CAPTULO 1

COMPORTAMENTO MECNICO DE MATERIAIS

(REVISO PARCIAL)

1.2

NDICE DE SEES 1.1 INTRODUO 1.3 1.2 O ENSAIO DE TRAO 1.3 1.3 OS ENSAIOS DE COMPRESSO E CISALHAMENTO 1.7 1.4 IDEALIZAES DA CURVA TENSODEFORMAO 1.10 1.5 REPRESENTAES DA CURVA TENSO-DEFORMAO POR FUNES DE TRS

PARMETROS 1.11 REPRESENTAO DE RAMBERG E OSGOOD 1.12 REPRESENTAO DE HILL 1.13 EQUAO GENERALIZADA DE BARRETT E MICHAEL 1.14 1.6 EXEMPLOS 1.20 1.7 EXERCCIOS 1.22 1.8 REFERNCIAS 1.24 NDICE DE FIGURAS 1-1 CORPO DE PROVA PARA ENSAIO EM TRAO 1.3 1-2 CURVA TENSO-DEFORMAO DE MATERIAL COM PONTO DE ESCOAMENTO DEFINIDO 1.24 1-3 CURVA TENSO-DEFORMAO DE MATERIAL SEM PONTO DE ESCOAMENTO DEFINIDO 1.4 1-4 CURVA TENSO-DEFORMAO DE MATERIAL CLAD 1.5 1-5 CURVAS TENSO-DEFORMAO DE MATERIAIS AERONUTICOS 1.7 1-6 CURVAS TENSO-DEFORMAO DE LIGAS DE ALUMNIO EM TRAO E COMPRESSO 1.8 1-7 CORPO DE PROVA PARA ENSAIO EM TORO 1.9 1-8 CURVAS TENSO-DEFORMAO IDEALIZADAS 1.10 1-9 CURVA TENSO-DEFORMAO IDEALIZADA: ELSTICO LINEAR-PLSTICO COM ENCRUAMENTO 1.11 1-10 IDEALIZAO DE RAMBERG & OSGOOD 1.13 1-11 PARMETRO DE FORMA n COMO FUNO DE F0.7 / F0.85 1.13 1-12 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE RAMBERG-OSGOOD 1.14 1-13 IDEALIZAO DE HILL 1.14 1-14 CURVAS ADMINENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL 1.16 1-15 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL ET / E 1.17 1-16 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL (F / FN)(E / ET) 1.17 1-17 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL 1.18 1-18 BACOS PARA A DETERMINAO DE m E FN 1.19

1.3

1 COMPORTAMENTO MECNICO DE MATERIAIS (REVISO PARCIAL) 1.1 INTRODUO

Neste captulo ser feita uma reviso das propriedades mecnicas de materiais que so de

interesse no estudo da estabilidade de estruturas aeronuticas. Uma vez que estruturas aeronuticas

tm de ser analisadas nas condies limite (em condies normais de operao da aeronave, a estrutura no deve apresentar deformaes permanentes) e ltima (em condies de sobrecarga, a estrutura no deve falhar catastroficamente), condies estas normatizadas, necessrio conhecer-se a

relao entre tenses e deformaes em todo domnio, desde pequenas deformaes at a ruptura.

de particular interesse, nos casos em que for vivel, representar a relao entre tenses e deformaes

atravs de um modelo analtico. A relao tenso-deformao poderia assim ser incorporada na anlise

e o engenheiro projetista ganharia um tempo considervel por no ter que alimentar a anlise com os

valores obtidos das curvas efetivas de tenso-deformao dos materiais que esteja empregando.

1.2 O ENSAIO DE TRAO

Considere o comportamento de um membro reto e longo, com uma seo uniforme em sua parte

central, quando submetido a uma carga axial, como mostrado na Fig. 1-1.

Fig. 1-1 Corpo de Prova para Ensaio de Trao

No centro, excetuando aquelas normais na direo axial, todas as tenses so zero. A tenso

normal constante atravs da seo e dada por n = P / A, onde A a rea original da seo transversal antes da aplicao da carga. Se L a mudana de comprimento entre dois pontos, originalmente distantes, um do outro, de um comprimento L, a deformao longitudinal, que constante

ao longo da seo reduzida, pode ser obtida da expresso long = L / L . A relao tenso-deformao

1.4

do material pode ento ser obtida graficando, para cargas crescentes, as tenses em funo das

deformaes medidas.

Para alguns materiais, como o ao doce, a curva resultante tem a forma mostrada na Fig. 1-2.

