1 EAD EDUCAO A DISTNCIA 5O MDULO FSICA IIIA F3A Fevereiro/2011 FSICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO VITRIA 2010 2 SUMRIO CAPTULO 1 CAMPO ELTRICO 1. Carga eltrica 2. Processos de eletrizao 2.1. Eletrizao por atrito 2.2. Eletrizao por contato 2.3. Eletrizao por induo 3. Lei de Coulomb 4. Campo Eltrico 4.1. Conceito de campo eltrico 4.2. Linhas de fora 4.3. Campo eltrico gerado por uma distribuio de cargas eltricas pontuais em repouso 4.4. Campo eltrico gerado por uma distribuio contnua de carga eltrica em repouso 5. Campo eltrico uniforme 6. Dipolo Eltrico 6.1. Campo eltrico gerado por um dipolo 6.2. Um dipolo eltrico em um campo eltrico uniforme. 7. Lei de Gauss 7.1. Aplicaes da Lei de Gauss CAPTULO 2 POTENCIAL ELTRICO 1. Energia potencial eltrica 2. Potencial escalar eltrico 2.1. Superfcies equipotenciais 2.2. Potencial escalar eltrico gerado por uma carga eltrica pontual em repouso 2.3. Potencial escalar eltrico gerado por uma distribuio de cargas eltricas pontuais em repouso 2.4. Potencial escalar eltrico gerado por uma distribuio contnua de carga eltrica em repouso 2.5. Determinao do campo eltrico a partir do potencial escalar eltrico 2.6. Condutor em equilbrio eletrosttico 2.7. O poder das pontas 3. Capacitores 3.1. Capacitncia 3.2. Associao de capacitores 3.3. Energia armazenada em um campo eltrico 3.4. Dieltricos CAPTULO 3 CORRENTE ELTRICA 1. Corrente eltrica 1.1. Intensidade de corrente eltrica 1.2. Densidade de corrente eltrica 2. Resistncia e resistividade eltrica 2.1. Resistncia eltrica 2.2. Resistividade eltrica 2.3. Primeira lei de Ohm 2.4. Segunda lei de Ohm 2.5. Associao de resistores 3. Efeito Joule. Potncia eltrica dissipada 4. Circuitos eltricos de corrente contnua 4.1. Aparelhos de medida 4.2. Geradores 4.3. Leis de Kirchhoff 4.4. Circuitos RC BIBLIOGRAFIA3 CAPTULO 1 CAMPO ELTRICO 4 1. CARGA ELTRICA Muitos de ns, quando criana, j esfregamos uma rgua de plstico nos cabelosedepoisafizemoslevantarpedainhosdepapel.Semsaber, estvamos realizando um experimento semelhante aquele que iniciou o estudo do eletromagnetismo. Figura 1.1 Acredita-se que as primeiras observaes desse tipo de fenmeno, que hoje sabemos ser de natureza eltrica, foram realizadas por Tales de Mileto, na GrciaAntiga.Eleteriaobservadoque,apsseresfregadonal,ombar adquiria a propriedade de atrair objetos leves. A pergunta imediata : por que a rgua e o mbar so capazes de atrair outros objetos? Nossa primeira ideia que aps serem esfregados a rgua e o mbar adquirem alguma coisa, algum tipo de fluido, que os faz atrair outros objetos. Chamaremos essa alguma coisa de carga eltrica e a interao entre os objetos devido a ela de interao eltrica (foi Gilbert quem sugeriu o termo eltrica, como referncia ao mbar, que em grego elektron). Figura 1.2 Atritemos,separadamente,doisbastesdevidroemdoispanosde seda. A observao mostra que os dois bastes de vidro tendem a se repelirem quandocolocadosprximos,omesmoacontecendocomosdoispanosde seda.Entretanto,quandoopanodesedacolocadoprximoaobastode vidro,humaatrao.Podemosconcluir,ento,queexistemdoistiposde interao eltrica: uma de atrao e outra de repulso. Figura 1.3 Como podemos explicar a atrao e a repulso?Umahiptesequeexistemdoistiposdecargaeltrica.Obastode vidro,apsseratritadocomaseda,adquireumtipodecargaeltrica, enquanto a seda o outro. Como antes de serem atritados no h interao, os corposquenointeragemeletricamentedevemterasmesmasquantidades dosdoistiposdecargaparaquehajaumcancelamentodasinteraes. Poderamos tambm pensar que os corpos no tm carga eltrica e, portanto, 5 nointeragem.Entretantoissoimplicarianageraodecargaeltricapelo atritodoscorpose,assim,acargaeltricanoseriaumapropriedade intrnsecadamatria.cargaeltricaadquiridapelovidrodamosonomede positiva,ecargaeltricaadquiridapelasedadenegativa(poderamoster dado quaisquer nomes, tais como azul e verde, falsa e verdadeira).A hiptese deexistnciadedoistiposdecargaeltricasedeveaoqumicofrancs Charles Dufay em 1733. Outrahiptesequeexisteumtipodecargaeltricaequetodosos corpos tem uma quantidade bsica dela. Com o atrito do basto de vidro e da seda,partedestacargaeltricatransferidadeumcorpoparaoutro.Assim, doiscorposquetmexcessooufaltadecargaeltricaserepelem,enquanto umcorpoque tem excesso(falta)atradopor outroque tem falta(excesso). EssahiptesefoipropostaporBenjaminFranklinporvoltade1750.Alias,foi BenjaminFranklinquemusootermopositivoparaocorpoqueadquiriaum excessodecargaeltricaenegativoparaoqueadquiriaumdficitdecarga eltrica. Qualquerquesejaahiptesequemelhordescreveanatureza,a observao de inmeros experimentos conduziu aos seguintes princpios (aqui enunciados de acordo com a hiptese de dois tipos de cargas eltricas): Figura 1.4 Atualmente, sabemos que toda matria constituda por tomos e esses poreltrons,prtonsenutrons.Oseltronseosprtonstmamesma quantidade de carga eltrica, porm de tipos diferentes. Os nutrons tm carga eltricanula.Comohistoricamenteacargaeltricaadquiridapelombarou pelovidrorecebeuonomedepositivaeaadquiridapelaloupelasedade negativa,oseltronstmcargaeltricanegativaeosprtonstmcarga eltricapositiva.Acargaeltrica,ento,umapropriedadeintrnsecados constituintes da matria. Os tomos so eletricamente neutros, tendo, portanto, quantidades iguais de eltrons e prtons. Quando atritamos o vidro com a seda, eltrons dos tomos que formam ovidrosoarrancadospelaseda.Aseda,ento,ficacomumexcessode PRINCPIO DA CONSERVAO DAS CARGAS ELTRICAS Numsistemaisoladoeletricamente,adiferenaentreasquantidades totais de cargas eltricas positivas e negativas constante. PRINCPIO DA ATRAO E REPULSO Corposcarregadoscomcargaseltricasdetiposiguaisserepeleme carregados com cargas eltricas de tipos diferentes se atraem. 6 eltrons,isto,carregadanegativamente,eovidrocomumexcessode prtons, isto , carregado positivamente. Uma vez que somente eltrons podem ser transferidos de um corpo para outro,quandoumcorpoestcarregadonegativamenteporqueeletemum excessodeeltrons,enquantoumcorpocarregadopositivamentetemuma falta de eltrons. Acargaeltricaumagrandezaescalar,poisnecessitaapenas de um nmero para ser unicamente caracterizada. As unidades de carga eltrica no podemserderivadasdasgrandezasfundamentaisataquidefinidas. Entretanto,noS.I.,acargaeltricanoumagrandezafundamental,sendo suaunidade,ocoulomb(C),derivadadaunidadedeumanovagrandeza fundamental, a corrente eltrica, que definiremos posteriormente, e da unidade de tempo. Experimentos mostram que a carga eltrica no contnua, mas mltiplo deumaquantidadeelementardecargaeltrica,chamadacargaeltrica fundamental.Portanto,qualquerquantidadedecargaeltricaigualaum nmerointeiromultiplicadopelacargaeltricafundamental,q = n.Ovalor experimentalmentedeterminado para acargaeltrica fundamental , -19 C. importanteobservamosquecargaeltricanoumnmeropositivo ounegativoe,portantoumabusodelinguagemfalaremsomar algebricamentecargaseltricas,bemcomoousodevalorabsoluto,|q|. Cargas eltricas no se anulam, o que se anulam so seus efeitos. Entretanto, porconveninciaesimplificao,representaremosumacargaeltricadotipo positivo por um nmero positivo e uma carga eltrica negativa por um nmero negativo.Emboracargaeltricanotenhasinal,usaremosporvezesa expressosinaldacargaeltricacomosinnimodetipodecargaeltrica. Tambminteressantesalientarquecargaeltricaumapropriedadedas partculas.Umapartculanoumacargaeltrica,elatemumadeterminada quantidade de carga eltrica. E que carga eltrica puntiforme , por definio, umcorpoeletrizadocujasdimensessejamdesprezveisemrelaos distncias que o separa dos demais corpos eletrizados. Exemplo 1.1 Umaluno,duranteumseminrio,afirmouqueumprton(cargaeltrica+) podedecairemumnutron(cargaeltricanula),numeltron(cargaeltrica -)eumanti-neutrino(cargaeltricanula).Faaumcomentriosobrea afirmao do aluno. Soluo O decaimento descrito pelo aluno, - +- +vc, + = - +, no conserva a carga eltrica e, portanto, no deve ocorrer. 7 2. PROCESSOS DE ELETRIZAO Condutoressomateriaisnosquaisoseltronsmaisafastadosdo ncleo so fracamente ligados aos seus tomos. Esses eltrons so chamados de eltrons de conduo. Esses eltrons de conduo podem se mover quase livremente no interior do condutor. Isolantesoudieltricosomateriaisnosquaisoseltronsesto fortementeligadosaosseustomos,nosendopossvelquesemovamno interior do isolante. Quandocarregamosumcorpocomumadeterminadaquantidadede carga eltrica, dizemos que o corpo foi eletrizado. Assim, quando esfregamos o basto de vidro com um pano de seda estamos realizando uma eletrizao por atrito.Existemdiversasmaneirasdeseeletrizarumcorpo.Vamosdiscutiras principais delas. 2.1 ELETRIZAO POR ATRITO Naseoanteriorvimosexemplosdeeletrizaoporatrito.Na eletrizao por atrito eltrons so arrancados de um corpo e transferidos para outro.Assim,naeletrizaoporatritonecessariamenteoscorpos ficam eletrizados com cargas eltricas de tipos diferentes. Umadvidaquepodesurgirnaeletrizaoporatritoqualcorpofica eletrizadopositivamenteequalficaeletrizadonegativamente.Umcorpo quandoeletrizadoporatritonoficaeletrizadosemprecomcargaeltricade mesmotipo.Issodependecomqueoutrocorpoeleatritado.Alquando atritadacomovidroficaeletrizadanegativamente,entretantoquandoatritada com uma barra de cobre ou a ebonite fica eletrizada positivamente. A chamada srietriboeltricaumatabela(vejatabela1.1)ordenadadesubstncias,de talmodoque,quandodoiscorpossoatritados,ocorpoformadopela substnciamaisacimanatabelaficaeletrizandopositivamente,enquantoo formado pela substncia mais abaixo fica eletrizado negativamente. Tabela 1.1 EletrizaoSubstncia Pele humana seca Vidro Mica L Chumbo Pele de gato Seda Algodo mbar Ebonite(borracha vulcanizada) Cobre Prata Ouro Isopor Vinil (PVC) Silicone 8 Exemplo 1.2 Para impressionar os colegas, um aluno fez a seguinte mgica: esfregou um canudo de refresco com um leno de papel e depois colocou-o junto a parede ecomopormgicaocanudonocaiuapsoalunosoltar.Expliquecomo ocorreu a mgica do aluno. Soluo Ao esfregar o canudo com o leno de papel o canudo ficou eletrizado. Quando o canudo colocado junto parede, as cargas eltricas da parede do mesmo tipo da do canudo eletrizado so repelidas ficando as de sinal oposto prxima ao canudo e, portanto exercendo uma fora de atrao no canudo. 