cap 5 – estabilidade

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Capítulo 5- Estabilidade Cap 5 – Estabilidade Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

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INTRODUÇ ÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Cap 5 – Estabilidade. Transparências de apoio às aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal. Todos os direitos reservados - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Cap 5 – Estabilidade

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

INTRODUÇÃO AO CONTROLO1º semestre – 2011/2012

Page 2: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Objectivo e Sumário

Estabilidade de SLITs no sentido BIBO

o Definição

o Exemplos motivadores

o A estabilidade e a localização dos pólos

Critério de Routh-Hurwitz

Exemplos

Referênciaso Cap.3 (Secção 3.7) – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição

(referência principal)

Page 3: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua)

Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua

1)(s1

(s)E(s)Ω

a

m

1)(s1

Wm(s)Ea(s)

Dinâmica da velocidade angular

Wm(s)

11s

+_

kEa(s)

R(s)

Esquema proposto de controlo

)k(1sk

R(s)(s)ΩG(s) m

Como é a resposta a uma entrada

de comando escalão unitário ?

Page 4: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua)

)k(1sk

R(s)(s)ΩG(s) m

Como é a resposta a uma entrada

de comando escalão unitário ?

s1

)k(1skR(s)

)k(1sk(s)Ωm

)k(1s1

)k(1k

s1

)k(1k(s)Ωm

)tk(1e)k(1

k)k(1

kω(t)

para 0t

Resposta forçada

Resposta natural

Transforma de Laplace unilateral inversa

Page 5: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua)

)tk(1e)k(1

k)k(1

kω(t)

Escolha do ganho k do controlador

A) k = 2 B) k = -2

3te32

32ω(t) t2e2ω(t)

3s2G(s)

Resposta natural tende para zero

- sistema estável -

Polo em –3 rads-1 (negativo) 1s

2G(s)

Resposta natural tende para infinito

- sistema instável -

Polo em +1 rads-1

(positivo)

Resposta natural + resposta forçada

Resposta natural + resposta forçada

Page 6: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO

• BI = Bounded Input• BO = Bounded Output• Sistema BIBO estável

– sse para qualquer entrada limitada, a saída é um sinal limitado

Page 7: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO

Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs)

d(s)n(s)G(s) Localização dos pólos de G(s)

determinam o comportamento qualitativo da resposta natural

)(sGU(s) Y(s)

Y(s)

Transformada inversa de Laplace

(t)y(t)yy(t) naturalforçado

Pólos de G(s) com parte real negativa

Resposta natural tende para zero

limitado y(t)

Pólos de G(s) com parte real positiva

Resposta natural explode

ilimitado y(t)

ESTABILIDADE INSTABILIDADE

Considera-se u(t) limitado

Pergunta: A resposta natural é limitada (BO=Bounded Output)?

Page 8: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO

Pólos de G(s) com parte real = 0

Multiplicidade 1

Resposta natural exibe termo constante (polo real)

ou oscilatório (par de pólos complexos conjugados)

Multiplicidade superior a 1

Resposta natural

explode

Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs)

d(s)n(s)G(s)

INSTABILIDADEESTABILIDADE MARGINAL

Page 9: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Sistema BIBO estável

RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO

SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA

SAÍDA

PÓLOS DE G(s) COM PARTE REAL NEGATIVA

SISTEMA ESTÁVEL

SISTEMA ESTÁVEL

Page 10: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Sistema BIBO instável

RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA)

SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA

SAÍDA

• PELO MENOS UM PÓLO G(s) COM PARTE REAL POSITIVA, OU

• PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM

SISTEMA INSTÁVEL

SISTEMA INSTÁVEL

Page 11: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Sistema BIBO marginalmente estável

RESPOSTA NATURAL

• EXIBE TERMO CONSTANTE, OU

• É OSCILATÓRIA (com oscilações de amplitude constante)

HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA • QUE PRODUZEM SINAIS

ILIMITADOS NA SAÍDAHÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA

• QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA

• G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE 1 E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD

SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL

SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL

Page 12: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Respostas naturais: exemplos

Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Page 13: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Respostas naturais: exemplos

Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Page 14: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Respostas naturais: exemplos

Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

Page 15: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO

• Como estudar a estabilidade BIBO dos sistemas– Determinar a localização dos pólos

• Factorizar o polinómio denominador da F.T.– Pode não ser fácil para ordens elevadas– Usar Matlab

• É preciso saber a localização exacta dos pólos?• Ou basta saber se há polos no spcd ou sobre o

eixo imaginário?• Critério de Routh-Hurwitz

– Permite concluir sobre a establidade BIBO sem factorizar o polinómio denominador de G(s)

Page 16: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO

44ss2s3s4ssN(s)

D(s)N(s)G(s) 23456

Caracterizar a estabilidade do SLIT com FT G(s)

Código matlab

>> d=[1 4 3 2 1 4 4];>> p=roots(d)

p =

-3.2644 0.6797 + 0.7488i 0.6797 - 0.7488i -0.6046 + 0.9935i -0.6046 - 0.9935i -0.8858

SLIT instável2 pólos no spcd

Page 17: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO (sistema de 1ª ordem)

Wm(s)11s

+_

kEa(s)

R(s)

)k(1sk

R(s)(s)ΩG(s) m

Exemplo sistema de 1ª ordem: Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua

Pólo = p= -(1+k)

1k 0k1 0p

Sistema estável sse

Para k>-1, os coeficientes do polinómio denominador são positivos.