Fig. 1-2 Curva Tenso-Deformao de Material com Ponto de Escoamento Definido

Para pequenas deformaes, a relao entre a tenso e a deformao linear (ou praticamente

linear). Esta proporcionalidade eventualmente deixa de ocorrer numa tenso referida como limite de

proporcionalidade. Aps ser atingido o limite de proporcionalidade, a inclinao da curva decresce at

um ponto para o qual um pequeno incremento de deformao no resulta num aumento de tenso. A

tenso neste ponto denominada tenso de escoamento. Um aumento de deformao volta a

ocasionar, eventualmente, um aumento de tenso. Este fenmeno denominado de encruamento.

medida que a tenso aumenta, um segundo ponto de derivada nula atingido, correspondendo tenso

ltima. Da em diante, a tenso decresce com o aumento da deformao, at a ruptura. A deformao na

ruptura multiplicada por 100 denominada de alongamento percentual. Deve ser notado que as tenses

so baseadas na rea da seo transversal original do corpo de prova, sem levar em considerao a

contrao lateral. As tenses reais so em conseqncia maiores do que aquelas plotadas numa curva

tenso-deformao convencional (tenses aparentes). A diferena no aprecivel at que as regies

mais altas do regime plstico so atingidas.

Fig. 1-3 Curva Tenso-Deformao de Material sem Ponto de Escoamento Definido

1.5

A Fig. 1-3 mostra a curva tenso-deformao tpica da maioria dos materiais aeronuticos. At ser

atingida uma determinada tenso, a relao tenso-deformao linear. Deve ser notado que no h

um ponto de escoamento, pois a tangente no assume uma posio horizontal at ser atingida a tenso

ltima. Alumnio puro mais resistente corroso do que alumnio em liga; por esta razo

freqentemente chapas de liga de alumnio so protegidas por finas camadas externas de alumnio puro.

o processo de cladding. Em materiais clad ocorrem duas regies lineares na curva tenso-deformao.

Uma ocorre abaixo do limite de proporcionalidade do material das camadas da superfcie, que so

menos resistentes do que o miolo, e a outra se estende deste at o limite de proporcionalidade do

material do miolo, como mostrado na Fig. 1-4.

Fig. 1-4 Curva Tenso-Deformao de Material Clad

A propriedade mecnica que define a resistncia de um material no regime elstico a rigidez e

para materiais dteis medida pela quantidade denominada de Mdulo de Elasticidade ou Mdulo de

Young ( E ). A parte linear dos diagramas mostrados nas Figs. 1-2, 1-3 e 1-4 implica numa razo

constante entre a tenso e deformao. E o valor numrico desta razo:

long

n

fE = (1.1)

Como indicado na Fig. 1-4, as ligas clad de alumnio tm dois mdulos de elasticidade. O mdulo

inicial o mesmo das outras ligas de alumnio, mas s vale at que o limite de proporcionalidade do

material das faces atingido (mdulo primrio). Imediatamente acima deste ponto h um breve estgio

de transio e o material exibe ento um mdulo secundrio at que seja atingido o limite de

proporcionalidade do material do miolo. Ambos os mdulos so baseados numa tenso referida rea

total da seo transversal.

Qualquer que seja o caso (Figs. 1-2, 1-3 ou 1-4), difcil determinar o limite de proporcionalidade, a

partir dos dados experimentais, com preciso. Por isto convencionou-se definir o limite de

proporcionalidade como sendo o ponto de interseo da curva e da reta paralela poro linear da

curva, mas deslocada da origem por uma deformao de 0.0001.

1.6

Se a carga removida em baixos nveis de tenso, o material retornar condio de tenso zero,

percorrendo a mesma curva que seguiu durante o ciclo de carregamento e no ocorrero deformaes

permanentes. Neste intervalo, o material dito ser elstico e a tenso que define o limite superior

referida como o limite elstico. Abaixo do limite elstico, a deformao funo unvoca da tenso. Para

a maioria dos materiais estruturais, o limite elstico praticamente coincide com o limite de

proporcionalidade, embora ambos sejam definidos a partir de consideraes fsicas completamente

distintas. possvel, por exemplo, existir um material (como a borracha) no qual as deformaes no

so diretamente proporcionais s tenses em qualquer nvel de tenso, mas o material pode assim

mesmo comportar-se de maneira elstica. Um material que exiba ambos pontos, o limite proporcional e o

limite elstico, dito ser linearmente elstico se a tenso no ultrapassar o menor destes dois limites.

Acima do limite elstico, o material no mais descarrega ao longo da curva tenso-deformao que

seguiu no ciclo de carregamento. O descarregamento se dar ao longo de uma reta paralela parte

linear da curva, como mostrado nas Figs. 1-3 e 1-4. Neste caso, a deformao no funo unvoca da

tenso, pois para uma dada tenso corresponde uma deformao no carregamento e outra no

descarregamento. Alm disto, a deformao no descarregamento depende da maior tenso alcanada

no ciclo de carregamento.

