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ÍNDICE

1. Números inteiros: operações e propriedades.

2. Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e

propriedades.

3. Mínimo múltiplo comum.

4. Razão e proporção.

5. Porcentagem.

6. Regra de três simples.

7. Média aritmética simples.

8. Equação do 1º grau.

9. Sistema de equações do 1º grau.

10. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e

capacidade.

11. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos.

12. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de

Pitágoras.

13. Raciocínio lógico.

14. Resolução de situações-problema.

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1. Números inteiros: operações e propriedades.

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o

conjunto dos números não positivos e o zero. É representado pela letra Z.

Este conjunto pode ser escrito:

Vale lembrar que o zero é um número neutro, nulo, isto é, não é negativo nem positivo.

Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta numérica, conforme mostra o gráfico

abaixo:

Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}

Todo número natural é inteiro, dizemos que o conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0} – (Todos os números inteiros menos o zero)

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0}

Z*+ = conjunto dos números inteiros positivos = {1,2,3,4,5,...}

Z*_ = conjunto dos números inteiros negativos = {...,-5,-4,-3,-2,-1}

Observe que Z+=IN.

- 3 < - 2, (lê-se: menos três é menor que menos dois);

- 1 > - 2, (lê-se: menos um é maior que menos dois);

- 4 < - 1, (lê-se: menos quatro é menor que menos um);

2 > - 2, (lê-se: dois é maior que menos dois);

- 1 < 1, (lê-se: menos um é menor que um);

2 > - 2, (lê-se: dois é maior que menos dois);

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Por convenção na reta numérica os números são associados em ordem

crescente, da esquerda para direita.

· Um número é menor que qualquer outro representado a sua direita.

· Um número é maior que qualquer outro representado a sua esquerda.

Módulo de um número inteiro e a distancia da representação do numero na reta

ate o zero. Indica-se o modulo de um numero pelo símbolo | |.

|-2| = 2 , (lê-se: módulo de – 2 é 2 )

|2| = 2 , (lê-se: módulo de 2 é 2 ).

– 2 e 2 são números diferentes, mas possuem o mesmo módulo, porque estão a

mesma distância do zero. Eles são chamados simétricos ou opostos.

VALOR ABSOLUTO = MÓDULO

RESUMINDO

O valor absoluto de um número positivo é o próprio número.

O valor absoluto de um número negativo é o próprio número sem sinal

O valor absoluto de zero é zero.

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• Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. • Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior em módulo.

1.1 Operações com números inteiros (Z)

Exemplo:

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• Caso apareça um sinal negativo antes de parênteses, o sinal do número que está dentro de parênteses troca. (+ 9) – (– 11) = 9 + 11 = 20

(+ 9) – (+ 11) = 9 – 11 = – 2

• Caso apareça um sinal positivo antes de parênteses, o sinal do número que está dentro de parênteses permanecerá o mesmo, pois o sinal positivo antes de parênteses não interfere em nada.

(+ 9) + (– 11) = 9 – 11 = – 2

(+ 9) + (+ 11) = 9 + 11 = 20

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* Há também na divisão um termo chamado de RESTO(r). Isto só acontece quando a divisão

não é exata

Exemplo:

5 2

- 4 2

1

O número ‘‘1’’ é o resto(r). Assim podemos criar a seguinte fórmula, seguindo o quadro

acima:

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* Toda base negativa que não está entre parênteses elevada a zero traz como resultado -1.

Porque quem está elevado é, somente, o número sem o sinal.

Exemplo:

* Diferentemente de uma base negativa entre parênteses que traz como resultado 1.

Exemplo:

* Esta regra vale para qualquer número

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2. Números racionais, representação fracionária e decimal:

operações e propriedades.

Por definição, número racional é todo número que pode ser expresso como quociente de dois inteiros,

isto é,

E como vimos é representado pela letra Q. O uso da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que

significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Os números 4; -3; 5; 3; 32; - 0.16; 1,2333..., por exemplo, são racionais. Note que todo número inteiro

é racional, isto é, Z Q.

Os números racionais podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na

forma i, d onde i é a parte inteira e d a parte decimal.

É interessante considerar a representação decimal de um número racional

, que se obtém dividindo-

se a por b:

Esses exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.

Esses exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.

Então se conclui que toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número

racional.

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Observamos no gráfico que:

entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro;

entre dois racionais sempre existe outro racional.

Exemplos:

Entre 1 e

existe

.

Entre

e

existe

.

