mat. 2012 completa de matematica

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DILMAR RICARDO MATEMÁTICA TEORIA 276 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Dilmar Ricardo Organização e Diagramação: Mariane dos Reis 1ª Edição DEZ 2012 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de 19/02/98 – Lei dos Direitos Autorais). www.apostilasvirtual.com.br [email protected] [email protected]

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DILMAR RICARDO

MATEMÁTICA

TEORIA 276 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS

Teoria e Seleção das Questões: Prof. Dilmar Ricardo

Organização e Diagramação: Mariane dos Reis

1ª Edição DEZ − 2012

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de 19/02/98 – Lei dos Direitos Autorais).

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SUMÁRIO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Inteiros e Suas Propriedades. Números Racionais. Noções

Elementares de Números Reais. Aplicações ............................................................................................. 05 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 10

2. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcional, Regras de Três Simples e Composta....................................................................................................................... 12 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 14

3. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES ................................................ 17 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 19

4. ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE: Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações. Binômio de Newton. Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e Eventos Independentes. Aplicações ........................................................................................................................................... 21 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 25

5. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: Operações com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicações ....................... 29 DETERMINANTES: Cálculos de Determinantes, Propriedades e Aplicações. Resolução e Discussão de Sistemas

Lineares. Regra de Cramer...................................................................................................................................30 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 34

6. FUNÇÕES: Noção de Função. Gráficos. Funções Crescentes e Decrescentes. Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Função Composta e Função Inversa. Funções Lineares, Afins e Quadráticas. Funções Exponenciais e Logarítmicas ........................................................................................................................................ 36 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 41

7. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES........................................................................................ 45 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 46

8. TRIGONOMETRIA: Arcos e Ângulos. Funções Trigonométricas. Aplicações das Leis do Seno e do Cosseno. Resolução de Triângulos. Aplicações .......................................................................................................... 50 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 52

9. POLINÔMIOS: Conceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Polinômios e Propriedades .................................. 55 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 58

10. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: Raízes, Multiplicidade de Raízes, Número de Raízes de uma Equação, Relação entre Coeficientes e Raízes. Aplicações.............................................................................................................. 60 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 61

11. GEOMETRIA ANALÍTICA: Coordenadas Cartesianas, Distância entre Dois Pontos, Equações da Reta, Área de um Triângulo. Aplicações. Equações da Circunferência. Distâncias. Posições Relativas .........................................................62 Questões de Provas de Concursos e Exercícios Propostos........................................................................................... 68

12. GEOMETRIA PLANA: Retas. Circunferência e Círculo. Congruência e Semelhança de Triângulos. Relações Métricas no Triângulo. Áreas de Figuras Planas. Aplicações ....................................................................................... 70 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 74

13. GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações ........................... 81 Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 82

GABARITOS ....................................................................................................................................... 86

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MATEMÁTICA

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Números Naturais, Inteiros e Suas Propriedades. Números Racionais. Noções Elementares de Números Reais. Aplicações.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N): O conjunto dos Números Naturais é representado por N = {0,1,2,3,4,5,...}. Observação: N* = {1,2,3,4,5,...} representa o conjunto dos Números Naturais não nulos.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z): O conjunto dos Números Inteiros é representado por Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Observações: Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,4,...} representa o conjunto dos Números Inteiros não nulos. Z*+ = {1,2,3,4,...} representa o conjuntos dos Números Inteiros Positivos que equivale ao conjunto dos Números Naturais não nulos. Z+ = {0,1,2,3,4,...} representa o conjunto dos Números Inteiros não negativos que é equivalente ao conjunto dos Números Naturais. Z*- = {...,-4,-3,-2,-1} representa o conjunto dos Números Inteiros Negativos. Z- = {...,-3,-2,-1,0} representa o conjunto dos Números Inteiros não positivos.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q): O conjunto dos Números Racionais é obtido através da união dos Números Inteiros e as frações não aparentes positivas e negativas. Assim, todo Número Racional pode ser escrito na forma a/b, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0. Exemplos: {-2,-3/2,-1,-1/2,1/3, ...}

De acordo com os exemplos é possível notar que os Números Racionais podem gerar números decimais exatos (-3/2 = -1,5) ou números decimais periódicos (1/3 = 0,333 ...).

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I): Número Irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma decimal infinita e não-periódica. Exemplos: Um dos números irracionais mais conhecidos é o π, que se obtém dividindo o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro (π = 3,141592 ...). As raízes quadradas não exatas de números naturais também são números irracionais ( 3 = 1,7320508 ...).

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R): O conjunto dos Números Reais é dado pela união dos conjuntos de Números Racionais e Irracionais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um radical de índice par e radicando negativo é impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um número negativo. Exemplo: 4− não é um Número Real; é um Número Complexo.

Notação de Intervalo de Números Reais O intervalo numérico encontrado como solução de uma inequação pode ser descrito de várias maneiras. Por exemplo, o conjunto verdade descrito no exemplo acima pode ainda ser escrito como:

{ }2x/xV <ℜ∈= ou ] [ ( )2;ou2; ∞−∞− Observações: 1. Será usado ( ) ] [;ou; para intervalos abertos nas duas extremidades; 2. Será usado [ [ [ );ou; quando o intervalo for fechado à esquerda e aberto à direita; 3. Será usado ] ] ( ];ou; quando o intervalo for aberto à esquerda e fechado à direita; 4. Será usado [ ]; para intervalos fechados;

N: Naturais Z: Inteiros Q: Racionais I: Irracionais R: Reais C: Complexos

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5. Nas extremidades em que ocorre o infinito a notação usada será a aberta; 6. A notação usada será aberta quando o número que está na extremidade do intervalo não pertencer à solução da inequação. 7. A notação usada será fechada quando o número que está na extremidade do intervalo pertencer à solução da inequação. 8. A descrição da solução da inequação ainda poderá ser feita através da reta numérica.

Frações e Operações com Frações

As frações são números representados na forma yx .

Exemplos: 267 ; 2

510

= ; 21

84=

O número x é o numerador da fração e y o denominador. Para que uma fração exista é necessário que y seja diferente de zero ( 0y ≠ ).

Classificação das Frações Quanto à classificação a fração pode ser: - REDUTÍVEL: É quando a fração admite simplificação. Isso ocorre se o numerador e o denominador forem divisíveis por um mesmo número.

Exemplo: na fração 84 tanto o numerador quanto o

denominador são números divisíveis por 4. Assim, podemos

escrever que 21

84= .

- IRREDUTÍVEL: É quando a fração não admite simplificação.

Exemplo: A fração 267 é uma fração que não admite

simplificação. - APARENTE: É quando o numerador é múltiplo do denominador.

Exemplo: 25

10= .

- PRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui numerador menor que o denominador.

Exemplo: 267 .

- IMPRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui numerador maior ou igual ao denominador.

Exemplo: 726 ;

2626 .

- EQUIVALENTE: Quando duas frações representam uma mesma parte do inteiro, são consideradas equivalentes.

Exemplo: 84 é uma fração equivalente à

21 , pois ambas

representam metade de um inteiro.

Número Misto Toda fração imprópria, que não seja aparente, pode ser representada por uma parte inteira seguida de uma parte fracionada.

Exemplo: 753

726

= , ou seja, 726 representa 3 partes

inteiras mais a fração própria 75 .

Processo

• Repetimos o denominador 7 da fração imprópria;

• Dividimos o número 26 por sete para obtermos a parte inteira 3;

• Colocamos como numerador da fração própria o resto da divisão obtida entre 26 e 7.

Operações entre Frações

Redução de Frações ao Menor Denominador Comum

Para reduzirmos duas ou mais frações ao menor denominador comum, devemos determinar o m.m.c dos denominadores, dividir o m.m.c encontrado pelos denominadores e, o resultado dessa divisão, multiplicar pelos numeradores.

Exemplo: Reduzir as frações 43 e

65 ao menor

denominador.

Processo: 1210,

129

65,

43

=

Comparação entre Frações 1° caso: Denominadores iguais Dadas duas ou mais frações com o mesmo denominador, a maior dessas frações será aquela que tiver maior numerador.

Exemplo: Comparando as frações 41;

47;

43 teremos:

47

43

41

<< ou 41

43

47

>> .

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2° caso: Denominadores diferentes Para compararmos duas ou mais frações que possuam denominadores diferentes, reduzimos as frações ao menor denominador comum e procedemos de acordo com o 1° caso.

Exemplo: Compare as frações 51;

67;

43 .

Processo: 6012;

6070;

6045

51;

67;

43

= . Como 6012

6045

6070

>>

temos que 51

43

67

>> .

3° caso: Numeradores iguais Dadas duas ou mais frações com o mesmo numerador, a maior dessas frações será aquela que tiver menor denominador.

Exemplo: Comparando as frações 54;

74;

34 teremos

74

54

34

>> ou 34

54

74

<< .

Adição e Subtração 1° caso: Adição ou subtração com denominadores iguais Para adicionar ou subtrair frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador comum e adicionar ou subtrair os numeradores.

Exemplo: =+104

103

107

1043=

+

2° caso: Adição ou subtração com denominadores diferentes Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, basta reduzirmos as frações ao menor denominador comum e procedermos como no primeiro caso.

Exemplo: =+72

85

5651

561635

=+

Multiplicação e Divisão 1° caso: Multiplicação Para multiplicar duas ou mais frações, basta dividirmos o produto dos numeradores pelo produto dos denominadores.

Exemplo: 2

15645

35

29

==⋅

Observação: Sempre que possível, devemos fazer a simplificação dos numeradores com os denominadores, antes de efetuarmos o produto. Essa simplificação pode ser feita com numerador e denominador da mesma fração ou então com numerador de uma fração e denominador de outra. Então, na operação anterior, teríamos:

215

253

35

293

=⋅

=/

⋅/

2° caso: Divisão Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo: 225

35

215

53

215

=⋅=÷

Dízimas São números que possuem infinitas casas decimais. Exemplos:

...3333,031= ...5555,1

914

= ...32222,190

119=

....4142,12 = .....1415,3=π

Os números 31 ;

914 ;

90119 ; 2 ; π são denominados

geratriz das dízimas apresentadas acima.

Dízimas Não Periódicas As dízimas não periódicas ou aperiódicas são aquelas que não possuem período definido. Dos exemplos citados acima é possível verificar que πe2 geram dízimas não periódicas.

Dízimas Periódicas As dízimas periódicas são aquelas que possuem período definido. Dos exemplos citados acima é possível verificar

que 90

119;9

14;31 geram dízimas periódicas.

Observações: 1. Todos os radicais inexatos geram dízimas aperiódicas; 2. Período é o número que se repete após a vírgula, na dízima periódica; 3. Dízimas periódicas simples são aquelas que apresentam o período logo após a vírgula; 4. Dízimas periódicas compostas são aquelas que apresentam parte não periódica (número que aparece entre a vírgula e o período); 5. O número que aparece à esquerda da vírgula é denominado parte inteira. REPRESENTAÇÃO E NOMENCLATURA Considere a dízima periódica 1,322222....

1,3(2)

1,3 2 Então,

• 1 é a parte inteira • 3 é a parte não periódica • 2 é o período

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OBTENÇÃO DA GERATRIZ DA DÍZIMA PERIÓDICA 1º caso: Dízima periódica simples sem a parte inteira O numerador da geratriz é formado pelo número que forma o período e, o denominador, por uma quantidade de “noves” que corresponde à quantidade de algarismos que o período possui.

Exemplo: 0,323232.... = 9932

0,(32) 32,0

2º caso: Dízima periódica simples com a parte inteira O numerador da geratriz é formado pela parte inteira seguida da periódica, menos a parte inteira. O denominador é formado por uma quantidade de “noves” que corresponde à quantidade de algarismos que o período possui.

Exemplo: 1,323232.... = 99131

991132=

1,(32) 1, 32

3º caso: Dízima periódica composta sem a parte inteira O numerador da geratriz é formado pela parte não periódica seguida da periódica, menos a parte não periódica. O denominador é formado por uma quantidade de “noves” que corresponde à quantidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quantidade de zeros que corresponde à quantidade de algarismos que a parte não periódica possui.

Exemplo: 0,4565656.... = 495226

990452

9904456

==−

0,4(56) 0,4 56

4º caso: Dízima periódica composta com a parte inteira O numerador é formado pela parte inteira seguida da parte não periódica e periódica, menos a parte inteira seguida da parte não periódica. O denominador é formado por uma quantidade de “noves” que corresponde à quantidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quantidade de zeros que corresponde à quantidade de algarismos que a parte não periódica possui.

Exemplo: 5,4565656.... = 4952701

9905402

990545456

==−

5,4(56) 5,4 56

Potenciação Considere dois números naturais x e n, com n > 1. Denominamos potência de base x elevada ao expoente n, o número xn que é o produto de n fatores iguais a x. Assim,

4 34 21fatoresn

n x...x.x.x.xx =

Exemplo: 1255.5.553 ==

Definições

Número elevado ao expoente nulo

Por definição temos 1x0 = , desde que 0x ≠ . Exemplos: 30 = 1

152 0

=⎟⎠

⎞⎜⎝

( ) 160=

00 = Indeterminado

Número elevado ao expoente unitário

Por definição temos xx1 = . Exemplos: 31 = 3

43

43 1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

( ) 221=

01 = 0

Potência de expoente inteiro negativo

Por definição nn

nnn

x1

x1

x1x ==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=− .

Exemplos: 125

151

515 3

333 ==⎟

⎞⎜⎝

⎛=−

827

23

23

32

3

333==⎟

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

∃/===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−

01

01

010 3

333

Observações: 1. zero negativo = ∃/ (não existe solução)

2. n

nn

yx

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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Propriedades

Produto de bases iguais

mnmn xxx +=⋅

Exemplos: 31255555 52323 ===⋅ + 42222 25353 ===⋅ +−−

Veja que os expoentes permanecem com os mesmos sinais durante a operação.

Divisão de bases iguais

mnm

nx

xx −=

Exemplos: 22222 134

3

4=== −

12822222 734)3(4

3

4==== +−−

Veja que o sinal do expoente do denominador muda durante a operação.

Potência de potência

1º caso: ( ) mnmn xx ⋅=

Exemplo: ( ) 256222 84242 === ⋅

2º caso: ( )mm nn xx =

Exemplo: 813 224=

Veja que a resolução é feita de cima para baixo, ou seja, primeiro resolvemos 34.

Potência de produto ou divisão

( ) nnn yxyx ⋅=⋅

Exemplo: 3375

8125

1278

51

32

51

32

51

32

3

3

3

3333=⋅=⋅=⎟

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

Radiciação A radiciação é uma operação matemática oposta à potenciação (ou exponenciação).

Para um número real a, a expressão n a representa o único número real x que verifica xn = a e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Assim temos:

n a = x → xn = a

onde: a: radicando n: índice do radical (n ∈ N / n ≥ 1) x: raiz n-ésima de a

: radical

Obs: Quando n é omitido, significa que n é igual a 2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. Exemplo: 864 = , pois 82 = 64.

Propriedades Para a e b positivos tem-se:

Radical de um produto

nnn baba ⋅=⋅ Exemplo: 84.216.4164 ===⋅ .

Radical de um quociente

n

nn

ba

ba

=

Exemplo: 326

436

436

=== .

Radical de uma potência

nm

n m aa =

Exemplo: 54

5 4 33 = .

Radical de outro radical

nmm n aa ⋅=

Exemplo: 15355 3 555 == ⋅

Racionalização Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização da fração. Exemplos:

a) b

bX

b

bXbb

bXbX

2

⋅=

⋅=

⋅= .

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b) aaX

a

a

a

X

a

X n mn

n mn

n mn

n mn m

− ⋅=⋅= .

c) ( )( )( )

( )ba

baXbaba

baX

baX

−−⋅

=−

−⋅

+=

+.

Observação: (a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2

Expressões Numéricas Para resolvermos as expressões numéricas, devemos seguir a seguinte seqüência de operações: 1. As potências e as raízes;

2. Os produtos e os quocientes, na ordem em que aparecem (esquerda para a direita);

3. As somas e as diferenças, em qualquer ordem;

4. Nas expressões que apresentarem parênteses, colchetes e chaves, devemos começar pelas expressões neles contidas, a partir do mais interno (parênteses).

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.21)

Se o número N = 16.16 , então é correto afirmar que: a) N = 18 b) N = 16 c) N = 12 d) N = 10 e) N = 8 2. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.23) Qual é o valor da expressão numérica a seguir?

38

32

25

29

31 2

÷+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+×

a) 8 b) 6 c) 3 d) 2 e) 1 3. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.31) Um casal tem quatro filhos: Alberto (A), Bendito (B), Carlos (C)

e Davi (D). o filho A tem 41 da idade do pai, B tem

64 da

idade do pai, C tem 31 da idade do pai e D tem

53 da

idade do pai. Com essas informações podemos afirmar que se colocarmos esses filhos em ordem do mais velho para o mais novo teremos: a) B, D, C e A b) A, B, C e D c) D, C, A e B d) D, C, B e A e) C, D, A e B

4. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.32) Os números decimais representados por A = 0,56; B = 0,6; C = 0,375 e D = 0,500 quando colocados em ordem decrescente assumem as seguintes posições: a) C, A, D e B b) D, C, A e B c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) C, D, A e B 5. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.33) O número 30804 pode ser escrito como: I – 3.104 + 8.10² + 4 II – 30.10³ + 80.10 + 4.100 III – 3.104 + 0.10³ + 8.10² + 0.10¹ + 4 IV – 3.105 + 0.104 + 8.10³ + 0.10² + 4.10¹ As afirmações acima podem ser falsas (F) ou verdadeiras (V) e aparecem na seguinte ordem: a) F, F, V, F b) V, V, V, F c) F, F, F, V d) F, V, V, F e) V, F, V, F 6. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.37)

Na expressão numérica x5

232 025=

−+ o valor de x

pode ser expresso por: a) 20 b) 4² c) 20.2² d) 2³ e) 2-3

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7 [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.16) Se o número N = 16,0 então é correto afirmar. a) N = 0,04 b) N = 0,4 c) N = 0,8 d) N = 0,08 e) N = 0,008 8. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.16) Se o número N = 25,081 então o valor de N é a) N = 1 b) N = 3 c) N = 5,9 d) N = 9,5 e) N = 20,25 9. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.18)

Seja ( ) 432

5,1.32M −

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= então é correto afirmar.

a) M < 21

b) 21 < M <

23

c) 23 < M <2

d) 2 < M < 25

e) M >25

10. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.20) Qual é o valor do expoente n na expressão numérica dada a seguir?

n5 10.25,62.5 = a) (-1) b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 11. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.25) Um dado produto, vendido a granel, custa R$ 20,00 por quilograma. Na pesagem do produto o funcionário esqueceu-se de descontar a massa de 50 gramas da embalagem descartável. Se o preço a pagar pelo produto embalado foi de R$4,00, quantos gramas do produto o consumidor está levando na embalagem? a) 150 gramas b) 200 gramas c) 250 gramas d) 300 gramas e) 350 gramas

12. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.26) Um salão de festas dispõe de 114 mesas, sendo que em torno de cada uma delas podem sentar no máximo 6 pes-soas. Numa determinada festa, para 680 pessoas senta-das, todas as mesas foram ocupadas, sendo que uma mesa era disponibilizada somente quando as anteriores estivessem completamente ocupadas. Qual será o nú-mero de pessoas sentadas na mesa que não estava completamente ocupada? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Para responder as questões 13 e 14 seguintes considere que o preço do presunto fatiado vendido a granel é R$ 12,00 por quilograma e que o funcionário esqueceu de descontar a massa de 50 gramas da embalagem descartável no ato da pesagem. 13. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.21) Qual quantidade real de presunto contém uma embalagem, já pesada, marcada com o preço de R$ 12,00? a) 1000 gramas b) 995 gramas c) 990 gramas d) 950 gramas e) 900 gramas 14. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.22) Para conseguir comprar exatamente 1Kg de presunto um consumidor deverá escolher a embalagem com qual dos preços a seguir? a) R$12,00 b) R$12,20 c) R$12,40 d) R$12,50 e) R$12,60 Considerando o número decimal infinito n= 2,7777..., responda as questões 15 e 16 seguintes: 15. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.28) Qual é a representação fracionaria do número n?

a) 9

25

b) 9

27

c) 34

d) 37

e) 27

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16. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.29) Qual é o valor da raiz quadrada de n? a) 1,333333... b) 1,353535... c) 1,555555... d) 1,666666... e) 1,777777...

17. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.29) Seja, Z o conjunto dos números inteiros relativos e sejam x, y e z três números quaisquer de Z. considere agora as afirmações seguintes: I. se x<y, então x+y<y+z. II. se xy>0, então xyz>0. III. se xz>0 e yz<0, então x+y>0. IV. se y<0 e yz<0, então xy<0. Das afirmações acima pode-se dizer que: a) somente a I é verdadeira. b) a I e II são verdadeiras. c) há três alternativas verdadeiras. d) somente a IV é verdadeira. e) todas são falsas.

2 NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcional, Regras de Três Simples e Composta.

Razões A razão entre os elementos A e B é dada pelo quociente

BA , nesta ordem.

O numerador A é chamado de antecedente e o denominador B consequente. Exemplos: 1. Encontre a razão entre os números 0,5 e 0,333... .

Razão = 5,13045

39

105

93

105

...333,05,0

==⋅==

Observação: 0,5 = 5/10 0,333... = 3/9 2. Encontre a razão inversa entre os números 20% e 3.

Razão inversa = 15230

2,03

%203

===

Observação: - No caso da razão inversa devemos inverter a ordem dada.

- O produto entre as razões inversas BA e

AB é igual a 1.

Produto = BA .

AB = 1

Ou seja, o produto entre duas razões inversas é sempre igual a 1.

ESCALA A Escala trata-se de uma razão que relaciona uma medida irreal com a sua correspondente medida real. Por exemplo, quando dizemos que um mapa foi construído na escala 1/1000, estamos informando que cada unidade medida no mapa corresponde na realidade 1000 vezes àquele valor. A Escala serve para relacionar outros elementos assim como as medidas da planta de uma casa, maquete de um avião, maquete de um estádio de futebol, entre outros.

alReoComprimentIrrealoComprimentEscala =

Proporções A Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. A mesma pode ser classificada como: Proporção simples Neste caso a igualdade acontece somente entre duas razões.

DC

BA=

• A, B, C e D são, respectivamente, o 1°, 2°, 3° e 4°

termos da proporção. • A e C são os antecedentes da proporção (numeradores). • B e D são os consequentes da proporção (denominadores) • A e D são os extremos da proporção • B e C são os meios da proporção Proporção simples contínua Uma proporção simples é considerada contínua quando seus meios forem iguais.

CB

BA=

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Proporção múltipla Neste caso a igualdade acontece entre três ou mais razões.

...FE

DC

BA

===

Divisão Proporcional Em problemas que tratam de divisão proporcional faremos o uso de sucessões diretas ou inversamente proporcionais. Considere que as duas sucessões )x...,,x,x,x( n321 e

)y...,,y,y,y( n321 sejam diretamente proporcionais. Neste caso, pode-se afirmar que:

kyx...

yx

yx

yx

n

n

3

3

2

2

1

1 ===== (constante de

proporcionalidade) Considere que as duas sucessões )x...,,x,x,x( n321 e

)y...,,y,y,y( n321 sejam inversamente proporcionais. Neste caso, pode-se afirmar que:

ky.x...y.xy.xy.x nn332211 ===== (constante de propor-cionalidade)

Regras de Três Simples e Composta A regra de três é um método utilizado na resolução de problemas que tratam de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra aumenta ou, diminuindo uma delas a outra diminui, na mesma pro-porção. Exemplo: Se dobrarmos o valor da distância a ser percorrida por um móvel, o valor do tempo também irá dobrar. Logo, distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui na mesma proporção ou, vice-versa. Exemplo: Se dobrarmos a velocidade de um móvel, o valor do tempo será dividido por dois. Logo, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. A regra de três pode ser classificada como simples ou composta. A regra de três simples é utilizada na resolução de problemas que tratam de apenas duas grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Exemplo: Uma máquina produz 600 peças em 20 minutos. Quantas peças essa máquina produzirá em 50 minutos?

50

20tempo

x

600peças ↑↑

Observação: As grandezas peças e tempo são diretamente proporcionais. Assim, a proporção que soluciona a regra e três é dada por:

5020

x600

= ou 2050

600x

=

Que resulta em x = 1500 peças.