Materiais que se comportam de acordo com as curvas das Fig. 1-3 ou 1-4, ao contrrio daqueles

representados pela Fig. 1-2, no mostram um ponto de tangente horizontal um pouco acima da regio

linear. Estes materiais escoam gradualmente. Em conseqncia, no possuem uma tenso ou ponto de

escoamento bem caracterizados. Uma vez que deformaes permanentes so indesejveis na maioria

das estruturas e mquinas, prtica comum se adotar um valor arbitrrio de deformao permanente

que considervel admissvel para fins de projeto. O valor desta deformao permanente admissvel foi

fixado pelas autoridades em 0.002 e a tenso (atingida no carregamento) que causa esta deformao

permanente no descarregamento denominada de tenso de escoamento (na lngua Inglesa,

denominada tambm de offset yield stress). Esta tenso est no ponto de interseo da curva e a linha

paralela parte linear da curva mas deslocada da origem por uma deformao de 0.002. Como

mencionado na seo 1.1, um dos critrios de projeto freqentemente o requisito de que as cargas

limites no devam produzir tenses que ultrapassem este valor.

So de utilidade, alm do mdulo de elasticidade, dois outros mdulos. O mdulo de elasticidade foi

definido como a inclinao da curva abaixo do limite de proporcionalidade. Acima deste limite, a

inclinao da curva, que no mais constante, definida como Mdulo Tangente ( Et ):

ddfEt = (1.2)

Como mostrado na Eq. (1.1), o mdulo de elasticidade tambm pode ser definido como a tenso

dividida pela deformao. Acima do limite de proporcionalidade, esta razo, tambm no mais constante,

definita como Mdulo Secante ( Es ):

fEs = (1.3)

1.7

Os mdulos tangente e secante so funes do nvel de tenso, e abaixo do limite de

proporcionalidade ambos so iguais ao mdulo de elasticidade.

Se, durante um ensaio de trao, forem medidas as dimenses da seo transversal do corpo de

prova, percebe-se que o alongamento longitudinal acompanhado de uma contrao transversal. As

deformaes nas duas direes so relacionadas pela equao:

longtrans = (1.4) onde denominado Razo de Poisson. Esta razo constante abaixo do limite de proporcionalidade e, para a maioria dos materiais estruturais, est na faixa de 0.25 a 0.33. A menos que seja conhecido

com mais preciso, o valor normalmente considerado para materiais estruturais 0.3. aumenta gradualmente acima do limite de proporcionalidade, e aproxima-se de 0.5 (em processos

isovolumtricos) para grandes deformaes plsticas:

( ) epsp EE = (1.5) onde e o valor na regio elstica e p o valor na regio plstica (normalmente fixado igual a 0.5).

A Fig. 1-5 mostra as curvas tenso-deformao dos materiais aeronuticos mais comuns. A figura

da esquerda permite a comparao relativa das tenses ltimas e de ruptura, bem como das dutilidades

(capacidade do material para deformao inelstica em trao e cisalhamento sem sofrer ruptura, e

habilidade do material em ser manipulado em processos de fabricao). A figura da direita permite a

comparao relativa dos mdulos de elasticidade, bem como das tenses de escoamento.

(a) Domnio Completo

Fig. 1-5 Curvas Tenso-Deformao de Materiais Aeronuticos

1.3 OS ENSAIOS DE COMPRESSO E CISALHAMENTO Considerando as importncias da segurana e baixo peso da estrutura no projeto estrutural de

veculos aeroespaciais, o engenheiro deve considerar o quadro completo da tenso vs a deformao,

atravs das gamas de trao e compresso. Isto principalmente devido ao fato de que a flambagem,

(b) Pores Iniciais

1.8

tanto primria como local, um tipo comum de falha em estruturas aeroespaciais, e pode ocorrer tanto

no regime elstico quanto na regio plstica. Em geral, a forma da curvas tenso-deformao sob

compresso e trao, fora do estgio inicial linear, so diferentes. Alm disto, os vrios materiais

utilizados na construo de veculos aeroespaciais tm curvas de forma bastante distinta na poro que

se sucede regio linear. Uma vez que o peso estrutural mnimo to importante, esforos tm sido

feitos em projeto no sentido de desenvolver altas tenses admissveis de compresso, e estas tenses

ltimas admissveis esto na regio inelstica em muitos componentes estruturais.

A Fig. 1-6 mostra uma comparao das curvas tenso-deformao em trao e compresso para

Fig. 1-6 Curvas Tenso-Deformao de Ligas de Alumnio em Trao e Compresso

1.9

quatro ligas de alumnio largamente utilizadas na indstria. Abaixo do limite de proporcionalidade, o

mdulo de elasticidade o mesmo sob trao ou compresso. A tenso de escoamento em compresso

determinada da mesma forma como explicado para trao.

A tenso ltima em trao de um componente manufaturado de determinado material no

sensivelmente dependente da forma de sua seo transversal ou de seu comprimento. Por outro lado,

entretanto, a resistncia ltima de um componente sob tenses de compresso amplamente

dependente da forma da seo e comprimento. Qualquer componente, quando submetido a foras

compressivas crescentes, a menos que muito curto e compacto, tende a flambar lateralmente como um

todo ou falhar localmente. Se um membro bastante curto ou com flexo lateral impedida externamente,

confeccionado de materiais como madeira, osso, pedra e alguns metais frgeis, for submetido

compresso, a falha se dar por uma fratura bem definida. Em conseqncia, estes materiais

apresentam um valor definido para a tenso ltima em compresso. A maior parte dos materiais

aeronuticos, entretanto, no apresentam fratura em compresso. Devido a sua dutilidade, o material

escoa e incha, e o crescimento da rea transversal permite a absoro de cargas crescentes. portanto

praticamente impossvel selecionar um valor para a tenso ltima de compresso, sem estabelecer

algum tipo de critrio: para materiais dteis, a tenso ltima em compresso ( Fcu ) considerada

normalmente igual Ftu (tenso ltima em trao). Materiais frgeis relativamente fracos em trao

podem apresentar Fcu obtido em ensaios de laboratrio, maior do que Ftu ; neste caso, o valor adotado

aquele medido em laboratrio.

