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Capítulo 5- Estabilidade

Cap 5 – Estabilidade

Maria Isabel Ribeiro

António Pascoal

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

INTRODUÇÃO AO CONTROLO1º semestre – 2011/2012


Objectivo e Sumário

Estabilidade de SLITs no sentido BIBO

o Definição

o Exemplos motivadores

o A estabilidade e a localização dos pólos

Critério de Routh-Hurwitz

Exemplos

Referênciaso Cap.3 (Secção 3.7) – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição

(referência principal)


Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua)

Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua

1)(s

1

(s)E

(s)Ω

a

m

1)(s

1

Wm(s)Ea(s)

Dinâmica da velocidade angular

Wm(s)

1

1

s+_

kEa(s)

R(s)

Esquema proposto de controlo

)k(1s

k

R(s)

(s)ΩG(s) m

Como é a resposta a uma entrada

de comando escalão unitário ?



)k(1s

k

R(s)

(s)ΩG(s) m

Como é a resposta a uma entrada

de comando escalão unitário ?

s

1

)k(1s

kR(s)

)k(1s

k(s)Ωm

)k(1s

1

)k(1

k

s

1

)k(1

k(s)Ωm

)tk(1e)k(1

k

)k(1

kω(t)

para 0t

Resposta forçada

Resposta natural

Transforma de Laplace unilateral inversa



)tk(1e)k(1

k

)k(1

kω(t)

Escolha do ganho k do controlador

A) k = 2 B) k = -2

3te3

2

3

2ω(t) t2e2ω(t)

3s

2G(s)

Resposta natural tende para zero

- sistema estável -

Polo em –3 rads-1 (negativo) 1s

2G(s)

Resposta natural tende para infinito

- sistema instável -

Polo em +1 rads-1

(positivo)

Resposta natural + resposta forçada

Resposta natural + resposta forçada


Estabilidade BIBO

• BI = Bounded Input• BO = Bounded Output• Sistema BIBO estável

– sse para qualquer entrada limitada, a saída é um sinal limitado


Estabilidade BIBO

Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs)

d(s)

n(s)G(s) Localização dos pólos de G(s)

determinam o comportamento qualitativo da resposta natural

)(sGU(s) Y(s)

Y(s)

Transformada inversa de Laplace

(t)y(t)yy(t) naturalforçado

Pólos de G(s) com parte real negativa

Resposta natural tende para zero

limitado y(t)

Pólos de G(s) com parte real positiva

Resposta natural explode

ilimitado y(t)

ESTABILIDADE INSTABILIDADE

Considera-se u(t) limitado

Pergunta: A resposta natural é limitada (BO=Bounded Output)?


Estabilidade BIBO

Pólos de G(s)

com parte real = 0

Multiplicidade 1

Resposta natural exibe

termo constante (polo real)

ou

oscilatório (par de pólos complexos conjugados)

Multiplicidade superior a 1

Resposta natural

explode

Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs)

d(s)

n(s)G(s)

INSTABILIDADEESTABILIDADE MARGINAL


Sistema BIBO estável

RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO

SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA

SAÍDA

PÓLOS DE G(s) COM PARTE REAL NEGATIVA

SISTEMA ESTÁVEL

SISTEMA ESTÁVEL


Sistema BIBO instável

RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA)

SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA

SAÍDA

• PELO MENOS UM PÓLO G(s) COM PARTE REAL POSITIVA, OU

• PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM

SISTEMA INSTÁVEL

SISTEMA INSTÁVEL


Sistema BIBO marginalmente estável

RESPOSTA NATURAL

• EXIBE TERMO CONSTANTE, OU

• É OSCILATÓRIA (com oscilações de amplitude constante)

HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA • QUE PRODUZEM SINAIS

ILIMITADOS NA SAÍDA

HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA • QUE PRODUZEM SINAIS

LIMITADOS NA SAÍDA

• G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE 1 E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD

SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL

SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL


Respostas naturais: exemplos

Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário


Estabilidade BIBO

• Como estudar a estabilidade BIBO dos sistemas– Determinar a localização dos pólos

• Factorizar o polinómio denominador da F.T.– Pode não ser fácil para ordens elevadas– Usar Matlab

• É preciso saber a localização exacta dos pólos?• Ou basta saber se há polos no spcd ou sobre o

eixo imaginário?• Critério de Routh-Hurwitz

– Permite concluir sobre a establidade BIBO sem factorizar o polinómio denominador de G(s)


Estabilidade BIBO

44ss2s3s4ss

N(s)

D(s)

N(s)G(s)

23456

Caracterizar a estabilidade do SLIT com FT G(s)

Código matlab

>> d=[1 4 3 2 1 4 4];>> p=roots(d)

p =

-3.2644 0.6797 + 0.7488i 0.6797 - 0.7488i -0.6046 + 0.9935i -0.6046 - 0.9935i -0.8858

SLIT instável2 pólos no spcd


Estabilidade BIBO (sistema de 1ª ordem)

Wm(s)1

1

s+_

kEa(s)

R(s)

)k(1s

k

R(s)

(s)ΩG(s) m

Exemplo sistema de 1ª ordem: Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua

Pólo = p= -(1+k)

1k 0k1 0p

Sistema estável sse

Para k>-1, os coeficientes do polinómio denominador são positivos.

