CAPTULO 2

FLAMBAGEM DE COLUNAS

2.2

NDICE DE SEES 2.1 INTRODUO 2.4 2.2 ALGUMAS EQUAES BSICAS 2.4 2.3 O MTODO DO EQUILBRIO NEUTRO 2.5 2.4 A CARGA CRTICA DA COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA 2.6 2.5 CONDIES DE CONTORNO 2.9 A) AMBAS AS EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.9 B) UMA EXTREMIDADE ENGASTADA, OUTRA LIVRE 2.11 C) UMA EXTREMIDADE SIMPLESMENTE APOIADA, OUTRA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE 2.12 2.6 COMPRIMENTO EFETIVO E COEFICIENTE DE FIXAO 2.15 2.7 MTODOS DE ENERGIA 2.22 2.8 O MTODO DA CONSERVAO DA ENERGIA 2.22 A) TRABALHO DAS FORAS EXTERNAS 2.22 B) ENERGIA DE DEFORMAO 2.23 C) O MTODO DA CONSERVAO DE ENERGIA 2.25 EXEMPLO 2.25 2.9 O PRINCPIO DO VALOR ESTACIONRIO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL 2.26 A) TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAO 2.27 B) O PRINCPIO DO VALOR ESTACIONRIO DO POTENCIAL TOTAL 2.29 RESUMO EXEMPLO 2.30 2.10 CLCULO DE VARIAES 2.30 EXEMPLO DE APLICAO 2.32 2.11 SOLUO DA EQUAO DE 4A ORDEM 2.33 2.12 POTENCIAL DE CARGAS AXIAIS CONCENTRADAS E DISTRIBUDAS 2.35 2.13 O MTODO DE RAYLEIGH-RITZ 2.36 EXEMPLO 1 2.38 EXEMPLO 2 2.39 EXEMPLO 3 2.41 2.14 O MTODO DE GALERKIN 2.43 2.15 GRANDES DEFLEXES EM COLUNAS 2.45 2.16 COLUNAS CARREGADAS EXCENTRICAMENTE 2.48 2.17 COLUNAS COM FORMAS IMPERFEITAS 2.50 2.18 FLAMBAGEM PLSTICA DE COLUNAS 2.55 2.19 FRMULAS EMPRICAS PARA FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.64 2.20 EXEMPLOS DE ANLISE EM FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.65 2.21 EXERCCIOS 2.70 2.22 REFERNCIAS 2.79

2.3

NDICE DE FIGURAS 2-1 ESTABILIDADE DO EQUILBRIO E SUPERFCIE DE ESTABILIDADE 2.5 2-2 COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA 2.6 2-3 O COMPORTAMENTO DA COLUNA DE EULER 2.8 2-4 COLUNA COM EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.9 2-5 COLUNA EQUIVALENTE DE EULER EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.10 2-6 COLUNA EM BALANO 2.11 2-7 COLUNA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE 2.12 2-8 COLUNA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE - PRTICO 2.14 2-9 COMPRIMENTO EFETIVO DE COLUNA SUBMETIDA CARGA NA EXTREMIDADE E CARGA

DISTRIBUDA AO LONGO DO COMPRIMENTO 2.18 2-10 COEFIECIENTE DE FIXAO DE COLUNA COM APOIO ELSTICO 2.19 2-11 COEFICIENTE DE FIXAO EFETIVO PARA COLUNA COM APOIOS ELSTICOS DISTINTOS