Embora tenham sido adotados testes padres para a determinao das propriedades em trao e

compresso de metais, no h um padro estabelecido para a medida das propriedades em

cisalhamento. Um procedimento para a obteno destes dados testar um tubo de paredes finas em

toro, como mostrado na Fig. 1-7. Neste caso todas as tenses so nulas, excetuando a tenso

tangencial s , que age tambm nos planos que contm o eixo do tubo. Casos, com este, nos quais

Fig. 1-7 Corpo de Prova para Ensaio de Toro

no h outras componentes de tenso, so denominados de cisalhamento puro. A tenso dada pela

expresso fs = Mt r / Ip , onde Mt o torque aplicado, r o raio medido at o ponto onde a tenso

requerida, e Ip o momento polar de inrcia da seo do tubo. Uma vez que a espessura das paredes

pequena, r essencialmente constante ao longo do tubo. Em conseqncia, as tenses so

1.10

praticamente constantes. As linhas retas, originalmente geradoras da superfcie cilndrica, deformam

helicoidalmente sob a ao do torque, de maneira que o ngulo AOB mostrado na figura distorce para

AOB. A mudana deste ngulo , ento, a deformao de cisalhamento s , que para pequenas deformaes dado por s = L / L . Se este ngulo determinado como funo da tenso de cisalhamento, obtm-se a curva tenso-deformao em cisalhamento. A forma desta curva parecida

com aquela de trao para o mesmo material, e para a maior parte dos materiais aeronuticos

semelhante ao esboo da Fig. 1-3. Como no ensaio em trao, na parte inicial da curva, existe uma

relao linear entre tenses e deformaes. Esta relao pode ser expressa como

Gf s

s = (1.6)

onde G a mdulo de cisalhamento. O mdulo de cisalhamento pode ser escrito em termos do mdulo

de elasticidade atravs da relao:

( ) 12

+=EG (1.7)

1.4 IDEALIZAES DA CURVA TENSO - DEFORMAO.

Como visto nas duas sees precedentes, a curva tenso-deformao experimental de materiais

aeronuticos, tanto para trao uniaxial, quanto para compresso e cisalhamento puro, tem a forma

caracterstica mostrada na Fig. 1-3. Esta curva no est, evidentemente, numa forma adequada para

desenvolvimentos analticos. Seria desejvel poder expressar a relao matematicamente. medida que

cresce a preciso com a qual se aproxima matematicamente a curva, tambm cresce a complexidade do

modelo matemtico. portanto desejvel utilizar um modelo que represente bem o comportamento do

material para a anlise em questo e que seja o mais simples possvel.

Muitas idealizaes tm sido sugeridas na literatura, e a escolha depende do material, da tenso e

do nvel de temperatura requeridos para a anlise. Alguns destes modelos idealizados so mostrados na

Fig. 1-8. Na Fig 1-8a mostrado o comportamento de um corpo rgido, no qual o carregamento no

produz deformaes. evidente que no existe material de tal tipo, mas em muitos casos as

deformaes do corpo tm um efeito desprezvel na anlise. Esta a hiptese que fornece a base para a

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Fig. 1-8 Curvas Tenso-Deformao Idealizadas (a) Rgido; (b) Elstico No-Linear; (c) Elstico Linear; (d) Rgido - Perfeitamente Plstico (e) Rgido - Plstico com Encruamento; (f) Elstico Linear - Perfeitamente Plstico

f

f

f

f

f

f

1.11

Mecnica do Corpo Rgido. O comportamento de um material elstico no-linear, i.e., o material carrega

e descarrega ao longo da mesma curva, representado na Fig. 1-8b . O comportamento do material

elstico linear representado na Fig. 1-8c ; as Eqs. (1.1) e (1.6) descrevem este comportamento,

respectivamente, para trao e cisalhamento.

Idealizaes de materiais que se comportam plasticamente so mostradas nas Figs. 1-8d e 1-8e.

Distintos dos modelos elsticos, nestes casos as deformaes plsticas no so recuperveis. Um

material rgido perfeitamente plstico, no qual no ocorre deformao at que a tenso de escoamento

atingida, aps o que a deformao cresce sem que haja aumento da tenso, mostrado na Fig. 1.8d.