A regra de três composta é utilizada na resolução de problemas que tratam de três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: Um circo é armado por 15 homens que traba-lham 10 horas por dia, durante 3 dias. Em quanto tempo armariam esse circo, 10 homens que trabalhassem 9 horas por dia?

x

3dias

9

10dia/horas

10

15enshom ↑↓↓

Observações: 1. A grandeza dias é inversamente proporcional a horas/dia. 2. A grandeza dias é inversamente proporcional a homens. Assim, a proporção que soluciona a regra de três é dada por:

910

1015

3⋅=

x ou 109

15103

⋅=x

Que resulta em x = 5 dias

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS

Razões e Proporções, Divisão Proporcional Em certa festa com 30 pessoas foi observado que a proporção de mulheres para homens era de 3 para 2, nesta ordem. A partir desses dados, responda às questões 1 e 2 seguintes: 1. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.24) Qual é o número de homens na referida festa? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 2. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.25) Qual é a diferença entre o número de mulheres e o número de homens na citada festa? a)10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 Pedro e João ganharam, ao todo, R$ 230,00 e dividiram, não igualmente, a quantia de forma que a quantia de Pedro excede a metade da quantia de João em R$ 20,00. Partir desses dados, responda às questões 3 e 4 a seguir: 3. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.29) Quanto ganhou Pedro? a) R$ 115,00 b) R$ 105,00 c) R$ 100,00 d) R$ 95,00 e) R$ 90,00 4. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.30) Qual é a diferença entre os valores maior e menor na partilha feita entre os dois? a) R$ 20,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 60,00 5. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.38) Veja a sequência numérica A = (12, 36, 15, x); qual deve ser o valor de x para que se tenha uma proporção sendo que a ordem deve ser respeitada? a) 18. b) 10. c) 60. d) 45. e) 5.

6. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.39) Há dois números naturais cuja diferença entre eles é 11. Um está para 28 assim como o outro está para 72. Então a soma entre eles é: a) 11. b) 25. c) 44. d) 100. e) 89. 7. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.40) A seguir estão duas sequências de número, a saber, (40, 80, 16) e (2, 1, 5). Dessas duas sequências pode-se dizer que: a) são diretamente proporcionais. b) os números de uma são, respectivamente, divisores da outra. c) os números de uma são, respectivamente, múltiplos da outra. d) são inversamente proporcionais. e) não há relação entre elas. 8. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/2011].(Q.41) Pedro e Maria são sócios. Eles investiram R$ 2.500,00 e R$ 3.800,00, respectivamente, num certo empreendimento. Após 8 meses fizeram o balanço e o lucro da Maria era de R$ 260,00 a mais do que o de Pedro. Qual foi o lucro total do empreendimento nesse período? a) R$ 760,00. b) R$ 560,00. c) R$ 1.260,00. d) R$ 1.860,00. e) R$ 1.560,00. 9. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.18) Sabe-se que 12 corresponde a 10% de 40 % de um número M. Qual é o valor de M? a) 24 b) 30 c) 300 d) 4800 e) 6000 Certo jogo é composto por 60 cartas, de tal forma que há 2 cartas vermelhas para cada 3 cartas verdes. A partir desses dados responda as questões 10 e 11 seguintes: 10. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.22) Qual é o número de cartas vermelhas no referido jogo? a) 20 b) 24 c) 30 d) 42 e) 48

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11. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.23) Qual é a diferença entre o número de cartas verdes e o número de cartas vermelhas do citado jogo? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 Instruções: O texto seguinte refere-se à questão 12.

Biodiesel precisa de matéria-prima F

OLHA DO POVO C

Campo Grande, Segunda-feira, 22 de Setembro de 2008

A agricultura familiar ainda precisa entrar de maneira mais significativa no programa de biodiesel para que a três usinas do combustível da Petrobras, sendo uma delas em Quixadá, possam operar em sua plena capacidade. São necessários cerca de 70 mil a 80 mil hectares adicionais de produção de matéria-prima de bicombustível, como mamona, girassol e soja. A informação foi dada pelo presidente da Petrobras Bicombustíveis, Alan Kardec, durante a conferência Rio Oil & Gás 2008. Hoje, existem 55 mil produtores cadastrados. (...) Apesar deste gargalo ainda a ser resolvido, a usina de Quixadá deverá operar em sua capacidade máxima, que é de 57 mil metros3 por mês, em um prazo de três meses e meio. A usina contou com investimentos de R$ 100 milhões na sua construção, Um percentual de 30% da produção será destinada ao Ceará e o restante para outros estados. 12. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.29) A partir da matéria jornalística apresentada, suponha que a produção de biodiesel tenha aumentado de 3 mil metros cúbicos a cada quinze dias, contados a partir da data de sua publicação. Considere, também que o numero de famílias cadastradas no programa de produção de matéria-prima de bicombustível (55 mil, na data de veiculação da reportagem) seja proporcional ao volume de biodiesel produzido pela usina de Quixadá. Dessa forma, a capacidade máxima de produção da usina de biodiesel em Quixadá só ocorrerá quando o número de famílias cadastradas como produtoras de matéria-prima: a) estiver entre 70 mil e 75 mil. b) estiver entre 77 mil e 80 mil. c) estiver entre 81 mil e 83 mil. d) estiver entre 85 mil e 88 mil. e) superar 90 mil.

Regras de Três Simples e Composta 13. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.21) Suponha que a massa do coração de um mamífero seja proporcional à massa de seu corpo. Se a massa do coração de um cavalo é 3,9 quilos com massa de corpo igual a 650 quilos, então, a massa do coração, em quilos, de um humano com massa de corpo de 70 quilos é: a) 0,36. b) 0,37. c) 0,39. d) 0,42. e) 0,44. 14. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.25) Uma plantação de cana tem a forma de um quadrado de 160 metros de lado e uma máquina consegue ceifá-la em 20 horas. O número de horas que esta mesma máquina ceifaria outra plantação de cana, de forma quadrada, com 190 metros de lado é, aproximadamente: a) 23,75. b) 24,15. c) 28,20. d) 30,25. e) 38,15. 15. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.21) Para a merenda escolar de um certo dia foram cozidos 6 kg de macarrão. Trinta (30) crianças se alimentaram naquele dia. Quantos gramas de macarrão coube a cada criança? a) 300 gramas. b) 150 gramas. c) 200 gramas. d) 600 gramas. e) 80 gramas. 16. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.23) No refeitório da escola há uma mesa de 4,5 metros de comprimento. Cada criança ao sentar-se ocupa 50 cm da mesa. Considerando que as crianças podem sentar dos dois lados da mesa pergunta-se: quantas crianças podem merendar de cada vez nessa mesa? a) 15 b) 6 c) 8 d) 10 e) 18

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Para responder às questões 17 e 18 seguintes, considere que, numa fábrica de chocolates artesanais, 10 funcionárias fazem 20 barras de 50 gramas a cada duas horas. 17. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.31) Se forem contratadas mais 5 funcionárias, Certo jogo é composto por 60 cartas, de tal forma que com as mesmas habilidades das primeiras, quantas barras de 50 gramas serão produzidas pelo novo grupo de funcionárias a cada duas horas? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 18. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.32) Quanto tempo será necessário exatamente para que 10 barras iguais às anteriores sejam feitas por 20 funcionárias, com as mesmas habilidades das primeiras? a) 20 minutos. b) 30 minutos. c) 40 minutos. d) 1 hora. e) 1 hora e 20 minutos. Um comerciante aplicou na segunda-feira um desconto de 10% em todas as suas mercadorias e, então, reetiquetou todas com o novo preço para compras dali para frente. No sábado seguinte, ele resolve oferecer a seguinte promoção relâmpago, para compras naquele dia: A partir dessas informações, responda às questões 19, 20 e 21 seguintes: 19. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.36) Quanto custará uma mercadoria, na compra à vista no sábado, cujo preço da etiqueta é de R$ 250,00, aplicando-se a promoção-relâmpago? a) R$ 240,00 b) R$ 230,00 c) R$ 220,00 d) R$ 210,00 e) R$ 200,00

20. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.37) Qual é o preço marcado na etiqueta de uma mercadoria que, no sábado, custa R$ 250,00, na compra à vista após aplicada a promoção-relâmpago? a) R$ 332,50 b) R$ 320,50 c) R$ 312,50 d) R$ 310,50 e) R$ 302,50 21. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.38) Se desde a segunda-feira fosse aplicado um único desconto que chegasse a um valor final igual ao valor após aplicada a oferta-relâmpago, de quantos por cento seria esse desconto, que corresponderia aos dois descontos consecutivos. a) 20% b) 25% c) 28% d) 30% e) 200% Um ciclista, com a velocidade constante de 18 quilômetros a cada hora, começa uma prova de resistência exatamente às 6 horas da manhã e chega a linha de chegada às 13 horas e 30 minutos do mesmo dia, sem paradas no decorrer da corrida. A partir desses dados responda as questões 22 e 23 seguintes: 22. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.25) Se sua velocidade constante fosse 15 quilômetros a cada hora, a que horas teria chegado na linha de chegada, sem realizar paradas? a) 16 h b) 15 horas e 30 minutos c) 15 h d) 14 horas e 30 minutos e) 14 h 23. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.26) Se ele pretendesse quebrar o recorde de tempo e realizar a prova em exatamente 6 horas qual deveria ser sua velocidade constante? a) 22,5 quilômetros por hora b) 22 quilômetros por hora c) 21,5 quilômetros por hora d) 21 quilômetros por hora e) 20,5 quilômetros por hora 24. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.28) Um determinado percurso de 312km será percorrido por um homem, da seguinte forma: caminhando uma quantidade de quilômetros fixos diariamente, o homem demorou D dias para completar o percurso. Por outro lado ele teria gasto apenas 8 dias para completar o percurso se tivesse caminhado mais 15km por dia. Qual é o valor de D? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Compras à vista: desconto de 20% sobre o preço da etiqueta de qualquer mer-cadoria.

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25. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.21) Sabendo-se que os operários A, B, trabalhando juntos, conseguem realizar uma tarefa em 2 horas e que A trabalhando sozinho, conseguem realizar esta mesma tarefa em 6 horas, em quanto tempo, o operário B, trabalhando sozinho, conseguirá realizar a referida tarefa? a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 8 horas e) 12 horas Para responder as questões 26 e 27 seguintes considere que um grupo inicialmente composto por oito pessoas demoraria exatos 20 dias para executar completamente certa tarefa. 26. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.28) Sabe-se que às vésperas do início da execução da tarefa algumas pessoas adoeceram e não puderam participar. Devido a este fato estimou-se que o novo grupo de pessoas demoraria exatamente 32 dias para executar completamente a referida tarefa. Quantas pessoas compuseram o novo grupo? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

27. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.29) Se a tarefa fosse triplicada de tamanho e o grupo fosse reduzido à metade, em relação a quantidade inicial, qual seria o tempo gasto exatamente para concluir a nova tarefa? a) 15 dias b) 18 dias c) 20 dias d) 25 dias e) 30 dias

Em uma gráfica, três máquinas deverão imprimir 17550 unidades de certo formulário. Sabendo-se que, em um minuto, a primeira imprime 35 formulários, a segunda imprime 30 e a terceira imprime apenas 25. Responda as questões 28 e 29 a seguir: 28. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.36) Se as três trabalham juntas, quantas impressões serão feitas pela máquina mais lenta? a) 6825 b) 5850 c) 4875 d) 3500 e) 2500 29 [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.38) Quanto tempo demoraria a impressão da mesma quantidade de folhas se as três máquinas fossem substituídas por uma máquina que é capaz de imprimir uma quantidade de folhas que corresponde à média aritmética entre a capacidade de impressão das três outras máquinas? a) 10h e 15 min b) 9h e 45 min c) 9h d) 6h e 30 min e) 5h e 15 min

3 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES.

Sequência Numérica Damos o nome de sequência numérica a qualquer conjunto de números dispostos numa determinada ordem. Veja os exemplos abaixo. 1. Sequência dos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...) 2. Sequência dos números pares positivos (2, 4, 6, 8,...) Os elementos que compõem a sequência são chamados de termos. Logo, de acordo com a primeira sequência apresentada, 2 é o primeiro termo ( 1a ), 3 é o segundo termo ( 2a ) e assim sucessivamente. Podemos ainda fazer as seguintes afirmações:

1. As sequências podem ser finitas ou infinitas.

2. 1a (lê-se a índice um) indica o primeiro termo da sequência.

3. Uma sequência pode ser representada por ( 1a , 2a ,

3a , 4a , 5a ,...)

Lei de Formação de uma Sequência Lei de formação é uma “fórmula geral”, ou função, que permite a obtenção dos elementos de uma sequência. Exemplos: 1. Obtenha os cinco primeiros termos da sequência com lei de formação igual a n2an ⋅= . Procedimento

632a422a212a 321 =⋅==⋅==⋅= 1052a842a 54 =⋅==⋅=

Logo, a sequência é (2, 4, 6, 8, 10).

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2. Obtenha os cinco primeiros termos da sequência com

lei de formação igual a ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

− naa

1a

1nn

1.

Procedimento

155105a5aa

10464a4aa

6333a3aa

3212a2aa

4155

3144

2133

1122

=+=+=+=

=+=+=+=

=+=+=+=

=+=+=+=

Logo, a sequência é (3, 6, 10, 15) No segundo exemplo, a maneira de definir a sequência é chamada de recorrência, pois é necessário recorrer ao termo anterior para se obter o posterior.

Progressão Aritmética (PA) Damos o nome de Progressão Aritmética (PA) a toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão (r) e é dada por 1nn aar −−= . Exemplos: 1. A sequência (2, 7, 12, 17,...) é uma PA crescente, de infinitos termos e com razão igual a 5. 2. A sequência (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) é uma PA constante, de quatro termos e razão igual a zero. 3. A sequência (3, 0, -3, -6, -9) é uma PA decrescente, de cinco termos e com razão igual a -3. 4. Em toda PA finita é possível notar que a soma dos termos equidistantes admite sempre o mesmo valor. Assim, dada a PA ( 1a , 2a , 3a ,..., 2na − , 1na − , na ) podemos escrever que:

...aaaaaa 2n31n2n1 =+=+=+ −−

Fórmula do Termo Geral de uma PA Dada a PA ( 1a , 2a , 3a , 4a , 5a ,...) de razão r, podemos encontrar o valor de um de seus termos através da fórmula geral, citada abaixo.

r)1n(aa 1n ⋅−+= Observações: 1. na é o termo geral

2. 1a é o primeiro termo

3. n é o número de termos 4. r é a razão da PA 5. O termo geral também pode ser encontrado através da expressão r)kn(aa kn ⋅−+= , como veremos nos exercícios.

Termo Médio de uma PA Dados três números consecutivos de uma Progressão Aritmética, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Assim, na PA ( 1na − , na , 1na + ), temos:

2aaa 1n1n

n+− +

=

Soma de Termos de uma PA Dada a PA ( 1a , 2a , 3a ,..., na ) de razão r, a soma de seus termos )a...aaa( n321 ++++ pode ser dada por:

2n)aa(S n1

n⋅+

=

Progressão Geométrica (PG) Damos o nome de Progressão Geométrica (PG) a toda sequência de números na qual o quociente entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Esse quociente constante é chamado de razão (q) e é

dado por 1n

naaq−

= .

Exemplos: 1. A sequência (1, 3, 9, 27,...) é uma PG crescente, de infinitos termos e com razão igual a 3. 2. A sequência (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) é uma PG constante, de quatro termos e razão igual a 1. 3. A sequência (3, 1, 1/3, 1/9, 1/27) é uma PG decrescente, de cinco termos e com razão igual a 1/3. 4. Em toda PG finita é possível notar que o produto dos termos equidistantes admite sempre o mesmo valor. Assim, dada a PG ( 1a , 2a , 3a ,..., 2na − , 1na − , na ) podemos escrever que:

...aaaaaa 2n31n2n1 =⋅=⋅=⋅ −−

Fórmula do Termo Geral de uma PG Dada a PG ( 1a , 2a , 3a , 4a , 5a ,...) de razão q, podemos encontrar o valor de um de seus termos através da fórmula geral, citada abaixo.

1n1n qaa −⋅=

Observações: 1. na é o termo geral

2. 1a é o primeiro termo

3. n é o número de termos 4. q é a razão da PG 5. O termo geral também pode ser encontrado através da expressão kn

kn qaa −⋅= , como veremos nos exercícios.

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Termo Médio de uma PG Dados três números consecutivos de uma Progressão Geométrica, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois. Assim, na PG ( 1na − , na , 1na + ), temos:

11 +− ⋅= nnn aaa

Soma de Termos de uma PG Finita Dada a PG ( 1a , 2a , 3a ,..., na ) de razão q, a soma de seus termos )a...aaa( n321 ++++ pode ser dada por:

1qpara1q

)1q(aSn

1n ≠

−−⋅

=

Soma de Termos de uma PG Infinita Numa PG infinita, com 1q0 << , a soma de seus termos

)a...aaa( n321 ++++ é dada por:

q1aS 1

n −=

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS Uma progressão aritmética é tal que a5 = 5 e a15 = 30 responda as questões 1 e 2 seguintes: 1. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.25) A razão da referida progressão aritmética é: a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 2. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.26) O décimo termo da referida progressão aritmética é: a) 10 b) 15,5 c) 17,5 d) 20 e) 20,5 3. [Assist. Sup. Téc.-(Contabilidade)-Pref. Munic. SP/2008-FCC].(Q.26) Considere a seguinte seqüência de igualdades:

35 × 35 = 1 225 335 × 335 = 112 225

3 335 × 3 335 = 11 122 225 33 335 × 33 335 = 1 111 222 225

. . .

Com base na análise dos termos dessa seqüência, é correto afirmar que a soma dos algarismos do produto 33 333 335 × 33 333 335 é a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 33

4. [Assist. Sup. Téc.-(Contabilidade)-Pref. Munic. SP/2008-FCC].(Q.28) Na sucessão seguinte os números foram colocados obe-decendo a um determinado padrão.

Segundo esse padrão, os números que substituem corretamente X e Y na 8ª posição são tais que X + Y é igual a a) 95 b) 135 c) 147 d) 149 e) 157 5. (Aux. Policial Necropsia-PC-RJ/2002-NCE-UFRJ).(Q.59) Observe a seqüência de números a seguir:

2,5 6,5 14,5 30,5 ... O segundo número (6,5) foi obtido aplicando uma equação de 1º grau ao primeiro (2,5), ou seja, se x1 e x2 representam, respectivamente, os dois primeiro números,

x2 = ax1 + b do mesmo modo, o terceiro número x3 foi obtido aplicando a mesma equação ao segundo, ou seja,

x3 = ax2 + b e assim sucessivamente. O quinto número desta seqüência será então igual a: a) 46,5; b) 52,5; c) 56,5; d) 62,5; e) 66,5.

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6. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.62) Considere uma progressão aritmética em que a3 = 22 e a9 = 6, o primeiro termo negativo é: a) a11 b) a12 c) a13 d) a14 e) a15 7. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.38) Um monumento foi construído com blocos de pedras em cada um de seus patamares. De cima para baixo, no primeiro patamar há um bloco, no segundo quatro blocos, no terceiro sete blocos e, assim sucessivamente, cada patamar com três blocos a mais que o anterior. Se no último patamar há 85 blocos, o número total de blocos de pedra neste monumento é de: a) 1080 b) 1162 c) 1247 d) 1290 e) 1335 8. (Téc. Ref. e Desenv. Agrário-INCRA/2005-NCE-UFRJ).(Q.19) Uma prova de 50 questões objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é crescente; assim, cada questão vale 2 pontos a mais que a questão anterior. Se o valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos que se pode obter nessa prova é: a) 1 300; b) 1 325; c) 2 475; d) 2 500; e) 2 525. 9. (Assist. Adm. Jr.-EPE/2007-Cesgranrio).(Q.35) Considere a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética 1,1 + 1,4 + 1,7 + 2,0 + 2,3 + ... + an = 278. É correto afirmar que n é um número: a) primo. b) ímpar. c) múltiplo de 3. d) múltiplo de 5. e) múltiplo de 7.

10. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.33) Em algumas experiências com animais, é importante que as idades deles sejam conhecidas tão exatamente quanto possível. Além disso, tanto quanto for possível, essas experiências devem ser feitas com animais de diferentes idades. A partir dessas informações, considere que, em determi-nada experiência, diversos animais tenham sido escolhidos de modo que as suas idades formassem uma progressão geométrica. Sabendo-se que o animal mais jovem esco-lhido para a experiência tinha 2 semanas de vida e o quinto animal mais jovem tinha 162 semanas de vida, é correto concluir que a razão da progressão geométrica formada pelas idades dos animais escolhidos para a experiência é igual a a) 32. b) 17. c) 3. d) 2. 11. [Assist. Adm.-(C21)-(NM)-(T)-(CU)-PC-PA/2007-UnB].(Q.18) Uma empresa tem x empregados de nível superior, y de nível médio, z de nível fundamental e w com nível fundamental incompleto. Sabe-se que: • os números x, y e z estão em progressão aritmética; • os números x, y e w estão em progressão

geométrica; • o número de empregados de nível médio da

empresa é 10; • o número de empregados com nível fundamental

incompleto é 20. De acordo com as informações acima, o número de profissionais de nível fundamental na empresa é igual a a) 16. b) 15. c) 14. d) 13. 12. [Assist. Adm.-(NM)-(T)-SEAD-IGEPREV-PA/2005-UnB].(Q.16) O quadro de pessoal de um órgão da secretaria de administração de um estado brasileiro é composto de T servidores. Destes, S servidores ocupam cargos de nível superior, M ocupam cargos de nível médio e F ocupam cargos de nível fundamental. Sabe-se que S, M e F estão, nesta ordem, em progressão geométrica e que

281 do total de servidores estão se aposentando, o que

corresponde a 1% do pessoal de nível superior, 2% do pessoal de nível médio e 5% do pessoal de nível fundamental. Com base nessas informações e sabendo que 2,92 = 8,41, assinale a opção correta. a) A razão da progressão geométrica mencionada acima é superior 1,5. b) T > 4M. c) T < 6S. d) T = 2F.

e) S × F = 16T2

.

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13. [Auditor Geral do Estado-(Téc. Contabilidade)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.38) José adquiriu uma dívida no cartão de crédito que cobra juros compostos de 3,2% ao mês e não conseguiu pagar nenhuma parte da dívida. Sua dívida no início de cada mês forma uma progressão: a) aritmética de razão 0,032; b) aritmética de razão 1,032; c) aritmética de razão 3,2; d) geométrica de razão 0,032; e) geométrica de razão 1,032. 14. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.39) A soma da progressão geométrica infinita ....

94

32

++ é:

a)

31

b) 1 c)

34

d) 2 e) 3

15. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.63) Unem-se os pontos médios de um quadrado de lado 1 obtendo-se um novo quadrado. Unem-se então os pontos médios desse segundo quadrado obtendo-se um terceiro e, assim por diante, indefinidamente. A soma dos perímetros de todos esses quadrados é: a) 7 b) 8 c) 4 2 d) 2 + 2 2 e) 8 + 4 2

4 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE:

Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações. Binômio de Newton. Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e Eventos Independentes. Aplicações.

Análise Combinatória Em inúmeras situações do dia-a-dia podemos nos deparar com problemas de contagem. Exemplo: No Brasil foram implantadas placas de automóveis com três letras e quatro algarismos, utilizando um alfabeto de 26 letras e os algarismos de 0 até 9. O número de placas que podem ser confeccionadas com o padrão descrito é obtido pela análise combinatória.

Princípio Fundamental da Contagem Considere uma ação constituída de duas etapas sucessivas. A 1º etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2º possibilidade pode ser realizada de m maneiras distintas. Dessa forma, o número de maneiras de se efetuar a ação completa é dado por m x n. Exemplo Para ir ao clube, Pedro deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? As possibilidades de escolha de Pedro são:

6 camisetas (número de maneiras de se efetuar a 1º etapa)

4 bermudas (número de maneiras de se efetuar a 2º etapa)

3 pares de tênis (número de maneiras de se efetuar a 3º etapa)

Assim, pelo princípio fundamental da contagem tem-se 6 x 4 x 3 = 72 maneiras distintas de Pedro se vestir.

Permutação Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a qualquer sequência formada por esses n elementos. Exemplo: Considere as possíveis permutações das Letras que compõem a palavra SOL.

SOL SLO OSL OLS LSO LOS

Cálculo do Número de Permutações 1º caso: Permutação sem repetição É quando os n elementos são distintos.

!nPn = Onde 12)2n()1n(n!n ⋅⋅⋅−⋅−⋅= Λ

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2º caso: Permutação com repetição É quando o conjunto apresenta algum elemento repetido.

!x!x!x!nP

k21

)x,,x,x(n

k21

⋅⋅⋅=

ΛΛ

Onde k21 x,x,x Λ representa o número de vezes que cada elemento se repete.

