ESTATÍSTICA

CAPÍTULO 1 REVISÃO(somatório e arredondamento)

VARIÁVEIS POPULAÇÃO E AMOSTRAS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS GRÁFICOS

RODRIGO NAPOLI TELMA PICHETH

2010

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REVISÃO DE MATEMÁTICA ARREDONDAMENTO ESTATÍSTICO

Sendo a estatística uma ferramenta utilizada em análise e tomada de decisões, é

importante que se tomem os devidos cuidados com seus cálculos. A precisão é um dos cuidados, por isso deve-se usar o arredondamento estatístico pois

ele permite as menores perdas (negativas ou positivas) ou o equilíbrio entre elas. Três situações são possíveis: 1º) Quando o nº a ser arredondado for seguido de um número menor que 5, o nº mantém-se igual. Ex: 8,62 = 8,6 4,31 = 4,3 2º) Quando o nº a ser arredondado for seguido de um número maior que 5, o nº é acrescido de uma unidade. Ex: 3,79 = 3,8 6,69 = 6,7 3º) Quando o nº a ser arredondado for seguido de um número igual a 5, e nada mais, o nº deverá ser par. Se já é par, se mantém. Se for ímpar é acrescido de uma unidade Ex: 4,65 = 4,6 4,75 = 4,8 4º) Quando o nº a ser arredondado for seguido de um número igual a 5, e este for seguido de um ou mais números, o nº é acrescido de uma unidade. Ex: 12,657 = 12,7 0,88501 = 0,89

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SOMATÓRIOS n

∑ xi = x1 + x2 + ... + xn i =1 onde: ∑= Somatório (some as parcelas que estão à minha frente) x = valor da variável i = índice xn = enésimo termo obs.: Em estatística sempre que se usa somatório utilizam-se todo os valores da variável (série), portanto o uso do índice é dispensável. ∑ x = x1 + x2 + ... + xn ∑ (x±y) = (x1±y1) + (x2±y2) + ... + (xn±yn) = (x1+x2+...+xn) ± (y1+y2+...+yn) = ∑(x) ± ∑(y) ∑ (xy) = (x1y1) + (x2y2) + ... + (xnyn) ∑(x)∑(y) = (x1+ x2+ ... +xn).(y1+y2+...+yn)

∑ ax = (ax1) + (ax2) + ... + (axn) = a (x1 + x2 + ... + xn) = a(∑ x) ∑ (x)2 = (x1) 2 + (x2) 2 + ... + (xn) 2 (∑ x)2 = (x1 + x2 + ... + xn) 2

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ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA é o conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir fenômenos coletivos (Dugé de Bernonville).

A ESTATÍSTICA é coleta, apresentação, análise e interpretação de dados numéricos (Jairo Simon da Fonseca). Pode-se estudar a estatística com dois objetivos: Reunir, sumariar, sistematizar dados numéricos de modo a torná-los rapidamente compreensíveis; é a chamada ESTATÍSTICA DESCRITIVA, constituem-se de métodos destinados a resumir o melhor possível uma massa de informações numéricas. Com os dados sistematizados fazer análises e tirar conclusões, que é a INFERÊNCIA ESTATÍSTICA, ou seja, apresenta os instrumentos que permitem extrapolar os resultados. Por “extrapolação” entende-se: considerar que a informação obtida junto de um número restrito de pessoas é a expressão de todas, e que permite, de fato, generalizar as conclusões tiradas. UTILIDADE DA ESTATÍSTICA Sempre que estivermos trabalhando com medidas ou contagens precisaremos da estatística descritiva. A biologia, como toda ciência experimental, faz uso freqüente das técnicas estatísticas. A genética, Ecologia, Nutrição humana, animal e vegetal, etc., apóiam-se essencialmente na Estatística. Para se testar novos métodos terapêuticos, ou de diagnóstico ou estabelecer a superioridade de certa dieta, ou saber a probabilidade de certo fenômeno ocorrer será sempre a Estatística que ajudará a resolver estas questões com a utilização de um planejamento experimental adequado e aplicação da inferência estatística. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO a) planejamento - uma vez definido o problema que se deseja resolver, deve-se reduzi-lo a uma hipótese testável; b) instrumento - construção do instrumento adequado; c) coleta de dados d) tabulação e) análise dos dados f) teste das hipóteses g) interpretação e conclusão

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VARIÁVEIS Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos. Variáveis podem ser classificadas da seguinte forma: 1.VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: são as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas. - Variáveis discretas: características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia. - Variáveis contínuas, características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade. 2.VARIÁVEIS QUALITATIVAS (ou categóricas): são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. - Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, separar o lixo ou não, doente/sadio. - Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal).