Num sistema de primeira ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos

Page 18: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem)

Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

a)(sK s

1

Integrador(posição angular é o integral da velocidade angular)

Wm(s)Ea(s)

Dinâmica da velocidade angular

Qm(s)

KKsasKK

R(s)(s)ΘG(s) 2

m

+_

KR(s)

2 pólos

Hipóteses possíveis

2 pólos reais

2 pólos complexos conjugados

Page 19: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem)

Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

KKsasKK

R(s)(s)ΘG(s) 2

m

2 pólos

Hipóteses possíveis

2 pólos reais 21212

21 pp)sp(ps)p)(sp(s

2 pólos complexos conjugados

Num sistema de segunda ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos

21 p,ppólos

jbajb,apólos

0pp0,pp0p0,p 212121 0pp0p0,p 2121

222 ba2assjb)ajb)(sa(s

02a0a 0ba 22

NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES

Page 20: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz

d(s)n(s)G(s)

ESTABILIDADE: G(s) é estável sse todos os pólos tiverem parte real negativa.

CONDIÇÃO NECESSÁRIA: os coeficientes do polinómio denominador devem ter todos o mesmo sinal

NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE!

Se os coeficientes do polinómio denominador• tiverem todos o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos) e

estiverem todos presentesÉ preciso fazer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE

CRITÉRIO DE HURWITZ– uma condição necessária (mas não suficiente) de estabilidade BIBO de um SLIT causal é que todos os coeficientes do polinómio denominador da FT sejam positivos (ou tenham o mesmo sinal)

Page 21: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade. Critério de Hurwitz: exemplos

2038s48s59s39s22s12sss1G(s) 2345678

14s5s3ss5sG(s) 234

4s5s3ss5sG(s) 234

• Os coeficientes não têm todos o mesmo sinal.

• Sistema não estável

• Há um coeficiente que é nulo.• O sistema não é estável• Pode ser instável ou marginalmente estável

• Os coeficientes têm todos o mesmo sinal

• Só pelo critério de Hurwitz não é possível tirar conclusões sobre estabilidade

Page 22: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz

01234

4 23 asasasasasnsG

)()(

G(s)U(s)

Y(s)

4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01aTABELA INICIAL

Construção da tabela de Routh

As duas primeiras linhas são construídas a partir dos coeficientes do polinómio denominador de G(s)

Page 23: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz

4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01aTABELA DE ROUTH COMPLETADA

13

13

24

baaaaa

23

3

04

0b

aa

aa

000

3

3

4

aaa

11

21

13

cbbbaa

000

1

1

3

bba

000

1

1

3

bba

11

1

21

0d

cc

bb

000

1

1

1

ccb

000

1

1

1

ccb

Construção da matriz de Routh

Page 24: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz

CRITÉRIO DE ROUTH

4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01a

13

13

24

baaaaa

23

3

04

0b

aa

aa

000

3

3

4

aaa

11

21

13

cbbbaa

000

1

1

3

bba

000

1

1

3

bba

11

1

21

0d

cc

bb

000

1

1

1

ccb

000

1

1

1

ccb

O número de pólos no semiplano complexo direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh.

Um SLIT é estável sse todos os elementos da coluna pivot da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal (*)

(*) e, na construção da matriz de Routh, não tiver havido zeros na coluna pivot

Page 25: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Exemplo

+_

R(s))5)(3)(2(

1000 sss

C(s)1030)31s10s(s

1000R(s)C(s)

23

2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela

2 pólos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL

3s

2s

1s

0s

1 31 010

01030

7211031311

010101

010101

103720721031

0

7207201

1 103

07207201

• Todos os coeficientes positivos• Critério de Hurwitz não permite

concluir sobre establiade

Critério de Routh

Na construção da tabela de Routh podemos simplificar os cálculos multiplicando todos os elementos de uma linha por uma constante positiva

