apostila de física

FísicaLicenciatura

Universidade Aberta do BrasilUniversidade Federal do Espírito Santo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTONúcleo de Educação Aberta e a Distância

INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS I(ICF1)

José Alexandre Nogueira

Vitória2008

LDI coordenaçãoHeliana Pacheco, José Otavio Lobo Name, Octavio Aragão

GerênciaVerônica Salvador Vieira

Ilustração Lidiane Cordeiro e André Wandenkolken

Editoração/ CapaEmanuelle Cardoso

ImpressãoGSA Gráfica e Editora

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Universidade Aberta do BrasilCelso Costa

Universidade Federal do Espírito Santo

ReitorRubens Sergio Rasseli

Vice-Reitor e Diretor Presidente do Ne@adReinaldo Centoducatte

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Coordenador Adjunto UABValter Luiz dos Santos Cordeiro

Design GráficoLDI - Laboratório de Design Instrucional

[email protected] Ferrari, n.514 -CEP 29075-910, Goiabeiras -Vitória - ES4009 2208

Coordenadora do Curso de Dimensões da Humanização, modalidade a distânciaClaudia Murta

Revisor de ConteúdoArthur Octávio de Melo Araújo

Revisora OrtográficaRegina Egito

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

_____________________________________________________________

Nogueira, José AlexandreIntrodução às ciências fícisas I: (ICF1)/ José Alexandre Nogueira. - Vitória: Universidade Federal do Espírito Santo, Núcleo de Educação Aberta e à Distância, 2009.68 p.: il.

Inclui bibliografia.ISBN: 9788589858458

1. Física. I. Título.

CDU: 165.742

N778i

PARTE 11. INTRODUÇÃO À FÍSICA

1.1. A Física e o Método Científico1.2. Grandezas físicas fundamentais1.3. Incerteza e algarismos significativos1.4. Ordem de grandeza1.5. Análise dimensional

ATIVIDADES PROPOSTAS

PARTE 22. ÓPTICA GEOMÉTRICA

2.1. Princípios da Óptica Geométrica2.2. Reflexão2.3. Refração2.4. Reflexão total2.5. Lentes2.6. Dispersão da luz2.7. Dioptro plano2.8. Miragem2.9. Arco-íris


PARTE 33. O SISTEMA SOLAR

3.1. O Sistema Solar3.2. A Terra3.3. A Lua3.4. Os eclipses3.5. O movimento dos planetas3.6. Formação e evolução do Sistema Solar

ATIVIDADE PROPOSTAS

9

19

21

46 e 47

49

50

SumáRio

PARTE 4 4. INTRODUÇÃO À MECÂNICA NEWTONIANA DE UMA

PARTÍCULA4.1. Introdução4.2. Vetor posição4.3. Velocidade4.4. Quantidade de movimento ou momento linear4.5. Força4.6. As Leis de Newton4.7. Referenciais inerciais e não-inerciais 4.8. Aplicações das Leis de Newton4.9. Força de atrito4.10. Forças de arrasto4.11. Força elástica


53

66

Como bibliografia sugerimos os livros:

1- Francisco Ramalho Jr., Nicolau Gilberto Ferraro e Paulo Antônio de Toledo Soares; “Os fundamentos da Física”; volumes 1 e 2, 8a edição, Editora Moderna, São Paulo, 2003.

2- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Cinemática, 2a edição, Editora Atual, São Paulo, 1998.

3- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Dinâmica e Estática, 2a edição, Editora Atu-al, São Paulo, 1998.

4- Caio Sérgio Calçada e José Luiz Sampaio; “Física Clássica”; Óptica e Ondas, 2a edição, Editora Atual, São Paulo, 1998.

5- Alberto Gaspar; “Física”; volumes 1 e 2, 1a edição, Editora Ática, São Paulo, 2003.

Referências

[1] Pierre Lucie; “Física Básica”; Mecânica 1, 1º volume, Editora Campus Ltda. , Rio de Janeiro, 1979.

J o s é A l e x a n d r e N o g u e i r a 9

NoTAS Do AuToR

Antes de iniciarmos nosso curso propriamente dito é conveniente dar-mos algumas “palavras”. O nível do curso é o que acreditamos ser ade-quado e aconselhável a uma boa formação de um licenciado em Física. Não pretendemos elaborar um curso fácil, com a justificativa de que é a distância. Acreditamos que um domínio mínimo necessário dos concei-tos e do formalismo da Física elementar exige esforço, trabalho e paciên-cia. Porém, feito isto, teremos atingido nosso principal objetivo: formar não só bons profissionais, mas pessoas de caráter. Nas palavras de Pierre Lucie: “... convencer esta juventude de que as coisas do espírito, a forma-ção honesta do homem e do cidadão, mudaram muito pouco desde o sé-culo de Péricles, e que os pequenos esforços, os “facilitários” intelectuais podem preparar futuras falências de caráter”[1]. De forma semelhante, nas palavras de Bill Gates: “... a política educacional de vida fácil para as crianças, tem criado uma geração sem conceito de realidade, e esta políti-ca tem levado as pessoas a falharem em suas vidas posteriores à escola.”

i. INTRODUÇÃO À FÍSICA

1.1 A Física e o Método Científico

1.2 Grandezas físicas fundamentais

1.3 Incerteza e algarismos significativos

1.4 Ordem de grandeza

1.5 Análise dimensional

J o s é A l e x a n d r e N o g u e i r a 1 1

Infelizmente em quase sua totalidade os cursos de Física do ensino médio iniciam sem dar a devida importância ao que é a Física, e pior, ao que é “fazer” Física, embora, em sua maioria, os livros didáticos de Física do ensino médio tenham um capítulo introdutório sobre o assunto. Dessa forma, deixam de lado sua essência e sua beleza, tor-nando-a, como muitos estudantes dizem um “monte” de fórmulas. Portanto, nesse início pretendemos mostrar que “fazer” Física é tão divertido quanto brincadeira de criança, basta retornamos a sua es-sência. “Fazer” Física é ser curioso, é querer usar “as leis” da natureza em benefício da humanidade, criando os princípios tecnológicos que permitem (ou deveriam permitir) a evolução do bem-estar social.

Quando somos crianças, deparamo-nos com um mundo desconhecido e cheio de novidades. Tantas são as perguntas que fazemos, tantos são os porquês para os quais queremos respostas. Buscar as respostas para essas e muitas outras perguntas é uma ne-cessidade instintiva da maioria de nós. É curiosidade quando crian-ças e pode ser necessidade quando adultos. Assim, o “cientista” não é apenas como uma criança curiosa. É também aquele que busca encontrar as respostas que possam ajudar o homem a dominar o meio em que vive e utilizá-lo para seu melhor bem-estar.

Podemos dizer que a ciência é a atividade humana responsável por investigar, compreender e descrever o mundo que nos cerca. Assim, tentamos compreender as regras do imenso e maravilhoso “jogo” da natureza, fazendo parte dele. Dessa forma, ao contrário das palavras de Richard Feynmann; somos parte integrante do jogo de xadrez. Usando algo mais atual, é como se fôssemos transportados para o interior de um jogo de computador ou video-game e tivésse-mos que fazer parte do jogo e ao mesmo tempo descobrir e entender suas regras. Ainda, da mesma forma que muitas vezes conhecemos as regras do jogo, mas não temos as “manhas” de como jogá-lo, po-demos conhecer algumas regras do jogo da natureza, entretanto não sabemos como usá-las em nosso benefício.

1.1. A Física e o método Científico

PARTE 1

INTRODUÇÃO À FÍSICA

Entender a natureza é como aprender a jogar xadrez somente assistin-do à partida”

Richard Feynmann

“

1 2 I n t r o d u ç ã o à C i ê n c i a s F í s i c a s 1

Se “fazer” Física é tentar compreender o jogo da natureza, desco-brindo suas regras, então todos nós “fazemos” ou já “fizemos” Física. Mas como a pergunta “boba” é aquela que não foi feita, quem disse que existem regras? É preciso acreditar que existam regras, mas não temos certeza disso e nem que elas não possam ser mudadas. Temos apenas fortes evidências disso. É como num jogo, se uma peça sem-pre se move daquele modo, acreditamos que existam regras para o movimento daquela peça. Enunciamos as regras e, se os novos mo-vimentos da peça são como prevíamos, então acreditamos que nos-so enunciado das regras está correto. Porém, nada garante que em algum outro lugar as regras para o movimento da mesma peça não sejam diferentes, ou que no passado eram essas as regras, ou que no futuro serão essas as regras. Ou ainda, como em um jogo com vários níveis, em que as regras se tornam mais amplas e rigorosas quanto mais alto é o nível. Teremos de rever o enunciado das regras que for-mulamos e que acreditávamos serem as corretas quando passamos para um nível mais alto. Dessa forma, a Física não é imutável e, sim, ao contrário, cresce e se modifica. Por vezes acreditamos ter alcança-do o nível mais alto do jogo. Entretanto, acabamos descobrindo que estávamos enganados.

Se não somos capazes de garantir que encontramos as regras de todo o jogo ou as verdadeiras regras, isto é, a verdade final e acabada, então do que vale o que temos? De muito. As teorias na Física têm o que chamamos limites de validade: elas se aplicam a uma determi-nada região de validade. É como dizer que naquele nível do jogo as regras que enunciamos se aplicam, mesmo não sendo aplicáveis em um nível mais alto.

Na busca de encontrar as respostas e descobrir como descrever a natureza, a ciência precisa de um método de trabalho, e é nisso que difere o cientista do filósofo, do religioso, ou de outra pessoa qualquer. Esse método de trabalho deve ser partilhado por toda a comunidade científica, deve ter critérios claros, uma metodologia de investigação que não dependa de quem investigue, isto é, que des-carte as ilusões dos sentidos, os preconceitos, as crenças pessoais, as superstições. Ele é chamado de Método Científico. E o que caracteri-za o método científico? A observação e a experimentação, daí o termo método experimental. A observação consiste em um exame crítico e cuidadoso de um fenômeno durante o qual se analisam os diferen-tes fatores e circunstâncias que parecem influenciá-lo. Contudo, na maioria dos casos não temos ou temos muito pouco controle sobre os fenômenos que ocorrem na natureza. Por esse motivo temos a ne-cessidade da experimentação, que permite a observação do fenôme-no em condições previamente estabelecidas e controladas, de forma a podermos mais facilmente determinar suas influências.

De uma maneira simples podemos descrever o Método Científico da seguinte forma. Observamos um fenômeno. Fazemos algumas hipóteses, criando uma versão simplificada do fenômeno, chamada modelo físico e, a fim de torná-lo quantitativo, o traduzimos para uma linguagem matemática criando o modelo matemático. Nosso modelo, então, deve ser capaz de fazer previsões. Para confirmar o modelo, devemos testar as hipóteses e as previsões do modelo, realizando um número elevado de experimentos controlados e que possam ser reproduzidos por outros membros da comunidade cien-


tífica. Se confirmadas as previsões do modelo, temos uma teoria. Depois de testada exaustivamente e verificada experimentalmente uma teoria pode finalmente ser promovida a lei.

Embora a Física seja uma ciência basicamente experimental, é claro que a experimentação não é a única ferramenta do físico. Usan-do seu poder de abstração, um físico pode, a partir de resultados previamente conhecidos, inferir novos conhecimentos pelo método teórico. Ele constrói um modelo puramente teórico ou adequado a um determinado fenômeno físico e, aplicando um raciocínio lógico e dedutivo ao modelo, em sua maioria apoiado em técnicas mate-máticas, ele pode prever algum fenômeno físico desconhecido (ou vários) ou relações desconhecidas entre fenômenos já observados. É através desse inter-relacionamento entre teoria e experimento que se desenvolve de forma sólida a ciência. É em sua capacidade de abs-trair que talvez esteja a genialidade do ser humano.