2.2 ELETRIZAO POR CONTATO SeumcondutoreltricoA,eletrizadonegativamente(comexcessode eltrons),colocadoemcontatocomoutrocondutorB,inicialmenteno eletrizado, eltrons de conduo do condutor A, que tende a se repelirem, iro semoverparaocondutorB,atqueoequilbriosejaatingido.Separandoos condutoresapsoequilbrioseratingido,ocondutorApermaneceeletrizado negativamente,emboracomumnmeromenordeeltronsemexcesso,eo condutor B fica eletrizado tambm negativamente. Figura 1.5 SeocondutorAestivesseeletrizadopositivamente,quandocolocado emcontatocomocondutorB,eltronsdeconduodocondutorBseriam atrados para o condutor A. Separados, aps o equilbrio, o condutor A estaria eletrizadoaindapositivamente,pormcomumnmeromenordeeltrons faltando,eocondutorBtambmestariaeletrizadopositivamente,poiscedeu eltrons de conduo para o condutor A. Figura 1.6 9 Assim, na eletrizao por contato os corpos ficam eletrizados com cargas eltricas de mesmo tipo. NocasodoscondutoresAeBseremidnticos,apsocontato,eles tero quantidades iguais de carga eltrica. importantedizerquenonecessrioqueoscorpossejam condutores para que eltrons do corpo eletrizado negativamente passem para ocorpoeletrizadopositivamenteoueletricamenteneutro.Entretanto,para corpos condutores a eletrizao por contato ocorre com maior facilidade. Exemplo 1.3 Umabarrametlicacarregadaatraifragmentosdecortiaque,assimquea tocam, so repelidos. Explique a causa disso. Soluo Uma vez que inicialmente os fragmentos de cortia e a barra se atraem, eles estoinicialmenteeletrizadoscomcargaseltricasdediferentestipos.Aose tocarem eltrons so transferidos da barra para os pedaos de cortia ou dos pedaos de cortia para a barra. O tipo de carga eltrica de menor quantidade neutralizada e a carga eltrica que fica em excesso dividida entre a barra e ospedaosdecortia,deformaquetodosficameletrizadoscomcargas eltricas do mesmo tipo e, portanto, se repelindo aps o contato. Exemplo 1.4 Quatros esferas metlicas iguais esto isoladas umas das outras. Uma delas esteletrizadacomumacargaeltricaeasoutrastrsestoneutras. Coloca-seemcontatoaesferacarregaemcontatocomumadasesferas neutra,depoiscomoutraeporfimcomaltimaesferaneutra.Qualsera carga eltrica final da esfera inicial carrega? Soluo Aosercolocadaemcontatocomaprimeira esferaneutra,aesferacarregadividesua cargaeltricacomaesferaneutra,ficando commetadedesuacargaeltricaoriginal. Quando colocada com a outra esfera neutra, novamente eladividesuacargaeltricacom aesferaneutra,ficandoagoracommetade dacargaeltricaquetinhae,portanto,com umquartodacargaeltricaoriginal.Porfim, ao ser colocada com a ltima esfera neutra o processoserepedeeaesferainicialmente carregaficacomapenasumoitavodesua carga eltrica original. 2.3 ELETRIZAO POR INDUO SeumcondutoreltricoA,eletrizadopositivamente(comfaltade eltrons), colocado prximo,masno emcontato,a umcondutorB,isolado 2 2 2 4 4 4 8 8 10 eletricamente, os eltrons de conduo do condutor B se movem de forma a se aproximaremdocondutorA.Assim,doladodocondutorBmaisprximodo condutor A haver um excesso de eltrons, ficando negativo e do lado oposto uma falta de eltrons, ficando positivo. Figura 1.7 SeumfiocondutorligadodaTerraaoladopositivodocondutorB, eltronsdaTerra,atradospeloladopositivodeB,iroparaocondutorB atravs do fio. Figura 1.8 Agora,seofioretirado,ocondutorBficarcomumexcessode eltrons e, portanto, negativamente carregado. Figura 1.9 Se o condutor A estiver carregado negativamente, eltrons em excesso de B iro se mover para a Terra, deixando o condutor B positivo. Figura 1.10 Assim,naeletrizaoporinduooscondutoresficamcom cargas eltricas de tipos opostos. 11 Exemplo 1.5 Trs esferas metlicas iguais A, B e C, esto apoiadas em suportes isolantes, tendoaesferaAcargaeltricanegativa.Prximasaela,asesferasBeC esto em contato entre si, sendo que C est ligada terra por um fio condutor, como mostra a figura. A partir dessa configurao, o fio retirado e, em seguida, a esfera A levada paramuitolonge.Finalmente,asesferasBeCsoafastadasumadaoutra. Aps esses procedimentos, as cargas eltricas das trs esferas satisfazem as relaes: a)A < , B > e C > . b)A < , B = e C = . c)A = , B < e C < . d)A > , B > e C = . e)A > , B < e C > . Soluo SejamA,BeCascargaseltricasfinaisdasesferasA,BeC, respectivamente. Como a esfera A se mantm isolada sua carga eltrica no sealtera,entoA < .AesferaAinduznasesferasumacargaeltricade sinal oposto ao seu, ento B e C ficam positivas e como elas so idnticas B = C. Portanto, a resposta correta o item a). 3. LEI DE COULOMB At o agora temos falado sobre a interao eltrica, mas sem um estudo quantitativo do fenmeno. Por interao eltrica entendemos a fora, chamada deforaeltrica,exercidaporumcorpoeletricamentecarregadosobreoutro, tambm, eletricamente carregado. Gostaramos de responder perguntas como: A fora eltrica depende da distncia entre os corpos carregados, se sim como esta dependncia? A fora eltrica depende da quantidade de carga eltrica dos corpos, se sim como esta dependncia? Qual a linha de ao da fora eltrica? A fora eltrica depende do tipo da carga eltrica? A fora eltrica depende do meio onde esto os corpos carregados? Pararespondermosaessasperguntasdevemosobservarofenmeno eltricocuidadosamente,recorrendoexperimentaoparaisso.Paraquea distribuiodecargaeltricanoscorposnoinfluencienossosresultados, ABC 12 recorremosacargaseltricaspuntiformes.Ento,vamosconsiderarque podemosdealgumaformamedirexperimentalmenteaintensidadedafora eltricaentrecargaseltricaspuntiformes.Parapodermosdeterminara influncia sobre a fora eltrica de cada parmetro devemos variar o parmetro desejado, mantendo constantes os demais. Consideremosduascargaseltricaspuntiformes,q1eq2.Comoj sabemoscargasdemesmotiposerepelemecargasdetiposdiferentesse atraem.Aobservaotambmmostraquealinhadeaodaforaeltrica est na linha que une as cargas eltricas puntiformes. Figura 1.11 Para sabermos como a intensidade da fora depende da distncia entre ascargaseltricaspuntiformes,mantemosconstantesascargaseltricase variamosadistncia. Suponhaqueosresultadossoos mostradosnatabela 1.2 e no grfico da figura 1.12. Tabela 1.2 Fora (10-9 N)Distncia (10-3 m) 72,001,00 18,002,00 8,003,00 4,504,00 2,885,00 2,006,00 1,477,00 Figura 1.12 Dos resultados obtidos, podemos fazer a hiptese que a intensidade da foraeltricaentreduascargaseltricaspuntiformesdeveserinversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. Matematicamente temos 12, (1.1) onde r a distncia entre as cargas eltricas puntiformes. Comoaprincpionotemosumpadroparamedircargaeltrica, razovelconsiderarqueaforaeltricasejadiretamenteproporcional quantidade de carga eltrica das partculas pontuais. Assim, matematicamente temos 13 q1q2. (1.2) Agora,realizandoasmesmasobservaes,pormemoutromeio, notamosqueaproporcionalidade(1.1)semantm,emboraosvaloresda intensidadedaforaeltricasemodifiquem.Assim,conclumosquea constantedeproporcionalidadedevedependerdomeio.Ainda,comoacarga eltricaumapropriedadedacargaeltricapuntiforme,elanodevevariar comomeioondeseencontra,eaequao(1.2)devetambmsemanter.Reunindo as hipteses anteriores, temos = q1q22. (1.3) O valor da constante para um mesmo meio pode ter valores diferentes conformeosistemadeunidadesescolhido.Quandoomeioovcuo1,ns escrevemos 0.NoS.I.0 9 9Nm2/C2.Afimdesimplificarasrelaes queaparecemnateoriadoeletromagnetismoconvenienteexpressar,no sistema S.I., a constante 0 como 0 =14ns0. (1.4) A constante e0 denominada de permissividade do espao livre (ou do vcuo) e seu valor dado por e0 = 8,888 -12 C2/N.m2. Como fora uma grandeza vetorial, conveniente escrevermos a fora eltricaemnotaovetorial. Tomandoa origemdoreferencialnapartculade carga eltrica q1, a fora eltrica que essa partcula exerce sobre a partcula de carga eltrica q2 dada por =14ns0q1q2122r12. (1.5) Figura 1.13 Usando uma balana de toro, Charles Augustin de Coulomb foi capaz de encontrar o resultado da equao (1.5) em 1785, que ficou conhecido como Lei de Coulomb.Notequepoderamosdefinirumaunidadedecargaeltrica,apartirda leideCoulomb,comoacargaeltricaqueexercerumadeterminadafora sobre uma carga eltrica puntiforme de prova. Entretanto, experimentalmente maisprecisomediraforamagnticaentredoisfiostransportandocorrentes eltricas do que a fora eltrica entre cargas eltricas puntiformes. 1 Quando no for mencionado o meio, ns o consideraremos o vcuo. 12rr12 rq1 q2 14 Porhora,afirmaremos,semcomprovarmos(vejaseo7,Leide Gauss), que uma esfera metlica ou dieltrica com uma distribuio esfrica de carga eltrica se comporta, para pontos exteriores, como uma partcula pontual de carga eltrica igual carga eltrica total da esfera situada em seu centro. Exemplo 1.6 Em um modelo simplificado, o tomo de hidrognio formado por um eltron, de massa c = 9, -31 e carga eltrica = -, -19 , que gira emtornodeumprton,demassap = , -27 ecargaeltrica = +, -19 ,emumarbitacirculaderaior = , -11 . Determinearazoentreosmdulosdaforadeatraogravitacionale eltrica exercida pelo prton sobre o eltron. Soluo O mdulo da fora gravitacional exercida pelo prton sobre o eltron gutuconuI = mcmp2. (1) O mdulo da fora eltrica exercida pelo prton sobre o eltron cItcu =14ns0c22. (2) A razo entre os mdulos das foras dado por PgrcitccicnclPcltricc=umcmpr2_14ns0c2r2], PgrcitccicnclPcltricc=umcmp14ns0c2 =6,6710-119,1110-311,6710-28,99109(1,6010-19)2=1,0110-62,3010-28, = PgrcitccicnclPcltricc= ,9 -40. (3) O resultado da equao (3) mostra que a intensidade da fora eltrica cerca de 40 magnitudes maior que a fora gravitacional. Exemplo 1.7 Trs pequenas esferas tm cargas eltricas q, e q, respectivamente, e esto alinhadasconformemostraafigura.Nenhumadelasestfixa,pormastrs se encontram em equilbrio devido ao das foras eltricas. p 15 a)Sendo q > , qual o sinal de ? Justifique. b)Qual a relao entre q e ? Soluo a) Paraqueascargaseltricassemantenhamemequilbrio,aforaresultante sobrecadaumadelasdevesernula.Portanto,asforasqueatuamsobre cada partcula devem ter sentidos opostos e mesma intensidade, o que ocorre somente se= < . Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica temos csuItuntc 3 = 1-3 +2-3 = , 14ns0|q|2(2u)2t - 14ns0|q|||(u)2t= , |q|4= ||, = = -q4. Exemplo 1.8 Duas cargas puntiformes +q e +q esto livres e separadas por uma distncia o. Uma terceira carga eltrica colocada de tal modo que o sistema formado pelas trs cargas eltricas fica em equilbrio. Calcule a posio, mdulo e sinal da terceira carga eltrica. O equilbrio estvel? Soluo Como vimos no exemplo anterior, para que cargas eltricas se mantenham em equilbrio,aterceiracargaeltricadeveserdesinalopostodasoutrasduas cargas eltricas, portanto, q3 = -, com > . Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica temos (o - ) - +q +q 2-1 1-2 3-1 2-3 1-3 3-2 qq 2-1 1-21-32-33-23-1 oo qq 16 csuItuntc 1 = 2-1 +3-1 = , -14ns04q2u2t +14ns0qx2 t= , 4qu2 =x2. (1) Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica temos csuItuntc 2 = 1-2 +3-2 = , 14ns04q2u2t -14ns04q(u-x)2t= , 4qu2 =4(u-x)2. (2) Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica temos csuItuntc 3 = 1-3 +2-3 = , -14ns0qx2 t +14ns04q(u-x)2t= , 1x2 =4(u-x)2. (3) Note que a equao (3) combinao linear das equaes (1) e (2), pois (3) = (1) (2). Da equao (3) temos 2 +o -o2 = , (4) cujas razes so =-2u_V4u2+12u26, 1 = -o, (5a) e 2 =u3. (5b) A substituio dos resultados (5) na equao (1) ou (2) fornecem 1 = q, (6a) 2 =4q9. (6b) Asoluo1 = -oe1 = q(q3 = -q)deveserdesprezada,poisnoh 17 equilbrio. Portanto, a soluo = =u3, = q3 = -4q9. Exemplo 1.9 Penduram-seduasbolinhassemelhantes, de massa , a fios de seda de comprimento ;asbolinastmcargaseltricasiguaisq, conformemostraafigura.Suponhaque0 sejatopequenoquesepossasubstituir (0)porseuequivalenteaproximado, sin(0).Mostreque,nessaaproximao,no equilbrio = q2I2ns0mg13. Soluo Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica da esquerda temos csuItuntc = cItcu +cso +. Como o sistema se encontra em equilbrio, temos = -cItcut - + sin 0 t + cos 0 , cItcu = sin0, (1) 0 cso cItcu X oo -q+q +q 0 0 qq 18 = cos 0. (2) Dividindo a equao (1) pela equao (2) temos Pcltriccmg= tan0. (3) Substituindo na equao (3) o mdulo da fora eltrica que a carga eltrica da direita exerce sobre a carga eltrica da esquerda, cItcu =14ns0q2x2, e usando que tan0 sin 0 =x2I, temos 14ns0q2x2mg =x2I, = = q2I2ns0mg13. Exemplo 1.10 Duas cargas eltricas positivas + so mantidas fixas distncia o entre si. Uma partcula de carga eltrica -q e massa colocada no ponto mdio da linha que as une e, ento, recebe um pequeno deslocamento perpendicular linha que as liga, sendo liberada em seguida. a)Mostrequeapartculadecargaeltrica qrealizarummovimento harmnico simples (MHS). b)Calcule o perodo deste MHS. Soluo a) Vamos considerar que a partcula q sofre um pequeno deslocamento , para cima,comomostraafigura.