apostila de matemÁtica financeira_nícias_técnico em rh e gerência em saúde

APOSTILA DE

MATEMTICA

FINANCEIRA

CURSO TCNICO EM RECURSOS HUMANOS

CURSO TCNICO EM GERNCIA EM SADE Professor Ncias Jos de Carvalho

1 Curso Tcnico em Recursos Humanos e em Gerncia em Sade Professor Ncias Jos de Carvalho

NDICE

1. RAZO E PROPORO ....................................................................................................... 2

1.1. Razo ................................................................................................................................. 2

1.2. Proporo .......................................................................................................................... 3

2. PORCENTAGEM .................................................................................................................... 4

2.2. Aumentos e Descontos Sucessivos ..................................................................................... 5

3. Capitalizao Simples .............................................................................................................. 7

3.1. Introduo ......................................................................................................................... 7

3.2. Regimes de capitalizao .................................................................................................. 7

3.3. Capitalizao Simples ....................................................................................................... 7

3.4. Taxas proporcionais ........................................................................................................ 11

3.5. Taxas equivalentes .......................................................................................................... 11

3.6. Juros exatos, comerciais.................................................................................................. 12

4. Capitalizao Composta ........................................................................................................ 14

4.1. Introduo ....................................................................................................................... 14

4.2. Clculo do Montante ....................................................................................................... 14

4.3. Clculo dos Juros ............................................................................................................ 14

4.4. Logaritmos ...................................................................................................................... 15

4.5. Taxas equivalentes .......................................................................................................... 17

4.6. Taxa Efetiva e Nominal ................................................................................................... 18

5. Descontos Simples .................................................................................................................. 22

5.1. Introduo ....................................................................................................................... 22

5.2. Desconto Comercial, bancrio ou por fora .................................................................... 22

5.3. Descontos de Duplicatas .................................................................................................. 23

6. Sries de Pagamentos ............................................................................................................. 25

6.1. Classificao de sries ..................................................................................................... 25

6.2. Rendas postecipadas (END) ............................................................................................ 25

6.3. Rendas Antecipadas ........................................................................................................ 29

7. Sistemas de Amortizao ....................................................................................................... 31

7.2 Sistema de Amortizao Constante SAC .................................................................... 35


MATEMTICA FINANCEIRA

1. RAZO E PROPORO

1.1. Razo 1.1.1. Introduo

Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.

Esporte N de alunos

Jud 50

Futebol 150

Natao 200

Handebol 50

Basquete 60

Nenhum esporte 90

Vamos analisar os dados da tabela acima atravs de alguns quocientes:

a) nmero de alunos que praticam natao

nmero de alunos da escola

Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natao.

b) nmero de alunos que praticam jud

nmero de alunos que jogam futebol

Significado: O nmero de alunos que jogam futebol triplo do nmero de alunos que praticam jud.

c) nmero de alunos que praticam esporte

nmero de alunos da escola

Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

1.1.2. Definio

Dados dois nmeros racionais a e b, com b a para b.

Indicamos razo por ou a : b, onde a o antecedente e b o conseqente.

Exerccios Propostos:

1) Estabelea as razes entre os nmeros abaixo:

a) 2 e 10

b) 0,1 e 0,001

c) 1

2

3

4


2) Calcule a velocidade mdia de um trem que percorre 120km em 3h.

3) O estado de Gois tem uma rea aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma populao, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual a densidade

demogrfica desse estado?

Lembre-se: =

1.2. Proporo 1.2.1. Definio

Chama-se de proporo a toda sentena que indica uma igualdade entre duas razes.

Podemos representar as propores das seguintes maneiras:

= ou =

com (a, b, c, d racionais, no nulos).

L- a est para b assim como c est para d

1.2.2. Propriedade fundamental das propores

Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa.

= . = . , ( ; ; ; 0)

Numa proporo os termos so a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c so os meios e a e d

so os extremos.

Exemplo: 2

3=

4

6 3 .4 = 2 .6


1) Calcule o valor de nas propores abaixo:

a) 2

=1

3

b) 0,5

2=

1

c) 1

21

3

=4

d) 1

2+

1

3

2= 1

4

e) 2+

1

3

=3

1

45

2

f) 12

=(0,25)

12

0,6


2. PORCENTAGEM

muito comum os veculos de comunicao apresentarem as seguintes expresses:

a cesta bsica teve um reajuste de 2,1%;

os rendimentos da caderneta de poupana para este ms foi de 1,21%.

10% da populao brasileira so fumantes.

Todos os enunciados acima podem ser expressos atravs de uma razo a qual denominamos

de porcentagem.