EM AMBAS AS EXTREMIDADES 2.20 2-12 CARGA CRTICA DE COLUNAS DE SEO VARIVEL 2.21 2-13 TRABALHO DA CARGA AXIAL DEFORMAES EM FLEXO 2.22 2-14 TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAO 2.27 2-15 COLUNA COM SUPORTES ELSTICOS 2.32 2-16 SISTEMA DE COORDENADAS PARA COLUNA EM BALANO 2.35 2-17 COLUNA COM FORAS CONCENTRADAS E DISTRIBUDAS 2.35 2-18 COLUNA DE SEO VARIVEL 2.38 2-19 GRANDES DEFLEXES EM UMA COLUNA 2.45 2-20 CURVA CARGA-DEFLEXO PARA GRANDES DEFLEXES 2.48 2-21 COLUNA CARREGADA EXCENTRICAMENTE 2-49 2-22 CURVA CARGA-DEFLEXO PARA COLUNA CARREGADA EXCENTRICAMENTE 2-49 2-23 COLUNA COM DEFLEXO INICIAL 2-50 2-24 COLUNA COM IMPERFEIES RESULTADOS DA TEORIA LINEAR 2-52 2-25 COLUNA COM IMPERFEIES RESULTADOS DA TEORIA NO-LINEAR 2.54 2-26 COLUNA DE SHANLEY CURVA CARGA-DEFLEXO 2.57 2-27 CURVA DE COLUNA AO FTU = 90 KSI 2.59 2-28 CURVA DE COLUNA AO FTU = 125 KSI 2.59 2-29 CURVA DE COLUNA AO FTU = 150 KSI 2.59 2-30 CURVA DE COLUNA AO FTU = 180 KSI 2.59 2-31 CURVA DE COLUNA AO INOX 17-7 PH (FOLHAS, TIRAS E PLACAS) 2.60 2-32 CURVA DE COLUNA - AO INOX 17-7 PH (BARRAS E FORJADOS) 2.60 2-33 CURVA DE COLUNA ICONEL X 2.60 2-34 CURVA DE COLUNA LIGA AL 7075-T6 (FOLHAS E PLACAS) 2.60 2-35 CURVA DE COLUNA LIGA AL 7075-T6 (EXTRUSES) 2.61 2-36 CURVA DE COLUNA LIGA AL 7075-T6 (FOLHA CLAD) 2.61 2-37 CURVA DE COLUNA LIGA AL 7075-T6 (FORJADOS) 2.61 2-38 CURVA DE COLUNA LIGA AL 7079-T6 (FORJADOS) 2.62 2-39 CURVA DE COLUNA LIGA TITNIO TI-6AI-AV (BARRAS E PLACAS) 2.62 2-40 MDULO TANGENTE ADIMENSIONALIZADO 2.62 2-41 CURVAS DE COLUNA ADIMENSIONAIS PARMETROS DE RAMBERG-OSGOOD 2.63

2.4

2 FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.1 INTRODUO

As almas finas e os elementos longitudinais esbeltos de aeronaves esto sujeitos falha por

flambagem em nveis de tenses relativamente baixos, freqentemente abaixo do limite de

proporcionalidade e raramente muito acima da tenso de escoamento. Em conseqncia, o modo crtico

de falha para a maior parte da estrutura por flambagem, em vez de ruptura por trao, e a predio das

cargas de flambagem para colunas, placas e cascas assunto de vital preocupao para o engenheiro

aeronutico. Neste captulo consideraremos o mais simples destes elementos, a coluna.

Uma coluna pode flambar por instabilidade primria ou secundria. Na instabilidade primria no h

distoro da seo transversal, e o comprimento de onda da flamba da ordem do comprimento da

coluna. Ela pode ocorrer por flexo lateral ou, se a seo flexvel em toro, por uma combinao de

flexo e toro. Na instabilidade secundria, ou local, h mudanas na forma da seo transversal e o

comprimento de onda da flamba da ordem das dimenses da seo transversal. Neste captulo ser

considerada somente a instabilidade primria por flexo.

Membros submetidos trao, bem como colunas curtas e troncudas, falham quando a tenso

atuante atinge certo limite de resistncia do material. Uma vez conhecido este limite do material,

relativamente simples determinar a capacidade de absoro de carga do membro. A flambagem,

entretanto, no ocorre quando a tenso no membro atinge uma certa resistncia conhecida do material.

A tenso na qual ocorre a flambagem depende de uma srie de fatores, incluindo as dimenses do

membro, a forma como este suportado, e as propriedades do material do qual manufaturado. A

determinao da tenso de flambagem portanto um problema relativamente complexo.

2.2 ALGUMAS EQUAES BSICAS

Nesta seo sero fornecidas algumas relaes bsicas necessrias para o desenvolvimento da

teoria e supostas conhecidas pelo leitor.