(Dica:quandosedesejamostrarqueuma partcula realiza um movimento harmnico simples, conveniente, na maioria dasvezes,considerarodeslocamentodetalmodoqueaforaresultante 0 o 0 -q + o + 1cItcu 2cItcu X o -q + o + 19 sobre a partcula seja negativa). Aplicando a 2a lei de Newton na carga eltrica -q temos csuItuntc = o = 1cItcu +2cItcu, csuItuntc = 1cItcucos 0 t -1cItcusin0 -2cItcucos 0 t -2cItcusin0 . Comoambasaspartculasdecargaeltrica+ficamamesmadistnciada partcula de carga eltrica q, temos que 1cItcu = 2cItcu =14ns0q(u2+2). Assim, temos csuItuntc = -14ns0q(u2+2)sin0 , csuItuntc = -12ns0q(u2+2)32 . (1) Emboraaforaresultantedaequao(1)sejaumaforarestauradora,ela noadoMHS,csuItuntcMHS= -(conson)X.Entretanto,comoo deslocamento de -q pequeno, temos que o, ento u e colocando o2 em evidncia no denominador da equao (1) temos csuItuntc = -12ns0qu3_1+j2c2]32 , csuItuntc = -12ns0qu3 +2u2-32 . (2) Agora usando a expanso binomial ( +)n +n, para , obtemos csuItuntc -12ns0qu3 -32 2u2 . (3) Por fim, desprezando o termo u2 em relao a 1, ficamos com csuItuntc = -q2ns0u3 , csuItuntc = -q2ns0u3. (4) Oresultado(4)mostraqueparapequenosdeslocamentosaforaresultante sobre a partcula de carga eltrica q uma fora restauradora, portanto, essa partcula realizar um MHS sobre a reta mediatriz. 20 b) Da equao (4) temos o = -q2ns0u3, d2dt2= -q2ns0mu3. (5) Comparando a equao (5) com a equao do MHS, d2Xdt2= -2X, vemos que 2 =q2ns0mu3. (6) Sendo o perodo dado por =2no, obtemos = = n_2ns0mu3q. Comentrio Comomostraaequao(1),qualquerquesejaodeslocamentodapartcula decargaeltrica qaforaresultantesobreelarestauradora,isto,a partculasempretendearetornarparasuaposiodeequilbrio,noponto mdiodosegmentoqueuneaspartculasdecargaeltrica+.Assim,sea partcula qsofreumdeslocamentoinicialmxdevidoaumagenteexterno, seudeslocamentoemqualquerinstanteposteriorser|| |mx|(pela conservaodaenergiamecnica).Ainda,seapartcula qsofreum deslocamento inicial mx pequeno, isto , |mx| o, ento || o sempre, e o movimento pode ser considerado um MHS. Exemplo 1.11 Duas cargas eltricas pontuais positivas, iguais a q, so mantidas distncia fixa o. Uma carga eltrica pontual de prova localiza-se em um plano normal linha que liga aquelas cargas e na metade do caminho entre elas. Encontre o raiodocrculonesseplanoparaoqualaforasobreapartculadeprova tenha valor mximo. Soluo 21 Considereque acargaeltricadeprovaestaumadistncia pdalinhaque uneascargaseltricasqs.Sejameasforasexercidaspelascargas eltricassobreacargaeltricadeprova.Ento,aforaeltricaresultante sobre a carga de prova cIt = +. Decompondoessasforasnascomponentesperpendiculares(normais)e paralelas (tangentes) ao plano, temos cIt = - cos 0 n + sin 0 t + cos 0 n + sin0 t, (1) ondenetsoosversoresnasdireesnormaisetangenciaisaoplano, respectivamente. Os mdulos das foras eltricas so dados por = i =14ns0qq0(u2+p2). (2) Substituindo (2) na equao (1) obtemos cIt = sin0 t, cIt =12ns0qq0(u2+p2)sin0 t. (3) Oresultado(3)jeraesperado,poisasdistnciasdascargaseltricas carga eltrica de prova so as mesmas e, portanto, os mdulos das foras so iguais. Tambm se pode notar que o mdulo da fora eltrica resultante tem o mesmo valor para a carga eltrica de prova sobre os pontos de uma circunferncia de raiop,eradial.Issoocorreporquepodemosgiraremtornodoeixoque passapelascargaseltricasqsquenoobservarmosqualquermodificao (quanto natureza eltrica). q p q oo 00 sin 0 sin0 cos 0 cos 0 q q oo p 0 22 Dizemos,ento,queoproblematemsimetriaradialereescrevemosa equao (3) como cIt =12ns0qq0(u2+p2)sin0 p, (3) Para indicar que a fora eltrica tem direo radial (p um versor na direo radial). Dafiguravemosquesin 0 =pu2+p2,entoaforaeltricaresultantesobrea carga eltrica de prova dada por cIt =12ns0qq0(u2+p2)pu2+p2p =12ns0pqq0(u2+p2)32p. (4) Paraencontrarmosoraiodacircunfernciaparaaqualaforaeltrica resultantemxima,devemosencontraropontodemximodomdulode cIt. Assim, o mximo ocorre quando dPcltdp= , 12ns0qq0(u2+R2)32 -3212ns0Rqq0(u2+R2)S2 = , (o2 +2) -2 = , = =V22o. Paragarantirmosque =V22opontodemximoenodemnimo, deveramos mostrar que a derivada segunda de cIt calculada nesse ponto menor que zero. Contudo, como fcil mostrar da equao (4) a fora eltrica resultanteseanulaparap = (pontodeintersecodalinhaqueuneas cargas eltricas e o plano normal) e para p - , sendo esses seus pontos de mnimo. Exemplo 1.12 Considere dois pontos materiais e no vcuo, afastados de qualquer corpo. O ponto fixo e possui carga eltrica positiva +. O ponto tem massa , cIt cIt cIt cIt cIt cIt cIt cIt 23 cargaeltrica qeexecutamovimentocircular,comcentroem,deraio. Desprezando as aes gravitacionais, determine a velocidade de . Soluo Aplicando a segunda lei de Newton na partcula de carga eltrica q temos csuItuntc = cIt, csuItuntc = -14ns0qR2p. A fora resultante na direo radial a fora centrpeta, ento -2R p = -14ns0qR2p, = = _q4ns0mR. Exemplo 1.13 Duas esferas metlicas iguais, eletricamente carregadas com cargas eltricas demdulosqeq,estoseparadasporumadistnciaumadaoutraese atraem,eletrostaticamente,comumaforademdulo.Asesferasso postasemcontatoumacomoutrae,aseguir,recolocadasnasposies iniciais. Determine o mdulo da nova fora eletrosttica. Soluo Como as esferas se atraem antes do contato, elas devem ter cargas eltricas de sinais oposto. Asesferassecomportamcomopartculaspontuaisdecargaseltricasde mdulosqeq.Antesdocontato,omdulodaforaeltricadeinterao entre as duas esferas era =14ns02|q|2d2. (1) Quandocolocadasemcontato,acargalivreexistentenasduasesferasse distribuiigualmenteentreasduas.Ento,depoisdenovamenteseparadaso valor absoluto da carga eltrica de cada esfera + cIt -q 24 |qi| =|2q-q|2, |qi| =|q|2. Portanto,omdulodanovaforaeltricadeinteraoentreasduasesferas ser =14ns0|q|24d2. (2) Usando a equao (1) na equao (2) obtemos =i =P8. 4. CAMPO ELTRICO 4.1 CONCEITO DE CAMPO ELTRICO Naseoanterior,quandofalamosdaleideCoulomb,pensamosem uma carga eltrica puntiforme interagindo diretamente com outra carga eltrica puntiforme.Pensamosqueumacargaeltricapuntiformeexerceumafora eltrica sobre outra carga eltrica puntiforme, e essa reage exercendo tambm sobre a primeira uma fora eltrica. Figura 1.14 Aoinvsdepensarmosqueumacargaeltricapuntiformeage diretamente sobre a outra, podemos pensar que uma carga eltrica puntiforme modificaoespaoemtornodela,criandooquechamamosumcampo eltrico, de forma que, se outra carga eltrica puntiforme colocada no interior desse campo eltrico, uma fora eltrica ser exercida sobre ela. Figura 1.15 CARGA ELTRICA CARGA ELTRICA 25 Assim,pensamosqueumacargaeltricapuntiformegeraumcampo eltrico e que esse campo que interage com outra carga eltrica puntiforme. Figura 1.16 Aideiadeumacargaeltricapuntiformeinteragindodiretamentecom outracargaeltricapuntiformepressupeaaodistnciaentreelas.Isso querdizerqueseumamodificaoqualqueracontecessesobreumadelas, a outraperceberiaimediatamenteessamodificao.Entoainformaoda modificaodeveriasepropagarinstantaneamentedeumacargaeltrica puntiforme outra, o que implicaria em uma velocidade infinita de propagao dainformao.Contudo,issoestemdesacordocomosprincpiosda relatividadeespecial.Assim,aintroduodaideiadecampoeltricoque,a princpio, seria somente outra maneira de descrever a interao eltrica, passa asernecessriaparaqueateoriaestejadeacordocomosprincpiosda relatividade especial2. Vamoschamardecargaeltricadeprovaquelaresponsvelpor verificarmosapresenadeumcampoeltricoemumadeterminadaregio. Comoacargaeltricadeprovasomentepodefornecercomoinformaosua carga eltrica (uma grandeza escalar), a informao da direo e do sentido da foraeltricaqueagirsobreeladeveestarnocampoeltrico.Portanto,a grandezaquecaracterizaocampoeltricodeveserumagrandezavetorial. Ainda, esta grandeza que caracteriza o campo eltrico deve depender da carga eltricapuntiformequegeraocampoeltricoeserindependentedacarga eltrica de prova. Podemos eliminar a dependncia da carga eltrica de prova dividindo a fora eltrica por ela. Assim, podemos definir o campo eltrico3 (a grandeza que o caracteriza) como Pq0, (1.6) onde a fora eltrica exercida pela carga eltrica puntiforme sobre a carga eltricadeprovaq0.Adefiniodecampoeltricodadapelaequao(1.6) apresentaumproblema.Seaoinvsdeumacargaeltricapuntiforme tivssemosumcondutorcarregado,apresenadacargaeltricadeprova modificariaadistribuiodecargaeltricadocondutor,eocampoeltrico encontradonoseriaaqueledadistribuiodecargaeltricaoriginalno condutor.claroquequantomenoracargaeltricadeprova,menora perturbaoqueelacausanadistribuiooriginaldecargaeltricado 2 A modificao na carga eltrica causa uma perturbao no campo eletromagntico que se propaga, com velocidade finita, como uma onda eletromagntica. Se o meio o vcuo a velocidade de propagao c . s. 3Algunsautoreschamamagrandezaquecaracterizaocampoeltricodevetorcampoeltricoparadiferenciara grandezaquecaracterizaocampo(vetorcampoeltrico)doprpriocampoeltrico(regiodoespaoondeuma carga eltrica sofre a ao de uma fora eltrica). CARGA ELTRICA CARGA ELTRICA CAMPO ELTRICO 26 condutor.Portanto,paradeterminarmosocampoeltricocorreto,devemos usar uma carga eltrica de prova que tenha uma quantidade de carga eltrica muito, muito pequena. Assim, redefinimos o campo eltrico como limq0-0 Pq0. (1.7) Notequeolimitenaequao(1.7)noumlimitematemtico,massim experimental. O campo eltrico tem dimenso de ]oucugu cItcu =mussu X compmcnto2cugu cItcu X tcmpo2. (1.8) No S.I. a unidade da intensidade do campo eltrico4 |] =|N]|C]. (1.9) 4.2CAMPOELTRICODEUMACARGAELTRICAPONTUALEM REPOUSO Ocampoeltricogeradoporumacargaeltricapuntiformepodeser encontrado usando a equao (1.5) e a definio (1.7), =1q014ns0q02r , =14ns02r . (1.10) onde a origem do referencial est sobre a carga eltrica pontual que gera o campo eltrico. Uma vez que r=, podemos reescrever a equao (1.10) como (r) =14ns03r. (1.11) Exemplo 1.14 Nasvizinhanasdasuperfcieterrestreexisteumcampoeltricoorientado verticalmente de cima para baixo. O mdulo deste campo aproximadamente igual a 150 N/C. Desejamos fazer flutuar neste campo uma esfera de alumnio de raio igual a 0,25 cm. A densidade do alumnio vale 2,7 g/cm3. a)Estimaracargaeltrica(mduloesinal)paraqueestaesferapossa flutuar sem cair. b)Explique,quantitativamente,aprincipalrazopelaqualessa experincia no pode ser realizada na prtica. 4muitocomumusarmoscomounidadeparaaintensidadedocampoeltricoo|] =|voIt]|mcto],abreviaoV/m.O Volt unidade do potencial eltrico no S.I. , como veremos adiante. 