu?

Pense um pouco antes de continuar a leitura.A conta est errada porque, ao multiplicar 2 dezenas (20) por 3 dezenas (30),

obteremos 6 centenas (600). Portanto, o algarismo das centenas ter de ser igualou maior que 6.

4. As contas abaixo esto erradas. Sem fazer o clculo, descubra por qu.a) 27 x 24 = 348b) 221 x 34=5514

MATEMTICA 75

CuriosidadeVoc sabia que h um modo interessante de obter a tabuada do 9 usando osdedos das mos?

Suponha que desejamos multiplicar 4 por 9. Abrimos as mos sobre a mesae dobramos o quarto dedo, contando da esquerda para a direita.

J temos o produto: 3 dedos esquerda do dedo dobrado e 6 dedos direita,isto , 36.

Experimente obter outras multiplicaes.

Em tempoAlgumas multiplicaes envolvem nmeros de trs algarismos, sendo o zero oalgarismo das dezenas. Por exemplo: 205 x 314.

Fazendo os clculos, temos:

314x 2 O 51 5 7 OO O O

6286 4 3 7 O

Multiplicando 314 por 5 unidades, teremos:5 vezes 4 d 20, "vo 2";5 vezes 1 d 5, e mais 2 so 7;5 vezes 3 so 15.Portanto, 314 x 5 = 1 570.

76 AULA 10

Vamos agora multiplicar 314 por 2. Acompanhe:2 vezes 4 so 8;2 vezes 1 so 2;2 vezes 3 so 6.

Observe a posio do 8. No nmero 205, o 2 est na casa das centenas. Assim,quando fazemos a conta 2 vezes 4 so 8, estamos multiplicando 2 centenas por4, o que so 8 centenas. Por isso, o 8 ficou na casa das centenas e os outros resul-tados foram colocados esquerda.

Somando o produto das duas centenas por 314 com o produto das cinco uni-dades, com 314, obtemos o resultado 64 370.

Por que no multiplicamos zero por 314? Porque:

Somando o produto das duas centenas por 314 com o produto das cinco unidadescom 314, obtemos o resultado 64 370.

AtividadesFaa no seu caderno.5. Um rdio custa R$ 80,00, mas pode ser comprado em 4 prestaes de R$ 23,00.

Qual a diferena entre o preo total a prazo e o preo vista?

6. Calcule:a) 207 x 158 =b) 85 x 408 =

7. Uma mquina produz 4S peas por hora. Quantas peas fabricar em 24horas?

8. Um forno microondas est sendo anunciado para pagamento em 8 presta-es de R$ 31,50 cada uma. Qual o preo total desse produto?

9. Para a festa de aniversrio de sua fiiha, Jos encomendou lS caixas de refrige-rante. Se em cada caixa h 24 latas, quantas latas Jos encomendou ao todo?

Todos os dias medimos coisas, nas mais variadas ocupaes e atividades.Afinal, o que medir?Aqui est uma lista de casos para que voc e seu grupo analisem e indiquem o que medimos

em cada situao:

No posto mdicoEm casaNa conta de luzNa conta de gsNa cozinhaNo posto de gasolinaNa fazendaNo aougueNo autdromoNo nosso corpo

"Voc precisa ... "Responda o que eu preciso fazer nestas situaes da vida:

Vou encomendar uma haste de madeira para pendurar uma cortina.O que preciso fazer para comprar a haste do tamanho certo?

Tenho um terreno e sei quanto est valendo o metro quadrado na regio onde ele est situado.O que preciso fazer para avaliar meu terreno?

Para comemorar seu aniversrio de 80 anos, uma loja de roupas masculinas est oferecendoum terno sob medida ao primeiro senhor que se apresente e pese exatamente 80 quilos. Algome diz que quanto devo estar pesando.

O que preciso fazer para ter certeza de que estou pesando 80 quilos?

Um possvel comprador do meu carro quer saber qual a capacidade do tanque de gasolina.Digo-lhe que no sei. No entanto, ele insiste em saber.

O que preciso fazer para saber a capacidade do tanque do meu carro?