A Teoria da Elasticidade fornece as seguintes relaes no-lineares entre deformaes e

deslocamentos:

+

+

+

=222

21

xw

xv

xu

xu

xx (2.1)

+

+

+

+=

yw

xw

yv

xv

yu

xu

yu

xv

xy (2.2)

2.5

As expresses para , z, , e zxyyzzyy seguem por inspeo. Nestas expresses, os termos no-lineares esto entre colchetes e um ou mais destes termos so considerados nulos dependendo das

hipteses consideradas na anlise.

A Teoria de Vigas fornece as relaes no-lineares entre o raio de curvatura e os deslocamentos

212

2

2

1

1

+

=

xwxw

Rz , 212

2

2

1

1

+

=

xvxv

Ry (2.3)

e a relao entre a curvatura e os momentos atuantes na seo

2212

2

2

1

1yzzzyy

yzyyyz

IIIIMIM

E

xvxv

=

+

, 2212

2

2

1

1yzzzyy

yzzzzy

IIIIMIM

E

xwxw

=

+

(2.4)

onde o sinal depende da conveno adotada.

Mais uma vez, as relaes acima podem ser simplificadas quando os termos entre parnteses so

pequenos em relao unidade e se adotado um sistema de eixos principais.

2.3 O MTODO DO EQUILBRIO NEUTRO

O Conceito de estabilidade freqentemente explicado considerando o equilbrio de uma bola rgida

em vrias posies, como mostrado na Fig. 2-1.

Embora a bolas esteja em equilbrio nas trs posies mostradas, um exame mais cuidadoso revela

a existncia de importantes diferenas entre as trs posies. Se a bola na parte (a) for deslocada

ligeiramente de sua posio original de equilbrio, ela retornar quela posio aps a retirada da fora

perturbadora. Um corpo que se comporta desta maneira dito estar num estado de equilbrio estvel. J

a bola em (b), ao ser deslocada ligeiramente de sua posio de repouso no retornar, mas continuar a

se mover para mais longe da posio original. O equilbrio da bola em (b) portanto muito precrio.

Fig. 2-1 Estabilidade do Equilbrio e Superfcie de Estabilidade

2.6

chamado de equilbrio instvel. A bola em (c), ao ser deslocada de sua posio de repouso no retorna

posio original mas tambm no se move para mais longe. Este comportamento referido como

equilbrio neutro, ou indiferente.

A bola deslizando sobre a superfcie da Fig. 2-1 est em equilbrio em qualquer ponto ao longo da

linha ABC. No trecho entre A e B o equilbrio estvel e no trecho entre B e C, instvel. No ponto B,

transio entre os dois trechos, a bola est em estado de equilbrio neutro.

O comportamento de uma coluna reta sujeita a uma carga central bastante similar ao da bola. A

configurao reta da coluna estvel para cargas pequenas e instvel para cargas grandes. Se for

assumido que um estado de equilbrio neutro na coluna existe numa transio entre os estados estvel e

instvel, ento a carga sob a qual a configurao reta da coluna passa a ser instvel a carga sob a

qual o equilbrio neutro possvel. Esta carga referida normalmente como a carga crtica.

Para determinar a carga crtica de uma coluna necessrio encontrar a carga sob a qual a coluna

pode estar em equilbrio tanto reta quanto levemente fletida. A tcnica que usa este critrio para a

determinao de cargas crticas (h outras) denominada de mtodo do equilbrio neutro.

2.4 A CARGA CRTICA DA COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA

A coluna mostrada na Fig. 2-2 tem seo transversal constante e manufaturada de material

homogneo. Considere vlidas as seguintes hipteses:

Fig. 2-2 Coluna Simplesmente Apoiada

1. As extremidades da coluna so simplesmente apoiadas. A extremidade inferior est ligada a

uma articulao imvel e a extremidade superior a uma articulao tal que possa girar e mover

na vertical livremente, mas no horizontalmente.

P

P

L

z, w

x

P

P

P

w

My

x

P

2.7

2. A coluna perfeitamente reta e a carga aplicada ao longo do eixo que passa pelos centrides

das sees transversais. z eixo principal.