27 Soluo a) Paraqueaesferadealumnioflutuedevemoseletriz-lacomumacarga eltrica q, tal que a fora eltrica tenha mdulo igual ao peso da esfera, porm de sentido oposto. Ento, aplicando a segunda lei de Newton na esfera temos csuItuntc = cIt +cso , q(- ) -= , q = -mgL= -43nR3pgL, q = -4nR3pg3L= -43,14(0,2510-2)32,71039,813150 , =q = -, -5 C. (1) Note que a esfera de alumnio deve ser eletrizada com carga eltrica negativa. b) Aesferacarregadagera,naregioemseu em torno,umcampo eltricoque agesobreasmolculasqueformamoar.Seessecamposuficientemente intenso ele ioniza o ar, que deixa de se comportar como um isolante e passa a secomportarcomoumcondutor. Isso podeocorrernoscom ar,mascom qualquermaterialdieltricosobaaodeumcampoeltricointenso. Chamamos de rigidez dieltrica M o valor limite do campo eltrico suportado porummaterialdieltricosemqueeleseionize.Assim,seocampogerado pela esfera atingir um valor acima do da rigidez dieltrica do ar Mu = 6 N/C,oarpassaasecomportarcomoumcondutoreascargaseltricas deixam a esfera e escoam para o ar5. Comovimosparapontosexterioresesferaelasecomportacomouma partcula pontual de carga eltrica q colocada em seu centro, ento o mdulo docampoeltricogeradopelaesferanasproximidadesdesuasuperfcie dado por =14ns0qR2. Assim,acargamximacomquepodemoseletrizaraesfera,semqueoar seja ionizado, qmx = ne02Mu, qmx = , 8,8 -12 (, -2)2 6, =qmx = ,8 -9 C.(2) Portanto,aexperincianopodeserrealizadanaprticaporqueacarga eltrica necessria para manter a esfera flutuando muito maior que a carga 5 A rigidez dieltrica do vcuo infinita. 28 eltricamximasuportadapelaesferanoare,aesferasedescarregamuito antes de ser ionizada com a carga eltrica necessria. Naequao(1.11)aorigemdoreferencialestsobreacargaeltrica puntiformequegeraocampoeltrico.Podemosescreveraexpressodo campoeltricogerado,emumpontor2qualquer,porumacargaeltrica puntiforme q1na posio r1,observandoque r = r2 -r1e r = |r2 -r1|.Assim, temos Figura 1.17 (r2) =14ns0q1(2-1)|2-1|3. (1.12 ) Convencionalmente representamos a carga eltrica puntiforme que gera o campo por q, sua posio por r e a posio onde calculado o campo por r, ento, fazendo as trocas de variveis: r1 - r, r2 - r e q1 - q, temos (r) =14ns0qi(-i)|-i|3. (1.12) Seconhecermosocampoeltrico,(isto,suaintensidade,direoe sentidoemtodosospontosdoespao)podemosdeterminaraforaeltrica queagiremumacargaeltricapuntiformecolocadaemqualquerpontoem seuinterior.Portanto,seconhecemosocampoeltrico,notemosa necessidadedesaberquecargaeltricapuntiformegerouaquelecampo eltrico. 4.2 LINHAS DE FORA MichaelFaradayidealizourepresentarocampoeltricoporlinhasde fora. Linhas de fora so linhas imaginrias que representam a trajetria que teria uma partcula de carga eltrica positiva em um campo eltrico (partindo do repouso; a partir de um ponto qualquer). Na figura 1.18 esto representadas as linhasdeforaparacamposeltricosgeradospordiferentestiposde distribuiesdecargaseltricas.Comoatrajetriadapartculanica,as linhas de fora no podem se cruzar. r2 - r1 r2 r1 q1 29 Figura 1.18 4.3CAMPOELTRICOGERADOPORUMADISTRIBUIODECARGAS ELTRICAS PONTUAIS EM REPOUSO At agora temos falado do campo eltrico gerado por uma carga eltrica puntiforme.Entretantopodemosterumadistribuiodecargaseltricas pontuaisexercendoumaforaeltricaemumacargaeltricadeprova.Para calcularmosocampoeltricoresultantegeradoemr,porcargaseltricas pontuais q situadas nas posies r, usamos o princpio de superposio. O princpiodesuperposioafirmaqueocampoeltricoresultanteasoma vetorialdoscamposeltricosgeradosporcadacargaeltricapuntiformeq como se as demais no existissem. Matematicamente temos Figura 1.19 (r) = _ (r)N=1, (r) = _14ns0qii(-ii)|-ii|3N=1. (1.13) Exemplo 1.15 Determineocampoeltriconocentrodoquadradogeradopelascargas eltricas fixas em seus vrtices representadas na figura. r1 r2 rN q1 q2 qN r 30 Soluo Escrevendo os vetores posies em coordenadas cartesianas temos r1 = , r2 = o , r3 = ot +o , r4 = ote r =u2t +u2 . Ento, r -r1 =u2t +u2 -, r -r1 = ot +o |r -r1| = _u2t +u2 u2t +u2, |r -r1| = _u22+u22, |r -r1| =V22o. De forma semelhante temos r -r2 =u2t +u2 -o , r -r2 =u2t -u2 e |r -r2| =V22o, X +q -q -q +q o o 1 2 3 4 X +q -q -q +q o o 31 r -r3 = -u2t -u2 e |r -r3| =V22o. r -r4 = -u2t +u2e |r -r4| =V22o. Ento o campo eltrico resultante no centro do quadrado dado por (r) =ne0qi1(r -r1)|r -r1|3+ne0qi2(r -r2)|r -r2|3+ + ne0q3(r -r3)|r -r3|3+ne0q3(r -r3)|r -r3|3, (r) =ne0(-q) ot +oVo3+ne0q ot -oVo3+ + ne0-q -ot -oVo3+ne0q -ot +oVo3, (r) =qV2ns0u3-u2 +u2 +o -o t +-u2 -u2 +o +o , (r) =qns0u3V2o , =(r) =V2q2ns0u2. Exemplo 1.16 Considereduascargaseltricasiguaisseparadasporumadistnciao.Um sistema de coordenadas possui origem no ponto mdio entre as cargas eltricas;oeixoaretaqueuneasduascargaseltricaseoeixo ortogonal a esta reta. a)Determineospontosaolongodoeixoparaosquaisocampo eltrico assume seu valor mximo. b)Determine o mdulo do campo eltrico mximo. Soluo 32 a) O campo eltrico em um ponto sobre o eixo a uma distncia da origem dado por (r) =ne0qi1(r -r1)|r -r1|3+ne0qi2(r -r2)|r -r2|3, () =14ns0q(] -ui )(u2+2)32 +14ns0q(] +ui )(u2+2)32, () =q2ns0(u2+2)32 . Tambmpodemosobterocampoeltriconotandoqueosmdulosdos camposeltricos1e2geradospelascargaseltricassoiguais(as cargas esto mesma distncia do ponto ), 1 = 2 = . Entosuascomponenteshorizontaisirosecancelar.Portanto,asomadas componentes verticais o campo eltrico resultante, com mdulo dado por () = sin0, () = 14ns0q(u2+2)u2+2. Paraencontrarmosaposiosobreoeixoparaaqualocampoeltrico resultante mximo, devemos encontrar o ponto de mximo do mdulo de . Assim, o mximo ocorre quando dLd = , q2ns01(u2+i2)32 -32q2ns0i(u2+i2)S2 = , (o2 +2) -2 = , oo qq 0 0 r r1r2 2 1 0 33 = = _V22o. b) mx =q2ns0|i|(u2+i2)32, mx =q2ns0V22 u_u2+c22 ]32, =mx =qns0u2 V33. 4.4CAMPOELTRICOGERADOPORUMADISTRIBUIOCONTNUADE CARGA ELTRICA EM REPOUSO Aotentarmosempregaraequao(1.12)paracalcularmosocampo eltricogeradoporumacargaeltricaqdistribudacontinuamenteemum corpo de volume nos deparamos com o problema de no sabermos quem r, isto , que ponto do corpo ns usamos como a posio r. A primeira ideia escolhermosocentrogeomtricodocorpocomor,entretanto,ocampo eltrico da resultante apenas uma aproximao no sendo o campo eltrico realmente gerado pela distribuio, Figura 1.20 (r) =14ns0qi(-i)|-i|3. (1.14) Combasenoprincpiodesuperposio,podemosmelhoraraaproximao (1.14)dividindoocorpoemduaspartesesomandooscamposgeradospor cada uma das partes6 6 Ao fazermos isto, as distribuies de carga eltrica de cada parte ficam mais prximas de seus centros.r r 34 Figura 1.21 (r) = 1(r) +2(r), (r) =14ns0qi1(-i1)|-i1|3+14ns0qi2(-i2)|-i2|3. (1.15) Emboraoresultado(1.15)sejamelhorqueoanterior,eleaindauma aproximao muitoruim.Podemos melhorarainda maissedividirmosocorpo em trs partes, (r) = 1(r) +2(r) +3(r), (r) =14ns0qi1(-i1)|-i1|3+14ns0qi2(-i2)|-i2|3+14ns0qi3(-i3)|-i3|3. (1.16) Podemosrepetiroprocessoparaobterumaaproximaocadavezmelhor. Para divises do corpo temos (r) = 1(r) +2(r) +3(r) ++N(r), (r) = _ (r)N=1. (1.17) (r) =14ns0qi1(-i1)|-i1|3+14ns0qi2(-i2)|-i2|3+14ns0qi3(-i3)|-i3|3++14ns0qiN(-iN)|-iN|3, (r) = _14ns0qii(-ii)|-|3N=1. (1.18) claroquequantomaisdivisesfazemos,maisprximooresultadodo campoeltricogeradopeladistribuio.Mas,quantomaisdivisesfazemos, menor o volume de cada parte da distribuio e consequentemente tambm menor a carga eltrica de cada parte da distribuio. Ento quando o nmero dedivisestendeparainfinito,oresultadosetornaexatamenteocampo eltrico gerado pela distribuio, (r) = limN-_ (r)N=1. (1.19) Emboraquando - onmerodetermosdasomatria(1.19)tentepara infinito a soma no diverge e sim tende para um determinado valor, no caso o campo eltrico em r gerado pela distribuio. Isso ocorre porque quanto maior o nmero de divises menor cada termo da somatria (1.17), isto , menor se torna o campo gerado por cada parte da distribuio. Quando - o campo r r1 r2 35 eltricogeradoporcadapartedadistribuiosetornamuito,muitopequeno, menorqueomenorcampoeltricoquepodemosimaginar,portantoum infinitesimal . A somatria (1.19) ento uma integral, (r) = ](r). (1.20) Quando - ovolumedecadapartedadistribuiosetornaumvolume infinitesimal e a carga eltrica contida em cada volume infinitesimal tambm umacargaeltricainfinitesimalq.Consequentemente,podemospensar quecadaelementoinfinitesimaldevolumedadistribuiosecomporta comoumapartculapontualdecargaeltricainfinitesimalqgerandona posio r um campo eltrico infinitesimal (r) dado por (r) =14ns0dqi(-i)|-i|3. (1.21) Assim,ocampoeltricoemrgeradopeladistribuiodecargaeltricaa somadoscamposeltricosinfinitesimaisgeradosporcadaelemento infinitesimal de carga eltrica em r da distribuio, (r) =14ns0](-i)|-i|3qvi (1.22) Exemplo 1.17 Fioinfinitodecargaeltrica.Determineocampoeltricogeradoporumfio infinito carregado com uma densidade linear de carga eltrica constante z. Soluo Antes de tudo vamos entender o que se quer dizer por um fio infinito. claro quefisicamente(nomundoreal)noexisteumfioinfinito,entretantose considerarmosapenasospontosmuitoafastadosdasbordaseprximosdo fio,osefeitosdebordasodesprezveis.Fisicamentecomoseno vssemosasbordasdofio,isto,ofinaldofio.Ento,paransqueno vemos as bordas do fio, como se ele fosse infinito. Mas o que significa dizer pontosmuitoafastadosdabordaeprximos.Entendemosissocomopontos paraosquaisadistnciaaofiomuitomenorqueocomprimentodofio. Matematicamente esta condio p , onde p a distncia do ponto ao fio p q r 0 Z rp 36 e seu comprimento. Notequenoobservamosqualquermodificaonadistribuiodecarga eltricadosistemaquandorodamosemtornodofio,mantendoamesma distncia. Dizemos ento que o sistema invariante sob rotaes em torno do fio.Issoimplicaqueomdulodocampoeltricodevedependerapenasda distnciadofio,sendoigualparatodosospontosqueestomesma distncia do fio. Por causa disso podemos escolher o plano X de forma que o vetorrpertenaaele(estejanoplanoX).Paratornaasoluomaisgeral possvel,vamosescolheroeixoppassandopelopontoondequeremos determinarocampoeltrico,entor = pp.Comoadistribuiodecarga eltrica contnua, devemos tomar um elemento infinitesimal de carga eltrica q no fio situado em ri = `. O campo eltrico gerado por q dado por =14ns0dqi(pp-zik`)(p2+zi2)32. (1) Acargaeltricaqexistentenoelementoinfinitesimaldecomprimento dada por qi = z, qi = z. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) temos =14ns0]xdzi(pp-zik`)(p2+zi2)32-. Comonohpossibilidadedeconfundiracoordenadadoelementode cargaeltricacomacoordenadado ponto ,que nula, poisopontoest no plano X, vamos escrever, para simplificao, ri = ` e qi = z. Assim =14ns0]xdz(pp-zk`)(p2+z2)32-, =xp4ns0p ]dz(p2+z2)32--x4ns0` ]zdz(p2+z2)32-. (3) Note que podemos retirar da integral o versor p e a coordenada p porque eles nodependemde.Fisicamenteistoporqueelesnovariamquando percorremosofioparasomarascontribuiesdetodososelementosde cargaeltricadofio.Asegundaintegralpodeserfeitafacilmentepela substituio = p2 +2, = , entretanto, como os limites de integrao so simtricos e o integrando uma funo mpar, seu resultado zero. Para realizarmos a primeira integral fazemos a substituio tan0 =zp e cos 0 =pp2+z2. (4) Ento, 37 = p tan0 e = p(sec 0)20. (5) Note que quando - _, 0 = _n2. (6) Com as substituies (4), (5) e (6) obtemos =xp4ns0p ]p(scc 0)2d0cos03n2-n2. Lembrando que sec 0 =1cos 0, temos =x4ns0pp ] cos 0 0n2-n2, =x4ns0p|sinn2 -sin(-n2)]p, = =x2ns0pp. Tambmpodemosobterocampoeltriconotandoqueosmdulosdos campos eltricos 1 e 2 gerados pelas cargas eltricas infinitesimais q1 e q1situadassimetricamente aoeixopsoiguais(ascargas esto mesma distncia do ponto ), 1 = 2 = . Entosuascomponentesverticaisirosecancelar.Portanto,asomadas componentes horizontais o campo resultante, com mdulo dado por = cos 0, p q1 0 0 Z 2 1 0 q2 p 38 = 14ns0dqi(p2+z2)pp2+z2, =xp2ns0]dz(p2+z2)320, Note que os limites de integrao neste caso so de zero a infinito, pois cada obtidopeloselementosdecargasimtricos(conformepercorremoso eixo positivo tambm j percorremos o negativo). Assim, =E =\2s0pp. Exemplo 1.18 Fiofinitodecargaeltrica.Umbastoisolantecomprimentopossuiuma cargaeltricaconstanteporunidadedecomprimentoz.Determineocampo eltricogeradopelobastoemumpontosobreoeixo,comomostraa figura. Soluo Como a distribuio de carga eltrica contnua, devemos tomar um elemento infinitesimaldecargaeltricaqnofiosituadoemri = t .Ocampoeltrico gerado por q dado por =14ns0dqi(] -xi )(x2+2)32. (1) Acargaeltricaqexistentenoelementoinfinitesimaldecomprimento qr 0 r X I X I 39 i = dada por qi = z. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) e integrando (somando os campos gerados por todos os elementos de carga eltrica q) temos =14ns0]xdx(] -xi )(x2+2)32I0, =x4ns0 ]dx(x2+2)32I0-x4ns0t ]xdx(x2+2)32I0. (3) Para realizarmos a primeira integral fazemos a substituio tan0 =x e cos 0 =x2+2. (4) Ento, = tan0 e = (sec 0)20. (5) Note que quando = - 0 = e = - 0mx = sin-1_II2+2]. (6) Asegundaintegralpodeserfeitafacilmentepelasubstituio = 2 +2, = Com as substituies (4), (5) e (6) obtemos =x4ns0 ](scc 0)2d0jcos 030mcx0-x4ns0t ]du2u32umx0, Lembrando que sec 0 =1cos 0, temos =x4ns0 ] cos 0 00mcx0-x4ns0t ]u-32du2umx0, =x4ns0 |sin (0mcx) -sin()] +x4ns0t _1I2+2 -10+2_, = = -x4ns0_ 1||-1I2+2] t +x4ns0II2+2 . (7) Notequequando - ,isto,obastosetornasemi-infinitoocampo eltrico fica dado por (para > ) scm-n]nto = -x4ns0t +x4ns0. 40 Portanto, para um basto semi-infinito campo eltrico em forma um ngulo de 450 com o basto, independentemente da distncia ao basto. Tambmpodemosobterocampoeltricodecompondoocampoeltrico infinitesimal gerado por q no ponto em suas componentes x e , = xt + , = - sin 0 t + cos 0 . Substituindo o mdulo do campo eltrico infinitesimal gerado por qi = z, =14ns0xdx(x2+2)2, e de sin 0 =xx2+2 e cos 0 =x2+2, temos = -14ns0xdx(x2+2)2xx2+2t +14ns0xdx(x2+2)2x2+2 , = -14ns0xxdx(x2+2)32t +14ns0xdx(x2+2)32 . Porfim,somandooscamposeltricosinfinitesimaisgeradosportodosos elementos de carga eltrica infinitesimal ao longo do fio, isto , integrando em , obtemos = -14ns0]xxdx(x2+2)32I0t +14ns0]xdx(x2+2)32I0, que o mesmo resultado da equao (3). Assim,fcilverquenoprimeiromtodoadecomposioocorre automaticamenteaoescrevermosocampoeltricovetorialmente,usandoa equao(1.21),enquantonosegundomtodoadecomposiorealizada combasenafigura.Embora,aparentementemaissimples,opreoquese q 0 cos 0 X sin0 0 41 pagapelousodosegundomtodoquenecessrioesboarumafigura representandoocampoesuascomponentes,oque,paraalgunsproblemas, pode ser uma tarefa muito rdua. J o primeiro mtodo, embora no necessite de um esboo, requer um manejo matemtico vetorial mais elaborado7. Exemplo 1.19 Anel de carga eltrica. Um fino anel de raio est carregado com uma carga eltrica q uniformemente distribuda ao longo de sua circunferncia. Determine o campo eltrico sobre os pontos do eixo do anel. Soluo Vamos escolher o eixo do anel como sendo o eixo Z e o anel situado no plano X,comomostraafigura.Comoadistribuiodecargaeltricacontnua, devemos tomar um elemento infinitesimal de carga eltrica q no anel situado emri = p.Esseelementodecargaeltricageraemr = `umcampo eltrico infinitesimal dado por z =14ns0dqi(zk`-Rp)(z2+R2)32. (1) Acargaeltricaqexistentenoelementoinfinitesimaldecomprimento dada por qi = z, ondezadensidadelineardecargaeltricadoanel.Oelementode comprimento do arco i = , como pode ser visto da figura 7 Nota do autor: O aluno pode estar se perguntado qual o melhor mtodo. Eu diria que o melhor mtodo aquele que ele se sente mais confiante e a vontade de usar. O importante que o aluno resolva corretamente o problema. O ideal queoalunosaibausarambososmtodos,pois,emgeral,paraproblemasmaissimplesnosquaisassimetrias existentessofacilmentereconhecidaserepresentadasemumesbooosegundomtodomaissimplesemais rpido.Entretantoparaproblemasnosquaisassimetriassodifceisdeseremreconhecidasouascomponentesdo campo so difceis de esboar, o primeiro mtodo deve ser usado. q r 0rZ X 42 qi = z. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) temos z =14ns0](zk`-Rp)xRdq(z2+R2)322n0. z =14ns0xRzk`(z2+R2)32] 2n0-14ns0xR2(z2+R2)32] p2n0. (3) Notequeagorano podemosretirardaintegraloversorp,pois eledepende de,p = cos t +sin .Fisicamenteistoporqueadireodoversorp varia(ongulovaria)quandopercorremosoanelparasomaras contribuies de todos os elementos de carga eltrica do anel. z =14ns0xRzk`(z2+R2)32] 2n0-14ns0xR2(z2+R2)32](cos t +sin )2n0, z =14ns0xRzk`(z2+R2)32] 2n0-14ns0xR2i(z2+R2)32] cos 2n0-14ns0xR2](z2+R2)32] sin2n0, A primeira integral d n e as duas ltimas integrais so nulas, ento z =12s0xRz(z2+R2)32`. (4) Uma vez que a carga eltrica est uniformemente distribuda no anel, a carga eltrica total do anel q = nz, portanto, z =x4ns0pp ] cos 0 0n2-n2, z =x4ns0p|sinn2 -sin(-n2)]p, =z =14ns0qz(z2+R2)32`. Tambmpodemosobterocampoeltriconotandoqueosmdulosdos camposeltricosgeradospeloselementosdecargaeltricadoanelso todos iguais e que as componentes perpendiculares ao eixo de quaisquer dois elementosdecargaeltricasituadossimetricamenteopostosnoanelse cancelam. i = 43 Sejam1e2oscamposinfinitesimaisgeradospeloselementos infinitesimais de carga eltrica q1 e q1 situados simetricamente opostos no anel. Ento 1 = 2 =14ns0xRd0(z2+R2). Assim,suascomponentesverticaisirosecancelar.Portanto,asomadas componentes horizontais o campo resultante, com mdulo dado por z = 14ns0xRd0(z2+R2)cos 0, z =12ns0xRd0(z2+R2)zp2+z2, z =xRz2ns0(p2+z2)32] 0n0, Note que os limites de integrao neste caso so de (zero) a n, pois cada obtido pelos elementos de carga simetricamente opostos. Assim, =Ez =14s0qz(z2+R2)32k`. interessante determinarmos o campo eltrico para pontos muito distante do anel.Primeiramentedevemosentenderoquequeremosdizercompontos muitosdistantes.Porpontosmuitodistantesdoanelqueremosdizerpontos para os quais a distncia deles ao centro do anel muito maior que o raio do anel.Matematicamente,temos ,ento Rz .Assim,conveniente escrevermos o resultado como z =14ns0qzz3_1+R2z2]32`. (5) q1 0 2 1 q2 0 Z X 44 Como Rz e,consequentementeRz2 ,podemosdesprezarotermo Rz2comrelaoadentrodoparntesesdaequao(5).Ento,ocampo eltrico gerado pelo anel para pontos muito distante do anel fica z dstuntcs =14ns0qz2`, (6) que,comoespervamos,odeumacargaeltricapontual.Istoacontece porque de muito longe vemos o anel como um ponto. Exemplo 1.20 Discocarregado.Umdiscodeplstico,deraio,estcarregadocomuma cargaeltricaquniformementedistribudasobresuasuperfciesuperior. Determine o campo eltrico sobre os pontos do eixo do disco. Soluo VamosescolheroeixododiscocomosendooeixoZeodiscosituadono planoX,comomostraafigura.Comoadistribuiodecargaeltrica contnua,devemostomarumelementoinfinitesimaldecargaeltricaqno disco situado em ri = pp. Esse elemento de carga eltrica gera em r = ` um campo eltrico infinitesimal dado por z =14ns0dqi(zk`-pp)(z2+p2)32. (1) Acarga eltrica qexistenteno elementoinfinitesimaldesuperfcie do disco dada por qi = o, ondeoadensidadesuperficialdecargaeltricadodisco.Comopodeser q r 0r Z X 45 visto da figura, o elemento de superfcie do disco i = p p, i = pp. Portanto, a carga eltrica de um elemento de superfcie qi = opp. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) temos z =14ns0_cpdpdq(zk`-pp)(z2+p2)32, z =czk`4ns0_pdpdq(z2+p2)32 -c4ns0_p2(cos qi +sInq] )dpdq(z2+p2)32, z =o`ne0_pp(2 +p2)32R0_ 2n0+ -ci4ns0]p2dp(z2+p2)32R0] cos 2n0-c]4ns0]p2dp(z2+p2)32R0] sin2n0, z =czk`4ns0]pdp(z2+p2)32R0n. (3) Aintegralemppodeserfeitafacilmentepelasubstituio = 2 +p2, = pp, z =czk`4s0 ]-32, z =czk`2s0 -1VR2+z2 +1Vz2. (4) Comoadistribuiodecargaeltricasobreasuperfciesuperiordodisco uniforme, temos q = on2. (5) Substituindoadensidadedecargaeltricadaequao(5)naequao(4) = pp p i = p 46 obtemos =z =qz2ns0R21|z|-1VR2+z2 `. (6) Tambmpodemosobterocampoeltricoconsiderandoodiscocomosendo formadoporanisinfinitesimaisderaiopelargurap.Cadaanelgeraum campoinfinitesimal(ocampodeumaneldecargaeltricafoicalculadono exemplo 1.18) dado por z =14ns0zdq(z2+p2)32`. (7) Umavezqueacargaeltricanasuperfciedodiscodistribuda uniformemente,acargaeltricadecadaanelinfinitesimaladensidade superficial de carga eltrica o multiplicada pela rea do anel np p, q = onpp. (8) Substituindo a equao (8) na equao (7) temos Ez =ozk2s0 ]pdp(z2+p2)32R0. (9) A equao (9) idntica equao (3), portanto, =Ez =qz2s0R21|z|-1VR2+z2 k`. (6) interessante determinarmos o campo eltrico para pontos muito distante do disco.Porpontosmuitodistantesdodiscoqueremosdizerpontosparaos quais a distncia deles ao centro do disco muito maior que o raio do disco. Matematicamente,temos ,ento Rz .Assim,conveniente,para , escrevermos o resultado (6) como z =q2ns0R2_ -1_1+R2z2_`. (10) Notequeagorasesimplesmentedesprezarmos R2z2emrelaoanaraiz quadradaoresultadoseanula.Istoocorreporqueaintensidadedocampo p p 47 eltrico inversamente proporcional a 2. Dizemos ento que o campo eltrico de primeira ordem em R2z2. Para determinarmos o campo eltrico em primeira ordemdevemosusaraexpansobinomial( +)n +n,para . Assim, z qne02 - +22 ` Ento,ocampoeltricogeradopeloanelparapontosmuitodistantedoanel fica z dstuntcs qne02` que,como espervamos, odeumacarga eltricapontual.Novamente,isto acontece porque de muito longe vemos o disco como um ponto. Tambminteressantedeterminarmosocampoeltricoparapontosmuito prximos do disco. Por pontos muito prximos do disco queremos dizer pontos para os quais a distncia deles ao centro do disco muito menor que o raio do disco. Matematicamente, temos , ento zR . Assim, conveniente, para , escrevermos o resultado (6) como z =q2ns0R2_ -zR_1+z2R2_`. (10) Usando a expanso binomial ( +)n +n, para , temos z q2ns0R2 -zR +z32R3 `, Desprezandoosegundoeoterceirotermosemrelaonoparnteses,o campo eltrico gerado pelo disco para pontos muito prximo do disco fica z poxmo q2ns0R2`, z poxmos c2s0`. (11) Quando estamos muito prximos do disco no vemos suas bordas, e o disco secomportaparanscomoumasuperfcieinfinitacomumadistribuiode cargaeltricauniforme.Doresultando(11)podemosconcluirque,paraum plano infinito de carga eltrica o campo no depende da distncia ao plano e perpendicularaoplano.Ento,ocampoeltricogeradoporumplanoinfinito de cargas eltricas dado por =c2s0n, (12) 48 onde o a densidade superficial uniforme de carga eltrica do plano e n um versor normal ao plano.