O pediatra disse que eu s desse o remdio ao meu beb se a temperatura dele chegasse a 38 graus.O que preciso fazer para saber se o beb est com 38 graus de temperatura?

78 AULA 11

o pediatra disse tambm que o termmetro deve ficar, pelo menos, 3 minutos na axila dobeb, pa:r;aque indique a temperatura correta.

O que preciso fazer para atender a isso?

Essas situaes so muito diferentes umas das outras, mas em todas h uma coisa em comum: pararesolv-Ias, preciso medir alguma coisa. Quer ver? Veja se concorda com as seguintes solues:

O que preciso fazer para ...

comprar a haste do tamanho certo?Medir a largura do vo onde ser pendurada a cortina.

avaliar meu terreno?Medir a sua rea total.

saber se estou "pesando" ~O quilos?Medir a massa do seu corpo, isto , "pesar-se".

saber a capacidade do tanque do meu carro?Medir essa capacidade.

saber se o beb est com 38 graus de temperatura?Medir a temperatura dele.

usar o termmetro durante o tempo certo?Medir o tempo que o termmetro fica na axila do beb.

Peso designa uma grandeza da mesma natureza que uma fora, enquanto massa de um corpo aquantidade de matria desse corpo. Nesse curso, usamos o termo "peso" como normalmente ocorreem situaes do cotidiano. Mas, para chamar a sua ateno de que o que est sendo medido naverdade a massa e no o peso, usamos aspas (").

mesmo muito comum precisar medir alguma coisa. Voc tambm deve se lembrar de algumaoutra coisa que precisou medir recentemente ...

AtividadesFaa no seu caderno.1. Descreva trs situaes em que voc se lembra de ter precisado medir alguma

coisa. O que foi que mediu? Com o qu?

MATEMTICA 79

Duas idias importantes na MatemticaVoc j viu a importncia que tem a contagem de objetos em nossa vida cotidiana. Pois o mesmose d com a medio. Contar e medir so aes muito importantes na vida, e so idias igualmenteimportantes na Matemtica. Veja algumas situaes em que contar e medir aparecem juntos:

Na construo de uma casa.Contamos: o nmero de molduras de janelas e portas, o nmero de azulejos, tacos, etc.Medimos: a largura da casa, o p-direito, a rea da sala, o volume da caixa-d'gua, etc.

nmero de telhas

..J.-r"'::Jji,.OIooI-- nmero de tijolos

Na receita de um bolo.Contamos: o nmero de ovos, de xcaras de acar e de leite, de colheres de chocolate em p,de colheres de fermento, etc.Medimos: a temperatura do forno, o tempo necessrio para que o bolo asse, etc.

Numa criana de 2 anos.Contamos: o nmero de dentes, de palavras que fala, de batidas do corao por minuto, etc.Medimos: a altura, o tamanho da cabea, o peso, a temperatura, etc.

Voc j percebeu que contar e medir esto presentes em quase todas as reas de trabalho e situa-es da vida. Na construo, no comrcio, no alfaiate, no consultrio mdico, na cozinha, naindstria, na aviao, na msica ... Onde ser que no?!

AtividadesFaa no seu caderno.2. D exemplo de uma outra situao na qual contamos e medimos.

A necessidade de medirMedir um ato to comum em nosso cotidiano que fica difcil imaginar um tempo ou um lugarem que no se costumava medir alguma coisa. Se olharmos para o passado da humanidade, pode-mos imaginar que contar e medir so necessrios desde que o homem homem. Pois essas aesfazem parte da vida do ser humano tanto quanto o ato de falar.Voc j viu, na Aula 2, como surgiu a contagem. Lembra-se do pastor fazendo talhos num pedaode osso para contar os animais do rebanho?

80 AULA 11

A mesma coisa aconteceu com as medidas: elas surgiram quando apareceu a necessidade de tercontrole, ou de saber mais, sobre a forma, o tamanho ou o peso dos objetos.

Os homens foram sentindo que era preciso medir, por exemplo, a durao das estaes, parasaber o momento de plantar e de colher. Ou medir o perodo de gestao de uma mulher. Medirum terreno ... ou a distncia da Terra Lua.