O Método Científico para existir parte do princípio da imutabili-dade dos processos da natureza, pois, como dissemos anteriormente nada garante que as regras não mudem de jogo para jogo, isto é, que foram essas e que sempre serão essas. Ainda, o Método Científico se baseia na indução (forma de raciocínio que extrai uma verdade geral a partir da observação de um grupo particular) e na dedução (for-ma de raciocínio que extrai uma verdade particular de uma verdade geral), apoiadas na repetição dos experimentos e imutabilidade dos processos naturais. A pergunta fatal é: quantas observações experi-mentais são necessárias para garantir a veracidade de uma lei? Não existe tal resposta. A nossa ciência “exata” e quantitativa não pode dizer quanto? Estamos, então, de face a um enorme problema. O que fazer?

Esse problema foi contornado por Karl Popper, que introduziu o conceito de falsificabilidade ou falseabilidade segundo o qual, uma hipótese ou uma teoria só é considerada científica, se por meio de algum experimento real ou imaginário for possível provar sua falsi-dade. Isso quer dizer que, mesmo que haja um consenso sobre uma hipótese ou uma teoria, é necessário que se mantenha a possibilida-de de ser negada. Isso está fortemente associado ao fato de que uma teoria nunca é definitiva, o que é parte essencial do método cientí-fico. Naturalmente isso introduz uma profunda mudança no foco das concepções da ciência. Ela deixa de se basear em experimentos que comprovem uma teoria e passa buscar por experimentos que a contradizem. Assim, quanto mais perdura uma teoria, maior nossa crença nela. Contudo, não existem teorias comprovadas e tidas como verdades absolutas e sim teorias que ainda não foram derrubadas. Isso fica bem exemplificado nas palavras de Einstein.

Uma teoria que de alguma forma é derrubada, não necessaria-mente é abandonada. Em muitos casos o que determinamos são seus (novos) limites de validade. Embora a teoria da relatividade te-nha derrubado a crença na verdade suprema da mecânica newtonia-na, esta não foi descartada, sendo ainda empregada nos fenômenos cotidianos com excelentes resultados.

Do exposto acima podemos agora responder, ou melhor, definir o que é a Física. A Física é a ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais universais, usando o Método Científico para fazê-lo. Em sua forma mais fundamental, é a ciência do mundo natural que

Minhas idéias leva-ram as pessoas a reexa-minar a física de Newton. Naturalmente alguém um dia irá reexaminar minhas próprias idéias. Se isto não acontecer ha-verá uma falha grosseira em algum lugar”.

Albert Einstein

“


trata das componentes fundamentais do universo, as interações en-tre elas, e os resultados dessas interações. O termo vem do grego (physiké), que significa natureza. Dessa forma podemos concluir que a Física é a mais fundamental das ciências naturais e fornece muito dos conceitos sobre os quais apóiam-se as bases das demais ciências naturais.

Do campo de estudos da Física fazem parte fenômenos físicos em uma muito ampla escala de comprimentos: das partículas fun-damentais das quais toda matéria é formada ao comportamento do universo como um todo. É difícil atualmente definir ou delimitar o campo de atuação da Física, pois não é um conjunto de conheci-mentos completos e imutáveis, e, sim, em crescimento e modifica-ção, isto é, em contínua evolução. Constantemente novos campos de atuação estão surgindo. Fenômenos aparentemente sem quaisquer relações revelam-se como aspectos diferentes de um único fenôme-no mais geral.

A Física é uma ciência quantitativa, e por isso chamada de Ciên-cia Exata, que utiliza a linguagem muito poderosa da Matemática para expressar suas idéias. Entretanto, para o físico, a Matemática é um instrumento, e é menos importante do que a compreensão das idéias físicas. Cabe aqui um comentário sobre as relações entre a Fí-sica e a Matemática. No método axiomático tudo é deduzido a partir de axiomas, porém a validade desses axiomas no mundo real não está em questão. Veja como Bertrand Russel definiu a Matemática. Para exemplificar: conforme o conjunto de axiomas adotado, temos uma geometria euclidiana ou uma das geometrias não-euclidianas; para a Matemática não cabe a questão de qual delas realmente des-creve nosso mundo físico, porém para a Física é de fundamental importância saber qual delas descreve o mundo em que vivemos.

A busca pelas explicações dos fenômenos naturais deve ser tão antiga quanto a humanidade. Entretanto, a Física como a conhe-cemos, isto é, a Física dos tempos modernos (não confundir com Física Moderna da qual falaremos adiante) tem seu marco de iní-cio em 1638 com a obra de Galileu: “Os Discursos sobre duas novas Ciências”. Além de promover a investigação científica, Galileu tem a sensibilidade de que deve ser usada uma linguagem especial para descrever as observações e os resultados. Essa poderosa linguagem é a Matemática. Assim, a investigação científica apoiada pelo uso da linguagem matemática é o cerne da chamada revolução científica do século XVII. A partir daí tem-se o desenvolvimento da chamada Física Clássica, que perdura até final do século XIX.

Em geral, a Física Clássica é dividida em ramos, conforme o obje-to de estudo. Assim, temos:

A ciência onde nun-ca se sabe de que se está falando nem se o que se está dizendo é verdade”.

Bertrand Russel

A J Mecânica que estuda o movimento dos corpos, suas causas e seus efeitos.

A J Termologia que estuda os fenômenos que envolvem as trocas de calor.

A J Óptica que estuda os fenômenos luminosos.A J Acústica que estuda os fenômenos sonoros.O J Eletromagnetismo que estuda os fenômenos elétrico-

magnéticos.

“


Até por volta do final do século XIX, período da Física Clássica, os físicos acreditavam existirem duas entidades bem definidas e dis-tintas: as partículas e as ondas. As partículas são bem localizadas, ocupando um ponto no espaço, e o estado de uma partícula pode ser unicamente descrito pela sua posição (um ponto no espaço) em função do tempo. Ao contrário, uma onda ocupa uma determinada região do espaço, e seu estado pode ser unicamente determinado por uma função escalar ou vetorial das coordenadas e do tempo. Assim, qualquer entidade física, ou era uma partícula (ou um sistema de partículas), ou era uma onda.

As propriedades de uma partícula e de uma onda são bem defini-das e serviam, até então, para caracterizar unicamente uma partícula ou uma onda. Por exemplo, a luz era tida como uma onda, porque sofria difração e interferência, fenômenos que caracterizavam uma onda. Enquanto uma bola de bilhar era partícula (na verdade um sistema de partículas), pois era bem localizada e não sofria interfe-rência ou difração.

Contudo, por volta do final do século XIX e início do século XX, foram observados novos fenômenos e realizados experimentos, os quais somente puderam ser explicados, porque entidades que eram tidas como ondas, foram consideradas como partículas e vice-ver-sa. Desta forma os físicos já não podiam afirmar que uma entidade era uma partícula ou uma onda, pois a mesma entidade podia em um determinado experimento se comportar como onda e em outro como partícula. A isso foi dado o nome de dualidade onda-partícula. Note-se que a dualidade onda-partícula não significa que em um experimento uma entidade pode se comportar ora como partícula, ora como onda, e, sim, que uma dada entidade em um determinado experimento se comporta como partícula e sempre se comportará como partícula naquele experimento, desde que mantidas as mes-mas condições e em algum outro experimento se comporta como onda e se comportará nesse experimento sempre como onda. Por exemplo: no experimento de Young (a passagem de um feixe de luz através de duas fendas em um anteparo) a luz sempre se comporta como onda (desde que sua intensidade não seja muito, muito peque-na), entretanto no efeito fotoelétrico (emissão de elétrons por um metal devido à incidência de um feixe de luz sobre ele) a luz se com-porta sempre como partícula, chamada fóton.

Assim, os físicos viram-se na necessidade de reverem as leis da Física Clássica, mais propriamente a mecânica newtoniana. Surge, então, a mecânica quântica. Isso não quer dizer que devemos descar-tar a mecânica newtoniana. Como já dito anteriormente, a mecânica newtoniana tem seu limite de validade e explica e prevê com grande precisão fenômenos de nossa vida cotidiana. Daí podemos tirar duas conclusões: a mecânica quântica deve explicar e ser capaz de prever novos fenômenos que envolvam pequenas dimensões e ter como limite a mecânica newtoniana para dimensões que envolvam fenô-menos do cotidiano. Assim, em geral uma nova teoria representa uma generalização da antiga, ampliando seu limite de validade, mas contendo-a como caso particular ou limite.

No início do século XX, com as publicações de Einstein, surge a Relatividade, mais precisamente em 1905, a Relatividade Restrita ou Especial e, em 1915, a Relatividade Geral, obras da genialidade abstra-


ta do intelecto humano. O advento da Relatividade é um maravilhoso exemplo de como o método teórico pode ser poderoso. As teorias de Einstein, que contestavam as leis da mecânica newtoniana, tiveram suas previsões comprovadas, primeiramente as da Relatividade es-pecial e posteriormente as da Relatividade Geral. Porém, a mecânica relativística não bane a mecânica newtoniana, mas a tem como um caso limite. A aplicação das leis da mecânica newtoniana tem exce-lentes resultados nas explicações e previsões dos fenômenos do coti-diano, porém começa a falhar quando as velocidades envolvidas nos fenômenos aumentam muito. Assim, a mecânica relativística deve explicar e ser capaz de prever novos fenômenos que envolvam altas velocidades e ter como limite a mecânica newtoniana para fenôme-nos que envolvam velocidades do cotidiano.

É claro que ficaram as perguntas: Pequeno em que nível? Que altas velocidades? Dizer que algo é grande ou pequeno somente é possível quando comparado com outro. Assim, existem constantes físicas que servem de comparação para respondermos às perguntas acima. No caso da relatividade esta constante é a velocidade da luz no vácuo c (~ 300.000 km/s). Portanto, com altas velocidades quere-mos dizer velocidades acima de 10% da velocidade da luz no vácuo (~30.000 km/s). Já no caso da mecânica quântica a coisa é um pouco mais sutil, porém a constante nesse caso é a chamada constante de Planck h .

As bases fundamentais da mecânica quântica foram lançadas por volta de 1925, quando a relatividade especial já era bem aceita, en-tretanto, não foi possível, naquela época, construir uma mecânica quântica que já considerasse o princípio da relatividade especial, por motivos conceituais e não matemáticos. Somente mais de vinte anos depois é que foi possível construir uma mecânica quântica relativís-tica, ou, mais apropriadamente, uma Teoria Quântica de Campos. O quadro abaixo resume o exposto neste parágrafo.

Os adventos da mecânica quântica e da relatividade marcam o início da chamada Física Moderna.

Por fim, não podemos deixar de mencionar Galileu, Newton, Gauss, Lagrange, Hamilton, Noether, Bernoulli, Carnot, Kelvin, Clau-sius, Joule, Coulomb, Ampère, Faraday, Henry, Maxwell, Einstein, Planck, Boltzmann, Fermi, Dirac, Bohr, Heisenberg, Schroedinger, Born, Pauli, Pauling, Yukawa, e muitos outros que construíram as bases que nos permitiram atingir o atual nível de conhecimento do mundo físico em que vivemos. Nas palavras de Newton: “Se vi mais longe, foi porque subi em ombros de gigantes”.

Velocidade Maior

Velocidade Menor Tamanho Menor

Tamanho Maior

Mecânicaclássica

Teoria quântica de campos

Mecânica quântica não-relativística

Mecânica relativística


1.2. Grandezas Físicas e fundamentais

Quando falamos do Método Científico, introduzimos o conceito de modelo como uma imagem simplificada de um fenômeno mais complicado. Um modelo deve preservar as características principais do fenômeno em estudo e permitir quantificar as observações feitas. Mas que observações? Como dissemos, foi Galileu quem primeiro teve a intuição de usar uma linguagem matemática. Mas, para ser tratado matematicamente o fenômeno estudado, é necessário carac-terizá-lo por um conjunto de parâmetros que possam ser medidos. Esses parâmetros são nossas grandezas físicas. É claro que muitas vezes uma grandeza física não pode ser diretamente medida. Os significados físicos e as relações entre as grandezas físicas formam o modelo físico, e, quando essas grandezas são traduzidas para a linguagem matemática, temos o modelo matemático. O modelo fí-sico-matemático assim formado é o que entendemos propriamente como o modelo e deve ser capaz de fazer previsões que possam ser testadas.

A pergunta que temos agora é: como medir estas grandezas físicas? Para medi-las precisamos comparar com padrões. Porém, os padrões podem ser os mais diversos. Quando comparamos uma grandeza com um determinado padrão, estamos escolhendo uma unidade de medida para medir aquela grandeza. É claro que o padrão de uma determinada unidade de medida deve ser único. Felizmente nem toda grandeza física precisa de um padrão para ser medida. A maioria das grandezas físicas são o que chamamos de grandezas derivadas, pois são definidas a partir de outras mais fundamentais.

Quando escolhemos um conjunto de unidades para medir as grandezas envolvidas, estamos escolhendo o que chamamos um sistema de unidades. Na física existem alguns sistemas de unidades padronizados, sendo o mais usado deles o chamado Sistema Inter-nacional (SI) de unidades. Cada sistema de unidades tem um con-junto mínimo de grandezas, ditas fundamentais do sistema, a partir das quais todas as demais são derivadas e, portanto, um número mínimo de padrões de unidade. Como exemplo, no sistema MKS, que é parte do SI, as grandezas fundamentais são o comprimento, medido em metros (m), a massa, medida em quilogramas (kg) e o tempo, medido em segundos. Também no sistema CGS as grande-zas fundamentais são o comprimento, a massa e o tempo, entretan-to as unidades de medida são o centímetro, o grama e o segundo, respectivamente. Já no sistema MK*S as grandezas fundamentais são o comprimento, medido em metros, a força, medida em quilo-grama-força (kgf), e o tempo, medido em segundo. Note-se que no MK*S a massa é uma grandeza derivada e não fundamental.


1.3. incertezas e algarismos significativos

Medir uma grandeza física é atribuir a ela um determinado valor numérico. Mas para medirmos necessitamos de um instrumento de medida, o qual, de forma simplificada, nos permite comparar nossa grandeza a ser medida com um padrão. O valor numérico obtido por essa medida depende da precisão do aparelho usado.

Consideremos a medida do comprimento de uma caneta esfero-gráfica. Se usarmos como aparelho de medida uma régua cujas di-visões mínimas são em centímetros, somente podemos afirmar que seu comprimento está entre 14 cm e 15 cm. Uma forma de expres-sarmos isso é escrevendo o comprimento medido da caneta como 14,5 ± 0,5 cm.

Assim, quando realizamos uma medida experimental, somente podemos afirmar que o valor da grandeza medida se encontra den-tro de um intervalo de valores, e a largura desse intervalo depende do aparelho de medida. O valor de metade da largura é o chamado erro experimental ou incerteza da medida.

Mais comumente, a incerteza do valor de uma grandeza não é dada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de algarismos significativos ou confiáveis. Assim, o valor da medida po-deria ser expresso como 14 cm, indicando que o primeiro algarismo está correto, enquanto o segundo (4) é incerto. Diríamos, então, que conhecemos o valor do comprimento da caneta com dois algarismos significativos. Assim, expressar o resultado da medida do compri-mento da caneta como 14,7 cm seria um equívoco, pois o dígito 4 já é incerto. Entretanto, se a caneta fosse medida com uma nova régua cujas divisões são em milímetro, poderíamos expressar o re-sultado como 14,7 cm, indicando que os dois primeiros dígitos são confiáveis, enquanto o último (7) é incerto. Nesse caso diríamos que conhecemos o valor do comprimento da caneta com três algarismos significativos.

Note-se que, se expressamos o comprimento da caneta como 0,14 m, não alteramos o número de algarismos significativos, embora agora existam três dígitos e não dois dígitos no número. Por essa ra-zão é mais conveniente escrevermos os valores das grandezas físicas em potências de 10, mantendo-se apenas um dígito antes da virgula. Dessa forma o comprimento da caneta fica melhor expresso como 1,4x101 cm ou 1,4x10-1 m. Note-se que em ambos temos apenas dois dígitos indicando que existem dois algarismos significativos. Talvez um melhor exemplo sejam os valores 0,0001 (1x10-4) que somente tem um algarismo significativo, enquanto o valor 0,1000 (1,000x10-1) tem quatro algarismos significativos.

Assim, devemos ser mais cuidadosos ao manipularmos dados numéricos, não preservando um número excessivo de dígitos. Por

5 10 15


exemplo, suponhamos que desejássemos determinar a densidade de um cubo de massa 50 (5,0x101) gramas e volume de 3,0 cm3, tería-mos

Porém, o segundo dígito da massa e do volume já é incerto, de

forma que não podemos ter certeza do valor da densidade além do primeiro dígito. Portanto, devemos expressar a densidade como 1,7x101 g/cm3.

Em operações com valores de grandezas com precisões di-versas não faz sentido manter mais algarismos significativos que os da grandeza de menor precisão.

1.4. ordem de grandeza

Muitas vezes é de muito pouco interesse ou valia conhecermos o va-lor exato de uma determinada grandeza. Estamos mais interessados em uma estimativa do valor dessa grandeza, mais propriamente dito na sua ordem de grandeza. Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima desse número. Assim, o número de segundos em um ano é de aproximadamente 3x107 s, portanto sua ordem de grandeza é de 107 s. Como ilustração, vamos supor que qui-séssemos saber o número de gotas de água em uma piscina olímpi-ca. Para começar devemos estimar a ordem de grandeza do volume de uma gota. Sem cometermos um grande erro, podemos imaginar que uma gota seja um cubo de 1 mm de aresta. Assim, a ordem de grandeza do volume de uma gota seria de 10-9 m3. Considerando que uma piscina olímpica tenha 50m de comprimento, 20m de largura e 2m de profundidade, seu volume seria de 50x20x2 = 2.000 m3. Por-tanto, o número de gotas na piscina seria de

Por fim, a ordem de grandeza do número de gotas seria de 1012,

isto é, um milhão de milhão de gotas.

2000

10= 2 x 10

-912 .

d =50

3,0= 16,66666667 g/cm3 .


1.5. Análise dimensional

A cada grandeza está associada uma dimensão. Assim, as grandezas fundamentais do sistema MKS têm dimensões de comprimento L, massa M e tempo T. A dimensão de qualquer outra grandeza pode sempre ser reduzida como uma combinação dessas grandezas. As-sim, para a velocidade temos

[v] =

[comprimento]

[tempo]=

[l]

[t]= LT-1

Qualquer equação em física deve ser dimensionalmente corre-ta, isto é, as dimensões devem ser iguais em ambos membros da equação, e os termos de uma soma devem ter dimensões idênticas. Isto é como dizer que limão somente pode ser igual a outro limão e somente podemos somar bananas com bananas.

A análise dimensional é uma grande aliada na verificação de nossos resultados, pois, se estamos calculando a massa de algo, o resultado somente pode ter dimensão de massa. Embora a análise dimensional não possa nos dizer se nosso resultado está correto, ela pode nos garantir que está incorreto. Por exemplo, se estamos in-teressados em determinar o tempo de uma viagem estelar e após a análise dimensional de nosso resultado encontramos que ele tem dimensão de comprimento, temos a certeza que cometemos algum engano em nosso cálculo, entretanto, se a dimensão do resultado é de tempo, isso não garante que ele esteja correto.


Atividade 1: 1.Leitura dos textos nos sites:http://www.projetoockham.org/ferramentas_metodo_1.htmlhttp://pt.wikipedia.org/F%C3%ADsicahttp://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfico

Atividade 2:2.Observe ou imagine um fenômeno qualquer. Aplique o método científico para explicá-lo, deixando claras suas hipóteses.3.Escolha três colegas e envio-o para eles.4.Dê sugestões e comente a atividade recebida de seus colegas.

Atividade 3:1.Muitos cientistas acreditam que se não podemos descrever um processo para uma grandeza física, ela é desconhecida e desprovida de existência física. Nem todos os cientistas aceitam essa colocação. Quais, na sua opinião, são os méritos e falhas desse ponto de vista? Disponibilize sua resposta para seus colegas e discuta a opinião deles.

Atividade 4:2.Um engenheiro que está construindo uma fundação afirma que precisou injetar 200 metros de con-creto. O que ele quer dizer com isso?

Atividades Propostas

2. óptica Geométrica

2.1. Princípios da Óptica Geométrica

2.2. Reflexão2.2.1. Espelhos

Espelhos planos

Espelhos esféricos

2.3. Refração

2.4. Reflexão total

2.5. Lentes

2.6. Dispersão da luz

2.7. Dioptro plano

2.8. Miragem

2.9. Arco-íris


Nosso objetivo é o de construir uma teoria para fenômenos lu-minosos possíveis de serem estudados sem a necessidade de con-siderarmos a natureza da luz. Nossa hipótese fundamental é que a luz nesses fenômenos possa ser tratada como um raio de luz, daí o nome de óptica geométrica. Essa hipótese é sugerida, quando obser-vamos a luz que atravessa um pequeno orifício em um anteparo, é semelhante a uma linha.

Entretanto, quando observamos a emissão de luz por uma lanterna,

2.1. Princípios da óptica geométrica

PARTE 2

ÓPTICA GEOMÉTRICA

O objetivo deste modulo não é o de revisar a óptica geométrica, e, sim, o de exemplificar de forma simplificada o uso do Método Científico em seu estudo. Iniciar com o estudo da óptica geométrica se mostra adequado ao objetivo deste modulo, pois o estudo da óptica geométrica pode ser feito independentemente dos demais ramos da Física, não dependendo de conceitos físicos anteriores, mas apenas de um elementar conheci-mento de geometria e trigonometria.


vemos que seria melhor considerar a luz não como um raio de luz, mas sim, formada por um feixe de raios de luz. Assim, a luz que atravessa o orifício seria formada por um feixe cilíndrico de raios de luz, enquanto a luz da lanterna seria formada por um feixe cônico de raios de luz.

Como a luz é emitida pelas fontes, o orifício e a lanterna nos exemplos acima, parece razoável considerar que esses raios partam da fonte. Desta forma, podemos ter três tipos distintos de feixes de luz:

Da observação cotidiana é fácil notar que a luz se propaga em linha reta no ar ou na água, na maioria dos casos.

Mas o que esses meios têm em comum? Se prestarmos atenção, veremos que esses meios são homogêneos. Temos assim nossa pri-meira hipótese:

Em nossa hipótese falamos em meios transparentes. Mas o que são meios transparentes? Mais uma vez, vemos da observação que existem meios através dos quais um objeto pode ser visto com niti-dez, tais meios são chamados de transparentes.

Nos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta.

Feixe convergenteFeixe paralelo Feixe divergente


Existem outros que permitem a visualização de objetos através deles, porém sem nitidez. Esses são chamados meios translúcidos.

Por fim, existem meios que não permitem a visualização de obje-tos através deles. Esses são chamados de meios opacos.

Nossa hipótese pode ser verificada experimentalmente fazendo a luz passar através de pequenos orifícios em diferentes anteparos.

A luz somente atravessa os anteparos, se os orifícios estiverem alinhados.


A verificação de nossa hipótese inúmeras vezes sem nunca ter sido contradita tornou-a um dos princípios fundamentais da óptica geométrica.

Agora, consideremos o seguinte fenômeno: o cruzamento de dois feixes de luz.

A observação mostra que, após o cruzamento dos feixes, esses se propagam como se nada tivesse ocorrido. Daí concluímos que:

Outra vez, a verificação experimental inúmeras vezes da hipótese acima, sem nunca ter sido contradita, torna-a outro princípio funda-mental da óptica geométrica.

Por fim, consideremos os seguintes fenômenos representados na figura abaixo.

A observação mostra que se trocarmos de lugar o anteparo com a fonte, a trajetória do raio laser não se modifica. Daí podemos inferir a seguinte hipótese:

Mais uma vez, a verificação inúmeras vezes da hipótese acima, sem nunca ter sido contradita, torna-a também um dos princípios fundamentais da óptica geométrica.

A trajetória seguida pela luz não depende do sentido de percurso.

(a)

(b)

A

B

C

A

B

C

A

B

C A

B

C

Cada raio de luz se propaga em um meio, inde-pendentemente de qualquer outro raio.


PRINCÍPIO DA PROPAGAÇÃO RETILÍNEANos meios homogêneos e transparentes, a luz se propaga em linha reta.

PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS RAIOS DE LUzCada raio de luz se propaga em um meio, independentemente de qualquer outro raio.

PRINCÍPIO DA REvERSIbILIDADE DOS RAIOS DE LUzA trajetória seguida pela luz não depende do sentido de percurso.

Em resumo, a observação de alguns fenômenos sofridos pela luz nos permitiu construir os princípios fundamentais da óptica geomé-trica.

A não observação de algum fenômeno ou a não existência de um experimento que contradiz os princípios acima, daria a nós uma enorme confiança neles. Porém, isso não é verdade. Existem fenô-menos e experimentos, tais como a difração, que os contradizem. Surge então a necessidade de se construir uma outra teoria para a luz que possa explicar esses novos fenômenos e também aqueles que são explicados pela teoria da óptica geométrica acima descrita. Essa nova teoria é a óptica ondulatória. Nela a luz é tratada como uma onda. Contudo, esse é um dos casos que não temos que aban-donar por completo nossa antiga teoria. Os princípios fundamen-tais que norteiam nossa teoria da óptica geométrica construída até aqui se mantêm sempre que as dimensões (a) dos obstáculos e ori-fícios envolvidos são suficientemente maiores que o comprimento de onda ( )λ da luz. Assim, nossa teoria da óptica geométrica tem um limite de validade,λ

a<< 1 , e está contida na teoria mais abrangente

da óptica ondulatória, sendo um caso limite dessa. A pergunta que poderíamos fazer é: por que usamos a óptica geométrica se temos uma teoria mais ampla e poderosa? A resposta é simples. Devido a sua simplicidade e precisão nos casos que estão dentro de seu limite de validade. Usar a óptica ondulatória nesses casos seria como usar um canhão para matar uma formiga.

A teoria da óptica geométrica proposta para a luz, com seus prin-cípios, proposta até aqui, deve, dentro de seu limite de validade, ser capaz se explicar os fenômenos observados ou ser base para novas teorias que a complemente. Também deve ser capaz de fazer previ-sões.

De nossa experiência diária podemos observar que, quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios, os seguintes fenômenos podem ocorrer:

I. A luz incide sobre a interface e retorna ao meio em que estava se propagando. A esse fenômeno da-mos o nome de reflexão.


II. A luz penetra e se propaga no novo meio. Esse fenômeno é chamado de difração.

III. A luz nem retorna ao meio em que estava se propagando e nem se propaga no novo meio. Ocorre, então, o que chamamos de absorção da luz.

É importante dizermos que em geral, quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios, os três fenômenos podem ocorrer simultaneamente. Entretanto, em muitos casos podemos ter a predominância de um deles.

O que faremos a seguir é o estudo dos dois primeiros desses fe-nômenos com base na óptica geométrica. Uma vez que a absorção não envolve nova propagação da luz, seu estudo não está ao alcance da óptica geométrica.

ar

vidro


2.2. ReflexãoPara darmos início ao nosso estudo da reflexão, vamos substituir um feixe de raios de luz paralelos por quatro raios laser paralelos entre si. Essa troca é um artifício que usamos para melhor podermos vi-sualizar o que acontece com nosso feixe de raios paralelos. Assim, consideramos que cada um dos raios laser se comporte como se fos-se um dos raios de luz de um feixe paralelo deles.

Façamos o feixe de laser paralelos incidir sobre uma determinada superfície refletora. O resultado é mostrado na figura abaixo.

Como vemos os raios após serem refletidos pela interface não mantêm o paralelismo.

Agora, façamos o feixe de raios laser incidir sobre outra superfí-cie refletora.

Neste caso vemos que os raios refletidos mantêm o paralelismo.No primeiro caso a reflexão é chamada difusa enquanto no se-

gundo de regular.Mas por que a diferença na reflexão?Não esperamos que seja causada pelos raios laser, já que em am-

bos os experimentos são idênticos. Também não esperamos que ocorra em face do meio em que se propagam os raios, pois é o mes-mo. Então, nossa hipótese mais óbvia é que essa diferença seja cau-sada pela superfície, já que foi mudada. Mas o que na superfície é o responsável? Uma análise cuidadosa das superfícies mostra que a segunda é polida, enquanto a primeira não o é. Portanto, nossa conclusão é que superfícies refletoras bem polidas produzem uma reflexão regular da luz.

Reflexão difusa

Reflexão regular


Vamos estudar a reflexão regular. Como o comportamento de todos os raios laser são idênticos, vamos estudar a reflexão de apenas um sobre a superfície bem polida.

A análise do experimento mostra que parece existir uma sime-tria entre o raio incidente e o raio refletido em relação a um eixo perpendicular à superfície e que passe pelo ponto de incidência do raio sobre a superfície, chamado normal.

Como quantificar essa simetria e traduzir essa hipótese para uma linguagem matemática? Alguém poderia sugerir que usássemos os ângulos formados pelos raios incidente e refletido com a superfície.

Uma comparação mostraria que esses ângulos têm o mesmo va-lor, matematicamente θ θ1 2= .

A pergunta agora é se esses parâmetros são nossa melhor esco-lha. Façamos um novo experimento, onde trocamos a superfície pla-na por uma esférica polida.

1

2

θ

θ


Note-se que ainda parece existir uma simetria, entretanto os ân-gulos com a superfície ficam difíceis de visualizar (na verdade de-vemos considerar uma superfície tangente à superfície refletora no ponto de incidência). Assim, os ângulos θ θ1 2e não parecem ter sido a melhor escolha.

Será que existe outra melhor? Uma outra escolha seria o ângulo entre a normal e o raio incidente, chamado de ângulo de incidência,i , e o ângulo entre a normal e o raio refletido, chamado de ângulo de reflexão, r . Esses ângulos são facilmente visualizados em ambos os casos.

A observação também mostra que a normal pertence sempre ao plano gerado pelos raios incidente e refletido.

Por fim concluímos com as seguintes hipóteses para o fenômeno da reflexão:

A seguida comprovação experimental, aliada a suas previsões de formação de imagens em espelhos, tornaram as hipóteses acima, a 1a Lei e a 2a Lei da reflexão da luz, na óptica geométrica.

Raio incidente Raio refletido

superfície refletora

N

I

r i^ ^

r i^ ^

PRIMEIRA LEI DA REFLExÃO DA LUzO raio incidente, a normal e o raio refletido pertencem a um mesmo plano.

SEGUNDA LEI DA REFLExÃO DA LUzO ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

O raio incidente, a normal e o raio refletido pertencem a um mesmo plano.

O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.


2.2.1. Espelhos

Como dissemos anteriormente, nossa teoria sobre reflexão da luz deve ser capaz de explicar a formação de imagens em um espelho, bem como ser capaz de prever onde se formarão essas imagens. Chamaremos de espelho qualquer superfície refletora bem polida.

Para iniciarmos, tentaremos explicar a imagem formada por um es-pelho plano. Vamos considerar um objeto pontual P e um observa-dor O em frente a um espelho plano. Para que o observador veja o objeto pontual, um raio de luz partindo do objeto deve atingir seus olhos. Já a imagem deve ser vista por um raio refletido pelo espelho. Quando o observador olha para o espelho, ele tem a impressão que todos os raios refletidos emergem de um ponto P’ atrás do espelho, que na verdade é a imagem do objeto P refletida pelo espelho.

Para determinarmos a posição de P’ basta escolhermos dois raios.

Das leis da reflexão temos que ˆ ˆ ˆr r i’ = = e que, portanto, θ θ= ’. Assim, temos que:

ESPELHoS PLANoS

p

p’

r’

o

o’

d

d’

i r^ ^

L

d

L

d

L=

’ ,

d d= ’ (1).


No caso da imagem formada por um objeto extenso, podemos considerá-lo como composto por infinitos pontos. O conjunto das imagens desses pontos forma a imagem do objeto extenso.

Como uma segunda aplicação de nossa teoria sobre reflexão em óptica geométrica, vamos estudar a formação de imagens em um espelho esférico. Nós podemos obter um espelho esférico cortando uma calota de esfera cuja superfície é refletora. Se a superfície refle-tora for interna da calota, o espelho será dito côncavo.

Se a superfície refletora for externa da calota, o espelho será dito convexo.

P

P’

O

O’

h h’

Objeto Imagem

d d’

ESPELHoS ESFÉRiCoS

C C

R

V Cep

espelho côncavo

Cep

espelho convexo

V

Espelho côncavo Espelho convexo


A título de nomenclatura, considerem-se as seguintes definições do que chamamos elementos de um espelho esférico:

Para um objeto pontual colocado no ponto P sobre o eixo princi-pal de um espelho esférico, um raio de luz que parte dele e atinge o espelho deve, segundo as hipóteses formuladas por nós para a refle-xão, ser refletido com ˆ ˆr i= = θ . Assim, conforme o desenho abaixo temos que

Eliminando θ nas equações acima, obtemos:

VC ep

R

x

es

d

A

B

αV

C R

A eixo principaleixo

secundário

centro de curvatura J do espelho, C: é o centro da superfície esférica da qual a calota foi retirada;

raio de curvatura J do espelho, R: é o raio da superfície esférica da qual a calota foi retirada;

vértice do espelho J , V: o ponto mais externo da calota esférica;eixo principal J do espelho: é a reta definida pelo centro de curvatura e pelo

vértice;eixo secundário J do espelho: é qualquer reta que passa pelo centro de curvatura,

mas não pelo vértice;abertura J do espelho, α : é o ângulo formado pelos eixos secundários que passa

pelos pontos, A e B, diretamente opostos pertencentes a borda do espelho.

h

V

p’

R

p

P’P C

θθ

βα

δ

γ

α θ β+ = , (2)

β θ γ+ = , (3)

α γ β+ = 2 . (4)


Dos triângulos retângulos formados na Figura temos

Podemos observar que, quando diminuímos o ângulo α , os ân-gulos β γe e também diminuem, e δ se torna muito pequeno em relação a p e p’ e R. Fisicamente isso significa que os raios que par-tem do objeto e atingem o espelho são muito pouco inclinados, isto é, quase paralelos ao eixo principal. Essa condição pode ser satisfeita quando a abertura do espelho é pequena o bastante (até 100). Essa condição impõe limite de validade ao modelo. Portanto, os resulta-dos aqui obtidos somente se aplicam aos espelhos esféricos que sa-tisfazem a essa condição, chamados espelhos esféricos de Gauss.

Agora, se α , e β γe são pequenos, podemos escrever

Desprezando os erros cometidos nessas aproximações, obtemos, usando a equação (4),

A equação (11) mostra que a posição p’ independe do ângulo α . Fisicamente isso quer dizer que qualquer raio que parte do obje-to em P e atinja o espelho será refletido passando por P’. Portanto, para um espelho esférico de Gauss, prevemos a formação nítida da imagem de P. Note-se que isso não é verdade para um espelho es-férico que não seja de Gauss, pois nesse caso p’ depende de α e os raios partindo de P com diferentes inclinações não se cruzam no mesmo ponto, formando não uma imagem pontual, mas, sim, uma imagem borrada do objeto pontual.

A equação (11) prevê que qualquer raio que incida sobre um espelho esférico de Gauss paralelo ao seu eixo principal será refleti-do passando por um ponto F sobre o eixo principal, chamado foco e

tg hp

α δ= − (5),

tg hR

β δ= − ( )6,

tg hp

γ δ= −’ ( )7.

α ≅ hp

( )8,

β ≅ hR

( )9,

γ ≅ hp’

( )10.

h

p

h

p

h

R+ =

’

2 ,

1 2 1 11p R p’

= − ( ).


que está a uma distância R2

do vértice, pois nesse caso p → ∞ e

Substituindo o resultado (12) na equação (11) obtemos

A equação (13) nos permite determinar a que distância do vértice,

sobre o eixo principal, se formará a imagem conjugada por um es-pelho esférico de Gauss de um objeto pontual que está sobre o eixo principal, a uma distância conhecida do vértice.

Assim, as leis da reflexão prevêem para um espelho esférico de Gauss as seguintes propriedades:

I. Todo raio de luz que, ao incidir no espelho, passa pelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo;

II. Todo raio de luz que, ao incidir no espelho, passa pelo foco principal, reflete-se paralelamente ao eixo principal;

III. Todo raio de luz, ao incidir no espelho paralelamente ao eixo principal, reflete-se, passando pelo foco;

( )F R= 2 12.

( )1 1 1 13F p p

= +’

.

i r≡

C Vep

(a)

F F

(b)

C

i r≡

i

r

ep

VC F

r

i

ep

FV C

1 2 1limF R pp

= −

→∞ ,

i

r

ep

VC F

r

i

ep

FV C


IV. Todo raio de luz que incide no vértice do espelho, reflete-se simetricamente em relação ao eixo principal.

É importante que o aluno seja capaz de obter as propriedades acima a partir dos resultados obtidos até aqui.

Para um objeto extenso colocado sobre o eixo principal, a aplica-ção das propriedades acima permite a obtenção gráfica de sua ima-gem.

E, ainda, usando nosso conhecimento sobre semelhança de triân-gulos, AV B A V Bˆ ~ ˆ’ ’ ,

determinar o tamanho da imagem. O sinal negativo é colocado por causa do sistema de eixos escolhido. A razão entre o tamanho da imagem e o do objeto é definido como o aumento linear da ima-gem,

Agora, nossas previsões devem ser confirmadas experimental-mente. Somente depois disso nosso modelo pode se tornar confiá-vel.

i

r

ep

VC F

r

ep

FV C

i

α α

α α

A

B’

A’

B

Vαα

0

i

p

p’

io

pp

=− ’ ( )14,

A io

= ( )15.


ep

VC F

A

B

B’

A’

epVC F

A

BB’

A’

Objeto entre o foco (F) e o centro de curvatura (C)

epVC

F

A

B

B’

A’

Objeto no centro de curvatura

Objeto além do centro de curvatura

ESPELHoS CÔNCAVo

Imagem real, invertida e menor

Imagem real, invertida e igual

Imagem real, invertida e maior


Objeto entre o foco (F) e o vértice (v)

Objeto no foco

epVC F

A

B

Objeto em qualquer posição

epVC F

A

B B’

A’

epV

CF

A

B B’

A’

Imagem imprópria

Imagem virtual, direita e maior

Imagem virtual, direita e menor

ESPELHoS CoNVEXo


2.3. Refração

Dando continuidade ao nosso desenvolvimento da óptica geométri-ca, iremos estudar o fenômeno da refração. O conhecimento ante-riormente adquirido pode nos ser de grande ajuda.

A observação mostra que a passagem da luz de um meio para ou-tro ocorre com uma mudança na direção no raio de luz, exceção feita quando o raio incide perpendicularmente à interface.

O conhecimento prévio do estudo da reflexão sugere que os me-lhores parâmetros para se estudar o fenômeno da refração talvez sejam o ângulo de incidência θi, formado pelo raio incidente e a normal, e o ângulo de refração θr, formado pelo raio refratado e a normal.

Nossa primeira hipótese é:

Após inúmeras confirmações experimentais da hipótese acima, essa se tornou a 1a Lei da refração.

Antes de darmos continuidade ao nosso estudo da refração; é oportuno mencionar que neste ponto já adquirimos experiência (co-nhecimento) o bastante e estamos aptos levantar a seguinte questão: o que queremos dizer com estudar o fenômeno, isto é, respostas para quais perguntas nós buscamos? Essa deve ser uma das primei-ras questões a serem pensadas quando desejamos estudar um deter-minado fenômeno.

Para o caso da refração a pergunta fundamental é: quais os fatores e como eles podem influenciar no desvio sofrido pelo raio de luz?

I. os ângulos de incidência e refração?II. os meios?III. a intensidade luminosa?IV. a cor do feixe luminoso?

A fim de estudarmos os efeitos do ângulo de incidência, faze-mos vários experimentos onde variamos os valores de θi e medimos os correspondentes valores do ângulo de refração. Para evitarmos as supostas influências dos demais fatores, mantemos os mesmos meios (1) e (2), o mesmo raio laser e a mesma intensidade.

vidro

ar

O raio incidente, o raio refratado e a normal pertencem ao mesmo plano.


É fácil observar que o valor do ângulo de incidência influencia no desvio sofrido pelo raio refratado, pois diferentes valores de θ1 corres-pondem a diferentes valores de θ2. Nosso bom senso nos diz que essa influência não é aleatória e que existe uma relação entre eles. Nossa análise em busca dessa relação fica facilitada, construindo-se uma tabe-la como a mostrada abaixo.

É fácil ver que, se dobramos o ângulo de incidência de 50 para 100, também muito aproximadamente é dobrado o ângulo de refração de 3,53 para 7,05, se triplicamos o ângulo de incidência de 50 para 150, tam-bém é triplicado o ângulo de refração, e assim sucessivamente. Porém,

n

n n2 1>

1

Superfície de separação

Raio refratado

Normal (N)Raio incidente

θ2

θ1

θ1

0,005,00

10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,0045,0050,0055,0060,0065,0070,0075,0080,0085,0086,0087,0088,0089,0089,90

θ2

0,003,537,0510,5514,0017,3920,7023,9327,0330,0032,8035,4037,7639,8641,6443,0844,1444,7844,8644,9244,9744,9945,00

TAbELA 1


quando atingimos o valor de 350, para o ângulo de incidência, essa relação começa a deixar de ser verdadeira. Assim, uma aparente re-lação de proporcionalidade direta entre θ θ1 2e somente se mantém quando esses ângulos não são grandes.

Antes de nos desesperarmos, lembremos que em geral as relações matemáticas envolvem ângulos como argumentos de fun-ções trigonométricas. Isso nos dá a idéia de não buscarmos relações diretas entre os ângulos, mas, sim, entre funções trigonométricas cujos argumentos são esses ângulos.

A pergunta lógica é: que função ou funções? A análise acima nos dá uma dica valiosa de que função trigonométrica testarmos. Sabemos que para pequenos ângulos o seno tem valor aproximada-mente igual ao do ângulo (medido em radianos). Isso parece indicar fortemente que devemos usar os senos dos ângulos de incidência e refração.

Uma dúvida que pode ocorrer, é que a tangente de um pe-queno ângulo também é aproximadamente igual ao valor do ângulo. Entretanto, também sabemos que a tangente cresce muito rapida-mente quando seu argumento se aproxima de 900, que não é o com-portamento sugerido pelo final da tabela.

A tabela 2 abaixo inclui os senos dos ângulos de incidência e refração.

TAbELA 2 θ1

0,005,00

10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,0045,0050,0055,0060,0065,0070,0075,0080,0085,0086,0087,0088,0089,0089,90

θ2

0,003,537,0510,5514,0017,3920,7023,9327,0330,0032,8035,4037,7639,8641,6443,0844,1444,7844,8644,9244,9744,9945,00

sen( )θ1

0,000,090,170,260,340,420,500,570,640,710,770,820,870,910,940,970,981,001,001,001,001,001,00

sen( )θ2

0,000,060,120,180,240,300,350,410,500,540,580,610,640,660,680,700,700,710,710,710,710,710,71


É muito fácil ver agora que o seno do ângulo de refração é dire-tamente proporcional ao seno do ângulo de incidência, matematica-mente,

Para que uma relação de proporcionalidade se torne uma igual-

dade, devemos multiplicar um dos lados por uma constante de pro-porcionalidade. Assim,

De forma geral a quantidade de dados numéricos são muito

grandes, e a construção e análise de tabelas pode ser pouco prática. Por isso é mais comum a construção de gráficos que permitem uma análise muito mais rápida e eficiente dos resultados. A figura abaixo representa o gráfico de sen(θ1) X sen(θ2).

Ela mostra uma reta passando pela origem. Isso significa que a relação entre sen(θ1) e sen(θ2) é linear e que quando sen(θ1) é nulo também o é sen(θ2). Portanto, a relação entre eles é idêntica à equa-ção de uma reta com coeficiente linear nulo e coeficiente angular igual à constante de proporcionalidade.

Nosso próximo passo é o de estudarmos a influência dos meios. Mudando um dos meios, por exemplo o meio (2) para um outro meio (2’), e repetindo o experimento, obtemos o gráfico ao lado.

Podemos observar que a relação de proporcionalidade entre os se-nos dos ângulos de incidência e refração é mantida, pois o gráfico de sen(θ1) X sen(θ2) ainda é uma reta passando pela origem. Entretanto, o coeficiente angular da nova reta é diferente da anterior, o que signi-fica que a constante de proporcionalidade é alterada. Mudando o meio (1) para um outro meio, mais uma vez observamos que a relação de proporcionalidade se mantém, mas a constante de proporcionalidade é outra vez alterada. Concluímos que a constante de proporcionali-dade depende dos meios (1) e (2). Essa constante recebe o nome de índice de refração relativo do meio (1) em relação ao meio (2).

( )sen n senθ θ2 2 17( ) ( )= 1 1 .

sen sen( ) ( ) ( )θ θ1 2 16∝ .

senθ1

0,71

1

senθ2

60°

45°

60° 60°

35°21°

AR AR AR

Águan = 1,33

Vidron = 1,50

Diamanten = 2,40

senθ1

0,58

1 senθ2


Como esse índice de refração relativo parece estar ligado a pro-priedades ópticas dos meios, é tentador escrevê-lo como uma razão entre constantes que representam propriedades ópticas de cada meio, assim,

onde n1 é o índice de refração absoluto do meio (1) e n2 é o índice de refração absoluto do meio (2).

Para estudarmos a influência da intensidade da luz alteramos a intensidade do raio laser e repetimos os experimentos. A análise dos resultados obtidos mostra não haver qualquer alteração, indicando que a intensidade da luz não influencia no desvio sofrido pela luz na refração.

Por fim, podemos estudar a influência da cor da luz mudando o raio laser para outro de outra cor e repetindo novamente o expe-rimento. A análise dos resultados mostra que a relação de propor-cionalidade entre os ângulos de refração e incidência é preservada, porém a constante de proporcionalidade é alterada. Isso indica que, além de depender do meio, o índice de refração depende também da cor da luz que se propaga no meio. Isto pode ser visto facilmente nos experimentos, pois o raio azul sofre um desvio maior que o raio ver-melho, indicando que o índice de refração relativo n nar vidro

azular vidrovermelho

, ,> .

Nosso estudo até aqui sobre refração mostra que ela é regida pe-pela 1a Lei da refração e pela 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes

2( )n n

n121 18= ,

θ V2

vidro

ar

θA2

vidro

ar

PRIMEIRA LEI DA REFRAÇÃOO raio incidente, o raio refratado e a normal pertencem ao mesmo plano.

SEGUNDA LEI DA REFRAÇÃO

onde n é o índice de refração do meio, que, além de depender do próprio meio, depende também da cor da luz que nele se propaga.

θ θ ( )n sen n sen2 19( ) ( )= 211 ,


Como conseqüência de nosso estudo podemos afirmar que quan-do a luz passa de um meio de menor para um de maior índice de refração, o raio de luz deve se aproximar da normal.

Entretanto, se a luz passa de um de maior para outro de menor índice de refração, o raio de luz deve se afastar da normal.

vidro

ar

θ1

n1

n2

n1 < n2>

θ2

θ1 θ2

vidro

ar

θ1

n1

n2

n1 >n2<

θ2

θ1 θ2


2.4. Reflexão Total

Retornando à tabela 1 vemos que quando o ângulo de incidência ten-de a 900 o ângulo de refração tende a um valor limite, no caso 450. Assim, definimos o ângulo limite como

Agora, do princípio de reversibilidade dos raios de luz, podemos concluir que, partindo de um meio de menor índice de refração para outro de maior, o raio de luz somente conseguirá atravessar a inter-face, se incidir com um ângulo menor que o ângulo limite. Mate-maticamente isso é claro, pois o valor absoluto do seno de qualquer ângulo não pode ser maior que 1. Assim, se o raio de luz, partindo de um meio de maior índice de refração para outro de menor, incidir na interface com um ângulo maior que o ângulo limite, ele será. A esse fenômeno damos o nome de reflexão total.

( )n sen n sen L10

290 = ( ): θ ,

θL arcsen n n:= <1 2 , com (20)1

2

n

n.

ar

vidro

a b c d e

s

θ

f g

Espelho Plano

Interface água-ar

Laser


2.5. Lentes

2.6. Dispersão da luz

2.7. Dioptro plano

2.8. miragem

2.9. Arco-íris

O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link:

http://educar.sc.usp.br/otica/lente.htm

O aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através dos links:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Luzhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Dispersão_(óptica)


http://axpfep1.if.usp.br/~fisica2g/miragem/miragem.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Miragem

http://www.feiradeciencias.com.br/sala19/texto50.asphttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arco-írishttp://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=8&idSubSecao=&idTexto=186http://www.fsc.ufsc.br/~ccf/parcerias/ntnujava/Rainbow/rainbow-port.html

http://educar.sc.usp.br/otica/prisma.htmhttp://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/Rod_Oliveira/textos/dioptroplano.htm




Atividade 5:1.Abaixo estão diversos links sobre câmara escura. Alguns mostram como realizar um experimento simples.http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mera_escurahttp://br.geocities.com/saladefisica6/optica/camaraescura.htmhttp://www.cotianet.com.br/photo/hist/camesc.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica10/experimentos/e36.htmhttp://www.fc.unesp.br/experimentosdefisica/opt10.htm

Atividade 6:1.Abaixo estão diversos links sobre translação e rotação de um espelho plano. Alguns mostram como realizar um experimento simples.www.objetivocatalao.com.br/geraldo/material/ensino_medio/f2/optica/Optica_Aula02.ppthttp://educar.sc.usp.br/otica/reflexao.htmhttp://efisica.if.usp.br/otica/basico/reflexao/deslocamento/http://efisica.if.usp.br/otica/basico/reflexao/rotacao/http://www.if.ufrgs.br/~murillo/otica/node15.htmlhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_OG02.asphttp://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/vestibular00/vestibular-FenomenosOpticos005.html

Atividade 7: Questõeshttp://paginas.terra.com.br/educacao/physike/exercicios/espelhoplano.htm

Atividade 8: Exercícioshttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/conceitos.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/camara.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/reflexao.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/planos.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/analitico.htm

Atividade 9: Curiosidade. Código de barrashttp://www.macoratti.net/cod_bar.htm

Atividade 10: Questõeshttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/refracao.htm

Atividade 11: Exercícioshttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/relativo.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/snell.htm

Atividade 12: Demonstração da reflexão totalhttp://www.searadaciencia.ufc.br/sugestoes/fisica/oti14.htm

Atividade 13: Questõeshttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/lentes.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/optica/lentescon.htm

Atividade 14: Curiosidade. Cabo fibra ópticahttp://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/fibraoptica/interest.htm

Atividade 15: Óptica da visão.http://pt.wikipedia.org/wiki/Vis%C3%A3ohttp://educar.sc.usp.br/ciencias/fisica/mf4.htm

Atividade 16: Curiosidade. Lentes oftálmicashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Lentes_oft%C3%A1lmicas

Atividade 17: Leitura de páginas da Internet selecionadasNesta aula o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 2.6, 2.7, 2.8, 2.9.

Atividades Propostas


Atividade 18: A idéia desta atividade é ser muito informal e descontraída. Inicialmente, como incentivo, sugerimos uma página com diversas perguntas para o FORUM DE DISCUSSÃO, mas esperamos que os alunos tragam novas dúvidas e perguntas para o fórum. Também sugerimos algumas páginas onde o alu-no pode encontrar curiosidades relacionadas à óptica. Por último recomendamos uma página para revisão (muito interessante).

FORUM DE DISCUSSÃO

Perguntas para pesquisa e discussãohttp://br.geocities.com/saladefisica/planos/optica.htm

Ilusões de ópticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ilus%C3%A3o_de_%C3%B3pticahttp://www.searadaciencia.ufc.br/tintim/fisica/visao/tintim4-5.htmhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_01.asp

Por que o céu é azul ?http://www.feiradeciencias.com.br/sala09/09_03.asp Revisãohttp://prof.pateta.vilabol.uol.com.br/optica.html

3. o sistema solar

3.1. O Sistema Solar

3.2. A Terra3.2.1. O moviento da Terra

3.2.2. As estações do ano

3.3. A Lua3.3.1. O moviento da Lua

3.3.2. As fases da Lua

3.3.3. As marés

3.4. Os eclipses

3.5. O movimento dos planetas

3.6. Formação e evolução do Sistema Solar


PARTE 3

O SISTEMA SOLAR

O objetivo deste modulo é o de induzir o aluno a explorar o potencial de pesquisa na Internet. Com base nos temas das seções das aulas o aluno deve buscar por páginas onde possa conhecer o assunto. Como no final deste módulo o aluno terá de escrever um texto sobre o tema estudado, sugerimos sejam arquivados os endereços e/ou copiado aquilo que pense seja importante. Caso descubra páginas interessantes, não esqueça de enviá-los aos colegas. Para a pesquisa, use sites de busca como google.

3.1. o Sistema Solar

O aluno deverá buscar o assunto abordado em páginas da Internet.

3.2.1. o movimento da Terra3.2.2. As estações do ano

3.2. A Terra

3.3. A Lua

3.4. os Eclipses

3.3.1. o movimento da Lua3.3.2. As fases da Lua3.3.3. As marés

3.5. o movimento dos planetas

3.6. Formação e evuloção do Sistema Solar


Atividade 19: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados:1. O Sistema Solar;2. A Terra e seus movimentos;3. As estações do ano;

Atividade 20: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados:1. A Lua, suas fases e seus movimentos;2. As marés;3. Os eclipses;

Atividade 21: Pesquisa na Internet sobre os temas selecionados:1. O movimento dos planetas;2. Formação e evolução do Sistema Solar;

Atividade 22: Exercícios mútipla escolha.

Atividades Propostas Anotações

Anotações

4. MECÂNICA NEWTONIANA DE UMA PARTÍCULA

4.1. Introdução

4.2. Vetor posição

4.3. Velocidade

4.4. Quantidade de movimento ou movimento linear

4.5. Força

4.6. As Leis de Newton

4.7. Referenciais inerciais e não ineciais

4.8. Aplicações das Leis de Newton

4.9. Força de atrito

4.10. Forças de arrasto

4.11. Força elástica


PARTE 4

MECÂNICA NEWTONIANA DE UMA PARTÍCULA

O objetivo deste módulo não é uma revisão de mecânica do ensino mé-dio, abordando técnica de soluções de problemas, mas, sim, uma revisão discutida de seus conceitos fundamentais.

4.1. introdução

A mecânica é o ramo da Física que estuda o movimento dos corpos, suas causas e seus efeitos. Seu objetivo principal é prever a loca-lização de uma partícula a qualquer instante de tempo. O estudo da mecânica pode ser realizado em diferentes abordagens ou for-malismos. O formalismo newtoniano é intuitivo e tem suas bases fundamentais na obra monumental de Isaac Newton, Os Principia, divididos em três livros. Teve sua primeira edição publicada em 1687 com o título: Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Os for-malismos de Lagrange, Hamilton, Hamilton-Jacob, entre outros, são abstratos e pouco intuitivos, entretanto permitem a solução de problemas complexos de forma muito mais fácil que na abordagem newtoniana.

O tema deste modulo é a mecânica newtoniana de uma partí-cula. Como partícula entendemos um corpo cujas dimensões são desprezíveis quando comparadas às demais dimensões envolvidas no problema.

4.2. Vetor Posição

Como vimos o objetivo da mecânica é localizar uma partícula. Mas o que entendemos por localização de uma partícula? Localizar uma partícula é dizer a posição ocupada por ela no espaço em que vi-vemos. Assim, a primeira coisa em que devemos pensar é sobre o espaço em que vivemos.

A experiência tem mostrado que, para as regiões do espaço en-volvidas em nosso cotidiano, o espaço é euclidiano, homogêneo e isotrópico. Por euclidiano queremos dizer que os experimentos mos-tram que ele satisfaz os axiomas de Euclides, isto é, pelo menos para pequenas regiões, o espaço em que vivemos é não-curvo. Por ho-


mogêneo queremos dizer que acreditamos que um volume muito pequeno (elemento de volume) do espaço seja igual em qualquer lugar do espaço, isto é, que o espaço seja igual em todos os pontos. E, finalmente, por isotrópico queremos dizer que o espaço tem o mesmo comportamento qualquer que seja a direção escolhida.

Retornemos a nossa questão. Localizar uma partícula é dizer onde ela está, de forma que qualquer outra pessoa seja capaz de en-contrá-la. Localizar é dizer sua posição. Mas como? Em geral, quan-do queremos dizer onde algo se encontra, damos a referência de algum lugar que seja de conhecimento prévio de todos e a partir dele localizamos o que queremos. Na Física não é diferente. Esse lugar de conhecimento prévio de todos é chamado referencial (mais propria-mente, origem do referencial, como veremos) e é a partir dele que localizamos a partícula.

Vamos supor que desejássemos dizer a posição da pupila de seu olho esquerdo. Primeiramente devemos escolher o referencial. Esco-lhemos um dos cantos onde se encontram o chão e duas paredes da sala em que você está. Note que não bastaria dizer a distância de sua pupila a esse ponto, pois não estaríamos localizando unicamente sua pupila com essa informação. Sua pupila poderia estar em qualquer ponto sobre uma superfície esférica imaginária de raio igual a essa dis-tância. Isto quer dizer que, dado um referencial, um único número não é capaz de dizer a posição de uma partícula. Agora se falássemos, a partir do ponto de intersecção das duas paredes e do chão, que cha-maremos de origem do referencial, seguindo a linha da intersecção da parede onde está a porta e o chão, ande x metros; depois, seguindo paralelo à linha da intersecção da outra parede e o chão, ande mais y metros; e, finalmente, perpendicularmente ao chão, suba z metros, localizaríamos unicamente a pupila. Isso mostra que a localização de uma partícula no espaço somente é unicamente determinada quando são fornecidos três números. Porém, esses números não são quaisquer, eles devem ser fornecidos em relação a retas previamente convenciona-das. Então, para determinarmos a posição de uma partícula não basta apenas escolhermos um referencial e sua origem, precisamos escolher três retas que passam por essa origem e fornecer três parâmetros em relação a essas retas. Ainda, essas retas devem estar duas a duas em (três) planos diferentes. Como sabemos, a entidade matemática com as características acima é um vetor. Portanto, a grandeza física posição é representada matematicamente por um vetor, sendo, então, uma gran-deza vetorial, também chamada vetor posição

�r . As retas são os eixos

da base do sistema de coordenadas. No caso da posição da pupila, como alternativa podemos convencionar que a reta definida por uma das pa-redes e o chão seja chamada de eixo X, a outra de eixo Y e a reta definida pela intersecção das duas paredes de eixo Z. A posição da pupila seria dada pelas coordenadas (x, y, z). Assim, antes de iniciarmos o estudo de qualquer fenômeno ou problema em mecânica, devemos primeira-mente escolher um referencial e sua origem, e depois um sistema de eixos coordenados. O sistema de coordenadas cartesiano é usado na maior parte de nosso curso.

Matematicamente o objetivo da mecânica é o determinar a função vetorial posição como função do tempo,

� �r r t= ( ) ( )1.

z

x

y

Eixos coordenados cartesianos


4.3. Velocidade

Na maioria dos casos a partícula não permanece no mesmo lugar e sim fica mudando de lugar, isto é, sua posição varia com o tempo. Então, se sabemos onde a partícula está em um instante e desejamos saber onde estará no próximo instante, precisamos de uma grandeza física que nos diga para onde a partícula vai e quão rápido ela vai, ou seja, precisamos de uma grandeza que diga como varia a posição da partícula com o tempo. A grandeza física que fornece essa informa-ção é chamada velocidade que é sua definição física. Como a veloci-dade deve ser capaz além de dizer o quão rápido a partícula vai para sua nova posição, também deve dizer para onde ela tende a ir (onde será a nova posição), isto é, em que direção e em que sentido, daí podemos concluir que a velocidade deve ser uma grandeza vetorial. A operação matemática que permite calcular a taxa com que uma grandeza varia com outra é a derivada. Assim, matematicamente o vetor velocidade pode ser determinado pela derivada do vetor posi-ção com relação ao tempo,

� �v dr

dt:= (2),

onde o símbolo “:=” significa é definido como. Note-se que isto é diferente de é igual a.

O módulo do vetor velocidade é a taxa com que o espaço percorri-do pela partícula varia no tempo e é o que é medido pelo velocímetro do carro.

A velocidade não é uma grandeza fundamental, sendo derivada da posição e do tempo. Seu módulo tem dimensão de comprimento por tempo e no SI é medida em metros por segundo (m/s).

Dizemos que uma partícula está em repouso se seu vetor posição não varia no tempo,

repouso �v =0 (3),

do contrário dizemos que a partícula está em movimento,

movimento �v 0 (4),≠

Surge agora a pergunta: a velocidade é sempre a mesma para todo observador? A resposta é não. Suponha que você esteja sentado na poltrona de um vagão de trem que está se afastando da estação. Para um observador na estação você estaria em movimento, porém para outro observador também sentado em uma poltrona do vagão você estaria em repouso. Assim, em relação a um referencial no solo você estaria em movimento, enquanto para um referencial no vagão você estaria em repouso. Portanto, uma partícula estar ou não em movi-mento depende do referencial, e, conseqüentemente, a velocidade da partícula depende também do referencial.


4.4. Quantidade de movimento

Encontrarmos uma grandeza que possa dizer o quanto de movi-mento tem uma partícula parece ser muito útil. Vamos chamar essa grandeza de momento linear ou como sugere sua definição quanti-dade de movimento (comumente usada no ensino médio). É claro que essa grandeza deve ser vetorial, pois o movimento está associa-do à direção e ao sentido. Como é a velocidade que diz se uma par-tícula está ou não em movimento e quão rápido é esse movimento, esperamos que sua quantidade de movimento

�p seja proporcional a

sua velocidade,

(5)p v∝��

.

A experiência diária nos mostra que o esforço que devemos fazer para mudar o movimento de duas partículas com a mesma veloci-dade pode ser diferente para partículas diferentes. Isso significa que a quantidade de movimento que tem uma partícula não depende somente de sua velocidade, mas também de alguma propriedade in-trínseca da partícula (relacionada a sua quantidade de matéria). A essa propriedade intrínseca da partícula, que está relacionada ao mo-vimento da partícula, damos o nome de massa inercial. Como não temos informação sobre a massa inercial é razoável considerar que essa seja proporcional à quantidade de movimento da partícula,

(6)p m∝

�,

onde m representa a massa inercial, que pode ser uma grandeza escalar ou não. Das relações (5) e (6) temos

(7)p mv∝ ��

.

Para tornarmos a relação acima uma igualdade, devemos multi-plicar por uma constante de proporcionalidade. Entretanto, a massa inercial é uma nova grandeza bem como a quantidade de movimen-to. Assim, podemos escolher um sistema de unidades onde a massa inercial seja uma grandeza fundamental e o momento linear uma grandeza derivada dela, tal que a constante de proporcionalidade seja igual à unidade, assim,

(8)p mv= ��

.

Uma vez que a massa inercial é uma propriedade intrínseca da partícula e o espaço é homogêneo, a massa inercial não deve depen-der da posição onde se encontra a partícula, portanto ela deve ter o mesmo valor em qualquer ponto do espaço, isto é, deve ser uma função que não dependa de

�r . Ainda, como o espaço é isotrópico,

ela não deve depender da direção de movimento da partícula e, por-tanto, deve ser um escalar. Assim, definimos a quantidade de movi-mento ou o momento linear de uma partícula como

(9)p mv:= ��

,

onde m é a massa inercial da partícula, uma grandeza escalar que depende apenas da partícula (de sua quantidade de matéria).


Em um sistema de unidades no qual a massa inercial é uma grandeza fundamental, a dimensão da quantidade de movimento é dada por

massa comprimento

tempo(10).

No SI a unidade de massa é quilograma (kg) e, portanto,

(11)mp kgs

= .

É claro que a quantidade de movimento de uma partícula depen-de do referencial e a massa inercial não.

4.5. Força

Uma vez que o movimento de uma partícula, ou melhor, sua quan-tidade de movimento pode ser alterada, é de importância fundamen-tal definirmos uma grandeza que possa dizer o quão rápido a quan-tidade de movimento da partícula muda. A essa grandeza damos o nome de força. Assim, definimos força como a taxa com que a quantidade de movimento da partícula varia no tempo. É claro que a força deve ser capaz de dizer em que direção e sentido ocorrem essa taxa de variação, portanto, a força deve ser uma grandeza vetorial. Como já vimos anteriormente a operação matemática que corres-ponde fisicamente à taxa de variação de uma grandeza com o tempo é sua derivada temporal. Desta forma, matematicamente definimos força como

� �F dp

dt:= (12).

Uma análise cuidadosa da definição de força, mostra que essa grandeza tem um significado muito mais profundo do que aparenta. Se a quantidade de movimento de uma partícula muda é por que “al-guém” age sobre ela. Dizemos que o movimento da partícula muda porque ela interage com “alguém”. A esse “alguém”, que a princípio seria uma outra partícula, vamos chamar de agente externo ou vi-zinhança. Então a força nos fornece a informação muito poderosa de como o agente externo age sobre a partícula, isto é, de como a partícula interage com esse agente externo. Assim, a força é capaz de dizer mais do que o quanto, mas o quão rápido o agente externo modifica a quantidade de movimento da partícula. Portanto, força é a grandeza física que diz como uma partícula interage com um determinado agente externo.

Note que a afirmação acima está baseada na hipótese de que o movimento de uma partícula, portanto, sua quantidade de movi-mento não varia sem ação externa à partícula, ou seja, não se altera sozinha, o que parece muito razoável e é uma das leis fundamentais


da mecânica chamada lei da conservação da quantidade de movi-mento ou do momento linear:

Se acreditarmos que a quantidade de movimento que uma partí-cula tem não interfere na quantidade de movimento de outra partí-cula, podemos considerar que o momento linear total do sistema é a soma (vetorial) dos momentos lineares de cada partícula,

1 2

1 (13)

nn ii

P p p p p=

= + + + = ∑� � � � �� ,

e a lei de conservação do momento linear afirma que:

Das definições (9) e (12) podemos escrever

� �F

d

dtmv= ( ) (15).

Agora, se acreditarmos, e não temos por que não acreditarmos, que a massa inercial de uma partícula não varia no tempo, então so-mente a velocidade da partícula pode variar no tempo e a força fica

� �F m

dv

dt= (16).

A taxa com que a velocidade varia no tempo define uma nova grandeza física vetorial, chamada aceleração,

� �a

dv

dt:= (17).

cuja dimensão é comprimento/tempo2. Portanto, no S.I. a acelera-ção é medida em

[ ] 2

ma

s =

.

Substituindo a definição (17) na equação (16) temos

� �F ma .= (18)

A quantidade de movimento ou o momento linear de um sistema de partículas isolado de interações externas é conservado, isto é, se

mantém constante.

Para um sistema de partículas isoladas

= =1 1

. (14)n

inicial finali i

i i

p p=∑ ∑� �


Se considerarmos a massa como grandeza fundamental, a di-mensão de força é

massacomprimento

tempoM

L

T2= 2 .

Portanto, no S.I. é medida em

[ ] 2 (19)

mF kg

s = ,

que em homenagem a Sir. Isaac Newton recebe o nome de newton (N).

De forma geral o agente externo não é único, e a partícula pode interagir simultaneamente com diferentes agentes externos. Desta forma, a força que aparece nas equações acima reflete a interação resultante, portanto ela é uma força resultante da ação de possíveis diferentes forças. Se considerarmos que interações diferentes não interferem umas nas outras, podemos calcular a força resultante como a soma (vetorial),

F F F F F1 21

(20)N

R N ii=

= + + + = ∑� � � � �

� ,

onde �Fi é a força devido a i-ésima interação como se não existissem

as demais.

4.6. As Leis de Newton

LEI DA CONSERvAÇÃO DO MOMENTO LINEAR:A quantidade de movimento ou o momento linear de um sis-tema de partículas isolado de interações externas se mantém constante.

A abordagem usada por Newton, e a mais tradicionalmente usada, é o de postular três princípios fundamentais e a partir deles obter os demais resultados. Os resultados finais são os mesmos, porém os pontos de vista são diferentes no que se refere a quais grandeza são fundamentais. Na abordagem anterior a força tem apenas uma definição técnica, enquanto na tradicional das leis de Newton ela é fundamental e parte de intuição.

Se uma partícula está livre de interações (também dita isolada), a força resultante sobre ela é nula, e da equação (16) temos que

mdv

dt

�= 0 (21),

o que significa que sua velocidade é constante. Como a velocidade é uma grandeza vetorial, isto quer dizer que ela não varia em módulo,


direção e sentido. Esse resultado é equivalente à chamada Primeira lei de Newton ou Princípio de inércia:

Essa lei tem o grande mérito de “derrubar” nossa idéia aristo-télica de existir uma força agindo sobre um corpo para que ele se mantenha em movimento.

A tendência de um corpo permanecer em seu estado de movi-mento (repouso ou em MRU) é chamada de inércia, daí o nome princípio ou lei de inércia.

Note-se que a primeira lei é equivalente à hipótese de que a quan-tidade de movimento de uma partícula somente se altera se ela in-terage.

A segunda lei ou princípio fundamental da mecânica diz que a força resultante sobre uma partícula é diretamente proporcional à sua aceleração, assim,

� �F ma .= (22)

Da segunda lei, equação (22), podemos concluir que a massa inercial é uma propriedade intrínseca da partícula que se opõe à mu-dança de seu movimento.

Vamos considerar duas partículas completamente isoladas de in-fluências externas. Da lei da conservação do momento linear temos

1 2 1 2 , (23)inicial inicial final finalp p p p+ = +� � � �

( )1 1 2 2final inicial final inicialp p p p− = − −� � � �

, 1 2 . (24)p p∆ = −∆

� �

Podemos entender a equação acima como se a alteração do movi-mento de uma das partículas causasse o da outra, ou de outra forma a alteração do momento linear de uma das partículas fosse causado pela alteração do momento linear da outra. Para um intervalo de tempo t∆ , temos

1 2 . (25)p p

t t

∆ ∆= −

∆ ∆

� �

No limite em que o intervalo de tempo tende a zero as expressões acima são as taxas com que os momentos das partículas variam no tempo, portanto suas derivadas. Assim, temos

1 2 . (26)dp dp

dt dt= −

� �

Todo corpo livre da ação de forças permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uni-

forme (MRU).


Da definição (12), temos

2 1 1 2 . (27)F F→ →= −� �

A equação (27) diz que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é igual em módulo e direção, porém de sentido contrário à força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2.

O resultado acima é equivalente à terceira lei de Newton ou ao princípio de ação e reação:

A terceira lei de Newton pode ser satisfeita nas forma:- Forte, quando as forças de ação e reação têm a mesma linha de

ação;

- Fraca, quando as forças de ação e reação não têm a mesma linha de ação.

É importante observar que a terceira lei de Newton como colo-cada acima esconde como conseqüência o princípio de ação à dis-tância, pois ela afirma que uma variação sofrida pela partícula A é imediatamente sentida pela partícula B. Isso significa que a infor-mação da alteração do momento de A foi levada instantaneamente até B, portanto tendo uma velocidade de propagação infinita, o que contradiz a relatividade especial. Para salvarmos a terceira lei deve-mos introduzir o conceito de campo. Assim, em vez de pensarmos que uma partícula interage diretamente com outra, pensamos que a partícula interage com um campo e é esse campo que interage com a outra partícula. Assim, a interação se propaga pelo campo com velocidade finita e o momento perdido pela primeira partícula e que ainda não chegou à segunda é a variação de momento linear sofrida pelo campo. Assim, em um instante de tempo t temos

∆ + ∆ + ∆ =1 2 0 . campop p p� � �

(28)

Se um corpo A exerce um força A BF →

� sobre um

corpo b, o corpo b reage exercendo uma força

B AF →

� sobre A de mesma intensidade e direção,

mas de sentido contrário.

F21 F

12

F21

F12


4.7. Referencias inerciais e não-inerciais

Vamos considerar uma partícula livre de forças. A primeira lei afir-ma que essa partícula está em repouso ou em MRU. Como já vimos o movimento de uma partícula é relativo, dependendo do referencial. Portanto, podemos definir um conjunto de referenciais em relação aos quais a primeira lei é satisfeita. Os referenciais pertencentes a esse conjunto são chamados de referenciais inerciais.

Uma vez que a força resultante é nula, não existe uma maneira de dizer, de forma absoluta, qual é o referencial adotado, isto é, so-mente podemos dizer o adotado em relação a outro referencial iner-cial qualquer. Portanto, não existe um referencial inercial absoluto em relação ao qual possamos considerar todos os outros referenciais inerciais adotados, ou de outro modo, não existe uma velocidade absoluta. Assim, se o referencial adotado é um inercial, qualquer outro referencial estará em repouso ou se movimentando com velo-cidade constante em relação ao adotado. Fisicamente o que estamos dizendo é que se você fosse colocado dentro uma nave espacial sem qualquer tipo de interação com o meio externo e essa nave fosse um referencial inercial, você não poderia dizer se ela está ou não em repouso em relação a uma estrela muito distante. Portanto, as velocidades dos referenciais inerciais não têm qualquer significado físico, isto quer dizer que as leis fundamentais da física não devem depender do referencial inercial adotado. Esse postulado fundamen-tal é chamado de invariância de Galileu:

As leis fundamentais da física são idênticas em todos os referenciais que se movem com velo-cidade constante uns em relação aos outros.

Desta forma podemos “salvar” a lei da conservação do momento linear.

Na grande maioria dos problemas abordados nos cursos de me-cânica, as forças envolvidas são de contato e o intervalo de tempo de propagação da interação é muito pequeno em comparação com o intervalo de observação da variação do momento linear dos corpos, de forma que podemos desconsiderar a variação de momento sofri-da pelo campo.

PRIMEIRA LEI DE NEWTON:Todo corpo livre da ação de forças permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme (MRU).

SEGUNDA LEI DE NEWTON:� �F ma= .

TERCEIRA LEI DE NEWTON:Se um corpo A exerce um força sobre um corpo B, o corpo B reage exercendo uma força sobre A de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário.


Sejam dois referenciais inerciais S e S’, com o referencial S’ ten-do uma velocidade constante

�u em relação a S, como representado

na Figura.

Vamos considerar que no instante t = 0, quando as origens dos dois referenciais coincidem, observadores nos referenciais S e S´ atentam para o início de um evento. O final do evento é medido no instante t pelo observador em S e em t’ pelo observador em S’. Os experimentos (não relativísticos) têm mostrado que t t= ’ . Portan-to, os tempos e as componentes dos vetores posição de uma partícu-la nos referenciais S e S’ estão relacionados por

’ (29)

’

t t ,

r r ut .

= = +� � �

As transformações (29) são chamadas transformações de Galileu e “levam” um referencial inercial em outro. É fácil ver que as veloci-dades nos dois referenciais estão relacionadas por

� � �v v u= +’ ( )30,

e, portanto, as forças estão relacionadas por

’ ’’. (31)

dv du dvF m m m F

dt dt dt= + = =

� ��

A equação (31) mostra que as forças são iguais em ambos os re-ferenciais, isto é, as forças não variam quando mudamos de um re-ferencial inercial para outro. Portanto, concluímos que a força é um invariante sob transformações de Galileu. Isso está de acordo ao pos-tulado fundamental. De acordo com a equação (31) podemos tornar o postulado fundamental mais rigoroso enunciando-o como

Por covariantes queremos dizer que são inalteradas na suas formas.Agora vamos considerar uma partícula de massa m em repouso

em relação a um referencial S’ acelerado. Seja �aR a aceleração desse

referencial em relação a um referencial inercial S. Para o observador no referencial inercial S existe uma força agindo sobre a partícula, pois ela tem uma aceleração

�aR. Vamos supor que essa força seja de-

S’

S

r’

r

u

R

→

→

→

→

As leis fundamentais da física são covariantes sob transformações de Galileu.


vido à tração de uma corda inextensível e de massa nula. A aplicação da segunda lei de Newton na partícula nos fornece a equação

� � �F T ma .R= = ( )32

Agora para um observador no referencial S’ a aplicação da segun-da lei na partícula fornece

� �F ma’ ’= = 0 33( ),

pois a aceleração da partícula para o observador em S’ é nula. Isso quer dizer que para o observador em S’ não existe força agindo sobre a partícula. Contudo, a força de tração da corda não deixou de existir, ela é uma força aplicada sobre a partícula pela corda. Se colocásse-mos um medidor de força na corda (dinamômetro) ele sempre me-diria a mesma força, independentemente do observador. Portanto, deveríamos ter

� �F T’ = ( )34,

então da equação (32) obteríamos

� �F F’ = ( )35.

Mas se a equação (35) for verdadeira, a aplicação da segunda lei de Newton, equação (33), não é válida no referencial acelerado. A fim de salvarmos a segunda lei de Newton, introduzimos na equação (34) uma nova força chamada força fictícia, pois ela não é devido à inte-ração da partícula com qualquer outra partícula, mas, sim, devido ao referencial ser acelerado. Assim,

� � �F F Ffictícia’ = + ( )36.

Das equações (32), (33) e (36) é fácil obter

� �F ma .Fictícia R= − ( )37

Chamaremos as forças “verdadeiras” de forças aplicadas, assim em um referencial acelerado a força resultante será dada por

� � �F F FNI aplicada fictícia= + . ( )38

Referenciais nos quais agem forças fictícias são chamados não-inerciais. Deve ficar claro que um referencial não-inercial é ca-racterizado pela presença de forças fictícias. Embora as forças fictí-cias não sejam forças aplicadas, isto é, “verdadeiras”, nós podemos bem senti-las, quando um ônibus ou carro freia bruscamente ou quando um carro faz uma curva em alta velocidade.


4.8. Aplicações das Leis de Newton

4.9. Força de Atrito


http://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/aula_dinamica001.asphttp://www.cefetsp.br/edu/okamura/2%20Bimestre/resumo%20teorico%20da%20forca%20de%20atrito.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/atrito/atrito.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica6/dinamica/atrito.htmhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_02.asphttp://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/na61int.html

http://www.ciencia-cultura.com/Pagina_Fis/aula_dinamica001.asphttp://www.fisica-potierj.pro.br/poligrafos/leis_newton.htmhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_RE03.asphttp://www.virtual.unilestemg.br/laboratorio/praticas/forcas1roldanas1.swfhttp://br.geocities.com/saladefisica6/estatica/maquinasimples.htmhttp://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/maquinas/http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/inclinado/inclinado.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica6/estatica/inclinado.htmhttp://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Cursos/Curso1/na65pi.htmlhttp://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_03.asp


4.10. Forças de Arrasto

4.11. Força Elástica


http://www.fisica-potierj.pro.br/poligrafos/forca_elastica.htmhttp://educar.sc.usp.br/fisica/dinateo.htmlhttp://educar.sc.usp.br/licenciatura/2002/massamola/massamola.html

http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_RE_13.asphttp://educar.sc.usp.br/otica/lente.htm



Atividade 23,Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção.Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.8.

Atividade 24Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção.Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.9.

Atividade 25: Leitura de páginas da Internet selecionadas pela seção.Nesta atividade o aluno deverá estudar o assunto abordado em uma página da Internet selecionada através do link presente na seção 4.10 e 4.11.

Atividade 26: 1.Revisão e exercícios resolvidos. Entre na página do link abaixo e “click” em polígrafos:http://www.fisica-potierj.pro.br/2.Revisão e exercícios resolvidos e não-resolvidos:http://www.ciencia-cultura.com/fisica.asp

Atividades 27 e 28:1.Questões e exercícios:http://br.geocities.com/saladefisica8/cinematica/encontro.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/cinematica/quedalivre.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/primeiralei.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/segundalei.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/terceiralei.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/peso.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/deformacao.htmhttp://br.geocities.com/saladefisica8/dinamica/atrito.htm

Atividades Propostas Anotações

Anotações

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apostila de física

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