O conjunto dos números racionais é denso, mas isso não significa que preencha todos os pontos da

reta.

Todo número natural é racional.

Todo número inteiro é racional.

N Q e Z Q

- Escreva na forma a / b o número racional = 1,25252525...

- Chamamos tal número de r = 1,252525...

- E então, multiplicamos ambos os membros por 100, teremos:

100.r = 100 . 1,252525...

100r = 125,252525...

- Feito isso, comparamos as igualdades. E depois subtrairemos a maior da menor igualdade.

100r = 125,252525...

- r = 1,252525...

99r = 124

r = 124

99

1

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- Escreva na forma a / b o número racional = 2,03535353...

- Chamamos tal número de r = 2,03535353...

- E então, multiplicamos ambos os membros por 10, teremos:

10.r = 2,03535353...

10r = 20,353535...

- Multiplicaremos o esse resultado dado acima por 100, sabendo que multiplicaremos os dois

membros:

10r = 20,353535...

100 . 10r = 100 . 20,353535...

1000r = 2035,353535...

- Feito isso, comparamos as igualdades. E depois subtrairemos a maior da menor igualdade.

1000r = 2035,353535...

- 10 r = 20,353535...

990r = 2015

r = 2015

990

Quando o número racional está representado na forma a / b onde a e b são inteiros, com b

não nulo, costumamos denominar a de numerador e b de denominador, sendo o número a / b

conhecido como fração ordinária.

2

Q* = Q-{0} – (Todos os números racionais menos o zero)

Q+ = conjunto dos racionais não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Q_ = conjunto dos racionais não positivos = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0}

Q*+ = conjunto dos números racionais positivos = {1,2,3,4,5,...}

Q*_ = conjunto dos números racionais negativos = {...,-5,-4,-3,-2,-1}

Propriedade fundamental das frações:

Uma fração ordinária não se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um

mesmo número diferente de zero.

Assim é que:

a / b = a . n / b . n; para n diferente de zero.

Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ... , etc.

Notas:

1 – Se o denominador de uma fração ordinária for igual a 10 (ou a uma potencia de dez), ela é

conhecida como fração decimal.

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Exemplos: 3 / 10; 625 / 1000.

2 – Um número racional da forma a / 100 é conhecido como porcentagem e indicado

simbolicamente por a %.

Exemplos:

a) 25 / 100 = 25 %

b) 75 / 100 = 75 %

c) 1 / 100 = 1 %

Usando uma terminologia comumente aceita, se a < b, dizemos que a fração é própria e se a > b ,

dizemos que a fração é imprópria. Se a for um múltiplo de b, a fração a / b será um número

inteiro e a fração é dita aparente.

Assim, por exemplo, 5 / 7 é uma fração própria, 9 / 5 é uma fração imprópria e 10 / 5 = 2 é uma

fração aparente. Saliente-se que se trata apenas de uma terminologia consagrada pelo uso, sem

nenhum sentido prático e, eu diria, talvez até inútil.

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Observações importantes:

1) Um número tem infinitos múltiplos

2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

3. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.).

Em aritmética e em teoria dos números o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois inteiros a e b é o

menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo,

por exemplo, se a = 0 ou b = 0, então m.m.c. (a, b) é zero por definição.

3.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.

24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:

7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

3.2 CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do

m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos

2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:

12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 = 60

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

3.3 PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a

figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses

números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

3.4 PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o

m.m.c.(3,6,30). Observe:

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m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de

4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

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4. Razão e proporção.

Razão e Proporção são conceitos diretamente relacionados à grandeza.

4.1 Grandeza:

– É uma relação numérica estabelecida com um objeto

– É tudo que se pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

– Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães,

entre outros, são grandezas.

4.1.1 Grandezas Diretamente Proporcionais

Se A e B duas grandezas diretamente proporcionais, existe uma constante real k, chamada constante

de proporcionalidade, de modo que:

Exemplo1: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02

y”.

Exemplo2: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20

borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

4.1.1 Grandezas Indiretamente (ou inversamente) Proporcionais

Se duas grandezas – A e B – são indiretamente proporcionais, os números que expressam essas

grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante real k, tal que:

Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando,

aumentando o valor de uma delas, o valor da outra também

aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo o valor de uma

delas, o valor da outra também diminui na mesma proporção.

Duas grandezas são ditas indiretamente proporcionais

quando, aumentando o valor de uma delas, o valor da outra

diminui na mesma proporção, ou, diminuindo o valor de uma

delas, o valor da outra aumenta na mesma proporção.