Conta-se que a Geometria, que o estudo da forma dos objetos, nasceu exatamente da neces-sidade de medio de terrenos. De fato, na palavra geometria, temos geo, que quer dizer terra, emetria, que se refere a medida: geometria, ento, a medida da terra.

Como surgiu a GeometriaAs origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades dodia-a-dia. Partilhar terras frteis s margens dos rios, construir casas, observar e prever os movi-mentos dos astros so algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de conhe-cimentos geomtricos. Documentos sobre as antigas civilizaes egpcia e babilnica compro-vam bons conhecimentos do assunto.

No Egito, era comum o pagamento de um imposto pelo uso da terra, que era calculado deacordo com a dimenso do terreno. Porm, o rio Nilo, que atravessa todo o Egito, transbordavade tempos em tempos, provocando grandes enchente~. Com as inundaes, as terras invadidaspelas guas acabavam diminuindo de tamanho e os impostos tinham que ser recalculados.

Imagine como era trabalhoso medir terreno por terreno! Era preciso encontrar um meio maisprtico para realizar a medio de grandes reas e representar essas medidas ... Os egpcios, ento,criaram um mtodo de medio baseado em tringulos. Provavelmente a partir disso surgiu oestudo das formas e das medidas dos objetos, o estudo que hoje conhecemos por Geometria.

MATEMTICA 81

Medir o qu?J vimos vrios exemplos de situaes cotidianas em que precisamos fazer medies. Afinal,medimos o qu? .De modo geral, medimos as coisas e o que acontece com elas, isto , os fenmenos. Por exemplo,os egpcios antigos mediam as enchentes do Rio ilo e o tempo de durao de cada uma delas.Encontraram ainda um mtodo prtico de medir os lotes de terra.

o corpo humano, muitas coisas podem ser medidas, tanto na parte externa quanto nainterna. Para o alfaiate ou a costureira, interessam medidas como largura dos ombros, altura dapessoa, cintura, etc. J para o mdico, importante medir a temperatura e a massa (ou "peso")e aferir a presso arterial do paciente'.

A massa dos alimentos tambm o que se costuma medir na feira e no aougue.

E h muito mais coisas que podem ser medidas: um carro numa pista, por exemplo. Pode-semedir o tempo que ele gasta para fazer um trajeto, sua velocidade em certo momento, etc. Emcasa mesmo, temos importantes medies a acompanhar, como o consumo mensal de gua ede energia eltrica.Agora que j temos um bom nmero de exemplos do que podemos medir, bom que vocrevise aquelas perguntas iniciais da aula. Da, ento, vamos refletir juntos sobre o seguinte: oque medir?

82 AULA 11

o que medir?Bem, vamos ver o primeiro exemplo da aula: o da haste para a cortina. Dissemos que precisomedir a largura do vo que a cortina vai ocupar. Como medir essa largura?

De muitas maneiras. A mais prtica talvez seja esta: medimos o vo da cortina com o palmo.Anotamos o total de palmos: digamos que sejam 8 (veja a figura seguinte). a loja, medimos ahaste tambm com o palmo, 8 palmos.

Podemos tambm medir o vo com um pedao de barbante, dando um n no ponto certo. Leva-mos o barbante para a loja e medimos a haste pelo n.

E podemos medir essa largura com os instrumentos mais comuns: a fita mtrica e a trena. Equal a idia do uso delas? a mesma do uso do palmo: contar quantos palmos cabem no voda cortina o mesmo que contar quantos centmetros cabem naquele vo. A diferena que, nafita mtrica ou na trena, existe uma unidade de medida (o metro) vlida para qualquer pessoaque a use, ao passo que, usando o palmo como medida, corre-se o risco de obter medidas dife-rentes, j que o tamanho da mo varia de pessoa para pessoa.