5. CAMPO ELTRICO UNIFORME Quandoumcampoeltricotemmesmomdulo,direoesentidoem todos os pontos ele chamado de campo eltrico uniforme. As linhas de fora de um campo eltrico uniforme so paralelas entre si e igualmente espaadas, comomostraafigura1.22.Umcampoeltricouniformepodeserobtidona regioentredoisplanosinfinitoseparalelos,carregadosuniformementecom cargas eltricas de sinais opostos. Na prtica se a distncia entre duas placas metlicasconectadasaosterminaisdeumabateriamuitomenorqueas dimenses das placas, o campo eltrico na regio entre elas ser praticamente uniforme, exceto perto das bordas. Figura 1.22 Exemplo 1.21 Uma gota de leo carregada, de raio = , m e densidade p = ,9 g/cm3, mantidaemequilbriosobainflunciacombinadadoseupesoedeum campoeltricouniformedeintensidade0 = , 6N/C,apontandopara baixo.Calculeaquantidadedecargaseltricaselementarescomqueest eletrizada a gota. Soluo Aplicando a segunda lei de Newton na gota temos csuItuntc = cIt +cso , q(-0 ) -= , q = -mgL= -43nR3pgL, q = -4nR3pg3L= -43,14(2,7610-6)30,921039,8131,65106 , q = -,8 -19 C. - 0 ++++++++++++++ ------------- 49 n =|q|c=4,8110-191,610-19, =n = . Nota:UmaexperinciasimilarfoiutilizadaporMilikanparamediracarga eltrica elementar. Exemplo 1.22 Um eltron, de massa e carga eltrica , lanado com velocidade 0 em uma regio entre duas placas planas e paralelas, uniformemente carregadas, comomostraafigura.Naregioentreasplacas,ocampoeltrico0 uniforme.Desprezandoopesodoeltronearesistnciadoar,determinea distncia do ponto ao ponto onde eltron atinge o anteparo. Soluo Aplicando a segunda lei de Newton no eltron na regio entre as placas temos csuItuntc = cIt , o = (-)(-0 ) o = e o =cL0m (1) As equaes (1) mostram que o movimento uniforme em X e uniformemente variadoem.Otempoqueoeltronlevaparapassarpelaregioentreas placas dado por 1 =I0. (2) Portanto, o desvio sofrido pelo eltron ao passar entre as placas 0 =cL02m 12, - 0 ++++++++++++++ -------------- 0 0 50 0 =cL0I22m02. (3) A componente da velocidade do eltron ao deixar a regio entre as placas dada por =cL0m1, =cIL0m0. (4) Na regio entre as placas e o anteparo no h foras atuando sobre o eltron, portanto seu movimento uniforme em X, bem com em . Assim, o tempo que o eltron leva para atingir o anteparo, aps deixar as placas, 2 =d0. (5) Conseqentemente o desvio total sofrido pelo eltron dado por i = 0 +2, =i = 0202+002 6. DIPOLO ELTRICO 6.1. CAMPO ELTRICO GERADO POR UM DIPOLO Duascargaseltricasiguaisedesinaisopostos,separadasporuma pequenadistnciafixa,formamumdipoloeltrico.Vamosconsiderarodipolo eltrico formado por duas cargas eltricas puntiformes +q e q, separadas por uma distncia o, como mostra a figura 1.23. Figura 1.23 r +q o 0 Z - + r+ p -q r- 51 Vamosdeterminarocampoeltricoresultanteemumpontosobreareta mediatrizdalinhaqueuneascargaseltricas.fcilnotarqueosistema invariante sob rotaes em torno do eixo do dipolo (o sistema no se modifica quandorodadoemtornodalinhaqueuneascargaseltricas).Ento,vamos escolher as cargas eltricas situadas sobre o eixo Z nos pontos = o e = -o, eoponto sobreoeixo pno plano X.Assim,ocampo eltricogeradopelo dipolo no ponto dado por p = + +-, p =14ns0qi+(-i+)|-i+|3+14ns0qi-(-i-)|-i-|3, p =14ns0q(pp-uk`)(p2+u2)32-14ns0q(pp+uk`)(p2+u2)32, p = -14ns02qu(p2+u2)32`. (1.23) Parapontosmuitodistantesdodipolop o,ento up .Aequao(1.23) pode ser reescrita como p = -14ns02qup3_1+c22]32`. (1.24) Como up2 , podemos desprezar esse termo em relao a no parnteses da equao (1.24), p -14ns02qup3`. (1.25) A grandeza vetorial cujo mdulo o produto da carga eltrica positiva do dipolo peladistnciaentreascargasetemdireodalinhaqueuneascargase sentidodacarganegativaparaapositivaumagrandezaquecaracterizao dipoloeltricoechamadademomentodedipoloeltricop.Omomentode dipoloeltricodeduascargaseltricaspontuais+qe q,sobreoeixoZ, separadas por uma distncia o, definido matematicamente como p oq`. (1.26) Usando a definio (1.26) na equao (1.25) temos dpoIo = -14ns0pp3. (1.27) muitoimportanteobservarqueenquantoocampoeltricodeuma cargaeltricapontual(monopoloeltrico)caicominversodoquadradoda distncia, o campo eltrico de um dipolo cai, mais rapidamente, com o inverso do cubo da distncia. Isso ocorre porque de muito longe as cargas eltricas do 52 dipolosecancelaemprimeiraaproximaoenoobservamosumacarga eltrica lquida. Exemplo 1.23 Umaneldieltrico,muitofino,deraiointernooeexternob,temuma distribuiosuperficialdecarga eltrica dadaporo =o0psin,onde o0 uma constante. a)Calcule o campo eltrico sobre o eixo do anel. b)Considerandopontosmuitodistantesdoanel,calculeomomentode dipolo eltrico do anel. c)Calculeomomentodedipoloeltricodoaneldiretamentedesua distribuio de carga eltrica. d)Calculeadistnciaentreascargaseltricaspontuaisdodipolo equivalente. Soluo a) VamosescolheroeixododiscocomosendooeixoZeodiscosituadono planoX,comomostraafigura.Comoadistribuiodecargaeltrica contnua,devemostomarumelementoinfinitesimaldecargaeltricaqno disco situado em ri = pp. Esse elemento de carga eltrica gera em r = ` um campo eltrico infinitesimal dado por z =14ns0dqi(zk`-pp)(z2+p2)32. (1) Acarga eltrica qexistenteno elementoinfinitesimaldesuperfcie do disco dada por qi = opp, q r r Z X o b 53 qi = o0sinp. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) temos z =14ns0_o0sInqdpdq(zk`-pp)(z2+p2)32, z =o0zk`4ns0_sInqdpdq(z2+p2)32-o04ns0_(cosqi +sInq] ) sInqpdpdq(z2+p2)32, z = o0`ne0_pp(2 +p2)32bu_ sin2n0+ -o0i4ns0]pdp(z2+p2)32bu] cos sin2n0-c]4ns0]pdp(z2+p2)32bu](sin)22n0. O primeiro e o segundo termo se anulam ao realizarmos as integrais em . A integral em do ltimo termo pode ser realizada pela substituio (sin)2 =12-cos(2q)2. Assim, z = -o0]4ns0]pdp(z2+p2)32bu]122n0+o0]4ns0]pdp(z2+p2)32bu]cos(2q)22n0. Novamente o ltimo termo se anula ao realizarmos a integral em . z = -o0e0_pp(2 +p2)32bu Por fim, a integral em p pode ser feita facilmente pela substituio = 2 +p2, = pp, z = -c]4s0]-32, =z = -o04s0-1Vb2+z2 +1Vu2+z2 . (3) b) Parapontosmuitodistantesdodiscotemoso, b ,ento uz e bz . Assim, conveniente, para , escrevermos o resultado (3) como z = -o04s0lllll-1z_1+b2z22 +1z_1+c2z2211111 . Usando a expanso binomial ( +)n +n, para . Assim, 54 z -o04s0- + b22z2 + -u22z2 , Ento,ocampoeltricogeradopeloanelparapontosmuitodistantedoanel fica dstuntcs -o08s0z3(b2 -o2) . (4) Comparandoaequao(4)comocampogeradoporumdipolo,equao (1.27), temos =p =no02(b2 -o2) . (5) c) A carga eltrica do anel positiva entre e n e negativa entre n e n. Ento podemoscalcularomomentodedipolodiretamentedadistribuio, considerandoqueoanelformadopordipolosinfinitesimaisdecargas eltricas infinitesimais simetricamente opostas no anel. p = pqip, p = po0psin ppp. Omomentodedipoloeltricodoaneldadopelasomadosmomentosdos infinitos dipolos eltricos, p = _po0sinp(cos t +sin ), p = o0t ] ppbu] sin cos 0+o0 ] ppbu](sin)20, =p =no02(b2 -o2) . d) O dipolo equivalente aquele que tem o mesmo momento de dipolo eltrico e cujacargaeltricapositivaigualcargaeltricapositivadoanel.Acarga eltrica positiva do anel dada por X ++ -- q+ q- 55 q = _o, q = _o0psin pp, q = o0] pbu] sin0, q = o0(b -o). (6) Agora, seja a distncia entre as cargas eltricas do dipolo equivalente, ento q =no02(b2 -o2), o0(b -o) =no02(b +o)(b -o), = =n4(b +o). 6.2. UM DIPOLO ELTRICO EM UM CAMPO ELTRICO UNIFORME Vamosconsiderarumdipoloeltricoformadoporduaspartculas pontuaisdecargaseltricas,+qe-q,separadasporumadistnciao.O dipoloeltricocolocadonointeriordeumaregioondeexisteumcampo eltrico uniforme 0 (campo eltrico externo), como mostra a figura 1.24. Figura 1.24 A fora resultante sobre o dipolo dada pela soma das foras que agem nas partculas de carga eltrica +q e -q, csuItuntc = + +-, csuItuntc = q0t -q0t , csuItuntc = . (1.28) Oresultado(1.28)mostraqueumdipoloeltricocolocadoemrepousona regiodeumcampo eltricouniformeno sofretranslao,isto ,seucentro o -q +q 0 -q +q + - X 0 p 0 56 de massa no se move. Note que a distncia entre as duas cargas eltricas fixa, isto , as cargas eltricas esto de alguma forma ligada uma a outra. fcilverdafigura1.24queasforasqueagemnodipoloeltricose comportam como um binrio e, portanto, exercem um torque resultante que faz odipolosofrerumarotaoemtornodeumeixoquepassapelocentrodo dipolo e normal ao plano do dipolo. Este torque resultante dado por IcsuItuntc = I+ +I-, IcsuItuntc = (o cos 0 t +o sin0 ) q0t +(-o cos 0 t -o sin0 ) (-q0t ), IcsuItuntc = -oq 0sin0 `. (1.29) Oresultado(1.29)mostraquerealmenteotorqueresultantesobreodipolo eltrico no nulo, fazendo o dipolo girar no sentido horrio da figura 1.24. conveniente escrevermos a equao (1.29) usando notao vetorial para que o resultadofiqueindependentedosistemadecoordenadasescolhido. Lembrandoqueo mdulodomomentode dipoloeltrico p = oq,podemos escrever a equao (1.29) como IcsuItuntc = -p 0sin0 `. (1.30) Vemos,ento,queomdulodotorqueresultanteoprodutodomdulodo momentodedipoloeltricopelomdulodocampoeltrico,vezesosenodo nguloentreosdois.Comobemconhecidoesseomdulodoproduto vetorial de dois vetores, assim IcsuItuntc = p 0. (1.31) Note que a ordem dos vetores no produto vetorial (1.31) foi dada pelo sinal da equao(1.30).Porfim,podemosescreverqueotorquecausadoporum campo eltrico externo uniforme sobre um dipolo eltrico dado por IL = p 0. (1.31) Umavezque,seabandonadoemumcampoeltricoexternouniforme, umdipologirasozinhoadquirindoenergiacintica(derotao),entoo sistemadeveteralgumtipodeenergiaarmazenada.Aorealizartrabalho girando o dipolo eltrico o torque da fora eltrica faz variar a energia potencial dosistema.Comoveremosmaisafrente,istoocorreporaforaeltricade naturezacoulombianaumaforaconservativae,portanto,temassociadaa ela uma energia potencial. O trabalho realizado pelo torque da fora eltrica dado por = ] I 000rc]= -A, A = -] (-p 0sin0 `) (0`)00rc], 57 A = p0]sin0 000rc], (0) -(0c]) = p0(-cos 0 +cos 0c]). (1.32) Emgeralconvenienteescolheraposiodereferncia,0c],paraaquala energiapotencialnula,(0c]) = ,deformaaanularotermoconstante, p0cos 0c]. Assim, escolhendo 0c] =n2, temos (0) = -p0cos 0. (1.33) Notequenaposio0 =n2aenergiapotencialmxima,da,como espervamos, o sinal negativo da equao (1.33). Comoanteriormenteconvenienteescrevermosaequao(1.33)naforma vetorial. Tambm bem conhecido que o produto escalar de dois vetores tem comoresultadooprodutodeseusmdulosvezesocossenodonguloentre eles, portanto L = -p 0. (1.34) Exemplo 1.24 Determineafrequnciadeoscilaodeumdipoloeltrico,demomentope momentodeinrciaI,parapequenasamplitudesdeoscilaoemtornode sua posio de equilbrio, num campo eltrico uniforme . Soluo A energia mecnica do dipolo eltrico dada pela energia cintica de rotao (lembrem-se,odipoloeltriconotransladadevidoaodeumcampo eltrico uniforme) mais a energia potencial eltrica, mcc =12I d0dt2-p cos 0. (1) Comonohforasdissipativasaenergiamecnicaconservada,elano varia no tempo. Portanto, sua derivada nula. Ento, derivando a equao (1) com relao ao tempo temos dLmccdt= I d0dtd20dt2 +p sin 0 d0dt = , d20dt2= -pLIsin0. (2) Parapequenasamplitudesdeoscilao0pequenoepodemosaproximar sin0 0. Assim, d20dt2 -pLI0. (3) Aequao(3)mostraque,parapequenasamplitudesdeoscilao,odipolo 58 eltrico realiza movimento harmnico simples (na varivel 0). Comparando a equao (3) com a do MHS, d2Xdt2= -2X, vemos que = _pLI, e =v =12n_pLI. 7. LEI DE GAUSS Semultiplicarmosomdulodocampoeltricogeradoporumacarga eltrica puntiforme pela rea de uma superfcie esfrica de raio r, centrada na carga eltrica, o resultado fica independente de r, cs]cu =14ns0q2nr2 =qs0. (1.35) Comoomdulodocampoeltricodeumacargaeltricapuntiforme inversamenteproporcionalaoquadradodadistncia,eareadeuma superfcie esfrica centrada na carga proporcional ao quadrado da distncia, oresultadodaequao(1.35)verdadeparaqualquersuperfcieesfrica centrada na carga eltrica, isto , o produto do mdulo do campo pela rea da superfcie sempre proporcional carga eltrica no interior da superfcie. Fazendoumaanalogiacomocasodofluxodeumfluido,definimoso fluxo do campo eltrico como uma grandeza que diz simbolicamente o quanto de campo eltrico (note o pouco rigor usado) atravessa uma superfcie. Como somente a componente paralela ao versor normal superfcie contribui para o fluxo,nadefiniodofluxodevemosconsiderarapenasacomponentedo campoparalelanormal.Matematicamenteaprojeodeumvetoremuma determinadadireoobtidapeloprodutoescalardovetorpeloversorque indica a direo e o sentido, n, (1.36) onde n o versor normal superfcie. Ainda,ocampoeltricopodevariardepontoparapontodasuperfcie. Portanto,devemosprimeiramentecalcularofluxoatravsdeumasuperfcie muito, muito pequena, isto , um infinitesimal (com = n) de forma que as variaes do campo eltrico sejam desprezveis e depois som-las a fim de obterofluxototal.Comojvimos,asomadessesfluxosinfinitesimais matematicamente descrita por uma integral. Assim, mL = n = , mL Q . (1.37) 59 Agora, do resultado da equao (1.35) temos8 mL = Q =qs0. (1.38) Emboraoresultado(1.38)tenhasidoobtidoparaofluxodocampo eltricodeumacargaeltricapuntiformeatravsdeumasuperfcieesfrica, pode-seprovarsuavalidadeparaqualquersuperfciefechadaequalquer distribuiodecargaeltrica.Destaforma,podemosafirmarqueofluxodo campo eltrico atravs de uma superfcie fechada diretamente proporcional cargaeltricalquidanointeriordasuperfcie.Apesardaafirmaoanterior possa ser deduzida a partir da lei de Coulomb e, portanto, no sendo uma lei, poderamos seguir o caminho inverso, concluir das observaes experimentais aafirmaoanteriore,apartirdela,deduziraleideCoulomb.Logo,a afirmaoanteriortambmseriaumalei,conhecidacomoLeideGauss. Assim, a lei de Gauss to fundamental quanto a lei de Coulomb. Afigura1.25mostratrssuperfciesfechadas.Comopodemosver, todas as linhas de fora que cruzam a superfcie 1, representada na cor verde, estosaindodaregiolimitadapordela.Portanto,ofluxodecampoeltrico atravsdessasuperfciepositivoeemseuinteriordeveexistirumacarga eltrica lqida positiva. Dizemos, ento, que existe no interior da superfcie 1 uma fonte de campo eltrico. Tambm podemos ver que as linhas de fora de fora que cruzam a superfcie 3, representada na cor azul, esto entrando na regiolimitadaporela.Issoindicaqueo fluxodocampoeltrico negativo e que,portanto,deveexistirumacargalqidanegativaemseuinterior.Agora, dizemos que na regio interior limitada pela superfcie 3 existe um sumidouro de campo eltrico. Por fim, vemos que todas as linhas de fora que penetram na regio limitada por 2, tambm saem dela atravs de 2. Portanto, o fluxo do campoeltriconulonestecasoenodeveexistircargaeltricalqidana regiointeriorlimitadapor2.interessantetambmobservarquese escolhssemos uma superfcie que deixasse em seu interior as cargas positiva enegativa(superfcielimitadapelacurvaamareladafigura1.25)ofluxodo campoeltricoatravsdessasuperfcieserianulo.Todalinhadeforaque nasce na carga eltrica positiva termina na carga eltrica negativa. 8 Por comodidade ao invs de Qusaremos apenas o smbolo }sempre que o smbolo do elemento de superfcie indique, sem causar dvidas, que se trata de uma integral de superfcie. LEI DE GAUSS Ofluxodocampoeltricoatravsdeumasuperfciefechada diretamente proporcional carga eltrica lquida no interior da superfcie, Q =qs0. 60 Figura 1.25 A aplicao da lei de Gauss em um condutor em equilbrio conduz a um importanteresultadoconhecidoexperimentalmente:ascargaseltricaslivres em um condutor em equilbrio se encontram na superfcie exterior do condutor. Vamosconsiderarumcondutoreletrizadoemequilbrio.Ocampoeltricono interiordocondutordevenecessariamentesernulo,poissenoofosseuma fora eltrica agiria nas cargas eltricas livres ou nos eltrons de conduo do condutor, fazendo-os se moverem. Seja uma superfcie fechada no interior de um condutor, como mostra a figura 1.26. Como o campo eltrico sobre ela nulo, a carga lquida em seu interiortambmnula.Podemosescolherumasuperfciefechadaomais prximo quanto desejarmos da superfcie externa do condutor, , que em seu interioracargaeltricaliquidanula.Logo,ascargaseltricaslivresdevem estar sobre a superfcie externa do condutor. Figura 1.26 7.1. APLICAES DA LEI DE GAUSS OusodaleideGaussnadeterminaodocampoeltricomuitotil quando a distribuio de carga eltrica que gera o campo eltrico tem alguma simetriadeformaquepossamosencontrar,comcertafacilidade,uma superfciefechadasobreaqualomduloeadireodocampoeltricose mantenham constante. Se isto for verdade, o mdulo do campo eltrico poder serretiradodaintegral(1.38).Notemqueoclculodocampoeltricocomo uso da lei de Gauss no fornece a direo e o sentido do campo eltrico, esses devemserobtidosdasimetriadadistribuiodecargaeltrica.Muitasvezes precisamosdividirasuperfcietotalfechadaemvriassuperfciessobreas quaisosmduloseasdireesdocampoeltricosobrecadaumadelasse mantmconstante,massodiferentesparadiferentessuperfcies.Estas superfciesfechadasqueusamosnaleideGaussparadeterminarocampo eltrico so chamadas de superfcies gaussianas. Exemplo 1.25 Esferacondutoracarregada.Umaesferacondutoraderaioestcarrega com uma carga eltrica total . Determine o campo eltrico gerado pela esfera em todos os pontos do espao. 61 Soluo Porserumaesferacondutora,sabemosquetodasuacargaeltricaest distribuda sobre sua superfcie externa e que o campo eltrico em seu interior deve ser nulo, isto , = nt = , para r < . Acargaeltricaficadistribudauniformementesobreasuperfcieexternada esfera condutora. Portanto, podemos nos mover sobre uma superfcie esfrica imaginria, concntrica esfera, que no observaremos qualquer modificao na distribuio de carga eltrica da esfera. Isto , podemos girar a esfera em torno de um eixo que passe por qualquer dimetro que nenhuma modificao sernotada.Dizemosqueasimetriaesfrica.Matematicamenteistoquer dizer que o campo eltrico (e outra grandezas fsicas de natureza eltrica) no dependedosngulos0e.Omdulodocampoeltricodeveentoser constante sobre essa superfcie imaginria. Ainda, esperamos que no exista componentedocampoeltricotangenteaessasuperfcie,poisseexistisse, umacargaeltricadeprovaseriaobrigada ase moversobreessasuperfcie imaginria,implicandonaexistnciadeumadireoprivilegiadasobrea superfcie,oquenoexiste,comoacabamosdedizer.Portanto,ocampo eltricodeveserradial, = r .Dissotudo,conclumosqueumasuperfcie esfricaimaginria,concntricaesferacondutora,umasuperfcie gaussiana9. Aplicando a lei de Gauss temos } =s0, }r r =s0, } =s0. Note que o campo eltrico paralelo normal da superfcie gaussiana. Como o mdulo do campo eltrico constante sobre a superfcie, podemos retir-lo da integral, 9 Na maioria dos problemas envolvendo distribuies esfricas, a superfcie gaussiana uma superfcie esfrica. Superfciegaussiana r 62 } =s0. A integral em agora a prpria rea da superfcie gaussiana, nr2 =s0, =4ns02. Assim, obtemos = =4ns02r , para r > . Doresultadoanterior,conclumosque,parapontosexterioresesfera,a esfera se comporta como uma partcula pontual situada no centro da esfera e de carga eltrica igual carga eltrica total da esfera. O campo eltrico para todos os pontos dado por = = _,r < 4ns02r ,r >

. Embora o resultado anterior tenha sido obtido para uma esfera condutora, ele tambmvlidoparaumacasacametlicaderaio,comopodemos facilmente demonstrar. Afiguraabaixorepresentaocomportamentodomdulodocampoeltrico para uma esfera condutora de raio . Note que no interior da esfera o campo eltriconulo.Notetambmadescontinuidadedocampoeltricosobrea superfcie da esfera. Pode-se mostrar que o campo eltrico sobre a superfcie metade do campo eltrico prximo da superfcie. Exemplo 1.26 Esferadieltricacarregada.Umaesferadieltricaderaioestcarrega uniformementecomumacargaeltricatotal.Determineocampoeltrico gerado pela esfera em todos os pontos do espao. Soluo i)Para r < . r ne02 ne02 63 Comoaesferaestcarregadauniformemente,oproblematemsimetria esfricaeasuperfciegaussianaumasuperfcieesfricarepresentadana figura pela linha vermelha tracejada. Da lei de Gauss temos } =is0, ondeacargaeltricanaregiointeriordasuperfciegaussiana, representada na figura pela rea amarela hachurada. Como paralelo a sobre toda superfcie gaussiana e tem mdulo constante, ele pode ser retirado da integral, } =is0, nr2 =is0.(1) A carga eltrica determinada de i = ]p. Mas como a densidade volumtrica de carga eltrica constante temos i = p ] = p 43nr3 =43nR343nr3, i =3R3. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) obtemos nr2 =3R3s0, =4ns0R3r. (3) Portanto, = =4ns0R3r,para r < . (4) Note que o mdulo do campo eltrico no interior da esfera, dado pela equao (3), diretamente proporcional distncia ao centro. Superfciegaussiana r Superfciegaussiana r 64 ii)Para r > . Outravez,comoaesferaestcarregadauniformemente,oproblematem simetria radial e a superfcie gaussiana uma superfcie esfrica representada na figura pela linha azul tracejada. Da lei de Gauss temos } =s0. Comoparaleloasobretodasuperfciegaussianaetemmdulo constante, ele pode ser retirado da integral, } =s0, nr2 =s0. =4ns02. (5) Portanto, = =4ns02r ,para r > . (6) Podemos novamente concluir que, para pontos exteriores esfera, a esfera se comporta como uma partcula pontual situada no centro da esfera e de carga eltricaigualcargaeltricatotaldaesfera.Esseresultadovlidosempre que a distribuio de carga eltrica tiver uma simetria esfrica. O campo eltrico para todos os pontos dado por = = 4ns0R3r,r < 4ns02r ,r >