Arranjo Simples Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de arranjo simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Exemplo: Quatro atletas, Astrogildo(A), Everaldo(E), Roberval (R) e Jácomo(J), participam de uma competição de atletismo. Apenas os dois primeiros colocados serão premiados de acordo com as posições de 1° e 2° lugares. As possibilidades de compor o pódio com as posições de 1°e 2° colocados, respectivamente, são:

(A;E) – (A;R) – (A;J) – (E;A) – (E;R) – (E;J) – (R;A) – (R;E) – (R;J) – (J;A) – (J;E) – (J;R)

Observe que a colocação (A;E) é diferente de (E;A). Neste caso, dizemos que no arranjo a ordem importa.

Cálculo do Número de Arranjos O número de arranjos dos n elementos tomados k a k é dado por:

)!kn(!nA k;n −

= kn ≥

Combinação Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos. Exemplo: Das quatro pessoas que trabalham em uma empresa, apenas duas serão escolhidas para formar uma comissão de investigação. As possibilidades de compor essa comissão são:

(A;E) – (A;R) – (A;J) – (E;R) – (E;J) – (R;J) Observe que o par (A;E) é o mesmo que (E;A), pois trata-se de uma comissão. Neste caso, dizemos que na combinação a ordem não importa.

Cálculo do Número de Combinações O número de combinações dos n elementos tomados k a k é dado por:

)!kn(!k!nC k;n −

= kn ≥

Probabilidade Numa sala de aula existe um total de 40 mulheres e 60 homens. Uma dessas pessoas será sorteada para repre-sentar a liderança da sala. É possível medir a chance ou probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo masculino ou do sexo feminino. Assim: Probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo masculino: Como existem 60 homens na sala de aula, a probabi-lidade da pessoa escolhida ser do sexo masculino é

dada pela razão 10060 .

Probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino: Analogamente, a probabilidade da pessoa escolhida

ser do sexo feminino é dada pela razão 10040 .

No exemplo dado é possível notar que a probabilidade chance do representante da sala ser do sexo masculino é maior que do sexo feminino.

Experimento Aleatório Um experimento é chamado de aleatório quando seu resultado depender somente do acaso. Exemplos 1. O lançamento de uma moeda.

2. O lançamento de um dado.

3. O sorteio de um líder de sala.

Espaço Amostral e Evento de um Experimento Aleatório

Chamamos de espaço amostral (E) de um experimento ao conjunto de todos os seus resultados possíveis e, damos o nome de evento (e), a qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos: 1. Experimento: lançamento de uma moeda

Espaço amostral: cara ou coroa Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 2 Exemplo de evento: sair cara como resultado do lançamento Número de elementos do evento: n(e) = 1

2. Experimento: lançamento de um dado

Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 6 Exemplo de evento: sair um número ímpar como resultado do lançamento Número de elementos do evento: n(e) = 3

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O número que representa a probabilidade de ocorrer os eventos em cada um dos experimentos citados acima

pode ser dado pela razão )E(n)e(n)e(P = .

Estaremos considerando os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Note que o evento é sempre um subconjunto do espaço amostral.

Eventos Complementares Num estádio de futebol existem apenas torcedores do São Paulo e do Palmeiras. A torcida do São Paulo apresenta um total de 20 000 torcedores e a do Palmeiras 30 000. Se obtivermos a probabilidade de um torcedor ser do time do São Paulo, o complementar desse valor será o resultado da probabilidade de um torcedor ser do time do Palmeiras.

%404,052

0005000020)SãoPaulo(P ==== .

Logo, a probabilidade do torcedor ser do time do Palmeiras é o complementar de 100%, ou seja,

%60%40%100)Palmeiras(P =−=

Propriedades das Probabilidades Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo e um evento de E, temos:

I. Evento impossível: P( φ ) = 0

II. Evento certo: P(E) = 1 ou 100%

III. 1)e(P0 ≤≤ ou %100)e(P0 ≤≤

IV. )A(P1)A(P −=

Adição de Probabilidades O teorema da adição de probabilidades é aplicado na resolução de problemas que pedem a probabilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, pois o conectivo ou indica a união dos eventos. A identidade que representa a adição de probabilidades é dada por:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ Se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, ou seja, se φ=∩BA , a adição de probabilidades será dada por:

)B(P)A(P)BA(P +=∪

Probabilidade Condicional ou Condicionada Damos o nome de probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer consi-derando-se que já ocorreu um evento A. O número P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B, dado que ocorreu A. Esse número é dado pela razão:

)A(n)BA(n)A/B(P ∩

=

Observe que n representa o número de elementos da intersecção de A com B ou número de elementos de A.

Multiplicação de Probabilidades Se A e B forem eventos independentes, então:

)B(P)A(P)BA(P ⋅=∩ Dizemos que A e B são eventos independentes se, e somente se:

)A(P)B/A(Pou)B(P)A/B(P == Ou seja, ter ocorrido o evento A não implica a ocorrência de B e ocorrer B não implica na ocorrência de A. Exemplo: Lançando-se dez vezes uma moeda, a proba-bilidade de cair cara no décimo lançamento é 1/2. Essa probabilidade independe do que ocorreu nos nove primeiros lançamentos.

Binômio de Newton

Número Binomial A combinação de n elementos tomados k a k pode ser

representado por Cn;k ou também por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

, que é

conhecido por “número binomial de numerador n e denominador k”, ou também por “número binomial n sobre p”. Assim, podemos escrever que:

)!(!!

; knknC

kn

kn −==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛, com n e k Ν∈ e kn ≥ .

Exemplo: 102

20!3!2

!345!3!2

!5)!25(!2

!5

2

5==

/⋅/⋅⋅

=⋅

=−

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

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Números Binomiais Complementares Dois números são considerados binomiais complementares quando possuírem mesmo numerador, e denominadores cuja soma seja igual ao numerador comum.

Exemplo: ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3

5e

2

5

Propriedades: 1. Dois números binomiais complementares são sempre

iguais. Ou seja, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

nkn

Exemplos: ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3

5

2

5;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

5

7

2

7;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

9

9

0

9

2. Relação de Stiffel ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

1 kn

kn

kn

Exemplos: ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

4

6

4

5

3

5;

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

6

9

6

8

5

8

Exercício resolvido

Resolver a equação ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3x

9

4

8

3

8

Resolução: Pela relação de Stiffel temos 43x =− , logo 7x = .

Teorema de Newton O teorema de Newton para o desenvolvimento da potência nax )( + é dado por:

022110 ...210

)( axnn

axn

axn

axn

ax nnnnn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −− ,

onde x e a são números quaisquer e Ν∈n . Exercício resolvido Desenvolver a potência (x + a)4. Resolução:

04132231404 2x4

42x

3

42x

2

42x

1

42x

0

4)2x(

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=+

1x12x44x68x416x1)2x( 432104 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+

Resultando em 4324 xx8x24x3216)2x( ++++=+

Somatório O somatório é uma operação representada pela letra gregaΣ (sigma). Exercício resolvido

Encontre o valor do somatório k

k k2

63

0∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Resolução:

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

∑=

3210k3

0k2

3

62

2

62

1

62

0

62

k

6

233160601218204152611 =+++=⋅+⋅+⋅+⋅

Termo Geral do Binômio de Newton Anteriormente vimos que

022110 ...210

)( axnn

axn

axn

axn

ax nnnnn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −− , que

pode ser escrito usando o somatório knk

n

k

n axkn

ax −

=∑ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

0)( .

Note que todas as parcelas do desenvolvimento (x + a)n

são do tipo knkaxkn −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . Essa última expressão é

conhecida por termo geral do binômio de newton e

representada da forma seguinte: knk axkn

T −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Exercício resolvido Determine o coeficiente do termo em x12 no desenvolvimento de (x3 + 2)6. Resolução: Escrevemos o termo geral do desenvolvimento do binômio.

k6k3 2)x(k

6T −⋅

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛= , que é o mesmo que k6k3 2x

k

6T −⋅

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛= .

Como queremos o coeficiente de x12, devemos encontrar o valor de k, tal que o expoente de x seja 12. Logo, 3k = 12 e k = 4. Substituindo k por 4 na expressão, temos:

12122124643 x604x152x152x4

6T =⋅⋅=⋅⋅=⋅

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛= −⋅ .

Assim, conclui-se que o coeficiente de x12 é 60.

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Análise Combinatória 1. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.30) Uma loja de materiais de construção oferece os padrões P, Q e R de lajotas que servem tanto para piso como para revestir paredes. Considerando que pode-se revestir o piso e as paredes de um banheiro social como lajotas de mesmo padrão ou de padrões diferentes e, que no piso é usado um só padrão e nas paredes também, o número de maneiras distintas que é possível revestir o piso e as paredes do banheiro é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 2. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.52) O número de anagramas (sequências formadas com as letras da palavra dada) da palavra CONCURSO que começam com a letra R é: a) 720 b) 1260 c) 2520 d) 5040 e) 40320 3. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.53) A quantidade de números ímpares entre 1000 e 10000, com todos os seus algarismos distintos entre si é: a) 2240 b) 2520 c) 2835 d) 3600 e) 5040 4. (Téc. Ref. e Desenv. Agrário-INCRA/2005-NCE-UFRJ).(Q.23) Uma placa de automóvel é composta por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O número de placas que podem ser formadas com as letras K, Q ou L e cujos dois últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem, é: a) 540; b) 600; c) 2430; d) 2700; e) 3000. 5. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.61) A quantidade de números ímpares entre 100 e 999 com todos os algarismos distintos é: a) 320 b) 360 c) 405 d) 450 e) 500

6. [Anal. Planej. Orçam.-(P1e2)-MPOG/2005-ESAF].(Q.33) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56 7. [Aud. Fis. Rec. Estadual-(PI e IV)-AFRE-MG/2005-ESAF].(Q.32) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 8. [Anal. Finanç. Contr.-(P1)-AFC-STN/2002-ESAF].(Q.39) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842 9. (Aux. Segur. Patrim.-CEPEL/2006-NCE-UFRJ).(Q.29) Um torneio de futebol é disputado por seis times em sistema de turno e returno, ou seja, cada time joga duas vezes com cada um dos outros, uma no turno, outra no returno. O total de jogos desse torneio é então igual a: a) 15; b) 18; c) 24; d) 30; e) 36.

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10. [Técnico Administrativo-(P1)-ANEEL/2006-ESAF].(Q.36) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650 11. (Anal. Sist. Jr.-Termoaçu-RN/2008-Cesgranrio).(Q.27) Quantas equipes de 3 pessoas podem ser formadas em um departamento que contém 7 funcionários? a) 2 b) 3 c) 35 d) 210 e) 840 12. [Téc. Contr. Interno-(Pa.1)-SEFAZ-PI/2002-ESAF].(Q.21) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800 13. [Assist. Adm.-(C21)-(NM)-(T)-(CU)-PC-PA/2007-UnB].(Q.19) O número de maneiras distintas que um ou mais dos 5 empregados de uma empresa podem ser escolhidos para realizarem determinada tarefa é igual a a) 20. b) 25. c) 31. d) 40. 14. [Aud. Fis. Trabalho-(P1)-MTE/2006-ESAF].(Q.41) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b) 1220 c) 870 d) 760 e) 1120

15. [Anal. Planej. Orçam.-(P1e2)-MPOG/2005-ESAF].(Q.31) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumpri-mentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 16. [Anal. Finanç. e Contr.-(P1)-AFC-STN/2005-ESAF].(Q.37) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) 752

Probabilidade 17. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.24) Em uma grande população de pardais, 20% deles têm uma mutação dos olhos, 60% têm uma mutação das asas e 30% dos que têm mutação dos olhos, têm mutação das asas. Se um pardal for escolhido ao acaso da população, então, a probabilidade de que ele tenha pelo menos uma das mutações é: a) 0,50 b) 0,56. c) 0,76. d) 0,74. e) 0,84. 18. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.33) Uma fábrica produz quatro modelos de automóveis: X, Y, Z, e W. Os modelos X e Y são fabricados com dois tipos de carrocerias: fechada e conversível, já os modelos Z e W podem ser: fechados, conversíveis, pick-ups e utilitários. Cada modelo é fabricado em 5 cores diferentes. Um cliente escolhe um dos modelos. Qual a probabilidade de que seja do tipo Z, a) 5,67% b) 23,56% c) 3,45% d) 1,66% e) 6,66%

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19. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.32) Um dado foi lançado duas vezes e foram somados os valores da face superior. A probabilidade da soma ter sido 8 nesses dois lances é de:

a) 361

b) 81

c) 61

d) 365

e) 31

20. [Téc. Bancário III-(Ár. Inform.)-(Desenv.)-(CA01)-(T1)-BANESE/2012-FCC].(Q.35) Ao fazer a leitura de um cartão, um caixa eletrônico pode acusar erro, ainda que o cartão não tenha qualquer defeito. Considerando apenas cartões sem defeitos, ocorre erro de leitura, em média, em 10% dos cartões lidos, sendo que esses erros distribuem-se de maneira aleatória. Se um caixa eletrônico fizer a leitura de três cartões que não possuem defeitos, a probabilidade de que ocorra erro de leitura em exatamente um dos três cartões é igual a a) 8,1%. b) 16,2%. c) 24,3%. d) 30,0%. e) 48,6%. 21. [Escriturário-(CESC)-(T1)-BB/2011.3-FCC].(Q.35) A pro-babilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja superior a 48 anos é de a) 28%. b) 27,4%. c) 27%. d) 25,8%. e) 24%. 22. [Téc. Gestão Prev.-(CA01)-(T1)-SP-PREV/2011-FCC].(Q.22) Sorteando dois dentre os números 33, 34 e 39, a probabi-lidade do produto dos dois números sorteados ser múlti-plo de 9 ou par é de a) 25%. b) 33,3%. c) 40%. d) 66,6%. e) 100%.

23. [Téc. Gestão Prev.-(CA01)-(T1)-SP-PREV/2011-FCC].(Q.39) Arnaldo, Bruno, Cláudio, Danilo, Elisa, Fabiana e Heloisa serão sorteados para compor uma comissão de 4 pes-soas da seguinte forma: serão sorteados 2 dentre os quatro homens, e 2 dentre as três mulheres. A chance de Bruno ser sorteado para compor a comissão com Elisa é igual a

a) 21

b) 52

c) 707

d) 31

e) 41

24. [Escriturário-(C01 a 06)-(T1)-BB/2011.1-FCC].(Q.39) Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:

a) 145

b) 73

c) 74

d) 149

e) 75

25. [Escriturário-(CA01)-(T1)-BB/2010-FCC].(Q.21) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é

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a) 58% b) 56% c) 54% d) 52% e) 48%

Binômio de Newton

26. A expressão ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−∑

= p

15)1(

15

0p

p é igual a:

a) – 215 b) – 152 c) 0 d) 152 e) 215

27. A expressão p20

2p5

p

20∑= ⎟

⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ é igual a:

a) 620 b) 620 – 7 c) 620 – 101 d) 520 e) 520 – 21 28. A soma de números binomiais

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛++

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

100

100

99

100...

2

100

1

100

0

100 é igual a:

a) 211 b) 2100 c) 1000 d) 1002 e) 100100

Sugestão: Multiplique cada parcela por 1p . 1100 – p. 29. Considerando 30 pontos distintos de uma circunferência, o número de polígonos convexos que têm vértices em pelo menos três desses pontos é: a) 230 – 466 b) 230 c) 230 – 3 d) 227 e) 227 – 3

30. O valor de n de modo que

1024n

n...

2

n

1

n

0

n=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛++

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ é:

a) 5 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12 31. Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x + y)n é igual a 243, então o número n é: a) 12 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3 32. O coeficiente de x2 no desenvolvimento de 83 )2x( + é: a) 112 b) 140 c) 168 d) 224

Sugestão: Escreva a expressão sob a forma 831

)2x( + . 33. Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)5, com ℜ∈a , é 80x2, então o valor de a é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

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5

MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: Operações com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicações.

DETERMINANTES: Cálculos de Determinantes, Propriedades e Aplicações. Resolução e Discussão de Sistemas Lineares.

Regra de Cramer.

Matrizes Uma matriz m x n é a distribuição de números em linhas e colunas. A quantidade de números distribuídos é igual ao produto m . n. A representação de uma matriz pode ser feita através de parênteses, colchetes ou dois pares de barras verticais, como mostrado abaixo.

654321

ou654321

ou654321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

O elemento que está na 1º linha e 1º coluna é representado por a11 = 1 O elemento que está na 1º linha e 2º coluna é representado por a12 = 2 O elemento que está na 1º linha e 3º coluna é representado por a13 = 3 O elemento que está na 2º linha e 1º coluna é representado por a21 = 4 O elemento que está na 2º linha e 2º coluna é representado por a22 = 5 O elemento que está na 2º linha e 3º coluna é representado por a23 = 6

Tipos de Matrizes - MATRIZ LINHA: É a matriz formada por uma única linha. - MATRIZ COLUNA: É a matriz formada por uma única coluna. - MATRIZ NULA: É a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. - MATRIZ QUADRADA: É a matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. - MATRIZ IDENTIDADE: Uma matriz A quadrada e de ordem n é considerada matriz identidade quando os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais elementos forem iguais a zero. - MATRIZ INVERSA: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é considerada inversível se existir uma matriz B tal que nIA.BB.A == , onde In é a matriz identidade de ordem n.

Operações entre Matrizes - ELEMENTOS CORRESPONDENTES: Dadas duas matrizes A e B, elementos de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes. - IGUALDADE ENTRE MATRIZES: Duas matrizes de mesmo tipo (mesma ordem) são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais. Exemplo: Encontre o valor de x e y nas equações matriciais abaixo:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +2137

2131x

Veja que os elementos 11a de cada uma das matrizes são correspondentes, ou seja, são iguais. Logo:

6x

17x

71x

=

−=

=+

- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE MATRIZES: A matriz soma “S” entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é o resultado da soma dos elementos correspondentes entre A e B. Exemplo: Faça cada operação apresentada abaixo:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛2288

02115371

0157

2131

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛610

030602111334755

621345

011375

- MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ: O resultado da multiplicação de um número real R por uma matriz A, é dado pela multiplicação de todos os elementos de A pelo número real. Exemplo: Faça cada operação apresentada abaixo:

a) 2. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛02261410

021212327252

011375

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

3/4423/1

3/43/123/63/1

341261

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- MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES: A multiplicação entre duas matrizes A e B só será possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B (condição de existência da multiplicação). Exemplo: Faça cada operação apresentada abaixo:

a) =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

20012312

3021

011375

=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅20)2(13100310100)1(12110211123)2(73503370503)1(725132715

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1313721322

Observações: 1. Veja que o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz, de acordo com a condição e existência.

2. A matriz resultante tem o nº de linhas da 1ª matriz e o número de colunas da 2ª matriz.

b) )existenão(970431221

4321

∃/=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Observação: De acordo com a condição de existência, se o número de colunas da 1ª matriz é diferente do número de linhas da 2ª matriz, o produto entre as matrizes não existe.

Determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O determi-nante da matriz A (det A) é um número obtido através de operações entre os elementos de A.

Resolução Geral Resolva os determinantes abaixo. a) 44 = (é o valor do próprio elemento que constitui a matriz)

b) { { 134)3.1()2.2(3221

S.DP.D

=−=−=

c) { 23)0.1()2.3(0321

S.DP.D

−=−−=− 434 21

d) =−−=−2110

21

421210321

421210321

{ } { } 12.0.31.2.24).1.(12.0.41.2.23).1.(1S.DP.D

=++−−++− 4444 34444 214444 34444 21

Observações:

1. D.P é a Diagonal Principal (ascendente)

2. D.S é a Diagonal Secundária (descendente)

Menor Complementar de uma Matriz O menor complementar de um elemento genérico aij de uma matriz A é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Exemplos:

1. Dada a matriz ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

970431221

o menor complementar do

elemento 22a é o resultado do determinante da matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛9021

.

2. Dada a matriz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎛−

2011023221304321

o menor complementar

do elemento 11a é o resultado do determinante da

matriz ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −

201023213

.

Propriedades 1. De nulidade: Toda a matriz que apresentar uma das características abaixo terá o seu determinante nulo.

1.1 Uma fila (linha ou coluna) nula. 0000431221

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

1.2 Duas filas paralelas iguais. 0221431221

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

1.3 Duas filas paralelas proporcionais. 0221231221

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

2. Com alteração 2.1 Multiplicando-se ou dividindo todos os elementos de uma fila por uma constante, o determinante fica multi-plicado ou dividido por essa constante.

k)1(32k21k

13221

⋅−=⋅⋅

→−=

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2.2 Quando se troca os elementos de duas filas paralelas, conservando-se a ordem dos mesmos, o determinante muda de sinal.

58248

321152

58284

312125

=−

−→−=−

3. Sem alteração 3.1 O determinante da matriz A é igual ao da sua matriz transposta.

58231

425812

58248

321152

=−

−→=

−−

Sistemas Lineares Damos o nome de Sistema Linear ao conjunto de m equações lineares nas n variáveis n21 x...,,x,x , como apresentado abaixo.

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Λ

ΜΜΜΜ

Λ

Λ

Exemplos:

1. O sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

1y3x4

5y2x3 é linear e de ordem 2X2 (duas

equações e duas variáveis).

2. O sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=++

=−+

=+−

63z5yx12

46z3y8x15

37z4y5x9 é linear e de ordem 3X3

(três equações e três variáveis).

3. O sistema { 16zy2x =++ é linear e de ordem 1X3 (uma equação e três variáveis).

Solução de um Sistema Dizemos que a sequência ordenada ( ),,,, n321 αααα Λ é solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada uma das equações do sistema. Um sistema linear é classificado de acordo com o seu número de soluções. Podemos ter: SISTEMA POSSÍVEL (tem solução) - sistema possível e determinado: possui uma única solução.

- sistema possível e indeterminado: possui infinitas soluções.

SISTEMA IMPOSSÍVEL (não tem solução)

Resolução de um Sistema Além dos métodos de substituição e adição, para reso-lução de um sistema, discutiremos o método de escalo-namento. O escalonamento consiste em trabalhar com as equações do sistema, a fim de colocá-lo na forma escada. Exemplos: São exemplos de sistemas escalonados:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=+

=++

18z6

23z5y4

14z3y2x

; ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

1y3

3yx

Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando apresentam solução comum. Exemplo:

Os sistemas ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

14yx5

3yxe

5y2x2

3yx são equivalen-

tes, pois ambos admitem apenas o par (11/4, -1/4) como solução.

Sistemas Homogêneos Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando o termo independente de cada uma de suas equações é igual a zero. Exemplo

O sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−

0y3x

0yx3 é homogêneo.

Observações: 1. Todo sistema homogêneo admite (0,0,0, ..., 0) como solução. Essa solução é chamada de trivial ou nula.

2. Um sistema homogêneo é sempre possível, pois sempre admite, ao menos, a solução nula.

3. Havendo outras soluções, além da solução nula, ele é possível e indeterminado.

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Regra de Cramer A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz: Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

;D

DX;;D

DX;D

DX;DDX n

n3

32

21

1 ==== Κ

Exemplos Resolvidos: 1. Usando-se a regra de Cramer, encontre o valor das

incógnitas do sistema de equações: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

83

625

yx

yx

Resolução: O sistema possui 2 equações e 2 incógnitas: x e y. 1º passo: Encontrar a matriz incompleta do sistema linear que será chamada de A.

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−=

13

25A

2º passo: Calcular o determinante da matriz A que será representado por D.

=−

=13

25D 5.(−1) − 2.3 = −5 −6 ==> D = −11

3º passo: Substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma matriz que será representada por Ax.

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−=

18

26xA

4º passo: Calcular o determinante da matriz Ax que será representado por Dx.

=−

=18

26xD 6.( −1) − 8.2 = −6 −16 ==> Dx = −22

5º passo: Substituir os temos independentes na segunda coluna da matriz A, formando assim uma matriz que será representada por Ay.

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=

83

65yA

6º passo: Calcular o determinante da matriz Ay que será representado por Dy.

==83

65yD 5.8 − 3.6 = 40 − 18 ==> Dy = 22

7º passo: Depois de substituir todas as colunas da matriz incompleta A pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer para encontrarmos os valores das incógnitas x e y do sistema linear da questão.

1122−−

==D

Dx x = 2

1122−

==D

Dy y = −2

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(2,-2)}. 2. Usando-se a regra de Cramer, encontre o valor das

incógnitas do sistema de equações:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−+

=+−

=++

23

32

82

zyx

zyx

zyx

Resolução: O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas: x, y e z. 1º passo: Encontrar a matriz incompleta do sistema linear que será chamada de A.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

113

112

121

A

2º passo: Calcular o determinante da matriz A que será representado por D.

D = [1.(–1)(–1) + 2.1.3 + 1.2.1] – [3.(–1).1 + 1.1.1 + (–1).2.2] D = (1 + 6 + 2) – (–3 + 1 – 4) D = 9 – (–6) D = 9 + 6 D = 15

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3º passo: Substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma matriz que será representada por Ax.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

112

113

128

xA

4º passo: Calcular o determinante da matriz Ax que será representado por Dx.