Quando medimos uma coisa (por exemplo: largura, comprimento ou peso), chamamos essa"coisa" de grandeza.

claro que, para medir uma grandeza (no caso, a largura do vo), devemos escolher o instru-mento adequado, aquele que nos dar a medida na unidade prpria para aquela grandeza, numaunidade da mesma espcie que a grandeza. No nosso exemplo, devemos medir o vo com umatrena ou fita mtrica, que nos daro a medida em centmetros, metros, polegadas, etc., ou seja,em unidades de comprimento. Pois claro que no poderamos medi-lo em litros ou em quilo-gramas, que so unidades de volume e de peso. Assim, podemos dizer que:

Medir comparar grandezas de mesma espcie.ou

Medir uma grandeza contar quantas vezes cabe dentro delauma certa unidade de medida que tomada como padro.

Vamos supor que, ao medir o vo da cortina, tenhamos obtido 1,83 m (1 metro e 83 centme-tros) de comprimento. Para comprar a haste, diremos ao vendedor que queremos uma haste de1,83 m de comprimento.

MATEMTICA 83

No nosso exemplo, dizemos que:a grandeza o comprimento (largura do vo);a unidade de medida, a unidade-padro, o metro;a medida um nmero expresso nessa unidade (1,83 m).

Isso nos faz ver que, para medir algo demodo que todos entendam e aceitem,precisamos adotar um padro, ou seja,uma s unidade de medida. H vriosinstrumentos para medir comprimento, .mas todos adotam um padro. Veja, nafigura ao lado, alguns exemplos dessesinstrumentos.

Em uma outra aula, estudaremosas unidades de medida. Por enquanto,exercite o que vimos nesta aula.

Atividades

Fita mtrica

Metro de carpinteiro

Faa no seu caderno.3. Faa uma lista com os instrumentos de medida que voc lembra ter em casa.

O que cada um deles mede?

4. Voltemos ao exemplo da haste para a cortina.a) Imagine que voc medisse o vo da cortina com seu palmo e fizesse a enco-

menda por telefone, dizendo ao vendedor quantos palmos a haste deve-ria ter. Poderia estar seguro de receb-Ia no tamanho certo?

b) Se o vendedor tivesse a mo maior do que a sua, a haste que ele mediriaseria maior ou menor que a encomenda? (Faa um "teste de palmos" comum amigo e s responda depois de fazer esse "teste".)

5. Medir tem um pouco de contar? (Responda com um exemplo de algo quevoc saiba medir.) O que voc "conta" quando mede?

6. Voc sabe que o homem comeou a contar usando os dedos. Tambm ver-dade que comeou a medir usando como "padro" uma parte do corpo, como o caso do palmo. Que outras partes do corpo voc acha que foram usadascomo padro de medida?

7. Volte atividade proposta no incio da aula. Tente dar pelo menos um exem-plo para cada item. Converse com os colegas de seu grupo para comparar asrespostas.

Trs pequenas associaes resolveram organizar uma festa para arrecadar fundos. "Somaremosnossos esforos e dividiremos os lucros", afirmou um dos presidentes. Pois bem, a festa aconte-ceu e foi um sucesso. Agora, chegou a vez do balano final. Um dos organizadores apresentoua seguinte tabela:

ESPCIE DESPESA RECEITA

Convite 5 50Som 15 -

Bebida 30 80Comida 25 40

Infra-estrutura 3 -Total 78 170

Despesa = dinheiro gasto na produo da festa.Receita = dinheiro arrecadado na festa com a venda de convites, bebidas e comidas.Lucro = diferena entre os totais das despesas e receitas.

Com base na tabela, qual o lucro total obtido na festa?Quanto receber cada uma das 3 associaes?

No nosso dia-a-dia, existem muitos momentos em que precisamos saber dividir. Em algumassituaes, podemos resolver essa operao mentalmente ou lide cabea", como costumamosdizer. Por exemplo:

6+3=28+2=4

12 + 4 = 3

Nesses exemplos, os resultados podem ser facilmente confirmados pela multiplicao, que aoperao inversa da diviso.

6+3=28+2=412 -- 4 = 3

poispoispois

2 x 3=64 x 2 = 84 x 3 = 12

MATEMTICA 85

No entanto, nem sempre trabalhamos com nmeros pequenos. E nesse momento que pode sermuito til saber a tcnica da operao.