As distinções são menos rígidas do que a descrição acima insinua. Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa. Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa (contínua); mas, se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 10 anos, etc...) ou categorizada em criança jovem, adulto e idoso, é qualitativa (ordinal). Outro exemplo é o peso dos lutadores de boxe, uma variável quantitativa (contínua) se trabalhamos com o valor obtido na balança, mas qualitativa (ordinal) se o classificarmos nas categorias do boxe (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.). Outro ponto importante é que nem sempre uma variável representada por números é quantitativa. O número do telefone de uma pessoa, o número da casa, o número de sua identidade. Às vezes o sexo do indivíduo é registrado na planilha de dados como 1 se masculino e 2 se feminino, por exemplo. Isto não significa que a variável sexo passou a ser quantitativa!

Mais sobre variáveis http://www.forp.usp.br/restauradora/gmc/gmc_livro/gmc_livro_cap02.html

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AMOSTRAGEM

POPULAÇÃO – qualquer conjunto de informações, que tenham entre si pelo menos uma característica em comum.

AMOSTRA – parte da população que deve ser representativa, ou seja, conter proporcionalmente tudo que a população contém, qualitativa e quantitativamente. Para que se possa, de resultados obtidos na amostra, INFERIR para a população é necessário que a amostra seja ALEATÓRIA, isto é, que todos os elementos da população tenham a mesma chance de serem escolhidos.

Com uma amostra aleatória evitamos ser tendenciosos e inserir um viés na pesquisa.

TIPOS DE POPULAÇÃO:

• Finita: Consiste de um número finito ou fixo de elementos, medidas, observações. Alunos do Camões, pessoas do Brasil, doentes em leitos hospitalares, etc

• Infinita: Pelo menos hipoteticamente, um número infinito de elementos. Nascimentos em uma cidade, todas as pessoas que tem ou podem ter determinada doença

• Finita-infinita: No finito de elementos, porém inacessíveis. Portadores de HIV, etc. também chamada de população hipotética

TIPOS DE ESTUDO:

• Censo: Estudo através do exame de todos os elementos da população.

• Amostragem: Estudo por meio do exame de uma amostra.

RAZÕES PARA O USO DE AMOSTRA:

- de ordem prática: populações muito grandes, inviabilidade econômica e de tempo.

- população hipotética: quando a população for composta de todos os pacientes que sofrem (ou que virão a sofrer) determinada doença e recebam ou venham receber determinado tratamento. Os doentes que forem estudados serão considerados uma amostra.

-melhor resultado, pois com um número menor de observações o estudo poderá ser mais detalhado, mais aprofundado.

OBS – contudo o processo amostral traz a probabilidade de ERRO AMOSTRAL, cujo controle será realizado através de métodos estatísticos adequados.

TIPOS DE AMOSTRAS MAIS USADAS

- Casual simples - Casual sistemática - Estratificada proporcional

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AMOSTRA CASUAL SIMPLES

Casual é o mesmo que aleatório, portanto temos que garantir a todos os elementos da população a mesma chance de ser escolhido, para tal deve haver um sorteio desde que seja honesto.

Tomemos a tabela 2 (População de diâmetros a altura do peito de árvores em uma floresta em regeneração) como população em estudo e que dela se precise tirar uma amostra de tamanho 4 (n=4).

Uma das formas de se efetuar o sorteio é o uso da tabela 1 (TABELA DE NÚMEROS CASUAIS ou aleatórios, ou randômicos). Esta é uma tabela gerada por computador onde os nºs que aparecem, expressam um sorteio. Este sistema pode ser usado sempre que pudermos ter uma listagem da população.