. Afiguraabaixorepresentaocomportamentodomdulodocampoeltrico para uma esfera dieltrica de raio . Note que no interior da esfera o mdulo do campo cresce linearmente. Superfciegaussiana r 65 Exemplo 1.27 Cilindroinfinitodecargaeltrica.Umcilindroinfinitotemumadistribuiode cargaeltricaconstanteporunidadedecomprimentoz.Determineocampo eltrico gerado pelo fio para os todos os pontos do espao. Soluo A carga eltrica fica distribuda uniformemente no cilindro. Portanto, podemos nosmoversobreumacircunfernciaimaginria,concntricaaocilindro,que noobservaremosqualquermodificaonadistribuiodecargaeltricado cilindro.Istoomesmoquedizerquepodemosgirarocilindroemtornode seu eixo que no observaremos qualquer alterao. Dizemos que a simetria axial.Matematicamenteistosignificaqueocampoeltriconodependedo ngulo.Ainda,como ofioinfinito,podemosnosdeslocarsobreumareta imaginriaparalelaaoeixodocilindroquetambmnoobservaremos qualquermodificaonadistribuiodecargaeltricadocilindro. Matematicamente isto significa que o campo eltrico tambm no depende da coordenada(considerandooeixodocilindrosendooeixoZ).Conclumos entoquepodemosnosdeslocarsobreasuperfcielateraldeumcilindro imaginrioconcntricoaocilindrocarregadoquenoobservaremosqualquer alterao. Nesse caso, dizemos que o sistema tem uma simetria cilndrica. O mdulodocampoeltricodeveserconstantesobreessasuperfcie imaginria.Ainda,esperamosquenoexistacomponentedocampoeltrico tangente a essa superfcie, pois se existisse, uma carga eltrica de prova seria obrigadaasemoversobreessasuperfcieimaginria,implicandona existnciadeumadireoprivilegiadasobreasuperfcie,oquenoexiste, como acabamos de dizer. Portanto, o campo eltrico deve ser radial, = p. Assim,asuperfcielateraldeumcilindroimaginrioconcntricodevefazer partedeumasuperfciegaussiana.Contudoessasuperfcienofechada. Ento como fech-la? Como o campo eltrico deve ser radial, no h fluxo de campo eltrico atravs das bases do cilindro imaginrio, portanto a superfcie gaussiana deve ser uma superfcie cilndrica10. Para p < . 10Namaioriadosproblemasenvolvendodistribuiescilndricas,asuperfciegaussianaasuperfciedeum cilindro, com o fluxo do campo eltrico nulo atravs de suas bases. r ne02 66 Sejaocomprimentodasuperfciegaussianacilndrica,representadana figura pela cor verde. Da lei de Gauss temos } =is0, ondeacargaeltricanaregiointeriordasuperfciegaussiana, representada na figura pela rea azul hachurada. Este um exemplo do caso em que a superfcie gaussiana formada por trs diferentes superfcies, ] 1busc 1+] 2busc 2+] IutcuIsupc]icc IutcuI=s0. Aprimeira easegundaintegraissonulas, poisocampo paraleloaessas superfcies. J na terceira integral o campo paralelo superfcie (seu versor normal), ]IutcuIsupc]icc IutcuI=is0. Sendo o mdulo do campo eltrico constante sobre a superfcie lateral temos ] IutcuIsupc]icc IutcuI=is0. Sejap0adensidadevolumtricadecargaeltricadocilindro.Entoacarga eltrica no interior da superfcie gaussiana dada por i = p0np2. (1) Assim, np =p0np2Is0, =p0p2s0. (2) Superfciegaussiana Superfciegaussiana p 67 A carga eltrica por unidade de comprimento dada por z =p0nR2II= p0n2. (3) Substituindo a equao (3) na equao (2) temos =xp2nR2s0. (4) Sabendo, por simetria, que o campo eltrico tem direo radial obtemos = =xp2nR2s0p, para p < . (5) Para r > . Seja o comprimento da superfcie gaussiana cilndrica representada na figura pela cor verde. Da lei de Gauss temos } =s0, onde a carga eltrica em um comprimento do cilindro que fica no interior da superfcie gaussiana. Ento = p0n2. (6) Assim, np =p0nR2Is0, =p0R22ps0. (7) Substituindo a equao (3) na equao (7) temos =x2ns0p, Superfciegaussiana Superfciegaussiana p 68 = =x2ns0pp, para p > . (8) O campo eltrico para todos os pontos dado por = = xp2nR2s0p,p < x2ns0pp, p >

. Exemplo 1.28 Planodieltricoinfinitodecargaeltrica.Umalminadieltricainfinitatem umadistribuiodecargaeltricadedensidadesuperficialoconstante. Determine o campo eltrico gerado pelo plano nas suas vizinhanas. Soluo Acargaeltricaficadistribudauniformementesobreoplano.Portanto, podemosnos moversobreumasuperfcieplanaimaginriaparalelalmina que no observaremos qualquer modificao na distribuio de carga eltrica da lmina. Considerando a lmina como sendo o plano X, isto quer dizer que ocampoeltriconodependedascoordenadase.Omdulodocampo eltricodeveserconstantesobreessasuperfcieimaginriaeterdireodo eixoZ(normalaoplano).Ento,duassuperfciesplanasparalelaslmina, umadecadalado,devemfazerpartedasuperfciegaussiana.Assim, escolhemoscomosuperfciegaussianaumcilindrofechadocujasbasesso paralelas lmina, como mostra a figura. Da lei de Gauss temos } =s0, onde a carga eltrica do circulo pertencente lmina interior da superfcie gaussiana,representadanafigurapelareahachuradacinza.Asuperfcie gaussiana formada por trs diferentes superfcies, Superfciegaussiana 69 ] 1busc 1+] 2busc 2+] IutcuIsupc]icc IutcuI=s0. Aterceiraintegralnula,poisocampoeltricoperpendicularaoversor normal dessa superfcie. ] 1busc 1+] 2busc 2=s0, ] 1busc 1+ ] 2busc 2=s0, =cAs0, = =oe0n, onde o versor n est indicando a direo normal ao plano. Exemplo 1.29 Condutorcarregado.Umcondutortemumadistribuiodecargaeltricade densidade superficial o. Determine o campo eltrico gerado pelo condutor para pontos imediatamente fora do condutor. Soluo Parapontosmuitoprximossuperfciedocondutorocampoeltricotem direonormalaocondutoresemantmconstantesobreumapequenina superfcieparalelasuperfciedocondutor.Portanto,comonoexemplo anterior, escolhemos a superfcie gaussiana como um cilindro.

Da lei de Gauss temos } =s0, Superfciegaussiana = Condutor 70 onde a carga eltrica do circulo pertencente superfcie do condutor que estnointeriordasuperfciegaussiana,representadanafigurapelarea hachurada. A superfcie gaussiana formada por trs diferentes superfcies, ] 1busc 1+] 2busc 2+] IutcuIsupc]icc IutcuI=s0. Agora,almdaterceiraintegralsernula,aprimeiraintegralnulatambm porque o campo eltrico nulo no interior do condutor. Ento, ] 2busc 2=cAs0, = oe0 = =oe0n, ondeoversornestindicandoadireonormalpequeninasuperfcie condutor. Noteaausnciadofator 12noresultadoquandocomparadoaoresultadodo exemplo anterior. Exemplo 1.30 Umaesferacondutoraderaioocarregacomumacargaeltrica+qe colocadanocentrodeumaenvoltriaesfricacondutoraderaiointernobe raio externo c. A carga eltrica da envoltria q. a)Determine o campo eltrico em todos os pontos. b)Determine a carga eltrica nas superfcies da envoltria. Soluo a) i)Para r < o. No interior de um condutor em equilbrio o campo eltrico nulo, = = , para r < o. (1) ii)Para o < r < b. Escolhendo a superfcie gaussiana representada na figura pela linha tracejada vermelha temos 71 nr2 =qs0, = =q4ns02r ,para o < r < b. (2) iii)Para b < r < c. Novamente, no interior de um condutor em equilbrio o campo eltrico nulo, = = , para b < r < c. (3) iv) Para r > c. Escolhendoasuperfcierepresentadanafigurapelalinhatracejadaamarela temos nr2 =q-qs0, = = ,para r > c. (4) Notequeacargaeltricatotal(lquida)nointeriordasuperfciegaussiana amarelaacargaeltricadaesferaderaioomaisacargaeltricada envoltria. b) Comojvimosacargaeltricadaesferacondutoraderaiooficatodaela sobre a superfcie externa da esfera. Seja q1 a carga eltrica na superfcie de raiobdaenvoltriaeq2acargaeltricanasuperfciederaioc.Para Superfciegaussiana r b c o Superfciegaussiana r b c o 72 determinarmosacargaeltricaq1,aplicamosaleideGaussusandouma superfcie gaussiana no interior da envoltria. Como o campo eltrico nulo no interior da envoltria (condutor em equilbrio) temos =q+q1s0, =q1 = -q. (5) Agora, a carga eltrica q2 pode ser obtida pela conservao da carga eltrica, jqueaenvoltriaestisolada.Assim,acargaeltricatotalinicialda envoltria q deve ser igual carga eltrica total aps a induo, -q = q1 +q2, -q = -q +q2, =q2 = .(6) Exemplo 1.31 Umagrandesuperfcieplana,no-condutora,temdensidadeuniformede carga o. No meio dessa superfcie foi feito um pequeno furo circular de raio R. Desprezandooencurvamentodaslinhasdecampoemtodasasbordas, calculeocampoeltriconopontoP,distanciazdocentrodo furo aolongo de seu eixo. Soluo Para determinarmos o campo eltrico no ponto podemos usar o princpio de P Superfciegaussiana q1 b c o q2 73 superposio.Ofuroequivaleeletricamenteaumcrculodecargaeltrica nula,que podeser obtidopelasuperposiosobreo planoinfinito(sem furo) deumdiscodecargaeltricaoposta,cujadensidadedecargaeltricaseja o.Destaformaocorrerumcancelamentodecargaeltricapontoaponto. Ento, o campo eltrico resultante ser dado por () = pIuno() +dsco(). (1) Noexemplo1.20calculamosocampoeltricogeradopordiscodecarga eltrica q sobre seu eixo, dsco() =qz2ns0R21|z|-1VR2+z2 `. (2) Escrevendo o campo eltrico do disco em funo da sua densidade superficial de carga eltrica o =qnR2 temos, para > , dsco() =cz2s01z -1VR2+z2 `. (3) Usando o resultado obtido no exemplo 1.28 para campo eltrico de um plano infinitodecargaeltricaelembrandoqueadensidadedecargaeltricado disco deve ser oposta ao do plano, obtemos () =oe0` - oe0_ -V2 +2] ` =() =c2s0zVR2+z2`. (4) Exemplo 1.32 Umaregioesfricatemumacargaeltricauniformepporunidadede volume. Seja r o vetor desde o centro da esfera a um ponto genrico , dentro da esfera. a)Mostre que o campo eltrico em determinado por =p3s0. b)Umacavidadeesfricaproduzidanaesferamencionada,conforme mostraafigura.Mostrequeocampoeltricoemqualquerpontono interior da cavidade uniforme e dado por =pu3s0, sendo o o vetor que vai do centro da esfera ao centro da cavidade. 74 Soluo a) No exemplo 1.26 encontramos que o campo eltrico no interior de uma esfera dieltrica uniformemente carregada dado por =4ns0R3r,para r < . (1) Se aesfera estcarregauniformementesuadensidadevolumtricadecarga eltrica p =43nR3. (2) Substituindo a equao (2) na equao (1) temos = =p3s0. (3) b) Para determinarmos o campo eltrico no interior da cavidade podemos usar o princpio de superposio. A cavidade equivale eletricamente a uma esfera de carga eltrica nula, que pode ser obtida pela superposio sobre a esfera sem acavidadedeumaesferadecargaeltricaoposta,cujadensidadedecarga eltrica seja p. Ento, o campo eltrico resultante ser dado por =p3s0 - pi 3s0, =p3s0r -r, onde r o vetor do centro da cavidade at o ponto . r r o o 75 Da figura fcil ver que r = o +r, portanto, = =pu3s0. (4) 76 CAPTULO 2 POTENCIAL ELTRICO 77 1. ENERGIA POTENCIAL ELTRICA Seabandonarmosumacargaeltricapuntiformeq2napresenade outracargaeltricapuntiformeq1,ascargaseltricasirosemoverdevido interaoeltricaentreelas.Suasenergiascinticasiroaumentardevidoao trabalho realizado pela fora eltrica. Assim, no sistema de cargas eltricas q1 e q2 deve existir certa quantidade de energia armazenada que transformada em energia cintica das partculas atravs do trabalho da fora eltrica. Como j vimos, a essa energia armazenada damos o nome de energia potencial, no casoenergiapotencialeltrica.Paracalcularmosavariaodeenergia potencial do sistema q1 e q2, devemos calcular o trabalho realizado pela fora eltrica ao levarmos, em equilbrio, a carga eltrica puntiforme q2 de um ponto de referncia rc] at um ponto r, mantendo a carga eltrica q1 fixa na origem. Assim, temos AA-B = -A-BcItcu, A = -] cItcu rc]= -]14ns0q1q22r rrrc]= -q1q24ns0]d2rc], (r) -(rc]) =q1q24ns0_1 -1rc]]. Tomando (rc]) = obtemos (r) =q1q24ns0_1 -1rc]]. (2.1) A equao (2.1) mostra que o melhor ponto para ser escolhido onde tomamos a energia potencial nula no infinito, pois, com essa escolha, o ltimo termo da equao (2.1) se anula, (r) =14ns0q1q2. (2.2) Assim,aenergiapotencialeltricadeumsistemadeduascargas eltricas pontuais o trabalho realizado por um agente externo para levar uma dascargaseltricaspuntiformes,emequilbrio,doinfinitoatsuaposio, contra a fora eltrica exercida pela outra carga eltrica. Peloprincpiodesuperposio,aenergiapotencialeltricadeum sistema de trs cargas eltricas pode ser encontrada somando algebricamente otrabalhoparalevar,atsuaposio,asegundacargaeltricapuntiforme contraaforaeltricaexercidapelaprimeira,maisotrabalhoparalevara terceira como se no existisse a segunda e mais o trabalho realizado para levar a terceira, como se a primeira no existisse. Assim, temos (r) = 12 +13 +23 =14ns0q1q212+14ns0q1q313+14ns0q2q323. (2.3) 78 Figura 2.1 fcil ver que }cItcu = , (2.3) o que significa que a fora eltrica dada pela lei de Coulomb conservativa. Se assimnoofosse,nofariasentidodefinirmosumaenergiapotencial relacionada fora eltrica dada pela lei de Coulomb. Exemplo 2.1 Nomodelodequarksdaspartculasfundamentais,umprtonformadopor doisquarksu(up),cadaumtendoumacargael