2.1.1. Definio

Chamamos porcentagem toda razo , na qual = 100. Essas razes centesimais so

representadas pelo smbolo %. Veja os exemplos:

5% = 5

100= 0,05

2,1% = 2,1

100= 0,021

1,21% = 1,21

100= 0,0121

10% = 10

100= 0,1

2.1.2. Elementos do clculo percentual

Nos problemas de porcentagem, trs elementos so importantes: O principal , que o nmero

sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que o nmero de partes que

devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que total das taxas.

Exemplo: Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas so as meninas dessa

sala?

Principal (c) = 35 =.

100

taxa (i) = 20% =35 . 20

100

porcentagem (P) = 700

100= 7

Exerccios Propostos

1) Calcular

a) 2% de 120

b) 1,5% de 150

c) 24% de 240

d) 1

3% de 30

R: a) 2,40 b) 2,25 c) 57,6 d) 0,1


2) Num concurso pblico compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o nmero total de candidatos inscritos?

R: 1875

3) O preo de um aparelho de som de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?

R: R$ 1380,00

2.2. Aumentos e Descontos Sucessivos

Dois aumentos sucessivos de 20% equivalem a um nico de 44% (e no 40%), pois:

1,2 1,2 = 1,44 Nos descontos sucessivos acontece o mesmo processo, dois descontos sucessivos de 20% :

0,8 0,8 = 0,64; logo 100% 64% = 36%

Exerccios Propostos

1) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa nica de desconto daria o mesmo lquido?Q ual foi o valor

do pagamento?

R: 4,94% R$ 380,24

2) Uma televiso sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acrscimos?

R: 21%

3) A populao de um municpio, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes ter no final de dois anos?

R: 61206


Exerccios de Fixao

1) Quanto vale:

a) 1% de 130? b) 13% de 450?

c) 0,1% de 1,04? d) 0,5% 500?

2) O nmero 1,35 corresponde a 15% de qual nmero? R: 9

3) Um trabalhador, aps ter recebido um aumento de 25% no seu salrio mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador

teve um aumento mensal no seu salrio de:

a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00

b) R$ 200,00 d) R$ 150,00

R: b

4) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% :

a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00

b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00

R: c

5) Certo ano, as taxas de inflao nos meses de maio, junho e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No perodo de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflao acumulada

foi de, aproximadamente,

a) 15,7% b) 45,2% c) 47% d) 47,8% e) 54,6%

R: e

6) Joo comprou diretamente de uma fbrica um conjunto de sofs pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alquota do

imposto de 15% a.d., qual o valor que Joo pagou por este imposto?

R: R$ 48300,00

7) O preo de uma geladeira de R$ 1.200,00. Como vou compr-la a prazo, o preo sofre um acrscimo de 10% sobre o preo vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas

prestaes iguais, qual ser o valor de cada prestao?

R: R$ 528,00

8) (FEI) Num lote de 1.000 peas, 65% so do tipo A e 35% so do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B so defeituosas, quantas peas devem ser rejeitadas neste lote?

9) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ao de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas,

antes da ao dos roedores era:

a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105

10) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que 15% dos alunos ficaram em recuperao. Calcule o nmero de alunos aprovados sem recuperao.

11) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$13,50. A majorao sobre o preo antigo de:

a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a.


3. Capitalizao Simples

3.1.Introduo

Quando emprestamos um capital a uma pessoa (fsica ou jurdica), recebemos de volta a quantia

emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.

Chamamos de juros simples a remunerao de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um

perodo de tempo determinado (n).

A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e ser expresso em

porcentagem do capital.

Exemplos:

a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro igual 5% do capital, por dia.

b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro igual a 20% do capital, por ms.

c) A taxa de juro de 30% a.a. - significa que o valor do juro igual a 30% do capital, por ano.

Em relao aos perodos financeiros:

Taxa ( i ) Perodo Financeiro

0,5% a.d. (= 0,5% ao dia) Dirio

2% a.m. (= 2% ao ms) Mensal

5% a.b. (= 5% ao bimestre) Bimestral

25% a.t. (= 25% ao trimestre) Trimestral

12% a.q. (12% ao quadrimestre) Quadrimestral

10% a.s. (= 10% ao semestre) Semestral

15% a.a. (= 15% ao ano) Anual

3.2. Regimes de capitalizao

O estudo de matemtica financeira concentra-se na anlise do crescimento do capital em funo

dos juros a ele acrescidos atravs de regimes de capitalizao. Os regimes de capitalizao podem

ser simples ou compostos.

3.3. Capitalizao Simples

Capitalizao simples o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada perodo

tm sempre o capital inicial como base de clculo. Sua aplicao est mais relacionada com perodos

de capitalizao inferiores a um ms (taxa de juros do cheque especial cobrada dentro de um ms) e a

desconto de ttulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques pr-datados nos bancos).

3.3.1. Simbologia


Definio Simbologia

Capital inicial ( = Principal) P

Juros j

Taxa de juros i

Prazo n

Montante ( = Valor futuro ) M

*O Capital ou principal em algumas bibliografias podem ser chamados de C e o tempo de t.