PROCEDIMENTO: Sorteia-se ao acaso, os nºs a serem usado da tabela, utilizando-se um método definido à priori, observa-se os nºs que se seguem anotando todos aqueles que servem aos nºs da listagem da população. Os 4 primeiros números nessas condições são os números de ordem da listagem que farão parte da amostra. Por exemplo, desejamos uma amostra com 4 elementos (n=4) da população de árvores da tabela 2 (N=240). Podemos definir a priori que o método a ser utilizado será considerar da tabela 1 (números aleatórios) a partir da quarta coluna, sendo lidos de cima para baixo desconsiderando os primeiros dígitos que não servem. Desta forma teremos como sorteados os seguintes números:

57 – 155 – 178 - 69

A partir destes números temos as medidas dos diâmetros destas árvores (tabela 2) sendo desta forma:

no árvore DAP (mm) 57 135 155 121 178 117 69 131

AMOSTRA CASUAL SISTEMÁTICA

Neste tipo de amostragem efetua-se o sorteio do 1º nº e daí por diante os próximos elementos a entrarem para a amostra seguirão intervalos (h) constantes entre eles.

Suponha-se uma amostra de tamanho 6 (n=6) da população em estudo com 240 elementos (N=240). Dividindo-se os 240 elementos da população pelos 6 elementos, que preciso para a amostra, obtenho o intervalo entre cada observação.

N = 240 n = 6 h = N / n = 240 / 6 = 40

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Usando a tabela de nos casuais, determino o 1º elemento da amostra. Suponha-se ter sido o nº 87. Somando-se a ele 40 (que representa o intervalo) temos 127 que será o 2º nº de ordem da amostra.

Sucessivamente seguindo o mesmo processo teremos: 1º nº => 87 2º nº => 87 + 40 = 127 3º nº => 127 + 40 = 167 4º nº => 167 + 40 = 207 5º nº => 207 + 40 = 247 (como este nº supera N que vai até 240 retoma-se o início sorteado da numeração e subtrai-se o h), portanto: 5º nº => 87 - 40 = 47 6º nº => 47 - 40 = 07 Com estes números de ordem procura-se seus respectivos valores na tabela 2.

087 => 131 mm 207 => 94 mm

127 => 126 mm 047 => 141 mm

167 => 117 mm 007 => 151 mm

AMOSTRA ESTRATIFICADA

Quando a população pode ser classificada, categorizada e estas categorias contribuem para uma análise melhor da variável em estudo então é necessário fazer uma amostra estratificada ou proporcional a estas categorias (sejam elas: sexo, nacionalidade, porte de uma empresa (grande, médio, pequeno), classe social, religião).

Suponha-se que as árvores que fazem parte da tabela 2 estão assim classificados:

Classe A(árvores que estão no platô) _____> 120 elementos (001 a 120)

Classe B(árvores que estão na encosta) _____> 72 elementos (121 a 192)

Classe C(árvores que estão na planície) _____> 48 elementos (193 a 240)

Se quiséssemos uma amostra que representasse 10% da população ela teria que possuir 24 elementos pois:

N= 240 n= 240 x 10 / 100 n= 24

Para obter-se uma amostra estratificada tem-se que retirar 10% de cada estrato da população. Classe A = 10% de 120 = 12 12

Classe B = 10% de 72 = 7,2 arredondando temos: 7 + Classe C = 10% de 48 = 4,8 5 n= 24

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Desta forma fica determinado quantos elementos de cada extrato devem ser retirados da população. Então, usando a amostra casual simples ou sistemática, sorteiam-se os elementos que farão parte da amostra.

Seleção de Amostras quando não se dispõe de Lista

Em muitas situações de amostragem é possível obter uma lista da população. Por exemplo, para escolher uma amostra dos 2.000 calouros seria fácil obter tal lista. A lista telefônica é muito usada para propósitos de amostragem. Usando-a, no entanto, devemos ter em mente que iremos obter uma amostra casual das pessoas que vivem na área. Essas duas populações diferem em muitos aspectos especialmente em status sócio-econômico. Se não podemos ter uma lista da população, uma amostra casual pode tornar-se extremamente difícil ou mesmo impossível de se obter. Basta pensar em como obter uma amostra casual de casas de uma cidade ou de pacientes de uma determinada doença. Não existe uma solução única, mas sempre se tenta introduzir alguma forma de casualidade no procedimento. No caso de casas pode-se sortear pontos num mapa e tomar as casas mais próximas daquele ponto. Isto só será um bom procedimento se as casas estiverem uniformemente distribuídas no mapa. Muitas vezes parece impossível alcançar a casualidade desejada, mas sempre há um recurso. Um pesquisador que, para um estudo, não tenha possibilidade de sortear seus entrevistados, poderá, para evitar qualquer viés no sorteio, considerar como sua amostra os 10 primeiras pessoas que passarem por determinado local onde o estudo está sendo desenvolvido.