A deformao atingida no carregamento permanece constante ao se descarregar, no havendo um

mnimo de recuperao. Um material rgido plstico com encruamento ilustrado na Fig. 1-8e. Mais

uma vez, tenses abaixo da tenso de escoamento no produzem deformaes, mas agora um aumento

da deformao exige um aumento da tenso. Como no caso anterior, tambm aqui no h qualquer

recuperao de deformao no descarregamento. Os materiais mostrados nas Figs. 1-8f e 1-9 so

elasto-plasticos. Na Fig. 1-8f o material se comporta de uma maneira linear elstica at que seja atingida

a tenso de escoamento, aps o que tem um comportamento plstico perfeito. Quando a carga

aliviada, a deformao elstica recuperada, enquanto que a deformao plstica permanece.

O comportamento do material da Fig. 1-9

elstico linear at que o limite de

proporcionalidade (suposto igual ao limite

elstico) atingido. Acima desta tenso h, em

adio deformao elstica E, uma componente de deformao plstica, com

encruamento, P. A componente de deformao elstica recuperada ao se remover a tenso.

Este modelo descreve o comportamento

uniaxial da maioria dos materiais estruturais

usados em construo aeronutica e pode ser

adequadamente representado por uma funo

analtica de trs parmetros, objeto de estudo

da prxima seo.

1.5 REPRESENTAES DA CURVA TENSODEFORMAO POR FUNES DE TRS PARMETROS.

Com referncia Fig. 1-9, pode-se considerar a deformao dividida em duas componentes: uma

elstica e outra plstica. Em conseqncia, pode-se escrever:

pe += (1.8)

Fig. 1-9 Curva Tenso-Deformao Idealizada

Material Elstico Linear Plstico com Encruamento

fpr

P f

E

1.12

onde a componente elstica igual a f / E . Foi verificado em laboratrio que a componente plstica

pode ser considerada proporcional ao nvel de tenso, elevada a uma potncia que depende do

comportamento do material na regio plstica. Em conseqncia, a Eq. (1.8) pode ser rescrita como n

EfC

Ef

+= (1.9)

Os parmetros E, C e n so as constantes do material a serem determinadas em laboratrio.

Diferenciando a Eq. (1.9) e escrevendo a expresso para df /d , tem-se: ( ) 11

1

+=

n

EfnCE

ddf (1.10)

Quando f = 0 , a Eq. (1.10) fornece d f /d = E . A inclinao da curva na origem, conseqentemente, igual ao mdulo de elasticidade, e est disponvel para qualquer material. C e n poderiam ser

determinados a partir de procedimentos padres de fitting, i.e., mtodos que visam minimizar, em dado

domnio, os erros entre os valores fornecidos pela funo e aqueles obtidos experimentalmente (e.g.,

mnimos quadrados). entretanto usual fazer com que a curva da Eq. (1.9) coincida com a curva

experimental em dois pontos arbitrrios. de se esperar que a curva emprica seja uma boa

representao nas proximidades destes dois pontos e entre os mesmos. Quanto maior o parmetro n ,

melhor ser a representao na regio linear. medida que se afasta do ponto de tenso superior (no

sentido da tenso ltima) no se deve esperar resultados satisfatrios.

Pode-se adimensionalizar a Eq. (1.9) multiplicando-se ambos os lados por E / FRef , onde FRef

uma tenso de referncia. Desta forma, obtm-se:

+=

+=

1

RefRefRefRef1

nn

EfC

Ff

Ef

FCE

Ff

FE

(1.11)

Como trs parmetros so suficientes para definir a funo, C poder sempre ser expresso em

termos de E , FR e n. As distintas funes empricas disponveis na literatura (ou a sua forma de

apresentao) dependem de FR e dos dois pontos de teste escolhidos.

REPRESENTAO DE RAMBERG E OSGOOD (REF. 1.1).

Neste mtodo, os pontos so escolhidos de forma a que as curvas coincidam nos mdulos

secantes Es = F0.7 / = 0.7 E e Es = F0.85 / = 0.85 E , como mostrado na Fig. 1-10. Para a maioria dos materiais aeronuticos foi observado que o ponto com mdulo secante de 0.7E est prximo da tenso

de escoamento com offset igual a 0.2% . A tenso de referncia FRef = F0.7 . As equaes relevantes podem ser facilmente deduzidas em funo dos parmetros E, F0.7 e n:

1.13

Fig. 1-10 Idealizao de Ramberg & Osgood

1

7.073

=n

FEC (1.12)

+=

1

7.07.07.0 731

n

Ff

Ff

FE

(1.13)

( )85.07.0ln717ln1

FFn += (1.14)

( )( ) 17.0731 += nt FfnEE (1.15)

( )( ) 17.0731 += ns FfEE (1.16)

Fig. 1-11 Parmetro de Forma n como funo de F0.7 / F0.85

F0.85

E

0.85E

F0.7

f

0.7E

1.14

A Fig. 1-11 uma representao grfica da Eq. (1.14). As curvas da Eq. (1.13) para diversos

valores de n esto representadas na Fig. 1.12. Curvas dando a dependncia destes parmetros em

relao temperatura para uma ampla gama de materiais podem ser encontradas na Ref. 1.2.