3. O material obedece a lei de Hooke (elstico linear)

4. As deformaes na coluna so pequenas o suficiente para que o termo ( )2'w desprezvel quando comparado unidade na expresso (2.3) para a curvatura ( )[ ] 212'1" ww + , de maneira que a curvatura possa ser aproximada por "w .

De acordo com o critrio do equilbrio neutro, a carga crtica aquela para a qual a posio de

equilbrio na configurao levemente fletida da Fig. 2-2 possvel. Para o sistema de eixos adotado na

Fig. 2-2 e levando em conta a hiptese 4 acima, a Eq. (2.4), fornece

"wEIM yyy = Denominando o momento de inrcia da seo em torno do eixo y simplesmente por I, doravante, e

fazendo o equilbrio do corpo livre da Fig 2-2, obtm-se:

( ) 0"" 0 =+=== PwEIwEIwPwMPwM y (2.5) Se no houvessem sido feitas as hipteses de comportamento elstico linear e pequenas deflexes,

o mdulo de elasticidade E na Eq. (2.5) tornar-se-ia varivel, e a curvatura "w seria substituda por

( )[ ] 212'1" ww + . A equao resultante no teria coeficientes constantes e seria no linear. A sua soluo, portanto, seria difcil de obter. Por outro lado, se no houvessem sido feitas as hipteses de

apoio simples em ambas as extremidades e cargas centrais, apareceriam termos adicionais na mo

direita da Eq. (2.5). Isto tornaria a equao no-homognea, mas sua soluo no seria difcil de ser

obtida.

Dividindo a Eq. (2.5) por EI, obtm-se

EIPkwkw ==+ 22 com , 0" (2.6)

cuja soluo geral dada por

kxBkxAxw cos sen )( += (2.7) Para determinar as constantes arbitrrias A e B, deve-se fazer uso das condies de contorno aplicveis

no problema:

Lxxw === e 0 em 0 (2.8) 0 00cos 0)0( === BBw

de modo que

kxAxw sen)( = (2.9)

2.8

A aplicao da segunda condio de contorno fornece

0senou 0ou 0sen 0)( ==== kLAkLALw Se A = 0, k e consequentemente P podem assumir qualquer valor. Este resultado conhecido

como a soluo trivial, porque confirma o que j conhecido, que a coluna est em equilbrio sob

qualquer carga axial desde que permanea perfeitamente reta. Por outro lado,

......3 ,2 ,1 onde , 0sen === nnkLkL (2.10) A soluo ento pode ser escrita

LxnAxw sen)( = (2.11)

2

22

LEInP = (2.12)

Quando submetida s cargas dadas pela Eq. (2.12), a coluna pode estar em equilbrio numa

posio levemente fletida. A forma da deflexo dada pela Eq. (2.11). A amplitude da deflexo

entretanto indeterminada uma vez que a constante A pode assumir qualquer valor quando sen kL = 0.

O menor valor da carga que satisfaz a Eq. (2.12) a carga de Euler, de modo que a menor carga sob a

qual a coluna deixa de estar em equilbrio estvel.

2

2

LEIPE

= (2.13)

A deflexo mxima da coluna dada para x = L / 2 e numericamente igual a A. A Fig. 2-3 mostra

o comportamento da coluna de Euler graficamente. At a carga de Euler, a coluna tem de permanecer

P

2

2

LEIP =

max

Equilbrio Estvel

Equilbrio Instvel

Equilbrio Neutro

2

24LEIP =

Fig. 2-3 O Comportamento da Coluna de Euler

2.9

reta. Se a coluna deslocada de sua posio de equilbrio, retorna posio original cessada a

perturbao. Na carga de Euler h uma bifurcao do equilbrio, isto , a coluna tanto pode permanecer

reta como assumir uma forma fletida de amplitude indeterminada. O estado de equilbrio neutro. Uma

coluna submetida a uma carga entre PE e 4 PE tambm pode assumir somente a posio reta. O

equilbrio, entretanto, instvel. As se deslocar a coluna de sua posio reta as deflexo crescero sem

limite. A carga P = 4 PE, mais uma vez uma bifurcao do equilbrio, no qual possvel o equilbrio

neutro. No que concerne a estabilidade de colunas, entretanto, esta carga no tem maior significado,

pois no possvel atingi-la na prtica sem recorrer a artifcios experimentais (e.g., colocar um apoio

temporrio tipo rtula em x = L /2 ; carregar at atingir a carga P = 4 PE; deformar a coluna de modo a

que apresente duas semi-ondas de amplitude sensvel; retirar os apoios temporrios).