3.3.2. Clculo dos juros simples

Seja um capital (P) aplicado a uma taxa (i) por perodo, durante n perodos consecutivos, sob

o regime de capitalizao simples.

Os juros formados no final de cada perodo sero iguais, e portanto teremos:

Perodo:

1 2 3 4 5 6 n-1 n

1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = .. .= 1 = = . O Juro total dos n perodos ser:

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ ...+ 1 +

= . + . + . + . + . + . + . ..+ . + .

= . .

3.3.3. Montante

Montante o somatrio entre o principal (capital) aplicado e os rendimentos (juros), logo:

= + = + . . = (1 + )

Exemplo:

Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros simples durante 5 meses taxa de juros i = 2% a.m.

Vamos observar o montante gerado ao longo do processo!

P = R$ 1000,00 = 1000 0,02 i = 2% a.m. = 0,02

n = 5 meses

O quadro abaixo expressa todo o processo:


Ms Base do Clculo (R$) Juros do ms (R$) Montante (R$)

0 1.000,00

1

2

3

4

5

R: O montante gerado foi de R$ 1.100,00


1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses.

R: R$ 280,00

2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 ms a importncia de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.

R: 25%

3) Durante quanto tempo necessrio empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.?

R: 40

4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 ms, juros de R$ 650,00.

R: R$ 5000,00


5) Um indivduo aplicou R$ 800,00 a juros simples por meio ano, sendo que nos 2 primeiros meses a taxa de juros utilizada foi de 3% a.m , e no perodo final a taxa foi de 3,5% a.m.

Complete o quadro abaixo, ms a ms, e determine o saldo obtido ao final da aplicao.

R: R$ 966,72

Ms Juros do ms (R$) Montante (R$)

0 800,00

1

2

3

4

5

6

6) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m..

R: R$ 1380,00

7) Um capital foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. durante 12 meses e gerou um montante de R$150.000,00. Qual foi o capital aplicado?

R: 93750,00

8) A que taxa mensal um capital de R$ 175,00 aplicado durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz um montante de R$ 508,25 ?

R: 4,41%

9) Uma pessoa aplicou R$ 200.000,00 a uma taxa de 7% a.m. e recebeu um montante de R$368.000,00. Quanto tempo este capital ficou aplicado?

R: 12


3.4.Taxas proporcionais

Duas taxas so denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporo com

os seus respectivos perodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.

Assim, sendo teremos:

1

1=

2

2

Exemplos:

1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a. R: 2%

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m. R: 18%

3) Calcule a taxa trimestral proporcional taxa de 16%a.a.. R: 4%

3.5.Taxas equivalentes

Duas taxas so denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo

perodo de tempo, produzem juros iguais.

Exemplo:

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:

a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.

b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.


3.6. Juros exatos, comerciais

Existe uma diferena conceitual entre juros simples exato, juros simples comercial.

: 365 (366 ): 28,29,30 31

: 360 : 30

Exerccios de Fixao:

1) Qual o montante de um capital de R$ 1000,00 aplicado taxa de 10% a.a. pelo prazo de 2 anos?

R: R$ 1200,00

2) Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 5000,00 taxa de juros simples de 18% a.a., durante 6 meses?

R: R$5540,00

3) Calcule o juro simples referente a um capital de R$ 1000,00 investido durante 60 dias, taxa de 9% a.m.. Considere o ms comercial com 30 dias.

R: R$180,00

4) Um capital aplicado a juros simples rende R$ 272,00 em 10 dias, a 12% a.m.. Qual esse capital?

R: R$ 6800,00

5) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 1600,00, para que produza um montante de R$ 1856,00, taxa de 24% a.t. ?

R: 2

6) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos.

R: 1200,00

7) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicao de certo capital taxa de juros i = 42% a.a., durante 13 meses ?

R: 31271,48

8) Aps 155 dias da aplicao de um certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 4% a.m., determinar o valor do capital aplicado.

R: R$ 53433,21

9) Qual o tempo necessrio para que o capital de R$ 40.000,00, aplicado taxa de juros i = 5% a.m., produza R$ 18.600,00 de juros ?

R: 9,3


10) Um indivduo aplicou R$ 3.500,00 a juros simples por um ano, sendo que nos 6 primeiros meses a taxa de juros utilizada foi de 2% a.m , e no perodo final a taxa foi de 18% a.a. Nestas

condies, determine o saldo obtido ao final da aplicao.

R: R$ 4272,80

11) Uma empresa obteve um emprstimo de R$ 10.000,00 para ser liquidado por R$ 14.675,00 ao final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nesta operao ?

R: 66%

12) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importncia de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.

R: 86,4%

13) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?