Tabulaes destes parmetros tambm so fornecidas nas Refs. 1.3 e 1.4.

Fig. 1-12 Curvas Adimensionalizadas de Ramberg-Osgood

REPRESENTAO DE HILL (REF. 1.5).

No mtodo de Hill, os pontos nos quais as duas curvas devem coincidir so aqueles da tenses que

correspondem a offsets de 0.1% e 0.2%, respectivamente designados por F0.1 e F0.2, como mostrado na

Fig. 1.13. A tenso de referncia FRef = F0.2 . Em funo dos parmetros E, F0.2 e n, as seguintes equaes podem ser deduzidas:

Fig. 1-13 Idealizao de Hill

F0.1 F0.2

f

0.001 0.002

1.15

'

2.0 002.0

n

FEC

= (1.17)

'

2.0002.0

n

Ff

Ef

+= (1.18)

( )1.02.0log30103.0'

FFn = (1.19)

( )( ) 1'2.02.0'002.01 += nt FfFEnEE (1.20)

( )( ) 1'2.02.0002.01 += ns FfFEEE (1.21)

Os parmetros F0.2 e n foram determinados em funo da temperatura para diversos materiais

estruturais e so dados na Ref. 1.2.

EQUAO GENERALIZADA DE BARRETT E MICHAEL (REF. 1.6).

Enquanto Ramberg & Osgood e Hill definiram como tenso de referncia a maior das tenses de

teste, respectivamente, F0.7 e F0.2 , Barrett e Michael preferiram definir a tenso de referncia

independentemente das tenses de teste. Seja Fn a tenso para a qual a curva emprica [Eq. (1.9)]

fornece d f /d = Et = E / 2 . Da Eq. (1.10), tem-se: ( ) ( ) ( )1111 1 donde, , 1ou ,1

2

==

+=

mn

mn

mn

EF

mC

EF

mCEF

mCEE

Substituindo na Eq. (1.11) e simplificando, tem-se:

m

nnn Ff

mFf

FE

+= 1 (1.22)

que pode tambm ser escrito na forma

+=

111

m

nFf

mEf (1.23)

A Eq. (1.22) est representada na Fig. 1-14 para diversos valores de m (veja Ref. 1.7).

1.16

Fig. 1-14 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael

O mdulo tangente pode ser obtido da derivao e manipulao da Eq. (1.23):

1

11

+=

m

nt F

fEE (1.24)

e pode ser tambm apresentado na forma adimensional

m

nnnnt Ff

Ff

Ff

FEEf

+= (1.25)

As Eqs. (1.24) e (1.25) esto representadas nas Figs. 1-15 e 1-16, respectivamente (veja Ref. 1.7).

O mdulo secante tambm pode ser obtido diretamente da Eq. (1.23):

11

1

+=

m

ns F

fm

EE (1.26)

Das Eqs. (1.24) e (1.25) pode ser derivada uma relao simples entre Es e Et:

111

=

ts E

EmE

E (1.27)

1.17

Fig. 1-16 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael (f / Fn)(E / Et)

Fig. 1-15 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael Et / E

1.18

O coeficiente de Poisson, cuja representao grfica est mostrada na Fig. 1-17 (veja Ref. 1.7), pode ser

obtido substituindo a expresso de Es na Eq. (1.5):

11

1

1

1

+

+

= mn

m

npe

Ff

m

Ff

m

(1.28)

Fig. 1-17 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael -

1.19

O valor de m, a caracterstica do material, pode ser encontrado por procedimentos padres de ajuste de

curvas (e.g., mnimos quadrados), se a curva tenso-deformao inteira conhecida. Entretanto, como

j mencionado, m normalmente determinado obrigando-se a curva analtica a passar por dois pontos

arbitrrios da curva experimental (pontos de teste), pontos estes necessariamente definidos na regio

plstica. Sejam (A, fA) e (B, fB) estes pontos. Substituindo os valores correspondentes a cada um destes pontos na Eq. (1.23), dividindo as duas equaes entre si e rearranjando os termos, obtm-se:

log

log

log

logp

p

=

=

A

B

A

B

A

B

AA

BB

ff

ff

EfEf

m

(1.29)

onde pB e pA so as deformaes plsticas permanentes correspondentes a fB e fA, respectivamente. Conhecido o valor m da caracterstica do material, a tenso de referncia Fn dada por:

1

1

p

11

p

=

= m

B

BB

m

A

AAn Em

ffEm

ffF (1.30)

Dois bacos para a determinao, respectivamente, de m e Fn , pode ser encontrado na Ref. 1.7. Este

baco est reproduzido na Fig. 1-18 (note que na Ref. 1.7 os pontos B e A so designados,

respectivamente, pelos subscritos R e R e as deformaes referidas so aquelas plsticas, e no totais).

Fig. 1-18 bacos para a determinao de m e Fn.