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TABELA 1 - NÚMEROS CASUAIS

93107 94578 19715 67305 32299 40762 05757 51668 31650 41248 82291 69117 88226 34955 25981 63368 52903 14057 91788 09699 05220 82551 56291 58108 53563 82566 90065 88784 04977 86735 36841 83155 95223 84988 71414 79548 22703 59438 05178 73018 38097 34173 91852 61363 80525 34377 46083 58908 57901 14928 06836 44250 59532 56891 38621 46782 04049 10329 24939 32472 94414 66921 06318 66938 43267 75840 00599 41429 66894 41460 49381 89190 14137 16069 25755 64905 32926 43664 39225 90483 53885 84156 05380 51553 29676 67565 48075 43614 44910 88041 19160 55181 07671 57519 15350 08548 72432 41096 08680 96475 96805 84978 05917 80180 41839 68552 70566 39212 90732 29517 23226 43304 43281 25102 41704 59691 35303 36358 46118 31463 26275 46463 12031 05516 65116 13302 79279 57887 47879 93360 91749 54871 79200 97175 95538 53662 83728 17467 83916 31791 49758 43087 79255 60386 17154 28827 94470 22733 05043 63213 76933 64133 62152 73350 40545 40675 15258 86650 95758 92102 35672 68107 35191 94966 78744 38852 28176 41304 49088 08621 26693 19658 36883 04421 59234 86397 42755 33975 04648 22051 28600 93963 70700 18675 86113 90373 44313 88221 47352 72767 92550 78667 09372 85431 71534 85765 70606 25414 80535 20287 18978 29995 70949 38663 34820 15098 40032 06114 85798 19075 18239 36309 68511 45166 32681 91672 30585 44537 66886 51465 34540 54318 92469 38285 85046 76081 76106 38280 89299 32135 41510 96714 23897 26182 30653 65930 01115 85798 41219 91741 42648 41808 14687 61557 03647 23413 12002 55181 69248 12166 65352 70347 89366 57729 47009 80836 59586 59925 75693 02872 55506 01354 32136 78756 64713 19284 81720 54098 35822 09441 20066 93275 43728 23959 53127 93053 36216 20831 42280 60032

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TABELA 2 – DAP (diâmetro na altura do peito) DE ARVORES DE UMA FLORESTA EM REGENERAÇÃO

Nº

DAP Nº

DAP Nº

DAP Nº

DAP Nº

DAP Nº

DAP (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm)

A1 170 41 135 81 133 B121 114 161 122 201 92 2 186 42 135 82 133 122 114 162 125 202 94 3 169 43 135 83 147 123 114 163 125 203 94 4 161 44 135 84 133 124 114 164 125 204 94 5 161 45 149 85 133 125 114 165 123 205 90 6 167 46 134 86 133 126 126 166 123 206 109 7 151 47 141 87 132 127 126 167 117 207 94 8 161 48 133 88 132 128 127 168 119 208 104 9 167 49 149 89 131 129 117 169 119 209 103 10 147 50 147 90 132 130 131 170 119 210 108 11 156 51 169 91 132 131 131 171 114 211 108 12 147 52 131 92 131 132 130 172 114 212 108 13 141 53 147 93 131 133 126 173 125 213 98 14 169 54 156 94 139 134 127 174 124 214 108 15 154 55 136 95 139 135 122 175 119 215 109 16 137 56 135 96 139 136 122 176 118 216 109 17 151 57 135 97 132 137 122 177 119 217 108 18 154 58 135 98 165 138 130 178 117 218 112 19 154 59 135 99 141 139 130 179 115 219 112 20 146 60 150 100 140 140 129 180 125 220 112 21 145 61 150 101 140 141 127 181 125 221 103 22 141 62 150 102 140 142 114 182 125 222 103 23 136 63 138 103 132 143 114 183 125 223 100 24 150 64 137 104 132 144 114 184 125 224 98 25 150 65 137 105 132 145 114 185 124 225 94 26 136 66 137 106 132 146 114 186 123 226 109 27 186 67 137 107 132 147 114 187 123 227 109 28 147 68 137 108 132 148 114 188 120 228 106 29 150 69 131 109 132 149 117 189 120 229 104 30 150 70 131 110 131 150 117 190 120 230 104 31 186 71 131 111 132 151 117 191 126 231 104 32 146 72 131 112 132 152 122 192 140 232 98 33 154 73 156 113 138 153 121 C 193 94 233 98 34 147 74 135 114 140 154 121 194 94 234 110 35 169 75 134 115 140 155 121 195 113 235 112 36 150 76 134 116 139 156 120 196 113 236 112 37 136 77 141 117 131 157 114 197 106 237 110 38 136 78 141 118 131 158 119 198 106 238 113 39 135 79 133 119 147 159 127 199 106 239 112 40 135 80 133 120 131 160 126 200 106 240 112