R: 100

14) Se uma pessoa aplica somente 2

5 de seu capital durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros

simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule todo o capital que esta pessoa possui.

R: R$ 320000,00

15) Carlos aplicou 1

4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o

restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalizao.

Sabendo se que uma das aplicaes rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, quanto era

o seu capital inicial?

R: R$ 4400,00

16) Um capital de R$ 6.000,00 aplicado durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

R: 16,66%

17) Calcular o juro e o montante de uma aplicao de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5% a.m.

R: R$ 600,00

18) (Mack) A taxa de 4% ao ms (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:

a) 18 meses b) 24 meses c) 25 meses d) 48 meses e) 50 meses

R: c

19) O capital de R$ 3.000,00, aplicado taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzir qual montante?

R: R$ 3016,62

20) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferena entre os juros de R$ 700,00. Qual a taxa? R: 50%


4. Capitalizao Composta 4.1.Introduo

Este regime de capitalizao o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais til para

clculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal

para o clculo dos juros do perodo seguinte.

4.2.Clculo do Montante

No regime de capitalizao composta os juros de cada perodo so calculados da seguinte

Calculando os montantes a partir da poca zero e substituindo o resultado obtido, numa

poca, tem-se no montante seguinte:

0 = 1 = 0 + 1 = 0 + 0 = 0 (1 + ) = (1 + ) 2 = 1 + 2 = 1 + 1 = 1 (1 + ) = (1 + ) (1 + ) = (1 + )2 3 = 2 + 3 = 2 + 2 = 2 (1 + ) = (1 + )2 (1 + ) = (1 + )3

Ento podemos escrever que o Montante no final de perodos :

= ( + )

4.3.Clculo dos Juros

=

= (1 + )

= [( + ) ]


1) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros compostos durante 5 meses taxa de juros i = 2% a.m. Vamos observar o montante gerado ao longo do processo!

R: R$ 1104,08

P


Ms Base do Clculo (R$) Juros do ms (R$) Montante (R$)

0 1.000,00

1

2

3

4

5

2) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.

R: R$ 2343,32

3) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00.

R: 23,5

Para solucionar este problema, necessitaremos do uso dos logaritmos.

4.4. Logaritmos

Definio:

Sendo e nmeros reais e positivos, com 1 e > 0, chama-se logaritmo de na base , o expoente que se deve dar a base de modo que a potncia obtida seja igual a .

log = =

Ex: log3 81 = 4, pois 34 = 81

log5 5 = 1, pois 51 = 5

log12

8 = 3, pois 1

2

3

= 8


Quando no se indica a base do logaritmo, quer dizer que a base 10. Portanto, log = log10 .

Ex: log100 = 2, pois 102 = 100

Exerccios

Com a utilizao da calculadora, encontre os seguintes logaritmos:

a) log30 = b) log1000 =

c) log1,3 =

d) log1

2=

Algumas propriedades:

1. Logaritmo do Produto ( . ) = +

Ex: log 100 .1000 =

log 2,3 .4 = 2. Logaritmo da Potncia

= .

Ex: log 102 =

log 23 =

Continuao dos Exerccios Propostos

4) Um investidor aplicou R$ 25 000,00 em uma instituio que paga 3% a.m. Aps certo perodo, ele recebeu R$ 35 644,02, estando nesse valor includos os juros compostos creditados e o

capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?

R: 12

5) Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicao.

R: 31,03


6) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.

R: R$ 2029,35

4.5.Taxas equivalentes

Duas ou mais taxas de juros so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um

mesmo perodo de tempo, com perodos de capitalizao diferentes, produzem montantes iguais.

Exemplo:

Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 6 meses, nas seguintes

condies:

a) 10% a.m.

b) 21% a.b.

As taxas so equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do perodo de aplicao.

(1 + )1 = (1 + )2 = (1 + )3 = (1 + )4 = (1 + )6 = (1 + )12 = (1 + )360

: taxa anual de juros compostos.

: taxa semestral de juros compostos;

: taxa trimestral de juros compostos;

: taxa bimestral de juros compostos;

: taxa mensal de juros compostos;

: taxa diria de juros compostos;


1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

R: 2,9563%


2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

R: 60,1032%

4.6.Taxa Efetiva e Nominal

4.6.1. Taxa Efetiva

A Taxa Efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide

com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos:

140% ao ms com capitalizao mensal.

250% ao semestre com capitalizao semestral.

1250% ao ano com capitalizao anual.

4.6.2. Taxa Nominal

A taxa nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no

coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos:

340% ao semestre com capitalizao mensal.

1150% ao ano com capitalizao mensal.

300% ao ano com capitalizao trimestral.

4.6.3. Clculo da Taxa Efetiva

Quando se tem a taxa nominal, pode-se encontrar a taxa efetiva referente capitalizao

apresentada.