Para todos os efeitos prticos, uma coluna no resiste cargas superiores carga de Euler. Se

fossem admitidas grandes deflexes, mas ainda mantendo o material elstico linear, a soluo teria a

forma da linha pontilhada na Fig. 2-3, ou seja, submetida a uma carga maior do que a de Euler, a coluna

encontraria uma posio fletida estvel. As deflexes, entretanto, cresceriam violentamente com o

aumento gradual da carga, resultando em tenses de flexo que logo superariam a tenso ltima da

maioria dos materiais.

2.5 CONDIES DE CONTORNO

O primeiro passo a ser seguido para generalizar os resultados obtidos na seo anterior

considerar outras condies de contorno.

a) AMBAS AS EXTREMIDADES ENGASTADAS

Se uma coluna est engastada em ambas as extremidades, no pode se deslocar lateralmente nem

girar nestes pontos. Em conseqncia, quando a coluna fletida levemente, so induzidos momentos

fletores M0 em ambas as extremidades, como mostrado na Fig. 2-4. Fazendo o equilbrio de momentos

numa seo a uma distncia x da orgem, obtm-se

P

P

P PM0 M0

M0 w

x

L

z , w

x

-EIw

Fig. 2-4 Coluna com Extremidades Engastadas

2.10

EIPk

EIM

wkwMPwEIw ==+=+ 2020 com , "ou " (2.14)

A soluo geral da equao homognea dada na Eq. (2.7). Uma soluo particular que pode ser

obtida por inspeo ( ) PMEIkMxw 020)( == , de maneira que, a soluo completa PM

kxBkxAw 0cossen ++= (2.15)

onde A e B so determinados das condies de contorno do problema:

( ) ( ) ( ) 0 e 00' , 00 === Lwww . As primeiras duas condies so satisfeitas se

PM

- e 0 0== BA , de modo que

( )kxPM

w cos10 =

A ltima condio de contorno conduz equao transcendental

1cos =kL cuja menor raiz no nula 2=kL . A soluo pode ento ser escrita na forma

2

2

cr4LEIP = (2.16)

( )

=Lx

PMxw 2cos10 (2.17)

Como pode ser notado, a carga crtica da coluna com ambas as extremidades engastadas quatro

vezes a carga de Euler (coluna simplesmente apoiada).

Usando a Eq. (2.17), pode-se mostrar que os pontos de inflexo, i.e., os pontos de momento interno

nulo, se encontram em x = L / 4 e x = 3 L / 4. A poro central da coluna, entre estes pontos, portanto

equivalente a uma coluna simplesmente apoiada de comprimento L / 2, como mostrado na Fig. 2-5, cuja

carga crtica

Fig. 2-5 Coluna Equivalente de Euler Extremidades Engastadas

2.11

( )22

cr 2LEIP = (2.18)

A carga crtica da pseudo-coluna simplesmente apoiada que existe entre os pontos de inflexo da

coluna bi-engastada portanto igual carga crtica da coluna bi-engastada. A carga crtica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna de Euler equivalente. O comprimento desta coluna equivalente de Euler denominado de comprimento efetivo do membro.

b) UMA EXTREMIDADE ENGASTADA, OUTRA LIVRE

A coluna mostrada na Fig. 2-6 est engastada na base e livre na outra extremidade. Uma deflexo

lateral ocasionar um deslocamento na extremidade superior e um momento P na base. Impondo o equilbrio de momentos (Fig. 2-6 b) resulta em