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Quando estamos trabalhando com um grande nº de dados, a estatística descritiva nos oferece um recurso técnico para que possamos sistematizá-los, a fim de que teremos algumas informações sobre estes dados. Uma destas técnicas é a Distribuição de Freqüências que permite agrupar dados observando a freqüência que ocorre dentro de intervalos de medidas (quando se tratar de variável contínua) ou a freqüência dentro de cada categoria (quando a variável for discreta).

QUADROS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Peso de

porcos do mato (kg)

freqüências (f)

Número de crias

freqüências (f)

45 ⏐—— 50 3 0 6 50 ⏐—— 55 8 1 15 55 ⏐—— 60 10 2 18 60 ⏐—— 65 5 3 9

∑ N = 26 ∑ n = 48

PROCEDIMENTOS PARA A CONSTRUÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

COM INTERVALOS DE CLASSE (variáveis contínuas): Definindo número e intervalo de classes: Inicialmente fazia-se a ordenação das observações de acordo com seu valor numérico crescente, este procedimento gera o ROL da amostra (seqüência de valores ordenados crescentemente). Com o advento dos computadores este procedimento é executado automaticamente, desta forma nossas observações já serão apresentadas em um ROL. A partir deste ponto é necessário determinar o número de classes e o intervalo destas classes. Existe uma fórmula que calcula o número de classes apropriado para o tamanho da população apresentada (Fórmula de Sturges: K = 1+3,32 log N) entretanto esta fórmula apenas dá uma sugestão desta quantidade, para que não sejam nem muitas classes e nem poucas. A definição final é subjetiva sendo do pesquisador a palavra final desta quantidade.

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Exemplo – Idades de 50 alunos (já no ROL):

15 - 24 - 25 - 27 - 28 - 28 - 30 - 30 - 31 - 32 32 - 33 - 33 - 34 - 34 - 34 - 34 - 35 - 35 - 35 36 - 36 - 37 - 37 - 37 - 38 - 38 - 38 - 38 - 39 39 - 39 - 40 - 40 - 40 - 40 - 41 - 41 - 43 - 43 44 - 45 - 48 - 48 - 48 - 49 - 50 - 51 - 51 - 60

Foi definido que esta distribuição usará como intervalo de classe 8 anos. Desta forma inicia-se a 1ª classe com o valor mais baixo da distribuição – Vmin (neste caso o no 15). A partir daí soma-se a este número o valor do intervalo, sendo assim:

15 + 8 = 23 => 1ª classe 15 |—— 23 23 + 8 = 31 => 2ª classe 23 |—— 31 31 + 8 = 39 => 3ª classe 31 |—— 39 39 + 8 = 47 => 4ª classe 39 |—— 47 47 + 8 = 55 => 5ª classe 47 |—— 55 55 + 8 = 63 => 6ª classe 55 |—— 63