Num sistema de primeira ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos



Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

a)(s

K

s

1

Integrador(posição angular é o integral da velocidade angular)

Wm(s)Ea(s)

Dinâmica da velocidade angular

Qm(s)

KKsas

KK

R(s)

(s)ΘG(s)

2m

+_

KR(s)

2 pólos

Hipóteses possíveis

2 pólos reais

2 pólos complexos conjugados



Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua

KKsas

KK

R(s)

(s)ΘG(s)

2m

2 pólos

Hipóteses possíveis

2 pólos reais 21212

21 pp)sp(ps)p)(sp(s

2 pólos complexos conjugados

Num sistema de segunda ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos

21 p,ppólos

jbajb,apólos

0pp0,pp0p0,p 212121 0pp0p0,p 2121

222 ba2assjb)ajb)(sa(s

02a0a 0ba 22

NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES


Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz

d(s)

n(s)G(s)

ESTABILIDADE: G(s) é estável sse todos os pólos tiverem parte real negativa.

CONDIÇÃO NECESSÁRIA: os coeficientes do polinómio denominador devem ter todos o mesmo sinal

NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE!

Se os coeficientes do polinómio denominador• tiverem todos o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos) e

estiverem todos presentesÉ preciso fazer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE

CRITÉRIO DE HURWITZ– uma condição necessária (mas não suficiente) de estabilidade BIBO de um SLIT causal é que todos os coeficientes do polinómio denominador da FT sejam positivos (ou tenham o mesmo sinal)


Estabilidade. Critério de Hurwitz: exemplos

2038s48s59s39s22s12sss

1G(s)

2345678

14s5s3ss

5sG(s)

234

4s5s3ss

5sG(s)

234

• Os coeficientes não têm todos o mesmo sinal.

• Sistema não estável

• Há um coeficiente que é nulo.• O sistema não é estável• Pode ser instável ou marginalmente estável

• Os coeficientes têm todos o mesmo sinal

• Só pelo critério de Hurwitz não é possível tirar conclusões sobre estabilidade



01234

4 23 asasasasa

snsG

)()(

G(s)U(s)

Y(s)

4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01aTABELA INICIAL

Construção da tabela de Routh

As duas primeiras linhas são construídas a partir dos coeficientes do polinómio denominador de G(s)



4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01aTABELA DE ROUTH COMPLETADA

13

13

24

ba

aa

aa

23

3

04

0b

a

a

aa

00

0

3

3

4

a

a

a

11

21

13

cb

bb

aa

00

0

1

1

3

b

b

a

00

0

1

1

3

b

b

a

11

1

21

0d

c

c

bb

00

0

1

1

1

c

c

b

00

0

1

1

1

c

c

b

Construção da matriz de Routh



CRITÉRIO DE ROUTH

4s

3s

2s

1s

0s

4a 2a 0a

3a 01a

13

13

24

ba

aa

aa

23

3

04

0b

a

a

aa

00

0

3

3

4

a

a

a

11

21

13

cb

bb

aa

00

0

1

1

3

b

b

a

00

0

1

1

3

b

b

a

11

1

21

0d

c

c

bb

00

0

1

1

1

c

c

b

00

0

1

1

1

c

c

b

O número de pólos no semiplano complexo direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh.

Um SLIT é estável sse todos os elementos da coluna pivot da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal (*)

(*) e, na construção da matriz de Routh, não tiver havido zeros na coluna pivot


Critério de Routh-Hurwitz: Exemplo

+_

R(s))5)(3)(2(

1000

sss

C(s)1030)31s10s(s

1000

R(s)

C(s)23

2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela

2 pólos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL

3s

2s

1s

0s

1 31 0

100

1030

721

1031

311

01

01

01

01

01

01

10372

072

1031

0

72

072

01

1 103

072

072

01

• Todos os coeficientes positivos• Critério de Hurwitz não permite

concluir sobre establiade

Critério de Routh

Na construção da tabela de Routh podemos simplificar os cálculos multiplicando todos os elementos de uma linha por uma constante positiva


Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais

3)5s6s3s2s(s

102345

Zeros só na primeira coluna.