: taxa efetiva no perodo inteiro;

sendo : taxa nominal correspondente a ;

: nmero de capitalizaes no perodo;

Teremos: =

Exemplos: 1) Qual a taxa efetiva relativa taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?

= 6% = 0,06

= 12 = =,

= ,

= ? = , % a.m.


2) Qual a taxa efetiva relativa taxa nominal de 18% a.a. capitalizada mensalmente? R: 1,5%

3) Qual a taxa efetiva anual, relativa taxa de 12% a.a., com capitalizao mensal?

OBS: Quando se tem a taxa nominal, quer dizer que a taxa principal no efetiva, efetiva apenas

para a capitalizao proposta. Nesse exemplo, 12% a.a. no efetiva e sim nominal. Para calcular a

taxa efetiva referente a ela, devemos utilizar a taxa equivalente.

R: 12,6825%

4) Qual a taxa efetiva anual, relativa taxa de 18% a.a., com capitalizao bimestral? R: 19,4052

5) Um investidor deseja efetuar uma aplicao e est indeciso em relao a qual banco escolher, j que os mesmos oferecem diferentes taxas de juros. Analise as opes apresentadas e

indique qual das opes resulta em melhores resultados para o investidor.

Banco A: = 15% a.a. com capitalizao diria

Banco B: = 15% a.a. com capitalizao trimestral

Banco C: = 16% a.a. com capitalizao anual

Para melhor podermos comparar as taxas apresentadas vamos determinar as taxas efetivas anuais

equivalentes s nominais declaradas, j que a nica j apresentada na forma efetiva a do Banco C.

Banco A: R: A


Banco B:

Exerccios de Fixao

1) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas: a) 2% a.s. R: 4,04% b) 3% a.m. R: 42,58%

2) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.? R: R$1,61%

3) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a. Qual aplicao render mais?

R: 10%

4) Uma instituio financeira realiza um emprstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalizao mensal. Pergunta-se:

a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente?

b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?

R: 1% e 12,68%

5) A aplicao de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. ir gerar, aps 4 meses, o montante de:

a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00 e) n.r.a.

R: b

6) Considerando um depsito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante aps decorrido o prazo de 1 ano.

R: R$ 300,00

7) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalizao semestral, durante 2anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?

R: R$ 12505,63

8) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalizao trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.

R: R$ 126,16

9) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.

R: 14,47%

10) Calcule a taxa composta para que, um capital de R$ 300,00, consiga gerar um montante de R$ 4800,00, em um perodo de 2 meses.

R: 3%


11) Que quantia precisa ser aplicada por 150 dias para acumular R$ 71.000,00 taxa de juros

= 2,65% . .? R: R$ 62296,49

12) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros:

Qual a melhor opo?

R: R$7029,95

13) Por quanto tempo o capital de R$ 15600,70 deve ficar aplicado taxa de 7,2% a.m., para formar o montante de R$ 20602,64?

R: 4 meses

14) Calcule quantos dias so necessrios para que o capital de R$ 40000,00, aplicado a uma taxa de 4,5% a.m., atinja o montante de R$ 42730,15.

R: 45 dias

15) Qual o prazo necessrio (anos, meses e dias) para que o capital de R$ 250.000,00, aplicado taxa de 3% a.q. se transforme no montante de R$ 457.800,00?

R: 6 anos, 8 meses e 55 dias

16) Duas lojas vendem o mesmo produto por R$ 1.400,00 vista, mas oferecem diferentes formas de financiamentos, sendo:

-datado de R$ 1.043,75 para 60 dias

-datado de R$ 1.565,75 para 90 dias

Qual das duas opes a mais econmica para o comprador ?

R: A

17) Sabendo que necessito de R$ 15.800,00 para financiar a importao de um determinado produto daqui a dois anos, quanto devo aplicar hoje em um fundo que remunera taxa de

42% a.a. com capitalizao mensal para compor tal quantia ?

R: R$ 6919,72

18) Uma loja financia um eletrodomstico cujo preo vista R$ 1.600,00 atravs de dois pagamentos iguais, sendo um dado como entrada e o restante aps 30 dias. Sabendo-se que a

taxa de juros utilizada pela loja de 4% a.m., calcule o valor dos pagamentos.

R: R$ 816,00

19) Um capital de R$ 7.200,00 foi aplicado taxa de juros compostos de 12% a.a. com capitalizao trimestral. Determine o montante aps 4 anos, 7 meses e 25 dias.

R: R$ 12480,95

20) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 120.000,00 aplicado taxa de juros compostos de 24% a.a. com capitalizao mensal no prazo de 4 anos, 5 meses e 20 dias?