Cada classe possui limites superiores e inferiores, sendo que, para variáveis contínuas agrupadas em classes, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte. Sendo assim no exemplo acima percebemos que o limite superior (Ls) da primeira classe vale 23 anos, assim como o limite inferior (Li) da segunda classe também vale 23 anos. O ponto médio (Pm) de uma classe é calculado através da fórmula: Pm = [(Li + Ls) /2] , sendo assim para a primeira classe o ponto médio será: Pm1 = (Li1 + Ls1) / 2 Pm1 = (15 + 23) / 2 Pm1 = 38 / 2 Pm1 = 19 anos Cálculos das freqüências: FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (f) A freqüência absoluta é dada pela simples contagem da quantidade de elementos (valores) em cada uma das classes apresentadas. Esta contagem é feita com base nos dados brutos e é facilitada se já estiverem em um ROL. 15 ⎪— 23 => f = 1 23 ⎪— 31 => f = 7 31 |— 39 => f = 21 39 |— 47 => f = 13 47 |— 55 => f = 7 55 |— 63 => f = 1

15 - 24 - 25 - 27 - 28 - 28 - 30 - 30 - 31 - 32 32 - 33 - 33 - 34 - 34 - 34 - 34 - 35 - 35 - 35 36 - 36 - 37 - 37 - 37 - 38 - 38 - 38 - 38 - 39 39 - 39 - 40 - 40 - 40 - 40 - 41 - 41 - 43 - 43 44 - 45 - 48 - 48 - 48 - 49 - 50 - 51 - 51 - 60

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FREQÜÊNCIA PERCENTUAL (f%) É o percentual que cada freqüência absoluta representa em função do total de observações. São úteis na comparação de 2 ou mais conjuntos de dados e nos permite uma maior compreensão dos dados. (f% = f / n * 100) 15 ⎪—— 23 => f=1 / 50 * 100 => f% = 2% 23 ⎪—— 31 => f=7 /50 * 100 => f% = 14% 31 |—— 39 => f = 21 /50 * 100 => f% = 42% 39 |—— 47 => f = 13 /50 * 100 => f% = 26% 47 |—— 55 => f = 7 /50 * 100 => f% = 14% 55 ⎪—— 63 => f=1 /50 * 100 => f% = 2% FREQÜÊNCIA ACUMULADA (fa) Esta freqüência é calculada somando-se à freqüência absoluta da classe as freqüências absolutas das classes anteriores: 15 ⎪—— 23 => f=1 +0 => fa = 1 23 ⎪—— 31 => f=7 +1 => fa = 8 31 |—— 39 => f = 21 +8 => fa = 29 39 |—— 47 => f = 13 +29 => fa = 42 47 |—— 55 => f = 7 +42 => fa = 49 55 ⎪—— 63 => f=1 +49 => fa = 50 FREQÜÊNCIA ACUMULADA PERCENTUAL (fa%) É o percentual que cada freqüência acumulada representa em função do total de observações.

CONSTRUÇÃO DO QUADRO DE FREQÜÊNCIAS

Idades (anos)

Freqüência Absoluta

(f)

Freqüência Percentual

(f%)

Freqüência Acumulada

(fa)

Freqüência Acumulada Percentual

(fa%) 15⎪—— 23 1 2 1 2 23⎪—— 31 7 14 8 16 31⎪—— 39 21 42 29 58 39⎪—— 47 13 26 42 84 47⎪—— 55 7 14 49 98 55⎪—— 63 1 2 50 100

∑ 50 100 – –

NOMENCLATURA Linf – limite inferior de classe – (são os números que iniciam cada classe) Lsup – limite superior de classe – (são os números que encerram cada classe) PM – ponto médio da classe – (Linf + Lsup) / 2

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APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS Muitas vezes os dados (ou resultados) podem ser melhor representados através de um

gráfico. Apesar de apresentar uma precisão menor da informação, esta é passada de uma forma rápida, mostrando visualmente as características gerais de todo o conjunto de informações.

Como norma geral todo gráfico deve apresentar necessariamente título e escala. A escala deve sempre crescer da esquerda para a direita e de baixo para cima. E sempre que necessário uma legenda explicativa deve ser apresentada (de preferência ao lado direito do gráfico).