Dx = [8.(–1).(–1) + 2.1.2 + 1.3.1] – [2.(–1).1 + 1.1.8 + (–1).3.2] Dx = (8 + 4 + 3) – (–2 + 8 – 6) Dx = 15 – 0 Dx = 15 5º passo: Substituir os temos independentes na segunda coluna da matriz A, formando assim uma matriz que será representada por Ay.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

123

132

181

yA

6º passo: Calcular o determinante da matriz Ay que será representado por Dy.

Dy = [1.3.(–1) + 8.1.3 + 1.2.2] – [3.3.1 + 2.1.1 + (–1).2.8] Dy = (–3 + 24 + 4) – (9 + 2 – 16) Dy = 25 – (–5) Dy = 25 + 5 Dy = 30 7º passo: Substituir os temos independentes na terceira coluna da matriz A, formando assim uma matriz que será representada por Az.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

213

312

821

zA

8º passo: Calcular o determinante da matriz Az que será representado por Dz.

Dz = [1.(–1).2 + 2.3.3 + 8.2.1] – [3. (–1).8 + 1.3.1 + 2.2.2] Dz = (–2 + 18 +16) – (–24 + 3 + 8) Dz = 32 – (–13) Dz = 32 + 13 Dz = 45 9º passo: Depois de substituir todas as colunas da matriz incompleta A pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer para encontrarmos os valores das incógnitas x, y e z do sistema linear da questão.

1515

==D

Dx x = 1

1530

==D

Dy y = 2

1545

==D

Dz z = 3

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Matrizes e Determinantes 1. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.27) Os pratos P1, P2 e P3, apresentados no cardápio de um restaurante têm, em sua composição, arroz, carne de panela, ovo frito e salada, segundo mostra a matriz A, dada por:

3

2

1

adalas

otirfovo

alenapedenrac

zorra

PPP

112111011011

A⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

Em que os valores que expressam os elementos da matriz A são a quantidade de porções, de cada tipo de alimento, que compõe cada prato. Sabe-se que o custo, em reais, de cada porção de arroz, carne de panela, ovo frito e salada é dado pela matriz B, dada por:

salada

fritoovo

paneladecarne

arroz

50,2

50,1

00,5

00,2

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

Com tais informações, pode-se afirmar que: a) o prato P1 custa R$ 6,00. b) o prato P3 custa R$ 16,00. c) o prato P1e P2 custam, juntos, R$ 25,50. d) o prato P2 custa R$ 7,50. e) os pratos P2 e P3 custam, juntos, R$ 15,50. 2. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.27)

Sejam as matrizes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

A e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

d3cb3a

B considerando

os determinantes de A e B, pode-se afirmar que:

a) det B=31 det A

b) det B=6det A c) det B=9det A

d) det B=32 det A

e) det B=3det A

3. [Téc. Contab. Jr.-(P2)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2012].(Q.18)

A matriz ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

333231

232221

131211

33aaaaaaaaa

A x é tal que

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−×

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−×

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

223142

321

220140

017

453242001

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

O determinante da matriz A3x3 é igual a a) − 6 b) 0 c) 6 d) 10 e) 42 4. O valor do número real x tal que verifica a equação

431x31xx21x=+ é:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 5. O termo geral da matriz M2x2 é j2i3aij −= . O valor do determinante de M é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 6. Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

1021

Ce1201

B,0110

A O determinante da

matriz A + B.C é: a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 5

7. A solução da inequação 911x5x021x≥

− é o conjunto:

a) {x∈R / 1 < x < 10} b) {x∈R / 0 < x < 10} c) {x∈R / 0 ≤ x ≤ 10} d) {x∈R / -9 ≤ x ≤ -1} e) {x∈R / 1 ≤ x ≤ 9}

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8. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.49) Sabendo-se que A é uma matriz 4x4, detA= –2 e que B= –2·A, pode-se afirmar que detB é igual a: a) –32 b) –16 c) –4 d) 4 e) 16 9. [Técnico-(Ár. Adm.)-MPU/2004-ESAF].(Q.43) Sejam as matrizes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

43215431

Be336241

A

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 1. b) 1/2. c) 2. d) 1/3. e) 3.

Sistemas Lineares 10. [Téc. Jud.-(Ár. Adm.)-TRF-5ªREG/2008-FCC].(Q.17) Certo ano, três técnicos em segurança registraram um total de 1 080 ocorrências não rotineiras. Sabe-se que o primeiro registrou 547 delas, enquanto que as registradas pelos outros dois diferiam entre si de 53 unidades. Nessas condições, a maior quantidade de ocorrências registradas por um desses dois técnicos é um número a) primo. b) par. c) divisível por 3. d) múltiplo de 4. e) divisível por 5. 11. (Guarda Municipal-Pref. Munic. Salvador/2008-FCC).(Q.30) A Prefeitura Municipal fez um levantamento do número de estátuas que sofrem vandalismo, por ano, na cidade. Dividindo a cidade em três regiões, A, B e C, constatou-se que a região A é responsável pelo vandalismo do quádruplo de estátuas agredidas na região B. O total de estátuas que foram atacadas é 128, sendo que 48 estavam na região C. Quantas estátuas sofreram vandalismo na região A? a) 64 b) 52 c) 40 d) 32 e) 16

12. [Anal. Trainee-(Matemática ou Estatísitca)-METRÔ-SP/2008-FCC].(Q.35) Considere o sistema linear

S:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=+−=++=++=+−

1KZY2KX4ZY2X2ZYX24Z2YX

, em que x, y e z são incógnitas reais.

Se S admite uma única solução, então a constante k é um número real a) negativo. b) quadrado perfeito. c) divisível por 3. d) primo. e) racional não inteiro. 13. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.51) Considere o sistema

⎪⎩

⎪⎨

=++=−=++

18zy3x24zy

7zyx

Podemos afirmar que o conjunto solução deste sistema: a) é vazio; b) é unitário; c) possui exatamente dois elementos; d) possui exatamente três elementos; e) possui quatro ou mais elementos. 14. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.56)

Considere o sistema ⎩⎨⎧

=+=+

by9mx4my4x

. Valores de m e b que

tornam o sistema possível e indeterminado são: a) m = 5; b ≠ 6 b) m ≠ 5; b = 6 c) m = 6; b ≠ 6 d) m = 6; b =6 e) m ≠ 6; b ≠ 6 15. [Técnico-(Ár. Adm.)-MPU/2004-ESAF].(Q.45) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é cha-mado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

4mba2

0b3ma

em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m ≠ 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m ≠ 0 e m ≠ 6, o sistema é possível e determinado. c) se m = 6, o sistema é indeterminado. d) se m = 0, o sistema é impossível. e) se m ≠ 0 e a ≠2 , qualquer valor de b satisfaz o sistema.

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6 FUNÇÕES:

Noção de Função. Gráficos. Funções Crescentes e Decrescentes. Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Função Composta e Função Inversa.

Funções Lineares, Afins e Quadráticas. Funções Exponenciais e Logarítmicas.

Noção de Função Considere dois conjuntos não vazios A e B. A relação entre esses dois conjuntos será considerada uma função de A em B se, para cada valor de A, existir um único correspondente em B. Essa relação pode ser representada através da notação de conjuntos. Assim: Observações: 1. A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma lei de formação que diz como associar cada elemento Ax∈ a um único elemento By∈ .

2. O conjunto A é o Domínio e B o Contra-Domínio da função. 3. O termo função de A em B pode ser representado através da notação f: A→ B. 4. By∈ é a respectiva imagem do elemento Ax∈ .

Gráfico de uma Função Para a construção de um gráfico é necessário termos noção de alguns conceitos: 1. Um par ordenado ou coordenadas é o conjunto de dois números dispostos numa determinada ordem (x,y). Exemplo: O par ordenado (1,0) informa o valor primeiro termo x = 1 e do segundo termo y = 0. 2. O plano cartesiano é composto por dois eixos perpen-diculares (formam 90° entre si).

Quanto ao plano cartesiano, tem-se que:

O eixo da horizontal Ox é também chamado de eixo das abscissas.

O eixo da vertical Oy é também chamado de eixo das ordenadas.

O ponto O, onde os eixos se interceptam, é a origem do plano.

Os quadrantes são enumerados sempre no sentido anti-horário.

1º quadrande: x e y são positivos. 2º quadrante: x é negativo e y é positivo. 3º quadrante: x e y são negativos. 4º quadrante: x é positivo e y é negativo.

A construção do gráfco de uma função é realizada através da lei da formação dessa função. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x2. 1º passo: Damos valores para x e obtemos os respectivos valores de y. se x = -2, temos y = (-2)2 = 4 se x = -1, temos y = (-1)2 = 1 se x = 0, temos y = 02 = 0 se x = 1, temos y = 12 = 1 se x = 2, temos y = 22 = 4 E assim sucessivamente. 2º passo: Lançamos os pares ordenados no plano cartesiano. 3º passo: Traçamos uma curva provável que passa pelos pontos referentes aos pares ordenados. Assim conseguimos o gráfico a seguir.

f

A B

• x

• y

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Funções Crescentes e Decrescentes De acordo com a lei de formação de uma função podemos verificar onde a mesma é crescente ou decrescente.

Função Crescente É a região onde notamos que ao aumentarmos o valor de x, y = f(x) também aumenta, ou, diminuindo o valor de x, y = f(x) também diminui.

Função Decrescente É a região onde notamos que ao aumentarmos o valor de x, y = f(x) diminui, ou diminuindo o valor de x, y = f(x) aumenta. Uma função é sempre lida da esquerda para a direita, ou seja, seu início se dá à esquerda e, seu fim à direita. Assim, no gráfico descrito anteriormente, notamos que:

No ramo da esquerda, enquanto lemos o gráfico no sentido de crescimento de x {-2, -1} o valor de y diminui {4, 1}, logo nessa parte do gráfico temos uma função decrescente.

No ramo da direita, enquanto lemos o gráfico no

sentido de crescimento de x {1, 2} o valor de y também aumenta, logo nessa parte do gráfico temos uma função crescente.

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

Função Sobrejetora Dizemos que uma função é sobrejetora quando a sua imagem for igual ao seu contradomínio.

Domínio = D(f) = {-3, 3, 5, 6}

Contradomínio = CD(f) = {-9, 25, 36}

Imagem = Im(f) = {-9, 25, 36}

Como Im(f) = CD(f), a função representada pelos conjuntos acima é sobrejetora.

Função Injetora Uma função é classificada como injetora se para cada elemento do conjunto domínio houver um correspondente distinto no conjunto contradomínio. Ou seja, BA:f → é injetora se, e somente se, para todo By∈ existir um único Ax∈ , onde )x(fy = .

O conjunto A neste exemplo é o Domínio = D(f) = {-2, 1, 3, 7}

O conjunto B neste exemplo é o Contradomínio = CD(f) = {0, 3, 4, 6, 10, 5}

Imagem = Im(f) = {0, 3, 6, 10} Como cada elemento do domínio tem como imagem um único elemento distinto, dizemos que a função é injetora.

Função Bijetora Para que uma função seja bijetora ela deve ser sobrejetora e injetora.

Função Composta Considere duas funções BA:f → e CB:g → , a função

CA:h → é a função composta de g com f. Como exemplo vamos tomar x4)x(f = e 5x)x(g 2 += . A função composta de g com f é representada por

))x(f(g)x)(gof( = , sendo obtida da seguinte forma:

5x)x(g 2 +=

5)x4()x4(g 2 +=

5x16)x4(g 2 += Logo, a função composta ))x(f(g)x)(gof( = é dada por

5x16)x4(g 2 +=

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A função composta de f com g é representada por ))x(g(f)x)(fog( = , sendo obtida da seguinte forma:

x4)x(f =

)5x(4)5x(f 22 +=+

20x4)5x(f 22 +=+ Logo, a função composta ))x(g(f)x)(fog( = é dada por

20x4)5x(f 22 +=+

Função Inversa Considere uma função BA:f → bijetora. Obtemos a sua inversa transformando a sua imagem em domínio e seu domínio em imagem, ou seja, criamos uma função

AB:f 1 →− . Como exemplo vamos obter a função inversa de

5x3y −= 1° passo: isolamos a incógnita x.

35yx

x35y

+=

=+

2° passo: Trocamos a incógnita x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a incógnita x.

35xy +

=

Assim, podemos escrever que a função inversa de

5x3)x(f −= é a função 3

5x)x(f 1 +=−

Outro exemplo:

Vamos obter a função inversa de 5x2

7xy−+

= .

Neste caso é interessante fazermos a troca de y por x e x por y, e depois isolarmos y novamente.

5y27yx−+

=

7y)5y2(x +=−

7yx5xy2 +=−

7x5yxy2 +=−

7x5)1x2(y +=−

1x27x5y

−+

=

Assim, a função inversa de 5x2

7x)x(f−+

= é a função

1x27x5)x(f 1

−+

=− .

Função do 1º Grau ou Afim e Função Linear

Uma função é do primeiro grau, ou função afim, quando for escrita na forma bxa)x(f +⋅= , onde a e b são números reais com a ≠ 0. Se o coeficiente b for igual a zero, dizemos que a função é linear. Observações: 1. O gráfico da função do primeiro grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 2. O elemento a é chamado de coeficiente angular e seu valor pode ser encontrado através da razão

θ= tga , onde θ é o ângulo formado entre o eixo x e a reta, no sentido anti-horário.

Se a > 0 (positivo), então, a reta é crescente.

Se a < 0 (negativo), então, a reta é decrescente. 3. O elemento b é chamado de coeficiente linear, ou termo independente, e pode ser encontrado através da visualização do gráfico. O valor de b é o ponto onde a reta intercepta o eixo y. Se o valor do coeficiente b for igual a zero a função do 1º grau pode ser chamada de função linear e será denotada por xa)x(f ⋅= . 4. A raiz, ou zero da função, do primeiro grau pode ser obtida igualando-se a função a zero. No gráfico, o valor da raiz é o ponto onde a reta intercepta o eixo x.

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Função do 2° Grau ou Quadrática Uma função é do segundo grau, ou função quadrática, quando for escrita na forma cbxxa)x(f 2 ++⋅= , onde a, b e c são números reais com a ≠ 0. Observações: 1. a, b e c são chamados de coeficientes da função do 2º grau. 2. 0a ≠ é a condição de existência da função do 2º grau. 3. O coeficiente c é o termo independente da função do 2º grau. 4. O gráfico da função do segundo grau é uma parábola que pode ser representada no plano cartesiano xOy. 5. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola.

Se a > 0 (positivo) a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0 (negativo) a concavidade da parábola é voltada para baixo.

6. No gráfico, a intersecção da parábola com o eixo x determina os valores das raízes da função do 2º grau. As raízes, ou zeros da função, do segundo grau podem ser obtidas igualando-se a função a zero. De acordo com a teoria da equação do 2º grau, sabemos que as raízes podem ser calculadas através da

equação de Básckara a2

bx Δ±−= , onde ac4b2 −=Δ .

De acordo com o valor do discriminante )(Δ é possível saber a quantidade de raízes que a função do 2º grau possui. 1º caso: Se 0>Δ (positivo) a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos; Neste caso dizemos que 2121 xxcomxex ≠ℜ∈ .

2º caso: Se 0=Δ a parábola intercepta o eixo x em apenas um ponto; Neste caso dizemos que 2121 xxcomxex =ℜ∈ .

3º caso: Se 0<Δ (negativo) a parábola não intercepta o eixo x; Neste caso dizemos que 2121 xxcomxex ≠ℜ∉ .

As raízes também podem ser obtidas através da regra da Soma (S) e Produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

A Soma (S) das raízes da equação do 2º grau pode

ser obtida por 21 xxS += ou abS −= .

O Produto (P) das raízes da equação do 2º grau

pode ser obtido por 21 xxP ⋅= ou acP =

7. O elemento c é chamado de coeficiente ou termo independente, e pode ser encontrado através da visualização do gráfico. O valor de c é o ponto onde a parábola intercepta o eixo y.

No exemplo acima as raízes são -1 e 3, enquanto o valor de c é -3. 8. Quanto ao vértice da parábola tem-se que: A parábola é composta por dois ramos simétricos em relação a uma reta (e) chamada de eixo de simetria. O ponto V da parábola que pertence ao eixo de simetria é chamado de vértice da parábola.

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Se a > 0 (positivo) a concavidade da parábola é voltada para cima e V é chamado de ponto de mínimo da função.

Se a < 0 (negativo) a concavidade da parábola é

voltada para baixo e V é chamado de ponto de máximo da função.

9. Coordenadas do vértice Damos o nome de coordenadas do vértice ao par ordenado )y;x( vv .

A abscissa do vértice )x( v pode ser calculada de duas formas:

a2bxv−

= ou 2

xxx 21v

+= onde 1x e 2x são as raízes da

função de 2º grau.

A ordenada do vértice )y( v também pode ser calculada de duas formas:

a4yv

Δ−= ou )x(fy vv = onde f é a função do segundo

grau.

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Função exponencial

É toda função ℜ→ℜ:f escrita na forma xa)x(f = , onde é um número real, com a > 0 e a ≠ 1.

Função logarítmica

É toda função ℜ→ℜ+*:f escrita na forma

xlog)x(f b= , que lemos “função logarítmica de base b”. A condição de existência da função é que 0 < b ≠ 1.

Propriedades do Logaritmo Dados os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a, na base b, o número real c, que deve ser o expoente de b, para que a potência seja igual ao número a. Representação:

abcalog cb =⇔= , com a > 0; b > 0 e b ≠ 1.

Nomenclatura: a é o logaritmando b é a base c é o logaritmo Propriedade 1: Logaritmo de um produto

NlogMlog)NM(log bbb +=⋅ Propriedade 2: Logaritmo de um quociente

NlogMlogNMlog bbb −=⎟⎠

⎞⎜⎝

Propriedade 3: Logaritmo de uma potência

MlogNMlog bN

b ⋅= Propriedade 4: Mudança de base

blogMlogMlog

a

ab =

Observações: 1. 01logb =

2. 1blogb =

3. alogalog10 =

4. ab alogb =

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.22) Admita que o lixo sólido gerado a cada ano nas cidades do nordeste do Brasil cresça de tal modo que represente uma função linear do tempo. Se em 1990 o lixo sólido gerado foi 82,3 milhões de toneladas e em 2010 foi de 139,1 milhões de toneladas, então, no ano de 2020 o lixo tóxico gerado, em milhões de toneladas, será: a) 167,5. b) 195,9. c) 221,4. d) 233,7. e) 395,0. 2. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.23) Os coeficientes P e Q que tornam verdadeira a identidade

)2x(Q

xP

)2x(x1x2

−+=

−+ , são, respectivamente:

a) 23e

21 .

b) 23e

21

− .

c) 41e

21

− .

d) 41e

21

− .

e) 25e

21

− .

3. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.27) A soma e o produto das raízes da equação 3x³ – 6x² + x + 2 = 0 são, respectivamente:

a) 31e1 .

b) 32e2 − .

c) 31e1− .

d) 32e2− .

e) 31e1 −− .

4. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.32) Um professor de matemática “brincava” com os seus alunos construindo tabelas. O jogo era o seguinte: cada aluno colocava um número numa linha e o professor, seguindo uma regra inventada por ele, colocava um número na outra linha a partir do número do aluno. Depois os alunos tinham que “adivinhar” a regra. Em um certo momento a tabela ficou assim:

Aluno 3 7 2 -2

Professor 7 15 5 -3

Chamando de “a” o número dos alunos, de “p” os números do professor e sabendo que os números do professor estão relacionados com os números dos alunos, então a regra do professor pode ser expressa por: a) p(a) = 3a – 2 b) p(a) = 3a – 6 c) p(a) = 3a – 1 d) p(a) = 2a + 1 e) p(a) = a – 1 5. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.33) Suponha que na movimentação financeira de um comerciante o seu lucro possa ser definido pela função quadrática L(x) = –x² + 50x, onde x é o preço de venda. Sabe-se que o maior lucro está definido pelo vértice da função. Nesse caso, o seu maior lucro é obtido quando o preço de venda (x) for de: a) 50. b) 25. c) 625. d) -50. e) 0. 6. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.34) Da função definida por f(x) = –2x + 4, podemos afirmar: I – é função linear. II – o seu gráfico passa pelos pontos (0,4) e (2,0). III – para x = -2 temos y = 0. IV – é uma função crescente. As afirmações acima podem ser falsas (F) ou verdadeiras (V) e aparecem, de cima para baixo, na seguinte ordem: a) V, V, F, F b) F, V, F, V c) F, V, V, V d) V, F, V, F e) F, V, F, F

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7. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.40) Um técnico de informática cobra R$ 25,00 por visita e R$ 5,00 a hora de trabalho para realizar dado serviço. A expressão que define o preço do serviço P, em função do tempo t, gasto para realizá-lo, é: a) P(t) = 1250.t b) P(t) = 5.t + 25 c) P(t) = 25.t + 5 d) P(t) = 125.t

e) P(t) = t.255

8. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.33) A área de um quadrado de lado x é dada pela função A(x)=X2. Um certo quadrado metálico que à temperatura ambiente tinha a2 de área foi introduzido em um forno de alta temperatura para estudo da sua dilação superficial. No momento em que seu lado teve uma acréscimo de 1 cm, a área teve um acréscimo de : a) (2a+1) cm2. b) 1 cm2. c) 4 cm2. d) (a +1) cm2. e) (a+1) 2 cm2. 9. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.34) É dada a equação quadrática definida por 2x2+bx=119 e sabendo que uma das suas raízes x1 = 7, pede-se o valor da outra raiz x2 e o valor de b. os valores pedidos são, repectivamente: a) 31b;x 2

172 ==

b) 231b;17x2

−==

c) 3b;17x2 −==

d) 3b;x 217

2 −== −

e) 3b;x 217

2 == −

10. [Ass. Ativ. Turis. (NM)-(Fund.Turis.)-FADEMS/2006] (Q.34) Um técnico em consertos de máquina de lavar cobra R$ 50,00 por visita e R$ 5,00 a hora de trabalho. A expressão que define o preço do serviço, P, em função do tempo, t, gasto para realizá-lo é: a) P(t) = 50.t + 5 b) P(t) = 100.t c) P(t) = 5.t + 50 d) P(t) = 250.t

e) P(t) = .101 t

A partir da observação do anúncio dado, responda às questões 11 e 12 a seguir: Duas companhias de serviços turísticos têm as seguintes opções para seus usuários em viagem ao município de Bonito em Mato Grosso do Sul: VIAJABEM Pague apenas R$ 250,00 por um pacote de 8 diárias de casal, Com dois passeios turísticos inclusos e R$ 15,00 por casal em cada passeio turístico extra.

TURISBOM: Pague R$ 300,00 por um pacote de 8 diárias de casal, com dois passeios turísticos inclusos e apenas R$ 10,00 por casal em cada passeio turístico extra.

Suponha que as acomodações nos hotéis sejam iguais nos dois pacotes turísticos: 11. [Ass. Ativ. Turis. (NM)-(Fund.Turis.)-FADEMS/2006] (Q.38) A função que define o preço a ser pago, V por um casal optar pela companhia VIAJABEM, em função da quantidade de passeios turísticos, p, que o casal realizará em Bonito, é: a) V(p) = 265 p b) V(p) = 15p + 250 c) V(p) = 220p + 15 d) V(p) = 15p + 220 e) V(p) = 250p + 15 12. [Ass. Ativ. Turis. (NM)-(Fund.Turis.)-FADEMS/2006] (Q.39) Para que quantidade de passeios p a opção pelo pacote turístico da companhia VIAJABEM torna-se mais vantajosa para o cliente? a) p = 12. b) p ∠ 12. c) p > 12. d) p > 13. e) Nunca a opção pela companhia VIAJABEM será mais vantajosa para o cliente.

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13. [Oficial Bombeiro-CBM-MG/2009].(Q.3) Estudos têm mostrado que, se as emissões dos gases que provocam o efeito estufa não diminuírem, a quantidade desses gases presentes na atmosfera pode triplicar em 100 anos. Entre os cientistas há um consenso de que o resultado mais direto das mudanças climáticas seja o aumento da tem-peratura do planeta em até 5,8° C ao final desses 100 anos. Admitindo as expectativas mais pessimistas, se nos próximos 100 anos, a temperatura do planeta aumentar linearmente em função do tempo, daqui a quanto tempo, aproximadamente, haverá um acréscimo de 1,7° C nessa temperatura? a) 19,1 anos. b) 29,3 anos. c) 9,2 anos. d) 39,4 anos. 14. [Ass. Ativ. Turis. (NM)-(Fund.Turis.)-FADEMS/2006] (Q.33) Numa fábrica, o custo em reais para produção de x unidades de um certo produto é dado pela função quadrática f(x) = x2 – 40.x + 400. Quantas unidades serão produzidas para um custo de R$ 1.600,00? a) 80 b) 70 c) 60 d) 40 e) 10 15. [Auditor Geral do Estado-(Matemático)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.40) Dentre as opções abaixo, a única que pode representar o gráfico y = –x2 – 6x – 11 é: a) b) c)

d) e)

16. (Guarda Municipal-Pref. Munic. Salvador/2008-FCC).(Q.20) Para ajudar a proteger o centro ecológico municipal, foram coletados dados e construído o gráfico de uma função de segundo grau que relaciona o número de visitantes (n) ao desgaste do solo, por área (A), do parque.