Exemplo 1Vamos dividir 658 por 2. Armamos a conta assim: 658 2

Como feita 658~ 658~ 658~ 658~ 658~a conta: 3 -6 3 --.: 3 -~ 32 -.... : 32905 05 05 :

-~ -~:1 18-..H

O

O que dizemos Comeamos Fazemos agora Agora feita Comeamos de Abaixamosem voz alta: a operao 3x2=6e a subtrao novo, acom- 08.

dividindo colocamos esse 6-6=0 panhe. 5 72 1872 = 9,6 por 2. como resultado e abaixamos no d. Mas 9x2=18e672= 3, embaixo do o prximo 472 = 2, 18-18=0.escrevemos nmero que algarismo, 2x2=4eesse nmero est sendo 05. 5-4=1.embaixo dividido.do 2.

Na diviso, 658 chamado dividendo, 2 o divisor, 329 o quociente e O o resto

Exemplo 2Como dividir 253 por 5. Armamos a conta assim: 253 ~

Como dividir 2 por 5?Vamos interromper um pouquinho essa conta para lembrar o significado do nmero 253:

253 = 2 centenas + 5 dezenas + 3 unidades

E agora? Como dividir 2 por 5? Ah, ficou fcil. s transformar z" centenas em 20 dezenas e jun-tar com o 5. Assim:

25~ ~- 25: 5----i-

03

25 dividido por 5, d 5.5 x 5 = 25 - 25 = O

Abaixamos o 3. Como esse 3 corresponde a 3 unidades e menor que 5, no podemos, porenquanto, continuar a diviso. Dizemos que restam 3.

E o quociente? 5? Se voc respondeu no, acertou. Afinal esse 5 corresponde a 5 dezenas e,portanto, a 50 unidades. Por isso, colocamos um O (zero) atrs do 5, no lugar das unidades:

253 ~I

- 25: 50----03253 dividido por 5, d 50 e sobram 3.

dividendo 25~ LL- 25: 50--.

~

~ divisar~ quociente~ resto

86 AULA 12

AtividadesFc e cad r,l1. Faa as divises:

a) 345.;. 3 =b) 1260.;. 5 =c) 321.;. 4 =

Como ter certeza de que est correta a diviso? sempre importante verificar o resultado de uma operao. No caso da diviso, temos sempreduas verificaes a fazer:

se o resto menor que o divisor;se quociente x divisar + resto = dividendo.

Por exemplo:

3 menor que 5 (o resto menor que o divisor)50 x 5 + 3 = 250 + 3 = 253 (quociente x divisor + resto = dividendo)

2. Faa a verificao das contas da Atividade 1.

A diviso no dia-a-diaImagine estas situaes:

Voc e alguns amigos foram comer pizza. Na hora de pagar a conta, vocs tero de dividir adespesa. Para saber quanto cada um pagar, basta dvdr o valor total da conta pelo nmerode pessoas que comeram pizza.

Voc trabalha no setar de empacotamento de uma fbrica. Chegaram 10000 peas para seremarrumadas em pacotes de 1 dzia. Para saber o nmero de pacotes feitos, necessrio dividir10000 por 12.

Esses so apenas dois exemplos de aplicao da diviso. Voc certamente estar pensando emoutros ...

Descubra mais 5 exemplos de situaes em que voc aplica essa operao.

MATEMTICA 87

Exemplo 3Vamos dividir 550 por 12. Armamos a conta assim: 550 112

Como no podemos dividir 5 por 12, vamos comear dividindo 55 por 12.Pensando um pouco, vemos que 4 possvel para quociente, porque 4 x 12 = 48 (menor

que 55). Veja que 5 no possvel para quociente, porque 5 x 12 = 60 (maior que 55).

550 lrr- 48 4

7

4 x 12 = 4855 - 48 = 7

abaixamos o zero

559 112- 48: 45----i-

70- 60

~

na diviso de 70 por 12,5 possvel para quociente.5 x 12 = 6070- 60 = 10

Temos ento que, na diviso de 550 por 12, o quociente 45 e o resto 10.Verificao: 10 menor que 12 (o resto menor que o divisor)

45 x 12 + 10 = 540 + 10 = 550 (quociente x divisor + resto = dividendo)

Vamos agora examinar uma situao da nossa vida em que preciso conhecer bem a operaode diviso.