R: R$ 347314,94


5. Descontos Simples 5.1.Introduo

Na vida comercial e industrial as relaes de compra e venda entre os negociantes ou

negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo. Quando uma compra feita a vista, a

pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma. No caso de

uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quit-lo em uma data futura.

normal que o credor receba um ttulo de crdito que o comprovante da sua dvida, caso o

mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obter um abatimento que denominado de

desconto.

Os ttulos de crdito mais conhecidos so: duplicatas; letras de cmbio; nota promissria.

Existem dois tipos de descontos simples:

Racional ou por dentro (igual aos juros simples)

Irracional, comercial, bancrio ou por fora. O chamado desconto racional no tem nenhum uso na prtica, pois, a mesma coisa que

tratar a operao financeira com juros simples. No trataremos dessa linguagem aqui.

Desconto (d): o abatimento que se faz sobre um ttulo de crdito, quando o mesmo

quitado antes do seu vencimento;

Valor Nominal (N): o valor do ttulo quando quitado no dia do vencimento;

Valor Atual (A): o valor lquido recebido (ou pago) antes do vencimento.

Exemplo:

Uma pessoa portadora de um ttulo de crdito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o

mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

Valor nominal (N): R$ 10.000,00

Valor atual (A): R$ 8.000,00

Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 d = R$ 2.000,00

O exemplo acima mostra as relaes envolvidas em uma operao de desconto:

d = N A ou A = N - d ou N = A + d

5.2.Desconto Comercial, bancrio ou por fora

O desconto comercial incide sobre o valor nominal do ttulo, e equivale aos juros simples

onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do ttulo de crdito.

d = N i n

d: Valor do desconto comercial;

N: Valor nominal do ttulo;

i: taxa de desconto;

n: tempo.

5.2.1. Valor Atual Comercial

A = N - d A = N - N in A = N (1- in)


Exemplos:

1) Um ttulo no valor de R$ 6.500,00, emitido no dia 10/03/99 e com seu vencimento para o dia 29/07/99, foi descontado taxa de desconto simples de 10% a.m. no dia 10/05/99.

Determine o valor do desconto e o valor lquido recebido na operao.

R: R$ 4766,67

2) Descontar uma promissria de R$100,00 na taxa de 5% ao ms nos vrios prazos indicados na tabela, calculando o desconto efetuado, o lquido obtido e a taxa efetiva simples, conforme

j calculado para o prazo de 1 e 2 meses.

1 ms 2 meses 3 meses 6 meses 19 meses

Desconto 10

Lquido Obtido 90

Taxa efetiva 5,56

Obs: Atravs da ltima coluna conclumos a irracionalidade do desconto bancrio, onde se observa

que, mantida a mesma taxa, a medida que se aumenta o prazo chaga-se a um limite em que o

desconto to grande que no sobra nada. Por isso as operaes de desconto bancrio simples na

prtica esto limitados ao prazo de 180 dias.

5.3.Descontos de Duplicatas

Para ocorrer uma venda a prazo, primeiramente o comprador faz o pedido. O vendedor emite

uma Fatura (onde descrita a mercadoria, o preo e as condies de venda), mas uma Nota Fiscal

(que acompanha a mercadoria) e por ltimo o recibo de entrega assinado.


A fatura pode gerar duplicatas com vencimentos a vista, em 30, 60, 90 dias ou quaisquer

outros prazos, de acordo com as condies acertadas na venda. A empresa vendedora, por ter

acumulado muitas duplicatas em carteira, precisa descont-las para repor seu capital de giro. O banco

efetua o desconto do border de duplicatas (relao de duplicatas entregues ao banco para serem

descontadas).

Resolva os problemas abaixo:

1) As Casas Bahia do Estado de Minas Gerais quer efetuar um desconto de um border com vrias duplicatas, no valor de R$ 105.000,00, durante 11 dias. O banco cobra uma taxa de

desconto de 3,6% a.m.. Calcule o valor do desconto e o valor lquido retirado pela loja.

R: R$ 103614,00

2) O Ponto Frio quer efetuar um desconto de um border com vrias duplicatas, no valor de R$ 77.000,00, durante 42 dias. O banco cobra uma taxa de desconto de 2,5% a.m.. Calcule o

valor do desconto e o valor lquido retirado pela loja.

R: R$ 74305,00

Exerccios de Fixao

1) Calcular o desconto comercial de um ttulo de crdito no valor R$ 2.000,00 taxa 6% a.m., sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento. R: R$280,00

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operao? R: 15% a.a.

3) Calcular o valor atual de um ttulo de crdito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento. R: R$ 892,00

4) Uma empresa descontou trs duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco de

4% a.m.. Qual o valor total do desconto? R: R$ 960,00

5) Um ttulo de crdito no valor nominal de R$ 1.500,00, a uma taxa de 80% a.a., tem como desconto comercial R$ 300,00. Determine quantos meses antes da data de vencimento ele foi

descontado. R: 3 meses

6) Uma nota promissria foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo taxa de 6% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?