O domínio da função é de zero a 100 pessoas, e o vértice da parábola que representa a função, tem abscissa 100. Qual das equações abaixo representa a função? a) A(n) = −0,002n2 + 0,4n b) A(n) = 0,002n2 − 0,4n c) A(n) = −0,02n2 + 0,4n d) A(n) = 0,02n2 − 0,4n e) A(n) = −0,2n2 + 4n 17. (Guarda Municipal-Pref. Munic. Salvador/2008-FCC).(Q.22) Durante um treinamento da guarda municipal, uma bola foi lançada verticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = − 5t2 + 10t. Depois de quantos segundos, contados a partir do lançamento, a bola retorna ao solo? a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0 e) 1,5 18. [Assist. Adm.-(C21)-(NM)-(T)-(CU)-PC-PA/2007-UnB].(Q.20) Com relação à função f(x) = 3x2 – 27x + 324, assinale a opção correta. a) O gráfico dessa função, no plano cartesiano de coordenadas retangulares xOy, corta o eixo Oy no

ponto y = 1083

324= .

b) f(x) ≤ 300 se, e somente se, 1 ≤ x ≤ 8. c) A equação f(x) = – 60 possui 2 raízes reais. d) O menor valor de f(x) é obtido quando x = 9.

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19. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.26)

Um professor resolveu trabalhar alguns conteúdos matemáticos com seus alunos da 9.ª série, a partir de algumas situações-problema relacionadas à profissão de designer industrial. Para isso, ele considerou a seguinte situação hipotética.

A equipe de designers industriais de uma empresa, ao apresentar o projeto de uma cadeira que será fabricada pela empresa, ilustrou o formato do encosto utilizando o gráfico de uma parábola que intercepta o eixo Ox nos pontos x = 0 e x = 40 e segmentos de reta verticais que interceptam o eixo Ox e a parábola e representam as tiras do encosto, conforme figura abaixo.

Com base no texto, é correto concluir que a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que representam as tiras que serão utilizadas no encosto da cadeira projetada pela equipe de designers é, em metros, igual a a) 1,20. b) 2,10. c) 4,50. d) 5,70. 20. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.55) Uma bola foi arremessada para cima. Sua posição (S) em metros em função do tempo (t) em segundos é dada pela equação S(t) = 2 + 6t − t2. A bola estará numa altura superior a 10 metros para: a) t < 2 b) 1,5 < t < 3,5 c) 2 < t < 4 d) 2,5 < t < 4,5 e) 3 < t 21. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.58) Um campo retangular será limitado por uma cerca em três de seus lados e por um rio no quarto lado, conforme figura abaixo. A área máxima desse campo que pode ser cercada com 300 m de cerca é:

a) 11250 b) 12200

c) 15000 d) 25000 e) 90000 Texto para as questões 22 e 23

A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas soluções na linguagem do mundo real.

Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e logarítmicas, tal qual o apresentado a seguir, em que a população P(t) em determinada região de um país é expressa em termos de t anos a partir de 2005, ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2005, t = 1, ao ano 2006 etc.

Suponha que kte25,01000.200)t(P

+= , em que k é um número

real. 22. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.38) Considerando as informações do texto, se ek = 2 então a população estimada por P(t) para o ano de 2009 é igual a a) 40.000. b) 66.666. c) 100.000. d) 133.333. 23. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.39) Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), em 2006, era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a

a) 2ln3ln .

b) 3ln32ln2 .

c) 2ln3ln3 − d) 3ln2ln3 − 24. [Gestor Fazendário-(Trib.-Arrecad.)-SEF-MG/2007-NCE-UFRJ].(Q.16) Uma certa substância se desintegra seguindo a lei: M(t) = k.3 −0,5t, onde M (t) é a massa da substância (gramas) presente no instante t (minutos) e k é uma constante. O tempo necessário para que esta substância se reduza a 1/3 da quantidade inicial (no instante t = 0) é: a) 2 min; b) 3 min; c) 4 min; d) 5 min; e) 6 min.

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7 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES.

Definição Damos o nome de inequação a toda sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade );;;;( ≠><≥≤ . Assim como nas funções e equações, a classificação da inequação é feita de acordo com o expoente da variável. Exemplos: 1. Inequação do 1º grau 24x3 <−

2. Inequação do 2º grau 06x5x2 ≤+−

Notação de Intervalo O intervalo numérico encontrado como solução de uma inequação pode ser descrito de várias maneiras. Abaixo citamos um exemplo dos possíveis tipos de representação de uma inequação.

{ }2x/xV <ℜ∈= ou ] [ ( )2;ou2; −∞−∞ Observações: 1. Será usado ( ) ] [;ou; para intervalos abertos nas duas extremidades; 2. Será usado [ [ [ );ou; quando o intervalo for fechado à esquerda e aberto à direita; 3. Será usado ] ] ( ];ou; quando o intervalo for aberto à esquerda e fechado à direita; 4. Será usado [ ]; para intervalos fechados; 5. Nas extremidades em que ocorre o infinito a notação usada será a aberta; 6. A notação usada será aberta quando o número que está na extremidade do intervalo não pertencer à solução da inequação. 7. A notação usada será fechada quando o número que está na extremidade do intervalo pertencer à solução da inequação. 8. A descrição da solução da inequação ainda poderá ser feita através da reta numérica, como veremos nos exercícios dados abaixo.

Sinais de uma Função Através do estudo do gráfico é possível saber sobre os sinais de uma função, ou seja, para quais resultados de x a função admite valor positivo ou negativo. 1º caso: Estudo dos sinais da função do 1º grau bxa)x(f +⋅=

Se a > 0 (positivo) a função é crescente. Se a < 0 (negativo) a função é decrescente.

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2º caso: Estudo dos sinais da função do 2º grau cbxxa)x(f 2 ++⋅= 1. Se Δ > 0 (positivo) tem-se duas raízes reais e distintas.

a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo)

2. Se Δ = 0 tem-se duas raízes reais e iguais.

a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo)

3. Se Δ < 0 o gráfico não intercepta o eixo x.

a > 0 (concavidade para cima) a < 0 (concavidade para baixo)

Observações: 1. Uma inequação pode admitir infinitas soluções.

2. Encontrar o domínio de uma função é verificar para quais valores da variável x a função existe.

3. Na resolução de um sistema de inequações, devemos resolver cada uma das inequações dadas, e fazer a intersecção entre as soluções admitidas por cada uma delas.

4. Na resolução de um produto ou quociente de inequações, devemos estudar o sinal do produto, ou do quociente, respectivamente.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.26) Os valores de y que satisfazem a inequação y² + 3y – 10 > 0 são: a) y > 2. b) y < –5 ou y > 2. c) y < –5. d) y > –5 e y < 2. e) y < –5 e y > 2.

2. [Téc.-Adm. Educ.-(Assist. Adm.)-UFMS/2012].(Q.28) Em um teste de 20 questões, cada acerto vale 5 pontos e cada erro vale –1 ponto. Se um candidato respondeu todas as questões e marcou 76 pontos, então, o número de questões que ele acertou é: a) 16. b) 18. c) 15. d) 14. e) 12.

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3. [Ag. Ativ. Educ.-(Ag. Limpeza)-SED-MS/2011].(Q.25) Duas crianças brincavam de escolinha. Uma disse para a outra: pense em um número par maior do que dez. Subtraia dez desse número. Divida o resultado por dois (2) e diga quanto sobrou. A outra disse: 3 (três). Com essas informações, podemos dizer que o número pensado foi: a) 6. b) 12. c) 26. d) 16. e) 18. 4. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.22) A soma de quatro números pares consecutivos é 60. Qual é o valor do menor deles? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e 14 5. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.26) Um número inteiro negativo é tal que os dois terços de seu quadrado é igual 54, então qual é esse número? a) (- 10) b) (- 9) c) (- 8) d) (- 6) e) (- 5) Um aluno desenhou um retângulo com largura medindo L centímetros e comprimento medindo (L + 15) centímetros. Observou-se que a área do retângulo era de 1000 cm². A partir dessas informações, responda às questões 6 e 7 seguintes: 6. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.27) Qual era a medida do comprimento do retângulo, em centímetros? a) 40 cm. b) 35 cm. c) 30 cm. d) 25 cm. e) 20 cm. 7. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.28) Se a medida dos lados do retângulo fossem duplicadas qual seria a área do novo retângulo, em centímetros quadrados? a) 1.000 cm² b) 2.000 cm² c) 3.000 cm² d) 4.000 cm² e) 5.000 cm²

8. (Monitor de Alunos-PMCG-SEMAD-MS/2011-FAPEC).(Q.39) Sabe-se que um terço da metade de certo número N é 12. Qual é o valor de N? a) 24 b) 30 c) 60 d) 72 e) 81 9. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.19)

Um homem pagou 52 de uma dívida e ainda ficou

devendo R$12.000,00. Então qual era o valor da dívida do homem? a) R$30.000,00 b) R$20.000,00 c) R$10.000,00 d) R$5.000,00 e) R$4.800,00 10. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.20) Um grupo inicial de pessoas estava reunido em uma sala. Após alguns minutos 5 pessoas a mais se juntaram ao grupo inicial e então foram divididos em dois grupos:

um com 31 do total e o outro com o restante. Sabendo-

se que o maior grupo excedia o menor em 13 pessoas quantas eram as pessoas do grupo inicial? a) 45 pessoas b) 43 pessoas c) 39 pessoas d) 36 pessoas e) 34 pessoas 11. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.21) A soma de três números pares consecutivos é 78. Qual é o valor do maior deles? a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 12. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.24) Se ao quadrado de um número inteiro positivo somarmos 9, a soma será 45. Qual é esse número? a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

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13. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.27) Um aluno desenhou dois quadrados; um de lado medindo L centímetros e o outro quadrado de lado medindo (L + 2) centímetros. Observou-se que a área do maior quadrado era 20 cm2 maior do que a área do quadrado menor. Então qual é a medida em centímetros do lado do maior quadrado desenhado? a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm Pedro, Antônio e João ganharam, ao todo, R$120,00. Se Pedro gastasse 4 reais e desse 5 reais para João, que gastou apenas 5 reais, eles ficariam, cada um, com a mesma quantidade de reais que Antônio, que não ganhou nem gastou nada. A partir desses dados responda as questões 14 e 15 a seguir: 14. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.29) Quanto ganhou inicialmente Pedro? a) R$ 32,00 b) R$ 37,00 c) R$ 40,00 d) R$ 46,00 e) R$ 50,00 15. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(M)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.30) Qual é a diferença entre os valores maior e menor na partilha inicialmente feita entre os três? a) R$ 5,00 b) R$ 6,00 c) R$ 7,00 d) R$ 8,00 e) R$ 9,00 16. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.22) Alguns colegas foram a um barzinho e consumiram um total de R$360,00, que deveria ser dividido igualmente entre todos. Na hora de pagar os colegas resolveram que o aniversariante do dia não pagaria e então os demais colegas, além de sua parte, pagariam um adicional de R$ 4,00 cada um. Qual o número total de colegas que foram ao barzinho, incluindo o aniversariante do dia? a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 17. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.23) Havia em cima de uma mesa certa quantidade de moedas de mesmo valor. Algumas crianças se aproximaram e tentaram fazer a distribuição das moedas: Se tentassem distribuir de 9 em 9 moedas a última criança ficaria sem nenhuma e se dessem 8 moedas a cada uma sobraria uma moeda. Quantas moedas havia em cima da mesa? a) 100 b) 98 c) 89

d) 81 e) 72 18. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.24) O marcador de combustível de um automóvel marca

que o tanque contém exatamente 31 do total. Se abas-

tecermos mais 12 litros o tanque ficará com metade de sua capacidade máxima. Quantos litros correspondem à capacidade máxima do tanque de combustível do automóvel citado? a) 60 litros b) 65 litros c) 72 litros d) 84 litros e) 90 litros 19. [Aux. Jud. I-(Ap. Oper.)-(NM)-(V)-TJ-MS/2009-FADEMS].(Q.27) Um número inteiro negativo dado é tal que a metade de seu quadrado é igual ao dobro do número dado mais 30, então qual é esse número? a) (– 14) b) (– 12) c) (– 10) d) (– 8) e) (– 6) 20. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.26) Em 13 de setembro de 1987, em Goiânia (GO), dois sucateiros encontraram e recolheram, no prédio abandonado da Santa Casa de Misericórdia, um aparelho que desconheciam ser de radioterapia. Interessados nas peças do metal que compunham para vender a ferros-velhos, iniciaram o desmonte da peça, expondo ao ambiente 19,26 g de cloreto de césio-137 (CsCl). Esse fato, desencadeou um dos piores acidentes por radioatividade no planeta, levando 11 mortes e 600 vítimas de contaminação, segundo dados oficiais. Os trabalhos de descontaminação, dos locais afetados produziram 13,4 toneladas de lixo contaminado com césio-137: roupas, utensílios, plantas, restos de solo e materiais de construção. Esse lixo está armazenado em cerca de 1.200 caixas, 2.900 tambores de 14 contêineres de um depósito construído na cidade de Abadia de Goiás, vizinha a Goiânia, onde deverá ficar por pelo menos 180 anos. Sabendo que a meia-vida do césio-137 (ou seja, o tempo para que sua massa reduza-se a metade devido às emissões de partículas β , é de cerca de 30 anos, após os 180 anos citados acima ainda haverá, da amostra inicial de 19,26 g, uma massa m de césio tal que: a) 1g < m < 10g. b) 0,1g < m < 1g. c) 0,01g < m < 0,1g d) 0,001g < m <0,01g. e) 0,0001g < m < 0,001g

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21. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.22) A tabela a seguir apresenta as tarifas residenciais de água e esgoto praticadas em Campo Grande (MS), em março de 2008:

Faixa de consumo Tarifa de água (R$/m3) 0 a 10 m3 1,84

11 a 15 m3 2,34 16 a 20 m3 2,39 21 a 25 m3 2,63 26 a 30 m3 3,25 31 a 50 m3 3,89

Acima de 50 m3 4,28 Sendo assim, se certa residência apresentar uma leitura de hidrômetro (consumo) mensal de 53 m3 a conta a ser paga apresentará as seguintes informações:

Faixa de consumo Q tde consumida V. Unitário (R$/ m3) Total (R$) 0 a 10 m3 10 1,84 18,40

11 a 15 m3 5 2,34 11,70 16 a 20 m3 5 2,39 11,95 21 a 25 m3 5 2,63 13,15 26 a 30 m3 5 3,25 16,25 31 a 50 m3 20 3,89 77,80

Acima de 50 m3 3 4,28 12,84 Total 162,09

Dessa forma, se a uma residência for apresentada uma conta de consumo de água no valor de R$ 52,57, a quantidade, em metros cúbicos, de água utilizada em tal residência é igual a: a) 19. b) 21. c) 23. d) 24. e) 26. 22. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.31) Para enviar uma mensagem via fax uma prestadora de serviço cobra R$ 2,80 pela primeira página do documento e R$ 2,50 pelas páginas seguintes (inteiras ou não). Um policial militar enviou três documentos para o seu colega de outra cidade, cujo total foi de R$ 345,90. Qual o total de paginas enviadas? a) 137,3 b) 122,7 c) 138 d) 121 e) 135 23. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.32) Um prêmio de R$ 297.500,00 iria ser dividido, em partes iguais, entre os ganhadores de um Concurso. No momento da divisão verificou-se que 2 pessoas não tinham direito ao prêmio, o que implicou em uma nova divisão, na qual os verdadeiros ganhadores receberam R$ 17,000,00 a mais do que esperavam receber anteriormente. Qual o numero de ganhadores que realmente tinham direito ao prêmio? a) 9 ganhadores b) 6 ganhadores c) 8 ganhadores d) 7 ganhadores e) 5 ganhadores

24. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.35) Dois ciclistas partem de um mesmo lugar, na mesma direção, com um intervalo de 1 hora entre um e outro. O primeiro partiu às 8 horas com uma velocidade de 23 Km/h; o segundo partiu às 9 horas, com uma velocidade de 28 Km/h. A que horas o segundo ciclista encontra o primeiro? a) 13h 30 min b) 12h 30 min c) 13h 36 min d) 14h 36 min e) 14h 30 min 25. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.27)

Qual é a solução da equação 2

x23 − =3

x1−

a) 1,15 b) 1,25 c) 1,45 d) 1,55 e) 1,75

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26. [Assist. Adm. II-(NM)-(M)-PMCG-MS/2008-FADEMS].(Q.30)

Se S é o conjunto solução da inequação 2x2

1x−≤

então Ѕ é o intervalo dos números reais dado por: a) S = [3,+∞ [ b) S = [-3,+ ∞ [ c) S = [1,+ ∞ [ d) S = [-3,3] e) S = ] -∞ ,3]

8 TRIGONOMETRIA:

Arcos e Ângulos. Funções Trigonométricas. Aplicações das Leis do Seno e do Cosseno. Resolução de Triângulos. Aplicações.

Razões Trigonométricas Seno, Cosseno e Tangente

Considere o triângulo retângulo apresentado a seguir:

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, são respectivamente:

hipotenusaaopostocatetosen α

=α ;

hipotenusaaadjacentecatetocos α

=α ;

αα

=αaadjacentecateto

aopostocatetotg

A tangente do ângulo α também pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de α.

αα

=αcossentg

Ângulos Notáveis Os principais valores de seno, cosseno e tangente são referentes aos seguintes ângulos:

30° 45° 60°

sen 1/2 22 23

cos 23 22 1/2

tg 33 1 3

Ainda podemos citar:

00sen =°

190sen =°

0180sen =°

1270sen −=°

0360sen =°

10cos =°

090cos =°

1180cos −=°

0270cos =°

1360cos =°

Resolução de Triângulos Embora as razões trigonométricas sejam definidas apenas em triângulos retângulos, é possível aplicá-las também em triângulos não retângulos, de acordo com os teoremas lei dos cosenos e lei dos senos. 1º caso: lei dos cossenos Considere os triângulos apresentados a seguir. As medidas dos lados são a, b e c, e α a medida do ângulo oposto ao lado de medida a.

De acordo com a lei dos co-senos temos que:

α⋅−+= cosbc2cba 222

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2º caso: lei dos senos Considere o triângulo ABC apresentado a seguir, de lados a, b e c.

De acordo com a lei dos senos temos:

R2Csen

cBsen

bAsen

a===

Observação: R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Relação Fundamental da Trigonometria Para todo arco trigonométrico de medida x, tem-se que:

1xcosxsen 22 =+

Soma de Arcos As fórmulas de adição de arcos auxiliam em cálculos do seno, co-seno ou tangente da adição ou subtração de arcos trigonométricos. I. acossenbbcossena)ba(sen ⋅+⋅=+ .

II. acossenbbcossena)ba(sen ⋅−⋅=− .

III. senbsenabcosacos)bacos( ⋅−⋅=+ .

IV. senbsenabcosacos)bacos( ⋅+⋅=− .

V. tgbtga1

tgbtga)ba(tg⋅−

+=+ .

VI. tgbtga1

tgbtga)ba(tg⋅+

−=− .

Nas fórmulas V e VI deve ser observada a condição de existência da equação.

Arcos e Ângulos Considere a circunferência de centro O mostrada abaixo sobre a qual estão assinalados dois pontos distintos A e B. A medida angular m(AB) do arco AB corresponde ao ângulo α.'

Sejam α rad a medida do ângulo central, l o compri-mento do arco AB e r a medida do raio da circun-ferência mostrada na figura, pode-se escrever que:

rl ⋅= α Que é uma expressão que permite calcular o compri-mento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos. Quanto à medida de ângulos, temos: 1 minuto (1’) = 60 segundos (60”) 1 grau (1º) = 60 minutos (60’) = 3600 segundos (3600”) Existe ainda a relação entre grau (°), grado (gr) e o radiano (rad): 180° = π rad = 200 gr O valor numérico de π é aproximadamente igual a 3,1415

Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são funções que são descritas a partir das relações já conhecidas: seno, cosseno e tangente. Função seno: é toda função escrita na forma xseny = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor do seno desse ângulo. Função cosseno: é toda função escrita na forma

xcosy = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor do cosseno desse ângulo. Função tangente: é toda função escrita na forma

xtgy = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor da tangente desse ângulo. Função secante: é toda função escrita na forma

xsecy = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor da secante desse ângulo. Função cossecante: é toda função escrita na forma

xseccosy = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor da cossecante desse ângulo. Função cotangente: é toda função escrita na forma

xgcoty = , onde x representa o valor de um ângulo e y o valor da secante desse ângulo.

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS INSTRUÇÕES: O texto seguinte refere-se à questão 1.

Incêndio já consome mais de 12 mil hectares der reservas na Serra Amolar no Pantanal

Setembro 18, 2008

Equipes do Corpo de Bombeiros de Mato Grosso do Sul e de Mato Grosso tentam controlar o incêndio que já consumiu mais de 12 mil hectares de mata preservada na Serra do Amolar, divisa entre os dois Estados e a Bolívia. Isso equivale a uma área semelhante a seis vezes o território de Mônaco (com área de 1,95 km2) ou a 7,5 vezes a extensão do parque do Ibirapuera (área de 1,584 km2).

O fogo começou na última sexta-feira, dia 12.9.2008, e vem se expandindo rapidamente pela região. Os fortes ventos e o período de seca do Pantanal facilitam a propagação das chamas. O difícil acesso ao local – só é possível chegar de barco ou avião – também prejudica a ação dos bombeiros. As RPPNs (reserva particular de patrimônio natural) Acurizal e Penha, situadas a cerca de 140 quilômetros de Corumbá (MS), foram as primeiras atingidas. Juntas, elas possuem quase 30 mil hectares de área preservada.

O incêndio já ameaça a RPPN Eliezer Batista, de propriedade mineradora MMX, e o Parque Nacional do Pantanal, localizado em Poconé (MT). Após sobrevoar a região nesta quarta-feira (dia 17), os bombeiros constataram que o fogo está a menos de 3 quilômetros do parque, considerado patrimônio da Unesco.

Funcionários da PRRNs e do IBAMA auxiliam no combate às chamas. A MMX mantém, desde sexta-feira, um avião agrícola no local. A aeronave tem capacidade para voar com 2,5 mil litros de água, mas o relevo e a fumaça dificultam a chegada do avião até os focos. Um helicóptero foi deslocado para a Serra do Amolar para ajudar nos trabalhos.

Segundo o IBAMA, um raio teria provocado o incêndio. Para o órgão de proteção ambiental, apenas uma chuva é capaz de impedir que o fogo avance. A meteorologia prevê a possibilidade de precipitação na região afetada apenas para o sábado.

htt://segurancaemrisco.wordpress.com acessado em 20/09/2008

1. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.24) Suponha que, para prestar auxílio no combate ao fogo na Serra do Amolar (vértice C do triângulo da figura, os governos dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul enviem helicópteros de Cuiabá (B) e Corumbá (A), respectivamente, em direção C, foco do incêndio.

Considere a, b e c, respectivamente, como os comprimentos BC , AC e AB e que α , β e γ sejam as

medidas dos ângulos BAC CBA e BCA . Se os pilotos que partiram simultaneamente de Corumbá e Cuiabá desenvolverem a mesma velocidade de cruzeiro (v), deslocando-se em trajetórias coincidentes com os lados do triângulo da figura, farão seus respectivos percursos em tempos iguais a tA e tB, respectivamente.

Assim, razão B

Att é igual a:

a) α−+

β−+

cos.bc2cbcos.ac2ca

22

22

b) β−+

γ−+

cos.ac2cbcos.ab2ca

22

22

c) βα

sensen

d) αγ

sensen

e) γβ

sensen

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2. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.22) No ciclo trigonométrico o arco x, medido em radianos π < x <, terá o mesmo seno, em módulo, que o arco

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

<<2

y0y se:

a) π+= 2xy b) x2y −π= c) π−= xy

d) x2

3y −π

=

e) x2

y +π

=

3. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.23) A função y=sen2x, sendo x um número real, tem período igual: a) ao período da função y=senx. b) ao dobro do período da função y=senx. c) à metade do período da função y=senx. d) à quarta parte do período da função y=senx. e) ao quádruplo do período da função y=senx. 4. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.24) O

valor numérico de 23

65cos2

3sen3 −

π+

π é igual a:

a) 0

b) 23

c) 32

d) 3

e) 63

5. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.28) Se definirmos seno 50º= a então: a) seno 150º = 3a b) seno 130º = a c) seno 150º = -a d) seno 100º = -2a e) seno 350º = -a 6. [Aud. Fis. Trabalho-(P1)-MTE/2006-ESAF].(Q.45) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

7. [Anal. Finanç. e Contr.-(P1)-AFC-STN/2005-ESAF].(Q.33) O sistema dado pelas equações

⎩⎨⎧

=+−=−

a2senysenaacosxa2cosacosyxsena

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 b) 2 c) 4 d) sen π e) cos π 8. (Espec. Pol. Públ. Gestão Governamental-MPOG/2003-ESAF).(Q.24) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é igual a: a) –12/5 b) –10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5 9. Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20°. Após percorrer 2000 m em linha reta, a altura atingida pelo avião será de, aproximadamente: (Dados: sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,94 e tg 20° = 0,364.)

a) 728 m b) 1880 m c) 1000 m d) 1720 m e) 684 m

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10. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 m do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura abaixo.

Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se concluir que, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a altura do edifício em metros é: (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,866 e tg 30° = 0,577) a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124 11. Desde os tempos da Antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram resolver podemos citar a distância de um objeto a um observador. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver um barco sob um ângulo de 90° com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45°. Se a distância entre os observadores fosse igual a 50 metros, a distância entre o barco e a costa seria de: a) 50 2 m b) 50 m c) 10 5 m d) 100 m e) 75 2 m

12. Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, conclui-se que a medida do lado AB do triângulo representado abaixo é: (Dado que sen 120° = sen 60°)

a) 12 6 m

b) 12 3 m

c) 8 6 m

d) 8 3 m

e) 4 6 m 13. Na figura abaixo se tem um triângulo cujas medidas dos lados são dadas em centímetros.

Se θ é o ângulo assinalado, então cos θ é igual a: a) -1 b) -3/4 c) -1/2 d) -1/3 e) -1/4

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Uma função é denominada função polinomial ou polinômio na variável x, quando for escrita na forma:

012

22n

2n1n

1nn

n axaxa.....xaxaxa)x(f ++++++= −−

−−

onde an, an-1, an-2, .... , a2, a1 e a0 são os coeficientes do polinômio. São exemplos de polinômios:

1x3x2)x(f 2 −+= , onde os coeficientes são a2 = 2, a1 = 3 e a0 = -1.Neste caso temos um polinômio de grau 2.

3xx2)x(g 3 +−= , onde os coeficientes são a3 = -2, a2 = 0,

a1 = 1/3 e a0 = 0. Neste caso temos um polinômio de grau 3.

O grau do polinômio é dado pelo valor do maior expoente da “variável x”. Não representam polinômios:

1x3x2)x(f 2/1 −+= , devido ao expoente fracionário.

1x3x2)x(g 2 −+= − , devido ao expoente negativo.

Valor numérico de um polinômio O valor numérico de um polinômio é obtido quando se substitui a variável x por um número dado. Exemplo: O valor numérico de 3x2)x(P 2 += para x = 1 é dado por

532312312)1(P 2 =+=+⋅=+⋅=

Raiz de um polinômio Seja C∈α (números complexos). Se 0)(P =α , dizemos que α é raiz do polinômio. Ou seja, a raiz de um polinômio é o valor que substituído no lugar de x, faz o polinômio assumir valor zero. Como exemplo, observe o polinômio 9x)x(P 2 −= . Neste caso as raízes do polinômio são os números -3 ou 3, pois ao substituirmos qualquer um desses valores na variável x, o polinômio assumirá valor igual a zero. O número de raízes que um polinômio admite é de acordo com o grau desse polinômio. No exemplo citado obtivemos duas raízes porque o polinômio é do 2° grau.

Exemplos de problemas: 1. Encontre a(s) raiz(es) do polinômio 4x2)x(P 2 −= . Igualamos a expressão a zero e isolamos a variável x:

2x

2x

2x

24x

4x2

04x2

2

2

2

2

±=

±=

=

=

=

=−

2. Encontre o valor de m no polinômio 3mxx4x)x(P 23 −++= sabendo-se que -2 é raiz desse polinômio. Substituindo x por -2 e colocando a expressão igual a zero, temos:

25m

m25

m23168

03m2448

03)2(m)2(4)2( 23

=

=

=−+−

=−−⋅+−

=−−+−+−

Polinômio nulo Polinômio identicamente nulo é um polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja, 0)x(P = . Exemplo de problema: Dado que cx)3b(x)1a()x(P 2 +++−= , encontre o valor de a, b e c. Como sabemos que os coeficientes do polinômio são iguais a zero, temos: a – 1 = 0 b + 3 = 0 c = 0 Assim, obtemos a = 1, b = − 3 e c = 0.

Identidades Dois polinômios são idênticos quando todos os coeficientes, ordenadamente, desses polinômios são iguais.

9 POLINÔMIOS: Conceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Polinômios e Propriedades.

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Exemplo de problema: Encontre os valores de a, b e c apresentados nos polinômios

3x)1b(ax)x(f 2 +−+= e cx5x2)x(g 2 −+−= , sabendo-se

que 3x)1b(ax)x(f 2 +−+= ≡ cx5x2)x(g 2 −+−= . O símbolo usado entre os polinômios (≡ ) é para mostrar que os mesmos são idênticos. Assim, pode-se escrever que: a = -2 b – 1 = 5 -3 = c, ou seja, a = -2, b = 6 e c = -3.

Adição, subtração e multiplicação de polinômios

Nas operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios usam-se os procedimentos de Álgebra. Exemplo de problemas: 1. Encontre o resultado da adição P(x) + Q(x) onde

4x2)x(P 2 −= e 9x5x)x(Q 23 ++−= . Faz-se a soma dos coeficientes das parcelas de mesmo grau:

)94(x)52(x)10()x(R 23 +−+++−= O polinômio resultante da operação é dado por

5x7x)x(R 23 ++−= . 2. Encontre o resultado da subtração Q(x) – P(x) onde

4x2)x(P 2 −= e 9x5x)x(Q 23 ++−= . Faz-se a soma dos coeficientes das parcelas de mesmo grau:

)]4(9[x)25(x)01()x(R 23 −−+−+−−= O polinômio resultante da operação é dado por

13x3x)x(R 23 ++−= . 3. Encontre o resultado da multiplicação P(x) . Q(x) onde

4x2)x(P 2 −= e 9x5x)x(Q 23 ++−= . Faz-se a distributiva entre os polinômios:

)9x5x()4x2()x(R 232 ++−⋅−=

)9.4x5.4)x.(4()9.x2x5.x2)x.(x2()x(R 2322232 ++−−++−= Somam-se os termos semelhantes:

36x20x4x18x10x2)x(R 23245 −−+++−= O polinômio resultante da operação é dado por

36x2x4x10x2)x(R 2345 −−++−= .

Divisão de polinômios Na divisão do polinômio f(x) por g(x) com g(x)≠ 0, são obtidos dois outros polinômios, o polinômio quociente da divisão que denotamos por q(x) e o polinômio resto da divisão r(x). A divisão entre os dois polinômios será exata quando se obtém r(x) = 0.

quocienteresto

divisorDividendo ⇒

)x(q)x(r

)x(g)x(f

Normalmente a divisão é realizada através do método da chave.' Exemplo de divisão entre polinômios: Divida o polinômio 1xx3xx6)x(f 234 +−+−= por

3xx2)x(g 2 −+= . Colocamos os dois polinômios dispostos no método da chave. Se a parte literal dos polinômios não estiver na ordem decrescente de seus expoentes, devemos organizar cada um dos polinômios.

3xx21xx3xx6 2234 −++−+−

Dividimos o termo de maior grau de f(x) pelo de maior

grau de g(x): 22

4x3

x2x6

= , obtendo o primeiro termo do

polinômio quociente.

2

2234

x3

3xx21xx3xx6 −++−+−

Multiplicamos o quociente obtido 3x2 pelo polinômio g(x): 3x2(2x2 + x – 3) = 6x4 + 3x3 – 9x2, colocando esse resultado com o sinal trocado sob os termos semelhantes de f(x), pois o mesmo será subtraído para obtenção da primeira parcela de resto.

234

2234

x9x3x6

3xx21xx3xx6

+−−

−++−+−

Somamos os termos semelhantes e copiamos os termos de f(x) que não participa da soma.

1xx12x4

x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

23

2234

2234

+−+−

+−−

−++−+−

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Dividimos o maior grau do resto obtido pelo maior grau

do polinômio g(x): x2x2x42

3−=

− , obtendo o segundo

termo do polinômio quociente.

1xx12x4

x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

23

2234

2234

+−+−

−+−−

−++−+−

Multiplicamos o quociente obtido -2x pelo polinômio g(x): -2x(2x2 + x - 3) = -4x3 -2x2 +6x, colocando esse resultado com o sinal trocado sob os termos semelhantes de f(x), pois o mesmo será subtraído para obtenção da segunda parcela de resto.

x6x2x4

1xx12x4

x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

23

23

2234

2234

−+

+−+−

−+−−

−++−+−

Somamos os termos semelhantes e copiamos os termos de f(x) que não participa da soma.

1x7x14

x6x2x4

1xx12x4

x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

2

23

23

2234

2234

+−

−+

+−+−

−+−−

−++−+−

Dividimos o maior grau do resto obtido pelo maior grau

do polinômio g(x): 7x2x142

2= , obtendo o terceiro termo

do polinômio quociente.

1x7x14

x6x2x4

1xx12x4

7x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

2

23

23

2234

2234

+−

−+

+−+−

+−+−−

−++−+−

Multiplicamos o quociente obtido 7 pelo polinômio g(x): 7(2x2 + x - 3) = 14x2 +7x -21, colocando esse resultado com o sinal trocado sob os termos semelhantes de f(x), pois o mesmo será subtraído para obtenção da segunda parcela de resto.

21x7x14

1x7x14

x6x2x4

1xx12x4

7x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

2

2

23

23

2234

2234

+−−

+−

−+

+−+−

+−+−−

−++−+−

Somamos os termos semelhantes e copiamos os termos de f(x) que não participa da soma.

22x14

21x7x14

1x7x14

x6x2x4

1xx12x4

7x2x3x9x3x6

3xx21xx3xx6

2

2

23

23

2234

2234

+−

+−−

+−

−+

+−+−

+−+−−

−++−+−

Assim, q(x) = 3x2 -2x + 7 e r(x) = -14x + 22. Note que q(x) tem valor de grau igual a 2 (grau de f – grau de g)

Teorema do Resto O teorema do resto é aplicado nas divisões de polinômios em que o polinômio divisor é do tipo x + a ou x – a, onde a pertence ao conjunto dos números complexos. Considere p(x) um polinômio tal que seu grau seja maior ou igual a 1. O resto da divisão de p(x) por x ± a é igual a p(± a). A divisão de p(x) por x + a gera um resto r(x) tal que r(x) = p(-a). A divisão de p(x) por x – a gera um resto r(x) tal que r(x) = p(a). Exemplo de problema: Determine o resto da divisão de f(x) = x5 – x3 + 2 por g(x) = x + 3. Encontramos o valor da raiz do polinômio g: x + 3 = 0, ou seja, x = - 3. Aplicamos o teorema do resto: r(x) = f(-3) = (-3)5 – (-3)3 + 2 Resolvendo a expressão obtemos o resto r(x) = - 214.

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Teorema de D’Alembert Um polinômio p(x) é divisível por x + a se, e somente se, - a é raiz de p(x). Um polinômio p(x) é divisível por x - a se, e somente se, + a é raiz de p(x). Exemplo de problema: Determine o valor de m de modo que f(x) = x3 – 4x2 + mx - 5 seja divisível por g(x) = x – 3. Encontramos o valor da raiz do polinômio g: x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Pelo teorema de D’Alembert sabe-se que 3 é raiz do polinômio f(x),ou seja, f(3) = 0. Assim: (3)3 – 4(3)2 +m.3 – 5 = 0 Resolvendo essa expressão obtém-se m = 14/3.

Teorema de Briot-Ruffini É um dispositivo prático para dividirmos um polinômio P(x) por (x – a). Exemplo de problema: Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 3x + 6 por (x – 2). Em primeiro lugar vamos dispor os coeficientes de P(x) e a raiz de (x – 2), conforme o esquema abaixo:

Abaixamos” o primeiro coeficiente que aparece na disposição, que neste exemplo é 1.

Multiplicamos 1 por 2 e somamos o produto obtido com o 2° coeficiente de P(x). O resultado obtido [1.2 + (-5) = -3] é o 2° coeficiente do quociente da divisão.

Multiplicamos -3 por 2 e somamos o produto obtido com o 3° coeficiente de P(X). O novo resultado obtido [(-3).2 + 1 = -5] é o 3° coeficiente do quociente da divisão.

Multiplicamos -5 por 2 e somamos o produto obtido com o 4° coeficiente de P(x). O resultado obtido [(-5).2 + (-3) = -13] é o 4° coeficiente do quociente da divisão.

Multiplicamos -13 por 2 e somamos o produto obtido com o 5° coeficiente de P(x). O resultado obtido [(-13).2 + 6 = -20] é o resto da divisão.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.21) Um polinômio P(X), do 3º grau e de coeficientes reais, tem raízes em progressão geométrica, cujo produto é igual a 64. Se a soma da menor com a maior de suas raízes é igual a 10 e o coeficiente do termo dominante do polinômio é igual a 2, o valor de P(3) é igual a: a) -42. b) -32. c) -18. d) 10. e) 64.

2. Se os polinômios f = x3 + (a – b)x2 + (a – b – 2)x + 4 e g = x3 + 2ax2 + (3a – b) são idênticos, então: a) ab = 3 b) a = 3b c) b = 3a d) a : b = 1 e) a . b = -1

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3. Dado o polinômio P(x) = x4 – 5x2 + 6, o valor de )2(p é: a) 4 b) 0 c) 2

d) 26 + e) 12 + 4. O valor de m de modo que a equação 5x2 – 2(2m – 1)x + 2m = 0 tenha uma das raízes igual a 3 é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 11 e) nenhuma das alternativas anteriores 5. Se p(x) = x3 +4x2 -5x + m é divisível por (x – 1), o valor de 2m2 é: a) 9 b) 18 c) 4 d) 0 e) 1 6. O resto da divisão do polinômio p(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio d(x) = x2 + x + 1 é igual a: a) 0 b) x + 2 c) x – 2 d) – x + 2 e) – x – 2 7. Se o resto da divisão do polinômio P(x) x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é a) – 5 b) – 4 c) 5 d) 6 e) 8 8. Dividindo-se x2 + kx + 2 por x – 1 e por x + 1, são encontrados restos iguais entre si. O valor de k é: a) 0 b) -1 c) -1,5 d) 1,5 e) impossível determinar com os dados.

9. Na divisão do polinômio P(x) = x6 por x + 1, o quociente é Q1(x) e o resto é R1.Se R2 é o resto da divisão de Q1(x) por x + 1, então R2 é igual a: a) -4 b) -5 c) -6 d) -7 e) -8 10. Dividindo-se um polinômio f por g = (x – 1)(x + 2), obtém-se resto 2x – 1. O resto da divisão de f por x + 2 é: a) 3 b) 1 c) -3 d) -5 e) x – 1 11. O resto da divisão de x + 5x5 + 9x9 + 13x13 + ... + 797x797 por x – 1 é: a) 39500 b) 79800 c) 95200 d) 102300 e) 108200 12. O valor de b para qual o polinômio P(x) = 15x16 + bx15 + 1 é divisível por x – 1 é: a) -16 b) 16 c) 15 d) 32 e) 64 13. Se P(x) = 3x3 – 5x2 + 6x + a é divisível por x – 2, então os valores de “a” e de P(2) são, respectivamente: a) -16 e -2 b) -16 e 2 c) 16 e -2 d) 16 e 2 e) -16 e zero 14. Seja P(x) um polinômio divisível por x – 3. Dividindo P(x) por x – 1, obtemos quociente Q(x) e resto R = 10. O resto da divisão de Q(x) por x – 3 é: a) -5 b) -3 c) 0 c) 3 e) 5

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15. Seja P(x) = x2 – 4 e Q(x) = x3 – 2x2 + 5x + a, onde Q(2) = 0. O resto da divisão de Q(x) por P(x) é: a) – x – 2 b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) – 9x + 18

16. O polinômio P(x) = (x – 1)(x – 2)2(x – 3)3 ... (x – 10)10 tem grau: a) 10 b) 10! c) 102 d) 110 e) 110/2

10 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS:

Raízes, Multiplicidade de Raízes, Número de Raízes de uma Equação, Relação entre Coeficientes e Raízes. Aplicações.

Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível à forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio. Exemplos de equações polinomiais:

X3 + 4x2 – x + 1=0

0x3x43 4 =−−

0x2x3x 34 =+−−

10.1 – Raiz da equação polinomial A raiz de uma equação polinomial é qualquer número complexo que, quando substituído na variável x, faz a equação assumir valor igual a zero. De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, toda equação polinomial de grau n, com 1≥n , admite ao menos uma raiz complexa. Exemplo de problema: Verifique se a equação polinomial X3 – 3x2 +2x – 6 = 0 admite o número 3 como uma de suas raízes. Substituindo a variável x por 3 temos: (3)3 – 3(3)2 +2(3) – 6 = 27 – 27 +6 – 6 = 0. Logo, 3 é raiz da equação dada.

10.2 – Relação entre coeficientes e raízes Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes, conhecidas como relações de Girard, formam uma ferramenta importante na resolução de equações, quando se conhece algo sobre suas raízes. Relações de Girard na equação de 2° grau Considere a equação ax2 + bx + c = 0 com 0a ≠ e raízes r1 e r2. Essa equação pode ser fatorada na forma

0)rx)(rx(a 21 =−− . Assim, podemos escrever que:

)rx)(rx(acbxax 212 −−≡++

Passando o coeficiente “a” para a parte esquerda da expressão e, respectivamente, colocando x em evidência na parte direita da equação, tem-se:

211222 rrxrxrx

acx

abx +−−≡++

212122 rrx)rr(x

acx

abx ++−≡++

Da identidade de polinômios segue que:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⋅

−=+

acrr

abrr

21

21

Relações de Girard na equação de 3° grau Considere a equação ax3 + bx2 + cx + d = 0 com 0a ≠ e raízes r1, r2 e r3. Essa equação pode ser fatorada na forma 0)rx)(rx)(rx(a 321 =−−− . Assim, podemos escrever

que: )rx)(rx)(rx(adcxbxax 32123 −−−≡+++

Passando o coeficiente “a” para a parte esquerda da expressão e, respectivamente, colocando x em evidência na parte direita da equação, tem-se:

3213231212

321323 rrrx)rrrrrr(x)rrr(x

adx

acx

abx −+++++−≡+++

Da identidade de polinômios segue que:

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−=⋅⋅

=⋅+⋅+⋅

−=++

adrrr

acrrrrrr

abrrr

321

323121

321

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Relações de Girard na equação de grau n Generalizando o raciocínio anterior para uma equação de grau n, teremos:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⋅−=⋅⋅⋅

−=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅

=⋅++⋅+⋅

−=+++

−−−

−−

)raízesndasproduto(aa)1(r....rr

)trêsatrêstomadasraízesdasprodutosdossoma(a

arrr...rrrrrr

)duasaduastomadasraízesdasprodutosdossoma(a

arr...rrrr

)raízesdassoma(a

ar...rr

1

0nn21

n

3nn1n2n421321

n

2n1nn3121

n

1nn21

ΜΜ

Exemplo de problema: Dadas as raízes r, s e t da equação x3 – 4x2 +6x – 5 =0, podemos encontrar algumas relações. Observe que os coeficientes da equação são a = 1, b = - 4, c = 6 e d = - 5.

a) 41

)4(abtsr =

−−=−=++

b) 616

acstrtrs ===++

c) 51

)5(adrst =

−−=−=

d) 56

rstrsrtst

t1

s1

r1

=++

=++

e) 54

rstrst

st1

rt1

rs1

=++

=++

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Se o polinômio P(x) = 2x3 – 5x2 – 28x + 15 pode ser fatorado na forma (2x – 1)(x + 3)(x – k), então o valor de k é: a) 5 b) -5 c) 10 d) 15 e) -15 2. Se -2 é raiz do polinômio f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 4, então a forma fatorada de f é: a) (x – 2)(2x + 1)(x – 4) b) (x – 2)(2x – 1)(x + 4) c) (x + 2)(x + 1)(2x – 1) d) (x + 2)(x + 1)(2x – 1) e) (x + 2)(x – 2)(2x + 1) 3. [Auditor Geral do Estado-(Téc. Contabilidade)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.34) Sabendo-se que 5 é raiz do polinômio x3 – 4x 2 – 11x + 30 , a soma das outras duas raízes deste polinômio é: a) 11; b) 4; c) –1; d) –6; e) –11.

4. [Téc. Adm.-(Serv. Adm. Agência)-ANTT/2005-NCE-UFRJ].(Q.45) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e –1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: a) –9; b) –5; c) 0; d) 1; e) 5. 5. Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um polinômio de do 3° grau P(x) e que P(0) = 1. Logo, P(10) vale: a) 48 b) 24 c) -84 d) 104 e) 34 6. Se o polinômio x3 + (k – 4)x2 – 8x +4k, com k ℜ∈ , admite a raiz 2 com multiplicidade dois, então a outra raiz é: a) 1 b) 0 c) -1 d) -2 e) -3

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7. Se a, b e c são as raízes da equação x3 – 2x2 +3x – 4 =

0, então o valor de c1

b1

a1

++ é:

a) 1/4 b) – 1/4 c) 3/4 d) 3/2 e) nenhuma das anteriores. 8. Se uma raiz da equação x3 – 2x2 +kx + 12 = 0 é igual a soma das outras raízes, podemos afirmar que k é igual a: a) 11 b) 12 c) -11 d) -12 e) 0 9. Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 =0 é igual a 1. Então, o valor de k é: a) -8 b) -4 c) 0 d) 4 e) 8

10. O produto de duas raízes da equação 2x3 – 19x2 + 37x – 14 = 0 é 1. A soma das duas maiores raízes da equação é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 19/2 e) 19 11. Uma das raízes da equação x3 – x2 – 17x – 15 = 0 é -3. As demais raízes são: a) -5 e 1 b) -1 e 4 c) -1 e 5 d) 1 e 4 e) 2 e 4 12. Se r, s e t são, em ordem crescente, as raízes do polinômio p(x) = x3 – x2 – 14x + 24, então o valor da expressão rs + t é: a) -5 b) -3 c) -1 d) 1 e) 3

11 GEOMETRIA ANALÍTICA:

Coordenadas Cartesianas, Distância entre Dois Pontos, Equações da Reta, Área de um Triângulo. Aplicações. Equações da Circunferência. Distâncias. Posições Relativas.

A Geometria Analítica é uma ferramenta criada através da junção de conceitos da Geometria Plana e da Álgebra, com o objetivo de estudar as figuras geométricas.

Coordenadas Cartesianas Já vimos anteriormente que a cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado (x;y) de números reais e, inversamente, cada par (x;y) tem como seu correspondente um ponto P do plano. 1. Um par ordenado ou coordenadas é o conjunto de dois números dispostos numa determinada ordem (x;y). Exemplo: O par ordenado (1,0) informa o valor primeiro termo x = 1 e do segundo termo y = 0. 2. O plano cartesiano é composto por dois eixos perpen-diculares (formam 90° entre si).

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Quanto ao plano cartesiano, tem-se que: O eixo da horizontal Ox é também chamado de eixo

das abscissas. O eixo da vertical Oy é também chamado de eixo

das ordenadas. O ponto O, onde os eixos se interceptam, é a origem

do plano. Os quadrantes são enumerados sempre no sentido

anti-horário. 1º quadrande: x e y são positivos. 2º quadrante: x é negativo e y é positivo. 3º quadrante: x e y são negativos. 4º quadrante: x é positivo e y é negativo.

Distância entre Dois Pontos A distância entre dois pontos A e B (dAB), é o comprimento do segmento AB . Esse comprimento pode ser obtido através da expressão:

2AB

2ABAB )yy()xx(d −+−= com A= (xA;yA) B=(xB;yB)

Coordenadas do Ponto Médio de um Segmento de Reta

Se A(xA,yA) e B(xB,yB) são pontos distintos, então o ponto médio M(xM,yM) do segmento AB tem coordenadas obtidas por:

2xxx BA

M+

= e 2

yyy BAM

+=

Equação Geral da Reta Toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma equação na forma ocbyax =++ em que x e y são variáveis e a, b e c são números reais, em que a e b não podem assumir, simultaneamente, o valor zero. Para a obtenção da equação geral da reta podemos fazer uso da Regra de Sarrus, método utilizado na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3x3. Devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x;y) que pertençam à reta, e resolver o

determinante 01yx1yx1yx

22

11= .

Equação Reduzida da Reta A equação reduzida da reta é obtida isolando-se a variável y da equação geral ocbyax =++ . Obtém-se assim a expressão:

baxy += , com θ= tga

Posição Relativa entre Duas Retas RETAS PARALELAS Duas retas são paralelas quando possuírem coeficientes angulares iguais, ou seja, não apresentam ponto de intersecção.

RETAS COINCIDENTES São retas que pertencem a um mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

RETAS CONCORRENTES São retas que possuem apenas um ponto em comum. Essas retas podem ou não pertencerem a um mesmo plano.

RETAS CONCORRENTES PERPENDICULARES São retas concorrentes que formam ângulo de 90° entre si.

RETAS REVERSAS São retas que se apresentam em planos distintos.

Posição Relativa entre Reta e Plano RETA PARALELA AO PLANO Uma reta será paralela a um plano se os mesmos não apresentarem ponto em comum.

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RETA CONTIDA NO PLANO Uma reta está contida num plano se todos os infinitos pontos pertencentes à reta estiverem nesse plano.

RETA SECANTE OU CONCORRENTE A UM PLANO São retas que possuem um ponto em comum com o plano.

Posição Relativa entre Dois Planos PLANOS PARALELOS Dois planos são considerados paralelos quando não apresentarem ponto em comum. Considerando dois planos α e β, paralelos entre si, uma reta contida em α não tem ponto em comum com uma reta contida em β.

PLANOS SECANTES Dois planos distintos são secantes se a intersecção entre eles formar uma reta.

PLANOS COINCIDENTES Dois planos, α e β, são considerados coincidentes quando todos os pontos de α pertencerem a β e, todos os pontos de β pertencerem a α.

Área de um Triângulo Considere três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), não alinhados e pertencentes a um plano em comum.

Para calcular a área do triângulo formado pela ligação entre as coordenadas A, B e C, podemos usar a expressão apresentada a seguir.

Det21A ABC =Δ , onde

1yx1yx1yx

Det

CC

BB

A=

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Se o determinante das três coordenadas citadas acima for igual a zero, dizemos que os três pontos são colineares.

Circunferência

Equações da Circunferência

Equação Reduzida da Circunferência Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

( ) ( )2CP2

CPCP YYXXd −+−= ⇒ ( ) ( ) rbyax 22 =−+− ⇒

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

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Portanto, (x − a)2 + (y − b)2 = r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2. Exemplos: 1. A equação (x − 3)2 + (y − 5)2 = 9 representa a

circunferência de centro C(3; 5) e raio r = 3.

2. A equação (x − 7)2 + (y + 1)2 = 4 representa a circunferência de centro C(7; −1) e raio r = 2.

2. A equação x2 + y2 = 5 representa a circunferência de centro C(0; 0) e raio r = 5 .

Equação Geral ou Normal da Circunferência Desenvolvendo os produtos notáveis da equação redu-zida da circunferência, obtemos a equação geral ou normal da circunferência:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒

x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2 ⇒

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 Observações: 1. Dividindo-se os coeficientes de x e y por − 2, obtêm-

se a abscissa (a) e a ordenada (b) do centro, res-pectivamente.

2. Conhecendo-se a e b, encontra-se R por meio da expressão a2 + b2 − r2 , que é o termo independente da equação.

Exemplo: Vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, −3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒ (x − 2)2 + (y − (−3))2 = 42 ⇒ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos a equação geral da circunferência: x2 − 2.x.2 + 22 + y2 + 2.y.3 + 32 = 16 ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 − 16 = 0 ⇒ x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0 Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;

não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunfe-rência cuja equação geral é

x2 + y2 − 6x + 2y − 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 1º passo: agrupar os termos em x e os termos em y e isolar o termo independente

x2 − 6x + __ + y2 + 2y + __ = 6 2º passo: determinar os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 6 + 9 + 1

x 2x 3 y 2y 1 3º passo: fatorar os trinômios quadrados perfeitos

(x − 3)2 + (y + 1)2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinar o centro e o raio Centro: a = 3 e b = −1 ⇒ C(3, −1) Raio: r2 = 16 ⇒ r = 4 Exercício Resolvido 1. A equação da circunferência com centro no ponto C(2;1) e que passa pelo ponto P (0;3) é dada por: a) x2 + (y − 3)2 = 0 b) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 c) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 8 d) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 16 e) x2 + (y − 3)2 = 8 Resolução: O raio r é a distância de C até P.

( ) ( )22 byaxr −+−= ⇒ ( ) ( )22 1320r −+−= ⇒

( ) ( )22 22r +−= ⇒ 44r += ⇒

8r = ⇒ 8r2 =

Logo, a equação da circunferência será representada por: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 8

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Distâncias e Posições Relativas

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação (x − a)2 + (y − b)2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições: 1) P é exterior à circunferência

CP > r ⇒

( ) ( ) rYYXX 2CP

2CP >−+− ⇒

( ) ( ) rbnam 22 >−+− ⇒

(m − a)2 + (n − b)2 > r2 ⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 > 0

2) P pertence à circunferência

CP = r ⇒ (m − a)2 + (n − b)2 = r2 ⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 = 0

3) P é interior à circunferência

CP < r ⇒ (m − a)2 + (n − b)2 < r2 ⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 < 0

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão equação (x − a)2 + (y − b)2 − r2:

se (m − a)2 + (n − b)2 − r2 > 0, então P é exterior à circunferência;

se (m − a)2 + (n − b)2 − r2 = 0, então P pertence à circunferência;

se (m − a)2 + (n − b)2 − r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x − a)2 + (y − b)2 = r2 vamos examinar as posições relativas entre s e α:

s ∩ α = φ ⇒ s é exterior a α s ∩ α = {T} ⇒ s é tangente a α s ∩ α = {s1, s2} ⇒ s é secante a α

Também podemos determinar a posição de uma reta m relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α: (x − a)2 + (y − b)2 = r2, temos:

22CsBA

CBbAad

+

++=

Assim:

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Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos: 1) se P pertence à circunferência, então existe uma única

reta tangente à circunferência por P

2) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

3) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Exercício Resolvido 1. Qual a posição relativa entre a reta (r) x + y − 1 = 0 e a circunferência (λ)x2 + y2 − 6x − 4y + 5 = 0 Resolução: As coordenadas do centro C(a; b) são:

a = 326=

−− e b = 2

24=

−−

Logo temos: C(3; 2) O termo independente da equação é: a2 + b2 − r2 = 5 ⇒ 32 + 22 − r2 = 5 ⇒ 9 +4 − r2 = 5 ⇒

r2 = 8 ⇒ r = 22 A distância entre o centro C e a reta r é

22CrBA

CBbAad

+

++= ⇒

22Cr11

12.13.1d

+

−+= ⇒

11

123dCr

+

−+= ⇒

24dCr = ⇒

22.

24dCr = ⇒

22.

24dCr = ⇒

224dCr = ⇒ 22dCr =

Conclusão: Como dcr = r, a reta e a circunferência são tangentes.

Posição relativa de duas circunferências Obs: (d = distância entre os centros) 1. NÃO SE INTERCEPTAM:

Externamente: A duas circunferências não têm ponto em comum.

d > r1 + r2

Internamente: As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.

d < |r1 − r2|

2. SÃO TANGENTES:

Externamente: As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.

d = r1 + r2

Internamente: As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.

d = |r1 − r2|

3. SÃO SECANTES:

As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.

|r1 − r2| < d < r1 + r2

4. CASO PARTICULAR: CONCÊNTRICAS:

As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.

d = 0

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QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS INSTRUÇÕES: O texto seguinte refere-se à questão 1.

Incêndio já consome mais de 12 mil hectares der reservas na Serra Amolar no Pantanal

Setembro 18, 2008

Equipes do Corpo de Bombeiros de Mato Grosso do Sul e de Mato Grosso tentam controlar o incêndio que já consumiu mais de 12 mil hectares de mata preservada na Serra do Amolar, divisa entre os dois Estados e a Bolívia. Isso equivale a uma área semelhante a seis vezes o território de Mônaco (com área de 1,95 km2) ou a 7,5 vezes a extensão do parque do Ibirapuera (área de 1,584 km2).

O fogo começou na última sexta-feira, dia 12.9.2008, e vem se expandindo rapidamente pela região. Os fortes ventos e o período de seca do Pantanal facilitam a propagação das chamas. O difícil acesso ao local – só é possível chegar de barco ou avião – também prejudica a ação dos bombeiros. As RPPNs (reserva particular de patrimônio natural) Acurizal e Penha, situadas a cerca de 140 quilômetros de Corumbá (MS), foram as primeiras atingidas. Juntas, elas possuem quase 30 mil hectares de área preservada.

O incêndio já ameaça a RPPN Eliezer Batista, de propriedade mineradora MMX, e o Parque Nacional do Pantanal, localizado em Poconé (MT). Após sobrevoar a região nesta quarta-feira (dia 17), os bombeiros constataram que o fogo está a menos de 3 quilômetros do parque, considerado patrimônio da Unesco.

Funcionários da PRRNs e do IBAMA auxiliam no combate às chamas. A MMX mantém, desde sexta-feira, um avião agrícola no local. A aeronave tem capacidade para voar com 2,5 mil litros de água, mas o relevo e a fumaça dificultam a chegada do avião até os focos. Um helicóptero foi deslocado para a Serra do Amolar para ajudar nos trabalhos.

Segundo o IBAMA, um raio teria provocado o incêndio. Para o órgão de proteção ambiental, apenas uma chuva é capaz de impedir que o fogo avance. A meteorologia prevê a possibilidade de precipitação na região afetada apenas para o sábado.

htt://segurancaemrisco.wordpress.com acessado em 20/09/2008

1. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.25) A figura a seguir apresenta um mapa com destaque para os pontos A, B e C, onde estão localizados, respectivamente, as cidades de Corumbá e Cuiabá e o foco de incêndio ocorrido na Serra do Amolar.

Considerando que A, B e C tenham coordenadas, no plano cartesiano apresentado na figura, respectivamente dadas por A=(xA;yA), B=(xB;yB) e C=(0;0), é correto afirmar que:

a) o triângulo ABC tem área igual a 21 (xB.yA-xA.yB).

b) a declividade da reta AB é dada por AB

AByyxx

−− .

c) a mediana relativa ao vértice C do triângulo está

contida na reta de equação x.xxyyY

AB

AB−−

=

d) o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas

cartesianas dadas por 2

yyy;2

xxx CBACBA ++++

e) uma equação da reta AC é x.xyy

A

A= .

2. A distância entre os pontos M(4, -5) e N(-1, 7) do plano xOy vale: a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8 3. Seja Q(-1, a) um ponto do 3° quadrante. O valor de a, para que a distância do ponto P(a, 1) ao ponto Q seja 2, é: a) 21−− b) 21− c) 21+ d) 21+− e) 1−

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4. Sejam o ponto P(2, 1) e ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1° quadrante. Se a distância de Q a P é igual à distância de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto: a) (5/2, 4) b) (4, 5/2) c) (4, 3) d) (2, 4) e) (4, 4) 5. [Auditor Geral do Estado-(Téc. Contabilidade)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.37) Um dos pontos da parábola y = x2 + 1 que equidista dos pontos (0, 0) e (1, 1) é: a) (1/2, 1/2); b) (–1, 2); c) (2, 5); d) (1,2); e) (–2, 5). 6. O valor de m, para que os pontos A(2m + 1, 2), B(-6, -5) e C(0,1) sejam colineares, é: a) -1 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 1 7. Se as retas 3x – y – 7 = 0, 2x + y + c = 0 e 2x – y – 5 = 0 são concorrentes, então c é igual a: a) -3 b)-1 c)5 d) 7 e) 9 8. As equações das retas suportes de dois lados de um quadrado são x – y + 5 = 0 e x + y – 1 = 0. Sendo A( 2 , 3) um dos vértices desse quadrado, sua área é: a) 3 b) 6 c) 223 + d) 232 + e) 2812+

9. A forma geral da reta ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

3ty

2t3x é:

a) x – 3y + 11 = 0 b) x – 3y – 11 = 0 c) x + 3y – 11 = 0 d) 3x – y + 11 = 0 e) 3x + y – 11 = 0

10. Sejam r e s duas retas perpendiculares que se interceptam em P(1, 2). Se Q(-1, 6) pertence a uma dessas retas, então a equação da outra reta é: a) x + 2y – 5 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) 2x – y = 0 d) 2x + y – 4 = 0 e) 2x + 2y + 7 = 0 11. A inclinação da reta que passa pelos pontos A(3;7) e B(5;9) é: a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 135° 12. A tabela mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico, ao nível do Equador, em função da profundi-dade.

PROFUNDIDADE (em metros)

TEMPERATURA (em °C)

Superfície 27 100 21 500 7

1 000 4 3 000 2,8

Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas quaisquer das medições consecutivas feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400 m é de: a) 16 °C b) 14 °C c) 12,5 °C d) 10,5 °C e) 8 °C 13. Se o ponto P(a,b) pertence à reta determinada pelos pontos M(4,3) e N(5,1), então: a) 05ba2 =−− b) 011ba2 =−+ c) 011b2a =−+ d) 05b2a =+− e) 07ba =−+ 14. O valor da área do triângulo cujos vértices são A(2, 5), B(0,1) e C(3, 6) é, em unidades de medida de área: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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15. Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2,3) e C = (0,5), a área de ABCD, em unidade de área é: a) 4 b) 24 c) 8 d) 28 e) 16

16. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1). a) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 a) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2 a) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 a) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 2 a) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4

12 GEOMETRIA PLANA:

Retas. Circunferência e Círculo. Congruência e Semelhança de Triângulos. Relações Métricas no Triângulo. Áreas de Figuras Planas. Aplicações.

Retas A reta é um elemento geométrico que possui infinitos pontos e uma única dimensão.

Ângulos de Duas Retas Concorrentes Considere duas retas concorrentes, como mostra a figura abaixo.

De acordo com a figura, podemos fazer as seguintes observações:

Duas retas concorrentes formam quatro ângulos.

Os ângulos a e b são opostos pelo vértice: a = b.

Os ângulos c e d são opostos pelo vértice: c = d.

Os ângulos a e c são adjacentes e suplementares: a + c = 180° .

Os ângulos b e c são adjacentes e suplementares: b + c = 180° .

Os ângulos a e d são adjacentes e suplementares: a + d = 180° .

Os ângulos b e d são adjacentes e suplementares: b + d = 180°.

Ângulos de Duas Retas com Uma Transversal As figuras a seguir representam duas retas que são cortadas por uma transversal.

De acordo com as figuras, podemos fazer as seguintes observações:

Os ângulos correspondentes são: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8

Os ângulos alternos internos são: 3 e 5; 4 e 6

Os ângulos alternos externos são: 1 e 7; 2 e 8

Os ângulos colaterais externos são: 1 e 8; 2 e 7

Os ângulos colaterais internos são: 3 e 6; 4 e 5

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Soma dos Ângulos de Um Triângulo Considere o triângulo apresentado na figura a seguir.

De acordo com a figura, podemos fazer as seguintes observações:

Os ângulos CeB,A são ângulos internos ao triângulo ABC.

O ângulo ê é um dos ângulos externo do triângulo ABC.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a eles. No exemplo temos BAê += .

Feixe de Retas Paralelas Duas retas são paralelas quando não apresentam ponto de intersecção.

Considerando duas retas paralelas a e b e a transversal t, como mostradas a seguir, podemos fazer algumas observações:

Todos os ângulos x têm medidas iguais. Todos os ângulos y têm medidas iguais. x + y = 180°

Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais. Assim, se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Observe a figura a seguir:

Pelo Teorema de Tales, temos:

zy

cbou

zx

caou

yx

ba

=== .

Assim, podemos escrever a seguinte proporção

zc

yb

xa

== .

Circunferência e Círculo CIRCUNFERÊNCIA Linha curva, fechada, cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo; contorno.

É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja dis-tância r a um ponto fixo O é uma constante positiva. O ponto fixo O é chamado centro da circunferência, e a distância r é o raio da circunferência.

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CÍRCULO Superfície plana limitada por uma circunferência.

É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja dis-tância a um ponto fixo O é menor ou igual a uma cons-tante positiva r.

ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA RAIO Segmento que une o centro a um ponto qualquer da circunferência. CORDA Segmento que une dois pontos distintos da circunferên-cia. DIÂMETRO Corda que passa pelo centro da circunferência, onde a medida do diâmetro é o dobro do raio. ARCOS Qualquer uma das duas partes em que uma circunfe-rência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos distintos, SEMICIRCUNFERÊNCIA Metade da circunferência. Exemplos:

Congruência e Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos pro-porcionais. Observe a figura a seguir:

fc

eb

dae

FC

EB

DA

DEF~ABC ==

⎪⎪

⎪⎪

⇔ΔΔ

Observações: 1. ~ é o símbolo semelhante.

2. ≡ é o símbolo congruente.

3. Se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes e, por isso, têm os lados pro-porcionais.

Teorema de Pitágoras Todo triângulo que possui um de seus ângulos igual a 90° é chamado de triângulo retângulo. Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

No triângulo retângulo apresentado acima temos que:

222 cba += Observações: 1. A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado que se apresenta oposto ao ângulo de 90°. Os outros dois lados são chamados de catetos.

2. Na figura apresentada, a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

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Relações Métricas no Triângulo Considere que o triângulo mostrado a seguir seja retângulo, com hipotenusa de valor “a”.

Podemos escrever as seguintes relações: 1. A hipotenusa é igual a soma das projeções de cada cateto sobre a mesma: a = m + n 2. Cada cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa, e a hipotenusa: b2 = m . a e c2 = n . a 3. A altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre os seguimentos que determinam a hipotenusa: h2 = m . n 4. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela: b . c = a . h 5. Pelo teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: a2 = b2 + c2

Cálculo da Área das Principais Figuras Planas

Para o estudo da geometria métrica espacial é necessário o conhecimento das principais áreas de figuras planas. 1º caso: Quadrado

2quadrado aA =

A área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado (a). Observação: Em alguns exercícios é solicitado o cálculo da diagonal (d) do quadrado. Assim,

2ad =

2º caso: Retângulo

hbAretângulo ⋅= A área do retângulo é igual ao produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). 3º caso: Paralelogramo

hbA ramologparale ⋅= A área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). Observação: A medida da altura do paralelogramo, diferente da altura do retângulo, não coincide com o lado da figura. 4º caso: Losango

2dDAlosango⋅

=

A área do losango é a metade do produto entre as diagonais maior (D) e menor (d). 5º caso: Hexágono regular

43l6A

2regularhexágono

⋅⋅=

Um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos eqüiláteros, todos iguais entre si. Assim, multiplicando-se seis vezes a área do triângulo eqüilátero, é possível obtermos a área do hexágono regular.

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6º caso: Trapézio

2h)bB(Atrapézio⋅+

=

A área de um trapézio é igual à metade do produto da soma das bases, maior (B) e menor (b), pela a altura (h). 7º caso: Círculo

2círculo rA ⋅π=

Observações: 1. O valor numérico de π é 3,1415, aproximadamente.

2. r é o raio do círculo.

3. r2D ⋅= é a diagonal do círculo.

4. O comprimento da circunferência em torno do círculo é dado por r2C ⋅π⋅= . 8º caso: Coroa Circular

22circularcoroa rRA π−π=

A área da coroa circular é igual à diferença das áreas dos círculos de raios R e r. Observação: O estudo da área do triângulo já foi visto anteriormente.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.23) Suponha correta a afirmação, na matéria acima, quanto à área atingida pelo fogo na Serra do Amolar (12 mil hectares). Para efeitos de simplificação dos cálculos, admita que a área do Principado Mônaco seja de 2 km2 e que o parque do Ibirapuera tenha área de 1,5 km2. Lembrando que 1 ha equivale a 10.000 m2, é INCORRETO afirmar que: a) a área atingida pelo incêndio na Serra do Amolar equivale à de um quadrado de lados medindo 32 km. b) a área queimada na Serra do Amolar equivale a cerca de 60 vezes a área do Principado de Mônaco. c) a área atingida pelo incêndio na Serra do Amolar equivale à de um losango de diagonais medindo 15 km e 8 km. d) o erro praticado na comparação entre as áreas atingidas pelo incêndio na Serra do Amolar e do Principado de Mônaco foi de 90%. e) a área do parque do Ibirapuera corresponde a cerca de 3/4 da área do Principado de Mônaco. 2. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.28) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem lados medindo AB=24 cm, AC=28 cm e BC=20 cm.

O triângulo AB’C’ é tal que 'C'B//BC e B’ é ponto médio de AB . As circunferências ilustradas são circunscritas aos triângulos ABC AB’C’. Nessas condições, a área da região sombreada na figura, em centímetros quadrados, mede:

a) 8

1225π

b) 16

1225π

c) 32

1225π

d) 24

1225π

e) 48

1225π

3. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.).(Q.34) Um míssil balístico foi lançado de um ponto P para atingir um ponto Q, sendo sua trajetória uma semicircunferência de comprimento 500 π metros. No mesmo instante do ponto Q foi lançado, em linha reta, um míssil antibalístico que deve destruir o primeiro quando ele atingir um ponto R, tal que RQ é igual a 8.000 metros. Qual a medida do segmento de reta PR? a) 12,000 metros b) 10,000 metros c) 6,000 metros d) 7,500 metros e) 5,000 metros

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4. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.21) De acordo com o Teorema de Tales, retas paralelas determinam segmentos proporcionais em quaisquer retas que lhes sejam transversais. Nesse caso, o valor de x+y na figura abaixo, onde a//b//c e x=15, é:

a) 25. b) 40. c) 10. d) 5. e) 20. 5. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.].(Q.31) É dado um quadrado cuja diagonal mede 2 unidades. Então a área desse quadrado é igual a:

a) 4 unidades de área b) 2 unidades de área c) 2 unidades de área d) 22 unidades de área e) 1 unidades de área 6. [Assist. Ativ. Turismo-(NM)-Fund. Turismo/2006-FADEMS].(Q.30) Num município de Mato Grosso do Sul, uma área delimi-tada em linha grossa, ilustrada na figura a seguir, será transformada em reserva ambiental, Sabendo-se que cada quadrado pontilhado da figura tem 100 metros de lado, determine qual é a área total, em hectares, da referida reserva ambiental. (lembre-se: 1 hectare = 10.000 metros quadrados)

a) 45 b) 43 c) 41 d) 39 e) 37

7. [Téc. Adm. e Contrl. Jr.-(P1)-(NM)-Petrobras Distr.-Cesgranrio-2012].(Q.15)

Figura 1

Figura 2

Pensando em reunir os amigos em torno de uma única mesa, João juntou duas mesas retangulares e iguais for-mando uma única mesa, quadrada, de área 14.400 cm², como mostra a Figura 1. José analisou a arrumação de João e concluiu que, se ele juntasse as duas mesas pelo menor lado (Figura 2), haveria espaço para mais pessoas, pois o perímetro dessa nova mesa seria maior. A diferença, em metros, entre os perímetros da “mesa de José” e da “mesa de João”, em centímetros, é a) 36 b) 60 c) 72 d) 108 e) 120 8. [Téc. Adm. Contrl. Jr.-(P23)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2011.2].(Q.20) Na figura abaixo, temos o triângulo equilátero

MAR, de área S, e o retângulo ABCH, de área 6S11 .

Observe que o segmento AH é uma das alturas do triângulo MAR. A área do trapézio ABCR é

a) 3S2

b) 5S3

c) 4S7

d) 2S5

e) 3S4

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9. [Téc. Adm. Contrl. Jr.-(P20)-(NM)-Transpetro-Cesgranrio-2011].(Q.18) Abaixo, temos a planta de um terreno retangular, de 810 m² de área cercado por um muro. Note que o terreno tem 36 m de comprimento, e que há um único portão de acesso com 2,5 m de largura.

Qual é, em metros, o comprimento do muro que cerca esse terreno? a) 113,0 b) 113,5 c) 114,5 d) 116,0 e) 117,0 10. [Ajud. Carga-Descarga Prod.-(P1)-(NFI)-Liquigás/2011-CESGRANRIO].(Q.22) Observe, abaixo, a planta de algumas ruas de um bairro.

A figura geométrica formada pelas ruas Santa Lúcia, Nova, Aparecida e pela Avenida Bela Vista é um a) círculo b) hexágono c) pentágono d) quadrilátero e) triângulo 11. [Ajud. Motorista-(P2)-(NFC)-Liquigás/2011-CESGRANRIO].(Q.25) Abaixo, temos a planta do galpão de uma fábrica, de formato retangular.