Vamos imaginar que uma pessoa deseje comprar um liquidificador que custa R$ 130,00, mas elano tem o dinheiro todo no momento. O vendedor da loja, percebendo isso, faz uma oferta:

- Se o senhor der uma entrada, eu posso dividir o restante em 3 parcelas iguais.- Assim est bem. Se eu der R$ 50,00 de entrada, qual ser o valor de cada prestao?

O vendedor faz ento as contas: 130 - 50 = 80. Agora vamos dividir 80 por 3:

89 ll..-- 6: 2625

2

o vendedor repara que h um resto de R$ 2,00 na diviso. Para no complicar o valor da presta-o, ele faz uma nova proposta ao comprador.- No clculo da prestao, sobraram R$ 2,00, que no posso dividir exatamente por 3. Se o

senhor puder incluir esses R$ 2,00 na entrada, teremos uma diviso exata.- De acordo. No lugar de dar R$ 50,00 de entrada, vou dar R$ 52,00.

Confira ento as novas contas:130 - 52 = 78

88 AULA 12

Dividindo agora 78 por 3:7~ LL

-6 i 26----+-

18

~

Assim, cada prestao ser de R$ 26,00. O resto da diviso zero, e todos ficaram satisfeitos.

AtividadesFaa no seu caderno.3. Preencha o quadrinho com o nmero que torna correta a operao:

4. Para participar de um jogo de bingo, cada equipe precisa de 8 cartelas. O coor-denador tem 125 cartelas. Quantos grupos podero jogar?

5. Um elevador tem capacidade para, no mximo, 8 pessoas. Qual o menornmero de viagens que ele ter de fazer para levar 125 pessoas?

6. Um restaurante dispe de mesas para 8 ou 9 pessoas. Para acomodar 125 pes-soas, ocupando mesas de 9 lugares, quantas mesas extras de 8 lugares seronecessrias para acomodar todo mundo?

7. Cinco jogadores ganharam um sorteio. O prmio foi de R$ 125,00.Quanto caber a cada uma dessas pessoas?

8. Faa as divises:a) 24 + 4 =b) 240 + 40 =c) 48 -- 8 =d) 480 + 80 =e) 12 -- 2 =f) 2 400 -- 400 =

9. No sei se voc percebeu, mas todas as divises da atividade anterior tiveramo mesmo resultado. Pense! Por que isso aconteceu?

10.O que acontece com o quociente de uma diviso quando multiplicamos (oudividimos) o dividendo e o divisor por um mesmo valor?

MATEMTICA 89

11. O que acontece com o resto de uma diviso quando multiplicamos (ou divi-dimos) o dividendo e o divisor por um mesmo valor?

12. Uma editora encomendou 1 200 pacotes de papel a uma fbrica. A entregadeve ser feita em 3 lotes iguais. O primeiro lote chegou ontem. Quantos paco-tes de papel foram entregues editora nesse primeiro lote?

13. Os 4 funcionrios de uma loja vo dividir o dinheiro da caixinha de Natal,igualmente, entre eles. Se na caixinha h R$ 180,00, quanto cada funcion-rio vai receber?

J vimos a importncia das unidades para fazer medies e que a unidade de medida deve ser amesma para todos, deve ser um padro. Agora, pense nas seguintes situaes.

Que unidade voc usaria para ...

medir a distncia entre duas estaes de trem?medir a distncia entre as mudas, numa plantao de alface?saber se um mvel novo cabe naquele espao livre de sua casa?saber quantas placas de grama so necessrias para cobrir um terreno?comparar o tamanho de dois estados brasileiros?saber se voc engordou?medir a dose de um remdio lquido?medir o rodap de uma casa?medir o consumo de gua de sua casa?medir quanto tempo voc gastou para fazer as atividades de ontem?marcar o tempo que um termmetro deve ficar na axila?medir o tempo em que voc est no mesmo empreg