R: R$ 808,08


6. Sries de Pagamentos

Sries de pagamentos o nome dado s operaes financeiras que envolvem pagamentos ou

recebimentos parcelados e que devero ocorrer em datas preestabelecidas. Basicamente vamos tratar

dos pagamentos de compras em prestaes e de depsitos peridicos para constituio de um

montante.

6.1.Classificao de sries

As sries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com diversos critrios (certas ou

aleatrias, uniformes ou variveis, postecipadas ou antecipadas, imediatas ou diferidas, peridicas ou

aperidicas, temporrias ou perptuas, inteiras ou fracionrias ). Algumas destas caractersticas

podem ser assim descritas:

Uniformes: neste caso os pagamentos so iguais e igualmente espaados no tempo.

Temporrias: existe um nmero limitado de pagamentos.

Postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo.

Antecipadas: os pagamentos ocorrem no incio da cada perodo.

6.2. Rendas postecipadas (END)

Esquema grfico:

Onde:

PV : uma parcela nica que equivale ou que substitui todos os pagamentos (devidamente

descapitalizados) no incio do fluxo. a soma dos valores atuais dos respectivos

pagamentos que compe a srie.

FV : uma parcela nica que equivale a todos os depsitos (devidamente capitalizados) no

final do fluxo. a soma dos montantes dos respectivos depsitos que compe a srie.


n : nmero de depsitos (ou pagamentos)

i : taxa do perodo

PMT : valor dos pagamentos ou depsitos

6.2.1. Frmulas

Valor Atual (PV) : =+

( + ) .

Valor das Prestaes (PMT): =+ .

( + )

Valor do Montante ou valor final (FV): F =+

Exerccios:

1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 1% a.m., quanto possuir no final de um ano e meio?

R: 11.768,82

2) Quanto ter, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por ms, durante esse

R: R$ 52204,20

3) Qual a importncia que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depsito

forme o capital de R$ 2.000,00?

R: 294,04


4) Quanto uma pessoa ter de appara que possa resgatar R$ 200 000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo

proporciona um rendimento de 2% a.m?

R: R$1753,59

5) Quantas prestaes de R$ 200,00 devo aplicar mensalmente, taxa de juros de 2% a.m., para obter um montante de R$ 2 682, 42?

R: 12

6) Uma pessoa aplica R$ 100,00 mensalmente num banco que opera taxa de 0,5% a.m.. Quantos meses ele deve aplicar esse valor para conseguir um montante de R$ 1446, 42?

R: 14

7) A que taxa devo aplicar R$ 15036,28 a.a. para que eu tenha um montante de R$ 500 000,00 no final de 10 anos?

R: 25%

8) Calcule o preo vista de um veculo financiado por uma concessionria que opera taxa de juros i = 2% a.m. e cujo pagamento das prestaes ocorre em 3 parcelas mensais e iguais de

R$ 700,00 aps 30, 60 e 90 dias.

R: R$ 2.018,72


9) Uma loja est vendendo um artigo esportivo por R$ 1.600,00 vista. A mesma mercadoria poder ser adquirida a prazo em 4 prestaes mensais e iguais. Determine o valor das

prestaes a serem pagas se a taxa de juros mensal utilizada para financiamentos i = 3%

a.m. e:

a) nada for dado de entrada R: R$ 430,44

b) for dada uma entrada de R$ 200,00 R: R$ 376,64

10) Uma mercadoria custa a vista R$ 894,00. O cliente quer pag-la em 6 prestaes iguais e mensais, sem entrada. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual ser o

valor de cada prestao?

R: R$ 161,22

11) Calcule o nmero de prestaes semestrais de R$ 15 000,00 cada uma, capaz de liquidar um financiamento de R$ 49882,65, taxa de 20% a.s.

R: 6

12) Em quantos pagamentos trimestrais de R$ 2000,00 podemos liquidar um financiamento de R$ 31 873,83, taxa de 3%, de acordo com o conceito de termos vencidos?

R: 22


6.3. Rendas Antecipadas

Esquema grfico:

6.3.1. Frmulas

Valor Atual (PV): =+

+ ..( + )

Valor das Prestaes (PMT): =+ .

+.( + )

Valor do Montante ou valor final (FV): F =+

Exerccios:

1) Determinada pessoa deposita mensalmente R$ 200,00 taxa de juros i = 2% a.m./m. Determine o montante obtido 30 dias aps o ltimo investimento se:

a) forem efetuados 3 depsitos R: R$ 624,32

b) forem efetuados 12 depsitos R: R$ 2.736,07

2) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.

R: R$ 4.279,65


3) No final de quantos meses terei o montante de R$ 127 390,78, aplicando R$ 400,00 por ms, a uma taxa mensal de 2%, de acordo com os conceito de termos antecipados?