1.20

A preciso dos resultados obtidos das curvas generalizadas depende de quo prximas estiverem

as tenses de teste fA e fB das tenses para as quais se deseja os dados. Maior preciso obtida

quando o valor da tenso para a qual se quer os dados est entre as duas. Isto pode ser observado

pelas simulaes reportadas na Ref. 1.8, para um ao e uma liga de alumnio. Em cada simulao foram

escolhidos trs conjuntos distintos de pontos de teste e as curvas resultantes so comparadas curva

real do material num nico grfico, permitindo uma visualizao da preciso.

A variao no mdulo causa somente pequenas variaes em Fn . Por exemplo, para m = 10 ,

variaes de 20% no mdulo produzem mudanas em Fn de menos de 2 por cento.

1.6 EXEMPLOS

1. Deseja-se determinar a equao de uma Liga Clad de Alumnio cujos dados so fornecidos:

pA = 0.001 m/m; fA = 356 MN/m2 ; pB = 0.002 m/m; fB = 370 MN/m2; E = 68000 MN/m2; e = 0.33 Os pontos de teste fornecidos so identificados como aqueles utilizados no mtodo de Hill, de maneira que a Eq. (1.19) fornece

1897.17356370log

30103.0' ==n

A equao solicitada fornecida pela Eq. (1.18), ou seja, 18

370002.0

68000

+= ff

O problema pode tambm ser resolvido usando a formulao de Barrett-Michael:

039.1356370 ; 2

001.0002.0

p

p ====A

B

A

B

ff

A linha reta entre os pontos 2 e 1.039, respectivamente, nas rguas da esquerda e da direita do primeiro baco da Fig. 1-18, intercepta a rgua central em m = 18. Calculando, agora,

62.6370

68000 x 0020 x 18 == .f

Em

B

B

A reta entre os pontos 6.62 na rgua esquerda e 18 na rgua direita do segundo baco da Fig. 1-18 intercepta a rgua central em Fn / fB = 0.895. Em conseqncia,

331370 x 895.0 ==nF MN/m2 e a equao procurada dada pela Eq. (1.23):

+=

17

3311811

68000ff

1.21

2. Pede-se qual o nvel de tenso f correspondente a uma deformao total = 0.010 para o material do exemplo 1.

Dos resultados do exemplo 1, pode-se escrever:

0010.0370

002.068000

18

=

+ ff

Esta equao pode ser resolvida para f, entre outras, das seguintes formas: Programando-se numa calculadora (cuidado ... verifique os resultados); Traando a curva vs f e identificando o ponto onde esta curva intercepta o valor = 0.010; Utilizando a Fig. 1.12 adequadamente; Por tentativa e erro, calculando a expresso para valores de f e ajustando para menos ou mais,

respectivamente, se o sinal do resultado for positivo ou negativo; Por um mtodo iterativo de relaxao. Seja f(x) = 0 uma equao qualquer. sempre possvel reescrever esta equao na forma x = g(x). Alis, a funo g(x) pode assumir vrias formas alternativas. Por exemplo, no problema em questo, poder-se-ia escrever:

181

18

002.068000

010.0370ou

370002,0010.068000

=

=

f

fff

Multiplicando ambos os lados da equao x = g(x) por (1 ), onde 0 < < 1 um parmetro definido pelo usurio, e rearranjando os termos convenientemente, obtm-se a equao de iterao:

( ) ( ) ( ) ( ) )g(1 1 kkk xxx +=+ , onde k representa o nmero da iterao. Se = 0, a convergncia rpida, mas a possibilidade de divergncia no processo alta. Por outro lado, se prximo de 1, a convergncia poder ser lenta lenta, mas o controle sobre a divergncia muito maior (em alguns casos j tive que usar = 0.999 para obter convergncia!) Usando g( f ) como a primeira das alternativas dispostas acima, utilizando = 0.9 e especificando como ponto inicial f(0) = 370, obtm-se, aps 4 iteraes, f(4) = 386 (com 3 significativos corretos) O valor procurado , ento, f = 386 MN/m2 Resolvendo o problema usando, alternativamente, a metodologia de Barrat-Michael, tem-se

05.2331

68000 x 010.0 ==nFE

Para este valor e interpolando para m = 18, a Fig. 1-14 fornece f / Fn = 1.17. Portanto, f = 387MN/m2

3. Pede-se qual o nvel de tenso f correspondente f / Et = 0.03 , para o material do exemplo 1.

A Eq. (1.20) pode ser escrita como

17

1'

2.02.0

37037068000 x 18 x 002.01

68000 x 03.0ou 03.0'002.01

+==

+

=

ff

EF

fFEn

fEf

n

t

1.22

Esta equao poderia ser resolvida numa calculadora ou atravs do mtodo de relaxao explicado no exemplo 2. Aqui, entretanto, o problema ser resolvido fazendo uso das curvas generalizadas. Usando os valores calculados no exemplo 1., calcula-se:

16.6331

68000 x 03.0 ==nt F

EEf

Usando este valor e interpolando para m = 18 na Fig. 1-16, obtm-se, f / Fn = 1.09. Portanto,

f = 1.09 x 331 = 361 MN/m2

4. Pede-se Et e correspondentes tenso f = 320 MN/m2 , para o material do exemplo 1. As Eqs. (1.20), (1.21) e (1.5) (com p = 0.5 suposto processo iso-volumtrico) fornecem

217 MN/m 43570

370320

37068000 18 x 002.01

68000 =

+=tE

217 MN/m 65946

370320

37068000 002.01

68000 =

+=sE

( ) 335.033.05.068000659465.0 ==

Utilizando as curvas generalizadas, a soluo seria:

967.0331320 ==

nFf

Usando este valor e interpolando para m = 18 na Fig. 1-16 fornece 51.1=nt F

EEf

, de modo que

2MN/m 43500 331 x 1.51

68000 x 320 ==tE Para f / Fn = 0.967 e e = 0.33, interpolando para m = 18 na Fig 1-17, obtm-se = 0.335

1.7 EXERCCIOS

1.1 Derive as equaes relevantes do mtodo de Ramberg-Osgood

+=

1

7.07.07.0 731

n

Ff

Ff

FE

( )85.07.0ln717ln1

FFn += ( )( ) 17.0731 += nt Ffn

EE

1.2 Derive as equaes relevantes do mtodo de Hill '

2.0

002.0n

Ff

Ef

+= ( )1.02.0log

30103.0'FF

n = ( )( ) 1'2.02.0'002.01 += nt FfFEnEE

1.23

1.3 Ache as equaes que relacionam a tenso de referncia de Barrett-Michael, Fn, com os parmetros de Ramberg-Osgood e Hill, ou seja, ache

a) ( )nEFFn ,,funo 7.0= b) ( )',,funo 2.0 nEFFn =

1.4

A figura mostra as curvas tenso-deformao

em compresso de uma placa de ao inox 17-7

PH.

a) Determine os parmetros de Ramberg-

Osgood deste material a uma temperatura de

800oF.

b) Utilizando a representao de Ramberg-

Osgood, determine o mdulo tangente deste

material a uma temperatura de 800oF e tenso

de 130ksi.

c) Compare o resultado do item b) com o

mdulo tangente real do material na mesma

temperatura e tenso (construo grfica).

1.5 A tenso crtica de placas dada por ( )2

2112

=2

btEkF

ecr

, onde

(elstico) cr

cr

FF= um fator de

correo de plasticidade, ( )2

2(elstico) 112

=2

btEkF

ecr

a tenso crtica elstica, k o coeficiente de

flambagem que depende do carregamento, condies de apoio e alongamento da placa (comprimento/largura), t e b, respectivamente a espessura e largura da placa e e, o coeficiente de Poisson no regime elstico. A expresso para a tenso crtica aplicvel para todos os nveis de tenso uma vez que = 1 na regio linearmente elstica. A expresso da carga crtica pode ser escrita na forma EF crcr = , com ( )

2

2112

=2

btk

ecr

, e

para materiais representados pelo modelo de Ramberg-Osgood, como 7.07.0 FE

FF crcr = .

Para placas longas, simplesmente apoiadas nos quatro bordos, a expresso para dada por:

( )ess

tse

EE

EE

EE

=

++

= 5.05.0 onde , 43

41

21

21

11 2

1

2

2

.

Nestas condies, ache a tenso crtica de uma placa manufaturada de liga Clad Al 2024-T81 e carregada num ambiente de 300oF tal que crE / F0.7 = 1. Dados para chapa Clad Al 2024-T81 a 300oF: E = 10300 ksi, n = 10, F0.7 = 51.2 ksi

1.24

1.8 REFERNCIAS

1.1 Ramberg, W. and Osgood, W. R.: Description of Stress-Strain Curves by Three Parameters, NACA Tech. Note 902, July, 1943.

1.2 Rivello, R. M.: Ramberg-Osgood and Hill Parameters of Aircraft Structural Materials at Elevated Temperatures, Univ. Maryland Dept. Aeron. Rept. 60-1, March, 1960.

1.3 Cozzone, F. P. and Melcon, M. A.: Nondimensional Buckling Curves: Their Development and Application, J. Aeron. Sci., 13(10): 511-517, October, 1946.

1.4 Bruhn, E. F.: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures, Tri-state Offset Co., Cincinnati, Ohio, 1965.

1.5 Hill, H. W.: Determination of Stress-Strain Relations from Offset Yield Stregth Values, Naca Tech. Note 927, 1944.

1.6 Barrett, A. J. and Michael, M. E.: Generalised Stress-Strain Data for Aluminium Alloys and Certain other Materials, J. Royal Aeronaut. Soc., 59(539): 152-158, February, 1955.

1.7 ESDU, Generalisation of Smooth Continuous Stress-Strain Curves for Metallic Materials, ESDU Data Item no. 76016, August, 1976.

1.8 ESDU, Construction of Inelastic Stress-Strain Curves from Minimal Materials Data, ESDU Data Item no. 89052, December, 1989.