Os tipos de gráficos mais usados: Para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas (não agrupadas): - Gráfico de barras - Gráfico de setores (pizza) Para variáveis quantitativas agrupadas: - Histograma - Polígono de freqüências - Gráfico de setores (pizza)

GRÁFICO DE BARRAS: Usado para representar a freqüência de dados qualitativos ou quantitativos discretos (não agrupados). Cada categoria possui uma barra e o tamanho desta e dada pela sua freqüência. Os gráficos de barra geralmente são apresentados na vertical(também chamados de colunas), isto é, no eixo das abscissas (horizontal) apresentam-se as categorias e no eixo das ordenadas (vertical) as freqüências, entretanto, se houver muitas categorias este gráfico pode ser invertido, sendo assim apresentado na horizontal. Nos gráficos de barras é possível ainda apresentar de forma comparativa as freqüências de diferentes subcategorias Exemplos:

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GRÁFICO DE SETORES (PIZZA): Este tipo de gráfico é usado para representar freqüências percentuais ou relativas de variáveis qualitativas ou quantitativas. Eventualmente podemos apresentar associados a este gráfico os valores absolutos, mas o gráfico trás a informação relativa entre as diferentes categorias da variável. Sua construção vai ser dada levando-se em conta que a circunferência total representa 100% (o todo), e cada setor terá seu tamanho proporcional à freqüência percentual da categoria. Exemplos:

HISTOGRAMA: É o tipo de gráfico usado para representar distribuições de freqüências (absoluta, relativa ou percentual) para variáveis quantitativas agrupadas em classes contínuas.

Para sua construção devemos marcar no eixo das abscissas (horizontal) do gráfico as classes da distribuição e no eixo das ordenadas (vertical) as freqüências. O gráfico é construído com barras (retângulos) com a largura das classes e com a altura de sua respectiva freqüência. Note que o histograma é muito similar ao gráfico de barras, entretanto aqui entre as barras das diferentes classes não há espaço algum, onde uma acaba a outra começa (lembre-se que o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte). Exemplo: Abaixo é apresentado o quadro com as freqüências absolutas e seu respectivo histograma.

Idades (anos) f

45 |-- 53 3 53 |-- 61 11 61 |-- 69 12 69 |-- 77 9 77 |-- 85 4 85 |-- 93 1

Σ 40

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POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS: Esta é uma outra forma de representar as distribuições de freqüências.

Sua construção é dada de forma similar ao histograma, mas agora usaremos o ponto médio de cada classe para representar toda a classe. Em vez de usarmos barras usamos uma linha para ligar os pontos médios da distribuição, sendo que é necessário marcar outras duas classes (nas duas extremidades) com valores de freqüência igual a zero. Exemplo: Usando-se os mesmos dados acima, podemos montar um polígono em cima do histograma, marcando os pontos médios de cada classe e acrescentando as duas novas classes nulas. Sendo que o gráfico final não deve conter as barras do histograma:

Exercício: Apresente os dados abaixo através de 2 gráficos. Os tipos de gráficos usados deverão ser determinados com base no tipo de variável e informação relevante

Pesos (kg) f f% 45 ⏐—— 50 26 13% 50 ⏐—— 55 50 25 % 55 ⏐—— 60 100 50 % 60 ⏐—— 65 24 12 %

∑ 200 100 %

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NOME: _________________________________________________________________

EXERCÍCIO 1- arredondamento Arredondar para obter números com duas casas decimais a) 10,348 = b) 4,112 = c) 5,875 = d) 0,052 =

e) 2,625 = f) 1,066 = g) 7,4255 =

EXERCÍCIO 2 - somatório Considerando-se: X:{2; 2; 4; 8} Y: {5; 7; 8; 2} calcule: a) ∑ x = b) ∑ y = c) ∑ (x)2 = ∑ 4y d) ∑ (2x + 3y) =

EXERCÍCIO 3 - variáveis Cite 1 exemplo de variável discreta: _________________________________________________ Cite 1 exemplo de variável contínua: _________________________________________________ Cite 1 exemplo de variável nominal __________________________________________________ Cite 1 exemplo de variável ordinal ___________________________________________________

EXERCÍCIO 4 - amostragem

1 - Montar uma amostra casual simples com 6 elementos da tabela 2. Para tal considerar como método definido a priori: a partir da 1ª coluna da tabela de nos casuais (tabela 1).

2

2 - Montar uma amostra casual sistemática de tamanho 8 (n=8) da tabela 2. Para tal considerar como método definido a priori: a partir da 3ª coluna da tabela de nos casuais (tabela 1). 3 – Calcular o tamanho das amostras em que se quer tirar 5% da população estratificada da tabela 2. 4 - Construir uma amostra estratificada simples da população da tabela 2. Esta amostra deve ser constituída por 5% da população, e o método usado será a partir da 5ª coluna (se acabar esta coluna olhar a coluna da direita, e assim por diante).

3

EXERCÍCIO 5 - distribuição de frequências 1. Os resultados da análise da idade de tartarugas marinhas em uma amostra de 40 indivíduos estão descritos abaixo:

45 49 50 53 53 53 54 57 58 58 59 60 60 60 62 63 63 64 64 65 65 66 67 67 68 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 80 81 81 83 93

Determinar:

a) As distribuições de freqüências com intervalo de 8 anos.

4

2. Com os dados de anos decorridos da fragmentação em remanescentes de florestas fazer uma distribuição de freqüências:

46 47 50 51 52 53 56 56 56 57

58 60 61 61 63 63 64 65 68 68 68 68 69 70 71 71 72 72 72 73 74 75 75 75 75 76 76 77 77 78 79 80 80 80 81 82 85 86 90 95

Sugestão: intervalo =10 Determinar: a) Freqüência Absoluta; b) Distribuição de freqüência acumulada; c) Distribuição de freqüência percentual; d) Distribuição de freqüência percentual acumulada;

5

3. As notas de 32 estudantes de uma turma estão descritas no quadro abaixo:

0 2 3,5 4,5 5 5,5 6 7 0 2 4 4,5 5 5,5 6,5 7 1 2,5 4 4,5 5 6 6,5 8

1,5 3,5 4 5 5 6 7 8,5 Construir a distribuição de freqüências (intervalo de classe de 1,5) e responder: a) A maior e a menor nota ___________________ b) A amplitude total_________________________ c) Qual a porcentagem dos alunos que tiraram nota menor do que 3,0 _______________ d) Qual o ponto médio da 3ª classe ______________________ e) Qual a porcentagem dos alunos que tiraram nota entre 4,5 e 6 _______________ f) Qual o limite superior da 2ª classe ____________________ g) Qual o limite inferior da 4ª classe_________________________

6

4. Construa um quadro de distribuição de freqüências, com intervalo de 0,70 mg. Kg-1 da seguinte amostra: Teores totais de Cobalto em amostras de solo de diferentes áreas de duas toposseqüências da microbacia de Caetés, Paty do Alferes, RJ. Média de três repetições (retirado de RAMALHO et al., Contaminhação

da microbacia de caetés com metais pesados pelo uso de agroquímicos. Pesq. Agropec. Brás. 35(7): 1289-1303, jul 2000.)

Medidas em mg.Kg-1

2,78 2,79 2,83 2,9 3,34 3,67 4,16 4,17 4,18 4,18 4,23 4,48 4,62 4,71 4,75 4,75 4,81 4,86

5,37 5,4 6,42 6,86 6,89 6,93

5. Sabendo que as idades de um grupo de tartarugas se distribuem de forma acumulada, complete o quadro abaixo:

IDADE (anos)

Freqüência absoluta

(f)

Freqüência Percentual

(f%)

Freqüência Acumulada

(fa)

Freqüência Acumulada Percentual

(fa%) 0 |— 5

34

5 |— 10

57

10 |— 15

103

15 |— 25

203

25 |— 50

242

50 |— 100

250

∑

-

7

6.Complete o quadro e responda:

peso de aves (g) f fa f% 200 |--- 250 2 __ __ 250 |--- 300 __ 7 10 300 |--- 350 8 15 16 350 |--- 400 20 __ __ 400 |--- 450 __ 45 20 450 |--- 500 5 50 10

___ ___

a) quantos elementos entraram nesta amostra:__________ b) qual o intervalo de classe:________________________ c) quantas aves pesam até 350g:____________________ d) quantas classes tem esta distribuição:________________ e) qual o percentual de aves que pesam entre 400 e 450g :_____________ f) limite superior da 2º classe : ___________________ g) qual a variável em estudo:_____________________ h) ela é discreta ou contínua : _____________________ i) qual é a unidade de medida da variável: _______________ j) limite inferior da 4ª classe :____________________ k) qual o percentual de aves que pesam entre 300 e 450g:_____________ l) qual a classe que tem maior freqüência : _____________________ m) o ponto médio da 3ª classe é: _________ n) qual o valor de n: ______________ o) o termo “n” significa: _________________________________________________________ p) nome das freqüências na ordem em que aparecem:_______________________________

____________________________________________________________________________