Se a porta desse galpão tem 3,2 m de largura, qual é, em metros, a medida x indicada na figura? a) 9,2

b) 9,8 c) 10,8 d) 11,6 e) 12,4 12. [Téc. Segur. Trab. Jr.-(P4)-(NM)-CITEPE/2011-Cesgranrio].(Q.16) Dona Joana tinha um pedaço retangular de pano de 1,8 m de largura e 2,2 m de comprimento. Para fazer uma toalha quadrada, ela cortou o pano paralelamente ao menor lado, como mostra a figura a seguir.

Qual é, em m², a área do pedaço de pano que sobrou? a) 0,36 b) 0,72 c) 0,88 d) 1,36 e) 3,24 13. [Operador(a) Jr.-(P3)-(NM)-Petroquímica SUAPE-Cesgranrio-2011].(Q.14) Uma costureira quer fazer uma toalha para uma mesa cujo tampo retangular tem 1,4 m de comprimento e 0,9 m de largura. Para que o caimento fique bom, a costureira fará uma toalha retangular que terá comprimento e largura 0,6 m maiores do que as medidas correspondentes do tampo da mesa. Qual será, em m², a área dessa toalha? a) 1,2 b) 1,8 c) 2,1 d) 2,4 e) 3,0 14. [Téc. Adm. Contrl. Jr.-(P27)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2011].(Q.13)

A figura acima mostra uma peça de metal de espessura constante. Todos os ângulos são retos, e as medidas em centímetros são: AB = 12, BC = 3 e AF = FE = 8. Essa peça deverá ser cortada na linha tracejada AP de forma que as duas partes da peça tenham a mesma área. A medida, em centímetros, do segmento EP da figura é a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0

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15. (Guarda Municipal-Pref. Munic. Salvador/2008-FCC).(Q.24) Numa região na área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m. Os comprimentos dos terrenos são diretamente proporcionais a 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m.

Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos? a) 16 b) 15 c) 14 d) 9 e) 6 O enunciado abaixo refere-se às questões 16 e 57

Um retângulo tem área igual a 120 dm2. Esse retângulo sofre redução de 20% em sua altura. A fim de que a área do retângulo permaneça inalterada, a base sofre acréscimo. 16. (Téc. de Arquivo-BNDES/2008-Cesgranrio).(Q.11) É correto afirmar que esse acréscimo corresponde a a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 35% 17. (Téc. de Arquivo-BNDES/2008-Cesgranrio).(Q.12) Consi-derando-se que a redução na altura corresponda a uma diminuição de 2 dm e que o acréscimo na base corres-ponda a um aumento de 3 dm, o perímetro desse retângulo antes das alterações em suas medidas correspondia a quantos dm? a) 47 b) 46 c) 45 d) 44 e) 43

18. (Assist. Adm. Jr.-EPE/2007-Cesgranrio).(Q.40) Considere

um segmento AB___

com 2 metros de comprimento. Deseja-se colocar um ponto C sobre esse segmento, em

uma posição entre A e B, de tal forma que BCAC

ACAB

= .

Nessas condições, AC mede, em metros: a) ( 5 - 1)/2

b) ( 5 + 1)/2

c) 2 5 - 2

d) 5 - 1

e) 5 - 2 19. [Gestor Fazendário-(PI e III)-GEFAZ-MG/2005-ESAF].(Q.37) Considere um terreno quadrado com o comprimento do lado medindo uma unidade. Indique qual o número racional p/q que representa a medida do comprimento da diagonal desse terreno. a) Tal número racional não existe porque essa medida é um número irracional b) p=1414, q=1000 c) p=1414-14=1400, q=990 d) p=141-14=127, q=90 e) p=1414-141=1273, q=900 20. (Contador-Pref. Recife-PE/2003-ESAF).(Q.11) Calcule a área de um terreno quadrado com diagonal medindo 40 m. a) 1.600 m2 b) 1.200 m2 c) 800 m2 d) 600 m2 e) 400 m2 21. [Atendente Judiciário-(Ár. Adm.)-(NF)-TJ-PA/2006-UnB].(Q.19)

Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo entre as retas AB e CD é 62º, então o ângulo x, marcado na figura, mede a) 105º. b) 115º. c) 118º. d) 128º.

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22. (Administração Geral-ELETROBRÁS/2007-NCE-UFRJ).(Q.54) Considere o paralelogramo ABCD representado na figura abaixo.

Considere as retas

• r que passa por A e B; • s que passa por B e C; • t que passa por A e D; • u que passa por B e D; • v que passa por A e C.

Analise as afirmativas abaixo: I. u é perpendicular à v; II. t é paralelo à s; III. r é perpendicular à s. É/são verdadeira(s) somente: a) I; b) II; c) I e II; d) II e III; e) I, II e III. 23. (Administração Geral-ELETROBRÁS/2007-NCE-UFRJ).(Q.55) A figura abaixo representa a planta de um apartamento.

A área total é de (m2): a) 56; b) 58; c) 62; d) 64; e) 80. 24. (Administração Geral-ELETROBRÁS/2007-NCE-UFRJ).(Q.56) Considere o polígono abaixo:

Analise as seguintes afirmativas sobre esse polígono:

I. possui 11 lados; II. possui 11 ângulos internos; III. possui 5 ângulos internos obtusos (maiores que 90º). É/são verdadeira(s) somente: a) I; b) III; c) I e II; d) I e III; e) I, II e III. 25. (Auxiliar Operacional-AGE-PA/2006-NCE-UFRJ].(Q.37) Considere as cinco figuras representadas abaixo, onde cada quadradinho possui a mesma área. A figura que possui a maior área é:

a) A; b) B; c) C; d) D; e) E. 26. [Auditor Geral do Estado-(Téc. Contabilidade)-SEF-MT/2006-NCE-UFRJ].(Q.39) Para descer alguns objetos da janela de um apartamento à rua, dois garotos fizeram uma brincadeira: fixaram a ponta de uma corda na janela e a outra no chão da rua a uma distância de 7 metros da base do prédio. Através de uma cesta que deslizava na corda, desciam os objetos. Sabendo que a janela deste apartamento está a uma altura de 24 metros do chão e desconsiderando os nós que terão que dar, o tamanho mínimo da corda que os garotos deverão utilizar é de: a) 17 m b) 25 m c) 31 m d) 38 m e) 45 m

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27. (Agente Administrativo-Arquivo Nacional/2006-NCE-UFRJ).(Q.30) Considere a figura abaixo:

A área da região hachureada é de:

a) 60 m2 b) 84 m2 c) 92 m2 d) 100 m2 e) 156 m2 28. (Assist. Adm. e Financ. II-CEPEL/2006-NCE-UFRJ).(Q.28) A figura a seguir mostra um setor circular de 42º e 3cm de raio que foi reproduzido cinco vezes; em seguida, todos foram unidos pelo vértice.

A área da figura, em cm2, é aproximadamente igual a: a) 13,8; b) 16,5; c) 18,4; d) 20,8; e) 22,9. 29. (Aux. Segur. Patrim.-CEPEL/2006-NCE-UFRJ).(Q.32) A figura a seguir mostra um trapézio regular de base maior 4cm, base menor 3cm e altura 1cm, cujas arestas laterais são prolongadas até se interceptarem.

A altura H do maior triângulo isósceles assim formado, em cm, é igual a:

a) 3; b) 3,2; c) 3,5, d) 3,8; e) 4,0. 30. (Aux. Segur. Patrim.-CEPEL/2006-NCE-UFRJ).(Q.40) Na figura a seguir, o triângulo AFE é retângulo em F e o triângulo ABC é retângulo em B.

Se 9AF___

= , 1FB___

= , 5BC___

= , então a área do quadrilátero BCEF é igual a: a) 4,75; b) 5,50; c) 5,75; d) 6,50; e) 7,25. 31. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.64) A região hachurada na figura abaixo é formada por um triângulo eqüilátero, um retângulo e um trapézio. A área total dessa região é: a) 82

b) 2

173

c) 150

d) 2

35139 +

e) 4

325278+

32. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.65) No triângulo ABC, A

)= 90º e AD é a altura relativa ao lado

BC. Sabendo-se que BD = 2 cm e AD = 4 cm , o valor de CD, em centímetros, é: a) 4 b) 8 c) 2 5

d) 4 5

e) 2 + 5

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33. [Téc. Adm.-(Serv. Adm. Agência)-ANTT/2005-NCE-UFRJ].(Q.42) Gumercindo comprou um lote que tinha a forma de um triângulo isósceles de lados 400m, 250m e 250m. Ele está pensando em dividir seu terreno em quatro lotes, como mostra a figura:

Na figura, as linhas tracejadas representam alturas dos respectivos triângulos e indicam o planejamento de Gumer-cindo para a divisão do lote que resultará, evidente-mente, em dois lotes maiores de mesma área A e dois lotes menores de mesma área B. A razão A/B é então igual a: a) 10/7; b) 12/5; c) 14/8; d) 16/9; e) 9/5. 34. [Téc. Adm.-(Serv. Adm. Agência)-ANTT/2005-NCE-UFRJ].(Q.47) De cada vértice de um hexágono regular saem três diagonais, como mostra a figura:

O número total de diagonais de um hexágono é então igual a: a) 18; b) 16; c) 12; d) 9; e) 6. 35. [Aud. Fis. Trabalho-(P1)-MTE/2006-ESAF].(Q.44) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

36. [Minist. Plan. Orçam. Gestão-(P1)-MPOG/2006-ESAF].(Q.34) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. 37. [Minist. Plan. Orçam. Gestão-(P1)-MPOG/2006-ESAF].(Q.35) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma cir-cunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR, BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perí-metro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a a) 18 - c. b) 18 - x. c) 36 - a. d) 36 - c. e) 36 - x. 38. [Minist. Plan. Orçam. Gestão-(P1)-MPOG/2006-ESAF].(Q.42) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2. 39. [Anal. Planej. Orçam.-(P1e2)-MPOG/2005-ESAF].(Q.38) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm 40. [Anal. Planej. Orçam.-(P1e2)-MPOG/2005-ESAF].(Q.39) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em: a) 51% b) 49% c) 30% d) 70% e) 90%

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41. [Anal. Finanç. e Contr.-(P1)-AFC-STN/2005-ESAF].(Q.32) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a

a) 3-1/3 b) 21/2 c) 2-1/2 d) 23 e) 1

13 GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações.

Cálculo do Volume dos Principais Sólidos Geométricos

1º caso: Cubo

QUESTÕES DE PROVAS DE

3cubo aV =

O volume do cubo é dado pelo cubo da medida do lado (a). 2º caso: Paralelepípedo

cbaV pedoparalelepí ⋅⋅= O volume do paralelepípedo é dado pelo produto de suas dimensões, comprimento (a), largura (b) e altura (c). 3º caso: Primas

hAV bprisma ⋅= O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base (Ab) pela altura (h).

Observação: Um prisma é classificado de acordo com o número de lados que sua base possui. • Prisma quadrangular regular: possui um quadrado

como base. • Prisma triangular regular: possui um triângulo eqüilátero

como base. • Prisma hexagonal regular: possui um hexágono regular

como base. 4º caso: Cilindro

hAV bcilindro ⋅= O volume do cilindro também é dado pelo produto da área da base (Ab) pela altura (h). Observação: g é chamado de geratriz do cilindro. 5º caso: Cone

3hAV b

cone⋅

=

O volume do cone é dado pela terça parte do produto da área da base (Ab) pela altura (h).

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Observações: 1. g é chamado de geratriz do cone.

2. V é o vértice do cone.

3. O valor da área da superfície lateral do cone é dado por: grA erfíciesup ⋅⋅π=

Onde r é o raio da base do cone e g a geratriz do cone. 6º caso: Pirâmide

3hAV b

pirâmide⋅

=

O volume da pirâmide também é dado pela terça parte do produto da área da base (Ab) pela altura (h).

Observações: 1. Assim como no prisma, a pirâmide será classificada de acordo com sua base.

2. A pirâmide formada por quatro triângulos eqüiláteros é chamada de tetraedro. 7º caso: Esfera

3esfera r

34V ⋅π⋅=

Observação: O valor da área da superfície esférica é dado por:

2erfíciesup r4A ⋅π⋅= , onde r é o raio da esfera.

Observação: A área das superfícies de alguns sólidos geométricos, bem como o valor de suas diagonais, será estudada de acordo com a geometria plana envolvida no sólido.

QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Assist. Ativ. Turismo-(NM)-Fund. Turismo/2006-FADEMS].(Q.37) Um reservatório cúbico foi projetado para receber água tratada para consumo humano. Após conseguir mais verba para a construção do reservatório, o secretario de obras do município ordenou que o projeto fosse refeito de forma que todas que todas as medidas das arestas do reservatório fossem dobradas. Então, a capacidade do novo reservatório ficou: a) dez vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. b) oito vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. c) cinco vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. d) quatro vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. e) duas vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. 2. [Téc. Adm. e Contrl. Jr.-(P1)-(NM)-Petrobras Distr.-Cesgranrio-2012].(Q.13) Um recipiente com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas da base medem 5 cm e 8 cm, está parcialmente cheio de água. Despeja-se parte dessa água em um outro recipiente, cúbico e inicialmente vazio, de modo a enchê-lo completamente, como mostra o esquema a seguir.

Considerando-se os níveis H1 e H2 especificados na figura e que não houve qualquer desperdício de água, a medida da aresta do cubo, em cm, é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 3. [Téc. Contab. Jr.-(P2)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2012].(Q.17)

A figura mostra um cone e um cilindro que possuem alturas iguais a 60 cm e bases circulares com o mesmo raio. O cone está completamente cheio de água e o cilindro está vazio, apoiado sobre uma mesa horizontal. Despejando-se toda a água contida no cone dentro do cilindro, o nível de água no cilindro ficará a uma altura, contado a partir de sua base inferior, igual a a) 45 cm b) 30 cm c) 20 cm

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d) 15 cm e) 10 cm 4. [Téc. Segur. Trab. Jr.-(P4)-(NM)-CITEPE/2011-Cesgranrio].(Q.17) Um estoquista guardou três caixas cúbicas e iguais no almoxarifado. Se cada caixa tem 1,2 m de aresta, o espaço, em m³, ocupado pelas três caixas corresponde a a) 1,728 b) 3,600 c) 5,184 d) 7,912 e) 10,800 5. [Operador(a) Jr.-(P3)-(NM)-Petroquímica SUAPE-Cesgranrio-2011].(Q.17) Uma jarra continha 1.000 cm3 de água. Com essa água, foi possível encher, completamente, os dois recipientes em forma de paralelepípedo, mostrados na figura abaixo, e ainda sobraram 160 cm³ de água.

A medida x indicada, em cm, na figura, é igual a a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 6. [Inspetor(a) Segur. Int. Jr.-(P25)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2011].(Q.15) Quatro tanques de armazenamento de óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m de largura, como representados na figura abaixo.

Se as bases dos quatro tanques ocupam 52 da área

retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base de cada tanque?

Dado: (use π = 3,1) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16

7. [Inspetor(a) Segur. Int. Jr.-(P25)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2011].(Q.19) Certa empresa comercializa sucos em pequenas caixas com formato de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões internas iguais a 5 cm, 3,6 cm e 12 cm. Se cada caixa contém 200 mL de suco, qual é o percentual aproximado do volume da caixa não ocupado pelo suco? a) 7,4% b) 8,6% c) 9,3% d) 10,1% e) 16,0% 8. (Assist. Adm. Faz. Est.-SEFAZ-AM/2005-NCE-UFRJ).(Q.66) Um monumento de granito foi projetado no formato da figura abaixo: um prisma reto cuja base é um triângulo eqüilátero com uma pirâmide no topo. O lado do triângulo da base é 1m, a altura do prisma é 5m e a altura da pirâmide é 3m. O volume de granito necessário para a construção desse monumento será de:

a) 334 m3

b) 238 m3

c) 323 m3

d) 4 3 m3 e) 8 2 m3 9. [Téc. Adm. Contrl. Jr.-(P27)-(NM)-Petrobras-Cesgranrio-2011].(Q.17)

A figura acima mostra um triângulo com as medidas de seus lados em metros. Uma pirâmide de base quadrada tem sua superfície lateral formada por quatro triângulos iguais aos da figura acima. O volume dessa pirâmide, em metros cúbicos, é, aproximadamente a) 95 b) 102 c) 108 d) 120 e) 144

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10. (Assist. Adm. Jr.-EPE/2007-Cesgranrio).(Q.37)

A figura acima ilustra um recipiente com forma de pa-ralelepípedo reto-retângulo, com capacidade para 60 litros, cujas dimensões da base são 40 cm x 30 cm. Con-siderando que o recipiente não tem tampa, qual a sua superfície total externa, em metros quadrados? a) 0,94 b) 0,82 c) 0,70 d) 0,67 e) 0,47 11. (Supridor-Material-REFAP/2007-Cesgranrio).(Q.20) Um tanque de armazenamento de óleo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 5m de comprimento, 2m de largura e 1,5m de profundidade. Este tanque será substituído por um novo tanque de mesmo formato, com a mesma largura e o mesmo comprimento, mas 0,6m mais profundo. O volume, em litros, desse novo tanque será: a) 2.100 b) 6.000 c) 16.800 d) 21.000 e) 60.000 12. [Agente. Aux. Arrec. Trib. Est.-(Pb.1eb.2)-SEFAZ-PI/2001-ESAF].(Q.13) Duas caixas são, ambas, cubos perfeitamente regulares, isto é, cada uma tem seis lados que são, por sua vez, quadrados perfeitos. Cada lado da primeira caixa tem exatamente 3m2 de área, e cada lado da segunda caixa tem exatamente 9m2 de área. A razão entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda caixa é, portanto, igual a: a) 3 . 3 1/2 b) 3 . 3 -1/2 m3 c) 9 . 3 -1/2 d) 3 1/2 . 9-1 m3 e) 3 1/2 . 9-1

Texto para as questões de 13 e 14 A turma do 9.º ano de uma escola ficou responsável por confeccionar caixas em formato-padrão que servirão de embalagem para os doces que serão vendidos em uma festa. 13. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.34) Considere que um grupo de alunos do 9.º ano da escola referida no texto tenha ficado responsável por confeccionar uma caixa padrão que tem a forma de um prisma reto de altura h cm e cuja base é um losango de diagonais medindo D cm e d cm. Sabendo-se que o volume dessa caixa deve ser de 1.920 cm3, que D está para d assim como 10 está para 6 e que h está para d assim como 8 está para 6, é correto concluir que D e h são, respectivamente, iguais a a) 80 cm e 48 cm. b) 40 cm e 24 cm. c) 20 cm e 16 cm. d) 10 cm e 64 cm. 14. [Prof. Educ. Básica-(Ár. 12-Matemática)-(CM)-SEDUC-MT/2007-UnB].(Q.35) Considere que um grupo de alunos da escola referida no texto tenha ficado responsável por determinar a quantidade, em centímetros quadrados, de papel que deveria ser comprado para confeccionar 50 caixas-padrão que têm a forma de um tetraedro regular de aresta igual a 8 cm. Considere ainda que esse grupo tenha sido orientado a comprar 10% a mais de papel que o necessário. Nessa situação, a quantidade de papel, em centímetros quadrados, que o grupo deverá comprar é igual a a) 2.640 3 .

b) 3.520 3 . c) 5.280. d) 7.040. Texto para as questões 15 e 16

Um artista confeccionou uma peça em madeira e a revestiu lateralmente com uma lâmina de metal. A peça é um sólido de bases superior e inferior paralelas e face lateral perpendicular às bases. A altura da peça é igual a 10 cm e as bases, inferior e superior, que têm a forma da região hachurada na figura acima, são formadas por parte de um hexágono regular de 8 cm de lado e de uma circunferência de raio igual ao lado do hexágono.

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15. [Ag. Polícia Civil-(NM)-(CA)-(Tarde)-SEGA-AC/2006-UnB].(Q.16) Com base nas informações do texto, é correto afirmar que o volume do sólido, em cm3, é igual a

a) 3

280.13960 π+ .

b) 3

1283960 π+ .

c) 3

280.1396 π+ .

d) 3

128396 π+ .

16. [Ag. Polícia Civil.-(NM)-(Cad. A)-(Tarde)-SEGA-AC/2006-UnB].(Q.17) A quantidade, em cm2, de metal necessário para revestir a superfície lateral da peça (sem incluir as bases inferior e superior), é igual a a) 160(3 + π). b) 160(2 + π).

c) )3

22(160 π+ .

d) )3

43(160 π+ .

17. [Ag. Polícia Civil-(NM)-(CA)-(Tarde)-SEGA-AC/2006-UnB].(Q.23) Uma lata tem a forma de um paralelepípedo retângulo de altura igual a 13 cm e base quadrada de lado medindo 10 cm. A capacidade dessa lata é de 500 g de leite em pó. Se o fabricante dessas latas modificar apenas a medida do lado do quadrado da base para 12 cm, então, na nova lata, a quantidade máxima de leite em pó que poderá ser armazenada é igual a a) 0,54 kg. b) 0,72 kg. c) 1 kg. d) 2 kg.

18. (Téc. Ref. e Desenv. Agrário-INCRA/2005-NCE-UFRJ).(Q.22) Um silo para armazenar grãos possui a forma de um cilindro de raio 30m e altura 50m com uma semi-esfera no topo, conforme a figura abaixo. A capacidade desse silo é de:

a) 1500π m3; b) 45000π m3; c) 63000π m3; d) 76000π m3; e) 90000π m3. 19. [Téc. Adm.-(Serv. Adm. Agência)-ANTT/2005-NCE-UFRJ].(Q.35) Um artista plástico pretende fazer uma obra que apresentará três esferas, cada uma com 10cm de raio, dispostas, uma sobre a outra, no interior de uma peça cilíndrica transparente cujo interior tem 20cm de diâmetro e 60cm de altura. O artista vai preencher o espaço que ficará vazio no interior do cilindro, depois de postas as esferas, com um líquido translúcido. O volume a ser preenchido com o líquido, em cm3, vale, aproximada-mente: a) 1.260; b) 3.570; c) 4.240; d) 5.350; e) 6.280.

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GABARITOS (276 QUESTÕES)

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Números Naturais, Inteiros e Suas Propriedades. Números Racionais. Noções Elementares de Números Reais. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 E A A C B D B B D E A B D E A D A

2 NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções, Divisão Proporcional, Regras de Três Simples e Composta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C E E D D B D C C B A D D C C E C B E C C C A D 25 26 27 28 29 A C E C B

3 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS. APLICAÇÕES.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B C A B D B C D D C B A E D E

4 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE:

Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações. Binômio de Newton. Eventos, Eventos Mutuamente Exclusivos, Probabilidade, Probabilidade Condicional e Eventos Independentes.

Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 D B A D A B A D D A C A C E A D D D D C E E D D 25 26 27 28 29 30 31 32 33 B C C B A C D A E

5

MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: Operações com Matrizes, Matriz Inversa. Aplicações.

DETERMINANTES: Cálculos de Determinantes, Propriedades e Aplicações. Resolução e Discussão de Sistemas

Lineares. Regra de Cramer.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B E B D E A E A B A A E E D A

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6 FUNÇÕES:

Noção de Função. Gráficos. Funções Crescentes e Decrescentes. Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras. Função Composta e Função Inversa.

Funções Lineares, Afins e Quadráticas. Funções Exponenciais e Logarítmicas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A E B D B E B A E C D B B C E A D B B C A A D A

7 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B A D D B A D D B E C B E D E C D C E B D C E C 25 26 E A

8 TRIGONOMETRIA:

Arcos e Ângulos. Funções Trigonométricas. Aplicações das Leis do Seno e do Cosseno. Resolução de Triângulos. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A C C A B A A A E C B E E

9 POLINÔMIOS: Conceito, Adição, Multiplicação e Divisão de Polinômios e Propriedades.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D E B B D D E A C D B A E A B E

10 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS:

Raízes, Multiplicidade de Raízes, Número de Raízes de uma Equação, Relação entre Coeficientes e Raízes. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A E C A C E C C A C C A

11 GEOMETRIA ANALÍTICA:

Coordenadas Cartesianas, Distância entre Dois Pontos, Equações da Reta, Área de um Triângulo. Aplicações. Equações da Circunferência. Distâncias. Posições Relativas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 E B E B B C A C A B B D B A A A

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12 GEOMETRIA PLANA:

Retas. Circunferência e Círculo. Congruência e Semelhança de Triângulos. Relações Métricas no Triângulo. Áreas de Figuras Planas. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C A C B E A E E C D A B E B A C D D A C C B B E 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 B B D B E A E B D D B B A E D A E

13 GEOMETRIA ESPACIAL: Cilindro, Esfera e Cone. Cálculo de Áreas e Volumes. Aplicações.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C C B D A C A B D E C B A C B C E