22"ou " kwkwPPwEIw =+=+ (2.19) cuja soluo geral dada por

++= kxBkxAw cossen (2.20) Aplicando as condies de contorno na base, tem-se

)cos1()( que modo de ; 0)0( ; 0 0)0(' kxxwBwAw ===== A condio de contorno na extremidade superior, =)(Lw satisfeita se 0cos =kL . A menor raiz no-trivial desta equao 2

=kL , que leva a

2

2

cr 4LEIP = (2.21)

=Lxxw

2cos1)( (2.22)

z, w

w

Fig. 2-6 Coluna em Balano

EIw

2.12

A Eq. (2.21) indica que a carga crtica de uma viga em balano um quarto da carga de Euler. Pode

ser mostrado a partir da Eq. (2.22) que a deflexo de uma viga em balano consiste de um quarto de

onda de senide, ou seja, a metade da curva de deflexo da coluna simplesmente apoiada (Fig. 2-6c). O

comprimento efetivo da coluna equivalente de Euler igual a 2L , e a carga crtica para a coluna em

balano pode ser expressa na forma

( )22

cr 2LEIP = (2.23)

c) UMA EXTREMIDADE SIMPLESMENTE APOIADA, OUTRA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE

Na maior parte das estruturas reais, as extremidades das colunas nem so simplesmente apoiadas,

nem engastadas. Normalmente as colunas esto rigidamente conectadas a outros membros, que

permitem a ocorrncia de rotaes limitadas nas extremidades. Suportes deste tipo so referidas como

restries elsticas. A restrio depende das propriedades elsticas dos membros aos quais a

extremidade da coluna est conectada.

Considere uma coluna simplesmente apoiada na base e restringida elasticamente por uma mola na

outra, como mostrado na Fig. 2-7. A mola torsional suposta linearmente elstica em rotao (momento

proporcional ao ngulo de rotao) e rgida nas direes horizontal e vertical, estando conectada a um

dispositivo que permite o livre movimento vertical.

Fazendo o equilbrio de momentos no corpo livre, obtm-se

( )EILMxwkw

LMxPwEIw =+=+ 2 "ou 0" (2.24)

cuja soluo geral

M = k

M

P

P M / L

M / L

Fig. 2-7 Coluna Restringida Elasticamente

k

P

P

L x

z, w P M / L

P

M / L

w

x -EIw

k

P

P

L x

z, w

2.13

PLMxkxBkxAw ++= cossen (2.25)

Aplicando as condies de contorno na extremidade inferior, 0 0)0( == Bw , e na extremidade superior, ( )kLPMALw sen 0)( == . Portanto,

=kLkx

Lx

PMw

sensen

(2.26)

Como a coluna est rigidamente conectada mola, a rotao da extremidade superior da coluna

tem de ser igual rotao da mola. Para a coluna, a inclinao da deflexo em x = L

=

==kLkLkEI

MkLkLk

LPM

dxdw

tan11

sencos1 (2.27)

onde o sinal menos foi utilizado porque dw/dx e tm sinais contrrios. Por outro lado, na mola

kM= (2.28)

Equacionando-se as expresses em (2.27) e (2.28), obtm-se

=

=kLkLk

kEIkLkLkEI

MkM

tan11ou

tan11

(2.29)

Seja uma medida adimensional da constante de mola, definida como

EILk = (2.30)

A Eq. (2.29) pode ento, aps manipulao algbrica conveniente, ser rescrita como

( )

+= 2 tan

kLkLkL (2.31)

Dado , a equao transcendental (2.31) pode ser resolvida para kL , entre outras: 1. Por uma calculadora;

2. Por tentativa e erro;

3. Traando-se as curvas correspondentes s mos esquerda e direita e verificando o ponto

comum correspondente ao valor mais baixo de kL ;

4. Por um processo iterativo de relaxao.

Quando a rigidez da mola nula ( )0= , reproduz-se a condio de apoio simples. Neste caso, a Eq. (2.31) fornece 0tan =kL , cuja menor raiz =kL , de modo que a carga crtica a de Euler, como no poderia deixar de ser.

2.14

Se a rigidez da mola for infinita tem-se o caso da coluna com uma extremidade simplesmente

apoiada e a outra engastada. Neste caso, , e a Eq. (2.31) fornece

( ) ( ) kLkLkL

kLkLkL =

+=+= 1

lim limtan 22

(2.32)

A menor raiz desta equao transcendental 49,4kL , que leva, respectivamente, carga crtica e modo crtico (equao da deflexo) dado pela Eq. (2.26)

( )22

2cr 7,02,20

LEI

LEIP (2.33)

+

Lx

Lx

PML

x

Lx

PMxw 49,4sen02,1

49,4sen

49,4sen)(

(2.34)

O comprimento efetivo da coluna equivalente de Euler 0,7L , como mostrado em (2.33).

Considere, agora, um prtico como mostrado na Fig. 2-8, onde a viga engastada na extremidade

da direita. Por simplicidade, o comprimento L e a rigidez em flexo EI da viga so tomados iguais aos da

coluna. Sob a ao da carga P, com P < Pcr, a coluna comprimir e o ponto de aplicao da carga

sofrer um pequeno deslocamento vertical. A viga sofrer uma pequena flexo, pois a sua extremidade

esquerda ter que acompanhar o ponto de aplicao da carga. Enquanto a coluna estiver reta,

entretanto, estes deslocamentos so muito pequenos e para linearizar o problema, sero desprezados.

P

P

L x

z, w

L

EI

EI

Fig. 2-8 Coluna Restringida Elasticamente - Prtico

2.15

Quando a carga crtica atingida, entretanto, a deformao de flexo na coluna induzir flexo na

viga. Devido sua rigidez, a viga resistir flexo pela ao da coluna e exercer um momento na

mesma. As foras de cisalhamento na viga dependem da magnitude da forma fletida. Como esta pode

ser feita to pequena quanto se queira (no clculo da carga crtica as foras produzidas pelas

deformaes de flexo e as prprias deformaes so consideradas infinitesimais), razovel admitir-se

que a carga axial na coluna permanea constante e igual a P durante a flambagem. Para a soluo do

problema, portanto, basta avaliar . Da teoria de vigas vem que o momento necessrio para girar a extremidade de uma viga bi-

engastada de um ngulo M = 4 (EI / L) . Portanto, a constante de mola k = 4 EI / L , e = 4. A Eq. (2.31), ento, fornece:

( ) 4 4tan 2 += kLkLkL (2.35)

cuja menor raiz , aproximadamente, kL = 3,829 , de modo que

( )22

2cr 82,066,14

LEI

LEIP (2.36)

+

Lx

Lx

PML

x

Lx

PMxw 829,3sen635,0

829,3sen

829,3sen)( (2.37)

2.6 COMPRIMENTO EFETIVO E COEFICIENTE DE FIXAO

Como observamos na seo 2.5, qualquer problema de estabilidade elstica primria em flexo de

uma coluna pode ser colocada de uma coluna de Euler com comprimento equivalente, ou seja,

( )2ref2

cr 'LEIP = (2.38)

onde L o comprimento equivalente da coluna de Euler e Iref o momento de inrcia de uma seo de

referncia na coluna (necessrio quando o momento de inrcia da seo no constante).

Uma outra forma de representar a carga crtica atravs do coeficiente de fixao da coluna c. que

para uma coluna de seo constante, varia entre o limites 1 e 4, respectivamente, para a apoio simples e

engaste perfeito em ambas as extremidades:

2ref

2

cr LEIcP = (2.39)

A relao entre o comprimento efetivo e o coeficiente de fixao evidente: 2

' e '

==LLc

cLL (2.40)

2.16

Valores de L para as condies de contorno mais usuais so dados na Tab. 2-1. Alm do caso de

colunas submetidas a cargas centrais nas extremidades, est tambm contemplado o caso de colunas

submetidas a cargas uniformemente distribudas ao longo do comprimento.

Os comprimentos efetivos de colunas submetidas a uma carga de compresso numa das

extremidades e uma carga uniformemente distribuda ao longo do comprimento, para as condies de

contorno em balano, simplesmente apoiada, engastada - simplesmente apoiada e duplamente

engastada, esto representados graficamente na Fig. 2-9.

Os coeficientes de fixao de colunas submetidas a alguns casos de apoios elsticos esto

representados graficamente na Fig. 2-10. A Fig. 2-10a contempla o caso de colunas simplesmente

apoiadas com um suporte elstico, restringindo o deslocamento lateral de um ponto ao longo do

comprimento e a Fig. 2-10b trata do caso de dois apoios elsticos idnticos (mesma rigidez e simtricos

em relao ao centro da coluna). O coeficiente de fixao fornecido em funo da localizao dos

apoios e rigidez da mola. A Fig. 2-10c fornece os coeficientes de fixao para colunas com restries

elsticas em rotao. So contemplados os casos de restrio em uma e em ambas as extremidades,

sendo que neste ltimo caso as restries so supostas de mesma rigidez.

Uma coluna cujas restries elsticas nas extremidades so distintas, pode ser analisada em duas

etapas. Inicialmente determinam-se os valores dos coeficientes de fixao para o caso de suportes

elsticos iguais: a) com a rigidez do suporte superior e, b) do suporte inferior.. O coeficiente de fixao

para a coluna sendo analisada evidentemente deve estar entre estes dois valores e pode ser obtida

diretamente da Fig. 2-11.

Alguns casos de colunas de seo varivel so considerados na Fig. 2-12. Esto representados os

valores de B = 2c para colunas simplesmente apoiadas com: (a) duas partes de seo constante, mas de rigidez EI distintas; (b) simtricas, com as extremidades de rigidez constante e menor do que a

rigidez constante da parte central; (c) simtricas, com a parte central de rigidez constante e as

extremidades afiladas em planta e; (d) simtricas, com a parte central de rigidez constante e as

extremidades afiladas na largura e espessura.

Uma srie de outros casos tratado na literatura. Por exemplo, no Manual da Boeing (Ref. 2.1)

podem ser encontrados os coeficientes de fixao para colunas submetidas a cargas axiais

concentradas e cargas distribudas ao longo do comprimento. A diferena em relao aos casos

considerados na Tab. 2-1 que aqui a razo entre a carga total distribuda e a carga concentrada pode

variar entre 0 e 1. A Ref. 2.1 tambm considera o caso de colunas com sees no uniformes. Alm dos

casos considerados aqui, considera tambm colunas simtricas em relao ao centro, mas com a rigidez

constante da parte das extremidades maior do que a rigidez constante da parte central. No que tange

colunas afiladas, so tratados os casos de colunas slidas de largura constante e extremidades afilando

na espessura e colunas tubulares de espessura constante com extremidades afilando de forma uniforme.

Entre outros, os casos de colunas com cargas seguidoras (cargas concentradas e distribudas) que

acompanham a deformao da coluna) e cargas passando por pontos fixos so tratados por Data Sheet

do ESDU (Ref. 2-2).

2.17

Tabela 2.1 Comprimentos Equivalentes de Colunas Uniformes

Condies de Contorno Carregamento

2,0 L

1,0 L

1,0 L

0,7 L

0,5 L

1,69 L

-

0,732 L

0,58 L

0,365 L

1,12 L

0,72 L

0,732 L

0,43 L

0,365 L

Veja Fig. 2-9

-

Veja Fig. 2-9

Veja Fig. 2-9

Veja Fig. 2-9

1,43 L

0,84 L

0,57 L

0,45 L

0,36 L

-

-

0,49 L

0,24 L

P P

P = qL q = cte

q = cte e simtrico P = qL/2

P = qL/2 q = cte P = qL/2

P = qL q = cte

P = PA+ qL q = cte PA

Fig. 2-9 Comprimento Efetivo de Coluna Submetida Carga na Extremidade e Carga Distribuda ao Longo do Comprimento Fig. 2-9 Comprimento Efetivo de Coluna Submetida Carga na Extremidade e Carga Distribuda ao Longo do Comprimento

2.18

Fig. 2-10 Coeficiente de Fixao de Coluna com Apoio Elstico

(a)

(b)

(c)

2.19

Fig. 2-11 Coeficiente de Fixao Efetivo para Coluna com Apoios Elsticos Distintos em ambas as Extremidades

2.20

Fig. 2-12 Carga Crtica de Colunas de Seo Varivel

2.21