Page 26: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

3)5s6s3s2s(s10

2345 Zeros só na primeira coluna.

5s

4s

3s

2s

1s

1 3 5

2 36

027

0

0s

76 3

141264942 2

0

0 0

3 0 0

Page 27: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

3)5s6s3s2s(s10

2345 Um zero só na primeira coluna da tabela de Routh

EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA1

2 mudanças de sinal

2 pólos no semiplano complexo direito

SISTEMA INSTÁVEL

5s

4s

3s

2s

1s

1

2

0

76

141264942 2

0s

3

Page 28: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

3s

2s

1s

0s

1 1 0

2 2 0

0 0 0

Uma linha de zeros na tabela de Routh2s2ss

1D(s)N(s)G(s) 23

•Aplicação do Critério de Hurwitzo Sistema não estável

• Será marginalmente estável ou instável ?• A tabela de Routh permite responder a essa pergunta

Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

Page 29: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

Uma linha de zeros na tabela de Routh2s2ss

1D(s)N(s)G(s) 23

Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário>> d=[1 2 -1 -2];

>> p=roots(d)

p =

1.0000 -2.0000 -1.0000

Código Matlab

Page 30: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

•1 mudança de sinal na coluna pivot•1 polo no semiplano complexo direito •SISTEMA INSTÁVEL

3s

2s

1s

0s

1 1 0

2 2 0

0 0 0

Uma linha de zeros na tabela de Routh

22sQ(s) 2

As raízes deste polinómio estão simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

As raízes deste polinómio são pólos de G(s)

Polinómio auxiliar 4sds

2)d(2sds

dQ(s) 2

2 0

4 00

Page 31: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

2038s48s59s39s22s12sss1

2345678

06s4sds

dQ(s) 3

23ssQ(s) 24 4s3s2s1s0s

5s

6s

7s

8s 1 12 39 48 20

1 22 59 38 010 20 10 20 01 2 1 220 60 40 0 01 3 2

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

23 23 4 0 0 0

31

0 0 0 0

4 0 0 0 0

Page 32: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

4s3s2s1s0s

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

23 23 4 0 0 0

31

0 0 0 0

4 0 0 0 0

• O comportamento da tabela de Routh depois da linha correspondente ao polinómio auxiliar Q(s) é resultado dos zeros desse polinómio auxiliar

• Na coluna pivot, depois do polinómio auxiliar, não há trocas de sinal

Por simetria, o polinómio auxiliar Q(s) não tem raízes no SPCE

O polinómio auxiliar não tem raízes no semi-plano complexo direito (SPCD)

Q(s) tem 4 raízes no eixo imaginário

>> q=[1 0 3 0 2];>> r=roots(q)

r =

0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i

Page 33: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

2038s48s59s39s22s12sss1

2345678

4s3s2s1s0s

5s

6s

7s

8s 1 12 39 48 20

1 22 59 38 010 20 10 20 01 2 1 220 60 40 0 01 3 2

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

23 23 4 0 0 0

31

0 0 0 0

4 0 0 0 0

Análise das outras raizes – linhas 58 ss

Duas trocas de sinal• 2 pólos no SPCD• 2pólos no SPCE

Do polinómio auxiliar• 2 pares de pólos sobre

o eixo imaginário

SISTEMA INSTÁVEL

Page 34: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2

)(si +_ )1(

1s)100(

1

sssK

)(so

Sistema a ControlarControlador

Objectivo:Fazer análise de Estabilidade como função de K

)(si +_ 1)100)(ss(s

1)K(s

)(so

K100)s(K99ss1)K(s

23

Controlo de um sistema instável em malha aberta

Função de Transferência em Cadeia Fechada

Page 35: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2

Condição de estabilidade:

K100)s(k99ss1)K(s

23

3s

2s

1s

0s

1 100K

K

100(98/99)K 0

99

K 0

0100(98/99)K0;K

101.0204K

Sistema Estável

(é preciso ganho elevado para estabilizar o sistema instável!)

0100K9998 Para

Page 36: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3

2)1)(s(s1

K

sK I

R(s)+_

+

+

Y(s)

Sistema a ControlarControlador PI (Proporcional Integral)

2)1)(s(s1

R(s)+_

Y(s)

sKK I

I23

I

KK)s(23ssKKs

R(s)Y(s)

Que valores de K e KI garantem que o sistema em cadeia fechada é estável?

Controlador PI (Proporcional Integral)

Page 37: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3

I23

I

KK)s(23ssKKs

R(s)Y(s)

s3 1 2+K

s2 3 KI

s1 0

s0 KI

3KK2 I

0K3KK2

I

I

0

0K3KK

I

I

2

Condições necessárias e suficientes de estabilidade

IK

K

03KK2 I

-2

Page 38: Cap  5 –  Estabilidade

Capítulo 5- Estabilidade

Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3

5K10,K I

1K1,K I

0K1,K I

Resposta a entrada escalão do sistema em cadeia fechada

•KI=0•Controlador P (proporcional)•Erro estático é não nulo

• Ambos têm erro estático nulo