𝐀

𝐁 𝒌

𝐀𝟏

𝐁

𝒌 →𝑨

𝟏 .𝑩

𝟏 𝒌 𝐀 .𝐁 𝒌

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Exemplo1: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este

mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

4.2 Razão

Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b

o quociente do primeiro pelo segundo:

ou a : b .

Quando escrevemos uma razão na forma fracionária ou na forma de divisão, o primeiro número

denomina-se antecedente e o segundo número, consequente.

– É a divisão ou relação entre duas grandezas

Razões inversas

Considere as razões

e

.

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,

x

= 1.

OBS.:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

– Exemplo: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de

meninos e o número de meninas?

42.1 As razões escritas na forma percentual

Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também pode ser representada na forma

percentual, com o símbolo %.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

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Podemos dizer que:

Assim, temos:

4.3 Proporção

Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão

entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.

Na proporção

a e d são os extremos

b e c são os meios

– É a igualdade entre razões

– Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de combustível, então para 26 km preciso de 2L, para 39

km preciso de 3L e assim por diante:

– Logo R1=R2

4.3.1 Propriedade fundamental das proporções

Toda razão 𝐚

𝒃 , na qual b = 100, pode ser escrita na forma de porcentagem.

𝑎 ∶ 𝑏 𝑐 ∶ 𝑑 𝑜𝑢 a

𝑏 𝑐

𝑑

𝑎 𝑥 𝑑 𝑏 𝑥 𝑐

De um modo geral, em toda proporção, o produto dos

extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.

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43.2 Outras propriedades das proporções

Vamos estudar duas propriedades das proporções que são bastante utilizadas na resolução de

problemas.

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5. Porcentagem.

Definição

PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado

em 100 unidades.

O quociente

100 é representado por x% e lido “x por cento”.

Dados dois números a e b, com b 0, diz-se que a representa x% de b se:

Exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%

Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans

Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

Aumentos Percentuais

De modo geral:

Sendo Vi o valor inicial e Vf o valor ao final de um aumento de x%, temos:

Vf = Vi +

100 . Vi => Vf = (1 +

100 ) . Vi

Sendo Vi o valor inicial e Vf o valor ao final de um desconto de x%, temos:

Vf = Vi

100 . Vi => Vf = (1

100 ) . Vi

x

1 𝑎

𝑏

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Vn = (1

100 n . Vi

Vn = (1

100 n . Vi

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6. Regra de três simples.

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos

quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na

mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia

solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a

energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na

1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

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2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3

horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são

inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima)

na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

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4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término

(dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

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7. Média Aritmética Simples.

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais

utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende

seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada

somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é

igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Exemplos:

1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7.

Observe o que foi feito, somamos os quatro números e dividimos pela quantidade de números.

2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerais, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes

resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a média de gols marcados nestes amistosos?

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8. Equação do 1º grau.

Exemplo:

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Em , é o conjunto formado pelas raízes da equação.

No exemplo anterior, 2x – 10 = 0, o conjunto solução é S = {4}

Para resolvermos problemas que envolvam equações do 1° grau, é importante interpretarmos o

enunciado.

Acompanhe algumas interpretações para enunciados e suas respectivas expressões matemáticas.

Linguagem Usual Linguagem Matemática

Um número x A sexta parte desse número

O dobro desse número 2x A metade desse número “mais”

sua terça parte

Esse número acrescido de 5

unidades x + 5

Esse número acrescido de 20% x +

x

O quadrado desse número

acrescido de seu dobro “mais”

uma unidade

x2 + (2x + 1)

Chama-se equação do primeiro grau, na incógnita x, toda sentença que pode ser

representada sob a forma:

ax + b = 0

em que a e b são números reais, com a ≠ 0.

Raízes (ou zeros) da equação são valores que, atribuídos à incógnita, tornam a

sentença verdadeira.

Resolver uma equação significa encontrar seu conjunto solução.

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9. Sistema de equações do 1º grau.

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0, os valores

de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa

relação é chamada de sistema.

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com

duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua

solução.

Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

- Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na

outra equação, veja como:

Dado o sistema , enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20

x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72

3 (20 – y) + 4y = 72

60-3y + 4y = 72

-3y + 4y = 72 – 60

y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y.

x = 20 – y

x = 20 – 12

x = 8

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Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)

- Método da adição

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja

zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas

uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a

primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações:

- 3x – 3y = - 60

+ 3x + 4y = 72

y = 12

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y

encontrado:

x + y = 20

x + 12 = 20

x = 20 – 12

x = 8

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).