5s

4s

3s

2s

1s

1 3 5

2 36

02

70

0s

76 3

1412

64942 2

0

0 0

3 0 0



3)5s6s3s2s(s

102345

Um zero só na primeira coluna da tabela de Routh

EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA1

2 mudanças de sinal

2 pólos no semiplano complexo direito

SISTEMA INSTÁVEL

5s

4s

3s

2s

1s

1

2

0

76

1412

64942 2

0s

3



3s

2s

1s

0s

1 1 0

2 2 0

0 0 0

Uma linha de zeros na tabela de Routh2s2ss

1

D(s)

N(s)G(s)

23

•Aplicação do Critério de Hurwitzo Sistema não estável

• Será marginalmente estável ou instável ?• A tabela de Routh permite responder a essa pergunta

Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário



Uma linha de zeros na tabela de Routh2s2ss

1

D(s)

N(s)G(s)

23

Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário>> d=[1 2 -1 -2];

>> p=roots(d)

p =

1.0000 -2.0000 -1.0000

Código Matlab



•1 mudança de sinal na coluna pivot•1 polo no semiplano complexo direito •SISTEMA INSTÁVEL

3s

2s

1s

0s

1 1 0

2 2 0

0 0 0

Uma linha de zeros na tabela de Routh

22sQ(s) 2

As raízes deste polinómio estão simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

As raízes deste polinómio são pólos de G(s)

Polinómio auxiliar 4sds

2)d(2s

ds

dQ(s) 2

2 0

4 00


Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

2038s48s59s39s22s12sss

12345678

06s4sds

dQ(s) 3

23ssQ(s) 24 4s3s2s1s0s

5s

6s

7s

8s 1 12 39 48 20

1 22 59 38 0

10 20 10 2001 2 1 2

20 60 400 01 3 2

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

2

3 23 4 0 0 0

3

10 0 0 0

4 0 0 0 0



4s3s2s1s0s

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

2

3 23 4 0 0 0

3

10 0 0 0

4 0 0 0 0

• O comportamento da tabela de Routh depois da linha correspondente ao polinómio auxiliar Q(s) é resultado dos zeros desse polinómio auxiliar

• Na coluna pivot, depois do polinómio auxiliar, não há trocas de sinal

Por simetria, o polinómio auxiliar Q(s) não tem raízes no SPCE

O polinómio auxiliar não tem raízes no semi-plano complexo direito (SPCD)

Q(s) tem 4 raízes no eixo imaginário

>> q=[1 0 3 0 2];>> r=roots(q)

r =

0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i



2038s48s59s39s22s12sss

12345678

4s3s2s1s0s

5s

6s

7s

8s 1 12 39 48 20

1 22 59 38 0

10 20 10 2001 2 1 2

20 60 400 01 3 2

1 3 2 0 0

0 0 0 0 04 6 02 3 0

2

3 23 4 0 0 0

3

10 0 0 0

4 0 0 0 0

Análise das outras raizes – linhas 58 ss

Duas trocas de sinal

• 2 pólos no SPCD• 2pólos no SPCE

Do polinómio auxiliar• 2 pares de pólos sobre

o eixo imaginário

SISTEMA INSTÁVEL



)(si +_ )1(

1

s)100(

1

ss

sK

)(so

Sistema a ControlarControlador

Objectivo:Fazer análise de Estabilidade como função de K

)(si +_ 1)100)(ss(s

1)K(s

)(so

K100)s(K99ss

1)K(s23

Controlo de um sistema instável em malha aberta

Função de Transferência em Cadeia Fechada



Condição de estabilidade:

K100)s(k99ss

1)K(s23

3s

2s

1s

0s

1 100K

K

100(98/99)K 0

99

K 0

0100(98/99)K0;K

101.0204K

Sistema Estável

(é preciso ganho elevado para estabilizar o sistema instável!)

0100K99

98 Para



2)1)(s(s

1

K

s

KI

R(s)+_

+

+

Y(s)

Sistema a ControlarControlador PI (Proporcional Integral)

2)1)(s(s

1

R(s)+_

Y(s)

s

KK I

I23

I

KK)s(23ss

KKs

R(s)

Y(s)

Que valores de K e KI garantem que o sistema em cadeia fechada é estável?

Controlador PI (Proporcional Integral)



I23

I

KK)s(23ss

KKs

R(s)

Y(s)

s3 1 2+K

s2 3 KI

s1 0

s0 KI

3

KK2 I

0K3

KK2

I

I

0

0K3

KK

I

I

2

Condições necessárias e suficientes de estabilidade

IK

K

03

KK2 I

-2



5K10,K I

1K1,K I

0K1,K I

Resposta a entrada escalão do sistema em cadeia fechada

•KI=0•Controlador P (proporcional)•Erro estático é não nulo

• Ambos têm erro estático nulo

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