R: 100

4) Calcule o preo vista de um televisor financiado por uma loja que opera taxa de juros i = 2% a.m./m. e cujo pagamento das prestaes ocorre da seguinte forma:

a) 3 parcelas mensais e iguais de R$ 700,00 sendo a primeira paga no dia da compra R: R$ 2.059,09

b) 10 parcelas mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga no dia da compra R: R$ 2.748,67

5) Uma mercadoria custa vista R$ 894,00. O cliente quer pag-la em 6 prestaes iguais e mensais, sendo a primeira no ato da compra. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual

ser o valor de cada prestao?

R: R$ 157,60

6) O financiamento de um carro no valor de R$ 46 000,00, pago em prestaes mensais no valor de R$ 1 781,72, utilizando uma taxa de 3,5% a.m.. Em quantos meses este financiamento ser

quitado?

R: 60


7. Sistemas de Amortizao

A amortizao um processo financeiro pelo qual uma dvida ou obrigao paga

progressivamente por meio de parcelas de modo que ao trmino do prazo estipulado o dbito seja

liquidado. Estas parcelas ou prestaes so obtidas atravs da soma de duas partes: a quota de

amortizao ( = devoluo do principal emprestado ) e os juros correspondentes aos saldos do

emprstimo ainda no amortizados. Assim,

PRESTAO = AMORTIZAO + JUROS

Sistemas de amortizao

Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortizao de emprstimos temos:

bm conhecido por Sistema Price;

e Amortizao Constante ( SAC );

istema de Amortizao Americano;

Amortizao Crescente ( SACRE ).

Muitas vezes os bancos e as instituies financeiras criam sistemas de amortizao

especficos, adequados a determinadas situaes ou caractersticas do mercado.

7.1. Sistema de Amortizao Francs - SAP

Este sistema recebe esta denominao pelo fato de ter sido utilizado primeiramente na Frana,

no sculo XIX. Este sistema se caracteriza pelo pagamento de prestaes de valor constante,

peridicas e sucessivas. O valor dos juros pagos, a cada prestao, decrescente, j que os mesmos

incidem sobre o saldo devedor que decresce medida que mais prestaes so pagas. Assim, as

amortizaes so crescentes ao longo do processo. O Sistema ou Tabela Price recebe este nome em

homenagem ao economista ingls Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto s

amortizaes de emprstimos, no sculo XVIII. Basicamente, a Tabela Price um caso particular do

Sistema de Amortizao Francs.

7.1.2. Caractersticas do SAP

a) as prestaes pagas pelo devedor ao fim de cada perodo so iguais (constantes);

b) os juros sobre o saldo devedor so pagos por perodos vencidos, isto , so pagos no fim de cada

perodo. Trata-se ento de uma srie de pagamentos postecipados, com prestaes iguais ao longo

do perodo de amortizao.

7.1.3. Esquema Grfico:

sendo:

PV

PMT

n

i


7.1.4. Clculo da prestao

Considerando-se uma srie de pagamentos postecipados, tem-se:

=+

( + ) . ou =

+ .

( + )

Exemplo: Um financiamento de $ 32 000,00 ser liquidado em 5 prestaes mensais e consecutivas,

podendo ser amortizado pelo Sistema Francs de Amortizao (SFA) bem como pelo Sistema de

Amortizao Constante (SAC), segundo taxa mensal de 3,4% ao ms.

Exerccios:

7.1. Um emprstimo de R$ 1.000,00 foi contrado via SAP em 5 prestaes mensais taxa de 10 % a.m./m. Construir a planilha financeira de amortizao da dvida.

n Saldo devedor Amortizao Juros Prestao

0 32 000,00 - - - - - - - - -

1

2

3

4

5

Total - - -


7.2. Um banco faz um emprstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de

12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortizao.


0

- - - - - - - - -

1

2

3

4

5

Total - - -


0

- - - - - - - - -

1

2

3

4

5

6

Total - - -


7.1.5. Situao com carncia

Os juros so cobrados, claro, no perodo de carncia mas sero pagos diludos nas parcelas

de pagamentos.

Exemplo: Um financiamento de $ 32 000,00 ser liquidado em 5 prestaes mensais e consecutivas,

podendo ser amortizado pelo Sistema Francs de Amortizao (SFA), segundo taxa mensal de 3,4%

ao ms e com uma carncia de 2 meses para comear a pagar.

Exerccio:

1. Um emprstimo de R$ 200.00,00 ser pago pela Tabela Price em quatro prestaes mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% a.m., construir a planilha de amortizao considerando um

perodo de carncia de trs meses.


0 32 000,00 - - - - - - - - -

1

2

3

4

5

6

7

Total - - -

apostila de matemÁtica financeira_nícias_técnico em rh e gerência em saúde

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