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10. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e

capacidade.

Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em concursos públicos e por

isto é mais um dos assuntos tratados em nosso site.

Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como referência,

grandeza esta chamada de unidade padrão.

As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequência são o grama, o

litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico.

Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo, a

medição de tempo, de temperatura ou de ângulo.

Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou muito

pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama geralmente é uma

unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral utilizamos o quilograma, assim como em

geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, quando o assunto é bebidas por exemplo.

Múltiplos e Submúltiplos

Os múltiplos e submúltiplos mais frequentemente utilizados estão expostos na tabela a seguir:

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Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na verdade

estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente é chamado de

capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro.

Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida utilizada

nesta medição seria o metro cúbico.

Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. Áreas são

medidas em metros quadrados.

Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta medição a unidade de

medida utilizada será o metro ou metro linear.

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Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será pesado para

medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama.

Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus múltiplos e

submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - SI:

Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator multiplicador

(10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que apontam para a esquerda

indicam uma divisão também pelo fator.

A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada multiplicando-se

ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo da unidade original estar à esquerda ou à

direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o número de níveis de uma

unidade a outra.

Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l.

Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm

3, temos que 1 dm

3 equivale a 1 l.

Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml.

1.000 dm3 equivalem a 1 m

3, portanto 1 m

3 é equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl.

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Vamos entender o que é uma medida de comprimento analisando

o cubo ao lado.

Caso você não saiba ou não se lembre, as arestas de um cubo são

as linhas originadas pelo encontro de suas faces.

Nosso cubo em estudo possui doze arestas, sendo onze pretas e

uma vermelha.

Como todas as seis faces de um cubo são formadas por

quadrados iguais, todas as suas arestas possuem o mesmo tamanho.

Pela figura identificamos que a aresta vermelha, e também as demais, já que são todas iguais, tem

uma medida linear de 5 cm. Esta é a medida do seu comprimento.

Já que a aresta vermelha esta na posição vertical, podemos utilizá-la para medir a altura do cubo, ou

seja, ele mede 5 cm de altura.

Utilizamos medidas de comprimento para a medição de alturas, larguras, profundidades. Como você

pode notar, todos estes exemplos tem apenas uma dimensão. A aresta do cubo só tem uma dimensão,

você tem como medir o seu comprimento, mas não a sua espessura, por exemplo.

Comprimentos são extensões unidimensionais.

Agora o nosso cubo tem a sua face frontal em rosa.

Qual é a superfície desta face?

Quando falamos em superfície estamos falando em

área.

Áreas são extensões bidimensionais, pois como

podemos ver na figura, a face que estamos analisando

possui uma altura de 5 cm e uma base, que por se tratar

de um cubo, com a mesma medida.

Diferentemente da aresta que possui apenas uma

dimensão, o seu comprimento, a área das faces possui duas dimensões, altura e base, por exemplo.

Como este cubo tem uma aresta de 5 cm, a área das suas faces será igual a 5 cm . 5 cm que é igual a

(5 cm)2, igual a 5

2 cm

2, ou seja, 25 cm

2.

O expoente 2 do cm2 indica que esta é uma unidade de medida com duas dimensões, portanto não é

uma unidade de medida linear que possui apenas uma dimensão.

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Agora cubo está todo em rosa.

Qual é o volume deste cubo?

O volume é o espaço ocupado por um sólido.

Normalmente para líquidos utilizamos o termo

capacidade.

Nosso cubo possui altura, largura e

profundidade, portanto, possui três dimensões.

Volumes são extensões tridimensionais. O volume do nosso cubo é obtido através do produto

5 cm . 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)3, igual a 5

3 cm

3 que resulta em 125 cm

3.

O expoente 3 do cm3 nos diz que esta é uma unidade de medida com três dimensões, portanto não é

uma unidade de medida linear que só possui uma dimensão, nem bidimensional que só possui duas.

Como unidades de capacidade também são unidades de volume, podemos estabelecer relações como,

por exemplo, 1 cm3 equivale a 1 ml, o que nos permite transformações de unidade de medida de

volume em unidades de medida de capacidade e vice-versa.

Conversões entre unidades de diferentes dimensões não são possíveis, por isto as conversões

levantadas acima pelos internautas não são permitidas.

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11. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos.